Comparación Dos Medias Estadisticas

7/24/2019 Comparación Dos Medias Estadisticas

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Curso de BioestadísticaParte 9

Comparación de dos medias

Dr. en C. Nicolás Padilla RaygozaDepartamento de Enfermería y Obstetricia

División Ciencias de la al!d e "ngenieríasCamp!s Celaya#alvatierra$niversidad de %!ana&!ato '()ico



Presentación

'(dico Cir!&ano por la $niversidad *!tónoma de %!adala&ara. Pediatra por el Conse&o 'e)icano de Certificación en Pediatría. Diplomado en Epidemiología+ Esc!ela de ,igiene y 'edicina

-ropical de ondres+ $niversidad de ondres.

'aster en Ciencias con enfo/!e en Epidemiología+ *tlantic"nternational $niversity. Doctorado en Ciencias con enfo/!e en Epidemiología+ *tlantic

"nternational $niversity. Profesor -it!lar *+ -iempo Completo+ $niversidad de

%!ana&!ato. Nivel 0 del istema Nacional de "nvestigadores padilla1arm2gmail.com raygosan2!gto.m)

mailto:[email protected]






Competencias

*plicará pr!eba de 3 para obtener inferencias de lacomparación de dos medias pareadas.

*plicará pr!eba de 3 para obtener inferencias de dosmedias independientes.

*plicará pr!eba de t para dos medias pareadas en!na m!estra pe/!e4a.

*plicará pr!eba de t para dos medias independientesen !na m!estra pe/!e4a.

Obtendrá el intervalo de confianza para dos mediaspareadas e independientes.



Introducción

Con frec!encia /!eremos 5acercomparaciones de dos gr!pos.

os m(todos estadísticos !sados para la

comparación de dos medias dependen decómo las dos medias f!eron obtenidas. osdatos p!eden ser obtenidos de m!estraspareadas o no pareadas.



Datos pareados

6Cómo obtenemos datos pareados7 '!estras pareadas oc!rren c!ando las

observaciones individ!ales en la primera

m!estra son pareadas a las observacionesindivid!ales de la seg!nda m!estra.

Para datos c!antitativos !s!almente oc!rrec!ando 5ay mediciones repetidas en la

misma persona.



Ejemplo

En !n est!dio para determinar si lasmediciones de peso al nacer son adec!adas+se comparó el peso al nacer de reci(n

nacidos de !n 5ospital en Celaya+ %to. as mediciones f!eron realizadas por

diferentes personas+ para controlar el sesgode medición+ estando !n observador cegadoa la medición del otro observador.



Datos no pareados

6Cómo obtenemos datos no pareados7 Obtenemos datos no pareados c!ando

observaciones individ!ales en !na m!estra

son independientes de las observacionesindivid!ales de la seg!nda.



Ejemplo

Para est!diar los efectos de !n n!evo medicamentopara tratar la carga parasitaria de Ascarislumbricoides+ los pacientes f!eron aleatorizados pararecibir nitazo)anida 8gr!po *9 y albendazol 8gr!po :9.

El efecto del medicamento en cada gr!po f!e medidoy comparado.

En el análisis de datos pareados calc!lamos ladiferencia entre la primera y la seg!nda medición.

Esto nos da !na m!estra de diferencias+ para l!egoaplicar los m(todos de análisis para datosc!antitativos de !na m!estra.



Análisis de datos cuantitativos

pareados C!ando analizamos datos pareados+ lo primero es calc!lar la

diferencia entre las dos observaciones individ!ales en cada par. e midieron los pesos al nacer del reci(n nacidos en Celaya+

por dos observadores.Paciente Observador 0 8g9 Observador ; 8g9 Diferencia

8d90 ;<=> ?>0> # @>

; ?A;A ?BA> #0;A

? ?0>> ?0;A # ;A

@ ;=A> ;AA> ;>>

A @>>> @>A> # A>

B ?;>> ??>> #;>>

= ?>>> ?>>> >

;A>> ;=>> #;>>

< ?;>> ?@>> #;>>

0> ?<>> ?=>> ;>>



Análisis de datos cuantitativos

pareados Para eval!ar la diferencia en mediciones pareadas podemos calc!lar la

media de las diferencias y s! intervalo de confianza tambi(n podemoscalc!lar si la media de las diferencias es significativamente diferente de>.

