Complejos 363

complejos 363 www.amatematicas.cl 1

El CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

El gran matemático griego Diofanto (275 D.C.) trató de construir un

triángulo rectángulo con una cuerda de doce nudos a igual distancia uno de

los otros, y que su área fuera igual a 7 unidades cuadradas. Como el área

tenía que ser igual a 7 , si el cateto medía x el otro mediría 14

x . Por

tanto , los lados tendrían que medir x , 14

x , y h .

Teniendo en cuenta que el perímetro debía ser doce unidades y que

por ser rectángulo debía verificarse el teorema de Pitágoras , Diofanto

llegó a la solución :

x = 32 - 167

= 32 167 - 1 ± ± ⋅

12 12

Pero Diofanto no conocía ningún número real que elevado al cuadrado fuese igual

a - 1 , por tanto , el problema no tenía solución .

Posteriormente reaparecieron en el siglo XVI. Fueron introducidos

por primera vez por los matemáticos italianos Tartaglia , Cardano ,

Ferrari , Bombelli. Se les consideraba como números espurios o irreales,

y de allí su denominación de “imaginarios”.

Durante mucho tiempo fueron acogidos con hostilidad por los

matemáticos , que creían ver en ellos algo místico y esotérico que les

inquietaba a tal punto que a fines del siglo XVII , Leibniz los

definía como “un admirable y delicado refugio del espíritu divino , algo

anfibio entre el ser y el no ser “.

Gauss desarrolló el álgebra de los Números Complejos, dándole en

1832 su actual denominación de NUMERO COMPLEJO . Hamilton, en

1840, le dió un perfeccionamiento definitivo, cuando consiguió definirlos

como pares ordenados de números reales.

I. NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA DE PAR ORDENADO.

DEFINICION : Se llama número complejo a todo PAR ORDENADO DE NUMEROS REALES. Es decir a una expresión de la forma :

z = (a , b) con a , b ∈ IR


Si z = (a , b) , entonces a = Re (z) = parte real del complejo “z”

b = Im (z) = parte imaginaria del complejo “z”.

Se desprende de esto que nuestro universo es ℜ x ℜ o ℜ2 , y que

llamaremos C.

Ejemplo : (-4 , 3) , (0 , 5) , 1

2

3

5 ,

−

, ( )3 2 , − son números

complejos.

REPRESENTACION GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO. Como un par ordenado de números reales se puede representar en un sistema

de ejes cartesianos, se dice que los números complejos también tienen una

representación gráfica de la misma forma .

Ejemplo : Los números complejos (4 , 6) y (-3 , 2) quedan :

y

6 -------------• (4 , 6)

5

4

3

(-3 , 2) • 2

1

-3 -2 -1 1 2 3 4 x

IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS :

Sean z1 = (a , b) y z2 = (c , d) dos números complejos, entonces :

z1 = z2 ⇔ a = c y b = d

Ejemplo : (x,y) = (-2 ,7) entonces x = -2 e y = 7

ACTIVIDAD : Encuentra el valor de x y de y en los siguientes casos : 1. (3 , x) = (3 , 5) 2. (x , 3) = (2 , 5) 3. (x + 3 , 2y) = (y , 2 + x) 4. (x2 - 5x + 6 , 6) = ( 0 , 6)

5. (1 , 9x-5) = (72x-9 , 27) 6. 3x + 2y = (6 , [2 + y] )

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

Los números complejos pueden ser :

Complejos Reales : Tienen la forma (a , 0) , es decir la segunda componente

del par ordenado es cero.


Complejos imaginarios puros :Tienen la forma (0 , b) , es decir la primera componente es cero.

CONCLUSIONES : CIR = { (a,0) / a ∈IR } es el conjunto de los números reales 0 ≡ (0,0) es el complejo neutro para la adición CI = { (0,b) / b ∈ IR } es el conjunto de los números imaginarios. 1 ≡ (1,0) es el complejo neutro para la multiplicación i ≡ (0,1) es la unidad imaginaria

¿Cuál es el único número que es a la vez un complejo real y un complejo

imaginario ?.

¿Cuál es el lugar geométrico de los complejos reales ?

¿Cuál es el lugar geométrico de los complejos imaginarios ?

¿Cómo se representa el complejo cero ?

