Complemento de Física III. Ondas, Héctor Alzate López

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Instituto de Fsica

Complemento de Fsica IIIOndas

Hctor Alzate Lpez

Medelln, Enero de 2004

Programa del Curso de FIII, Evaluacin (semestre 2003/2) y Bibliografa

ProgramaUnidad I: Movimiento Ondulatorio. Ondas Elsticas(h: hora) 20 hPresentacin global del contenido del curso; metodologay evaluacin. Descripcin matemtica de la propagacinondulatoria. Periodicidades espacial y temporal del movi-miento ondulatorio. Fase y desfases. Ecuacin diferencialdel movimiento ondulatorio. (3 h)

Ondas elsticas longitudinales y transversales en una ba-rra. Ondas de presin en una columna de gas. (3 h)

Ondas transversales en una cuerda. Descripcin analticade la polarizacin. (1 h)

Propagacin de momentum y energa. Flujo energtico ointensidad. Nivel de intensidad B. (2 h)

Reflexin y transmisin en el punto de unin de dos cuer-das. (1 h)

Ondas en varias dimensiones; vector k. Ondas esfricas enfluidos isotrpicos. (1 h)

Ondas estacionarias en una dimensin. Ondas estaciona-rias y la ecuacin de onda. Ondas estacionarias en cuerdasy columnas de aire. Ondas estacionarias en 2 dimensiones(2 h)

Efecto Doppler. (1 h)

Anlisis de Fourier de movimientos peridicos y ondula-torios. Velocidades de fase y de grupo; pulsos; dispersin.(2 h)

Problemas. (3 h)

Unidad II: Ondas Electromagnticas8 hEcuaciones de Maxwell. Solucin en ondas planas. Ener-gas elctrica y magntica. Polarizacin. (3 h)

Flujo energtico. Vector de Poynting. Presin de radiacin.(2 h)

Produccin de ondas electromagnticas. El espectro elec-tromagntico. (1 h)

Problemas. (2 h)

Unidad III: Reflexin, Refraccin y Polarizacin. pticaGeomtrica16 hPrincipio de Huygens. Teorema de Malus. Principio deFermat. (2 h)

Reflexin y refraccin de ondas planas. Ley de Snell. n-gulo crtico. (2 h)

Coeficientes de Fresnel. (2 h)

Reflexin y refraccin en superficies esfricas. (2 h)

Lentes delgadas. (2 h)

Instrumentos pticos: Ojo, microscopio, telescopio. (2 h)

Prismas y dispersin. Arco iris. (1 h)

Problemas. (3 h)

Unidad IV: Interferencia y Difraccin16 hCoherencia e incoherencia. Interferencia de 2 fuentes sin-crnicas. (2 h)

Interferencia de varias fuentes. (2 h)

Interferencia en pelculas delgadas. Anillos de Newton. (2h)

Ondas electromagnticas estacionarias; experimento deHertz. (1 h)

Difraccin de Fraunhofer por una rendija delgada; poderde resolucin. (2 h)

Difraccin de Fraunhofer por 2 rendijas (experimento deYoung). (1 h)

Difraccin por una abertura circular; poder de resolucin.(1 h)

La rejilla de difraccin; poder de resolucin. (2 h)

Problemas. (3 h)

Evaluacin, Facultad de IngenieraSe realizarn 4 exmenes:Primer examen, Unidad I, 30 %.Segundo examen, Unidad II, 20 %.Tercer examen, Unidad III, 30 %.Cuarto examen, Unidad IV, 20 %.

BibliografaM. Alonso y E. Finn, Fsica, Vols. I y II. Fondo EducativoInteramericano, S.A.

Sears, Zemansky et al., Fsica Universitaria, Vols. I y II, Ed.Addison Wesley (Pearson Educacin), 1999

Serway, R.A. Fsica, Vols.1 y 2. Nueva Editorial Interame-ricana, S.A.

Resnick y Halliday, Fsica, Vols. I y II, Ed. CECSA.

W. Edward Gettys, Frederick O. Keller y Malcolm J. Sko-ver, Fsica Clsica y Moderna, Ed. McGraw Hill.

Eisberg, Lerner, Fundamentos y Aplicaciones de Fsica,Vols. I y II, Ed. McGraw Hill S.A.

Ronald Lane Reese, Fsica Universitaria, Vols. I y II, Ed.Thomson, 2002

1 ONDAS ELSTICASEl presente folleto se dise como un complemento al curso de Fsica III y no como un texto

gua. Al estudiante le seguirn siendo indispensables las notas de clase y alguno de los textos deFsica Universitaria que se dan en la bibliografa del curso.

El tipo de letra utilizado en un escrito impreso se llama redondo o normal si no tiene ningunainclinacin en especial, y es el ms comn; se llama cursivo si est inclinado hacia la derecha. Si elcarcter se destaca por ser ms negro, se dice que est en negrilla.

En este complemento se sigue la convencin de escribir las variables escalares con letra cursivao itlica, p. ej.,m, x, t, F, v (no se escribe: m, x, t, F, v), mientras que los vectores se denotan con letraredonda y negrilla, p. ej., F, v (no se escribe: F, F ). Las funciones seno, tangente, logaritmo, etc.siempre se escriben con minsculas redondas, p. ej., sen x, tan y, log 100, arc cos, lmx f (x)(no se escribe: Sen x, sen x). Los nmeros deben ir en letra redonda: 1, 2, 3, .

+

Es indispensable, cuando se escribe a mano, diferenciar entre vectores y escalares es-cribiendo una flecha sobre los vectores, p. ej., ~F; cuando el vector es unitario, se debeescribir, en su lugar, un gorro, p. ej., ux, k.

La siguiente seccin es un listado de las ecuaciones fundamentales, seguida por la seccin deejemplos y problemas.

1.1. Ecuaciones

Onda viajera en una dimensin, (x, t) = f (x vt).Nmero de onda, k = 2pi/.

Onda viajera armnica, (x, t) = 0 sen k(x vt) = 0 sen 2pi(x t

P

).

Frecuencia angular, = kv.Rapidez de una onda, v = .

Ecuacin Diferencial del Movimiento Ondulatorio,2t2 = v

2 2x2 . (1.1)

Esfuerzo normal o tensin, S = F/A.Deformacin unitaria, = /x.

Ley de Hooke para una barra, ondas longitudinales, S = Y.

Ecuacin de onda para una barra,2t2 =

Y

2x2 .

Rapidez de las ondas transversales en una cuerda, v =T/. (1.2)

1

2 Hctor Alzate L., Universidad de Antioquia. Enero de 2004 Fsica III

Rapidez de las ondas longitudinales en una barra, v =Y/.

Rapidez de las ondas transversales en una barra, v =G/. (1.3)

Deformacin longitudinal, l = FL/YA. (1.4)Relacin entre las ondas de densidad y desplazamiento, = 0 = 0 /x. (1.5)

Ley de Hooke para fluidos, p = p0 + B( 0)/0.Relacin entre las ondas de presin y desplazamiento, p = p p0 = B /x. (1.6)

Ecuacin de onda para un fluido,2t2 =

B0

2x2 . (1.7)

Rapidez de las ondas en un fluido, v =B/o. (1.8)

Rapidez de las ondas en un gas, v = T. Para el aire, = 20m/s K1/2. (1.9)

Relacin entre las amplitudes de desplazamiento y de presin, 0 =P0

2piv0. (1.10)

Densidad de energa de una onda elstica, E = 12220 . (1.11)

Intensidad de una onda elstica, I = vE = 12v220 . (1.12)

Nivel de intensidad en db, = 10 logII0, con I0 1012 W/m2. (1.13)

Densidad lineal relativa, 12 1/2, 21 2/1.Coeficiente de reflexin para la amplitud, R

0r0i

=1

2

1 +2

=1211+

21

. (1.14)

Coeficiente de transmisin para la amplitud, T 0roi

=21

1 +2

=2

1+21

. (1.15)

Coeficiente de reflexin para la potencia o reflectancia, R Pr/Pi.Coeficiente de transmisin para la potencia o transmitancia, T Pr/Pi.Producto escalar entre k y r en 3 dimensiones, k r = kxx+ kyy+ kzz. (1.16)

Nmero de onda en 3 dimensiones, k =k2x + k

2y + k

2z =/v. (1.17)

Efecto Doppler, fuente y observador colineales, v0 y vS constantes, = v v0v vS . (1.18)

Frecuencias propias de una cuerda con extremos fijos, n =n2L

T. (1.19)

Frecuencias propias de un tubo abierto-cerrado, n = (2n+ 1)v4L

. (1.20)

Frecuencia de los pulsos, p = 1 2. (1.21)

La Ec. 1.1 la hall dAlembert en 1747, para las ondas en una cuerda. Fue el primero en escri-birla, aunque con una notacin diferente.*

*Elizabeth Garber, The Language of Physics. The Calculus and the Development of Theoretical Physics, Birkhuser,

Boston, 1999. Pg. 32: ddydt2

=Tddyds2

.

1] Ondas Elsticas Hctor Alzate L., Universidad de Antioquia. Enero de 2004 3

1.2. Definicin de la Onda de Desplazamiento

(r, t) es lo que una partcula del medio se separa de su posicin de equilibrio r en el instante t.(1.22)

Figura 1.1 Denicin de

La lnea horizontal de la Fig. 1.1 representa unacuerda tensa fija en sus extremos; la lnea curva esla cuerda vibrando. Cuando en un medio material nohay una onda o una perturbacin, las partculas delmedio se encuentran en su posicin de equilibrio; elvector r especifica la posicin de equilibrio de una par-tcula. A (csi) lo llamamos el campo u onda de des-plazamiento. Si R es la posicin instantnea de la par-tcula, de la figura vemos que

R(r, t) = r+(r, t).

1.3. Ejemplos y Problemas

Ejemplo 1.1. Para una cuerda uniforme, halle la rela-cin entre la densidad lineal de masa y la densidadvolumtrica de masa .

Solucin. Sea m la masa total de la cuerda, L la lon-gitud, A el rea transversal y V el volumen (Fig. 1.2).Por la definicin de , m = L; por la definicin de ,m = V = AL. Igualemos las 2 expresiones para m,L = AL. Cancelemos L,

= A. (1.23)

Vemos que las dimensiones se cumplen, M L1 =M L3 L2.

Am, V

L

Figura 1.2

Ejemplo 1.2. Una cuerda de acero de un piano est so-metida a una tensin de 200N, tiene un dimetro de1mm, y una longitud de 80 cm. Suponga que por lacuerda avanza una onda transversal viajera y armni-ca, con polarizacin lineal, de amplitud 0.5mm y lon-gitud de onda de 40 cm. Halle (a) la densidad lineal demasa, (b) la rapidez de las ondas transversales, (c) la fre-cuencia angular y el nmero de ciclos por segundo conque vibra un punto del medio, (d) la funcin de onda,(e) la rapidez mxima de un punto de la cuerda, (f ) ladensidad volumtrica y la densidad lineal de energa,(g) la energa promedio en toda la cuerda, (h) el prome-dio del flujo de energa por unidad de tiempo a travs

de cualquier seccin de la cuerda, (i) la potencia mni-ma de la fuente (el pianista) que produce las ondas.

Solucin. El objetivo de este problema es fundamen-talmente didctico; en la realidad en una cuerda no sepropagan ondas viajeras, en un solo sentido, sino quedebido a la reflexin en los extremos de la cuerda hayondas viajeras en sentido opuesto, se presenta interfe-rencia entre las ondas en ambos sentidos, dando lugara ondas estacionarias que tienen una descripcin dife-rente a la del presente ejemplo.

