COMPARACIÓN Y VALORACIÓN DE DIFERENTES TÉCNICAS DE ...

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COMPARACIÓN Y VALORACIÓN DE DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE

ÍNDICE DE MODELOS –DAE- APLICADO AL CONTROL ÓPTIMO DE UNA

COLUMNA DE DESTILACIÓN EXTRACTIVA

Caso de estudio: Destilación extractiva del alcohol carburante

MÓNICA AMADO, JORGE M. GÓMEZ

RESUMEN: En los últimos años se ha aumentado el estudio de modelos dinámicos, específicamente aquellos que son usados

en las estrategias de control predictivo. Sin embargo, el estudio de dichas estrategias se basa en las formulaciones de los

problemas de control óptimo (OCP) que a su vez dependen del planteamiento de modelos rigurosos. El modelamiento

matemático de las columnas de destilación requieren de la solución de una serie de Ecuaciones Algebro-Diferenciales (DAE,

Differential-Algebraic Equations), que pueden presentar ciertas desventajas (Ejemplo: modelos DAE de índice superior que no

garanticen la continuidad en el sistema). Con la finalidad de evaluar la complejidad de los problemas de control óptimo y los

tiempos computacionales que permitan entregar un modelo viable para la implementación en las estrategias de control

predictivo (NMPC), este trabajo estudia la respuesta de cuatro formulaciones para el mismo caso de destilación. Las

formulaciones se distribuyen en dos OCP basados en sistemas DAE de índice 1 obtenidos por el método reducción y sustitución

mediante dos reformulaciones diferentes, un OCP de sistema DAE de índice 2 y un OCP de sistema DAE de índice 1 obtenido

a partir de descripciones hidráulicas. Todos los problemas toman como condiciones iniciales el estado estable y se usa

colocación ortogonal en elementos finitos para la discretización de los mismos. Estos modelos se evalúan en la deshidratación

de bio-etanol, por su importancia como bio-combustible, utilizando glicerina como agente de arrastre. Se analiza el

comportamiento dinámico por medio de diferentes perturbaciones, funciones suaves y discontinuas, y se determinan las

condiciones óptimas de operación para cada uno de los problemas presentados. Se realiza la comparación de seis casos de

perturbación para los cuatro modelos presentados y se muestra que los cuatro producen resultados semejantes desde un punto

de vista práctico para cada uno de los casos. Finalmente, se comparan los tiempos computacionales y el cambio en el error

promedio respecto al modelo de índice 1 cuando se modifican los valores de los pesos para las desviaciones en la función

objetivo, obteniéndose que el mejor resultado él es generado por la formulación matemática del modelo DAE2r-método2.

PALABRAS CLAVE: Bio-combustibles, Control óptimo, DAE, Etanol carburante, Modelo dinámico, Optimización.

1. INTRODUCCIÓN

La destilación es la técnica de separación de

mezclas líquidas más popular en la industria, siendo

también una de las operaciones unitarias que más

contribuyen al consumo energético total de una planta de

proceso. Se emplea en las etapas de purificación que tienen

por objetivo hacer cumplir ciertas especificaciones de los

productos, añadiéndoles un valor agregado. Dentro de este

contexto entra la etapa de deshidratación en la producción

de etanol carburante, uno de los bio-combustible más

utilizados como alternativa para sustituir los combustibles

fósiles, en la que su pureza debe ser superior al 99.5%

molar con el fin de evitar la formación de dos fases al

mezclarse con gasolina [1]–[3].

El etanol es producido comúnmente por medio de

fermentación de azucares y almidones, o a partir de

biomasa como la lignocelulosa. En esta etapa el producto

tiene altos contenidos de agua que dificulta su purificación

debido a la formación de una mezcla azeotrópica de

mínimo punto de ebullición que hace la destilación

convencional inviable [3]. Entre las alternativas más

comunes para realizar esta separación se encuentran las

destilaciones al vacío, destilaciones azeotrópicas y

destilaciones extractivas. Específicamente, en la

destilación extractiva se han estudiado diferentes agentes

de separación, encontrándo que la glicerina funciona de

forma adecuada para el proceso de deshidratación del

etanol. Adicionalmente, se reportan ventajas económicas

en el uso de la glicerina frente a otros solventes, como

ejemplo el benceno, dado que es generada en grandes

cantidades como subproducto en el proceso de producción

de biodiesel por medio de la reacción de transesterificación

[3], [4].

En los últimos años se ha visto un incremento en

el estudio del comportamiento dinámico de procesos

gracias al aumento en la capacidad de cálculo de las

herramientas computacionales y al desarrollo de

algoritmos capaces de manejar problemas de gran tamaño.

En la ingeniería química, se ha visualizado el aumento en

los estudios de modelos dinámicos, específicamente en las

áreas de diseño y control para los diferentes procesos [5].

Sin embargo, el modelamiento matemático de dichos

procesos y en este caso de la destilación extractiva, que está

compuesto por un sistema de ecuaciones algebro-

diferencial (DAE, por sus siglas en inglés Differential

Algebraic Equations), reporta ciertas desventajas asociadas

con el alto grado de no linealidad, múltiples estados

estacionarios y equilibrios de fases muy alejados de la

idealidad, haciendo el sistema muy susceptible a la

2

inestabilidad matemática bajo ciertas variaciones en la

alimentación [6], [7].

Los modelos en procesos químicos descrito por

sistemas DAE típicamente consisten de ecuaciones

diferenciales que describen los balances dinámicos de masa

y energía, y ecuaciones algebraicas que describen las

relaciones de equilibrio termodinámico, las relaciones

hidráulicas, y ciertas correlaciones heurísticas [8]. De

forma general un problema DAE se puede representar de

forma semi explicita (forma de Hessenberg (Ecuación1.a-

b)) por medio de un grupo de ecuaciones diferenciales

acopladas con una serie de ecuaciones algebraicas, sin

embargo no todos los problemas DAE se pueden llevar a

esta representación [9].

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 𝑓(𝑦, 𝑧) = 0, (1.a)

𝑔(𝑦, 𝑧) = 0, (1.b)

La dificultad para la resolución de los modelos

DAE está asociada al índice del sistema. Aunque existen

diferentes definiciones y tipos de índice (p.e: índice

diferencial, índice de perturbación e índice de trazabilidad)

[10], en este trabajo nos referimos al índice diferencial.

Generalmente, el índice diferencial suele ser el más

estudiado para problemas de gran tamaño y este se define

como:

“…el índice (I) de un sistema DAE es el menor

entero no negativo, tal que el sistema DAE original y las

(I) derivadas respecto al tiempo de f(y,z) y g(y,z,) definen

dy/dt y dz/dt como funciones únicas de y, z, y sus derivadas.

Es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

(ODE, Ordinary Differential Equations)…” [9].

Por otra parte, y debido a que los sistemas DAE

están compuestos por ecuaciones diferenciales y

algebraicas, es de esperar que la aplicación de la

diferenciación analítica a las ecuaciones algebraicas y su

eliminación sistemática cuanto sea necesario, de lugar a un

sistema ODE explicito para todas las incógnitas. Entonces,

el número de diferenciales necesarios para dicha

transformación se denomina índice DAE. Es decir, para el

caso de los sistemas ODE se denominan de índice cero (0)

[11], los problemas de índice 1 se pueden resolver al aplicar

una subrutina que solucione las ecuaciones algebraicas en

cada paso de la integración numérica, pero en los

problemas de índice superior (>1) no se puede aplicar esta

estrategia porque no todas las variables algebraicas tiene

una representación en una ecuación algebraica. Otras dos

dificultades en la solución de problemas de índice superior

son: el cálculo de las derivadas del problema para obtener

un modelo DAE de índice reducido y la no independencia

de las variables diferenciales, que generan dificultad para

determinar condiciones iniciales consistentes del problema

[12], [13].

Entre las alternativas para solucionar problemas

de índice superior se encuentran las técnicas de reducción

de índice, algunas de ellas han sido modificadas y

adecuadas a modelos específicos en las diferentes áreas de

la ingeniería. Dichas técnicas se pueden clasificar en cuatro

categorías:

i) Diferenciación directa, que consiste en diferenciar el

sistema de ecuaciones algebraicas hasta obtener un

sistema ODE.

ii) Diferenciación y sustitución, en este caso algunas de

las restricciones algebraicas son diferenciadas y se

busca su equivalente dentro del modelo para poder

reemplazar una ecuación diferencial por una ecuación

algebraica equivalente.

iii) Formar un sistema DAE aumentado, que consiste en

incluir variables adicionales equivalentes a

multiplicadores de Lagrange (Ecuación 2.a-c).

iv) Resolver de forma directa un grupo de ecuaciones

diferenciales adicionando variables diferenciales

adicionales; esta técnica solo aplica cuando el sistema

DAE se trabaja en forma implícita y no se puede

simplificar, es decir cuando no se puede representar

en la forma de Hessenberg.

Entre estas técnicas de reducción la más utilizada

en aplicaciones de procesos es la técnica ii [9], [13].

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 𝑓(𝑦, 𝑧) + 𝜆

𝑑𝑔

𝑑𝑡= 0, (2.a)

𝑔(𝑦, 𝑧) = 0, (2.b)

𝑑𝑔

𝑑𝑡= 0, (2.c)

Muchos autores han estudiado la dinámica de

columnas de destilación utilizando sistemas de ecuaciones

DAE de índices 1 (Ver Tabla 1). La mayoría realizan su

trabajo para una aplicación específica del modelo y los

resuelven mediante simplificaciones o técnicas de

reducción de índice (Esta reducción se hace, generalmente,

por medio de diferenciación y sustitución utilizando el

balance de energía). Con base en lo anterior, este trabajo

aporta en la evaluación de los tiempos computacionales y

comparación de respuestas cuando se resuelven problemas

de control óptimo de una columna de destilación por medio

de diferentes formulaciones.

