Decidibilidad, Completitud e infinito

Enrique Alonso

Universidad Autonoma de Madrid

September 11, 2013

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El Infinito y la Logica

La nocion de infinito ha quedado circunscrita en la actualidad a los contenidos

propios de la Teora de Conjuntos. Es cierto que siempre podemos encontrar

otras disciplinas y enfoques que se hagan cargo del problema, pero si se piensa

en los desarrollos contemporaneos de la matematica, el lugar propio para hablar

del infinito es la Teora de Conjuntos.

Sin embargo, es posible apreciar problemas relevantes que involucran este

concepto en ambitos relativamente elementales de la Logica clasica.

En esta charla pretendo mostrar de que forma tratamos con el infinito en la

demostracion de la Completitud de la Logica de Primer Orden y la manera en

que ciertas propiedades metateoricas basicas de los sistemas formales han sido

reintrepretadas a lo largo del tiempo. Analizare tambien la forma en que ha sido

entendido el caracter no constructivo de la prueba de completitud de la Logica

elemental LPO y terminare cuestionando algunos de los metodos y objetivos

de la investigacion actual en Logica.

Es interesante observar la forma en que ciertos problemas de la maxima

relevancia filosofica estan ya presentes en etapas tan elementales como estas y la

manera en que solemos obviar su tratamiento en cursos basicos por considerarlas,

o bien evidentes, o bien fuera del alcance de nuestros auditorios. En mi opinion

este no es un buen modo de proceder.

La constitucion del modelo clasico

Empleo el termino modelo clasico para referirme a la forma habitual de proceder

en una investigacion en Logica.

Este modelo entiende la tarea de la logica como un proceso que empieza por

la descripcion de un lenguaje formal que pretende ser de aplicacion en algun

ambito determinado. Es preciso ofrecer tambien un calculo, una semantica y un

analisis de ciertas propiedades metateoricas relevantes.

Este modelo responde basicamente al tipo de enfoque apreciable en obras

como Introduction to Mathematical Logic de A. Church aunque debidamente

actualizado gracias al desarrollo de la Teora de Modelos.

En terminos mas precisos, podemos decir que una investigacion tpica en

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logica debe cubrir al menos los siguientes topicos:

Paso I: Descripcion del Sistema formal

- Introduccion del vocabulario basico en el que deben ser apreciables las

categoras formales del analisis cfr. Church 1956, p.3

- Definicion de formula bien formada mediante un procedimiento efectivo

que garantice la unicidad de lectura.

- Definicion de la relacion de derivabilidad para las formulas del lenguaje,

`S A, mediante un calculo apropiado S.

- Definicion de la relacion de consecuencia para las formulas del lenguaje,

|=M A, mediante la introduccion de una clase de modelos o interpreta-ciones admisibles.

Un sistema formal puede definirse entonces como un triplo L,`S , |=M dadopor un lenguaje formal, un calculo o varios equivalentes y una coleccion de

modelos adecuados para las formulas del lenguaje. Las definiciones de formula

derivable a partir de y la de consecuencia valida a partir de son las ha-

bituales. Eso implica igualmente que las nociones de teorema y formula valida

permanencen sin cambios. Pero de esto se hablara en detalle mas adelante.

No pretendo decir que todo sistema formal deba necesariamente constar de

estos tres elementos. Los calculos intuicionistas nacieron como sistemas ajenos

a una interpretacion estandar de sus formulas. Las logicas de la relevancia

basadas en el criterio de uso no insistieron en ese punto en sus orgenes. Las

logicas subestruturales y las no monotonas no pretenden estar orientadas a la

interpretacion semantica de sus expresiones. Pero todos sabemos que estos son

casos en los que la ausencia de una semantica apropiada, o bien es polemica, o

necesita de una cierta justificacion.

Como es obvio, ningun sistema formal entendido de este modo puede ser

presentado en sociedad sin garantizar ciertas propiedades metateoricas que ase-

guren que la derivabilidad y la consecuencia estan en una relacion apropiada.

Paso II: Analisis de las propiedades metateoricas basicas de la deriv-

abilidad y la consecuencia semantica

3

- Debemos demostrar al menos que la derivabilidad es correcta sound con

respecto a la consecuencia semantica.

- Es preciso al menos discutir la conversa, es decir la completitud.

- Es conveniente aludir a la decidibilidad del sistema formal analizado.

Evidentemente, no hay sistemas formales incorrectos unsound. En ese

caso, simplemente se admite que las reglas del calculo no guardan la relacion

requerida con el significado de las expresiones con las que trata.

La importancia relativa de estas propiedades ha variado con el tiempo y hay

muchas otras que ya no desempenan un papel relevante, como por ejemplo:

- La independencia de los axiomas de una base axiomatica.

- La busqueda de formas normales.

Otras pueden jugar papeles que quedan acotados a un cierto ambito o sub-

disciplina, como la Compacidad en teora de modelos, o la Eliminacion de la

Regla de Corte en teora de la prueba.

En lo que sigue vamos a hablar basicamente de la completitud y de la forma

en que su estudio ha ido formando parte de este modelo clasico. Es preciso hacer

notar que durante las primeras etapas del desarrollo de la logica formal contem-

poranea, la completitud no era una propiedad relevante en la investigacion de

teoras logicas, no as de teoras interpretadas. Veremos por que.

La completitud antes de la teora de modelos

El modelo clasico tiende a transmitir la idea de que existe una independencia

notable entre las relaciones de derivabilidad y consecuencia y sus metodologas

correspondientes. Es inevitable recordar aqu la polemica acerca de que es o

debe ser primero, si el calculo o la semantica1.

Los defensores de la prioridad de la semantica tenderan a aludir a que no

hay calculos incorrectos, es decir, en los que las reglas del calculo difieran del

analisis previo de las constantes logicas que se ofrece a traves de las clausulas

1Es inevitable referirse aqui a los trabajos clasicos de Etchemendy sobre la prioridad de la

semantica.

