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CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 1
EJERCICIOS RESUELTOS DE NMEROS COMPLEJOS
1. Dadosz1= -3+4i,z2= 5-2i,z3=32yz4=7i, calcular:
a) (z1-z2)z3 b)z1z4+z3z4 c) z1+z4-5z2 d)z1+z3-1 e)z2
-1
f) z1z2 g) ( )1 21
+z z h)z12
z3 i)z2z1 j)z1
2z3+z4
Solucin
a) Para calcular (z1-z2)z3, en primer lugar se calcula la operacin del parntesis y a continuacin se
multiplica el resultado porz3:
(z1-z2)z3 = (-3+4i (5-2i))32= (-3-5+(4+2)i)
32= (-8+6i)
32= -12+9i
b) En primer lugar se calculanz1z4yz3z4para despus sumar los resultados:
z1z4= (-3+4i) 7i = -21i+28i2= -28-21i
z3z4=327i=
212
i
z1z4+z3z4 = -28-21i+212 i
= -28-212 i
Notar que otra forma de obtener este resultado es sacar factor comnz4quedando:
z1z4+z3z4 = (z1+z3)z4 =23 3 21 21
3 4 7 4 7 28 282 2 2 2
+ + = + = + =
i i i i i i i
c) En primer lugar se calcula la operacinz1+z4-5z2= -3+4i + 7i 5(5-2i) = -28+21i y despus
se calcula su conjugado, z1+z4-5z2 = -28-21i
d) El inverso dez3esz3-1=
1
32
=23 y, por tanto,z1+z3
-1= -3+4i+23=
-73 +4i
e) Para calcular el inverso dez2= 5-2ise puede proceder de dos formas:
mediante la definicin:z2-1= 552+(-2)2- -252+(-2)2i = 529+ 229i escribindolo como un cociente y efectuando la divisin multiplicando el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador:
z2-1=
1z2
=1
5-2i=
1(5+2i)(5-2i)(5+2i)
=5+2i25-4i2
=5+2i29
=529
+229i
f) Teniendo en cuenta que el conjugado del conjugado de un nmero es el propio nmero, es decir,
z1z2 =z1z2, se tiene z1z2 =z1z2= (-3+4i)(5-2i) = -15+6i+20i-8i2= -7+26i
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CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 2
g) En primer lugar, se realiza la suma dez1yz2, despus se calcula el conjugado de este resultado
y finalmente el inverso de ste ltimo:
z1+z2 = -3+4i+ 5-2i= -3+5+(4-2)i= 2+2i
z1+z2 = 2-2i
( )1 21
+z z
=1
2-2i=
1(2+2i)(2-2i)( 2+2i)
=2+2i4-4i2
=2+2i
8=
14
+14i
Observar que se podra haber invertido el orden de realizacin de las dos ltimas operaciones ya
que se verifica ( )1
a bi
+ = (a+bi)-1
h)z12
z3= (-3+4i)2 3
2= (9-24i+16i2
)3
2= (9-24i-16)
3
2= (-7-24i)
3
2=
-21
2 -36i
i) Se efecta el cociente multiplicando numerador y denominador por el conjugado del
denominador:
z2
z1=
5-2i-3+4i
=(5-2i)(-3-4i)
(-3+4i)(-3-4i)=
-15-20i+6i+8i2
9-16i2=
-15-14i-89+16 =
-23-14i25 =
-2325 -
1425i
j) En primer lugar se calcula el denominador
2z3+z4 = 232+ 7i= 3+7i
y, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, el cociente queda:z1
2z3+z4=
-3+4i3+7i
=(-3+4i)(3-7i)(3+7i)(3-7i)
=-9+21i+12i-28i2
9-49i2=
-9+33i+289+49
=19+33i
58=
1958
+3358i
2. Dados los nmeros complejosz1= 2-iyz2= 3+6i, determinar el nmeroxque verifica cada una
de las siguientes igualdades:
a)z1+x =z2 b)z12x = 1 c)z1+z2+x = 1 d)z22+x =-z12 e)z2x =z1
Solucin
a) Despejandoxse tienex =z2-z1= 3+6i (2-i) = 3-2+(6+1)i= 1+7i
b)Despejandoxse tienex =1
z12que existe al serz1
2no nulo.