El trabajo presentado por Flatby. et al [14] hace la

comparación del sistema DAE de índice 1 que considera la

acumulación de vapor y el modelo DAE de índice 1

obtenido por un método de reducción de índice, sin

embargo estos dos modelos representan situaciones físicas

diferentes y no son directamente comparables a menos que

se cumplan ciertas condiciones.

3

Tabla 1 Comparación de diferentes estudios en la dinámica de columnas de destilación y separadores flash

Autor Año Problema Modelo Estrategia de solución

Gani. &

Cameron [15]–

[17]

1986

1988

Estudio de la dinámica y el

arranque de columnas de

destilación.

Modelo DAE de índice 1. Sin

acumulación de vapor, pero

con variación de presión en

el tiempo.

Discretización utilizando

BDF (Backward

Differentiation Formula) y

aplicación del método de

Newton

Flatby. et al.

[14] 1994

Estudio de la dinámica de

columnas de destilación.

Modelo DAE de índice 1

riguroso comparado con el

modelo DAE índice 1

obtenido por reducción de

índice.

Reducción de índice a partir

del balance de energía. No

especifican método numérico.

Kim. [18] 1999

Diseño y operación óptima de

una columna de destilación por

lotes.

Modelo DAE índice 1


índice.


del balance de energía.

Discretización por medio del

método de Euler. Algoritmo

SQP (Sequential quadratic

programming) para

optimización.

Wittgens. &

Skogestad.

[19]

2000

Estudio de la dinámica de

arranque de columnas de

destilación.



índice.


del balance de energía. No

especifican método numérico.

Alpbaz. et al.

[20] 2002

Comparación de modelos de

control predictivo con control

PID (Proporcional integral

derivativo)



índice.




método de Euler. No

especifica el algoritmo de

optimización.

Raghunathan.

et al. [21] 2004

Optimización dinámica de

columnas de destilación con

MPEC (Mathematical

Program with Equilibrium

Constraints)



índice.



Discretización por medio de

colocación ortogonal en

elementos finitos con puntos

de Radau. Algoritmo de

Optimización de Punto

Interior (IPOPT)

Rahul et al.

[22] 2009

Algoritmo para una solución

rápida de columnas de

destilación reactiva dinámicas



índice.




método de Euler.

Bonilla, J. et

al. [23] 2012

Modelo de no equilibrio para la

simulación dinámica de

columnas de destilación.



índice.



Ramos. et al

[3] 2013

Control óptimo de una

columna de destilación

extractiva


riguroso.

Discretización de las

ecuaciones por medio de

colocación ortogonal.

Algoritmo de Optimización

de Punto Interior (IPOPT)

4

Lozano. et al

[24] 2014

Comparación de la solución

directa de un modelo DAE de

índice 2, usando colocación

ortogonal en elementos finitos,

con la solución del modelo de

índice reducido para el

problema de un separador flash

por lotes y para el control de

una columna de destilación.

Modelos: DAE índice 1

riguroso.

DAE índice 2

DAE índice 1 obtenido por

reducción de índice

Discretización de las

ecuaciones por medio de

colocación ortogonal.

Algoritmo de optimización de

gradiente reducido

generalizado (CONOPT)

Por otro lado, el trabajo presentado por Lozano et

al. [24] muestra la dificultad asociada a los modelos DAE

y realiza la comparación de tres resultados para problemas

de control (modelo DAE índice 2, modelo DAE de índice

1 obtenido por un método de reducción de índice utilizando

la ecuación de balance de energía, y el modelo DAE de

índice 1 obtenido por una descripción hidráulica de la

columna más detallada) ante una perturbación sinusoidal

en la alimentación.

Un factor muy importante en la solución de los

modelos DAE de índice superior se refiere a las

condiciones iniciales las cuales, reporta la literatura,

obligatoriamente deben ser consistentes. Las condiciones

iniciales son aquellas que en el punto inicial o tiempo cero,

en este caso, satisfacen las ecuaciones algebraicas del

modelo. Si las condiciones iniciales no son consistentes el

problema de índice superior se puede solucionar, pero la

solución no será correcta dado que no satisface una serie de

restricciones denominadas “ocultas” que se presentan en

este tipo de problemas.

La condición de estado estable para la columna de

destilación es considerada como una condición inicial

consistente que permite obtener resultados adecuados y

concordantes al comportamiento físico del sistema. Con la

finalidad de corroborar la similitud en las respuestas

cuando los cuatro problemas son sometidos a una misma

perturbación, este trabajo hace énfasis en la comparación

de los resultados de problemas de control basados en

modelos DAE diferentes, ante seis perturbaciones, las

cuales están descritas por funciones continuas y

discontinuas. El mismo, tiene por objetivo estudiar los

perfiles en las soluciones, elemento fundamental para no

caer en problemas subóptimos cuando se desarrollen más

adelante los sistemas de control avanzado en tiempo real.

Finalmente, se realizará la comparación del tiempo

computacional utilizado en la resolución de cada modelo lo

que permite establecer si son útiles, desde el punto de vista

del tiempo de respuesta, para aplicaciones de control a

tiempo real.

Diferentes autores de la literatura en los últimos

años han estudiado las respuestas cuando se utilizan

estrategias de control predictivo basados en modelos

lineales y no lineales (MPC - NMPC) [25]–[27], sin

embargo, hasta el momento no se encuentra en la literatura

la validez del uso de modelos de índice superior para dichas

estrategias. Lo anterior se debe a que no es posible

garantizar la continuidad de las funciones en el tiempo.

Adicionalmente, que los resultados de los problemas se ven

afectados significativamente al modificar los valores de los

pesos en los cálculos de las desviaciones en la función

objetivo, de acuerdo a lo anterior se encuentra en la

literatura estudios específicos en la valoración de dichos

pesos [25].

Con los estudios del control avanzado basados en

optimización se ha demostrado la importancia de

estructurar muy bien el problema de control óptimo (OCP

Optimal Control Problem) pues es la formulación básica de

los controladores avanzados MPC y NMPC; y en todos los

casos se busca obtener continuidad y bajos tiempos

computacionales que garanticen la utilidad de los mismos

en la práctica industrial.

Según la literatura, el método más utilizado para

solucionar problemas DAE de índice superior es primero

aplicar una técnica de reducción de índice sobre el modelo

y luego solucionar el problema de índice 1 utilizando

algoritmos de solución específicos como DASSL

(Differential/Algebraic System Solver), que se basan en el

método de Euler y BDF para discretizar las ecuaciones

diferenciales, y luego se resuelve el conjunto de ecuaciones

algebraicas en un mismo nivel utilizando un método de

Newton [9]. Sin embargo, no siempre es una buena

alternativa aplicar una técnica de reducción de índice para

solucionar este tipo de problema porque puede generar

ciertos inconvenientes desde el punto de vista numérico,

como son: 1) Problemas de estabilidad o rigidez en el

modelo reducido. 2) dado que el criterio de convergencia

no se aplica sobre el modelo original sino sobre el modelo

reducido se puede presentar que las ecuaciones originales

del modelo no se satisfagan. 3) en ciertos casos hay

problemas de desplazamiento de la solución (drift off

phenomena) que se generan por el error integral en las

variables involucradas en la reducción de índice que alejan

la solución de la región factible [28], [29].

5

En algunos casos se han resuelto problemas de

índice superior de forma directa utilizando métodos IRK

(Implicit Runge-Kutta), por ejemplo el algoritmo de

solución PSIDE (Parallel Software for Implicit Differential

Equaitons) es capaz de resolver problemas DAE de hasta

índice 3 si las condiciones iniciales del problemas son

consistentes. Este programa utiliza un método de

colocación ortogonal con cuatro puntos de Radau (Radau

IIA) para discretizar las ecuaciones diferenciales, luego el

sistema no lineal de ecuaciones se resuelve por medio de

un método de Newton modificado [30], [31].

El presente trabajo se organiza de la siguiente

forma: en las secciones 2 y 3 se realiza un resumen del

modelo dinámico de la columna de destilación y la

discretización del problema. La sección 4 se encarga de

presentar el problema de control óptimo con sus

restricciones de desigualdad y la función objetivo. En la

sección 5 se exponen los parámetros y condiciones para la

deshidratación del alcohol carburante, caso de estudio, el

cual es un tema de interés para industria colombiana y

cuenta con reportes anteriores por parte de algunos autores

[3], [4], [24]. Debido a que se pretende evaluar el

comportamiento del sistema frente a diferentes tipos de

perturbación, y con la finalidad de comparar las respuestas

de los problemas de optimización presentados, en la

sección 6 se expone a las diferentes perturbaciones en la

composición de la alimentación. Finalmente, en las

secciones 7 y 8 se exponen los resultados y se discuten,

para los problemas de optimización obtenidos a partir de

los cuatro modelos presentados frente a las diferentes

perturbaciones implementadas. También se presenta las

conclusiones del trabajo.

2. MODELO DINÁMICO COLUMNA DE

DESTILACIÓN

El modelo dinámico de la columna de destilación

se basa en las ecuaciones MESH, es decir, parte de

balances de materia y energía entre las corrientes de

entrada y salida del proceso y entre cada etapa de

equilibrio.

FnAlimentación

Ln-1 Vn

Ln Vn+1

Condensador total

Rehervidor parcial

1

2

3

n

n-1

n-2

n-3

Figura 1 Representación de una columna de destilación

Los supuestos generales que se aplican en todos los casos

son los siguientes:

Equilibrio termodinámico en cada una de las etapas.

Operación adiabática.