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semanticas. Los defensores de un mayor equilibrio pueden aducir que las reglas

son constitutivas del significado de las constantes logicas y que la consistencia

o la no-trivialidad de la clausura deductiva de es previa e independiente a la

semantica. No entraremos en ello.

Lo cierto es que los primeros resultados de completitud son muy anteriores

a la constitucion de la teora de modelos como una disciplina matematica con-

solidada. De hecho, la misma idea de la completitud de un sistema formal no

es clara en un principio.

Los primeros intentos de definir la completitud de un sistema formal em-

piezan tomando prestado el concepto que se aplica a las teoras formalizadas.

Las palabras de Church 1956, p.109 son reveladoras en este sentido:

As a first attempt to fix the notion more precisely, we might

might demand of every sentence that either it or its negation shall

be a theorem; but since we allow the assertion of propositional forms,

this may probe insufficient.

No obstante, es este mismo autor quien reconoce que

As in the case of consistency, the notion of completeness of a

logistic system has a semantical motivation, consisting roughly in

the intention that the system shall have all posible theorems not in

conflict with te interpretation. Church 1956, p.109

Hay que tener en cuenta que en los desarrollos previos de Frege y Russell

& Whitehead, el significado de las expresiones de un lenguaje formal pareca

pertenecer a un nivel puramente informal. Eran las reglas del calculo las que

traducan al plano formal el significado intuitivo de las constantes logicas. El

criterio basico de correccion era la consistencia, la cual, pese a las palabras de

Church, s era una propiedad plenamente caracterizable en un plano puramente

sintactico. La completitud no tena una expresion clara en la medida en que la

exhaustividad del calculo no tena un referente obvio ante el cual pudiera ser

juzgada. Porque, cual era la clase de expresiones que el calculo deba reproducir

por completo en terminos de teorematicidad?

En el caso de las teoras formalizadas, es decir, de teoras completamente

interpretadas, el criterio de bondad era mucho mas claro. Dando por supuesta

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la consistencia de la teora, ese criterio de exhaustividad podra enunciarse del

sigiente modo:

- Una teora formalizada es satisfactoria si es capaz de pronunciarse ade-

cuadamente con respecto a cada pregunta pertinente.

La traduccion inmediata de este criterio intuitivo es:

- La teora ha de ser completa en el sentido de que para cada formula A Lha de ocurrir que, o bien `S A, o bien `S A y

- La teora ha de ser decidible, es decir, debemos disponer de un proced-

imiento efectivo para determinar para cada formula en L si `S A o 0S A.

Ahora sabemos que hay muy pocas teoras interesantes que cumplan estos

requisitos, pero creo que es justo reconocer que son criterios epistemologicamente

razonables.

Que la completitud sea una propiedad difcil de identificar en el caso de

los sistemas formales, no es tan extrano. Para poder plantearse alguna de sus

versiones mas o menos estandar, es preciso tener dos clases de expresiones que

comparar, la de las verdades y la de los teoremas en este caso hablo solo de

completitud debil. En el caso de las teoras formalizadas, no exista esa segunda

clase de referencia que deba ser reproducida mediante un calculo apropiado.

Cuando nos referimos a las verdades de la Aritmetica, en el fondo no deja de ser

una forma conveniente de hablar. Tuvo que pasar bastante tiempo hasta que se

pudiera trabajar con los modelos de una teora formalizada.

Al fin y al cabo, las teoras formalizadas, en ausencia de una realidad bien

definida que pudiera ser descrita como la clausura deductiva de una coleccion de

axiomas, solo podan probar su vala con criterios como los anteriores. Siendo

as, como se llega hasta una definicion semantica de la completitud? A mi

juicio influyen al menos los siguientes fenomenos:

- La identificacion del fragmento proposicional como un sistema con valor

en si mismo,

- La proliferacion de bases axiomaticas alternativas y

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- El uso de tablas de verdad en demostraciones de consistencia e indepen-

dencia.

El uso de tablas de verdad como forma de construir una primitiva semantica2

fue algo comun durante las dos primeras decadas del siglo xx entre la comunidad

de investigadores dedicados al fomento de la Logica. En 1921 Post emplea

este mecanismo para probar la consistencia de una axiomatizacion del Calculo

proposicional, mientras que en 1926 Bernays hace uso de ellas en pruebas de

independencia3. Lo interesante es que el uso de estos procedimientos contribuyo

de forma decisiva a crear clases de formulas bien motivadas, las tautologas, con

respecto a las cuales era posible preguntarse si eran o no agotadas por la clase

de teoremas de un sistema formal. Es importante hacer notar que este uso prim-

itivo de los metodos semanticos no estaba tanto orientado a ofrecer un analisis

del significado de las constantes logicas del formalismo, como a definir clases de-

cidibles del formulas del lenguaje. Es curioso que esta especie de protosemantica

fuera concebida en su origen como una iniciativa ligada a la existencia de ciertos

metodos de decision y por tanto como algo esencialmente distinto del entorno

conjuntista y no constructivo que caracteriza en la actualidad a la teora de

modelos.

Aunque en la actualidad pueda resultar extrano privar de rigor formal a estos

planteamientos, lo cierto es que Church, por ejemplo, no les atribuye la capaci-

dad de resolver las definiciencias que la semantica presenta en su metodologa.

Por eso no es de extranar su intento de ofrecer lo que el denomina syntacti-

cal definitions of completeness Church 1956, p.110, que no son otra cosa que

versiones mas o menos proximas de la Post-completeness.

A logistic system is complete in the sense of Post if, for every

sentence B, either ` B or the system, upon addition of B to it asan axiom, becomes inconsistent in the sense of Post. Church 1956,

p.110

2Esto es lo que Mara Manzano y yo mismo denominamos protosemantics en Completeness:

from Godel to Henkin.3Church 1956, p.163

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Varias lecturas de la completitud

Para que la completitud de un sistema formal llege a tener una lectura semantica

o modelista, es preciso contar con una clase de referencia bien definida. Historicamente

este proceso se inicia a traves del metodo de tablas de verdad popularizado por

Wittgenstein y empleado profusamente por Post y Bernays entre otros. Este

origen y los supuestos que eran comunes en aquel entonces han influido deci-

sivamente en las distintas lecturas que cabe hacer la de completitud hoy en

dia.

