Comparación de Poblaciones

7/23/2019 Comparacin de Poblaciones

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Contenido Introduccion. Diseno experimental y Aleatorizacion. Comparacion de las medias. Usando muestras apareadas M

COMPARACION DE DOS POBLACIONES.

Parte 1

28 de febrero de 2014

COMPARACION DE DOS POBLACIONES. Parte 1
http://goforward/http://find/http://goback/


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Introduccion.

Diseno experimental y Aleatorizacion.

Comparacion de las medias.

Usando muestras apareadas

Muestras independientes o apareadas?

Conclusiones

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Introduccion.





Conclusiones

http://find/


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Introduccion.





Conclusiones

http://find/http://goback/


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Introduccion.





Conclusiones

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Introduccion.





Conclusiones


C id I d i Di i l Al i i C i d l di U d d M


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Introduccion.





Conclusiones


C t id I t d i Di i t l Al t i i C i d l di U d t d M
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Ejemplo 1

Consideremos la obtencion de variedades mejoradas de una plantapara cultivo comercial. Supongamos que se ha obtenido unavariedad que se presume tienen mayor rendimiento promedio que la

usada comercialmente. Para decidir si esto es cierto, se realizanexperimentos de campo en los cuales:

Se siembran las 2 variedades en condiciones tan similarescomo sea posible.

Se siembra cada variedad un cierto numero de veces.


Contenido Introduccion Diseno experimental y Aleatorizacion Comparacion de las medias Usando muestras apareadas M


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Ejemplo 1






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Ejemplo 1








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Se requiere una tecnica que nos permita decidir, con base en la

muestra, si el rendimiento promedio poblacional de la variedad

mejorada es superior al de la usual.


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Consideraremos de manera general:

2 poblaciones generadas por la accion de un investigadormediante 2 tratamientos (tecnicas, sustancia, proceso defabricacion, etc.)

El tratamiento se aplica a unidades que reciben el nombre de

unidades experimentales.

En cada unidad experimental se observa una respuesta(observacion de una variable aleatoria.)

El investigador desea comparar parametros de las 2

poblaciones con el proposito de establecer superioridad de untratamiento sobre otro.


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p y p p




unidades experimentales.

En cada unidad experimental se observa una respuesta(observacion de una variable aleatoria.)




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p y p p




unidades experimentales.En cada unidad experimental se observa una respuesta(observacion de una variable aleatoria.)




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unidades experimentales.En cada unidad experimental se observa una respuesta(observacion de una variable aleatoria.)






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En el Ejemplo 1 se tiene

Tratamiento:Variedad usual y Variedad mejorada.

Poblaciones: Parcelas con variedad usual y Parcelas convariedad mejorada.

Unidad experimental: Parcelas.

Respuesta:Rendimiento (kg/Ha) de cada parcela.




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La manera en que se escoge a las unidades que tendran cadatratamiento es llamado Diseno experimental o diseno demuestreo.

Esto es importante porque en la gran mayora de las situacionespracticas es imposible disponer de unidades experimentaleshomogeneas, de manera que siempre existe la posibilidad de

favorecer un tratamiento asignandole las mejores unidades.


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Muestras Independientes

Se establece el proceso conocido como aleatorizacion: consiste enasignar al azar los tratamientos a las unidades experimentales paraeliminar sesgos en los resultados.

La tecnica conocida como aleatorizacion, que refuerza la validez dela comparacion, fue ideada por Ronald Aylmer Fisher.

NOTA: Si se tiene cuidado de que las repeticiones seanindependientes, obtenemos muestras aleatorias independientes de 2

poblaciones distintas.




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Comparar 2 tratamientos (A y B)

Se asignan n unidades experimentales para A.Se asignan m unidades experimentales para B

Se generan 2 muestras aleatorias independientes mediante unprocedimiento aleatorio irrestiscto tal que las m+nunidades experimentales tienen la misma probabilidad derecibir cada tratamiento.

Modelos probabilisticos:

(X1, X2, ..., Xn) fX(x, )

(Y1, Y2, ..., Yn) fY(y, )tales que Xi, Yi son v.a.i.




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Muestras ApareadasSe busca homogeneizar hasta donde sea posible las condiciones en

que se comparan los tratamientos, mediante una tecnicaexperimental previa a la aleatorizacion.