Condensador total y rehervidor parcial.

No hay caída de presión en el rehervidor.

Acumulación de masa total constante en el

condensador y en el rehervidor.

No hay acumulación de vapor ni en el condensador ni

en el rehervidor.

2.1 Modelo algebro diferencial detallado (DAE1)

El modelo basado en relaciones de equilibrio de

fases más general para una columna de destilación se puede

describir mediante el siguiente grupo de ecuaciones [28]

(Toda la nomenclatura se describe en la tabla I

Nomenclatura página 16):

Balances de materia total 𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +

1

𝑅)

∀ 𝑛 = 1

(3)

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐹(𝑛) + 𝐿(𝑛 − 1) + 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛)

− 𝑉(𝑛),

∀ 𝑛 ∈ {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(4)

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐿(𝑛 − 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛) = 0,

∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡

(5)

Balances de materia parcial

𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)

𝑑𝑡= 𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1)

− 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛, 𝑖) (1 +1

𝑅),

∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 1

(6)

𝑑𝑀(𝑛, 𝑖)

𝑑𝑡= 𝑧(𝑛, 𝑖)𝐹(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1)

+ 𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1)− 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛),

∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(7)


𝑑𝑡= 𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1)

− 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛),

∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡

(8)

Balances de energía 𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1)

− 𝐿(𝑛) (1 +1

𝑅) 𝐻𝐿(𝑛) − 𝑄𝐶 ,

∀ 𝑛 = 1

(9)

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1)

+ 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1)− 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(10)

6

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛)

− 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),


(11)

Acumulación de masa total 𝑀(𝑛) = 𝑀𝐿(𝑛) + 𝑀𝑉(𝑛),

∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (12)

Acumulación de masa parcial 𝑀(𝑛, 𝑖) = 𝑥(𝑛, 𝑖) 𝑀𝐿(𝑛, 𝑖) + 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑀𝑉(𝑛),

∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (13)

Sumatoria

∑ 𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)

𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝

= 0,

∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇

(14)

Equilibrio de fases 𝑦(𝑛, 𝑖) = 𝐾(𝑛, 𝑖)𝑥(𝑛, 𝑖),

∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (15)

Energía interna

𝑈(𝑛) ≅ (𝐻𝑉(𝑛) −𝑃(𝑛)

𝜌𝑉) 𝑀𝑉(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛)𝑀𝐿(𝑛),


(16)

Capacidad del plato 𝑀𝑉(𝑛)

𝜌𝑉+

𝑀𝐿(𝑛)

𝜌𝐿=

𝜋ℎ𝑊𝐷2

4,

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(17)

Flujo de líquido

𝐿(𝑛) = 𝑓(𝑀𝐿(𝑛), 𝑉(𝑛)),

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (18)

Flujo de vapor

𝑉(𝑛) = 𝑓(∆𝑃(𝑛)),

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}, (19)

Tanto el flujo molar de líquido como el flujo

molar de vapor se calculan a partir de una serie de

relaciones hidráulicas que dependen de las acumulaciones

de materia en cada etapa y de la caída de presión (Ver

apéndice A).

El conjunto de ecuaciones anteriores conforman

un modelo DAE de índice 1. Finalmente, el modelo cuenta

con dos grados de libertad (p.e. la carga térmica del

rehervidor y relación de reflujo) que en este caso serán las

variables de control.

2.2 Modelo algebro diferencial simplificado (DAE2)

El modelo simplificado se basa en las

suposiciones de acumulación despreciable de vapor y

presión constante en cada uno de los platos, el detalle de

las ecuaciones que hacen parte de la formulación del

modelo DAE de índice 2 se encuentra en el anexo B.

Este modelo se considera DAE de índice 2 debido

a que el flujo de vapor no tiene una representación

algebraica en cada una de las etapas. Sin embargo, el

número de ecuaciones y de variables disminuye

dependiendo de la dimensión del problema, de forma

general se reduce en 𝑛𝑒𝑡(3 + 𝑛𝑐) ecuaciones, haciendo

que el problema sea más fácil de resolver en términos

computacionales. Los grados de libertad son dos al igual

que en el modelo anterior.

2.3 Técnica de reducción de índice y modelo algebro

diferencial simplificado (DAE2r – Método 1)

Este modelo se obtiene a partir de la técnica de

derivación y sustitución. Se convierte los balances de

energía diferenciales de cada etapa en balances de energía

algebraicos que toman la siguiente forma:

𝑀𝐿(𝑛)𝑑𝐻𝐿(𝑛)

𝑑𝑡+

𝑑𝑀𝐿(𝑛)

𝑑𝑡𝐻𝐿(𝑛)

= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1)

− 𝐿(𝑛) (1 +1


∀ 𝑛 = 1

(20)


𝑑𝑡+

𝑑𝑀𝐿(𝑛)


= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛)

+ 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1)

+ 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1)

− 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),

∀ 𝑛 = {2, … , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(21)


𝑑𝑡+

𝑑𝑀𝐿(𝑛)


= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1)

− 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),


(22)

La expresión 𝑑𝑀𝐿(𝑛)

𝑑𝑡 se conoce por el balance de

masa total para cada etapa y la expresión 𝑑𝐻𝐿(𝑛)

𝑑𝑡 se puede

calcular de forma analítica utilizando la relación de

entalpía de líquido (esto se explica en más detalle en el

apéndice C). Al sustituir el balance diferencial de energía

por su equivalente algebraico se obtiene una expresión para

la variación del flujo de vapor en el tiempo para cada una

de las etapas, lo que reduce el índice del sistema a 1.

2.4 Técnica de reducción de índice y modelo algebro

diferencial simplificado (DAE2r – Método 2)

Este último modelo se obtiene a partir de la misma

técnica de derivación y sustitución, esta vez por medio de

la conversión de los balances de masa parcial diferenciales

de cada etapa en balances de masa parcial algebraicos.

Dicha sustitución se realiza con la finalidad de buscar

7

resultados similares que reduzcan el tiempo computacional

en la respuesta del problema.

Teniendo en cuenta que la sumatoria de las

fracciones molares líquidas en cada una de las etapas es

igual a uno, sí y solo sí, el flujo de vapor y líquido es mayor

que cero, se puede realizar el siguiente procedimiento:

∑ 𝑥(𝑛, 𝑖)


= 1, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (23)

Entonces la derivada de la ecuación anterior se

puede definir como:

∑ 𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)/𝑑𝑡


= 0, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (24)

La derivada en la ecuación 24 será reemplazada

por las ecuaciones de balance de masa parcial, obteniendo

como resultado ecuaciones de balance de masa parcial

algebraicas. La formulación del modelo DAE de índice 1

por medio de la reducción aplicada en el método dos se

encuentran en el anexo D. La anterior reducción se basa en

la teoría empleada para el sistema de separación flash en la

referencia [28].

3. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

La transformación utiliza colocación ortogonal en

elementos finitos con paso fijo (0,5 h) utilizando 10

elementos finitos con 3 puntos de colocación tipo Radau.

La principal razón por la que se seleccionó este tipo de

discretización es la de comparar los resultados con el

trabajo presentado previamente [24]. Adicionalmente, este

tipo de colocación es ampliamente usada en la solución de

problemas DAE de índice 2 por su capacidad para

estabilizar problemas de índice superior [30] además es un

método que presenta estabilidad tipo L, es decir, a medida

que el paso de integración tiende a cero la región de

estabilidad tiende a infinito. La metodología para el

procedimiento de este tipo de discretización se puede

encontrar con claridad en la referencia [28].

4. PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN (OCP)

De forma general la formulación de una columna

de destilación en estado dinámico se describe con variables

diferenciales y algebraicas [28]:

min 𝐽(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) (25.a)

Sujeto a:

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) = 0, (25.b)

𝑦(𝑡0) = 𝑦0

ℎ(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) = 0 (25.c)

𝑔(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) ≤ 0 (25.d)

Dónde:

y son las variables diferenciales (p.e. 𝑥(𝑖), 𝑀𝐿 , 𝑈)

z las variables algebraicas (p.e. 𝑦(𝑖), 𝑉, 𝐿)

u son las variables de control (p.e. 𝑄𝑅).

El problema de control óptimo de una columna de

destilación consiste en minimizar el error cuadrático de la

variable de control (𝑥(1, 𝑖)) y las variables manipuladas

𝑄𝑅 𝑦 𝑅 respecto a un punto que determina la pureza del

destilado y unos puntos de operación de referencia,

mientras se maximiza una función de rendimiento

económico (𝑁𝑃𝑡).

min ∫ [𝛼1(𝑥1,𝐴 − 𝑥1,𝐴𝑉𝑂)

2+ 𝛼2(𝑄𝑅 − 𝑄𝑅

𝑉𝑅)2𝑡𝑓

0

+ 𝛼3(𝑅 − 𝑅𝑉𝑅)2 − 𝑁𝑃𝑡] 𝑑𝑡

(26)

Dónde:

El primer término corresponde a la desviación de la

pureza del producto en el destilado respecto a su valor

de operación normal (Identificado por las letras 𝑉𝑂).

El segundo término corresponde a la desviación de la

carga térmica con respecto a un valor de referencia

calculado también por la optimización (Identificado

por las letras 𝑉𝑅).

El tercero término corresponde a la desviación en la

relación de reflujo con respecto a un valor de

referencia calculado también por la optimización

(Identificado por las letras 𝑉𝑅).

La función de rendimiento económico está descrita por

la ecuación: −𝑁𝑃𝑡 = 𝐶𝑄𝑄𝑅 − 𝐶𝐷𝐷 que equivale a los

costos de la carga térmica del rehervidor y las

ganancias por la producción de destilado.