a notación /!e !samos para indicar la media de las diferencias ydesviación estándar en la m!estra y la población se m!estran

Población '!estra

'edia delas

diferencias

F G

F d

Desviaciónestándar H s



Intervalo de confianza

Podemos calc!lar el intervalo de confianzaalrededor de la media de las diferencias de lam!estra en la misma forma /!e los 5icimos

para la media de !na m!estra. El intervalo de confianza al <AI nos dice /!e

tenemos <AI de confianza de /!e laverdadera media de la población está entre el

intervalo de confianza al <AI a los lados dela media de la m!estra.



Intervalo de confianza

a fórm!la general para el intervalo de confianza al<AI es Estimación de la m!estra J0.<B ) E de la estimación

de la m!estra

Entonces el intervalo de confianza al <AI para lamedia de las diferencias es GJ0.<B ) 8s8G9KLn9

G es la media de las diferencias.

0.<B es el m!ltiplicador /!e !samos al calc!lar elintervalo de confianza al <AI. i lo calc!lamos al <>I !samos 0.B@ como

m!ltiplicador.



Ejemplo

"ntervalo de confianza al <AI d de pesos al nacer M #?@.> sM 0@>.<@ EM 0@>.<@KL0>M@@.B> #?@J0.<B 8@@.B>9 M #0;0.@; a A?.@;



Ejemplo

"ntervalo de confianza al <>I d de pesos al nacer M #?@.> sM 0@>.<@ EM 0@>.<@KL0>M@@.B> #[email protected]@ 8@@.B>9 M #0>=.0@ a ?<.0



Prueba de ipótesis para una media de

diferencias

$n intervalo de confianza al <AI nos da !nrango de valores a los lados de la media delas diferencias /!e estamos confiados en !n

<AI /!e incl!ye la media de diferencias enla población. -ambi(n podemos calc!lar la probabilidad de

/!e+ en promedio+ no 5ay diferencia entre las

observaciones pareadas en la población+!sando !na pr!eba de 5ipótesis.




diferencias

a 5ipótesis n!la es /!e la media de lasdiferencias en la población es cero,o G M >

Esto es e/!ivalente a decir /!e la distrib!ciónde la media de las diferencias de la m!estraes Normal+ con media > y !n error estándar/!e depende de la desviación estándar de ladiferencia en la población.

a 5ipótesis alternativa es /!e la media de ladiferencia en la población no es cero, * G >




diferencias

a pr!eba de 5ipótesis Para probar la 5ipótesis n!la calc!lamos la

pr!eba 3

'edia de las diferencias de la m!estra

media de las diferencias de la 5ipótesis d # >

z M ##################################################### M ############

error estándar de la diferencia de E8d9

medias de la m!estra Donde la media de las diferencias de la 5ipótesis es cero.




diferencias

Calc!lar el valor de z en la pr!eba de5ipótesis+ nos dice a c!antos erroresestándar de la media observada está el

centro de la distrib!ción+ definida por la5ipótesis n!la.

G # >

3M #################

8G9 KLn



Ejemplo

,emos visto /!e la media de la diferencia depeso en 0> reci(n nacidos f!e de #?@+ consM0@>.< e intervalos de confianza al <AI de

#0;0.@; a A?.@; gr. !eremos encontrar si las mediciones

tomadas por los dos observadores f!eronrealmente diferentes.



Ejemplo

Debemos se4alar la 5ipótesis n!la QEn promedio+ todas las mediciones posibles

tomadas por los dos observadores son

id(nticas+ o a media de las diferencias en la población es

cero. a 5ipótesis alternativa será la media de la

diferencia en la población no es cero.



Ejemplo

#?@ >Para probar la 5ipótesis calc!lamos z M ########### M # >.=B @@.A;

*s!miendo /!e la media de las diferencias estáNormalmente distrib!ida con media de cero+ el res!ltado dela pr!eba dice /!e la media de las diferencias estimada estáa #>.=B errores estándar del centro de la distrib!ción.