Algunas expresiones comunes de esta propiedad completitud debil podran

ser las siguientes:

1 If A is a logical truth, then A is a theorem of S.

2 Whenever we have a logical truth, we know we can have a proof of it as a

theorem in a calculus S.

3 The set of logical truths is included in the set of theorems of S.

4 The set of logical truths is recursively enumerated by a calculus S.

De todas ellas, ninguna es del todo incorrecta, aunque las hay que son preferi-

bles a otras. Las razones que pueden influir en que una de estas versiones sea

preferible a las restantes no son los terminos usados para su formulacion, sino

el contexto. Es decir, el sistema formal al que se refieren.

De estas cuatro versiones, hay dos que se limitan a exponer hechos sin sugerir

o adelantar nada acerca del modo de llegar a ellos, o acerca de sus consecuen-

cias. Se trata, como parece obvio, de (1) y (3). Son expresiones neutras de la

completitud contra las que hay poco que decir. Si las he incluido aqu es por la

facilidad con que derivan en (2) cuando nos vemos obligados explicar su signifi-

cado. La ausencia de consideraciones adicionales suele conducir a aclaraciones

en las que el contenido de la completitud adquiere un sabor epistemico como el

que claramente se reconoce en (2).

Esta interpretacion de la completitud que denominaremos en lo sucesivo

interpretacion epistemicaparece insistir en el hecho de que cualquier formula

que haya sido previamente identificada como una verdad logica debe disponer de

una prueba. Para saber que formulas son buenas candidatas a la construccion

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de una prueba, antes se debe determinar si son o no verdades logicas, de ah

que la califiquemos como una interpretacion de tipo epistemico. Este modo de

ver las cosas hace que la semantica adquiera el caracter de un mecanismo de de-

cision, mientras que el calculo se vea relegado a un procedimiento necesitado de

estrategias heursticas para alcanzar una conclusion que se sabe que existe mas

adelente emplearemos un lenguaje mas preciso. Sin la ayuda de los proced-

imientos mecanicos de decision aportados por esta especie de protosemantica, el

calculo sera incapaz de determinar si la prueba de una cierta formula no existe

o aun no ha concludo.

Church asume este hecho al presentar el metodo de tablas de verdad en los

siguientes terminos:

The truth-table decision procedure for the propositional calculus

is applied in an informal way to special cases by Frege in his Begrif-

schrift of 1879 [...]. The first statement of it as a general decision

procedure is six years later by Peirce. Church 1956, pp. 161-2.

Este equilibrio segun el cual la semantica pertenece al ambito de los metodos

de decision mientras que el calculo queda fuera, fue dominante durante las

primeras decadas del siglo xx para declinar en parte con el progresivo asen-

tamiento de la teora de modelos como disciplina matematica rigurosa. No

obstante, es conveniente advertir que parte de esta tradicion aun pervive man-

ifestandose en decisiones como aquellas que llevan a considerar el metodo de

Tablas analticas tableaux como un procedimiento semantico.

Este modo de ver las cosas solo se sostiene si al mismo tiempo se admite

una manifiesta superioridad de los metodos propios de los calculos frente a los

de la semantica, algo que parece claro en ese mismo periodo de la historia

contemporanea de la Logica. Solo as se entiende la perplejidad que puede

provocar entre nuestros estudiantes que se les obligue a obtener, a menudo

con un esfuerzo considerable, una prueba de una formula de la que se sabe

previamente que es una verdad logica. Es que acaso es menos fiable decir de una

formula que es una verdad logica a decir que es un teorema de un cierto calculo?

Solo la posesion de una prueba garantiza que la formula de la cual sabemos

que es una verdad logica, es adecuada o satisfactoria? Hay mas informacion y

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de mas calidad en la prueba de una formula que en el metodo empleado para

saber que la formula en cuestion es una verdad logica?

Estas preguntas permiten formular el siguiente principio:

Principio de prevalencia de la sintaxis:

Solo la exhibicion de una prueba en un calculo apropiado garantiza

la bondad de una formula de la que se sabe por un algoritmo de tipo

semantico que tal prueba existe.

Este principio solo se aplica en aquellos sistemas formales para los que existe

una semantica apropiada y en los que la nocion de verdad logica es recursiva,

aunque no es infrecuente encontrarlo en contextos en los que este ultimo extremo

no se da.

Una prueba de completitud concebida bajo este principio lo que viene a

garantizar es la bondad de los conceptos y metodos empleados en la semantica

segun los estandares del metodo logstico4, algo paradojico si al mismo tiempo

se admite que las reglas del calculo deben expresar si queremos garantizar

correccion y completitud el significado de las constantes logicas tal y como se

expresa en las clasulas semanticas de dichas constantes.

La interpretacion restante de la completitud, la ofrecida en (4), es muy

distinta a la que acabamos de ver, precisamente por el uso que se hace de

la semantica y su metodologa. Para llegar a ella resulta preciso reconocer

que el dominio de los metodos semanticos no es el de los procedimientos de

decision sobre las formulas de un lenguaje, sino el de las definiciones conjuntistas

asociadas a una magnitud no-enumerable de interpretaciones admisibles.

Hay que tener en cuenta que esta forma de ver las cosas resultaba suma-

mente extrana en una epoca, los anos 20 y 30 del pasado siglo, en los que se

confiaba en la existencia de algoritmos de decision para las formulas relevantes

de los formalismos de la Logica. Puesto que los calculos conocidos reposaban

en una interpretacion de la nocion de prueba que no ofreca pistas sobre las

formulas que de hecho no eran probables, lo mas plausible era esperar que esos

algoritmos procedieran de la semantica. Situar entonces su dominio propio en

4Esta expresion la tomo del Church 1956, 7.

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el de las definiciones conjuntistas que se ven obligadas a tratar con cantidades

no enumerables de interpretaciones era poco menos que una hereja.