Para los casos generales 𝛼1 tiene un valor de 10000,

𝛼2 el valor de 500 y 𝛼3 el valor de 100. (Valores

obtenidos de la referencia [24])

Es importante anotar que la restricción de pureza,

en el producto (etanol en el destilado) debe ser superior al

99.5% molar en todo momento de la operación (Ecuación

27) y la temperatura máxima de operación, para prevenir la

descomposición de las sustancias involucradas en el

sistemas, (Ecuación 28) son consideradas dentro de las

restricciones de desigualdad de los OCP.

Pureza de producto:

𝑥(1, 𝑖) ≥ 𝑥𝑚𝑖𝑛(𝑖) ∀𝑡𝜖[0, 𝑡𝑓] (27)

8

Temperatura máxima de operación:

𝑇(𝑛) ≤ 𝑇𝑚𝑎𝑥 , 𝑡𝜖[0, 𝑡𝑓], ∀𝑛 ∈ {1 . . . 𝑛𝑒𝑡} (28)

Cada uno de los problemas de optimización están

compuestos por los modelos de la columna de destilación

expuestos en las secciones anteriores, que tiene como base

las ecuaciones correspondientes a los balances de masa y

energía obtenidos a partir del modelo MESH planteado.

5. CASO DE ESTUDIO

El caso de estudio es la deshidratación de etanol

por destilación extractiva. Para este caso las propiedades

físicas del sistema se calcularon usando los parámetros de

Aspen properties®.

Las condiciones de operación de la columna de

destilación son las mismas reportadas en los trabajos

previos por, Ramos y Gómez [3] y se listan en la tabla 2.

(La numeración de las etapas de separación y las entradas

de las alimentaciones está de acuerdo con la figura 1)

Tabla 2 Condiciones de operación para la columna de destilación en el

caso de estudio agua-etanol-glicerina

Parámetro Valor

Tiempo de operación (h) 5

Presión de operación condensador (bar) 1

Número de etapas de equilibrio (𝑛𝑒𝑡) 19

Flujo de alimentación mezcla azeotrópica

(kmol/h) 100

Temperatura de alimentación mezcla

azeotrópica (K) 351,05

Etapa de alimentación de la mezcla

azeotrópica 12

Porcentaje molar alimentación azeotrópica

Agua 20%

Etanol 80%

Glicerina 0%

Flujo de alimentación glicerina (kmol/h) 35

Temperatura de alimentación glicerina (K) 305

Etapa de alimentación glicerina 3

Porcentaje molar alimentación azeotrópica

Agua 0%

Etanol 0%

Glicerina 100%

Diámetro de la columna (m) 0,7960

Longitud de la bajante (m) 0,5780

Altura del divisor (m) 0,0254

Área transversal de la columna (m2) 0,4976

Área activa de la etapa (m2) 0,3981

Área agujerada de la etapa (m2) 0,0498

Diámetro de agujeros (m) 0,0127

Espesor del plato (m) 0,0020

Pitch entre los agujeros (m) 0,0597

Pureza molar de etanol en el destilado 99,5%

Temperatura de descomposición glicerina

(K) 555

𝛼1 Ponderación fracción de etanol 1E+4

𝛼2 Ponderación carga térmica 500

𝛼3 Ponderación relación de reflujo 100

Costo de la carga térmica del rehervidor

(𝐶𝑄) ($/MJ) 1E-3

Costo del destilado (𝐶𝐷) ($/kmol) 30

Para todos los casos presentados en este trabajo,

se evaluaron las respuestas a partir de tres valores para la

inicialización de las variables de control.

Las condiciones iniciales de los problemas de

optimización son ecuaciones de estado estable del modelo.

De esta forma, además de garantizar el control optimo del

sistema, se asegura el mejor estado estable de operación y

la consistencia de todas las variables en el tiempo inicial.

En general, para problemas DAE de índice (>1) se pueden

determinar condiciones iniciales consistentes con la

solución del problema en estado estable [12].

6. FUNCIONES DE PERTURBACIÓN EN EL

SISTEMA

En los trabajos anteriores presentados por Ramos

et al [3] y Lozano et al.[24], se utiliza la perturbación en la

composición de la alimentación de tipo sinusoidal, la cual

es considerada como una condición de cambio fuerte en la

operación y es útil para analizar el problema de control

óptimo. Sin embargo, se ha visto que los comportamientos

reales de sistemas como torres de destilación pueden

presentar diferentes tipos de perturbaciones, siendo la

perturbación de tipo escalón la más drástica por presentar

discontinuidad en los datos. En este trabajo además de

evaluar las respuestas de los OCP para las funciones de

perturbación de tipo sinusoidal, se consideran tres tipos de

funciones que permiten evaluar las respuestas frente a otros

casos. Todas las funciones de perturbación inician con un

comportamiento en estado estable para la composición del

alimento [32], [33].

El estudio de las respuestas de control óptimo

frente a diferentes tipos de perturbaciones es importante

para futuros estudios en los que se aplican estrategias de

control predictivo basado en modelos (MPC), siendo una

forma a priori de comprobar la estabilidad y

controlabilidad del sistema. El diseño de señales adecuadas

9

es un primer e importante paso para la obtención de

resultados en las estrategias MPC. Con frecuencia en los

experimentos de identificación para sistemas MIMO (Por

sus siglas en inglés: multi-input, multioutput) es usada la

perturbación de tipo escalón o de tipo impulso [34].

La primera función de perturbación es

considerada como un escalón continuo o escalón tangente,

y es la situación en la que la composición del alimento hace

un cambio continuo en un rango de dos horas. El cambio

se evaluó en dos casos: en cambios crecientes y

decrecientes (Caso 1 y 2 respectivamente). La función

utilizada para estos dos primeros casos es la función

Gomperzt con una modificación (Figura 2) que

corresponde a la adición de un parámetro ( 𝑑 en la ecuación

(29)). La ecuación que describe la función se muestra a

continuación:

𝑦(𝑡) = 𝑑 + 𝑎𝑒𝑏𝑒𝑐𝑡 (29)

En la ecuación anterior, el parámetro 𝑎 indica la

asíntota del valor que toma la función después de realizar

el cambio, es decir, para el caso 1 el valor de 80 en la

composición y de 75 para el caso 2. El valor de 𝑏 indica el

tiempo en el que se inicia el cambio, y el valor de 𝑐 el rango

de tiempo en el que se realiza el cambio. Debido a que la

función de Gompertz está diseñada para que en un tiempo

cero el valor de la función sea igual a cero, se adiciono el

parámetro 𝑑, que indica el valor inicial de la composición

del alimento.

Los parámetros usados en la ecuación de

perturbación (Ecuación 29) correspondientes a los casos 1

y 2 se presentan a continuación:

Tabla 3 Parámetros para las funciones de perturbación casos 1 y 2

CASO 1 CASO 2

a 5 -5

b -10 -10

c -4 -4

d 75 80

Figura 2 Perturbaciones casos 1 y 2 en la composición de la

alimentación azeotrópica para la columna de destilación en el caso de

estudio del sistema agua-etanol-glicerina

La segunda función representa dos escalones

tangente y es la unión en el tiempo de los casos 1 y 2, es

decir, en el periodo de 5 horas de operación la composición

hace un cambio creciente y posteriormente decreciente

(Figura 3).

Figura 3 Perturbación caso 3 en la composición de la alimentación

azeotrópica para la columna de destilación en el caso de estudio del

sistema agua-etanol-glicerina

Los casos 4 y 5 son perturbaciones de escalón de

tipo creciente y decreciente respectivamente (Figura 4),

estos últimos permiten evaluar las respuestas frente a

perturbaciones que no son continuas, una de las

condiciones más extremas en la operación que permite

evaluar de forma rigurosa los OCP planteados.

10

Figura 4 Perturbaciones casos 4 y 5 en la composición de la

alimentación azeotrópica para la columna de destilación en el caso de

estudio del sistema agua-etanol-glicerina

Como último caso (Caso 6), se considera la

evaluación de los dos métodos de reducción frente a una

función de perturbación de tipo sinusoidal, con la finalidad

de comparar los tiempos computacionales.

Figura 5. Perturbación en la composición de la alimentación azeotrópica

para la columna de destilación en el caso de estudio del sistema agua-etanol-glicerina

7. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Los problemas fueron modelados y solucionados

en GAMS versión 24.2.3, por medio de un procesador

Intel® Core™ i5-2500S CPU @ 2.70GHz y memoria

RAM de 8,00 GB. Usando un método basado en Gradiente

Reducido Generalizado (GRG) (algoritmo CONOPT)

como algoritmo de solución para problemas NLP.

La primera fase del proyecto contempló la

valoración del primer método de reducción de índice. De

acuerdo a lo anterior, los numerales 7.1 y 7.2, muestran los

resultados para los casos de perturbación 3 y 4 en

representación de las respuestas obtenidas para los seis

casos de perturbación cuando se comparan las

formulaciones DAE1, DAE2 y DAE2r-Método1. En la

segunda fase, se estudia el segundo método de reducción

de índice, es decir, en el numeral 7.3 muestran los

resultados para los problemas planteados a partir de los

modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-Método 2, para el caso 6,

teniendo en cuenta que este tipo de perturbación

corresponde a condiciones representativas de operación y

es útil para analizar el problema de control óptimo así como

los resultados obtenidos en los otros casos. En la sección

7.4, se comparan los resultados de los problemas de control

óptimo para las cuatro formulaciones. Una vez valorado el

segundo método de reducción, se evalúa el impacto en el

cambio de los valores 𝛼 en la función objetivo en el

numeral 7.5 comparando para el caso de perturbación

número 6 de los problemas DAE1, DAE2 y DAE2r-

método2. Los resultados adicionales obtenidos se muestra

en el anexo E. Adicionalmente, se calcula el error promedio

de las variables entre las respuestas de DAE1 y DAE2r para

cada uno de los métodos de reducción de acuerdo al cálculo

de error utilizado en la referencia [24] con la finalidad de

poder comparar con los resultados obtenidos.