Comparar 2 tratamientos.

Se forman pares de unidades experimentales tales que cada

par esta formado por unidades muy semejantes.Se maneja aleatorizacion restringida pues solo se decidemediante ella, cual miembro de un par llevara un tratamientodado.

Muestra resultande:

(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xk/2, Yk/2)

donde (Xi, Yi) es la v.a. bivariada que se observara en el pari-esimo.


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Muestras ApareadasSe busca homogeneizar hasta donde sea posible las condiciones en

que se comparan los tratamientos, mediante una tecnicaexperimental previa a la aleatorizacion.


Se forman pares de unidades experimentales tales que cada

par esta formado por unidades muy semejantes.Se maneja aleatorizacion restringida pues solo se decidemediante ella, cual miembro de un par llevara un tratamientodado.

Muestra resultande:

(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xk/2, Yk/2)

donde (Xi, Yi) es la v.a. bivariada que se observara en el pari-esimo.


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Ejemplo 2Se quieren comparar 2 diferentes acomodos de instrumentos en un

tablero de control.El experimento consiste en colocar a un operador frente al tablero,simular una situacion de emergencia y medir el tiempo en el que eloperario ejecuta la secuencia de acciones prevista para esaemergencia.


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Condiciones del problema:Tratamiento:Tipos de tablero A y B.

Respuesta:Tiempo registrado para cada repeticion delexperimento.

Poblaciones: Operarios en el tablero A y Operarios en eltablero B.

Unidades experimentales:Operarios.

Supongamos que se van a realizar 10 repeticiones para cada uno

de los tableros A y B.


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Con cuales operarios probaremos el tablero

A?


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Muestras Independientes Muestras Apareadas

Utilizar 20 operarios a 10 de los cuales se les

asignara el tablero A y a 10 el tablero B. Utilizar 10 operarios, cada uno de los cuales

Comparar los 2 grupos de tiempos de respuesta.

Aleatorizacion irrestricta: realizara 2 repeticiones, una con cada tratamiento.

-Etiquetar a los operarios del 1 al 20.

-Colocar 20 fichas identicas, numeradas de 1 a 20 Comparar los 2 grupos de tiempos de respuesta.

en una urna.

-En otra urna se depositan 10 fichas con la Aleatorizacion restringida:

letra A y 10 con la B.

-Se elige una ficha de la 1ra. urna y una -Determinar el orden en que cada operador actuara

ficha de la 2a.

Sin reemplazar las fichas extraidas se repite frente a los tableros, mediante un mecanismo aleatorio

el proceso


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Ejemplo 3.

Un grupo de n personas se somete a un programa de reduccion depeso. Como se pretende monitorear el peso de las personas, eldiseno muestral que se utiliza en este caso es de muestrasapareadas dado que se toma el peso de cada persona al inicio y alfinal del programa.


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Ejemplo 4.Suponga que deseamos comparar 2 tecnicas de ensenanza A, B y

que consideramos 50 estudiantes en el estudio. La meta escomparar las calificaciones medias en un examen estandarizadopara estudiantes instruidos con cada uno de los 2 metodos.

Como se procedera?


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Notemos que:Los estudiantes no son identicos.

Los metodos pueden no ser igualmente eficaces para ambosgeneros.

Existen diferencias en las capacidades naturales de losestudiantes.

Con base en lo anterior decidimos que podra ser mejor asignar alazar 25 estudiantes a cada metodo de estudio, es decir,consideramos un diseno de muestra independiente.




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Generalizacion

Consideramos ttratamientos (t 2) a comparar con k unidadesexperimentales

Muestras independientes:La unica modificacionconsistira en que las kunidades experimentales se dividiran engrupos de unidades de tamanos n1, n2, ..., nt tal quen1+n2+ +nt=k y niunidades recibiran el i-esimotratamiento con aleatorizacion irrestricta.




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Muestras apareadas:Se forman grupos de tunidades, demodo que necesariamente kes un multiplo de t. Dentro decada grupo de tunidades se decidira, mediante aleatorizacionrestringida, que unidad recibira cual tratamiento.

En el primer caso puede tenerse un diferente numero derepeticiones para cada tratamiento, mientras que en el segundocada tratamiento se repite igual numero de veces.