Ni siquiera en la actualidad es facil admitir que esa es la esencia real de

la semantica o mas rigurosamente, de la teora de modelos. Sin embargo, esta

es una posicion que defenderemos desde las palabras del padre de la primera

demostracion no trivial de completitud, me refiero a la que Godel ofrece en 1930

para la Logica de Primer Orden. All podemos leer:

Let us note that the equivalence now proved, valid=probable,

contains, for the decision problem, a reduction of the nondenumer-

able to the denumerable, since valid refers to the nondenumerable

totality of functions, while provable presuposes only the denumer-

able totality of formal proofs. Godel 1930. Van Heijenoort, p.589

Palabras en las que insiste Kleene anos mas tarde afirmando de manera

sorprendentemente similar,

A reduction from the non-enumerably to the enumerably infinite

is achived, as validity and satisfiability refer to the totality of log-

ical functions, which is non-enumerable, while the proof-theoretic

equivalents provability and irrefutability refer only to the enumer-

able infinity of formal proofs. Kleene, p.423

Este modo de ver las cosas es el que me lleva a interpretar la completitud de

un sistema formal como una especie de premio de consolacion ante el caracter

extremadamente complejo de la nocion de verdad logica.

Principio del segundo premio

Una logica completa con respecto a un calculo muestra al menos una

manera de enumerar las verdades de ese sistema formal.

As pues, se puede concluir que entre todas las posibles interpretaciones de

la propiedad de la completitud, hay dos que se destacan al sostener formas

opuestas de entender este asunto. La primera, la que se desprende del Principio

de prevalencia de la sintaxis, asume la superioridad del calculo como forma de

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garantizar el caracter destacado teorematico de una formula de un lenguaje.

El segundo, sostenido en el Principio del segundo premio, es independiente de la

existencia de algoritmos de decision para las verdades del lenguaje limitandose a

dar una informacion valiosa sobre la complejidad computacional de ese conjunto.

Sobre la distincion entre sintaxis y semantica

Aunque este asunto va mas alla de los objetivos, mas limitados, de esta ex-

posicion, no he querido dejar de tratarlo de algun modo.

Tradicionalmente la distincion entre sintaxis y semantica se ha considerado

de tipo conceptual. El calculo se caracteriza por tratar con cadenas de smbolos

sin atender a su significado. Sus operaciones son de tipo mecanico y solo contem-

plan susbsituciones de unos signos por otros bajo circusntancias perfectamente

identificables. La semantica, por contra, trata con el significado de esas expre-

siones. Sus reglas dependen de ese significado y estan por tanto sujetas a las

mismas ambiguedades que la semantica padece como disciplina.

No hace falta adentrase en muchas sutilezas para encontrar fenomenos que

desafan esta interpretacion. Es posible que las tablas de verdad representen

para muchos la quintaesencia de los metodos semanticos de analisis. Su justifi-

cacion, la de cada una de estas tablas, se hara completamente incomprensible si

no tuviesemos en mente en todo momento que V siginifica verdadero y F falso.

Pero, es que acaso no podemos dar a las tablas de verdad un tratamiento pura-

mente algebraico, puramente abstracto? No es nada difcil imaginar situaciones

en las que el contexto nos prive de cualquier recurso para hacer interpretaciones

razonables de que es aquello que estamos haciendo con una determinada tabla

de verdad y pese a ello seguir operando de manera correcta.

La esencia de la semantica no es el significado, del mismo modo que en el

calculo tampoco estamos por completo desprovistos de interpretacioens subya-

centes acerca del comportamiento de las constantes logicas. No creo que este

sea el punto en el que debe basarse la distincion entre sintaxis y semantica, si

es que esta finalmente existe5. Si realmente hay una distincion entre sintaxis y

5Es inevitable recordar en este punto la polemica sustitada por Prior en The Runabout

Inference Ticket en torno la conectiva plonk y la posterior respuesta de Belnap en Tonk,

Plonk, and Plink.

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semantica esta no puede residir en la ausencia o no de guas acerca del signifi-

cado de los smbolos logicos analizados, ya que este o esta presente en ambas o

en ninguna.

La sugerencia introducida indirectamente en la formulacion del Principio del

segundo premio apunta a que esta diferencia reside en los recursos empleados en

la definicion de sus nociones mas caractersticas. En particular las de teorema

y verdad logica obtenidas a partir de la relacion de derivabilidad formal ` yde consecuencia semantica |= respectivamente. Veamos estas definiciones.Teorema: Dado un calculo S, decimos que B es un teorema de S si y solo si

existe una cadena finita A1, A2, A3, ...An, An+1 tal que cada formula en esasecuencia,

- O bien es un axioma si el calculo los posee,

- O bien a sido obtenida a partir de formulas que le preceden en la secuencia

mediante el uso de una regla de inferencia inmediata del calculo y

- An+1 es B

Verdad logica: Dada una clase M de modelos o interpretaciones admisibles

sobre un lenguaje L, decimos que B es una verdad logica si y solo si

- Para cada intrepretacion v en M sucede que v(B) adquiere un valor con-

siderado designado verdadero en el caso bivaluado clasico.

Para que la diferencia entre estas definiciones quede clara, es necesario hacer

notar que la nocion de regla de inferencia inmediata es puramente mecanica. Es

decir, debe estar plenamente garantizado que su uso no admite interpretaciones

y que solo depende de una serie finita de condiciones cada una de las cuales

puede ser determinada de manera efectiva.

En el caso de las interpretaciones presentes en M, el caso es completamente

distinto. Nada apunta a la existencia de un metodo para determinar de manera

efectiva si una formula recibe o no el valor designado en una de estas interpreta-

ciones. Y desde luego nada exige que el numero de interpretaciones pertinente

sea finito. Por supuesto que las clausulas semanticas que determinan el valor de

cada expresion del lenguaje deben responder al principio de composicionalidad y

ser consistentes entre s, de manera que bajo una misma interpretacion y dadas

13

unas condiciones iniciales, se pueda asegurar que una formula no recibe valores

distintos y que al menos recibe uno suponiendo que no aceptemos funcione

parciales. Pero eso es todo.

