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INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL

CÁLCULO INFINITESIMAL

COMPLEMENTOS 5. EL OPERADOR INTEGRAL. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

PROCEDIMIENTOS

1. Cambio de variable, sustitución.

2. Integrales de los tipos: ⌡

⌠

++

+⌡⌠

++

+ dxcbxax

BAxdxcbxax

BAx22

3. Integración por partes. 4. Funciones racionales. Descomposición en fracciones simples. 5. Método de Hermite. Reducción de Ostrogadsky. 6. Funciones irracionales.

7. Integrales de funciones racionales del tipo:⌡⌠

++ dxcbxaxxR 2,

8. Integrales binomias. 9. Integrales trigonométricas. 10. Otros procedimientos.

EJERCICIOS

∫ ⌡

⌠

++++∫

⌡

⌠

−−⌡⌠

++ 3636213344

2.5Arcsen.4

232.3

522.2sen2cos.1xxxx

dxxdxxxxx

dx

xx

dxdxxex

( )⌡

⌠

−+⌡

⌠

+

⌡

⌠

−

+

−+

⌡

⌠

+

+⌡⌠

+

442.10

14 3.9

3112223.82

12

322.722L.6xxx

dxdxx

xdxxx

xxdxx

xdxx

∫ ∫ ( )∫ ⌡

⌠

+∫⌡

⌠+

+21

.1634cotg.152cos6sen.14sen1

sen.132cos.12145.11x

dxxdxxdxxxx

dxxdxxdxxx

∫ ∫ dxxxedxx

xdxxx

x

dxxdxx

xdxxx sen.2232cos

3sen.2111.20

41.192cos

2sen.184cos3.17 ⌡⌠

⌡⌠

−+

⌡

⌠

−⌡⌠

⌡

⌠

+

+⌡⌠

⌡

⌠

++

+−

⌡

⌠

+

+

∫ dxxx

xdxxxdx

xx

xxdd 2123

22.27L.26

9210422

.253tg1

2sec2tg2.24Arctg.23 θ

θ

θθθθ

( ) ⌡⌠

+

⌡

⌠

−

−⌡

⌠ −

+⌡

⌠+++−

⌡

⌠

+

−

xxx

dxxdx

x

xxdxxdxxxdx

xx

sen2cos23sen

cos.322

321

4223.3123

12.30231231.29

1361.28

∫ ⌡⌠

++

⌡⌠ −

++⌡

⌠⌡⌠

++ dx

xxxdxxxx

xx

dxdxx

xxdxxxL3

L1.371tg5623.362cos2sen.35

2sen3cossen.343cos2sen.33

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INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL

CÁLCULO INFINITESIMAL

RESUMEN TEÓRICO DE LOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 1. Cambio de variable. Sustitución. Consiste en transformar la función subintegral mediante sustitución de la variable x por una función de una nueva variable t en la forma:

( ) ( ) ( )∫ ( )[ ] ( )∫ dtttfdxxfdttdxtx ϕϕϕϕ ′=⇒′=⇒= * Ejemplo.

∫

∫ CxCtdttIxdxdtxt

xdxxI

+=+==⇒=⇒=

=

2/32/3 sen32

32cossen

cossen

* Ejercicios de aplicación: 1, 4, 13, 16, 17, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 37. 2. Integrales de la formas:

⌡

⌠⌡⌠

++

+

++

+ dxcbxax

BAxbdxcbxax

BAxa2

)2

)

En ambos casos, cuando A es distinto de cero la integral se descompone en suma de dos. La primera se resuelve buscando en el numerador la derivada del denominador, lo que implica obtener un logaritmo en el caso a) y una raíz en el caso b). Para resolver la segunda integral, que será de la forma:

⌡

⌠⌡⌠

++++dx

cbxax

Cbdxcbxax

Ca2

)2

)

basta con transformar el denominador en suma o diferencia de cuadrados, con lo cual resultará un arco tangente o logaritmo en el caso a) y un logaritmo o arco seno en el b). * Ejemplo.

( )Cxxx

x

dxxx

dxxx

dxxx

xdxxx

xIdxxx

xI

+−

++−=+−

++−=

=+−

++−

−=

+−

+−=⇒

+−

+=

⌡

⌠

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠

21arctg2522L

21

4214522L

21

5224

52222

21

522822

21

5223

* Ejercicios de aplicación: 2,3.

3/7

3. Integración por partes. Consiste en aplicar la expresión siguiente que se desprende de la derivada del producto de funciones:

∫∫ −= vduuvudv * Ejemplo.