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Ejemplo 5

Se quiere comparar la reaccion de una persona a un conjunto decuatro estmulos (tratamientos T1, T2, T3, T4), en un experimentopsicologico de estmulo respuesta.


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Muestra Independiente

8 personas se asignan al azar a cada uno de los 4 tratamientos. Laasignacion aleatoria de personas a cada tratamiento (o viceversa)distribuye al azar errores debidos a la variabilidad de persona apersona en respuesta a los 4 tratamientos y proporciona 4 muestrasque, para todos los fines practicos, son aleatorias e independientes.

Nota: Se necesitan 32 personas (unidades experimentales).


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Errores que pueden presentarse:

Diferencias de persona a persona.

No administrar un estmulo determinado con exactamente lamisma intensidad en mediciones repetidas.

Errores de medicion.

La reduccion de cualquiera de estas causas de error aumentara lainformacion del experimento.


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Muestra Apareada

La variacion de persona a persona del experimento anterior sepuede eliminar con el uso de personas como bloques. Cada personarecibira los 4 tratamientos asignados en una secuencia aleatoria.


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Notemos que:

Se necesitan 8 personas para obtener 8 respuestas portratamiento

Cada tratamiento ocurre exactamente una vez en cada bloque.Se elimina el sesgo causado por fatiga o aprendizaje debido ala aleatorizacion (es decir, la posicion del bloque).


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Cuadro Latino

Supongamos que los individuos del ejemplo anterior se fatigaroncuando se les aplicaron los estmulos, de modo que el ultimoestmulo siempre produjo una respuesta mas baja que el primero.

Debido a la falta de homogeneidad de las unidades experimentalesdentro de un bloque, podemos recurrir a un diseno de cuadrolatino.


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Diseno de Cuadro Latino

Cada estmulo se aplica 1 vez a cada individuo y ocurreexactamente 1 vez en cada posicion del orden de presentacion.

Para el Ejemplo 3 los cuatro estmulos se presentan en cada fila yen cada columna de la configuracion de 4 4.


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En general:

ptratamientos requieren un conjunto p pde unidadesexperimentales.

Si se desean mas observaciones por tratamiento, elexperimentador debe usar varias configuraciones de cuadrolatino en ese experimento.


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Comparacion de las medias de 2 poblaciones mediante 2

muestras aleatorias independientes.

Se comparan 2 tratamientos usando una aleatorizacionirrestricta.

Se obtienen muestras aleatorias independientes de 2poblaciones posiblemente distintas.

Las muestras pueden ser de diferente tamano.X1, X2, ..., Xn y Y1, Y2, ..., Ym son independientes, es decir, lasrespuestas de la primera muestra no estan relacionadas con lasde la segunda.

Xi N(X, 2

) con i= 1, 2, ..., nYj N(Y, 2) con j= 1, 2, ..., m

Note que en este caso consideramos la misma varianza en las 2poblaciones.


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Como se busca comparar medias, entonces el parametro sera:

=X YSea 0 R. Los juegos de hipotesis son:

a) H0: =0 vs Ha: =0b) H0: 0 vs Ha: > 0c) H0: 0 vs Ha: < 0

Nota: Si 0 = 0 se trata de decidir cual tratamiento es mejor.


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Como se quiere inferir sobre el parametro =X Y, se usa laestadstica X

Ycomo estimador de .

Recordemos:

X N

X,2

n

, Y N

Y,

2

m

E[X Y] = E[X Y] =X Y =

X Yes un estimador insesgado de .


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Ademas, como X, Y son independientes entonces

Var[X Y] =Var[X] +Var[Y] = 2

n +

2

m

(X

Y)

NX

Y

, 2

n +

2

m.


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Si 2 es conocida, entonces mediante una prueba de Z seprueba la hipotesis sobre usando:

Z0 =(X Y) 0

2

n + 2

m

Si 2 noes conocida no es posible usar Z0 como estadstica,por lo que se necesita estimarla.