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS. ADICION DE NUMEROS COMPLEJOS :

Dados dos números complejos z1 = (a , b) y z2 = (c , d) , se define la

adición en C como :

z1 + z2 = (a + c , b + d)

Ejemplos : (4 , -7) + (3 , 1) = (4 + 3 , -7 + 1) = (7 , -6)

−

+

= − + +

= −

3

1

22

3

43 2

1

2

3

41 1

1

4 , , , ,

Para la resta entre números complejos se debe recordar que :

z1 - z2 = z1 + (-z2)

ACTIVIDAD : Dados los números complejos : z1= ( -5 , 2 ) , z2 = ( 0 , 3 ) , z3 = (1 , -1) encuentra el valor de :

7. z1 + z2 + z3 = 8. z3 - ( z1 - z 2 ) =


9. z3 - [ z2 - ( z1 + z2) + z3 ] = 10. -{ - z2 - [ z1 -( z2 + z3 ) ] } =

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO.

Dado un número complejo z , escrito como par ordenado, se define el

complejo conjugado de z , como sigue :

Si z = (a , b) entonces el conjugado de z es z = (a , -b)

Sea z = ( -3, 4) entonces z = ( -3, -4)

11. Determina los inversos aditivos y los conjugados de los siguientes números complejos :

(2 , 3 ) (-1 , -1) (-1 , 0) 0 , -

2

3

MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS . Dados los números complejos z1 = (a , b) y z2 = (c , d) se define la

multiplicación entre ellos como :

z z ac bd ad bc1 2 ⋅ = − +( , )

Ejemplo : 1) ( )( , ) ( , ) ( ) , ( )5 3 2 4 5 2 3 4 5 4 3 2 ⋅ − = ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ −

= (-10 - 12 , 20 - 6)

= (-22 , 14)

2) 3

4

1

2

1

3

4

5

3

4

1

3

1

2

4

5

3

4

4

5

1

2

1

3 , , , .−

⋅

= ⋅ − − ⋅

⋅ + − ⋅

= 1

4

2

5

3

5

1

6 − −

+ −

,

= 1

4

2

5

3

5

1

6 + −

,

= 13

20

13

30 ,


ACTIVIDAD : 12. Efectúa los siguientes productos :

( 1 , 5) ( 3 , 3) = (5 , 2 ) (-1, -6 ) = (-2 , 1) (-2,1) = Para encontrar el inverso multiplicativo debemos efectuar la siguiente multiplicación : (a,b) ⋅⋅⋅⋅ (x,y) = ( 1,0 )

Determinaremos que (x,y) =

+−

+ 2222,

ba

b

ba

a

13. Determina z-1 ( inverso multiplicativo ) de los siguientes números

complejos :

A) (3 , 1) b) (4 , -1 ) c) (0 , 2 )

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS. Se define para z = (a , b) y w = (c , d) la división entre ellos , como :

z

wz w= ⋅ −1 , donde w-1 es el número complejo inverso multiplicativo de w .

(2,3) : ( 5,4) = (2,3) ⋅

+−

+ 2222 45

4,

45

5 = (2,3)⋅

−41

4,

41

5 =

41

7,

41

22

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO SOBRE LA SUMA.

( )∀ ∈ ⋅ + = ⋅ + ⋅.. , ,z z z C z z z z z z z1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 :

POTENCIAS DE i . i = 1− , por lo que 25− = )1(25 −⋅ = 5 1− = 5i

Como i = (0,1) , entonces : ¿cuál es el valor de i2 , i3 , i4 , i5 , ... ?

i2 = (0,1) ⋅ (0,1) = (-1,0)

i3 = (-1,0) ⋅ (0,1) = (0,-1)

i4 = (0,-1) ⋅ (0,1) = (1,0)

i5 = (1,0) ⋅ (0,1) = (0,1) = i Esto se puede resumir en la siguiente expresión :

i4n+p = ip , donde n , p ∈ IN0 y p < 4


Ejemplo : i82 = i4.20 + 2 = i2 = -1

ACTIVIDAD : 14. Calcula el valor de las siguientes potencias : a) i25 + i1003 = b) i20 +3i22 - 4i16 =

c) = 81- 36- 100- ++ d) ( )= 64 - - 49 - 16- ⋅

ES HORA DE REALIZAR EL TALLER Nº 1.

II. FORMA CANONICA O STANDARD DE UN COMPLEJO .

Todo número complejo (a , b) puede expresarse en la forma a + bi .

Esto es : (a , b) ≡ a + bi

ACTIVIDAD : 15. Dados z1 = a + bi y z2 = c + di , deduce las operaciones de

adición (sustracción) y de multiplicación

ADICION :

SUSTRACCION :

MULTIPLICACION :

Ejemplo : Dados z1 = 3 - 5i y z2 = 4 + 7i , entonces :

z1 + z2 = 7 + 2i z1 - z2 = -1 - 12i z1 ⋅ z2 = 40 + i

Observa que los números complejos, en su forma canónica se operan como si

fueran polinomios, pero además, en el caso de la multiplicación, se debe aplicar

el que

i2 = -1 .