Refiriendo el valor de z de #>.=B a las tablas de dos colas dela distrib!ción Normal estándar el valor de p es >.@@.

a concl!sión es /!e aceptamos la 5ipótesis n!la y decimos lavariación de m!estreo es !na probable e)plicación para lasdiferencias en las medias.



Como obtener el valor de p

En la tabla de la distrib!ción Normal o 3+b!scamos en la col!mna 3 el valor /!eobt!vimos con n!estra pr!eba y vemos en la

col!mna p el valor /!e corresponde. Esta tabla se p!ede encontrar en libros de

te)to de :ioestadística.



!uestras pareadas pe"ue#as

C!ando el tama4o de m!estra es pe/!e4o+ ladistrib!ción de las m!estras no ese)actamente Normal+ pero sig!e la

distrib!ción t. Por este motivo+ si el tama4o de m!estra es

pe/!e4os 8menos de A>9 !samos los valoresde la distrib!ción t+ para el cálc!lo del

intervalo de confianza y pr!eba de 5ipótesis.



Intervalo de confianza para muestras

pareadas pe"ue#as a fórm!la para el intervalo de confianza al <AI es

estimación J t>.>A 8E9 Donde estimación es la media de las diferencias

t>.>A es el valor de la distrib!ción t a >.>A de p con n#0grados de libertad. a primera col!mna de la distrib!ción t es grados de

libertad /!e corresponde a n#0. Samos a la derec5a5asta donde cr!ce el valor /!e corresponda con p>.>A y ese es el m!ltiplicador /!e !samos para elintervalo de confianza.



Prueba de ipótesis para muestras

pareadas pe"ue#as

a fórm!la para la pr!eba de 5ipótesis es

t M media de diferencias > KE a fórm!la es similar /!e la pr!eba de 3+ sólo

/!e el res!ltado+ para obtener el valor de p+se b!sca en la tabla de la distrib!ción t.

a primer col!mna es grados de libertad 8n#09

y se b!sca a la derec5a el valor de t /!eobt!vimos y en la col!mna se compr!eba elvalor de p.



Análisis de muestras independientes

Difiere del análisis de datos pareados+ ya /!eobservamos la diferencia entre dos mediasindependientes en l!gar de la media de lasdiferencias de dos observaciones pareadas.

E&emplos 6os f!madores tienen diferente presión arterial /!e

los no f!madores7 En !na m!estra de f!madores y no f!madores

a presión arterial sistólica f!e en promedio de 0@ yentre no f!madores de 0?.

a diferencia en medias es 0@#0? M0>.



Análisis de muestras independientes

Notación Ta /!e estamos observando dos poblaciones

independientes y dos m!estras son necesarias+ necesitamosnotaciones adicionales. !e se m!estran en la tabla deaba&o

Rec!erde /!e !samos letras griegas para parámetros de lapoblación y letras latinas para estimaciones de la m!estra

os nUmeros inferiores nos sirven para diferenciar entre lam!estra 0 y la m!estra ;+ y entre las poblaciones 0 y ;.

Población '!estra0 ; 0 ;

F F 'edia V0 V; W0 W;

Desviación estándar H0 H; s0 s;



Distribución de muestreo para dos

muestras independientes a distrib!ción de m!estreo de la diferencia entre

dos medias independientes es encontrada !sandolos mismos procedimientos !sados para !na solam!estra.

-omamos repetidamente m!estras aleatorias detama4o n0 y de tama4o n; de !na seg!ndapoblación y cada vez calc!lamos las medias 8)0+);9y las desviaciones estándar 8s0+ s;9 en ambaspoblaciones y l!ego medimos la diferencia entre las

medias para cada par de m!estras. El res!ltado es !na distrib!ción de m!estreo de

diferencias entre las dos medias independientes.



Distribución de muestreo para dos

muestras independientes %enerando esta distrib!ción podemos ver /!e0.# a media de la distrib!ción de m!estreo es el valor de la

población+ /!e es la diferencia entre las dos medias de lapoblación.