Mientras que la nocion de teorema construye por definicion un mecanismo de

enumeracion del conjunto de los teoremas de S, la definicion de verdad logica no

determina la complejidad computacional de la clase de las verdades logicas. Es

una definicion libre de contradicion, pero en eso se agota el control que ejercemos

sobre ella. La nocion de teorema es finitaria, mientras que la de verdad logica

pertenece al dominio general de las nociones ideales de la matematica.

Para que un sistema formal mantenga la diferencia que aqu se propone

entre sintaxis y semantica, deben darse ciertas condiciones contextuales rele-

vantes. Parece obvio que si existe un procedimiento, del tipo que fuere, capaz

de enumerar tambien las formulas que no son verdades logicas de M, entonces,

la diferencia entre sintaxis y semantica cambia de forma drastica. En concreto,

desaparece cualquier motivacion para disponer de un calculo. Intentare explicar

esta extrana afirmacion.

La clase de las formulas bien formadas obtenidas a partir de un vocabulario

basico previamente dado, nunca es del todo relevante. Algo que no ocurre, por

ejemplo, con la clase de las funciones computables. Pero ahora no entrare en ello.

Para entrar propiamente en el dominio de la Logica, parece necesario destacar

de algun modo un subconjunto propio del lenguaje as obtenido. La razon que

nos lleva a hablar de las verdades logicas y no de otra clase es, seguramente,

la sutil caracterstica de que estas formulas resultan invariantes bajo el efecto

de las interpretaciones en M. Es posible que cualquier clase que pudiera ser

presentada de este modo, fuera un candidato idoneo como clase notable dentro

de un lenguaje formal dado. Puesto que el metodo seguido para definir esa clase

es puramente ideal, es normal que procedamos a un intento de caracterizacion

efectiva de esa clase notable de formulas. Evidentemente hay tres opciones,

i. La clase notable Lv puede ser obtenida como el resultado de un metodo

efectivo, resultando as recursiva,

ii. Sus elementos pueden ser enumerados de forma efectiva por algun pro-

cedimiento, siendo as r.e, pero no as las formulas que no esten en dicho

conjunto, y finalmente,

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iii. No hay procedimiento alguno que permita enumerar las expresiones en

Lv, sino a lo sumos subconjuntos propios de dicho conjunto.

Solo en el segundo caso resulta relevante el calculo, tal y como lo suponemos

al definir la nocion de teorema. Si asociamos el termino completitud a la ex-

istencia de una prueba que muestre que la clase de formulas enumeradas de

forma efectiva por el calculo es Lv, entonces solo se dispondra de pruebas de

completitud propiamente hablando en sistemas formales que se encuentren en

ii. Los formalismos cuyo conjunto Lv resulte decidible, no precisan recurrir a

calculo alguno. Insisito, si por tal se entiende un mecanismo disenado solo para

arrojar teoremas. Por fortuna disponemos de algun caso que permite ilustra el

punto. Pienso, como parece obvio, en el Calculo proposicional clasico. Es obvio

que existe, no solo un calculo para la Logica proposicional, sino una coleccion

entera de ellos. Sin embargo, que papel desarrollan esos calculos a la hora de

construir de manera efectiva la clase Lv? Es frecuente que en etapas basicas de

la formacion en Logica nos veamos recomendando a nuestros alumnos que antes

de proceder a una prueba de una formula en un calculo, nos enteremos si es o

no probable. En el caso de la logica proposicional esto es algo que suele hacerse

mediante tablas de verdad. Puesto que suponemos que las tablas de verdad son

mecanismos semanticos, volvemos al planteamiento que ya habamos criticado

lneas atras.

Quiza sera justo reconocer que las llamadas tablas de verdad no son sino un

algoritmo para construir el conjunto Lv. Algoritmo para el cual se ha tenido que

probar un resultado de adecuacion similar a la completitud para formalismos

en los que Lv es r.e, pero no recursiva. De esta forma pasaramos a reconocer

los metodos no por su problematica filiacion conceptual, sino por su capacidad

para analizar la complejidad computacional de Lv, algo mas coherente desde

muchos otros puntos de vista.

El componente no constructivo de la demostracion

de completitud

Como ya hemos dicho al principio de este ensayo, la decada de 1920 y buena

parte de la siguiente estuvieron dominadas por la creencia de que las verdades

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logicas de los distintos formalismos podan ser decididas mediante algun algo-

ritmo apropiado. Ciertos exitos parciales como el ya sabido de la logica proposi-

cional, o el del fragmento monadico de la Logica de Primer Orden6 haban al-

imentado la fe formalista en la inexistencia de ignorabilia. La persistencia de

los calculos, incluso su prevalencia frente a otros recursos, se sostena, no en la

idea de que al menos se pudieran enumerar recursivamente las verdades logicas,

sino en el mayor rigor de estos mecanismos frente a aquellos otros que parecan

contaminados por la falta de precision de la semantica y sus metodos. Pero en

ningun caso se conciben los calculos como una forma de paliar una total falta

de control sobre la clase de las verdades logicas. Lo ideal es disponer de un al-

goritmo de decision que filtre previamente las formulas para las cuales debemos

encontrar una prueba. Desde nuestro punto de vista, esta estrategia equivale a

hacer las cosas por duplicado, pero no era entendida de este modo en el momento

en que Godel ofrece la primera prueba de completitud para LPO.

La demostracion que ofrece Godel en 1930 tiene lugar 6 anos antes de que

Church y Turing establezcan de modo independiente la indecidibilidad de la

Logica de Primer Orden. Si tenemos en cuenta el formato orginal del teorema

establecido por Godel, es facil apreciar la conexion directa entre el caracter no

constructivo de su prueba y el hecho de que LPO no sea decidible.

El teorema es presentado en los siguientes terminos:

The completeness theorem that we must now prove states the

converse: Every valid logical expression is provable. Clearly, this can

also be expressed thus: Every logical expression is either satisfiable

or refutable, and we shall prove it in this form. Godel 1929, pp.74-5.