7.1 Resultados para la perturbación caso 3, comparación

de problemas de optimización DAE1, DAE2 y DAE2r-

Método 1

El caso 3 representa significativamente las

respuestas encontradas para los casos 1 y 2 (Anexo E) y

muestra en los resultados consistencia respecto a los

mismos. Cabe resaltar que en los tres primeros casos se ha

encontrado que la variable correspondiente a la carga

térmica del rehervidor permanece constante por lo que se

indica que el sistema podría ser controlado únicamente con

la relación de reflujo. Las figuras a continuación muestran

los perfiles obtenidos.

Figura 6 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 3, modelos DAE1,

DAE2 y DAE2r-método1

11

Figura 7 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 3, modelos

DAE1, DAE2 y DAE2r-método1

Para los tres primeros casos de perturbación al

comparar los resultados, se encuentra que cumplen con la

restricción de pureza del producto a lo largo de todo el

tiempo de estudio.

Figura 8 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 3,

modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1

Al realizar la comparación de los resultados

obtenidos en los tiempos de uso computacional y el valor

de la función objetivo obtenida (Tabla 4), se halló que al

complejizar la perturbación en el sistema el tiempo usado

por el modelo DAE2r-método1 es significativamente

mayor al tiempo gastado por el modelo DAE2 y el DAE1

y que para sistemas que requieran bajos tiempos de

respuesta se puede usar el modelo DAE1 obtenido por una

descripción hidráulica de la columna más detallada.

De igual forma al calcular los errores promedio, se

encuentra que no existe una diferencia significativa entre

los modelos simplificados (DAE2r-método1 y DAE1),

encontrándose que el error promedio máximo es de 0,11%.

Sin embargo, por la complejidad de la perturbación

aumentan los valores de los errores en algunas variables.

Tabla 4 Comparación de tiempo computacional y valor de la función

objetivo para cada uno de los modelos en el caso 3.

Modelo

Tiempo

computacional

(min)

Valor de la

Función

Objetivo

DAE1 6,2 -11426,726

DAE2 11,6 -11465,757

DAE2r- método1 8116,6 -11465,757

Se halló una solución óptima en los tres modelos,

adicionalmente, se muestra gráficamente que

independiente del modelo la respuesta es la misma desde el

punto de vista práctico.

7.2 Resultados para las perturbaciones de los casos 4 y 5,

comparación de problemas de optimización DAE1, DAE2

y DAE2r-Método1

Los casos 4 y 5 representan a una de las

perturbaciones más difíciles para el sistema. Sin embargo,

las respuestas obtenidas en los dos casos son similares y

comparables con los casos anteriores. A continuación se

presentan los resultados para el caso 4, el caso 5 muestra

los mismos perfiles de forma invertida por el tipo de

escalón de la perturbación.

Figura 9 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 4, modelos DAE1,

DAE2 y DAE2r-método1

12

Figura 10 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 4,




Los resultados en los dos casos presentan un

comportamiento constante en el perfil de la carga térmica

del rehervidor.

Figura 12 Perfil óptimo para la composición de etanol en el destilado,

caso 4, modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1

Para los dos casos el tiempo computacional de los

modelos DAE2r-método1 superan una hora y media de

trabajo, equivalentes a casi 1300% del tiempo

computacional utilizado en para la solución de los modelos

DAE2 y DAE1

Tabla 5 Comparación de tiempo computacional y valor de la función

objetivo para cada uno de los modelos en el caso 3.

Modelo

Tiempo

computacional

(min)

Valor de la

Función

Objetivo

DAE 1 7,634 -11561,478

DAE 2 6,071 -11601,351

DAE 2r-método1 78,5 -11601,356

Es importante resaltar que para hallar las

soluciones en todos los casos para los modelos DAE2r-

método1 (índice 1 obtenidos por método 1 de reducción) se

requirió de un procedimiento adicional, el cual complejiza

la metodología y aumenta el tiempo computacional. El

procedimiento consiste en ejecutar el modelo inicialmente

activando restricciones diferenciales de balance de energía

dinámico para el rehervidor, el condensador y la columna,

es decir, las restricciones utilizadas en los modelos DAE de

índice 2. Al resolver el modelo, los valores obtenidos en la

solución son usados como inicialización del siguiente

problema, el cual activa las restricciones algebraicas de los

balances de energía dinámicos para las mismas partes de la

columna. Según lo anterior, si se desea resolver el modelo

DAE2r-método1 de forma directa como se realizó con los

modelos DAE2 y DAE1 no es posible garantizar que el

solver encuentre un punto factible o mejor aún una solución

óptima. Este procedimiento no siempre debe ser utilizado

en los modelos reducidos, se implementa en este modelo

específicamente debido a complejidad matemática que trae

consigo las relaciones termodinámicas incluidas en la

reducción del índice. En conclusión, se requiere una

inicialización muy cercana al punto óptimo para lograr la

convergencia del problema.

Finalmente, al comparar las respuestas obtenidas

de la carga térmica del rehervidor en los cinco casos

presentados, se encuentra que estas permanecen constantes

en el tiempo pero que su valor varía con cada una de las

perturbaciones generadas. De acuerdo a lo anterior, no es

conveniente afirmar que esta variable pueda ser excluida

de las variables de control del sistema dado que el

algoritmo de optimización también determina el mejor

estado de referencia para la carga térmica en la operación.

13

7.3 Resultados para la perturbación del caso 6,


y DAE2r-método2

A continuación se muestran las gráficas con los

resultados obtenidos, en donde el error promedio en las

variables de todas las etapas y las funciones objetivo, para

una perturbación sinusoidal en el flujo de alimentación no

supera el 0,7% al comparar los modelos DAE2 y DAE2r-

método 2.

Figura 13 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 6, modelos






Al comparar los resultados del perfil óptimo para

la carga termina del rehervidos se demuestra que al igual

que los modelos anteriores, el modelo DAE2r con la

segunda metodología mantiene el valor contante a lo largo

del tiempo, realizando el control con la variable de relación

de reflujo. El modelo DAE2r-método2 mantiene la

restricción de pureza a lo largo del tiempo de estudio.

Al realizar la reformulación descrita en el segundo

método, el modelo se simplifica y es más fácil de

implementar puesto que es independiente de las relaciones

termodinámicas. Finalmente, los tres modelos muestran

tener funciones objetivos desde un punto de vista práctico

similares.

7.4 Comparación de problemas de optimización DAE1,

DAE2, DAE2r-Método1 y DAE2r-Método2

A continuación se muestran tres tablas que

resumen la comparación de los resultados obtenidos para

los problemas de control óptimo a partir de modelos

diferentes.

Tabla 6 Máximo error promedio en las variables de todas las etapas, con respecto al modelo DAE1

DAE2 [%] DAE2r-

método1 [%]

DAE2r-

método 2

[%]

Caso 1 0,112 0,126 0,125

Caso 2 0,107 0,123 0,122

Caso 3 0,125 0,110 0,110

Caso 4 0,135 0,111 0,110

Caso 5 0,123 0,123 0,123

Caso 6 0,122 0,818 0,125

14

La tabla 6 muestra el máximo porcentaje de error

promedio de todas las etapas de la columna de destilación

para cada uno de los casos de perturbación de los OCP

DAE2, DAE2r-método1 y DAE2r-método2 comparados

con los resultados usando el modelo DAE1, los cuales son

similares desde el punto de vista práctico.

Tabla 7 Tiempo computacional utilizado para la solución de los

problemas, [=] min.

DAE1 DAE2 DAE2r-

método1

DAE2r-

método 2

Caso 1 0,049 0,148 28,600 0,361

Caso 2 0,527 11,276 28,670 0,034

Caso 3 6,199 11,593 8116,599 240,545

Caso 4 7,634 6,071 78,512 30,246

Caso 5 12,033 5,850 82,360 5,324

Caso 6 0,240 0,285 31,410 2,109

La tabla 7 muestra la diferencia de los tiempos

computacionales utilizados por cada uno de los problemas.

Se evidencia que el mayor tiempo gastado para cada uno

de los casos presentados es para el problema DAE2r-

método1 que se atribuye a las relaciones termodinámicas

incluidas al realizar la reformulación del modelo. Cabe

resaltar en para todos los problemas los mayores tiempos

se presentaron para los casos 3, 4 y 5.

Tabla 8 Valor de la función objetivo

DAE1 DAE2 DAE2r-

método1

DAE2r-

método 2

Caso 1 -11596,199 -11636,252 -11636,253 -11636,252

Caso 2 -11129,007 -11166,187 -11166,187 -11166,187

Caso 3 -11426,726 -11465,757 -11465,758 -13554,546

Caso 4 -11561,478 -11601,351 -11601,356 -13650,689

Caso 5 -11168,007 -11205,457 -11205,460 -13758,697

Caso 6 -11642,418 -11681,911 -11681,915 -11681,911

Al comparar el valor de la función objetivo se

encuentra que para las funciones con cambios abruptos en

el tiempo aumenta la diferencia respecto a las encontradas

en el problema DAE1. Adicionalmente, el segundo método

muestra valores alejados para los casos 3, 4 y 5 y aunque

dichos valores son mejores que el de los otros casos la

solución del problema toma un tiempo significativamente

mayor al compáralo con los casos 1, 2 y 6.

7.5 Resultados para la perturbación del caso 6,


y DAE2r-método2, modificando los valores de alfa (𝜶) en

la función objetivo

Esta última comparación se realiza con la

finalidad de evaluar la sensibilidad los resultados cuando

los pesos en la función objetivo son modificados. Dicha

evaluación se hace importante al momento de aplicar las

formulaciones en modelos de control predictivo.