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Estimacion de 2

Como X, Y tienen la misma varianza entonces ambasmuestras contienen informacion sobre 2

Si S2X, S2Yson las varianzas muestrales de cada una de las

muestras, tenemos: E[S2X] =2 y E[S2Y] =

2

As un estimador de 2 que use toda la informacion disponible debetomar en cuenta a las 2 muestras. El estimador que usaremos es:

S2p =(n 1)S2X+ (m 1)S2Y

n+

m 2

donde S2X = 1n1

ni=1(Xi X)2 y S2Y = 1m1

mi=1(Yi Y)2


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Estimacion de 2

Como X, Y tienen la misma varianza entonces ambasmuestras contienen informacion sobre 2

Si S2X, S2Yson las varianzas muestrales de cada una de las

muestras, tenemos: E[S2X] =2 y E[S2Y] =

2

As un estimador de 2 que use toda la informacion disponible debetomar en cuenta a las 2 muestras. El estimador que usaremos es:

S2p =(n 1)S2X+ (m 1)S2Y

n+

m 2

donde S2X = 1n1

ni=1(Xi X)2 y S2Y = 1m1

mi=1(Yi Y)2


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As la estadstica t0 para probar hipotesis sobre =X Y es:

t0 =(X Y) 0

S2pn +

S2pm

t(n+m2)

siempre que =0

.


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Ejemplo 2.1

En un experimento con plantas de soya se compararon 2tratamientos consistentes en proporcionar el riego de auxilio cuandose tenan diferentes niveles de unidad aprovechable en el suelo.

Para el primer nivel (10 %) se usaron 12 unidadesexperimentales.

Para el segundo nivel (40 %) se usaron 9 unidades. Cada unidad experimental es una superficie rectangular de

7 4 metros, en los que se sembro la misma variedad de soya. Se trato que las unidades experimentales tuvieran constantes

los demas factores (fertilizacion, practicas culturales, densidadde siembra, etc.) que puedan afectar el rendimiento (que es larespuesta).


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Puesto que es imposible tener unidades completamente

homogeneas, se decidio mediante un mecanismo aleatorioque unidades experimentales llevaran cada tratamiento.La aleatorizacion fue irrestricta, por lo que se obtuvieronmuestras aleatorias independientes. Las respuestas observadas son:



E j l h i d l l X l i 1
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En este ejemplo hemos asignado la letra X al tratamiento 1.

Suponemos que las Xi

N(X, ) con i= 1, 2, ..., n y queYj N(Y, ) con j= 1, 2, ..., m

La hipotesis que se quiere probar es que las medias de rendimientoson iguales, contra la alternativa de que son diferentes. En este

caso 0 = 0, es decir:

H0 : = 0 en oposicion a Ha : = 0

Equivalentemente:

H0 : X =Yen oposicion a Ha : X=Y


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Las estadsticas necesarias son:

X= 2035,2; S

2

X= 101678,5; n= 12Y= 3077,3; S2Y= 80235,8; m= 9

Aqu, la suposicion de varianzas iguales parece justificada por lainformacion muestral, puesto que S2X es solo 1.27 veces S

2Y.

El estimador ponderado de la varianza es

S2p= 92650

Note que S2p esta mas cerca de S2Xque de S

2Y. Esto se debe a que

S2

X tiene mas grados de libertad, es decir, hay mayor informacion

en la muestra de la poblacion con el primer tratamiento.Para probar las hipotesis se toma = 0,01.


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La estadstica de prueba es:

t0 = 7,765Tenemos que t0,005(19) = 2,861.

La regla de decision es rechazar H0 si t0 >2,681 o t0 < 2,861.

Dado que t0 = 7,765 se rechaza H0 con = 0,01. De hecho, elvalor de t0 es tan extremo que se rechaza H0 con cualquier razonablemente grande.

Por lo tanto se concluye que con = 0,01 las medias de los dostratamientos son diferentes, y como X < Y, la evidencia es a favordel tratamiento II, es decir X < Y.



Ej l 2 2
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Ejemplo 2.2Una empresa arrendadora de automoviles presume que los costos

de operacion de sus unidades son menores en mas de 40 centavospor Km que los de su principal competidora, la cual a cambioofrece vehculos mas comodos.Un cliente que planea arrendar 500 vehculos decide realizar unexperimento. Para ello arrenda por un mes 20 autos de cada

empresa, pidiendo que se le permita elegirlos al azar de entre todaslas unidades de que disponen.


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Para eliminar posibles sesgos, selecciona al azar 40 empleados desu personal y asigna aleatoriamente un auto a cada uno de ellos.