El abordaje clasico en ese periodo de la prueba supona entonces la con-

struccion efectiva de un modelo realizacion para cada formula no refutable. O

dicho de otra forma, para cada formula no derivable, deba ser posible ofrecer un

modelo o realizacion de su negacion, por lo que la decidibilidad de LPO quedaba

atada de una forma peculiar a la completitd del calculo. Godel es plenamente

consciente de este hecho cuando afirma:

In conclusion, let me make a remark about the means of proof

6Behmann en 1922

16

used in what follows. Concerning them, no restriction whatsoever

has been made. In particular, essential use is made of the principle

of excluded middle for infinite collections [...]. It might perhaps ap-

pear that this would invalidate the entire completeness proof. For

what is to be proved can, after all, be viewed as a kind of decid-

ability (every expression of the restricted functional calculus either

can be recognized as valid through finitely many inferences or its

validity can be refuted by a counterexample). On the other hand,

the principle of the excluded middle seems to express nothing other

than the decidability o every problem. Godel 1929, p. 64

It is clear, moreover, that an intuitionistic completeness proof

(with the alternative: provable or refutable by counterexamples)

could be carried out only through the solution of the decision prob-

lem for mathematical logic, while in what follows only a transfor-

mation of that problem, namely its reduction to the question which

formulas are formally provable, is intended. Godel 1929, p.65

Probablemente aqu ya se atisba lo que mas adelante denominare el dilema

de Godel y que no es sino la percepcion de cual puede ser el valor real de una

demostracion de completitud.

El punto exacto en el que se hace uso de esta apelacion al principio de tercio

excluso aplicado a colecciones infinitas es aquel en el que Godel afirma:

Each Bn, being a formula of the propositional calculus, is either

satisfiable or refutable (Lemma 7). Thus only two cases are conceiv-

able:

1. At least one Bn is refutable [...]

2. No Bn is refutable; hence all are satisfiable. Then there exist

satisfying systems of every level. Godel 1930, p.115

Es llamativa la aparente falta de interes de Godel por senalizar de forma

explcita este uso no constructivo de tercio excluso. Aunque en sus exposiciones

de la prueba siempre se hace alguna referencia a este hecho, no parece excesi-

vamente dispuesto a discutirla in situ, algo que quiza solo indica una relativa

17

inseguridad acerca de las consecuencias de esta circunstancia en el contexto de

la epoca.

Lo que no se puede negar es que Godel fue uno de los primeros en apreciar

directamente la relacion entre la prueba de completitud y la complejidad de la

clase de las verdades logicas. No podemos emplear abiertamente en este punto

los terminos recursivo y recursivamente enumerable porque son nociones que

aun no estan definidas con todo rigor, aunque ya estan en el ambiente en que

se producen ciertas discusiones. Esto se aprecia claramente en la siguiente cita

de 1930:

Let us note that the equivalence now proved, valid=provable,

entails, for the decision problem, a reduction of the nondenumer-

able to the denumerable, since valid refers to the nondenumerable

totality of functions, while provable presupposes only the denu-

merable totality of formal proofs. Godel 1930, p.117

La gran cuestion que a todos nos gustara poder aclarar es si Godel pensaba

que su prueba era solo una aproximacion preliminar a la solucion del problema

o una nueva forma de ver el papel de los calculos en la caracterizacion de las

formulas notables de un sistema. Si su posicion es la primera, entonces su teo-

rema debera quedar superado por uno plenamente constructivo que de algun

modo implicara la solucion de todas las preguntas pertinentes acerca de la teo-

rematicidad de LPO. Es decir, deberamos asegurar la decidibilidad de LPO

para obtener la completitud del calculo como un corolario. Sus palabras hacen

pensar, sin embargo, que Godel posiblemente se inclinaba ya a pensar en otros

terminos. La ausencia de un resultado que estableciese la decidibilidad de LPO

era demasiado evidente tras anos de busqueda infructuosa. Si aun no se haba

llegado a ese resultado quiza fuera tan solo porque no se poda. En ese caso, lo

mas a lo que se podra aspirar era a mostrar que al menos las verdades de LPO

eran enumerables de manera efectiva, tarea que le corresponde por estructura, a

un calculo. La garanta de que esto era posible en asusencia de un resultado de

decidibilidad para LPO era el recurso a metodos no constructivos en la prueba

de completitud.

La siguiente demostracion de la completitud de LPO se produce en un con-

texto completamente distinto. Me refiero, como es evidente, a la prueba de

18

Henkin que aparece publicada en Henkin7.

No solo se hace uso de una metodologa completamente distinta, sino que

ademas ya no se busca una demostracion constructiva. Las pruebas de Church

y Turing de 1936-7 se haban ido asimilando progresivamente y se habia llegado

a entender la conexion entre el carcacter no constructivo de la demostracion la

indecidibilidad de LPO. Pese a ser su maestro y mentor, la prueba que Church

expone con detalle en su Introduction to mathematical Logic no es la Henkin,

sino la de Godel. Es en ese contexto en el que se apresura a afirmar que:

At this point of the proof we make use of the law of excluded

middle (in the syntax language). But since no effective means is at

hanf to determine which of the two cases hold for a given A, the

method of the proof yields no solution of the decision problem of the

pure functional calculus of first order. Church 1956, p.235 nt 412.

El punto al que hace mencion Church es el mismo que Godel identifica en su

prueba, por lo que no hay en esto novedad alguna, salvo el hecho indiscutible de

que Church s sabe que LPO no es decidible. Es interesante que sea aqu donde

se detecta un punto potencial de conflicto entre dos resultados de igual rigor

formal. Una interpretacion constructiva de la disyuncion a la que alude Church

compromete su resultado de indecidibilidad, por lo que es preciso aceptar la

lectura no constructiva si queremos salvar la aparente contradicion8.