ACTIVIDAD : Realiza las siguientes operaciones :

( ) ( )=+−

+⋅

−

=+−+=+−+−

57 : 57 19. = 44

12

2

1 .18

)83( )75( 17. )103()57( .16

iiii

iiii

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO.

Dado un número complejo z , escrito de cualquiera de sus formas , como par

ordenado o canónica , se define el complejo conjugado de z , como sigue :

Si z = (a , b) entonces el conjugado de z es z = (a , -b)

es decir, si z = a + bi , entonces su conjugado es z = a - bi

NOTA : Para dividir números complejos en la forma canónica, se debe

amplificar la fracción por el conjugado del denominador.

Ejemplo : Dividir z1 = -3 + 4i por z2= 10 + 4i

z

z

i

i

i

i

i

i

i i i

i

i

i

1

2

2

2

3 4

10 4

3 4

10 4

10 4

10 4

30 12 40 16

100 16

14 52

116

7

58

13

29

=

− ++

=− +

+⋅

−−

=− + + −

−

=− +

=−

+

( )

( )

( )

( )


PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS : Dados : z , z1 , z2 ∈ C , entonces

El conjugado del conjugado de z : z = z El conjugado de una suma es igual a las suma de losconjugados : z z z z1 2 1 2+ = +

El conjugado de un producto es igual al producto de los conjugados de los factores : z z z z1 2 1 2⋅ = ⋅

El conjugado de un cuociente es igual al

cuociente de los conjugados : z

z

z

z

1

2

1

2

=

La suma de un complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte real del complejo : z z z + = ⋅2 Re( )

La diferencia de un complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte imaginaria del complejo z z z i − = ⋅2 Im( )

Un complejo es real si y sólo si es igual a su conjugado : z IR z z∈ ⇔ =

ACTIVIDAD : Dados los números complejos : z1 = 3 + 4i , z2 = -3 + i , z3 = -2i , z4 = 2

3

1

2− i

Encuentra :

=−

=⋅

=+

32

21

41

.24

.22

.20

zz

zz

zz

=−+=−

=+−+

421

12

1432

3 25.

53 .23

)Im()Re(2 .21

zzz

zz

zizzz

MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO. Sea z = a + bi un número complejo, se llama MODULO o VALOR ABSOLUTO de z al número real z definido por :

z = a b2 2+


Ejemplo: Sea z = 3 + 4i , entonces :

z i= + = + = =3 4 3 4 25 52 2

INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL MODULO DE UN COMPLEJO z = (a , b) = a+bi

El módulo del complejo z mide la longitud y

del segmento que une el origen de coordenadas con

punto del plano correspondiente al número complejo b • dado. z

a x

PROPIEDADES. Sean z, z1 y z2 números complejos, entonces se cumple que :

1. El valor absoluto de la parte real de un complejo es menor o igual al valor

absoluto del complejo: Re ( )z z≤ 2. El valor absoluto de la parte imaginaria de un complejo es menor o igual al

valor absoluto del complejo: Im ( )z z≤ 3. Un complejo es cero si y sólo si su valor absoluto es cero: z z = ⇔ =0 0

4. El valor absoluto de un complejo es igual al valor absoluto de su inverso

aditivo y de su conjugado: z z z= − =

5. El valor absoluto de un producto de complejos es igual al producto de los

valores absolutos de los factores: z z z z1 2 1 2⋅ = ⋅

6. El valor absoluto de un cuociente de números complejos es igual al

cuociente de los valores absolutos de los números:

z

z

z

z

1

2

1

2

=

7. El valor absoluto de una suma de números complejos es menor o igual a la

suma de los valores absolutos de los números complejos:

z z z z1 2 1 2+ ≤ + ACTIVIDAD : 26. Grafica los siguientes complejos y determina su módulo :

3 - 4i 5 + 12i 5 + 8i -5 -12i

27. Realiza las siguientes operaciones : Si z1 = (2 , 3) , z2 = (1 , -2) , z3 = -5 , z4 = 4 i encuentre : a) z1 + z2 - z3 = b) 2z1 - 3 z2 = c) z4 (z1 + z2 ) = Resuelve los problemas :


29. Encuentra el valor de “x” para que el cuociente 2

1

x i

i

−+

sea imaginario

puro.

NOMBRE : ACTIVIDAD : Encuentra el valor de x y de y en los siguientes casos : 1. (2x + y , x - y) = (12 , -5) 2. ( 32x+6 , 42y-7) = (81 , -0,5)

3. ( ) ( ))1,23,3 −= yxy 4. ( )131 2,28

1,

8

1 −+=

yx

y

5.