En una cuerda se presentan fuerzas recuperadorasde diferente origen. Una de ellas se debe a la tensin,las otras a la rigidez intrnseca de la cuerda, considera-da como una barra rgida delgada, y cuantificadas porlos mdulos Y y G. Al excitar la cuerda se producen on-das debido al comportamiento de la cuerda como unacuerda tensa y como una barra rgida delgada, cadauna con su velocidad caracterstica. El sonido que es-cuchamos se debe primordialmente a la onda transver-sal de la cuerda tensa, con amplitud 0 y con rapidezv =

T/. Esta expresin de v es una buena aproxi-

macin, pues la rigidez intrnseca de la cuerda provocaque la expresin sea mucho ms compleja, y que de-penda de la frecuencia, esto es, que la cuerda sea dis-persiva.

Los datos numricos del problema son:

acero = 7,8 g/cm3 = 7800 kg/m3,T = 200N,

r = 12mm = 5 104 m,L = 80 cm = 0,80m,


0 = 0,5mm = 5 104 m, = 40 cm = 0,40m,

(a) = A = pir2 = pi(7800 kg/m3)(5 104 m)2= 0,00613 kg/m = 6,13 g/m.

(b)v =

T

=

200N

0,00613 kg/m= 181m/s.

(c) La frecuencia angular es

= kv =2pi

v =2pi

0,4m181m/s = 2838 s1 rad/s.

El nmero de ciclos por segundo es

=

2pi=

v=

181m/s0,40m

= 452Hz.

Las unidades de son rad s1 o tambin s1,las de son Hz o s1; un Hz equivale a un ciclopor segundo. Es un error expresar en Hz a .

(d) Escojamos al eje x coincidente con la cuerda esttica.Como es transversal, entonces es perpendicular al ejede propagacin x. Como la polarizacin es lineal, nocambia de direccin; definamos a esta direccin comoel eje y. Como es armnica, el campo se expresa conla funcin seno o coseno (longitud en m, tiempo en s),

(x, t) = 0 sen(kxt)uy = 0 sen 2pi

(x vt)uy

= 5 104 sen 2pi0,40

(x 181t)uy.(1.24)

(e) El vector velocidad de un punto del medio, vp, es laderivada de la Ec. 1.24 respecto al tiempo,

vp =(x, t)

t = 0 cos(kxt)uy.

La rapidez es mxima cuando cos(kxt) = 1, y sepresenta cuando el punto pasa por la posicin de equi-librio;

vpmx =

(x, t)t

mx

=0

= (2838 s1)(5 104 m) = 1,42m/s.

(f ) La densidad volumtrica promedio de energa, o n-mero de joules por metro cbico, es

E = 12220 =

12 (7800 kg/m

3)(2838/s)2(5 104 m)2= 7854 J/m3.

La densidad lineal de energa E l , o nmero de jou-les por cada metro lineal de cuerda, es la energa totalde la cuerda dividida por su longitud L,

E l =EL

=EVL

=EALL

= EA = piEr2

= pi(7854 J/m3)(5 104 m)2 = 0,00617 J/m.(g) Mediante la densidad volumtrica de energa,

E = EV = Epir2L

= pi(7854 J/m3)(5 104 m)2(0,8m)= 0,00493 J,

O mediante la densidad lineal de energa,

E = E lL = (0,00617 J/m)(0,8m) = 0,00493 J.

(h) Suponemos que la cuerda no es disipativa, esto es,no hay conversin de energa ondulatoria en calor porfriccin entre los tomos o molculas del medio. Porconservacin de la energa, la medida que un observa-dor haga de la energa promedio que en un segundopasa a travs de una seccin transversal de la cuerda,no depende de la posicin de esa seccin; en la Fig. 1.2,la energa promedio (no la energa instantnea) por uni-dad de tiempo que atraviesa la cara de la izquierda esla misma que la de la derecha. La energa promedio porunidad de tiempo es la potencia promedio,

P = IA = vEA

= (181m/s)(7854 J/m3)pi(5 104m)2= 1,11 J/s = 1,11W.

(i) Por conservacin de la energa, la fuente (el pianis-ta) debe tener como mnimo la misma potencia de lasondas que produce. Decimos como mnimo, porque lapropia fuente y la cuerda disipan energa.

Pfuente = Ponda = 1,11W.

Ejemplo 1.3. Una cuerda uniforme de longitud L y ma-sa M cuelga libremente del techo. Sea x la distancia apartir del punto inferior de la cuerda (Fig. 1.3). (a) De-muestre que la velocidad de propagacin de un pul-so de onda transversal a lo largo de la cuerda es

gx.

(b) Determine el tiempo t que tarda un pulso transver-sal en recorrer la longitud de la cuerda.

M, L

x

Figura 1.3 La velocidad de la onda depende de x.


Solucin.(a) La densidad lineal de masa es = M/L. La masadel tramo de cuerda de longitud x es m = x = Mx/L.Dicho tramo ejerce una tensin en la seccin determi-nada por x, T = mg = Mgx/L. La velocidad en x es

v =

T

=

Mgx/LM/L

=gx. (1.25)

(b) La velocidad de propagacin del pulso de onda esv = dx/dt. Igualemos con la Ec. 1.25, v = dx/dt =gx. Despejemos, dx/

x = g dt. Integremos el

miembro izquierdo entre 0 y L, y el miembro derechoentre 0 y t, L

0x1/2 dx = g

t0dt;

x1/2

1/2

L

0

=g t

t

0

;

2L =

g t;

t = 2L/g.

Ejemplo 1.4. Una esfera de hierro de 10 kg se une aun extremo de un alambre de acero de 3m de longi-tud; el otro extremo se suspende del techo, y se haceoscilar al pndulo as formado con una amplitud de60 (Fig. 1.4). La seccin transversal del alambre es de1mm2, acero = 7,8 g/cm3 y Yacero = 2,0 1011 N/m2.Halle el estiramiento del alambre cuando pasa por laposicin ms baja.

Solucin. Cuando una barra se somete a un tensinlongitudinal T, el estiramiento l lo da la Ec. 1.4, reem-plazando a F por T. La tensin depende del ngulo yl() = T()L/YA. En el punto ms bajo,

l(0) = T(0)L

YA. (1.26)

mx = 60

L+ l()

Figura 1.4 La longitud del pndulo depende de .

Sea m la masa de la esfera. Se podra pensar queT(0) = mg, pero la posicin ms baja no es de equi-librio, puesto que la esfera se mueve en un arco de cir-cunferencia, y la aceleracin centrpeta, v2/r, es dife-rente de cero; la aceleracin tangencial s es cero en =

0. El estudiante debe comprobar que el radio de la esfe-ra (hierro acero) es cerca de 6.7 cm y que malambre 23 g. Podemos entonces despreciar, respecto a L, aresfera; respecto a m podemos despreciar a malambre.Tambin debe demostrar que 1mm2 = 106m2.

Con base en el anterior prrafo, y puesto que el pro-blema es especialmente de dinmica y no de ondas, elestudiante debe demostrar que si mx = 60, entoncesT(0) = 2mg. Reemplazando en la Ec. 1.26 obtenemos

l(0) = 2mgLYA

=2(10 kg)(9,8m/s2)(3m)

(2,0 1011 N/m2)(106 m2) 3 103 m = 3mm.

El alambre en su posicin ms baja se estira una milsi-ma de su longitud inicial y mide 3m+ 3mm.

Ejemplo 1.5. Halle la rapidez del sonido en el agua sisu mdulo volumtrico es B = 2,1 109 N/m2.Solucin. agua = 1,0 g/cm3 = 1000 kg/m3. Reempla-zando en la Ec. 1.8, que es para la rapidez de las on-das en un fluido, obtenemos la rapidez del sonido en elagua,

v =

B

=

2,1 109 N/m21000 kg/m3

= 1450m/s.

En el agua el sonido se propaga, aproximadamente, 4.2veces ms rpido que en el aire: 1450/345 = 4.2. La rapi-dez tambin depende de la temperatura del agua, aun-que de una forma menos marcada que en el aire (a 0 Ces cerca de 1400m/s).

Ejemplo 1.6. Halle la rapidez del sonido y de las ondastransversales en una barra de acero.

Solucin. Para el acero, = 7,8 g/cm3 = 7800 kg/m3,Y = 2,0 1011 N/m2, G = 0,80 1011 N/m2.

Cuando nos piden la rapidez del sonido en un me-dio, generalmente nos preguntan por la rapidez de lasondas longitudinales en ese medio.

vsonido =

Y

=

2,0 1011 N/m27800 kg/m3

= 5064m/s

18 200 km/h,

vtrans =

G

=

0,80 1011 N/m2

7800 kg/m3= 3202m/s

11 500 km/h.

La rapidez del sonido en una barra de acero es cerca de15 veces la rapidez del sonido en el aire: 5064/345 15. Un bloque de acero es ms rgido que una barra, loque implica que la rapidez es an mayor.


Para cualquier slido, Y > G, y la rapidez de lasondas longitudinales siempre es mayor que el de lastransversales. En un temblor de tierra se producen am-bas ondas; primero llegan a un punto las ondas longi-tudinales (v 20 000 km/h), y luego las transversa-les. Las primeras le dan la vuelta a la corteza terres-tre en cerca de 2 horas, pues el permetro de la Tierraes 40 000 km. Se ha detectado, con los terremotos,que entre dos puntos opuestos en la Tierra no viajanen lnea recta ondas transversales, lo que lleva a con-cluir que una parte importante del interior de nuestroplaneta es fluido, ya que estos no transmiten esfuerzostransversales sino longitudinales.

Ejemplo 1.7. Combinando las ecuaciones

p = p0 B x ypx = 0

2t2 ,

obtenga la ecuacin de onda para la presin en unacolumna de gas.

Solucin. Tomemos la segunda derivada respecto altiempo de la primera ecuacin, y conmutmosla con laderivada espacial,

2pt2 = B

x

( 2t2).

Despejemos a 2/t2 de la segunda ecuacin, y reem-placemos en la anterior,

2pt2 = B

x

( 10

px

)=

B0

2px2 .

JI Problema 1.1. Combinando las ecuaciones

= 0 0 x y2t2 =

B0

2x2 ,

obtenga la ecuacin de onda para la densidad,

2t2 =

B0

2x2 .

Ejemplo 1.8. Encuentre el cambio de la rapidez del so-nido en el aire por unidad de cambio de la temperaturaa 25 C.Solucin. Nos piden hallar a v cuando T = 1 C yT = 25 C 298 K. Un cambio de 1 C equivale a uncambio de 1 K (demostrarlo).

Como 1K 298 K, podemos aproximar T dTy v dv. Derivemos la Ec. 1.9,

dvdT

vT

=

2T

=10m/s K1/2

298 K= 0,58

m/sC .

Si la temperatura pasa de 25 C a 26 C o 24 C, la rapi-dez aumenta o disminuye, segn el caso, en 0.58m/s.

Ejemplo 1.9. Asuma que las ondas de presin en unacolumna de gas tienen la forma

p = p p0 = P0 sen(kxt). (1.27)

(a) Usando las Ecs. (1.5) y (1.6), obtenga la expresin pa-ra la onda de desplazamiento. (b) Muestre que las on-das de desplazamiento y de presin estn desfasadasentre s un cuarto de longitud de onda, e interprete fsi-camente y en la representacin grfica de esas ondas, eldesfase. (c) Obtenga la expresin para la onda de densi-dad y muestre que est en fase con la onda de presin.(d) Encuentre la relacin entre la amplitud de la ondade densidad y la amplitud de la onda de presin, y en-tre las amplitudes de densidad y de desplazamiento.

Solucin.(a) Igualemos las Ecs. (1.6) y (1.27), y multipliquemospor dx,

B x dx = P0 sen(kxt) dx. (1.28)

El diferencial de (x, t) es d = (/x) dx +(/t) dt. En un t fijo, dt = 0, y d = (/x) dx.Introduciendo este diferencial en la Ec. 1.28, e integran-do,

Bd = B = P0

sen(kxt) dx

= P0 cos(kxt)k

.

