Comportamiento Elástico e Inelástico de Columnas

7/23/2019 Comportamiento Elástico e Inelástico de Columnas

http://slidepdf.com/reader/full/comportamiento-elastico-e-inelastico-de-columnas 1/14

1. PANDEO Y ESTABILIDAD:

Suponiendo que debe diseñarse una columna AB de longitud para soportar una

carga P imaginaremos que P es una carga axial céntrica y que la columna es tal

que el valor A P /=σ del esfuerzo en la sección transversal lo menor que el valor

admisible Admisibleσ para el material utilizado y si la deformación AE PL /=σ cae

dentro de las especificaciones dadas, podría concluirse que la columna se ha

diseñado bien Sin embargo, puede suceder que al aplicar la carga la columna se

pandee, en lugar de permanecer recta, y se curve repentinamente, !bviamente,

una columna que se pandea ba"o la carga específicamente no est# bien diseñada

$ara ilustrar los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad analizaremos

una estructura hipotética que consta de dos barras rígidas AB y BC , cada una de

longitud ½, unidas en B por un pasador y mantenidas en posición vertical por un

resorte rotatorio con rigidez Br %a elasticidad de esta estructura est# concentrada

en el resorte rotatorio, mientras que una columna real puede flexionarse en toda su

longitud

&n la estructura, las dos barras est#n alineadas y la carga P acciona a lo largo del

e"e longitudinal

&l resorte no est# sometido a esfuerzos que las barras est#n en compresión directa

Supongamos que la estructura est# perturbada por alguna fuerza externa que

desplaza al punto B una pequeña distancia %as barras giran #ngulos pequeños θ

y un momento se desarrolla en el resorte &ste momento tiende a regresar a la

estructura a su posición original, por lo que se llama momento restitutivo $ero al

mismo tiempo la tendencia de la fuerza axial de compresión aumenta el

desplazamiento lateral &stas dos acciones tienen efectos opuestos &l momento

restitutivo disminuye el desplazamiento y aumenta la fuerza axial

'onsideremos que se elimina la fuerza perturbadora Si la fuerza P es pequeña y

el momento restitutivo dominar# la acción de la fuerza, la estructura retornar# a su

posición original entonces decimos que la estructura es estable, pero si la fuerza

axial P es grande, el desplazamiento del punto B aumentar# y las barras girar#n



#ngulos mayores hasta que colapse la estructura &ntonces la estructura es

inestable

%a transición entre las condiciones estable e inestable ocurre a un valor de fuerza

axial conocido como carga crítica ( P cr ) $odemos determinar la carga crítica

considerando la estructura en posición alterada $rimero consideramos la

estructura como cuerpo libre, tomamos momentos respecto al punto A

concluyendo que no hay reacción horizontal en el soporte C %uego consideramos

la barra BC como cuerpo libre y notamos que est# sometida a la acción de fuerzas

axiales P y al M B en el resorte

M o = 2 Br θ (1)

'omo θ es una cantidad pequeña, el desplazamiento lateral del punto B es * Lθ

entonces sumando momentos en B+

,*

=

− L

P M Bθ

(2)

&ntonces (1) y (2)



,*

* =

− θ

PL Br

-na solución es, θ . 0, significa que la estructura est# en equilibrio si es

perfectamente recta, cualquiera que sea la magnitud de la fuerza P !tra solución

se obtiene igualando a cero el término entre paréntesis y despe"ando el valor de P +

L

B P r

cr

=

$ara este valor de P cr , la estructura est# en equilibrio la carga P cr representa la

frontera entre las condiciones estable e inestable

Si P < P cr , la estructura es estable.

Si P > P cr , la estructura es iestable.

2. COLUMNAS ARTICULADAS:

-na columna articulada de longitud L y de rigidez flexional constante E! sometida

a una carga axial céntrica P Suponiendo que la columna se hubiera pandeado, se

observa que el momento flector en " era igual a 0 P# y se deduce observando el

gr#fico+

la ecuación+ # E!