−=

− 34

1,04,

3

1

2

1yyx 6. ( ) ( )1513 6,436,2

++− = yxyx

Suma, considerando la adición en función de “i”

7. =−−−+− 1624525 8. =−+−−− 169255493

9. = 72- 5 + 50- 7 + 18- 4- 8- 2

10. = 80- + 48- 10 + 45- 8 - 12- 7 + 20- 5

11. 3 x - 4 - 5 - 9 x + 12 x - 64 2

12. ( ) 2 - 18 + 5 - 27 ) ( 3 - 8 6 -12 =⋅ −

Si z1 = (2,-2 ) ; z2 = ( -3,5 ) ; z3 = (4,-1) y z4 = (0,3) Determina :

13. z1 + 2z2 =

14. z z = 2 1⋅

15. z3 + ( z - z =2 1)

16. z + z = 1 4

17. z3 : z2 =

18. ( z4 + z2 ) : ( z1 - z3 ) =

19. ( z1 - z3 ) · 2 z2 = 20. ====-1

3z :z2 Realiza las siguientes operaciones : 21. ( ) -100 - 36 + - 81 = 22. =−+−+−+ 365253165i

23. =−−−+ )16252(26i 24. (2+5i)+(3-2i)2i =

25. 2x -18 + 3x - 72 - - 50 x - x -8 = 2 Encuentra x e y en : 26. (3x,4) = (5,-2y) 27. (x,2y) = (0,-3) Resuelve el siguiente problema : 28. Encuentra el valor de x de modo que el producto (1,-2)(x,-5) sea un

número real.


29. Calcula los siguientes valores de las potencias de i que se indican :

i16

i25

= i1003

i-5 = i

42 + i

54 - i

18

= =+34i

1

i

1

NOMBRE

Dados z1 = 3+4i ; z2 = -3+i ; z3 = -2i ; z4 = i2

1

3

2 −

1. (z1 - z2 ) ( z3 + z4 ) = 2. z1-1 + z2

-1 =

3. z3-1 (z1 + z4) =

4. = z z

z -

2 1

21

⋅z

5. = z - z 31 6. =

z + z

z

43

3

1. Calcula el cuadrado de

a) 5 - 3i = b) 1 - i =

2. Calcula el cuociente de :

( 2 + i ) : ( 2 - 1 ) =

3. Calcula x e y en :

2x - 3i + y = xi - 2i + 2yi + 1

4. Calcula el número complejo cuyo cuadrado sea 8 - 6i

5. Si z = 2 - 3i encuentra z2 - 2z + 1

6. 12. Encuentra “x” para que 1

2x i− sea un número real.

7. 13. Determina los números reales “x” e “y” que satisfagan la siguiente condición :

(2 + xi) : (1 - 2i) = y + i

8. Encuentra “x” con la condición de que el producto (3x,2) ⋅ (4,-5x) sea un complejo imaginario.

9. Encuentra “x” para que el producto de (1 - 2i)(x - 5i) sea un número real.

10. Demuestra : Que las raíces de la ecuación x

4 - 16 = 0 suman cero.

11. Calcula las raíces cuadradas de los números complejos : a) 3 + 4i b) -15 + 8i c) -2i

12. Encuentra las soluciones o raíces de la ecuación x3 - 1 = 0 .

13. Para a,b ∈ IR , a2 + b

2 no puede factorizarse. Sin embargo, si se puede en el campo de los

números complejos :

a2 + b

2 = a

2 - (bi)

2 = (a + bi)(a - bi)

Sabiendo esto, factoriza los siguientes binomios :

a) 4 + x2 b) 36x

2 + 9y

2 c) 25a

2b

2 + 16c

4 d) 100x

2 + 4y

2

14. Determina el valor de los siguientes complejos :

a) z1 = (1 - 2i)2 - (1 + i)

2 b) z2 = (1 - i)

3 - (1 + i)

3


15. Si el complejo ( a, b ) como par ordenado se puede escribir como a + bi en la forma canónica y

además sabemos que el módulo del complejo es

22ba z += = r

Con esos antecedentes definimos la forma polar de un complejo

Z = r( cos αααα + i sen αααα )

Siendo cos αααα = r

a sen αααα =

r

b ; tg αααα =

a

b

Encuentra la forma polar de los siguientes complejos :

a) z1 = 3 + 4i b) z2 = 3 + 2i c) z3 = 5 - 2i

b z = a + bi

α

a

Complejos 363

Documents

Transcript of Complejos 363