Despejando, obtenemos la onda de desplazamiento,

(x, t) =P0Bk

cos(kxt) = 0 cos(kxt). (1.29)

La amplitud de las oscilaciones es 0 = P0/Bk. Reem-plazando a B = v20, y a k = 2pi/v, la amplitud tomala forma

0 =P0

2pi v0. (1.30)

(b) La onda de presin, Ec. 1.27, est expresada en tr-mino de la funcin seno, mientras que la onda de des-plazamiento, Ec. 1.29, est expresada con la funcincoseno. Puesto que el desfase entre ambas funcioneses pi/2, este tambin es el desfase entre dichas ondas.Un desfase se expresa, extrictamente, en radianes, perocomo la mnima distancia x, con t fijo, entre un mis-mo valor arbitrario de las funciones seno y coseno es/4 (Fig. 1.5a), se dice a veces, hablando sin total rigor,que el desfase es /4, con unidades de longitud.

El desfase se puede ver tambin en trminos tem-porales en lugar de espaciales como en el anterior p-rrafo. Es vlido darlo con unidades de tiempo, y decirque es P/4, ya que en un punto fijo x hay que esperarun tiempo mnimo de P/4 (Fig. 1.5b) para que un valor


-

6

r r rr

r r

r

.......................

...................

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..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

xA

xB x

p p0

-/4 t fijo

(a)

-

6

r r r.......................

...................

................

..................................................

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..............

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....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. t

p p0

-P/4 x fijo

(b)

Figura 1.5 Desfase de pi/2 entre las ondas de desplazamiento y de presin. (a) Interpretacinespacial, (b) interpretacin temporal.

arbitrario de la funcin seno sea igual al de la funcincoseno.

Un desfase de pi/2 (o /4 o P/4 segn se prefiera)entre dos variables, quiere decir, segn las familiaresgrficas de las funciones seno y coseno (Fig. 1.5a), queen el instante en que en ciertos puntos del espacio unade las variables es mxima omnima, en ese mismo ins-tante y esos mismos puntos la otra variable vale cero, yviceversa: El elemento de aire en xA est en su posicinde equilibrio, (xA) = 0, y all la presin es mxima,p(xA) = p0 +P0. El elemento de aire en xB est en suposicin de equilibrio, (xB) = 0, y all la presin esmnima, p(xB, t) = p0 P0

Que la presin sea mxima o mnima en los puntosdel medio que estn en su posicin de equilibrio se vefcilmente interpretando la grfica de (x, t), Fig. 1.6.El campo en los puntos vecinos a xA y a su derechaes negativo, lo que se interpreta como que esas porcio-nes de aire se han alejado de sus respectivas posicionesde equilibrio hacia la izquierda, como se indica con laflechita dirigida hacia la izquierda y debajo de xA [veala definicin (1.22) de , p. 3]. El campo en los pun-tos vecinos a xA y a su izquierda es positivo, lo que seinterpreta como que esas porciones de aire se han aleja-do de sus respectivas posiciones de equilibrio hacia laderecha. Esto implica que en xA la presin y densidadson mximas. En la vecindad de xB ocurre todo lo con-trario, y es un punto de mnimas densidad y presin.Visto analticamente, la pendiente en xA es negativa,(/x)xA < 0, y segn la Ec. 1.6, p p0 > 0 p > p0.Por supuesto, en xB, p < p0.

En los puntos donde es mxima o mnima,/x = 0, y segn la Ec. 1.6, p = p0, esto es, la on-da de presin (p p0) vale cero.(c) Al dividir la Ec. 1.5 por la Ec. 1.6 y reemplazarB = 0v2 obtenemos

= p/v2. (1.31)

Si la onda de presin p se expresa con la funcin seno,

tambin la onda de densidad se expresa con la mis-ma funcin, y como v2 > 0, entonces las ondas estnen fase entre s: ellas alcanzan su mximo, se hacen ce-ro o se vuelven mnimas simultneamente. Ello era deesperarse, pues sabemos, segn la experiencia comn yla ley de los gases ideales, que a mayor presin mayores la densidad.

Reemplacemos la Ec. 1.27 en la Ec. 1.31 para obte-ner la onda de densidad en funcin de x y t,

=P0v2

sen(kxt). (1.32)

(d) Designemos R0 a la amplitud de la onda de densi-dad. De la Ec. 1.32,

R0 = P0/v2.

Despejemos a P0 de la Ec. 1.30 y reemplacemos,

R0 =2piv00

v2=

2pi00v/

= 2pi00

= k00.

(1.33)Los sonidos que escuchamos son variaciones, con

ciertas frecuencias, de la presin y densidad atmosfri-cas alrededor de los valores de equilibrio p0 y 0, queen Medelln valen 640mmHg y 1.0 kg/m3, respectiva-mente. En el agua los valores son distintos.

Ejemplo 1.10. (Este ejemplo es una continuacin delEjemplo 1.9). A partir de la onda de desplazamientodentro de un tubo, mostrar, grficamente, la distribu-cin de densidad. La experiencia se hace en Medelln, a25 C.

En la Fig. 1.8a, a escala 1:1, se dibuja una porcindel tubo que se ha dividido en 37 elementos de masa,enumerados de i = 3 a i = 33. El punto negro en elcentro de cada rectngulo representa su centro de masa(c. m.). El origen de coordenadas se ha hecho coincidircon el c. m. del elemento i = 0. Todava no hay onda, yas cada elemento est en su posicin de equilibrio, estoes, (xi , t) = 0. Se muestra la posicin de equilibrio de


Figura 1.6 Onda de desplazamiento (x, t). Exa-minando el entorno de los puntos del medio se

sabe si son de mxima o de mnima presin.

Figura 1.7 El adjetivo de grande o pequeo de-

pende de la relacin 0/. La curva a trazoses de amplitud "grande", la continua se acerca

ms a una amplitud "pequea".

los sptimo y treceavo elementos. La densidad del airees uniforme a lo largo del tubo.

La Fig. 1.8b corresponde a la onda armnica de des-plazamiento en cierto instante t. Las flechitas son eldesplazamiento en funcin de xi; se seala el despla-zamiento de su posicin de equilibrio de los elementossptimo y treceavo, 7 y 13 respectivamente.

Como las ondas en un fluido, en este caso aire, sonlongitudinales, los i van paralelos al eje x, que es ladireccin de avance de la onda. En la Fig. c los i > 0se han rotado 90 respecto a la Fig. b, de manera queapunten hacia la derecha de su posicin de equilibrio;los i < 0 se han rotado de manera que apunten haciala izquierda. La posicin de equilibrio xi se indica conuna lnea vertical invisible que empieza en la Fig. a, pa-sa sobre cada flecha de la Fig. b y termina en la cola dela flecha de la Fig. c. En la cabeza de esta ltima empie-za otra lnea vertical que desciende hasta terminar enla Fig. d, en el c. m. del elemento i, pero desplazado ide su posicin de equilibrio.

En la Fig. d se aprecian claramente las variacionesde densidad a la largo del tubo.

JI Problema 1.2. (Este problema es una continua-cin del Ejemplo 1.10). (a) Qu elementos de masa i(i = 3, 2, , 32, 33) en la Fig. 1.8d estn en su po-sicin de equilibrio? (b) Qu elementos i estn ms se-parados de posicin de equilibrio? Mida con una regla(las figuras 1.8 estn a escala 1:1) y d el valor respecti-vo de xi y (xi), teniendo en cuenta que a la derecha es(+) y a la izquierda es (). (c) Como el tubo es de sec-cin transversal constante, el ancho de cada elementoes inversamente proporcional a su densidad. En Mede-lln, 0 1,00 kg/m3 y p0 = 640mmHg; estos son losvalores para todos los elementos de la Fig. 1.8a. Quelementos i de la Fig. 1.8d tienen = 0 = 1,00 kg/m3;

cunto vale para estos elementos? (d) Est de acuer-do el resultado del anterior numeral con la Ec. 1.5, p. 2?,est de acuerdo con que el desfase entre la onda dedensidad y la de desplazamiento sea 90? (e) Quelementos i tienen mxima densidad, y cules mni-ma?; cunto vale para estos elementos? (f ) Est deacuerdo el resultado del anterior numeral con la Ec. 1.5?(g) Mida 0 y . Si la temperatura atmosfrica es 25 C,calcule la frecuencia del sonido. (h) Cul es la inten-sidad y el nivel de intensidad sonora? (i) Cul es laamplitud de la onda de presin (Ec. 1.10, p. 2)?; en-tre qu valores flucta la presin? (j) Es constante latemperatura a lo largo del tubo? (Tenga presente que lapropagacin del sonido es fundamentalmente un pro-ceso adiabtico, esto es, no hay flujo de calor entre elelemento i y los elementos i 1 e i + 1). (k) Si en laFig. 1.8d un elemento i de masa tiene un volumen eldoble que otro, podemos afirmar que su densidad es lamitad; se puede afirmar tambin que la presin es lamitad? (Recuerde que PV = nRT).Algunas respuestas: Los valores son aproximados, puesdependen de las medidas que se estimen con la regla.(b) i = 5, 15, 25; x5 2,6 cm, x15 7,9 cm, x25 13,2 cm; (2,6 cm) = 5 +6,5mm, 15 6,5mm,25 +6,5mm. (c) i = 5, 15, 25; los x respectivosson los del numeral anterior. (e) mx = 10 = 30,mn = i=0 = 20; i=0 = 10 = 20 = 30 = 0.(g) 3255Hz. (h) I 3,06 106 W/m2, 185 db;este nivel es irreal por lo alto, y se origina en el va-lor exagerado de 0. (i) P0 355mmHg. Entre 285 y995mmHg.

JI Problema 1.3. Interprete grficamente el campo en el entorno de xC y xD (Fig. 1.6) y determine si en di-chos puntos no hay cambio de presin (p = 0), si sonde compresin (p > 0) o descompresin (p < 0).Utilice la definicin (1.22) de , p. 3.


Figura1.8Ondasenunuido.


Ejemplo 1.11. Halle la condicin que se debe cumplirpara que los cambios de densidad (y de presin) se pue-dan llamar pequeos.Solucin. La ecuacin de onda para las ondas en unacolumna de gas, Ec. 1.7, se obtuvo para cambios pequeosen la densidad, esto es, para una densidad instantnea que se aparta poco del valor de equilibrio 0, lo queimplica que R0 0. Reemplacemos R0, Ec. 1.33, enesta desigualdad: k00 0; cancelemos 0,

k0 1,2pi0 1,0 .

Cambios pequeos implica 0 , y viceversa (he-mos despreciado el 2pi en la ltima relacin). Esta des-igualdad, grficamente, corresponde ms con la curvacontinua de la Fig. 1.7, donde las variaciones del camposon suaves, esto es, la pendiente /x 1, que conla curva a trazos; para esta, 0/ 0,6 y, en general,/x/ 1.Ejemplo 1.12. Dos ondas sonoras de igual frecuenciatienen niveles de intensidad que difieren en 30db. Ha-lle la relacin entre sus intensidades y amplitudes dedesplazamiento.

Solucin. Para una onda, 1 = 10 log I1/I0; para laotra, 2 = 10 log I2/I0. Segn la informacin delejemplo, B = 30 = 10(log I1/I0 log I2/I0) =10 log I1/I2. Por la definicin del logaritmo de un n-mero en base 10,

I1/I2 = 1030/10 = 103 = 1000.

Aplicando la Ec. 1.12,

1000 =I1I2

=12v

220112v

2202=201

202.