;.# a desviación estándar de la distrib!ción de m!estreo depende

de n0 y n;+ /!e son los tama4os de m!estra.?.# a forma de la distrib!ción se v!elve más parecida a la Normalc!ando n0 y n;+ se incrementan.

abemos /!e la distrib!ción de m!estreo de c!al/!ierestimación de la m!estra p!ede ser inferida de los datosre!nidos de sólo !na m!estra.

os mismos principios aplican en este caso la distrib!ción dem!estreo de la diferencia de medias p!ede ser inferida de sólo!n gr!po de dos m!estras. Para realizar esto+ necesitamos a diferencia entre las dos medias de las m!estras El error estándar de la diferencia entre las dos medias de las m!estras



Error estándar para la distribución de

la diferencia de medias El error estándar de la diferencia entre dos medias

independientes es la combinación de los erroresestándar de las dos distrib!ciones de m!estreoindependiente.

abemos /!e el error estándar de !na media de lam!estra es

s

E M ########

L n Sarianza de la media es el c!adrado del error

estándar Sarianza M H; K n




la diferencia de medias e p!ede mostrar /!e la varianza de dos medias independientes es

ig!al a la s!ma de las varianzas de las dos medias de las m!estras+ ya/!e

H0 H;

E 8W09 M ####### E 8W;9 M ######## n n

F F H; 0 H;;

Sarianza 8W0 W;9 M varianza de W0 X varianza de W; M ######### X ####### n0 n; as varianzas son s!madas debido a /!e cada !na de las m!estras

contrib!ye al error de m!estreo de la distrib!ción de las diferencias. Entonces+ el error estándar de la diferencia entre dos m!estras

independientes es dado por

H;0 H;; E 8W0 W;9 M L ####### X ###### n0 n;




la diferencia de medias

En la mayoría de las sit!aciones noconocemos las desviaciones estándar de lapoblación 8H0 y H;9 en la práctica

comUnmente+ !samos las desviacionesestándar de la m!estra 8s0 y s;9+ por lo /!e

s;0 s;

0

E8W0 O W;9 M L ####### X #########

n0 n;



Intervalo de confianza para la

diferencia de dos medias

*s!miendo /!e la distrib!ción de m!estreode 8W0 W;9 es Normal+ podemos calc!lar elintervalo de confianza para la diferencia entre

dos medias !sando la fórm!la generalDiferencia en medias J 0.<B 8E 8W0 OW;99

Para !n intervalo de confianza al <AI+as!miendo distrib!ción Normal

F F

8W0 W;9 J 0.<B YL8s;0 K n09 X 8s;

0 K n;9Z



Ejemplo

En !n est!dio para eval!ar la eficacia de la sol!ciónde re5idratación oral 8RO9 en ni4os con diarreaag!da+ @> ni4os est!vieron en el gr!po detratamiento y @> en el gr!po control. e midió la

d!ración media en 5oras de la diarrea y la desviaciónestándar.

%r!po n 'edia de d!ración de diarrea s

-ratamiento @> =; 0>

Control @> 0;> 0;



Ejemplo

Para calc!lar el intervalo de confianza al <AI para ladiferencia en medias de m!estras independientes+necesitamos primero calc!lar la diferencia en mediasy el error estándar

F FW0 W; M =; 0;> M # @ 5oras

s;

0 s;; 0>; 0;;

E8W0 O W;9 M L #####X ##### M L###### X #### ML;.AX?.B M ;.@= n0 n; @> @><AI "C M #@ J 0.<B 8;.@=9M # A;. a @?.0B



Ejemplo

a diferencia en medias f!e de #@ 5oras con!n error estándar de ;.@=.

os intervalos de confianza al <AI nos dicen

/!e tenemos <AI de confianza en /!e ladiferencia en las medias de la d!ración dediarrea en toda la población está entre A;.5oras y #@?.0B 5oras.

Como no incl!ye la !nidad+ p!edo adelantar/!e las diferencias en las medias sonestadísticamente significativas.