Los modelos anteriores tienen por valores en los

pesos de la función objetivo: 𝛼1 1000, 𝛼2 500 y 𝛼3 100 se

presentaron los siguientes errores promedio:

Relación de reflujo:0,0294

Flujo molar de líquido:0,2014

Flujo molar de vapor:4,9255

La finalidad de realizar el cambio en los pesos es

evaluar el ajuste de las variables entre los modelos. Al

modificar los valores a 𝛼1 =200 y 𝛼2 = 100 se obtiene los

siguientes resultados:


Flujo molar de líquido:0,1947

Flujo molar de vapor:0,1496

Las gráficas a continuación demuestran los

perfiles obtenidos.


DAE1, DAE2 y DAE2r-método2. 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 200, 𝛼3 = 100


modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método2, 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 200,

𝛼3 = 100

15

Finalmente, si los pesos se igualan: 𝛼1 =100 y 𝛼2

= 100, se obtienen los siguientes errores promedio:


Flujos de líquido:0,1863

Flujos de vapor:0,1327

Las gráficas mostradas anteriormente y los errores

promedio demuestran que el cambio en los pesos en la

función objetivo pueden dar como solución valores de

variables que se ajustan más entre los modelos.


DAE1, DAE2 y DAE2r-método2. 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 100, 𝛼3 = 100

Para todos los casos presentados en este ítem, se

obtuvo perfiles similares a los expuestos anteriormente, es

decir, a pesar que se modificó el valor del alfa para la

desviación de la carga térmica esta se mantuvo constante a

lo largo del tiempo.


modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método2, 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 100,

𝛼3 = 100

Para todos los casos del método 2 de reducción de

índice los tiempos computacionales se mantuvieron entre 4

y 6 minutos. De acuerdo a lo anterior y a las respuestas

encontradas, la formulación presentada puede ser la más

apta para los problemas de control óptimo.

8. CONCLUSIONES

Se solucionaron exitosamente los modelos

propuestos para la columna de destilación bajo los

diferentes tipos de perturbaciones.

La solución óptima obtenida para la columna de

destilación muestra que en todos los casos se cumple con

los requerimientos de pureza del producto final y de

acuerdo a la respuesta, el sistema se controla únicamente

con la relación de reflujo. Se debe evaluar el caso en el que

las condiciones iniciales de estado estable son fijas para

que el comportamiento de las variables de control bajo

diferentes perturbaciones sea comparable.

Para los seis casos de perturbación, los cuatro

modelos presentan comportamientos adecuados que

corresponden al desempeño físico del proceso, y las

diferencias más significativas se presentan en la

acumulación de masa del modelo DAE1 con respecto a los

modelos reformulados para la reducción de índice.

Mientras que en los modelos simplificados (DAE2,

DAE2r-método1 y DAE2r-método2) no existe una

diferencia significativa.

En todos los casos se demuestra que el modelo

DAE2r-metodo1 presenta mayor complejidad y dificultad

al momento de resolverse lo que incide directamente en el

tiempo computacional usado por el mismo.

Adicionalmente, que el modelo DAE2r-método2 reduce el

tiempo utilizado obteniendo valores en las variables y

función objetivo similares a los otros modelos.

Se puede garantizar que ante diferentes

comportamientos en la composición del alimento, la

condición inicial de estado estable es consistente y

garantiza la obtención de valores adecuados en las

variables del proceso para el caso de estudio evaluado en

este trabajo.

A pesar que para el caso de modelo OCP (Optimal

control problem) presentado se puede garantizar resultados

óptimos y continuos para los modelos DAE de índice

superior (>1), no es posible establecer que dichos modelos

pueden ser utilizados para formulaciones de tipo MPC o

NMPC.

16

Debido a que se ha demostrado que para modelos

NMPC los modelos DAE2 no cumplen con la continuidad

de los valores en las respuestas, la formulación del modelo

DAE2r-método2 muestra ser una opción al momento de

implementar la formulación en este tipo de modelos

(NMPC). Considerando que los resultados muestran

continuidad en el tiempo y bajos tiempos computacionales,

los cuales se deben a la simplicidad del modelo y la

independencia de las relaciones termodinámicas.

Al modificar los valores de alfa se demuestra que

los resultados de los modelos pueden modificar su

precisión. Debido a que dichos valores son importante al

momento de implementar problemas de control predictivo,

se recomienda realizar un estudio para establecer una

metodología de determinación óptima de dichos valores.

Se recomienda realizar modificaciones en la

estructura de la programación (Inicializaciones,

acondicionadores, evaluación de solvers entre otras).

I. NOMENCLATURA

Índices

0 Condición inicial

𝑓 Condición final

𝐹 Propiedad en la corriente de alimentación

𝑖 Elemento del conjunto de componentes

𝐶𝑜𝑚𝑝 = {𝐻2𝑂, 𝐸𝑡𝑂𝐻, 𝐺𝑙𝑦} = {1, … , 𝑛𝑐}

𝑗 Elemento finito

𝑘 Punto de colocación de Radau

𝑛 Etapa de la columna de destilación que

pertenece al conjunto 𝑁𝐸𝑇 = {1,2, … , 𝑛𝑒𝑡}

𝐿 Propiedad en la corriente de líquido

𝑉 Propiedad en la corriente de vapor

Símbolos

𝐴0 Área agujerada del plato (m2)

𝐴𝐶 Área transversal de la columna (m2)

𝐴𝑇 Área activa de la etapa (m2)

𝐶𝐷 Costo de destilado ($/kmol)

𝐶𝑄 Costo de la carga térmica ($/MJ)

𝐶𝑇 Volumen total del equipo, separador (m3)

𝑑𝑎 Diámetro de agujero de los platos (m)

𝐷 Diámetro de la columna (m)

𝐹 Flujo molar de alimentación (kmol/h)

G Gravedad (9.81 m/s2)

ℎ Longitud del elemento finito (-)

ℎ𝑊 Altura del divisor (m)

𝐻 Entalpía específica (MJ/kmol)

𝐾𝑖 Constante de equilibrio de fases (-)

𝑙 Polinomio de Lagrange (-)

𝐿 Flujo molar de líquido (kmol/h)

𝐿𝑊 Longitud de la bajante (downcomer) (m)

𝑀 Acumulación de masa total (kmol)

𝑀𝐿 Acumulación de masa de líquido (kmol)

𝑀𝑉 Acumulación de masa de vapor (kmol)

𝑁𝐶 Número de componentes (-)

𝑝 Pitch entre agujeros del plato (m)

𝑃 Presión (bar)

𝑄 Carga térmica (MJ/h)

𝑄𝐶 Carga del condensador (MJ/h)

𝑄𝑅 Carga del rehervidor (MJ/h)

𝑄𝑚𝑎𝑥 Cambio máximo de la carga térmica entre

cada instante de tiempo (MJ/h)

𝑅 Relación molar de reflujo (-)

𝑡 Tiempo (h)

𝑇 Temperatura (K)

𝑇𝑚𝑎𝑥 Temperatura máxima de operación (K)

𝑢 Vector de variables de control (-)

𝑈 Energía interna (MJ)

𝑉 Flujo molar de vapor (kmol/h)

𝑉𝑂 Valor de operación

𝑉𝑅 Valor de referencia

𝑥𝑚𝑖𝑛(𝑖) Pureza mínima del componente 𝑖 en el

destilado (%)

𝑥(𝑛, 𝑖) Fracción molar corriente líquido (%)

𝑦 Vector de variables diferenciales (-)

𝑦𝑚𝑖𝑛(𝑖) Fracción molar mínima del componente 𝑖

en vapor (%)

𝑦(𝑛, 𝑖) Fracción molar corriente vapor (%)

𝑧 Vector de variables algebraicas (-)

𝑧(𝑖) Fracción molar corriente alimentación (%)

Símbolos griego

𝛾𝑖 Coeficiente de actividad (-)

Δ Cambio respecto a la salida (-)

Δ𝑃𝑛 Caída de presión de la etapa n (bar)

𝜀 Espesor del plato (m)

𝜆 Multiplicador (-)

𝜌 Densidad (kmol/m3)

𝜏 Representación del tiempo en colocación

ortogonal (-)

17

Glosario

BDF: Backward Differentiation Formula, Método numérico implícito utilizado para la integración numérica de

ecuaciones diferenciales ordinarias.

CONOPT: Solver utilizado para la solución de problemas de optimización no lineales de gran escala, basado en el

método GRG

DAE: Sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales utilizado para la descripción de modelos dinámicos.

GAMS: The General Algebraic Modeling System, lenguaje de alto nivel (Problemas de gran tamaño, alta velocidad y

eficiencia) de modelamiento matemático.

GRG: Gradiente Reducido Generalizado, Método de solución de problemas restringidos no lineales de

optimización.

MPC: Estrategia de control predictivo basado en modelos lineales de optimización. Usa para su solución las

respuestas sucesivas de los problemas de control óptimo.

NMPC: Estrategia de control predictivo basado en modelos no lineales de optimización. Usa para su solución las

respuestas sucesivas de los problemas de control óptimo.

ODE: Ordinary Differential Equations, Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

OCP: Optimal Control Problem, Problemas de control óptimo basados en modelos dinámicos.

SQP: Sequential Quadratic Programming, Método iterativo para la solución de problemas de optimización no

lineales y restringidos.

Agradecimientos

A la Universidad de los Andes y especialmente al departamento de Ingeniería Química.

A Dios y mi familia por el apoyo incondicional.