Despejemos la relacin pedida,

01/02 =1000 = 31,6.

Ejemplo 1.13. Una persona hablando normalmenteproduce un nivel de intensidad de 65db a 1m de dis-tancia. La rapidez del sonido es 340m/s, la densidaddel aire (depende de la altura) 1,2 kg/m3, y la frecuen-cia promedio emitida 300Hz. (a) Calcule la energa pro-medio que la persona emite en sonido cada segundo.(b) Discuta las aproximaciones hechas en la solucindel primer numeral. (c) Si la persona est dentro de unsaln de dimensiones, en metros, 6 4 3, y la inten-sidad fuera uniforme e igual al valor a 1m de la fuen-te, calcule la energa total que habra dentro del saln.(d) Cada segundo, cuntos joules son absorbidos por

los objetos dentro del saln, junto con los joules que sa-len por puertas, ventanas y por trasmisin a travs deltecho, suelo y paredes? (e) Halle la amplitud de las vi-braciones de un punto del medio (aire) debido a las on-das.

Solucin.(a) Al pedirnos la energa por unidad de tiempo lo quenos estn pidiendo es la potencia, y para esto debe-mos averiguar primero la intensidad. Segn la defini-cin del logaritmo de un nmero y la Ec. 1.13,

I = I01010 = (1012 W/m2) 10

6510 = 105,5 W/m2.

Pero el exponente de una respuesta nunca se expresacon decimales, sino con un entero, y aunque el anteriorvalor sea correcto, es indebido dejarlo as;

I(1m) = 100,5 106 W/m2 = 3,16 106 W/m2= 3,16W/m2.

Los puntos a 1m de la fuente forman una esfera de 1mde radio. La potencia es entonces la intensidad a 1mpor el rea de esa esfera,

P = AI = 4pir2 I = 4pi(1m)2(3,16W/m2)= 0,04mW.

(b) La Fig. 1.9 representa, mediante esferas concntri-cas de radio r, los frentes de onda emitidos. El ngulo define un cono cuyo eje es perpendicular a la boca.

S

Figura 1.9 Ondas sonoras esfricas.

Hemos supuesto que la intensidad solo dependede r; en la realidad, la intensidad sonora es mxima di-rectamente en frente de la boca, esto es, en = 0, y m-nima detrs de la cabeza, en = 180. Cuando dentrode un recinto normal hay una fuente sonora, la intensi-dad en un punto dentro de l se debe a las ondas quede la fuente llegan directamente a ese punto, y de lasondas reflejadas. Aqu no hemos tenido en cuenta a es-tas ltimas, aunque pueden contribuir con un 50 % dela intensidad. Las ondas reflejadas hacen que la inten-sidad se aparte mucho de una disminucin como 1/r2,


y que sea bastante uniforme. Adems, cuando alguienhabla, no solo emite sonido por la boca, sino que la ca-beza y el tronco tambin son fuentes sonoras importan-tes y la persona est lejos de ser una fuente puntual, loque lleva a que las ondas no sean esfricas cerca de lafuente.(c) Puesto que conocemos el volumen del saln, paraconocer la energa debemos calcular primero la energapor unidad de volumen, o sea la densidad de energa E,para multiplicarla por volumen total V,

E = EV =IvV =

3,16W/m2

340m/s(6m)(4m)(3m)

= 0,7J.

(d) La energa en el saln es constante; la emisin de lafuente no est provocando un aumento de ella, ni lasfugas de energa estn produciendo una disminucin.Conclumos entonces que cada segundo la energa emi-tida por la fuente iguala a la energa sonora que se pier-de por absorcin y por trasmisin fuera del saln; se-gn el numeral (a) es

Ritmo de prdida de energa del saln = 0,04mW.

Una analoga puede ser til: En un tanque que con-tenga una cantidad fija de agua, la cantidad de aguaque sale de l, por segundo, iguala a la cantidad deagua que entra. En nuestro ejemplo, en lugar de aguase piensa en energa.(e) De la Ec. 1.12,

0 =1

2Iv

=1

2pi 300 s1

2(3,16 106 W/m2)(340m/s)(1,2 kg/m3)

= 6,6 108 m.Hemos supuesto que la frecuencia emitida es de

300Hz. En realidad, la composicin de frecuencias deuna voz su anlisis de Fourier es muy compleja yes caracterstica de cada individuo.

Ejemplo 1.14. Desde la seccin izquierda de la cuer-da compuesta de la Fig. 1.10 incide sobre la interfasede separacin una onda i = 0i sen(t k1x), y seproducen una onda reflejada r = 0r sen(t+ k1x) yuna onda transmitida r = 0r sen(t k2x). (a) Com-pruebe que la potencia promedio incidente es igual ala suma de la potencia promedio reflejada y la poten-cia promedio transmitida. (b) R y T son los coeficientesde reflexin y transmisin para la amplitud respectiva-mente. Los coeficientes de reflexin y transmisin parala potencia se conocen como la reflectancia R y la trans-mitancia T. Halle, en trminos de R y T, expresionespara R y T. (c) Si la onda incidente tiene una potenciade un milivatio (1mW), y la densidad lineal de masadonde est la onda transmitida es 4 veces la densidaddonde est la onda incidente, halle la potencia reflejaday la potencia transmitida.

1 r

i r

2

Figura 1.10 Reexin y transmisin de ondas.

Solucin. En las funciones i, r y r no hemos escritoi nir nir sino, puesto que la condicin de fron-tera de que la cuerda es continua en todo instante (noest rota en la interfase) exige que la frecuencia con quevibra la seccin izquierda de la interfase sea igual a lafrecuencia con que lo hace la seccin derecha.

La frecuencia no cambia por reflexin ni por transmisin.

Por definicin, el subndice 1 se refiere al mediodonde est la onda incidente, y el subndice 2 dondeest la onda trasmitida.

(a) Como las ondas reflejada y transmitida provienende la incidente, es obvio, por conservacin de la ener-ga, que la energa de la onda incidente debe ser igual ala suma de la energa de la onda reflejada y la transmi-tida,

Ei = Er + Er.

Esta igualdad se cumple cuando las energas se midenen el mismo intervalo de tiempo,

dEidt

=dErdt

+dErdt

.

Cada uno de los trminos es la potencia respectiva,

Pi = Pr + Pr. (1.34)

La ley de conservacin de la energa asume as la for-ma de conservacin de la potencia, no de la intensi-dad. Se puede comprobar que la intensidad se conser-va, Ii = Ir + Ir, solo si A1 = A2.

Antes de comprobar la Ec. 1.34, hallemos una nue-va expresin para la potencia.

P =IA = vEA = v 12220A =

12v(A)

220

= 12T/220 =

12

T220 .

(1.35)

Apliquemos esta expresin en la Ec. 1.34, pero con unsigno de interrogacin sobre el signo igual, pues apenasvamos a comprobar que la igualdad se cumple.

12

1T220i

?= 121T2

20r +

12

2T220r.

Simplifiquemos,

1

20i

?=1

20r +

2

20r.


Dividamos por 120i,

1 ?=( 0r0i

)2+21

(0r0i

)2.

El primer parntesis es el coeficiente de reflexin de laamplitud R, y el segundo el de transmisin T,

1 ?= R2 +21 T2.

Segn las Ecs. (1.14) y (1.15),

1 ?=(1211+

21

)2+21

(2

1+21

)2.

El estudiante debe desarrollar el lgebra del miembroderecho y demostrar que se reduce a 1. As queda com-probado que se cumple la Ec. 1.34, y podemos quitar lainterrogacin del signo igual.(b) Segn la definicin de R y T, R = Pr/Pi y T =Pr/Pi. Apliquemos la Ec. 1.35,

R =PrPi

=12

1T2

20r

12

1T220i

=( 0r0i

)2= R2,

T =PrPi

=12

2T220r

12

1T220i

=2

1

(0r0i

)2=21 T2.

(Para la reflexin y transmisin, la ley de conservacinde la energa se puede escribir comoR+T = 1).(c) Segn la informacin del ejemplo, 21 = 4. Aplique-mos el numeral anterior,

Pr = RPi = R2Pi =(1211+

21

)2Pi =

(141+

4

)2Pi

= 19Pi =19 mW.

Incide un milivatio y se refleja un noveno de miliva-tio; como la energa se conserva, se transmite entonces8 novenos de milivatio:

Pr = Pi Pr = 1mW 19 mW = 89 mW.En porcentaje,

% reflejado = 100%PrPi

= 100%19 mW1mW

= 11,1%,

% transmitido = 100%PrPi

= 100%89 mW1mW

= 88,9%.

Ejemplo 1.15. Alambres de cobre y de aluminio de1mm de dimetro se unen formando una cuerda larga(Fig. 1.11). En el cobre est la onda incidente polarizadalinealmente en y, con una frecuencia de 220Hz (nota

la) y una amplitud de 1mm. La tensin es de 100N.(La densidad del cobre es 8,9 g/cm3, la del aluminioes 2,7 g/cm3). Halle (a) los coeficientes de reflexin ytransmisin para la amplitud, (b) la amplitud de las on-das reflejada y refractada (o transmitida), (c) la rapidezde las ondas en el acero y en el cobre, (d) la longitud deonda en ambas secciones de la cuerda, (e) las ecuacio-nes de las ondas incidente, reflejada y refractada, (f ) laintensidad y la potencia de estas ondas.

Cobre 0

i

r

1

y

2

r

Aluminio

x

Figura 1.11 Reexin y transmisin en una cuerda.

Solucin. Los datos del ejemplo son: r1 = r2 = r =0,5mm = 5 104 m, = 220Hz; el cobre es el medio1 por estar en l la onda incidente, Cu = 1 y Al = 2;0i = 1mm = 103 m, T = 100N.(a) Hallemos primero la densidad lineal relativa,

21 =2

1=2A21A1

=2

1=

2,7 g/cm3

8,9 g/cm3= 0,303

Reemplacemos en las Ecs. (1.14) y (1.15),

R =10,3031+

0,303

= 0,29, T =2

1+0,303

= 1,29.

(b) Despejemos las amplitudes de las Ecs. (1.14) y (1.15),

0r = R0i = 0,29 103 m,0r = T0i = 1,29 103 m.

Note que, paradjicamente, la amplitud transmitida esmayor que la incidente. Esto no es imposible, pues noexiste una ley de conservacin de la amplitud. Cuandouna onda elstica pasa a un medio de menor densidad,la amplitud aumenta. Esto explica en parte la vulne-rabilidad de la Ciudad de Mxico a los temblores detierra, ya que se asienta sobre tierras hmedas.(c) Las ondas transversales del ejemplo se deben alcomportamiento del cobre y del aluminio como unacuerda, no como una barra; por esto apliquemos laEc. 1.2 y no la Ec. 1.3,

v1 =

T1

=

T

pi1r2

=

100N

pi(8900 kg/m3)(5 104 m)2= 119,6m/s,


v2 =

T2

=

T

pi2r2

=

100N

pi(2700 kg/m3)(5 104 m)2= 217,2m/s.

Estas cantidades son mucho menores que la rapidez delas ondas que tambin transmiten el cobre y el alumi-nio, Ec. 1.3, que es cerca de 3000m/s.(d) La frecuencia no vara con los cambios de medio,pero la velocidad s ya que depende de las propiedadesdel medio,

1 =v1

=119,6220

0,544m,

2 =v2

=217,2220

0,987m.

(e) Para las 3 ondas utilicemos la funcin de onda =0 sen 2pi(t/P x/), (longitud en m y tiempo en s)

i(x, t) = 103 sen 2pi(220t x

0,544

),

r(x, t) = 0,29 103 sen 2pi(220t+

x0,544

),

r(x, t) = 1,29 103 sen 2pi(220t x

0,987

).