Pese a tener clara esta circunstancia, Church fue un claro defensor de lo

que aqu he denominado principio de prevalencia de la sintaxis. Este punto

es senalado de forma explcita por Henkin -Henkin 1996- cuando hablando del

metodo logstico adoptado por Church en sus clases entresaca una cita de Intro-

duction to mathematical Logic para sostener que

However, these two dimensions of language [Syntax and Seman-

tics] play very unequal roles in the deductive systems whose study

is the proper role of logic, according to Church. This can be gleaned

from the following passage, taken from Section 9. From time to

7Para ver una discusion sobre este resultado en el contexto de la epoca, vease Manzano y

Alonso, 20138Otra obra que manifiesta abiertamente esta conexion es Foundations of mathematical

Logic de H.B. Curry de 1963. Cfr, p.354

19

time in the following chapters we shall interrupt the rigorous treat-

ment of a logistic system in order to make an informal semantic

aside ...Except in this Introduction, semantical passages will be dis-

tinguished from others by being printed in smaller type, the small

type serving as a warning that the material is not part of the formal

logistic developement and must not be uesed as such. Henkin 1996,

p.133

El propio Henkin afirma, refieriendose a la influencia de su maestro,

This may seem curious, as his work in logic, and his teaching,

gave great emphasis to the constructive character of mathematical

logic, while model theory to which I contributed is filled with the-

orems about very large classes of mathematical structures, whose

proofs often by-pass constructive methods. Henkin 1996, 127

Sin embargo, y al margen de esta observacion mas bien generica, Henkin

tampoco parece especialmente dispuesto a explicar el punto exacto en que su

prueba se vuelve no constructiva. Sorprende aun mas que esto tampoco tenga

lugar en obras y manuales de los que se espera precisamente que contribuyan a

hacer explcitos todos los pasos de pruebas complejas como lo es esta. Uno de los

pocos manuales que s informa de este detalle es Introduction to mathematical

Logic de E. Mendelson de 1979 cuando afirma:

Notice that M is not necessarily effectively constructible. The

interpretacion of predicate letters depends upon the concept of prov-

ability in J, and this [...] may not be effectively decidable. Mendelson

1979, p.69

En concreto, el punto al que se refiere es aquel en el que se procede a generar

un conjunto consistente maximo a partir de uno simplemente consistente me-

diante una serie inductiva de adiciones de formulas al conjunto obtenido en el

i-esimo paso, es decir, la construccion de Lindenbaum. La formula i+1-esima

segun la enumeracion sera anadida al conjunto si de ese hecho no se sigue una

inconsistencia. Ahora bien, es evidente que comprobar de forma efectiva la con-

sistencia de un conjunto de formulas equivale a probar si se sigue una formula

20

y su negacion, lo cual presupone la existencia de algun metodo mecanico que

permita determinar si es o no as, algo que sabemos no es posible.

Existe otro punto en la cual la prueba de Henkin puede no resultar con-

structiva, pero no reviste importancia para aquello que se discute aqu. Como

es bien sabido, el metodo de Henkin se basa en producir un modelo para una

extension del lenguaje de LPO obtenido mediante la adicion de una cantidad

determinada de nuevas constantes destinadas a nombrar en el lenguaje los indi-

viduos del dominio. Cuando esa cantidad es enumerable, esto permite organizar

la construccion de Lindenbaum mediante una enumeracion efectiva del lenguaje

extendido. Si esa cantidad no es enumerable, entonces la construccion de Lin-

denbaum tiene que recurrir al axioma de eleccion para ordenar las formulas del

lenguaje obtenido.

El dilema de Godel y la reduccion a lo infinita-

mente enumerable

Lo que aqu voy a denominar el dilema de Godel se puede expresar como una

alternativa que procede de forma mas o menos directa de lo que mas arriba

he calificado como el principio del segundo premio. Godel nunca lo sostuvo de

forma explcita, pero s que llego a manifestar puntos de vista que parecen ple-

namente coherentes con este modo de ver las cosas.

Dilema de Godel

Either semantics is decidable, in which case the completeness of the logicis trivial or,

completeness is a critical property that cannot be obtained as a corollaryof a previous decidability result9.

Afirmar que la semantica es decidible no es nada distinto de estar en pos-

esion de una prueba que muestre la capacidad de un determinado procedimiento

mecanico para generar Lv. El dilema lo unico que hace es insistir en la rela-

tiva incompatibilidad entre una prueba de completitud para un calculo dado

9Manzano y Alonso, 2013, p.

21

y la existencia de un algoritmo de decision para Lv. Esa incompatiblidad no

es formal, obviamente, pero si puede considerarse como una incompatibilidad

metodologica. Un prueba de completitud aplicada a un formalismo decidible

simplemente se trivializa.

Observese que desde este punto de vista, una vez definido el conjunto Lv me-

diante un vocabulario conjuntista de tipo muy general, lo que procede es ofrecer

pruebas de adecuacion de ciertos procedimientos que permitan aproximarse lo

mas posible a la construccion efectiva de dicho conjunto. En el extremo, dispon-

dremos de una prueba de adecuacion que haga de Lv un conjunto recursivo, y si

esta no existiera, entonces aun aspiraramos a otra que permitiera mostrar que

Lv es r.e. La historia de nuestra disciplina ha querido que en este caso hable-

mos de completitud. Una prueba de completitud de un calculo no es sino una

demostracion de la adecuacion de ese calculo a la hora enumerar recursivamente

su extension.

Las pruebas de adecuacion en el caso de que Lv sea recursivo tambien existen,

pero no se suelen interpretar como tales. El caso mas evidente es el de las tablas

de verdad para la logica proposicional clasica. Tradicionalmente se ha consider-

ado que estas tablas son en si mismas la semantica del lenguaje proposicional,

pero si nos atenemos al enfoque que hemos dado aqu, lo que realmente establece

la semantica de ese lenguaje es la definicion de las interpretaciones admisibles.

Esta definicion se suele abordar mediante las correspondientes clausulas, algo

del tipo:

C0) i : LP {0, 1}

C1) i(A) = 1 iff i(A) = 0

C2) i(A B) = 1 iff i(A) = 0 or i(B) = 1

...