Aplicando la frmula del cuadrado de una diferencia, se tiene:
z12= (2-i)2= 4 - 4i + i2 = 4 - 4i-1 = 3-4i
y calculando el inverso del resultado anterior queda
x =1
z12=
13-4i
=1(3+4i)
(3-4i)(3+4i)=
3+4i9-16i2
=3+4i9+16=
3+4i25 =
325+
425i
c)Despejandoxse tienex = 1 -z1-z2= 1 - (2-i) (3+6i) = 1 - 2 - 3 + (1-6)i= -4-5i
d) Despejandoxse tienex =-z12-z22. Calculando el cuadrado dez1yz2se tiene:
z12= (2-i)2= 4 - 4i + i2= 4 - 4i - 1 = 3-4i
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CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 3
z22= (3+6i)2= 9 + 36i+ 36i2= 9 + 36i 36 = -27+36i
As,x =-z12
-z22
= -(3-4i) - (-27+36i) = -3 + 4i+ 27 - 36i= 24-32i
e) Al ser z2 no nulo, se puede despejar x obtenindose x =z1
z2. Para calcular este cociente se
multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
x =z1
z2=
2-i3+6i
=(2-i)(3-6i)
(3+6i)(3-6i)=
6-12i-3i+6i2
9-36i2=
6-15i-69+36 =
-15i45 =
-13 i
3. Determinar una ecuacin de coeficientes reales cuyas soluciones en Csean -3, 2+iy 2-i.
Solucin
Si -3, 2+iy 2-ison las soluciones de una ecuacin, esta ha de ser proporcional a
(x-(-3)) (x-(2+i)) (x-(2-i)) = 0
realizando el producto del primer miembro de la ecuacin se tiene
(x-(-3)) (x-(2+i)) (x-(2-i)) = (x+3) (x-2-i) (x-2+i) = (x+3) ((x-2)2-i2) = (x+3) (x2-4x+4+1) =
= (x+3) (x2-4x+5) =x3 -x2 - 7x + 15
Por tanto, una de las ecuaciones que cumplen la condicin indicada esx3 -x2 - 7x + 15 = 0
4. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga por races los nmeros
complejos -4iy -5+2i.
Solucin
Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raz imaginaria tiene
tambin su conjugada, las cuatro races del polinomio buscado son -4i, 4i, -5+2i y -5-2i.
Por tanto, el polinomio es cualquiera proporcional a:
(x-(-4i)) (x-4i) (x-(-5+2i)) (x-(-5-2i)) = (x+4i) (x-4i) (x+5-2i) (x+5+2i) =
= (x2-16i2) ((x+5)2-4i2) = (x2+16) (x2+10x+25+4) = (x2+16) (x2+10x+29) =
=x4 + 10x3 + 45x2 + 160x + 464
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Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 4
5. Dada una ecuacin polinmica de grado 4 de coeficientes reales, responder a las siguientes
cuestiones.
a) Cuntas soluciones imaginarias puede tener si una de sus races es real?
b) Si 8iy 5-3i, son dos soluciones, cules son las otras soluciones?
Solucin
a) Como el polinomio es de grado 4, tiene 4 races reales o imaginarias. Teniendo en cuenta que si
tiene una raz imaginaria tiene tambin su conjugada y que una de sus races es real, se deduce que
este polinomio de grado 4 o no tiene races imaginarias o tiene 2.
b)Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raz imaginaria tiene
tambin a su conjugada, las otras dos soluciones sern las conjugadas de las dadas, es decir, -8iy
5+3i.
6. Resolver en Ry en Clas siguientes ecuaciones:
a)x4+ 3x2- 10 = 0 b)x3+ 5x2+ 6x= 0 c)x4+2x2+ 1 = 0
Solucin
a)x4+ 3x2- 10 = 0 es una ecuacin bicuadrada, por lo que haciendo t =x2se obtiene la ecuacin
polinmica de segundo grado, t2+ 3t-10 = 0, cuyas soluciones son:
t=-3 32- 4.1.(-10)
2=
-3 492
=-3 7
2=
-5
2
Considerando la solucin t = -5, se obtienex2= -5, de dondex= -5 = 5 -1 = 5i Considerando la solucin t = 2, se obtienex2= 2, de dondex= 2
Por tanto, las soluciones en Rsonx= 2 yx= - 2 y las soluciones en Cson, adems de las dosanteriores,x= 5 iyx= - 5 i.