Despues de un mes se registran los gastos de operacion. Los de lacompana que ofrece menor costo los identificamos con la letra Y,y los de la que ofrece mayor comodidad con la letra X. Lasobservaciones son:


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Suponemos que las Xi N(X, ) con i= 1, 2, ..., n y que lasYj N(Y, ) con j= 1, 2, ..., mEl arrendatario alquila los autos economicos si=X Y >0,40.

Por lo tanto, se tiene 0 = 0,40, y el juego de hipotesis es:

H0: 0,40 en oposicion a Ha: >0,40

Para probar la hipotesis se toma = 0,05


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Las estadsticas necesarias son:

X = 3,023; S2X = 0,164; n= 20 Y = 2,680; S2Y = 0,1445; m= 20 La varianza ponderada es S

2p = 0,15425

Note que S2pes el promedio simple de S2X y S

2Y, debido a que se

tiene el mismo numero de observaciones por muestra.


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La estadstica de prueba es t0 =

0,4589.

Con = 0,05 tenemos que t0,05(38) .= 1,687.

La regla de decision es rechazar H0 si t0 >1,687.

Como t0 = 0,4589 no rechaza H0 con = 0,05.

Nota: dado que t0


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Intervalos de confianza

Sean X1, ..., Xn y Y1, ..., Ym muestras aleatorias independientes deN(X, ) y N(Y, ), respectivamente. Sean X y Y las mediasmuestrales, y S2X y S

2Y las varianzas muestrales. Sea S

2p el

estimador ponderado de 2. El intervalo con nivel de confianza1

para X

Y tiene lmites

L= X Y

S2p(1

n+

1

m)t

(n+m2)/2

y

L= X Y+S2p( 1n + 1m )t(n+m2)/2



Ejemplo 2 3
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Ejemplo 2.3

Construimos un intervalo de confianza (= 0,01) para la

diferencia de medias de los tratamientos en el ejemplo 2.1.




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Parcelas con 0.1 de humedad aprovechable:X= 2035,2; S2X= 101678,5; n= 12

Parcelas con 0.4 de humedad aprovechableY= 3077,3; S2X= 80235,8; m= 9

S2p= 92650

t0,005(19) = 2,681

L= 1426,11L= 658,09

Los lmites del intervalo de confianza al 99 % para =X Yson:

(1426,11,658,09)


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Los lmites del intervalo de confianza al 99 % para =X Yson:

(1426,11,658,09)Se concluye que hay una clara superioridad de tratamientoconsistente en regar cuando se tiene el 40 % de humedadaprovechable.


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La correspondencia entre intervalos de confianza y pruebas dehipotesis nos garantiza que la hipotesis nula (H0: =0) no serechaza para un nivel de significancia para ningun valor 0 en el

intervalo de confianza 1 .



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Si se tienen dos muestras independientes X1, ..., Xn y Y1, ..., Ym ytanto m como n son grandes (mayores de 30), los juegos dehipotesis (a), (b) y (c) establecidos antes pueden probarsemediante la estadstica:

Z0 =X Y 0

S2X

n +

S2Y

m

Y la regla de decision son las mismas que con una prueba de t,

excepto que los puntos crticos se obtienen de una tabla de ladistribucion normal estandar.


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Ademas, un intervalo de confianza 1 para =X Y seobtiene haciendo:

L= X Y Z/2

S2Xn

+S2Y

m

y

L= X Y +Z/2

S2Xn

+S2Y

m



Ejemplo 2.4
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j pEn una zona agrcola existen productores de maz y de papa. Sequiere comparar la ganancia por Ha entre las dos clases deagricultor en un ano dado. Para ese fin se toman muestras detamano 65 y 72 de cada poblacion. Las estadsticas que resumen lainformacion se presentan en seguida, con la ganancia medida enpesos.


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Ganacia por Ha de maz:X= 1584,4; S2X= 61766,69; n= 65

Ganacia por Ha de papa:Y= 2068,2; S2Y= 264298,66; m= 72

As los lmites del intervalo de confianza al 99 % para X Yestan dados por:L= 658,84 yL= 308,76Por lo tanto hay una fuerte evidencia de que la ganancia es mayorcon el cultivo de papa.