Al Doctor Jorge Mario Gómez, mi asesor y director de este trabajo, por su entrega a mi tesis y por enseñarme a ser una buena

investigadora mediante su ejemplo.

De manera muy especial al Doctor Lorenz T. Biegler por su apoyo incondicional en el conocimiento matemático en la

investigación de modelos dinámicos.

Con cariño al Doctor Ignacio Grossmann por su dirección durante mi pasantía, enseñanza y dedicación para mi aprendizaje no

solo los diferentes temas de la optimización, sino en mi crecimiento como investigadora y persona.

18

Anexo A: Relaciones hidráulicas utilizadas para el cálculo de los flujos de líquido y vapor en la columna

de destilación.

Las relaciones hidráulicas utilizadas para determinar los flujos de líquido y de vapor de cada etapa de la columna

de destilación parten de correlaciones y relaciones empíricas, por ello se indican las unidades de las variables

en corchetes cuadrados ([]). Las relaciones presentadas fueron tomadas de las referencias [35], [36].

Factor de flujo

𝐹𝑃(𝑛) =𝐿𝑛 𝜌𝐿⁄

𝑉𝑛 𝜌𝑉⁄(

𝜌𝐿[𝑘𝑔/𝑚3]

𝜌𝑉[𝑘𝑔/𝑚3])

1/2

, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.1)

Acumulación de líquido (Ecuación algebraica para el flujo de líquido)

𝑀𝐿(𝑛) = 0.6𝜌𝐿(𝐴𝑇)(ℎ𝑊0.5) (

𝐹𝑃(𝑛)𝐴𝑇𝑝

𝐿𝑊

)

0.25

, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.2)

Acumulación de vapor

𝑀𝑉(𝑛)

𝜌𝑉

+𝑀𝐿(𝑛)

𝜌𝐿

=𝜋ℎ𝑊𝐷2

4, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.3)

Factor de aireación

𝑓𝑎(𝑛) = 0.981 exp (−0.411 (𝑉𝑛

𝜌𝑉

[𝑚3 𝑠⁄ ]) (𝜌𝑉[𝑘𝑔 𝑚3])0.5 (1

𝐴𝑇

)⁄ ), ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.4)

Altura de líquido por encima del divisor

ℎ𝐷(𝑛) = 0.6 ((𝐿𝑛

𝜌𝐿

[𝑚3 𝑠⁄ ]) (1

𝐿𝑊

) )

2/3

, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.5)

Caída de presión por la presencia de líquido

∆𝑃𝐿(𝑛)[𝑏𝑎𝑟] =𝑔𝑓𝑎(𝑛)(𝜌𝐿[𝑘𝑔 𝑚3⁄ ])(ℎ𝐷(𝑛) + ℎ𝑊)

1x105, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.6)

Coeficiente de orificio

𝐾0 = (1x10−3) (880.6 − 67.7𝑑𝑎

𝜀+ 7.32 (

𝑑𝑎

𝜀)

2

− 0.338 (𝑑𝑎

𝜀)

3

) (A.7)

Porosidad del plato

𝑝𝑜 =𝐴0

𝐴𝑇

(A.8)

Caída de presión por plato seco

∆𝑃𝑆(𝑛)[𝑏𝑎𝑟] =1x10−5

2𝐾02 (

1

𝐴0

𝑉(𝑛)

𝜌𝑣[𝑚3 𝑠]⁄ )

2(𝜌𝑉[𝑘𝑔 𝑚3]⁄ )(1 − 𝑝𝑜

2), ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.9)

Caída de presión total (Ecuación algebraica para el flujo de vapor)

∆𝑃(𝑛) = ∆𝑃𝑆(𝑛) + ∆𝑃𝐿(𝑛), ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.10)

19

Anexo B: Modelo algebro diferencial DAE de índice 2.

Balances de materia total

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +

1

𝑅) = 0, ∀ 𝑛 = 1 (B.1)

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐹(𝑛) + 𝐿(𝑛 − 1) + 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛), ∀ 𝑛 ∈ {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (B.2)

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐿(𝑛 − 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛) = 0, ∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡 (B.3)



𝑑𝑡= 𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛, 𝑖) (1 +

1

𝑅), ∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 1 (B.4)


𝑑𝑡= 𝐹(𝑛)(𝑧(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) + 𝐿(𝑛 − 1)(𝑥(𝑛 − 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖))

+ 𝑉(𝑛 + 1)(𝑦(𝑛 + 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) − 𝑉(𝑛)(𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖))

∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(B.5)


𝑑𝑡= 𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛),

∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡

(B.6)

Balances de energía

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +

1

𝑅) 𝐻𝐿(𝑛) − 𝑄𝐶 , ∀ 𝑛 = 1 (B.7)

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) + 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1)

− 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(B.8)

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛), ∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡 (B.9)

Sumatoria

∑ 𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)


= 0, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (B.10)

Equilibrio de fases

𝑦(𝑛, 𝑖) = 𝐾(𝑛, 𝑖)𝑥(𝑛, 𝑖), ∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (B.11)

Energía interna

𝑈(𝑛) = 𝐻𝐿(𝑛)𝑀𝐿(𝑛), ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (B.12)

Flujo de líquido

𝐿(𝑛) = 𝑓(𝑀𝐿(𝑛), 𝑉(𝑛)), ∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (B.13)

20

Anexo C: Descripción de las ecuaciones involucradas en el cálculo de propiedades físicas y en la reducción

de índice de los modelos.

Se debe aclarar que tanto las ecuaciones de las propiedades físicas como los parámetros correspondientes se

obtiene de Aspen Properties ®

Entalpía específica de vapor para cada componente

𝐻𝑉𝑖 = 𝐶1𝑐𝑖(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) +𝐶2𝑐𝑖

2(𝑇2 − 𝑇𝑟𝑒𝑓

2 ) +𝐶3𝑐𝑖


3 ) +𝐶4𝑐𝑖


4 )

+𝐶5𝑐𝑖


5 ) +𝐶6𝑐𝑖


6 ) + 𝐻𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛,𝑖

(C.1)

Derivada de la entalpía específica de vapor de cada componente respecto a la temperatura

𝑑𝐻𝑉𝑖

𝑑𝑇= 𝐶𝑝𝑖 = 𝐶1𝑐𝑖 + 𝐶2𝑐𝑖𝑇 + 𝐶3𝑐𝑖𝑇

2 + 𝐶4𝑐𝑖𝑇3 + 𝐶5𝑐𝑖𝑇

4 + 𝐶6𝑐𝑖𝑇5 (C.2)

Entalpía específica de la fase vapor

𝐻𝑉 = ∑ 𝑦𝑖𝐻𝑉𝑖

𝑁𝐶

𝑖=1

(C.3)

Entalpía de vaporización de cada componente

∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖 = 𝐶1𝑣𝑖(1 − 𝑇𝑟𝑖)𝐶2𝑣𝑖+𝐶3𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖+𝐶4𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖2 +𝐶5𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖

3

𝑇𝑟𝑖 =𝑇

𝑇𝑐𝑖

(C.4)

Derivada de la entalpía de vaporización de cada componente respecto a la temperatura

𝑑∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖

𝑑𝑇=

∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖

𝑇𝑐𝑖

{(𝐶3𝑖𝑣 + 2𝐶4𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖 + 3𝐶5𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖2 )𝐿𝑛(𝐶1𝑣𝑖(1 − 𝑇𝑟𝑖))

−𝐶2𝑣𝑖 + 𝐶3𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖 + 𝐶4𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖

2 + 𝐶5𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖3

1 − 𝑇𝑟𝑖

}

(C.5)

Entalpía específica de líquido por componente

𝐻𝐿𝑖 = 𝐻𝑉𝑖 − ∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖 (C.6)

Derivada de la entalpía específica de líquido por componente respecto a la temperatura

𝑑𝐻𝐿𝑖

𝑑𝑇=

𝑑𝐻𝑉𝑖

𝑑𝑇−

𝑑∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖

𝑑𝑇 (C.7)

Entalpía específica de la fase líquida

𝐻𝐿 = ∑ 𝑥𝑖𝐻𝐿𝑖

𝑁𝐶

𝑖=1

(C.8)

Derivada de la entalpía específica de la fase líquida respecto al tiempo

𝑑𝐻𝐿

𝑑𝑡= ∑ [𝑥𝑖

𝑑𝐻𝐿𝑖

𝑑𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡+

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡𝐻𝐿𝑖] =

𝑑𝑇

𝑑𝑡

𝑁𝐶

𝑖=1

[∑ 𝑥𝑖

𝑑𝐻𝐿𝑖

𝑑𝑇

𝑁𝐶

𝑖=1

] + ∑𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡𝐻𝐿𝑖

𝑁𝐶

𝑖=1

(C.9)

Presión de saturación

𝐿𝑛(𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡) = 𝐶1𝑝𝑖 +

𝐶2𝑝𝑖

𝑇 + 𝐶3𝑝𝑖

+ 𝐶4𝑝𝑖𝑇 + 𝐶5𝑝𝑖𝐿𝑛(𝑇) + 𝐶6𝑝𝑖𝑇𝐶7𝑝𝑖 (C.10)

Derivada de la presión de saturación respecto a la temperatura

𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡

𝑑𝑇= 𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡 [−𝐶2𝑝𝑖

(𝑇 + 𝐶3𝑝𝑖)2 + 𝐶4𝑝𝑖 +

𝐶5𝑝𝑖

𝑇+ 𝐶7𝑝𝑖𝐶6𝑝𝑖𝑇

𝐶7𝑝𝑖 − 1] (C.11)

21

Constante de equilibrio de fases (idealidad en la fase vapor)

𝐾𝑖 =𝛾𝑖𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡

𝑃 (C.12)