P

E!

M

$

#

−==∂∂ *

*



1esolviendo la ecuación diferencial, su"eta a las condiciones de fronteras

correspondientes a una columna articulada, se determina la carga P m#s pequeña

para la cual el pandeo podría ocurrir &sta carga, llamada carga crítica y denotada

por P cr , est# dada por la fórmula de &uler+

*

*

L

E! P cr

π =

&n donde L es la longitud de la columna $ara esta carga, u otra mayor, el

equilibrio de la columna es inestable y ocurren deflexiones transversales

1epresentando el #rea de la sección transversal de la columna por A y su radio de

giro por r , se encontró el esfuerzo crítico cr σ correspondiente a la carga crítica

P cr

*

*

=

r

L

E cr

π σ

%a cantidad L%r se llama relación de esbeltez y se dibu"ó cr σ , como función de

L%& $uesto que el an#lisis se basó en esfuerzos que permanecen por deba"o del

límite de fluencia del material, se observó que la columna fallar# por fluencia

cuando cr σ 2 #σ

3. COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE EXTREMO:



Se dedu"o anteriormente la fórmula para una columna con extremos articulados,

ahora estudiaremos como puede hallarse P cr para columnas con diferentes

condiciones de extremo

&n el caso de una columna com3n extremo libre A y empotrada en B, con carga P

aplicada en A, se observa que la columna se comportar# como la mitad superior de

una columna articulada, la carga crítica para la columna de la figura, es la misma

que para la articulada y puede obtenerse por la fórmula de &uler usando una

longitud igual al doble de longitud real L de la columna dada Se dice que la

lo'itud e(ecti)a Le de la columna es igual a 2L y remplazamos Le = 2L en la

fórmula de &uler+

*

*

e

cr L

E! P

π =

&n forma similar se encuentra el esfuerzo crítico mediante la ecuación

( ) *

*

r L

E

ecr

π σ

=

%a cantidad Le %r es la relaci* e(ecti)a de esbelte+ de la columna y en el caso

considerado aquí, es igual a 2L%r.

Longitu !"!#ti$% ! #o&u'n% %% i"!!nt!* #oni#ion!* ! !+t!'o

Padeo e el lao $#

&n la figura se observa que la longitud efectiva de la columna con respecto al

pandeo en este plano es Le = 0.-L &l radio de giro r + de la sección transversal se

obtiene escribiendo

4

5*

5ba ! + = A = ab



y, como*

+ + Ar ! = ,

5*

5*5 4

4

* a

ab

ba

A

! r

+

+ ===

5*ar + =

%a relación efectiva de esbeltez de la columna con respecto al pandeo en el plano

$# es

5*

6,

a

L

r

L

+

e = (,)

Padeo e el lao $+

%a longitud efectiva de la columna con respecto al pandeo en este plano es Le =

2L, y el correspondiente radio de giro es 5*br # =

5*

*

b

L

r

L

#

e = (,,)

%) Di*!-o '* !"i#i!nt!: &l diseño m#s eficiente es aquel para el cual los

esfuerzos críticos correspondientes a los dos posibles modos de pandeo

son iguales Se tiene que éste ser# el caso si los dos valores obtenidos

arriba para la relación efectiva de la esbeltez son iguales Se escribe

5*

*

5*

6,

b

L

a

L=

y, despe"ando a a%b,*

6,=

b

a47,=

b

a

/) Di*!-o %% &o* %to* %o*: 'omo .S. . 2./,

0i,s0i,s P S . P cr 75*)7)(7*()( ===

-sando a = 0.1/ b, se tiene A = ab = 0.1/b2 y

*47,

7,,5*

b

lb

A

P cr cr ==σ



8aciendo L = 20 ul' en la ecuación (,,), Le %r # = 13.4%b Sustituyendo

E, Le %r , y cr σ en la ecuación

( ) **

/ r L E

e

cr π σ = ( )( ) *

9*

*/954:5,55,

47,7,,5*

b ,si

blb ×= π

b = 1.620 pulg a = 0.35b = 0.567 pulg

0. COMPORTAMIENTO ELSTICO E INELSTICO DE COLUMNAS:

;l incluir en el an#lisis el pandeo inel#stico, es decir, el pandeo de columnas

cuando se rebosa el límite proporcional

&l valor de la relación de esbeltez arriba del cual la curva de &uler, es v#lida, se

obtiene igualando el esfuerzo crítico+( )*

*

*

*

γ

π π σ

L

E

AL

E!

