Universidad de Santiago de ChileFacultad de IngenieriaCalculo II para IngenieriaJose Miguel Nuñez Aravena

(COMPLEMETNO) Ayudantia 1. Integral inde�nida y metodos de integracion

• A continuacion se muestra una clasica aplicacion de las integrales inde�nidas, y ademas el ejercicio mezcla un tipo deintegracion no ejempli�cado en la anterior guia (ver item 5).

1. Suponga que una particula en movimiento se desplaza con una rapidez regida por v(t) =M

1 + sin (wt)− cos (wt)

[ms

]. En

que tanto M como w son constantes que tienen que ver con la masa de la particula y factores angulares. La particula se

encuentra en una posicion de orgien para cuando t =π

2w[s]. Se pide:

(a) . Hallar explicitamente la posicion en el tiempo de la particula y denotelo por r (t) .

Solucion:

Como es sabido por bases �sicas, se cumplen las siguientes igualdades:

1. a(t) =dv(t)

dt=d2r(t)

dt2

2. v(t) =dr(t)

dt=⇒ r(t) =

ˆv(t)dt+ C ; En que la constante es calculable con una condicion inicial del tipo r(t0) = r0.

Entonces, hay que partir por la igualdad:

r(t) =

ˆM

1 + sin (wt)− cos (wt)dt+ C ; La constante a continuacion se pondra al �nal.

Por comodidad es bueno hacer la sustitucion θ = wt =⇒ dθ = wdt ⇔ 1

wdθ = dt. Y reemplazando en la integral resulta:

M

w

ˆ1

1 + sin (θ)− cos (θ)dθ

Ahora, resolver esta integral puede resultar un poco complejo, pero para ello se cuenta con un muy buen metodo de cambiode variable mencionado en la guia anterior. (Item 5.)

Entonces, siguendo la idea del metodo, hay que analizar primero si el argumento de la integral es PAR o no. Entonces, aligual que en calculo 1:

Si llamamos f(θ) =1

1 + sin (θ)− cos (θ), entonces vease que:

f(−θ) = 1

1 + sin (−θ)− cos (−θ)=

1

1− sin (θ)− cos (θ)

Asi que claramente el argumento de la integral no es par. Y la sustitucion sugerida por el metodo es x = tan

(θ

2

), con lo

que θ = 2arctan (x), Asi se tiene que: dθ =2dx

1 + x2. Ademas mediante esta susitucion se cumplen las siguientes relaciones:

sin (θ) =

2x

1 + x2

cos (θ) =1− x2

1 + x2

Y asi reemplazando las nuevas variables en la integral, se obtiene:

1

Universidad de Santiago de Chile - Facultad de Ingenieria - Calculo II - Jose M. Nuñez A.

M

w

ˆ1

1 +

(2x

1 + x2

)−(1− x2

1 + x2

) 2dx

1 + x2

Y sumando las fracciones del denominador:

=M

w

ˆ1

1 + x2

1 + x2+

(2x

1 + x2

)−(1− x2

1 + x2

) 2dx

1 + x2

=M

w

ˆ1(

(1 + x2) + 2x− (1− x2)1 + x2

) 2dx

1 + x2

=M

w

ˆ1(

2x2 + 2x

1 + x2

) 2dx

1 + x2

=2M

w

ˆ1

2x2 + 2xdx

=M

w

ˆ1

x(x+ 1)dx

La ultima se puede separar como es de costumbre mediante fracciones parciales, o como sigue:

M

w

ˆ1 + x− xx(x+ 1)

dx

=M

w

ˆ1 + x

x(x+ 1)dx− M

w

ˆx

x(x+ 1)dx

=M

w

ˆ1

xdx− M

w

ˆ1

(x+ 1)dx

=M

w(ln |x| − ln |x+ 1|) + C =

M

wln

(|x||x+ 1|

)+ C

y volviendo a la variable original se tiene que:

ˆM

1 + sin (wt)− cos (wt)dt =

M

wln

| tan(wt

2

)|

| tan(wt

2

)+ 1|

+ C

Ahora, para calcular la constante, consideremos la condicion dada r( π

2w

)= 0.

Entonces imponiendo la condicion:

r( π

2w

)=M

wln

| tan(π4

)|

| tan(π4

)+ 1|

+ C = 0

2

Universidad de Santiago de Chile - Facultad de Ingenieria - Calculo II - Jose M. Nuñez A.

C = −Mw

ln

(|1||1 + 1|

)= −M

wln

(1

2

)Asi es como �nalmente, la posicion de la particula en funcion del tiempo sera:

r(t) =M

wln

| tan(wt

2

)|

| tan(wt

2

)+ 1|

− M

wln

(1

2

)[m].

3