Como las ondas incidente y transmitida se propaganhacia la derecha, se ha escrito el signo () dentro delparntesis de sus respectivas funciones; la onda refleja-da se propaga hacia la izquierda, y se debe escribir elsigno (+).(f ) Segn la Ec. 1.12,

Ii = 12v11(2pi)220i

= 12 (119,6m/s)(8900 kg/m3)(440pi s1)2 (103 m)2

= 1,017 106 W/m2,Ir = 12v11(2pi)

220r

= 12 (119,6m/s)(8900 kg/m3)

(440pi s1)2 (0,29 103 m)2= 0,085 106 W/m2,

Ir = 12v12(2pi)220r

= 12 (217,2m/s)(2700 kg/m3)

(440pi s1)2 (1,29 103 m)2= 0,932 106 W/m2.

El rea transversal es A = pir2 = pi(5 104)2 =

7,85 107 m2. La potencia de las ondas es

Pi = IiA = (1,017 106 W/m2)(7,85 107 m2)= 0,798W,

Pr = IrA = (0,085 106 W/m2)(7,85 107 m2)= 0,067W,

Pr = IrA = (0,932 106 W/m2)(7,85 107 m2)= 0,731W.

JI Problema 1.4. Demuestre que en una cuerda com-puesta la amplitud de la onda trasmitida es mayor quela de la onda incidente, si al cambiar de medio la den-sidad lineal de masa disminuye.

Ejemplo 1.16. Una fuente puntual S emite ondas en unmedio homogneo, con una potencia promedio cons-tante P. Halle la dependencia de la intensidad y la am-plitud de las ondas respecto a la distancia r a la fuente.

Solucin. Suponiendo que dentro de una esfera de ra-dio r centrada en S no hay otras fuentes ni sumiderosde energa, la intensidad en cualquier punto de la su-perficie de la esfera es

I(r) =PA

=P

4pir2. (1.36)

Vemos as que la intensidad depende de 1/r2,

I 1/r2,

siendo la constante de proporcionalidad igual a P/4pi .Igualando las Ecs. (1.12) y (1.36) se demuestra que

la amplitud depende de 1/r,

0 1/r;

la constante de proporcionalidad esP/(2piv2). La

relacin entre0 y r es ms compleja que0 1/r, peroesta es una buena aproximacin en puntos alejados dela fuente, o sea cuando r .Ejemplo 1.17. Un observador est a una distancia D deuna fuente puntual que emite ondas esfricas. Cuandose acerca 50m a la fuente la intensidad se duplica. HalleD.

Solucin. Segn los datos del problema, I(D 50) =2I(D). Sea P la potencia de la fuente. La anterior ecua-cin es, segn la Ec. 1.36,

P4pi(D 50)2 = 2

P4piD2

.

Despejando, obtenemos D = 170,7m.


Ejemplo 1.18. Las ondas en una cuerda se describencon la funcin vectorial de onda (longitud en m, tiem-po en s)

(r, t) = 103 cos(3pix+ 4piy) sen(10 000pi t)uz.(1.37)

La cuerda, de extremos A y B, mide 50 cm y sudensidad es 4 g/cm3; el extremo A est en el origen.(a) Ubique la cuerda en un sistema cartesiano. (b) Esviajera o estacionaria la onda? (c) Es longitudinal otransversal? Cmo est polarizada? (d) Halle si los ex-tremos de la cuerda son fijos o libres. (e) Halle la rapi-dez de propagacin de las ondas viajeras. (f ) Encuentrela frecuencia fundamental y el orden del armnico des-crito por la Ec. 1.37.

Solucin.(a) Hallemos la direccin de propagacin. En la Ec. 1.37el coeficiente de x es kx, el de y es ky y el de z es kz,

kx = 3pi m1, ky = 4pi m1, kz = 0.

La magnitud del vector de propagacin es, Ec. 1.17,

k =pi2(32 + 42 + 02)m2 = 5pi m1.

El vector de propagacin k no tiene componente z,lo que quiere decir que las ondas viajeras (una con vec-tor k y la otra con vector k) que dan lugar a la ondaestacionaria se propagan paralelo al plano xy, con n-gulos (con el eje x), (con el eje y) y (con el eje z)iguales a, segn las Ecs. (1.16) y (1.17),

= cos1 kxk

= cos1 3pi m1

5pi m1= cos1 3

5= 53,13,

= cos1kyk

= cos1 4pi m1

5pi m1= cos1 4

5= 36,87,

= cos1 kzk

= cos1 0m1

5pi m1= cos1 0 = 90,00.

(cos, cos y cos se denominan los cosenos directo-res de k). La orientacin de la cuerda es la de k, puesla onda se propaga a lo largo de ella. En la Fig. 1.12 seubica la cuerda con estos ngulos y con el extremo A enel origen.

z,

A

53,1

36,9

y

k

B

x

Figura 1.12 Ondas en una cuerda.

(b) En 3 dimensiones, k rt = kxx+ kyy+ kzzt.En este ejemplo, kz = 0 y k rt = kxx+ kyyt.La Ec. 1.37 no es una funcin de (k rt), por lo tantono es una onda viajera. Adems, en una onda viajera laamplitud es constante, mientras que esa funcin tieneuna amplitud f (x) = 103 cos(3pix+ 4piy) que depen-de de la posicin del punto (x, y, 0) de la cuerda.

(c) Segn la Ec. 1.37, las vibraciones son paralelas alvector unitario uz, esto es, son perpendiculares a lamis-ma cuerda o a k: k, y esta perpendicularidad es loque define a una onda transversal. La polarizacin eslineal pues siempre es paralelo a z.

(d) Si en todo instante un extremo no vibra, es un nodode desplazamiento o extremo fijo; si vibra es un extre-mo libre o antinodo. Para evaluar a , encontremos lascoordenadas de los extremos A y B (L = 0,5m es lalongitud de la cuerda),

xA = 0, yA = 0, zA = 0;

xB = L cos = 35 L = 0,3m,

yB = L cos = 45 L = 0,4m,

zB = L cos = 0 L = 0.

Reemplacemos en la Ec. 1.37,

A(t) = 103 cos(3pi 0+ 4pi 0) sen(10 000pi t)uz= 103 sen(10 000pi t)uz;

B(t) = 103 cos(3pi 0,3+ 4pi 0,4) sen(10 000pi t)uz

= 103 cos(2,5pi) sen(10 000pi t)uz= 103 0 sen(10 000pi t)uz = 0.

A se comporta como un extremo libre pues est vibran-do; B no vibra y es un extremo fijo.

(e) Las ondas viajeras que se propagan con sentidosopuestos y dan lugar a la onda descrita por la Ec. 1.37lo hacen con rapidez (Ec. 1.17) v = /k. La frecuenciaangular es el coeficiente del tiempo, = 10 000pi s1.La rapidez es

v =

k=

10 000pi s1

5pi m1= 2000m/s.

(f ) Las frecuencias propias las da la Ec. 1.20, pues untubo abierto-cerrado es anlogo a una cuerda con extre-mos libre-fijo. La frecuencia fundamental f se obtiene


con n = 0, ya que el generador de impares se ha escritocomo 2n+ 1.

f =v4L

=2000m/s4 0,5m = 1000 s

1 = 1000Hz.

El armnico descrito por la Ec. 1.37 tiene una frecuencia

=

2pi=

10 000pi rad s12pi rad

= 5000Hz.

Por definicin, si / f es un entero, a / f se le de-nomina el orden del armnico ; esta definicin implicaque el modo fundamental siempre es el armnico deorden 1.

Orden del armnico =5000Hz1000Hz

= 5.

Ejemplo 1.19. Un parlante que emite un sonido de261.6Hz (nota do central) est al frente del extremoabierto de un tubo (Fig. 1.13a). La longitud L de lacolumna de aire se puede cambiar moviendo el pistnque sobresale a la derecha del tubo. (a) Halle la longi-tud de las 3 primeras columnas de aire que entran enresonancia con el parlante. (b) Mediante un esquema,muestre en cada caso la distribucin de amplitud y laposicin de los nodos y antinodos de desplazamiento.

Suponga una temperatura de 25,0 C. (En el Labo-ratorio de Fsica III esta experiencia se hace con una fre-cuencia mayor, un tubo de 5 cm de dimetro y un Lmximo de 90 cm).

Solucin.(a) La rapidez del sonido es, segn la Ec. 1.9, v =2025,0+ 273,2 = 345,4m/s.Se presenta resonancia cuando una de las frecuen-

cias propias de la columna de aire (la frecuencia fun-damental o uno de los sobretonos) entre en resonanciacon la frecuencia externa (ext) del parlante. Segn laEc. 1.20,

ext = (2n+ 1)v4L

; n = 0, 1, 2, .

Despejemos y hallemos las 3 primeras longitudes(n = 0, 1, 2),

L = (2n+ 1)v

4ext= (2n+ 1)

345,4m/s4 261,6 s1

= (2n+ 1) 0,33m =

0,33m, n = 0;0,99m, n = 1;1,65m, n = 2.

Si queremos expresar a L en trminos de la longi-tud de onda del sonido del parlante ext, reemplacemosext = v/ext en la Ec. 1.20,

vext

= (2n+ 1)v4L

.

Cancelemos v y despejemos L,

L = (2n+ 1)ext

4=

ext/4, n = 0;3ext/4, n = 1;5ext/4, n = 2.

(b) Con n = 0 se obtiene el modo fundamental o ar-mnico de orden 1 (Fig. 1.13b); en la figura vemos queL = ext/4. Con n = 1 se obtiene el primer sobretono oarmnico de orden 3 (Fig. 1.13c), L = ext/4+ ext/2 =3ext/4. Con n = 2 se obtiene el segundo sobretono oarmnico de orden 5 (Fig. 1.13d), L = ext/4+ ext/2+ext/2 = 5ext/4.

La A (antinodo de desplazamiento) en estas figurasmarca la posicin de un plano transversal al tubo cu-yos puntos vibran con la mxima amplitud; la N (nodode desplazamiento) marca un plano transversal cuyospuntos estn en reposo. En los antinodos la variacinde es mxima, y /x = 0. Esto en la Ec. 1.6 da quep(A) = p0: la presin en los antinodos de desplaza-miento es p0, y generalmente p0 es la presin atmosf-rica. La presin en A no cambia; los antinodos de des-plazamientos son nodos de presin, lo que ya se sabecuando se dice que las ondas de presin y de desplaza-miento estn desfasadas 90 /4.

Cuando la columna de aire mide 33 cm el parlan-te entra en resonancia con el modo fundamental de lacolumna; cuandomide 99 cm entra en resonancia con eltercer armnico, pues la frecuencia fundamental cam-bia a v/4L = 345,4/4 0,99 = 87,2Hz, y la ext de261.6Hz es exactamente 3 veces 87.2Hz. (Cuando mi-de 1.65m, por qu la resonancia es con el armnico deorden 5?)

Un observador cercano al tubo distingue fcilmen-te cuando el pistn pasa por las resonancias, pues enellas el tubo absorbe mucha energa sonora provenien-te del parlante, el aire en su interior adquiere una granamplitud de vibracin, y el observador escucha una im-portante variacin del volumen.

Debido principalmente a que el extremo abierto ra-dia energa hacia el exterior, el antinodo de desplaza-miento que se espera all se desplaza cierta cantidadfuera del tubo, llamada correccin de extremo abier-to . Predecir su valor es un problema complejo quedepende de las caractersticas fsicas del parlante, de lacolumna de aire y del espacio entre el parlante y el tu-bo.

Si el generador de impares (2n+ 1) se hubiera es-crito como (2n 1), o de una forma extraa como (2n+1219), a los armnicos hallados, aunque seguiran sien-do de orden 1, 3 y 5 respectivamente, les corresponde-ran unos valores distintos de n. En caso de que el gene-rador de impares, por alguna razn, se hubiera escritocomo (2n + 1219), qu n le correspondera al modofundamental y a los armnicos de orden 3 y 5?