Derivada de la constante de equilibrio respecto al tiempo

𝑑𝐾𝑖

𝑑𝑡=

1

𝑃[𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑡+ 𝛾𝑖


𝑑𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡] (C.13)

Coeficiente de actividad (NRTL)

𝐿𝑛(𝛾𝑖) =𝐶𝑖

𝑆𝑖

+ ∑ 𝑥𝑘𝜀𝑖𝑘

𝑁𝐶

𝑘=1

(C.14.a)

𝜀𝑖𝑘 =𝐺𝑖𝑘

𝑆𝑘

(𝜏𝑖𝑘 −𝐶𝑘

𝑆𝑘

) (C.14.b)

𝐶𝑖 = ∑ 𝑥𝑗𝐺𝑗𝑖𝜏𝑗𝑖

𝑁𝐶

𝑗=1

(C.14.c)

𝑆𝑖 = ∑ 𝑥𝑗𝐺𝑗𝑖

𝑁𝐶

𝑗=1

(C.14.d)

𝐺𝑖𝑗 = exp(−𝛼𝑖𝑗𝜏𝑖𝑗) (C.14.e)

𝜏𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗

𝑇 (C.14.f)

Derivada del coeficiente de actividad respecto al tiempo

𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑡=

𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)

𝜕𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡 + ∑


𝜕𝑥𝑗

𝑁𝐶

𝑗=1

𝑑𝑥𝑗

𝑑𝑡 (C.15)

Derivada parcial del coeficiente de actividad respecto a la temperatura (perturbación numérica)

𝜕𝛾𝑖

𝜕𝑇≈

𝛾𝑖(𝑇 + ∆𝑇) − 𝛾𝑖(𝑇)

∆𝑇 (C.16)

Derivada parcial del coeficiente de actividad respecto a la composición (perturbación numérica)

𝜕𝛾𝑖

𝜕𝑥𝑗

≈𝛾𝑖(𝑥𝑗 + ∆𝑥𝑗) − 𝛾𝑖(𝑥𝑗)

∆𝑥𝑗

(C.17)

La derivada de la temperatura respecto al tiempo se calcula a partir de la ecuación de sumatoria

∑(𝑦𝑖 − 𝑥𝑖) = 0

𝑁𝐶

𝑖=1

(C.18)

∑(𝐾𝑖𝑥𝑖 − 𝑥𝑖) = [∑(𝐾𝑖𝑥𝑖)

𝑁𝐶

𝑖=1

] − 1 =

𝑁𝐶

𝑖=1

0 (C.19)

𝑑

𝑑𝑡{[∑(𝐾𝑖𝑥𝑖)

𝑁𝐶

𝑖=1

] − 1} = 0 (C.20)

∑ [(𝐾𝑖

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡) + (𝑥𝑖

𝑑𝐾𝑖

𝑑𝑡)]

𝑁𝐶

𝑖=1

= 0 (C.21)

∑ (𝐾𝑖

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡) + ∑ (𝑥𝑖

𝑑𝐾𝑖

𝑑𝑡)

𝑁𝐶

𝑖=1

𝑁𝐶

𝑖=1

= ∑ (𝐾𝑖

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡) + ∑ (𝑥𝑖

1

𝑃[𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡𝑑𝛾𝑖

𝑑𝑡+ 𝛾𝑖


𝑑𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡])

𝑁𝐶

𝑖=1

𝑁𝐶

𝑖=1

= 0 (C.22)

22

∑ (𝐾𝑖

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡) +

1

𝑃∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡 [𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)

𝜕𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡 + ∑


𝜕𝑥𝑗

𝑁𝐶

𝑗=1

𝑑𝑥𝑗

𝑑𝑡]

𝑁𝐶

𝑖=1

+1

𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝑡∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖


𝑑𝑇

𝑁𝐶

𝑖=1

𝑁𝐶

𝑖=1

= 0

(C.23)

∑ (𝐾𝑖

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡) +

1

𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝑡 ∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)

𝜕𝑇

𝑁𝐶

𝑖=1

+1

𝑃∑ [𝑥𝑖𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡 ∑𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)

𝜕𝑥𝑗

𝑁𝐶

𝑗=1

𝑑𝑥𝑗

𝑑𝑡]

𝑁𝐶

𝑖=1

𝑁𝐶

𝑖=1

+1

𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝑡∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖


𝑑𝑇

𝑁𝐶

𝑖=1

= 0

(C.24)

1

𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝑡(∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)

𝜕𝑇

𝑁𝐶

𝑖=1

+ ∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖


𝑑𝑇

𝑁𝐶

𝑖=1

)

= −1

𝑃∑ [𝑥𝑖𝑃𝑖

𝑠𝑎𝑡 ∑𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)

𝜕𝑥𝑗

𝑁𝐶

𝑗=1

𝑑𝑥𝑗

𝑑𝑡]

𝑁𝐶

𝑖=1

− ∑ (𝐾𝑖

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡)

𝑁𝐶

𝑖=1

(C.25)

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

−1𝑃

∑ [𝑥𝑖𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡 ∑

𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)𝜕𝑥𝑗

𝑁𝐶𝑗=1

𝑑𝑥𝑗

𝑑𝑡]

𝑁𝐶𝑖=1 − ∑ (𝐾𝑖

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑡)

𝑁𝐶𝑖=1

1𝑃

(∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡 𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)

𝜕𝑇𝑁𝐶𝑖=1 + ∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖


𝑑𝑇𝑁𝐶𝑖=1 )

(C.26)

23

Anexo D: Modelo algebro diferencial DAE de índice 1, obtenido por el método 2.

Balances de materia total

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +

1

𝑅) = 0,

∀ 𝑛 = 1

(D.1)

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐹(𝑛) + 𝐿(𝑛 − 1) + 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛),

∀ 𝑛 ∈ {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(D.2)

𝑑𝑀(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐿(𝑛 − 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛) = 0,


(D.3)


∑𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛, 𝑖) (1 +

1𝑅

)

𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝

= 0,

∀𝑛 = 1

(D.4)

∑𝐹(𝑛)(𝑧(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) + 𝐿(𝑛 − 1)(𝑥(𝑛 − 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) + 𝑉(𝑛 + 1)(𝑦(𝑛 + 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) − 𝑉(𝑛)(𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖))

𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝

= 0

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(D.5)

∑𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛)

𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝= 0,


(D.6)

Balances de energía

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +

1


∀ 𝑛 = 1

(D.7)

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) + 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}

(D.8)

𝑑𝑈(𝑛)

𝑑𝑡= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),


(D.9)

Sumatoria

∑ 𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)


= 0,


(D.10)

Equilibrio de fases

(𝑛, 𝑖) = 𝐾(𝑛, 𝑖)𝑥(𝑛, 𝑖),

∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (D.11)

Energía interna

𝑈(𝑛) = 𝐻𝐿(𝑛)𝑀𝐿(𝑛),

∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (D.12)

Flujo de líquido

𝐿(𝑛) = 𝑓(𝑀𝐿(𝑛), 𝑉(𝑛)),

∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (D.13)

24

Anexo E: Graficas de resultados para los casos no expuestos en el documento.

Perturbación caso 1 – Comparación modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1

Respecto a las variables de control, la relación molar de reflujo toma un comportamiento inverso a la función de

perturbación, es decir, de manera decreciente. Sin embargo, se mantiene alrededor de su punto de operación, mientras que la

carga térmica permanece constante debido a que un aumento o disminución de esta, penaliza la función objetivo en el término

𝑁𝑃𝑡 , de acuerdo a lo anterior se puede concluir que el sistema se puede controlar solo con la relación de reflujo.





Figura 23 Figura 22 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 1,




Al realizar la comparación de las funciones objetivo obtenidas, se encuentra que los resultados son similares, teniendo

en cuenta que las variables se encuentran en el rango permitido y que en todos los casos se cumple con las restricción de pureza

en el producto.

Cabe resaltar que al evaluar los errores promedio en las variables de todos los platos, estos se encontraron entre

1,2634E-05 y 1,3713E-09 rango.


Los resultados obtenidos en el caso 2 muestran resultados que llevan a las mismas discusiones expuestas

anteriormente, es decir, son los mismos desde el punto de vista práctico y por su complejidad y tiempo computacional gastado

es más conveniente para el caso expuesto el uso de modelos más simples. En las gráficas a continuación se muestran los perfiles

obtenidos para el caso 2.

25










En las gráficas a continuación se muestran los perfiles encontrados para el caso de la perturbación sinusoidal. Al

igual que los casos anteriores los resultados son consistentes y el tiempo computacional gastado por el modelo DAE2r-

método1 es significativamente mayor con respecto a los otros dos.





26

Figura 30 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 6, modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1

En los tres modelos presentados en las gráficas anteriores se cumple la restricción de pureza a lo largo de todo el

tiempo de evaluación.

27

REFERENCIAS

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[5] L. T. Biegler, “An overview of simultaneous strategies for dynamic optimization,” Chem. Eng. Process. Process Intensif., vol. 46, no. 11, pp. 1043–1053, Nov. 2007.

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[8] K. Sørensen, N. Houbak, and T. Condra, “Solving differential–algebraic equation systems by means of index reduction methodology,” Simul. Model. Pract. Theory, vol. 14, no. 3, pp. 224–236, 2006.

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[10] S. Schulz, “Four Lectures on Differential-Algebraic Equations,” 13-Jun-2003. [Online]. Available: https://researchspace.auckland.ac.nz/bitstream/handle/2292/5129/497.pdf%3Bjsessionid=

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[11] V. Bansal, J. D. Perkins, and E. N. Pistikopoulos, “A Case Study in Simultaneous Design and Control Using Rigorous, Mixed-Integer Dynamic Optimization Models,” Ind. Eng. Chem. Res., vol. 41, no. 4, pp. 760–778, 2002.

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28

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