b)Factorizando el polinomio, la ecuacinx3+ 5x2+ 6x= 0 quedax(x2+5x+6) = 0, y teniendo en
cuenta que para que el producto de dos factores sea 0 basta que lo sea uno de ellos, se obtiene que
o bienx= 0 o bienx2+ 5x + 6 = 0, de donde,x=-5 52- 4.1.6
2 =-5 1
2 =-5 1
2 = -3
-2
Por tanto, las soluciones tanto enRcomo enCsonx= 0,x= -2 yx= -3.
c)x4+2x2+ 1 = 0 es una ecuacin bicuadrada, por lo que haciendo t =x2se obtiene la ecuacin
polinmica de segundo grado, t2+ 2t+ 1 = 0, que se puede escribir de la forma, (t+1)2= 0, cuya
solucin es t= -1, doble.
Considerando la solucin t = -1, se obtienex2= -1, de dondex= -1 = i
Por tanto, la ecuacin no tiene soluciones en Ry las soluciones en Csonx= i yx= - i, dobles.
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Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 5
7. Determinar el mdulo, el argumento, la forma polar y la forma trigonomtrica de los siguientes
nmeros complejos:
a)2+2i b) -2+2i c) 2-2i d) -2-2i e) - 5 f)53i
g) 3+i
Solucin
En todos los apartados se representa el nmero complejo para ayudar a determinar su argumento.
a)El mdulo y el argumento de 2+2ison:
l2+2il = 22+22= 8 = 2 2
arg(2+2i) = arctg2
2= arctg1 =
4
Por tanto, la forma polar de 2+2ies (2 2)/4
y la forma trigonomtrica 2 2
cos4+ i sen
4
b)El mdulo y el argumento de -2+2ison:
l-2+2il = (-2)2+22= 8 = 2 2
arg(-2+2i) = arctg2
-2
= arctg(-1) =3
4
Por tanto, la forma polar y trigonomtrica de -2+2ison, respectivamente:
l-2+2il = (2 2)3/4
l-2+2il = 2 2
cos34
+ i sen34
c)El mdulo y el argumento de 2-2ison:
l2-2il = 22+(-2)2= 8 = 2 2
arg(2-2i) = arctg-22 = arctg-1 =
74
Por tanto, la forma polar de 2-2ies (2 2)7/4
y la forma trigonomtrica 2 2
cos74
+ i sen74
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Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 6
d)El mdulo y el argumento de -2-2ison:
l-2-2il = (-2)2+(-2)2= 8 = 2 2
arg(-2-2i) = arctg-2-2
= arctg1 =54
Por tanto, la forma polar de -2-2ies (2 2)5/4
y la forma trigonomtrica 2 2
cos54 + i sen
54 .
e)De la figura se concluye de forma inmediata que el mdulo y el argumento de - 5 son:
l- 5l = 5
arg(- 5) =
Por tanto, la forma polar de - 5 es 5y la forma trigonomtrica 5 (cos+ i sen)
f)De la figura se concluye de forma inmediata que el mdulo y el argumento de53
ison:
5
3i =
5
3
arg
5
3i=
2
Por tanto, la forma polar de53ies
5
3 /2y la forma trigonomtrica
53
cos2+ i sen
2
g)El mdulo y el argumento de 3+ison:
l 3+il = ( 3)
2
+1
2
= 4 = 2arg( 3+i) = arctg
1
3=
6
Por tanto, la forma polar y trigonomtrica de 3+ison, respectivamente:
3+i= 2/6
3+i= 2
cos6+ i sen
6
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Unidad didctica 4. Nmeros reales y nmeros complejos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 7
8. Determinar la forma binmica de los siguientes nmeros complejos:
a) 3 cos6+isen6 b) 3 cos2+isen2 c) 13/4 d) 2/3
Solucin
a) El nmero complejo 3
cos6+isen
6
est dado en forma trigonomtrica y para obtener su
forma binmica basta hacer operaciones, as:
3
cos6+isen
6
= 3
3
2+i
12
=32+i
32
b) El nmero complejo 3
cos
2+isen
2 est dado en forma trigonomtrica y para obtener suforma binmica basta hacer operaciones, as:
3
cos2+isen
2 = 3 (0+i1) = 3i
c) El nmero complejo 13/4
est dado en forma polar, para obtener su forma binmica basta
escribir su forma trigonomtrica y hacer operaciones, as:
13/4
= 1
cos34 +isen
34 =
- 22 +
22 i
d) El nmero complejo 2/3 est dado en forma polar, para obtener su forma binmica bastaescribir su forma trigonomtrica y hacer operaciones, as:
2/3
= 2
cos3+isen
3 = 2
1
2+3
2 i=2
2 +6
2 i
9. Dados los nmeros complejosz1= 2-i,z2= 4,z3= 3
cos4+isen
4
yz4= 1 - 3 i, realizar las
operaciones que se indican a continuacin expresando los resultados en forma binmica:
a)z1z2 b)z1+z3 c)z43 d)z1z3
e)z2
z3 f) z2 g)z2
4 h)3z3Solucin
En este ejercicio hay que tener en cuenta que para realizar una operacin entre dos nmeros
complejos, ambos deben estar escritos de la misma forma: binmica, polar o trigonomtrica.