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Note que S2Y es mas de 4 veces S2Xpor lo que

1 El supuesto de varianzas iguales es irrazonable.

2 Variables como ingreso o ganancia dficilmente tienen unadistribucion normal.

3 Como los tamanos de muestra son grandes, es el TCL que nospermite obtener conclusiones sobre .



Comparacion de las medias de 2 poblaciones usando


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p p

muestras apareadas.

Posibles ventajas de usar muestras apareadas para comparar lasmedias de 2 poblaciones:

Necesidad de comparar los tratamientos en igualdad decircunstancias.

Dificultad practica de tener conjuntos de unidadesexperimentales homogeneas.




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Notemos que:

Si se obtienen pares de unidades semejantes entre s, pero

diferentes entre pares, las inferencias obtenidas son validas bajo

una mayor diversidad de circunstancias, ya que si se pruebantratamientos en unidades experimentales identicas, podra arguirse

que las conclusiones son ciertas solo para las muy particulares

condiciones de las unidades.





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n pares de bloques de unidades experimentales.

Se usa aleatorizacion restringida en cada bloque.Informacion resultante (muestra independiente) denotada por:(X1, Y1), (X2, Y2),...(Xn, Yn)donde Xies la respuesta al primer tratamiento y Yi alsegundo.

Para el analisis estadstico definimos las v.a.:

Di =Xi Yiconi= 1, 2, ..., n

como los pares son independientes entre s, entonces

D1, ..., Dn es una muestra aleatoria

E[Di] =D, V[Di] =2D




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Notemos que:

SiD= 0 entonces las medias de los tratamientos son iguales.

Si D>0 entonces la media del 1er tratamiento en mayorque la del 2o.

Si D


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Supongamos que D1, D2,...Dn N(D, 2D)(Si n es muy grande, se puede evitar esta suposicion.)

Como se tienen muestras apareadas las inferencias se llevan a cabousando Di=Xi YiEstadsticas necesarias:D= 1

n ni=1Di S

2D=

1n1

ni=1(Di D)2

Juegos de Hipotesis:

a) H0: D=k vs Ha: D=kb) H0: D k vs Ha: D>kc) H0: D k vs Ha: D


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Como Di

ND

, 2D entonces D ND,

2D

n

Entonces se usa la prueba tcon la estadstica:

t0 =

n(D k)

SD t(n 1)

siempre que D=k

Entonces las reglas de decision corresponden a las de unaprueba t, usando los valores crticos t(n 1) o t/2(n 1)segun sea el caso.



Si la muestra es grande puede evitarse suponer que la


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Si la muestra es grande, puede evitarse suponer que ladistribucion de Dies Normal.

Por el TCL se usa la misma estadstica t0 y se realiza unaprueba Zusando la distribucon Normal Estandar.

(L, L) es un intervalo de confianza para D, suponiendonormalidad, donde:

L= D t/2(n1) SDn

L= D+t/2(n1)SD

n

Notemos que para muestras grandes puede usarse z/2 en vezde los valores de t.



Ejemplo
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En la siguiente tabla se presentan las pulsaciones por minuto deatletas, antes y despues de una sesion de entrenamiento. Se deseainferir sobre el efecto del esfuerzo realizado en el numero depulsaciones.



Estadsticas:
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D= 74,5 SD= 17,26

En este caso n= 10 y supongamos 1 =,90 entoncest0,05(9) = 1,833 y luego

L= 74,5 (1,833)( 17,2610

) = 64,50

L= 74,5 + (1,833)(17,26

10) = 84,50

Intervalo de Confianza del 90 %: (64,50, 84,50)

Como 0 / (64,50, 84,50) entonces se rechaza H0 con= 0,10Existe evidencia de un aumento en el numero de pulsasionesdebido al entrenamiento.



Ahora supongamos que se desea decidir si el aumento es mayor de
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Ahora supongamos que se desea decidir si el aumento es mayor de65 pulsaciones con = 0,10:

H0: D 65 vs Ha: D>65

La prueba es de una cola.

Estadstica:t0 =

10(74,5 65)17,26

= 1,74

Obtenemos: t0,10(9) = 1,383

Entonces rechazamosH0

con = 0,10, e.d., el aumento esmayor de 65 pulsaciones con un nivel de significancia de 10 %.