(a) (b)

(c) (d)

A A A A A

A

N N N N N

N

/4 /2 /4 /2 /2

/4

L L

LL

Columna de aire Extremo cerrado

Pistn

Figura 1.13 Resonancia entre una columna de aire y un parlante.

Ejemplo 1.20. En el interior de un tubo de 90 cm delongitud y seccin circular de 2.5 cm de radio hay unaonda sonora con longitud de onda de 1.2m (Fig. 1.14).La funcin de onda es (longitud en m, tiempo en s)

= 107 cos kx sen 586pi t. (1.38)

La densidad del aire es 1,2 kg/m3. Halle la energa so-nora promedio en el interior del tubo.

0 dV

dx

A

L = 90 cm

r2.5cm x

Figura 1.14 La densidad de energa de una onda

estacionaria depende de x.

Solucin. La energa es igual al producto del nmero dejoules en cadametro cbico (densidad de energa E) porel nmero demetros cbicos (volumenV). La densidadE (Ec. 1.11) depende de la amplitud y, como en el tuboexiste una onda estacionaria y no viajera, se presenta lacomplicacin de que la amplitud de las vibraciones delaire depende de la posicin en el interior del tubo. Laamplitud f (x) es el coeficiente de la funcin que da lavariacin temporal; segn la Ec. 1.38 es

f (x) = 107 mcos kx.

En la Ec. 1.11 se debe reemplazar a 0 por f (x).Como la amplitud depende de x, debemos evaluar

la energa en un diferencial de volumen y luego inte-grar. En la figura vemos que dV = Adx = pir2dx.

La energa en un dV es, por definicin de densidad deenerga, dE = E dV. La energa total es la integral sobreel volumen del tubo,

E =VEdV =

L0

12

2 f 2(x)pir2dx

= 12pi2r2

L0

f 2(x) dx

=1014m2

2pi2r2

L0

cos2 kx dx.

La integral da L/2,

E =1014m2

4pi2r2L

=1014m2

4pi(1,2 kg/m3)(586pi s1)2

(0,025m)2(0,9m)= 1,8 1011 J.

Es una energa extraordinariamente pequea, aunquelos datos utilizados son reales.

Nota: La frecuencia del ejemplo, = /2pi =586pi/2pi = 293Hz, corresponde a una nota re.

Ejemplo 1.21. Un diapasn la de 440Hz y una cuer-da de una guitarra se hacen sonar simultneamente(Fig. 1.15). Se escuchan 15 pulsos por segundo. Halle enqu porcentaje se debe cambiar la tensin de la cuerdapara afinarla, esto es, para que no se escuchen pulsos.


Diapasn Cuerda

440Hz

Frecuenciavariable

Figura 1.15 Se escuchan pulsos si cuerda

6=440Hz.

Solucin. (El sonido que se escucha de la guitarra pro-viene casi en su totalidad de la caja de la guitarra y nodirectamente de la cuerda, como errneamente puedesugerir la figura. El diapasn tambin debe ir sobre unacaja de resonancia para que d un buen volumen). Seand la frecuencia del diapasn, n la de la cuerda y p lade los pulsos.

Al golpear un diapasn se producen varias fre-cuencias, pero solo la fundamental sobrevive un tiem-pomuchomayor que los sobretonos (ningn sobretonode un diapasn es armnico) y as la frecuencia del dia-pasn es nica. Con una cuerda es diferente: al excitar-la, la fundamental y varios sobretonos, que s son ar-mnicos, tienen amplitudes y tiempos de duracin si-milares. Si uno de los armnicos de orden n tiene sufrecuencia cercana a d, debido a la interferencia de esearmnico con el sonido del diapasn se escuchan pul-sos de frecuencia

p = n d.Ninguna frecuencia es negativa; si en esta ecuacinp < 0, solo quiere decir que n < d; en caso con-trario, n > d. Con los datos del ejemplo no sabemoscual frecuencia es mayor, por lo que lo resolvemos paraambos casos.

Segn las Ecs. (1.19) y (1.21),

p = n2L

T d.

Despejemos,

n2L

T

= d p. (1.39)

Para que no se presenten pulsos la tensin se debe cam-biar hasta que n = d. Si es la fraccin del cambio,la nueva tensin es T+T y

p = 0 =n2L

T+T

d = n2L

T(1+)

d

=n2L

T

1+ d.

Reemplacemos la Ec. 1.39 en la anterior ecuacin,

0 = (d p)1+ d.

Los datos del ejemplo son d = 440Hz y p = 15Hz.Despejemos la fraccin buscada y reemplacemos losdatos,

=(

dd p

)2 1 =

{0,072, n < d;0,065, n > d.

En trminos de porcentaje, si la cuerda esta destempla-da hay que incrementar la tensin en 100 = 7,2%para que la frecuencia del armnico aumente de 425 a440Hz; si la cuerda est sobretemplada, hay que dismi-nuir la tensin en 100 = 6,5% para que la frecuenciadel armnico disminuya de 455 a 440Hz. El signo ()en el valor = 0,065 quiere decir precisamente quees necesario mermar la tensin.

Note que en la solucin no fue necesario conocerlos valores de n, L, T ni .

Ejemplo 1.22. Una fuente sonora F, que se mueve a60 km/h en lnea recta (Fig. 1.16a), emite un sonido de440Hz nota la central. Un observador O se muevehacia F a 40 km/h sobre la misma lnea. La rapidez delsonido en el aire es 340m/s. Halle la frecuencia con quelas ondas reflejadas por O regresan a F.

Solucin. Se sobreentiende que todas las velocidadesson con respecto a un observador en reposo en el me-dio, que en este caso es el aire. Las diferentes cantida-des de la Ec. 1.18 las vamos a tratar algebricamente, esdecir, como cantidades que intrnsecamente pueden serpositivas, negativas o cero.

Dividamos la solucin en dos etapas: (a) Hallar lafrecuencia con que las ondas llegan a O y (b) hallar lafrecuencia con que las ondas reflejadas por O regresana F.

(a) La fuente es F y se mueve hacia la derecha, vS =+60 km/h = +16,7m/s; el observador es O y se mue-ve hacia la izquierda, vO = 40 km/h = 11,1m/s;el sonido percibido se propaga hacia la derecha, v =+340m/s; la frecuencia emitida es = 440Hz(Fig. 1.16a). Reemplacemos en la Ec. 1.18 para hallar lafrecuencia con que las ondas llegan a O,

= 440Hz (+340m/s) (11,1m/s)(+340m/s) (+16,7m/s) = 477,8Hz.

La frecuencia aumenta puesto que FO disminuye.

(b) La frecuencia de las ondas no cambia por reflexin(ni por transmisin), por lo tanto O se convierte en unanueva fuente que emite con = 477,8Hz y se mue-ve hacia la izquierda con vS = 11,1m/s; el nuevoobservador es F que se mueve hacia la derecha con


vO = +16,7m/s; el sonido percibido por F se propa-ga hacia la izquierda con v = 340m/s (Fig. 1.16b).Reemplazando en la Ec. 1.18, obtenemos la frecuenciade las ondas que regresan a F,

= 477,8 Hz (340m/s) (+16,7m/s)(340m/s) (11,1m/s) = 518,2 Hz.

Esta frecuencia es prxima a la de undo aunque el soni-do emitido inicialmente sea un la.

Nota histrica: A comienzos del siglo XIX el estudiode las estrellas dobles indicaba que las frecuencias dela luz emitida por una de las estrellas eran mayores quelas de la otra. Doppler, en 1842, lo explic como un efec-to de un acercamiento de una de ellas a la Tierra y unalejamiento de la otra. Dijo que este cambio tambin lodeba presentar el sonido. Ballott lo comprob en 1845con msicos en una estacin de tren.*

F O

vS v = +340m/s vO vO v = 340m/s vS

F Ox x

(a) (b)

Figura 1.16 Efecto Doppler. La frecuencia percibida es diferente de la emitida si la distancia entre

la fuente y el observador cambia.

*Robert Beyer, Sounds of Our Times, American Institute of Physics, 1998, pp. 42-44

2 ONDAS ELECTROMAGNTICASRecuerde que

+

Es indispensable, cuando se escribe a mano, diferenciar entre vectores y escalares es-cribiendo una flecha sobre los vectores, p. ej., ~F; cuando el vector es unitario, se debeescribir, en su lugar, un gorro, p. ej., ux, k.

A continuacin resolvemos dos ejemplos con el propsito de lograr alguna familiaridad con eloperador.Ejemplo 2.1. Halle r.Solucin. A la operacin se le llama el rotacionalo rot.

= ux x + uy

y + uzz , y r = uxx+uyy+uzz; por

lo tanto,

rot r r=(ux

x + uy

y + uz

z

) (uxx+ uyy+ uzz)

= uzyx uy

zx uz

xy + ux

zy + uy

xz ux

yz

= 0+ + 0 = 0.

Ejemplo 2.2. Halle r.

Solucin. A la operacin se le llama la divergenciao div.

div r r=(ux

x + uy

y + uz

z

) (uxx+ uyy+ uzz)

=xx +

yy +

zz = 1+ 1+ 1 = 3.

JI Problema 2.1. Utilizando la expresin para el gra-diente en coordenadas cartesianas, muestre que

2 = 2

x2 +2

y2 +2z2 .

JI Problema 2.2. Muestre que las dimensiones deson L1 y de2 son L2.

2.1. Las Ecuaciones de Onda en el Vaco

Las ecuaciones de Maxwell son:

E(r, t) = (r, t)/0, B(r, t) = 0, E(r, t) = B(r, t)t , B(r, t) = 00

E(r, t)t +0j(r, t).

En el vaco, o sea aplicadas en puntos del espacio sin cargas ( = 0), ni corrientes (j = 0), son

E(r, t) = 0, (2.1) B(r, t) = 0, (2.2) E(r, t) = B(r, t)t , (2.3)

B(r, t) = 00 E(r, t)t . (2.4)

19


Apliquemos el operador rotacional a ambos miembros de la Ec. (2.3),

( E) = (B

t

).

El miembro izquierdo de esta ecuacin nos dice que derivemos primero respecto al tiempo a By al vector resultante lo derivemos espacialmente con el operador rotacional, . Como lasderivadas temporal y espacial conmutan, (B/t) = ( B)/t, y

( E) = t ( B).

Adems, E cumple la identidad* ( E) = ( E) 2E. Al igualar las dos ltimasecuaciones,( E)2E = (/t)( B). Introduciendo las Ecs. (2.1) y (2.4), obtenemos2E = t

(00

Et

). Llegamos as a la ecuacin de onda

2E = 00 2E

t2 . (2.5)

Para una onda que se propague slo en la direccin x, 2 = 2/x2 y la Ec. 2.5 adopta la forma2Et2 =

100

2Ex2 . (2.6)

Reemplazando en esta ecuacin a E por y a 1/(00) por T/, obtenemos la ecuacin para lasondas de desplazamiento en una cuerda. De las Ecs. (2.5) o (2.6) conclumos que E en el va-co se propaga ondulatoriamente con velocidad 1/

00. Esta velocidad, conocida con la letra

c, es una de las constantes fundamentales de la naturaleza. Reemplazando los valores de la per-meabilidad magntica 0 y de la permitividad elctrica del vaco 0, en unidades SI, obtenemosc = 1/

1,2566 106 8,8544 1012 = 299 790 km/s. En resumen,

c =100

300 000 km/s.