CxxxxdxxxI

xvxdxdvdxduxu

xdxxI

++−=+−=⇒

⇒−=⇒=

=⇒=⇒=

∫

∫

sencoscoscos

cossensen

* Ejercicios de aplicación: 4, 6, 22, 23, 26, 36. 4. Integración de funciones racionales. Descomposición en fracciones simples. Una función racional es aquella que puede ser expresada mediante el cociente de dos polinomios P(x) / Q(x). Cuando el grado de P(x) es menor que el de Q(x) entonces la fracción se denomina propia; en caso contrario, impropia. No obstante, toda fracción impropia puede expresarse como suma de un polinomio más una fracción propia sin más que dividir numerador entre denominador. Como la integración de un polinomio no encierra problema alguno, consideremos la integración de fracciones propias mediante la descomposición en fracciones simples. Para ello se buscan las raíces del denominador Q(x) que pueden ser reales o complejas, y a la vez simples o múltiples. La descomposición se realiza como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )mmm

ni

n

iimii

ni

qpxx

NxM

qpxx

NxMqpxx

NxM

xxA

xxA

xxA

qxpxxx

xPxQxP

++

+++

++

++

++

++

+−

++−

+−

=++−

=

22222

211

221

2

)()()(

K

KK

donde los coeficientes A, M y N han de calcularse reduciendo a común denominador el segundo miembro de la igualdad y comparando posteriormente con el primero. Tras la descomposición de la fracción propia, la integración de los sumandos obtenidos no reviste dificultad. * Ejemplo.

( ) ( )( ) ( ) { }

( )( ) C

xxx

xdx

xdx

xdxI

CBACxxBxxA

xC

xB

xA

xxxxxxxx

dxI

+−

−−−⌡

⌠=⌡

⌠

−+

−−⌡

⌠=⇒

⇒=−==⇒+−+−=⇒

⇒−

+−

+=−

=+−

⌡⌠ ⇒

+−=

111LL

11

1;1;1111

1111

21

2

2

2223223

* Ejercicios de aplicación: 5, 13, 24, 25, 32.

4/7

5. Método de Hermite (Ostrogadski). Este procedimiento, alternativo al anterior, se aplica en la integración de funciones racionales cuando existen raíces múltiples en el denominador de la fracción propia. Consiste en expresar la función subintegral mediante fracciones de coeficientes indeterminados en la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )

qpxxNMx

xxA

qxpxxx

xRdxd

qxpxxx

xPxQxP

i

mii

ni

mii

ni

++

+++

−+

+

++−=

++−= −−

2

1212

)()()()(

K

KK

donde R(x) es un polinomio indeterminado de grado inferior en una unidad al correspondiente denominador. Evidentemente, una vez calculados los coeficientes mediante derivación, reducción a común denominador y comparación de ambos miembros, la integral se reduce a encontrar la primitiva en los sumandos no afectados por el operador derivación. * Ejemplo.

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ){ } ( )

( ) ( ) Cxxxxx

x

dxxx

xxdx

xxxxINMAcba

xxNMx

xA

xxxcbxax

dxd

xxx

xxx

dxI

++

++++−−−

−=

=⌡⌠

⌡⌠

++

++

−−

+++−

−=⇒==−==−==⇒

⇒++

++

−+

++−

++=

++−⇒

⇒⌡

⌠

++−=

312arctg

3321L

911L

92

)1(3

12

92

192

)1)(1(3/19/4;9/2;9/2;0;3/1;0

111111

1

11

23

2

2

22

2

222

222

* Ejercicios de aplicación: 7, 8, 27. 6. Integración de funciones irracionales. La integración de funciones irracionales consiste en racionalizar previamente la magnitud subintegral mediante los cambios de variables adecuados, si bien ello no siempre es posible. Cuando la integral a resolver es de la forma:

⌡

⌠

dxxxxR s

rnm

,,, K

donde la función R es tal que entre sus variables sólo se realizan operaciones racionales, para transformarla en una integral del tipo 4 se efectúa el cambio de variable:

5/7

dtktdxtx kk 1−=⇒= donde k es el común denominador de las fracciones m/n, ..., r/s. Análogamente se opera cuando la base de todas las potencias, en lugar de ser x, es una misma función racional f (x). * Ejemplo.

( ) ( ) CxxxCtttdtt

tI

tdtt

ttdttIdttdxtx

xxdxI

+−−+−+−=+−++=⌡⌠

−++=⇒

⇒⌡⌠

−=

⌡

⌠

−=⇒=⇒=−⇒⌡

⌠−−−

=

112L2122121L221

112

1224212

1212

442

2

2

334

4

* Ejercicios de aplicación: 9, 28. 7. Integrales de funciones del tipo:

⌡⌠

++ dxcbxaxxR 2,

Esta integral se reduce a la de una función racional mediante alguno de los siguientes cambios:

( )( ) ( ) txxxa

cxtcbxaxc

txacbxaxa

αβαβα −=−−−

+=++>−

+=++>−

:trinomiodelraícessonySi

:0Si

:0Si2

2

En todos los casos se eleva la igualdad al cuadrado y se despeja x como función de t. * Ejemplo.