Como se puede ver facilmente, existe una notable diferencia entre esta forma

de entender la semantica del lenguaje proposicional y el metodo de tablas de ver-

dad. Una interpretacion o valuacion es en este caso una funcion que se extiende

a todo el lenguaje L asignando un valor a todas y cada una de sus expresiones.

Una tabla de verdad es un procedimiento para detallar el valor que adquiere

22

una formula dada conocidos unos ciertos valores iniciales. La adecuacion de

este procedimiento a la hora de determinar la extension de Lvse establecera

demostrando que el valor de verdad de una formula bajo una interpretacion

solo depende del valor de verdad de sus atomos y del hecho obvio de que las

tablas de verdad respetan las clausulas semanticas correspondientes. Estos dos

resultados, a los que rara vez se presta atencion, permiten concluir de manera

directa que una formula adquiere el valor de verdad verdadero bajo toda inter-

petacion i si y solo si la tabla de verdad correspondiente le hace corresponder

el valor 1 en todas las filas de la matriz.

El dilema de Godel lo unico que sostiene es la irrelevancia de los calculos en

aquellos casos en que se dispone de una semantica decidible, es decir, en aquellos

formalismos en los que Lv es recursiva. De lo que se tratara es de ofrecer

una construccion efectiva de esa clase, construccion motivada y asociada a un

resultado de adecuacion. Solo si esta clase no es recursiva tiene sentido intentar

enumerar de manera efectiva sus expresiones. El metodo que permite enumerar

una clase de formulas sin ofrecer un algoritmo de decision es lo que llamamos

calculo y la prueba correspondiente de adecuacion sera una demostracion de

completitud que, por la propia esencia de esa prueba, no puede ser constructiva,

si es que ha de ser no trivial10.

Algunos prejuicios que pueden ser superados

Este trabajo se propuso como objetivo repasar algunos de los usos habituales del

modelo clasico atraves del analisis de la demostracion de la completitud de la

logica de primer orden. Las conclusiones obtenidas deberan afectar al modo de

entender la tarea de la logica en el presente, por lo que tal vez resulte oportuno

hacer un breve resumen de lo dicho hasta ahora.

La tension entre sintaxis y semantica ha sido considerada desde antiguo an-

tiguo como una oposicion conceptual y metodologica. Hay conceptos y metodos

propios de la sintaxis y otros que son caractersticos de la semantica y es posible

en principio reconocer adecuadamente unos y otros. Esta oposicion, que suele

llevar de forma mas o menos directa a la disputa sobre la prioridad, es mas

10En la construccion de Lindenbaum para la logica proposicional clasica si que se obtiene

un modelo de manera efectiva para las formulas en el conjunto inicial.

23

bien esteril. Lo que aqu se propone en juzgar los metodos y conceptos de la

logica por el tipo de herramientas empleadas en la introduccion de sus nociones

basicas. La semantica puede asociarse a aquellas definiciones que solo emplean

vocabulario conjuntista del tipo mas general, como la de verdad logica o con-

secuencia. La sintaxis, si por tal entendemos los calculos obtenidos a partir

de una definicion de prueba, estan orientados a enumerar de manera efectiva

las verdades logicas de un formalismo. Pero tambien podramos querer ir un

poco mas alla enumerando tambien su complemento, es decir, ofreciendo una

definicion recursiva de las verdades logicas. Curiosamente no existe un termino

apropiado para este ambito. Lo cual es de esperar si se tiene en cuenta que

el modelo clasico acepta que la distincion entre sintaxis y semantica es de tipo

conceptual. Lo que aqu sugerimos es una superar esta oposicion. En lugar de

insistir en ella, nos inclinamos por considerar distintos metodos de caracteri-

zacion de una clase de formulas destacadas previamente obtenida las verdades

logicas en el caso clasico. El criterio que ordenara tales aproximaciones a Lv

es la complejidad computacional de dichos procedimientos. En realidad, lo que

tendramos son medidas de la complejidad computacional de Lv.

Esta propuesta desafa uno de los elementos mas caractersticos del modelo

clasico, aquel por el cual un formalismo solo queda perfectamente caracterizado

cuando se definen ` y |= probando al menos que la relacion de derivabilidad escorrecta sound respecto a la de consecuencia. Segun el punto de vista que

aqu se ha defendido, esta forma de proceder puede suponer hacer las cosas dos

veces, una para determinar si A es o no una verdad logica y otra, en caso de

que s lo sea, para hallar una prueba de la misma en el calculo.

Esta reinterpretacion se apoya en parte en una nueva lectura de la prueba

de completitud de la Logica de Primer Orden, lectura que como se ha visto,

se apoya en la forma en que Godel entendio el valor de su prueba de 1930. El

caracter no constructivo de la demostracion actuara, desde este nuevo punto de

vista, como garanta del caracter no trivial de la adecuacion del calculo, es decir,

de su completitud, dicho de otra manera, de su capacidad para enumerar de

manera efectiva las verdades de la Logica de Primer Orden. Una interpretacion

no constructiva del infinito es la unica solucion en este punto para evitar un

conflicto con la indecidibilidad de ese mismo calculo.

24

Por ultimo, creo que de todo lo dicho se desprende una nueva forma de

entender la tarea de la Logica, o al menos, su metodologa basica. El objetivo

no seran los calculos, ni la semantica, sino la caracterizacion de clases notables

de formulas de un lenguaje. La motivacion de cada una de estas posibles clases

dependera de las nociones empleadas en su definicion, pero esta en principio solo

dependera de herramientas conjuntistas del tipo mas general posible. Su estudio

consistira entonces en el establecimiento de una medida real de la complejidad

de dicha clase, empezando por determinar si estamos ante una clase recursiva,

r.e., o una en la que solo es posible enumerar subconjuntos propios de la misma.

Esta sera nuestra propuesta, una destinada a superar ciertos prejuicios

procedentes del viejo influjo del formalismo, algo que creemos ampliamente su-

perado por los acontecimientos y por la aparicion de nuevas fronteras para la

investigacion en Logica.

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