B en el vaco tambin cumple la ecuacin de onda,

2B = 00 2B

t2 . (2.7)

JI Problema 2.3. Halle la Ec. (2.7) a partir de las ecua-ciones de Maxwell. Con qu velocidad se propaga Ben el vaco? Ayuda: Aplique el operador rot (o sea) a

la Ec. (2.4), y proceda de manera anloga a como se hizo parallegar a la Ec. (2.5).

*Justificacin. El producto triple vectorial de 3 funciones vectoriales A, C y D es A (CD) = C(A D) (A C)D. Si asociamos a A y C con, la identidad toma la forma (D) = ( D) ( )D = ( D)2D. Hemos reemplazado a por el operador 2; este operador se llama el laplaciano. Sea E el vector D.

2] Ondas Electromagnticas Hctor Alzate L., Universidad de Antioquia. Enero de 2004 21

2.2. Algunos Comentarios a Raz de las Ecuaciones de Onda

En el ao de 1873 J. K. Maxwell (1831-1879) public* ATreatise on Electricity and Magnetism. En este libro hall,con la matemtica y la fsica de la poca, las ecuaciones deonda, y mostr que la velocidad esperada es muy prxi-ma a la de la luz, que ya haba sido medida con diferentesmtodos.

Maxwell predijo: (a) a partir de la deduccin de lasecuaciones de onda, la existencia de las ondas electromag-nticas; (b) que la velocidad de estas ondas es igual a la dela luz; y (c) debido a la igualdad entre la velocidad pre-dicha de las ondas electromagnticas y la velocidad de laluz, que la luz es una onda electromagntica. La predic-cin (c) implica que la luz, por ejemplo la producida porel filamento de un bombillo, debe provenir de las cargaselctricas del filamento.

Antes de Maxwell la ptica y el Electromagnetismoeran dos ramas independientes de la fsica, pero l con laprediccin (c) convirti a la ptica en un captulo del elec-tromagnetismo. Las predicciones (a) y (b) fueron compro-badas en el laboratorio antes de 1900.

Las ecuaciones de onda, tomadas textualmente delTreatise,** son

Kd2Fdt2

+2F = 0,

Kd2Gdt2

+2G = 0,

Kd2Hdt2

+2H = 0.

K es la permitividad . F, G y H son las componentes car-tesianas del campo.

Notamos que Maxwell no utiliza el signo de deriva-da parcial , aunque utiliza el signo de derivada total conel significado de derivada parcial. En lugar de una ecua-cin vectorial, escribe tres ecuaciones escalares. Maxwellno escribi textualmente las ecuaciones (2.5) y (2.7). Parahacerlo, y llegar a ellas como hicimos en la seccin ante-rior, fue necesario desarrollar an ms de lo que Maxwellconoca, la notacin y el anlisis vectorial. Esto se debeprincipalmente a Oliver Heaviside (1850-1925) y J. WillardGibbs (1839-1903).

Pero donde encontramos una mayor diferencia deltrabajo de Maxwell respecto a nuestra poca, no es en lapresentacin y el tratamiento matemticos, del cual ya he-mos sealado algunos aspectos, sino en el modelo fsico.

Quienes pensaban en una onda, antes de 1905, siem-pre pensaban en un medio material cuya vibraciones, de-formaciones, etc., constituan la onda. Los fenmenos seconceban mecnicamente, esto es, a la manera newtonia-na: la manifestacin de masas sometidas a fuerzas. As, el

modelo fsico de Maxwell para la propagacin de la luz,por ejemplo del Sol a la Tierra, es similar a como se propa-gan las ondas en la superficie del agua:Debe existir un me-dio material, el ter luminfero, que llena todo el espacio,y cuyas deformaciones constituyen la luz. El ter en con-tacto con el Sol empieza a vibrar, y pone en movimiento alter vecino, y as sucesivamente hasta que la perturbacin,o sea la luz, llega a la Tierra. Al hacer oscilar, por ejemplo,un imn, se pensaba que ocurra lo mismo: se perturba elter en contacto con el imn, y va avanzado una pertur-bacin con velocidad c. Con la palabra vaco los fsicos delsiglo XIX quieren decir el espacio slo con la presencia deter; para nosotros la misma palabra tiene un significadodiferente.

Los campos elctricos ymagnticos sonmanifestacinde perturbaciones del ter: el campomagntico en un pun-to es la manifestacin de un remolino de ter, cuyo ejecoincide con la direccin de B. En un punto cercano hayotro remolino con el mismo sentido de rotacin que el pri-mero; entre ambos remolinos existen unos rodamientos, ala manera de balines, que permiten la igualdad entre lossentidos. El campo magntico se asocia con la energa ci-ntica del remolino; en cambio, el campo elctrico se aso-cia con cierta energa potencial. Dice en su Treatise***: "Lafuerza magntica es el efecto de la fuerza centrfuga de losremolinos." ("Magnetic force is the effect of the centrifugalforce of the vortices.")

Se dedicaron, hasta bien entrado el siglo XX, ingentesesfuerzos a detectar el ter, pero fue imposible probar suexistencia fsica (es de destacar, dentro de estos esfuerzos,los experimentos de Michelson y Morley). Lo que fallabaera el modelo: la luz no es una onda mecnica, no es ladeformacin de un medio, y para entenderla es necesariorenunciar al ter (tan imprescindible para los fsicos antesde 1905): La luz es un nuevo tipo de onda, que no requie-re de un medio material. En 1905 Einstein postul: La luzen el vaco se propaga con velocidad c, independiente dela velocidad del observador inercial que la mida o de lafuente que la produzca.

Es sorprendente que deMaxwell sobrevivan sus ecua-ciones (aunque con una presentacin matemtica renova-da), halladas con un modelo fsico completamente descar-tado. l no supo de la existencia de los electrones, descu-biertos en 1897, ni de la estructura nuclear del tomo.

Con Newton (1642-1727) ocurre**** lo mismo que conMaxwell: una cosa es lo que nosotros conocemos como lasleyes de Newton, cmo las aplicamos y cmo las escribi-mos; y otra cosa es lo que Newton pens de sus leyes, c-mo las aplic, y cmo las escribi. En 1687 public los Prin-cipios Matemticos de la Filosofa Natural. En este libro se

*J. K. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, Dover Publications, New York, 1954. Dos tomos.**Op. cit., segundo tomo, p. 434.***Op. cit., segundo tomo, p. 470.****C. Truesdell, Ensayos de Historia de la Mecnica, Editorial Tecnos, Madrid, 1975.


propuso deducir toda la fsica a partir de unos axiomas,conocidos como las tres leyes de Newton. (Euclides quisohacer lo mismo, pero en geometra, en el libro Los Elemen-tos, cerca de 2000 aos antes de Newton).

El lenguaje matemtico de Newton y de su poca es lageometra euclidiana. Las variables y parmetros (espacio,tiempo, velocidad, aceleracin. . . ) se representaban, desdehacia siglos, mediante segmentos de rectas o de curvas deuna grfica (omediante ngulos, reas. . . ), no con letras (x,t, v, a. . . ). La solucin de los problemas era predominan-temente grfica, no con frmulas analticas. Fue necesarioel trabajo intenso de otros matemticos y fsicos (especial-mente de Euler) para llegar al mtodo newtoniano de so-lucin de un problema que, en el caso de una partcula demasa M, consiste en hallarle la trayectoria r(t) a partir dela segunda ley de Newton: la fuerza resultante sobre M seiguala al producto de M por la aceleracin a, y se resuelvela ecuacin diferencial resultante para despejar a r(t):

F = Ma = Md2r(t)dt2

.

Las ecuaciones

Fx = Max , Fy = May , Fz = Maz ,

aplicables a cualquier sistema mecnico (una partcula, unsistema de partculas, un slido, un medio elstico, un sis-tema continuo o discontinuo) solo fueron publicadas porEuler* cerca de 1750. Newton nunca las escribi, y menosescribi la ecuacin vectorial (conocida como la segundaley de Newton para masa constante) equivalente a las tresanteriores ecuaciones escalares, F = Ma. Sin embargo, elnombre de leyes de Newton es justo, pues son la presenta-cin en un lenguaje matemtico simblico de los axiomasexpuestos en su libro los Principios.

Breve Historia de Algunos Smbolos.** La Tabla 2.1muestra algunos smbolos, la fecha de su primera apari-cin escrita con el significado actual, y su autor.

La designacin de puntos, lneas y planos por letras seha llevado hasta Hipcrates de Quos, 440 a. n. e.

Los signos + y fueron de uso general en aritmticasolo en el siglo XIX.

El nombre de nabla para fue sugerido por Robert-son Smith ( 1860) a causa de la similitud del smbolo conun arpa asiria.

La notacin actual tuvo aceptacin general solo des-pus de 1915.

Tabla 2.1

Smbolo Fecha Autor

S XII al-Hassr

+, 1489 Johann Widman= 1557 Robert Recorde

1631 Thomas Harriot 1631 William Oughtred 1655 Wallis 1659 Johann Rahn

dx,

1675 Leibnizpi 1706 William Jonese 1728 Euleri 1777 Euler

1786 Legendren! 1808 Christian Kramp 1853 Hamilton

a b, a b 1881 Gibbs, 1881 Gibbs

Como smbolo fraccional.

2.3. Solucin en Ondas Planas de las Ecuaciones de Onda

Las Ecuaciones (2.5) y (2.7) admiten una solucin de la forma E(r, t) = E(u r ct) y B(r, t) =B(u r ct), donde u es un vector unitario en la direccin de avance de la onda.

La fase contiene la direccin de propagacin, puesto que u r ct forma parte de lafase; sin embargo, no contiene la direccin del campo.

Puesto que el valor de (u r ct) en cierto instante especifica un plano, E y B son constantesen todos los puntos de ese plano, y a las mencionadas soluciones para E y B se les denominasolucin en ondas planas. En este caso, como lo demostramos a continuacin, necesariamentelos vectores u, E y B son ortogonales entre s, lo que constituye una demostracin de que lasondas electromagnticas planas son transversales, esto es, no hay componente de los campos enla direccin u de propagacin.

*A la ley dm a = df John Papastavridis la llama la ley de Newton-Euler en su libro Analytical Mechanics, p. 102,Oxford University Press, 2002

**F. Kajory, A History of Mathematical Notations, Dover Publications, New York, 1993. (847 pginas).M. J. Crowe, A History of Vector Analysis, Dover Publications, New York, 1994.


Introduciendo la variable

s u r ct = uxx+ uyy+ uzz ct, (2.8)estas ux, uy y uz no son vectores unitarios, sino las componentes del vector unitario upodemosescribir E(u r ct) = E(s) = uxEx(s) + uyEy(s) + uzEz(s) y B(u r ct) = B(s) = uxBx(s) +uyBy(s) + uzBz(s). Consideremos el vector E(s),*

E =

ux uy uz

x

yz

Ex Ey Ez

.Desarrollando el determinante, vemos que la componente x del vector ( E) es

( E)x = Ez(s)y Ey(s)

z =Ez(s)

ssy

Ey(s)s

sz .