Condiciones presentes en el ejemplo anterior:
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p j p

Se tiene un tratamiento y un testigoo un tratamiento

testigo

2 tratamientos aplicados a 1 individuo (unidad experimental).

Desventaja de esto:

Confusion en el efecto de los tratamientos.

Experimentos Usuales:

Comparacion de 1 tratamiento contra 1 testigo.

Las 2 unidades experimentales que integran un par sonfsicamente distintas.




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Situaciones comunes donde se usan bloques:

Experimentacion agrcola (agrupamiento comun: fertilidad delsuelo.)

Unidades Experimentales son seres vivos (agrupamientocomun: caractersticas fsicas o mentales similares.)


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A pesar de la homogeneizacion de bloques, la aleatorizacion dentro

de cada uno es importante pues las unidades experimentales

difcilmente son identicas; sin embargo hay situaciones donde no es

posible asignar aleatoriamente las unidades de cada bloque a los

tratamientos. En estas circunstancias el investigador debe utilizarsu criterio para decidir si no hay otro factor ajeno a los

tratamientos que pueda afectar la comparacion.



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Primero recordemos que en los dos procedimientos propuestos setrata de comparar dos medias poblacionales entonces el parametrode interes es: X

Y.

La estadstica para la inferencia es X Yy en las muestrasapareadas se llama D.


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Se tiene mas informacion sobre X

Ymientras menor sea la

varianza de X Y.Observe lo siguiente.

Cuando tenemos muestras independientes:Var(X Y) =VarX+VarY

Con muestras apareadas:Var(X Y) =VarX+VarY 2Cov(X, Y)

La varianza en el segundo caso se reduce siempre queCov(X, Y)> 0 entre las observaciones dentro del bloque. Lo cualesta implcito cuando se pide homogeneidad dentro del bloque.


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No es suficiente con disminuir la varianza del estimador para lograrmayor presicion en las inferencias sobre X Y. El caso es que alaparear las observaciones se paga un precio que puede ser mayor

que la ganancia obtenida al disminuir la varianza.

COMPARACION DE DOS POBLACIONES. Parte 1 Contenido Introduccion. Diseno experimental y Aleatorizacion. Comparacion de las medias. Usando muestras apareadas M

En efecto sea k el numero de unidades experimentales; el intervalo
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En efecto, sea kel numero de unidades experimentales; el intervalode confianza para la diferencia de medias poblacionales es (L,L)donde con muestras independientes:

L= (X Y) t/2(2(k 1))SX YL= (X

Y) +t/2(2(k

1))SX

Y

Mientras que con muestras apareadas:

L= (X Y) t/2(k 1)SX YL= (

X

Y) +t/2(k 1)SX

Y



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Note que para cualquier el valor de t(n) disminuye cuando

aumenta el valor de n. Entonces t(n) siempre sera mayor en elcaso de muestras apareadas. As tenemos:

La disminucion de la varianza deX Y , que se logra mediante el

apareamiento, tiene el efecto de reducir la anchura del intervalo deconfianza para X Y.

Por otro lado, la perdida de grados de libertad que trae como

consecuencia la aleatorizacion irrestricta, aumenta dicha anchura.



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En resumen:

Si el apareamiento no es suficientemente efectivo, el diseno conmuestras independientes puede ser mejor que el de muestrasapareadas.

Un apareamiento efectivo es aquel que homegeneiza la

comparacion dentro de los bloques a tal grado que la covarianza(positiva) entre los pares disminuye la varianza de X Y enmagnitud suficiente para que la anchura del intervalo de confianzapara X Y sea menor, a pesar de la perdida de grados delibertad.


Conclusiones


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Los metodos estadsticos incrementan la eficiencia deexperimentos y fortalecen las conclusiones obtenidas.

Debemos considerar los conocimientos y condiciones conrespecto al campo de estudio para tener una buenainterpretacion de los resultados estadsticos.

Tratar de que el diseno y analisis sean lo mas sencillo posible.

Tener resultados estadsticos significativos no necesariamenteimplican una solucion en la practica.

Los experimentos son generalmente iterativos, ya que

permiten el analisis y la observacion de factores queintervienen en el experimento para tener un diseno exitoso.

COMPARACION DE DOS POBLACIONES Parte 1

Comparación de Poblaciones

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