a) Expresando z2 en forma binmica se tiene z2 = 4 = 4(cos+isen) = 4(-1+i0) = -4, y
multiplicando este resultado porz1se obtienez1z2= (2-i)(-4) = -8+4i.
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Proyecto de innovacin ARAGN TRES 8
b) Expresando z3en forma binmica queda z3= 3
cos4+isen
4 = 3
2
2 +i2
2 =3 22 +
3 22 i, y
sumando este resultado conz1se obtienez1+z3= 2 - i+3 22
+3 22
i=4+3 2
2-
3 2-22
i.
c) El clculo de potencias de un nmero complejo se simplifica si ste se expresa en forma polar o
trigonomtrica.
Para calcular la expresin polar dez4= 1- 3 ies necesario calcular su mdulo y su argumento:
l1- 3 il = 12+(- 3)2= 4 = 2
arg(1- 3 i) = arctg- 31
=53
y as la forma polar de 1- 3 ies 25/3
Por tanto,z43= ( )25/3
3= 2
3
3.5/3= 8
5= 8
Y la expresin binmica del resultado esz43= 8
= 8(cos+isen) = 8(-1+0i) = -8
d) La forma binmica de z3, obtenida en el apartado b), es z3=3 22 +
3 22 i, y multiplicando este
resultado porz1se obtiene:
z1z3= (2-i)
3 2
2+
3 22
i= 3 2+3 2i-3 22
i-3 22
i2=
9 22
+3 22
i
e) En este caso resulta ms sencillo calcular el cociente en forma polar, para lo que se deben
expresar numerador y denominador en dicha forma:
z2= 4
z3= 3
cos4+isen
4
= 3/4
y realizando la divisin quedaz2z3
=4
3/4
= 43 -/4 = 43 3/4
Expresando el resultado en forma binmica queda:
z2
z3=
4
3 3/4=
43
cos34
+isen34
=43
- 2
2 +i
22
=-2 2
3 +
2 23 i
f) Al estarz2expresado en forma polar, sus races cuadradas se pueden calcular de forma sencilla.
Las races cuadradas dez2= 4son:
4(+2k)/2 para k= 0, 1 es decir, 2/2y 23/2
La forma binmica de cada una de las dos races es:
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Proyecto de innovacin ARAGN TRES 9
2/2
= 2
cos2+isen
2 = 2(0+i1) = 2i
23/2= 2
cos32
+isen32
= 2(0+i(-1)) = -2i
Notar que en este caso al ser z2= 4= -4, un nmero real, su raz cuadrada se puede calcular
como sigue:
z2= -4 = 4 -1 = 2i.
g) Al estarz2expresado en forma polar, el clculo de su cuarta potencia es inmediato,
z24= (4
)4= 44
4= 256
0
que expresado en forma binmica esz24= 256
0
= 256(cos0+isen0) = 256(1+i0) = 256
Como en el apartado anterior, notar que al ser z2= 4= -4, un nmero real, su potencia cuarta se
puede calcular como sigue:
z24= (-4)4= 256
h) Comoz3= 3
cos4+isen
4 tiene por expresin polarz3= 3/4, sus races cbicas son:
33
(/4+2k)/3para k= 0, 1, 2 es decir,
33
/12,
33
9/12y
33
17/12
La forma binmica de cada una de las tres races es:
3 3/8 =3 3 cos 12+isen 12 =
3 3cos 12+i3 3sen 12
33
9/8=
33
cos912
+isen912
=3
3cos912
+i3
3sen912
33
17/8=
33
cos1712
+isen1712
=3
3cos1712
+i3
3sen1712