A

P cr cr === , al límite

proporcional !,σ y despe"ando la relación de esbeltez ;sí, entonces si ( 5r )c

representa la relación de esbeltez crítica (figura), obtenemos+

!,c

E L

σ

π

γ

*=

(1)

'omo por e"emplo, consideramos el acero estructural con !,σ . 49 <si y E .

4 <si %a relación de esbeltez crítica ( L%&)c es igual a =6 ;rriba de este

valor, una columna ideal se pandea el#sticamente y la carga de &uler es v#lida

;ba"o de este valor, el esfuerzo en la columna es inel#stico



&ntre las regiones de columnas cortas y largas, hay un intervalo de relaciones de

esbeltez intermedias muy pequeño para que domine la estabilidad el#stica y muy

grande para que ri"an solo consideraciones de resistencia una columna de longitud

intermedia falla por pandeo inel#stico, lo cual significa que los esfuerzos m#ximos

est#n arriba del límite proporcional, lo cual significa que los esfuerzos m#ximos

est#n arriba del límite proporcional, la pendiente de la curva esfuerzo>deformación

unitaria para el material es menor que el módulo de elasticidad, por consiguiente,

la carga crítica para pandeo inel#stico es siempre menor que la carga de &uler

%a capacidad m#xima de carga de una columna en particular se representa por la

curva ;?'@ en la figura Si la longitud es muy pequeña (región ;?), la columna

falla por pandeo inel#stico, y si es a3n m#s larga (región !@), falla por pandeo

el#stico (es decir, pandeo de &uler) %a curva ;?'@ se aplica a columnas en

varias condiciones de soporte si la longitud L en la relación de esbeltez se

reemplaza en la longitud efectiva Le

0.1. PANDEO INELSTICO:

• T!o% !& Mu&o T%ng!nt!:

'onsiderando para esto una columna ideal articulado en sus extremos y

sometida a una fuerza axial P (fig a) Se supone que la columna tiene

una relación de esbeltez L%& menor que la relación de esbeltez crítica (1),

de suerte que el esfuerzo axial P%A llega al límite proporcional antes de

que se alcance la carga crítica



&l diagrama esfuerzo>deformación unitario en comprensión para el

material de la columna se muestra en la figura &l límite proporcional del

material est# indicado por !,σ y el esfuerzo real Aσ en la columna

(igual a P%A) est# representado por el punto A (que esta arriba del límite proporcional) Si la carga se incrementa, de manera que ocurra un

pequeño aumento en el esfuerzo, la relación entre el incremento de

esfuerzo y el correspondiente incremento de deformación unitaria, est#

dada por la pendiente del diagrama esfuerzo>deformación unitaria en el

punto A &sta pendiente, igual a la pendiente en A se llama módulo

tangente y se denota con E c, en tonos

ε

σ

∂∂=t E

&ste módulo tangente disminuye cuando el esfuerzo aumenta m#s alla

del límite proporcional 'uando el esfuerzo es menor que el límite

proporcional, el módulo tangente es el mismo que el módulo de

elasticidad E ordinario



Aerificando las teorías del módulo tangente de pandeo inel#stico, la

columna de la figura (%) permanece recta en tanto no se alcanza la carga

crítica inel#stica &n tal valor de la carga, la columna puede experimentar

una pequeña deflexión lateral (/) 'omo la columna empieza a

flexionarse desde una posición recta, los esfuerzos de flexión iniciales

representan solo un pequeño incremento del esfuerzo, por lo tanto, la

relación entre los esfuerzos de flexión y las deformaciones unitarias

resultantes est# dada por el módulo E c

%as expresiones para la curvatura son las mismas que en el caso de

flexión lineal el#stica, excepto que E c, reemplaza a E +

! E

M

$

) 6

t

=∂==*

*

:

5

ρ

@ado el momento flexionante M = 7 P ) (vease figura b), la ecuación

diferencial de la curva de deflexión es+ E!899 : P8 = 0

!bteniéndose la expresión para la carga del módulo tangente

*

*

L

! E P t

t

π =

&sta carga representa la carga crítica para la columna de acuerdo con la

teoría del módulo tangente &l esfuerzo crítico correspondiente es+

( ) **

γ

π σ

L

E

A

P t t

t ==

&l modulo tangente E t varía con el esfuerzo de compresión A P =σ

(figura B) por lo general obtenemos la carga del módulo tangente



mediante un proceso iterativo $rimero estimando el valor de P t &ste

valor de prueba, que llamaremos P , debe ser un poco mayor que !,σ A,

que es la carga axial A P ! 5=σ y determinar el módulo tangente E c del

diagrama esfuerzo>deformación unitaria Cr#fico (figura B)

• T!o% !& Mu&o R!u#io:

&l valor de E & depende no solo del esfuerzo por que E t depende de la

magnitud del esfuerzo sino también de la forma de la reacción transversal

de la columna ;sí entonces, el módulo reducido E r es m#s difícil de

determinar que el módulo tangente E t



&n el caso de una columna con secci* tras)ersal recta'ular , la

ecuación del módulo reducido es

( )*

t

t

E

E E

ε

ε

γ

+

=

$ara una viga de patín ancho en que se desprecia el #rea del alma, el

módulo reducido por flexión respecto al e"e fuerte es

t

t

E

E E

ε

ε

γ +

=*

&cuaciones para la carga del módulo reducido+

*

*

L

! E P

γ π =

&cuación correspondiente para el esfuerzo crítico es+

( ) *

*

γ

π σ

γ

γ

L

E =

%a teoría del módulo reducido es difícil de usar en la pr#ctica por que E t

depende de la forma de la sección transversal así como de la curva

esfuerzo>deformación unitario y debe evaluarse para cada columna



particular ;dem#s, esta teoría tiene un defecto conceptual $ara que el

módulo E & sea aplicable, el material en el lado convexo de la columna

debe estar sufriendo una reducción en su esfuerzoD sin embargo, tal

reducción en el esfuerzo no puede ocurrir hasta que la flexión no tenga

lugar

• T!o% ! S4%n&!5:

Ei la teoría del módulo tangente ni la teoría del módulo reducido

explican el fenómeno del pandeo inel#stico en forma totalmente racional

&sta teoría supera a los dos anteriores reconociendo que no es posible

que una columna se pandee en forma inel#stica de manera an#loga al

pandeo de &uler &n este caso ni la carga P t del módulo tangente ni la

carga P & del modulo reducido pueden representar este tipo de

comportamiento

&n vez de equilibrio neutro, en que de repente es posible la s3bita

presencia de una forma reflexionada sin cambio en la carga, debemos

pensar que una columna siempre tiene una carga creciente



&ntonces, en vez de equilibrio neutro, donde la relación entre la carga y

deflexión no est# definida, tenemos una relación definida entre cada

valor de la carga y la deflexión correspondiente &ste comportamiento se

muestra por la curva marcada Fteoría de ShanleyG (en la figura) Eote

que el pandeo comienza en la carga del modulo tangenteD la carga

aumenta a continuación, pero sin alcanzar la carga del módulo reducido,

hasta que la deflexión se vuelve infinitamente grande (en teoría)

•

0.2.

6.

Comportamiento Elástico e Inelástico de Columnas

Documents

Transcript of Comportamiento Elástico e Inelástico de Columnas