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

Cxxxx

Ctt

tdtI

ttxxdt

t

tdx

ttxtxxtxxx

xx

dxI

++−−

+−+=⌡

⌠ +−+

=−

=⇒

⇒−

=−+−

=⇒

⇒−

+=⇒+=−⇒+=−+⇒

⌡

⌠

−+=

411411

L11L

12

1543;

1

101

414141443

2

22

22

2

22

2

* Ejercicios de aplicación: 10. 8. Integrales de las diferenciales binomias. Se trata de integrales de la forma:

( )∫ dxbxaxpnm +

donde m, n, p, a, b son constantes.

6/7

Estas integrales se reducen únicamente en los casos que siguen mediante los cambios correspondientes que se indican:

( )

sn

sn

n

tbaxZpn

m

pstbxaZn

mtxZp

=+∈++

−

=+∈+

−

=∈−

−:1Si

dedivisoreles:1Si

:Si

* Ejemplo:

( )( )

( )( )

( )∫ 3 44736

23

33331

41

21

332

4334

1

3 4

1con37

1212

1

1121

112

11

21,31,

41,

21;1

xtCttdttt

dtt

ttdxxxI

ttdx

txtx

Zn

mpnmdxx

xI

+=+−=−=

=⌡

⌠

−

−=

⌡

⌠

+=

−=

−=⇒=+⇒

⇒∈=+

===⌡

⌠ +=

−

* Ejercicios de aplicación: 11, 30. 9. Integrales de funciones trigonométricas. Entre los muchos casos que se pueden presentar, figuran las siguientes: a) Integrales del tipo:

Znmdxxx nm ∈∫ ,cossen

- Si m es impar y positivo se toma un seno como diferencial del coseno y los restantes se expresan en función del coseno. Análogamente se opera cuando n es impar y positivo. - Si m y n son pares y positivos la expresión subintegral se transforma valiéndose de las fórmulas del ángulo doble, cos 2x y sen 2x. - Si m y n son ambos negativos y pares se introducen las funciones secante y/o cosecante como paso previo a la introducción de la tangente, tomando en la integral la diferencial de dicha función. Este método también se aplica para resolver las integrales siguientes cuando m es entero positivo:

∫∫ xdxxdx mm cotgytg

- En el caso general, para valores cualesquiera de m y n, también puede intentarse la integración por partes.

7/7

* Ejemplo.

( ) ( ) ( ) Cxxxdxxdxx

dxI ++=⌡⌠ +=== ∫∫ 3

tgtgtgtg1tgseccos

322

4

b) Integrales del tipo:

∫ dxnxmxcossen

Se transforman en sumas de integrales mediante las fórmulas de suma y diferencia de senos, o cosenos. * Ejemplo.

( )∫ ∫ +−=−== CxxdxxxxdxxI2010sen

168sen10cos8cos

21sen9sen

c) Integrales del tipo:

( )∫ dxxxR cos,sen

donde R es una función racional. - El cambio general es: tg (x/2) = t. - Si se cumple que R (-sen x, - cos x) = R (sen x, cos x) entonces es útil el cambio: tg x = t.

En ambos casos el seno y coseno se expresan respectivamente en función de la tangente mediante las correspondientes fórmulas trigonométricas. * Ejemplo.

( )⌡⌠ +

+=++=

+=

+

−=

+=

+=

⇒=⌡⌠

++=

CxCtt

dtI

ttx

ttx

tdtdx

txxx

dxI

2tg1L1L

1

11cos;

12sen

12

2tg;

cossen12

2

2

2

* Ejercicios de aplicación: 12, 13, 14, 15, 18, 24, 32, 33, 34, 35. 10. Otros procedimientos. Aunque existen otros métodos orientados a resolver integrales de funciones específicas, en numerosas ocasiones la cuadratura puede realizarse prescindiendo del método que a priori se establece para su resolución, gracias a un inteligente cambio de variable u operación elemental que reduzca la laboriosidad que con frecuencia va implícita en los procedimientos. Por ello, debe entenderse que la búsqueda de primitivas, cuando éstas existen, es un arte cuyo dominio se alcanza cuando se realizan numerosos problemas. * Ejercicios de aplicación: 20, 32, 34.

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