Pero Ez(s)/s = dEz(s)/ds y Ey(s)/s = dEy(s)/ds; segn la Ec. (2.8), s/y = uy y s/z = uz.Reemplazando estas igualdades, obtenemos (E)x = uy dEz(s)/ds uz dEy(s)/ds. Examinan-do el miembro derecho de esta ecuacin notamos que es una resta donde est ausente el ndice x,mientras que y y z se alternan simtricamente, llevndonos esto a pensar que es la componente xdel producto vectorial u dE/ds, o sea

( E)x = (u dE/ds)x.Siguiendo un procedimiento anlogo al del anterior prrafo, se demuestra que ( E)y = (udE/ds)y y ( E)z = (u dE/ds)z; por lo tanto,

E = u dE/ds.De igualar esta ecuacin a la Ec. (2.3) resulta u dE/ds = B(s)/t. Derivando en cadena,B(s)/t = B(s)/s s/t. Pero B(s)/s = dB/ds y s/t = c [vea la Ec. (2.8)]; por lotanto, B(s)/t = cdB/ds. O sea que u dE/ds = (c)dB/ds. Eliminando ds obtenemosu dE = cdB. Integrando, u dE = c dB: u E = cB. Multiplicando por el nmero de onday recordando que ku = k y kc =, llegamos a k E =B. Despejando B,

B =1k E = 1

ux uy uzkx ky kzEx Ey Ez

. (2.9)Esta ecuacin nos da informacin til: por propiedad del producto vectorial, B k y B E. Elcampo B es transversal por ser perpendicular a la direccin de k, que es la de avance de la onda:k B = 0. Adems, si B(r, t) = 0, E(r, t) tambin vale cero: en el punto r y en el instante t loscampos elctrico y magntico estn en fase o en contrafase.

*Justificacin. Sean A y C dos vectores, y D su producto vectorial; entonces D = A C =ux uy uzAx Ay AzCx Cy Cz

. Aso-ciamos a A con y a C con E.


Tambin se puede demostrar que

E = c2

k B = c

2

ux uy uzkx ky kzBx By Bz

.Segn esta ecuacin, E k: el campo elctrico es transversal, k E = 0. En una onda plana, E y Bestn en el frente de onda.

Calculemos la magnitud de B con la Ec. (2.9): |B| = B = (1/)|k| |E| sen 90 = (k/)E; comok/ = 1/c y despejando E,

E = cB. (2.10)

Esta ecuacin nos dice que las magnitudes de E y B estn relacionadas a travs de c. Vectorialmen-te, la ecuacin no se cumple: E 6= cB.

JI Problema 2.4. Demuestre que en el vaco, E = c2k B. Ayuda: Siga un procedimiento anlogo al

que se recorri para llegar a la Ec. (2.9): ( B)x =(/y)Bz(s) (/z)By(s) = . . . Utilice la Ec. (2.4).

2.4. Energa de una Onda Electromagntica

2.4.1. Conservacin de la Energa

Imaginemos un medio no disipativo en el que se propagan ondas. Sea una superficie cerrada Aque delimita un volumen V (Fig. 2.1).

Una onda transporta energa y en cada punto del espacio tiene una direccin de avance. Pode-mos idear un vector S(r, t) cuya magnitud sea la intensidad y su direccin la de avance de la onda:S Iu. Puesto que la intensidad es energa por unidad de tiempo y unidad de rea, entonces laenerga que por unidad de tiempo atraviesa el diferencial de rea da es el producto escalar S da.

Figura 2.1 La supercie A delimita elvolumen V, en un medio en el que sepropagan ondas.

La rapidez de flujo de energa a travs de toda la superficie Aes la suma de los aportes de todos los da que conforman a A:

Rapidez de flujo de energa a travs de A =AS da.

Sea EV(t) la energa instantnea dentro de V; la rapidez conque cambia EV es

Rapidez de cambio de la energa en V= dEV(t)/dt.

SiAS da > 0 es porque a travs de A hay un flujo neto de ener-

ga hacia el exterior de V y, por conservacin de la energa, estaintegral es lo que V est perdiendo, o sea que dEV(t)/dt sera negativo: la energa que V pierda lagana el exterior de V:

Rapidez de flujo de energa a travs de A = Rapidez de cambio de la energa en V,AS da = dEV(t)

dt. (2.11)


2.4.2. Conservacin de la Energa y las Leyes de Maxwell

Nos proponemos expresar a S(r, t) en trminos de E(r, t) y B(r, t).Multipliquemos escalarmente* por B a cada uno de los miembros de la Ec. (2.3),

B ( E) = B Bt = 12

(B B)t =

12

B2t = 0

t

(B2

20

).

Este ltimo parntesis es la densidad instantnea de energa magntica EB(r, t);

B ( E) = 0 EBt . (2.12)

Multipliquemos escalarmente por E a ambos miembros de la Ec. (2.4),

E ( B) = 00E Et =1200

(E E)t =

1200

E2t = 0

t

(120E2

).

Este ltimo parntesis es la densidad instantnea de energa elctrica EE(r, t);

E ( B) = 0 EEt . (2.13)

Efectemos la resta entre las Ecs. (2.12) y (2.13),

B ( E) E ( B) = 0 EBt 0EEt = 0

t (EB + EE). (2.14)

El ltimo parntesis es la densidad total de energa del campo electromagntico E , y el primermiembro es, segn una identidad,** (E B). Por lo tanto, (E B) = 0E/t. Multipli-cando por dV e integrando sobre todo el volumen,

V (E B)dV = 0

V

Et dV.

E es funcin de (x, y, z, t), pero al integrar sobre el diferencial de volumen dV = dxdydz laintegral queda funcin nicamente de t; por lo tanto, la derivada parcial respecto a t sale de laintegral como una derivada total,

V (E B) dV = 0 ddt

VE dV.

La ltima integral es la energa total dentro del volumen V, EV(t).V (E B)dV = 0dEVdt .

* (B B)t = B

Bt + B

Bt = 2B

Bt , de donde B

Bt =

12

(B B)t .

**Justificacin. El producto triple escalar de 3 vectores A, C y D es A (C D) = D (A C) C (A D). Sireemplazamos a A por, a C por E y a D por B, obtenemos que (E B) = B ( E) E ( B).


Segn el teorema de la divergencia, esta integral de volumen es igual a una integral sobre toda lasuperficie A que delimita a V,

V (E B)dV =

A(E B) da.

Segn las dos ltimas ecuaciones, A(E B) da = 0dEVdt .

Dividiendo por 0, A

E B0

da = dEVdt

.

De comparar la ltima ecuacin con la Ec. (2.11), conclumos que S = E B/0. Como 0 =1/(c20), llegamos a

S = c20E B.Este vector S es fundamental en electromagnetismo y se denomina el vector de Poynting. Su mag-nitud evaluada en (r, t) es la intensidad de la onda, y su direccin u es la de propagacin de laonda: S = uI. Si la onda es plana, E B, B = E/c y

S(r, t) = c20EB sen 90 = c0E2(r, t). (2.15)

Si tambin es armnica y con polarizacin lineal,

E = E0 sen k(u r ct), y S(r, t) = c0E20 sen2(k rt).Promediando por perodo,

S = c0E20 sen2(k rt) = c0E20 sen2(k rt) = 12 c0E20.Como S = I,

I = 12 c0E20. (2.16)

Adems, I = cE ; por lo tanto E = 120E20. Como I y E estn expresados en funcin de E0 y no de

E(r, t), se debe sobrentender que se trata de promedios temporales; por esto hemos prescindidode los signos . Por una razn anloga, cuando decimos que cierta cantidad tiene un valor nu-mrico especfico, se debe entender que nos referimos al promedio temporal de la cantidad; as,una potencia de 0.1W se refiere a una potencia promedio.

En una onda plana polarizada linealmente,

EB = B2

2o=

12B

20

20=

B2040

=(E0/c)2

40=

E204c20

= 140E20

yEE = 120E2 = 140E20.

Vemos que las densidades de energa elctrica y magntica de una onda plana son iguales. Sinembargo, la fuerza FE que E hace sobre una carga q con velocidad v c, es mucho mayor que lafuerza FB que la componente magntica de la onda hace sobre la misma carga: F = qE+ qv B =FE+ FB, de donde

FEFB qE

qvB=

EvE/c

=cv 1. La situacin de v c se presenta en los electrones

que pasan entre las placas de deflexin de un osciloscopio; para calcular la deflexin en la pantalladel osciloscopio solo se tiene en cuenta el campo elctrico entre las placas y no el magntico.


2.5. Polarizacin

Por la polarizacin de una onda nos referimos a la figura mediante la que describamos su campocomo funcin del tiempo en cierto punto del espacio especificado por r. En una cuerda, si esta-mos describiendo el campo de desplazamiento para un punto de ella, y vemos que este puntosigue una circunferencia, decimos que la onda tiene polarizacin circular, o elptica si sigue unaelipse. Con una onda electromagntica puede ocurrir una situacin anloga, y su campo, elctricoo magntico, como funcin del tiempo en cierto punto del espacio sea descriptible con una elipse;decimos que la onda electromagntica est polarizada elpticamente en ese punto. Pero mientrasque en una onda elstica se puede pensar en puntos materiales que realmente se mueven en elip-se, en una onda electromagntica no, por no ser una onda elstica; los campos E y B se propaganen el vaco.

Se entender que una onda longitudinal no es polarizable puesto que, por definicin de on-da longitudinal, el campo siempre est en la direccin de avance de la onda. O dicho con otraspalabras, una onda longitudinal siempre est polarizada linealmente.

Por convencin, el observador que determine la polarizacin de una onda electromagntica sedebe ubicar de manera que la onda se le acerque, , y luego fijarse en su campo elctrico.Lo que ocurra con el campo magntico se deduce de E con la Ec. 2.9, p. 23.

El plano definido por E y k se llama el plano de polarizacin. Esta definicin lleva a que elplano de polarizacin sea perpendicular al frente de onda.

Vimos que en una onda plana E y B definen un plano perpendicular a k; sea este el planoyz, coincidente con el frente de onda. Como E, B y k forman un sistema derecho, la direccinde avance de la onda es paralela al eje x. El vector de onda, si la onda avanza en direccin dex creciente, +x, ser k = uxk. En este caso, k r = (uxkx + uyky + uzkz) (uxx + uyy + uzz) =uxk (uxx + uyy + uzz) = kx; en lugar de (k r t) escribiremos (kx t). Expresemos a Ecomo

E = Ey + Ez = uyEy + uzEz = uyE0y sen(kxt) + uzE0z sen(kxt+ zy). (2.17)zy es el desfase entre las ondas Ez y Ey. Veamos las diferentes polarizaciones segn el valor deeste desfase.

1. Ey y Ez en Fase

Estar en fase dos variables quiere decir que las dos alcanzan simultneamente, cada una, su m-ximo valor, o su mnimo, o cero: zy = 0 (Fig. 2.2). Por ejemplo, en un pndulo la altura y laenerga potencial estn en fase.

De la Ec. (2.17), Ey = E0y sen(kxt) y Ez = E0z sen(kxt). Haciendo el cociente Ey/Ez ydespejando Ey, Ey = (E0y/E0z)Ez. Esta es la ecuacin de una recta con pendiente E0y/E0z.

La onda tiene polarizacin rectilnea: su campo E oscila, en el punto r donde se hace el presenteanlisis, siempre en la misma direccin. En el grfico vemos que cuando Ey = E0y, Ez = E0z;cuando Ey = E0y, Ez = E0z; y tambin simultneamente se hacen cero Ey y Ez.

La intensidad instantnea es, segn la Ec. 2.15,

I(r, t) = c0E2 = c0(E2y + E2z) = c0[E

20y sen

2(kxt) + E20z sen2(kxt)]= c0(E20y + E

20z) sen

2(kxt).El promedio temporal es

I = c0(E20y + E20z)sen2(kxt) = 12 c0(E20y + E20z).


Figura 2.2 Desfase de cero entre Ey y Ez. Figura 2.3 Desfase de pi/2 entre Ey y Ez.

2. Ey y Ez en Cuadratura o Desfasados pi/2

Estar desfasadas 90 dos variables quiere decir que en el instante que una alcanza su mximo o sumnimo valor, la otra vale cero: zy = pi/2 (Fig. 2.3). Esto se logra describiendo a una variablecon la funcin seno y a la otra con la funcin coseno (examine los grficos de estas funciones).Por ejemplo, en el oscilador armnico simple bloque-resorte l

Complemento de Física III. Ondas, Héctor Alzate López

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