Prueba de ipótesis para dos medias

independientes Para calc!lar la probabilidad 8valor de p9 de /!e las dos medias

son ig!ales+ !samos la pr!eba de 5ipótesis. $samos la pr!eba de z en la misma forma+ /!e lo 5icimos para

la media de diferencias de m!estras pareadas a 5ipótesis n!la es /!e las dos medias son ig!ales ,o

V0 V; M > a 5ipótesis alternativa es ,0 V0 # V; > *sí+ la fórm!la para la pr!eba de z es

F F 8W0 W;9 # >

z M ################## E8W0 W;9

E 8W0 W;9 M L8s;0 Kn09 X 8s;0 Kn;9



Ejemplo

*pli/!emos la pr!eba de 5ipótesis para el est!dio de sol!ción dere5idratación oral+ de /!e la d!ración de la diarrea es en promedio lamisma para ambos gr!pos. a diferencia de medias es @ 5oras. El error estándar es ;.@=.

# @ # > 3 M ########### M # 0<.@?

;.@= Esto nos dice /!e la diferencia observada es #0<.@? errores estándar

del centro de la distrib!ción 8>9. El valor de p+ para z M # 0<.@? es [>.>>>0 i no 5!biera diferencia en la d!ración de la diarrea entre los dos

gr!pos+ debería 5aber !na pe/!e4a oport!nidad 8p[>.>>>09 deobservar !na diferencia tan e)trema como la observamos.

Podemos decir /!e es más probable /!e la diferencia entre las dosmedias sea diferentes+ o sea+ /!e la diferencia en el promedio delgr!po con RO con el control+ son estadísticamente diferentes.



!uestras pe"ue#as con dos medias

independientes C!ando comparamos dos m!estras independientes

/!e son pe/!e4as+ !samos la distrib!ción t en l!garde la distrib!ción Normal para calc!lar los intervalosde confianza y para probar 5ipótesis.

El procedimiento es similar al /!e 5emos !sado paradatos de !na m!estra+ con !na e)cepción el cálc!lodel error estándar.

a varianza comUn Con m!estras pe/!e4as estimamos !na varianza

comUn !sando los datos de dos m!estras

independientes. Es el promedio de las dos varianzas 8n0 09s;0 X 8n; #09s;0 ; M ########################### 8n0 09 X 8n; #09



!uestras pe"ue#as con dos medias

independientes

El error estándar de la diferencia entre lamedia de la m!estra es

E8W0#W;9 M s ) L0Kn0 X 0Kn;



Ejemplo

En !n est!dio para el tratamiento de anemiapor deficiencia de 5ierro+ con dos tiposdiferentes de 5ierro+ se aleatorizaron los

escolares de !n p!eblo+ para recibir !no !otro tratamiento. *l inicio+ los niveles de 5emoglobina 8,:9 en

gKDl. eran similares en ambos gr!pos. Desp!(s de ? meses de tratamiento se

midieron los niveles de ,:.



Ejemplo

,emoglobina n 'edia 8gKDl.9 s,ierro * 0A 0@. >.A

,ierro : 0? 0;.0 0.0"ntervalo de confianza al <AI M diferencia de

medias J m!ltiplicador t>.>A ) E'!ltiplicador t>.>A con n#; grados de libertad M

;.>AB; M 80A#09>.A; X 80? #090.0; K0A#0 X 0?#0 M?.A

[email protected];K;B M 0K;B M>.B<



Ejemplo


,ierro : 0? 0;.0 0.0"ntervalo de confianza al <AI M 0@. # 0;.0 J

;.>AB ) 0.;0E M s L0Kn0 X 0Kn; M L>.B< )L0K0A X 0K0?M>.? ) >.?=< M >.?;"C<AI M ;.=J >.BB M ;.>@ a ?.?B



Ejemplo


,ierro : 0? 0;.0 0.0,o \0M\; o \0#\;M >, * \0\; o \0#\; >

tM 80@. # 0;.09#> K >.?; M .@@gl n#; M ;B p[>.>A



Biblio$rafía

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?.# *ltman D%. Practical statistics for medicalresearc5. :oca Ratón+ C5apman ,allKCRC 0<<0 0#<.

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