COMPORTAMIENTO MECANICO DE UNA VALVULA...
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COMPORTAMIENTO MECANICO DE
UNA VALVULA CARDIACA
A. Juarez y E.SanchezInst. Cardiologıa
G. Cruz, A. Olvera, G. Garcıa, A. MinzoniIIMAS–UNAM
G. PulosIIM–UNAM
Agosto de 2010
Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):
I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.
I Valvulas aorticas y ventriculares:
I Mecanicas:
I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.
Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):
I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.
I Valvulas aorticas y ventriculares:
I Mecanicas:
I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.
Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):
I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.
I Valvulas aorticas y ventriculares:
I Mecanicas:
I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.
Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):
I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.
I Valvulas aorticas y ventriculares:
I Mecanicas:I Esferas o valvulas rıgidas.
I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.
Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):
I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.
I Valvulas aorticas y ventriculares:
I Mecanicas:I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.
I Anticoagulantes.
Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):
I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.
I Valvulas aorticas y ventriculares:
I Mecanicas:I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.
I Biologicas:
I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.
I Biologicas:I Tienen la forma natural.
I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.
I Biologicas:I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.
I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.
I Biologicas:I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.
I Rompimiento del tejido.
I Biologicas:I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.
I Costo de valvulas comerciales =⇒ $ 2,000 dolares.
I Costo de las valvulas propias =⇒ $ 200 dolares.
I Las valvulas deben de tener una validacion para tenerautorizacion de colocarlas.
I Costo de valvulas comerciales =⇒ $ 2,000 dolares.
I Costo de las valvulas propias =⇒ $ 200 dolares.
I Las valvulas deben de tener una validacion para tenerautorizacion de colocarlas.
I Costo de valvulas comerciales =⇒ $ 2,000 dolares.
I Costo de las valvulas propias =⇒ $ 200 dolares.
I Las valvulas deben de tener una validacion para tenerautorizacion de colocarlas.
I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.
I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.
I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.
I Pruebas biologicas
I Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.
I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.
I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicas
I Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.
I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.
I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.
I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.
I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.
I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.
I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.
I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.
I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.
Problema real: Estudio del comportamiento de una
protesis cardiaca a tiempos largos
I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.
I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?
I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?
I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?
I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?
Problema real: Estudio del comportamiento de una
protesis cardiaca a tiempos largos
I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.
I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?
I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?
I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?
I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?
Problema real: Estudio del comportamiento de una
protesis cardiaca a tiempos largos
I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.
I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?
I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?
I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?
I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?
Problema real: Estudio del comportamiento de una
protesis cardiaca a tiempos largos
I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.
I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?
I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?
I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?
I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?
Problema real: Estudio del comportamiento de una
protesis cardiaca a tiempos largos
I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.
I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?
I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?
I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?
I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?
Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:
I Modo de fijacion al musculo cardiaco.
I Variacion de sus constantes elasticas:
I Degradacion mecanica: variacion de las condicionesdinamicas.
I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizaciondel tejido.
Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:
I Modo de fijacion al musculo cardiaco.
I Variacion de sus constantes elasticas:
I Degradacion mecanica: variacion de las condicionesdinamicas.
I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizaciondel tejido.
Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:
I Modo de fijacion al musculo cardiaco.
I Variacion de sus constantes elasticas:I Degradacion mecanica: variacion de las condiciones
dinamicas.
I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizaciondel tejido.
Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:
I Modo de fijacion al musculo cardiaco.
I Variacion de sus constantes elasticas:I Degradacion mecanica: variacion de las condiciones
dinamicas.I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizacion
del tejido.
Condiciones dinamicas:
I Variaciones de presion, flujo oscilante.
I Aumento de esfuerzos en el tejido.
Condiciones dinamicas:
I Variaciones de presion, flujo oscilante.
I Aumento de esfuerzos en el tejido.
Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):
I Pruebas de elongacion de manera periodica del pericardio.
I Pruebas en seco y en suero.
I Determinacion de las fuerzas elasticas del material.
Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):
I Pruebas de elongacion de manera periodica del pericardio.
I Pruebas en seco y en suero.
I Determinacion de las fuerzas elasticas del material.
Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):
I Pruebas de elongacion de manera periodica del pericardio.
I Pruebas en seco y en suero.
I Determinacion de las fuerzas elasticas del material.
Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):
I Registro de pruebas de traccion.
I Elongacion forzada
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31
Ace
lera
cion
Elongacion
Rompimiento
Degradacion
Histeresis
Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):
I Registro de pruebas de traccion.
I Elongacion forzada
-5
0
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-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31
Ace
lera
cion
Elongacion
Rompimiento
Degradacion
Histeresis
Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):
I Registro de pruebas de traccion.
I Elongacion forzada
-5
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Ace
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Elongacion
Rompimiento
Degradacion
Histeresis
Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):
I Registro de pruebas de traccion.
I Elongacion forzada
-5
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40
-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31
Ace
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Elongacion
Rompimiento
Degradacion
Histeresis
Resultados experimentales:
I Comportamiento muy no lineal del tejido.
I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.
I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.
I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.
I Absorcion de energıa en un ciclo.
Fuerza
Elongacion
Elastico
Histeretico
Rompimiento
Resultados experimentales:
I Comportamiento muy no lineal del tejido.
I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.
I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.
I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.
I Absorcion de energıa en un ciclo.
Fuerza
Elongacion
Elastico
Histeretico
Rompimiento
Resultados experimentales:
I Comportamiento muy no lineal del tejido.
I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.
I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.
I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.
I Absorcion de energıa en un ciclo.
Fuerza
Elongacion
Elastico
Histeretico
Rompimiento
Resultados experimentales:
I Comportamiento muy no lineal del tejido.
I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.
I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.
I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.
I Absorcion de energıa en un ciclo.
Fuerza
Elongacion
Elastico
Histeretico
Rompimiento
Resultados experimentales:
I Comportamiento muy no lineal del tejido.
I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.
I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.
I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.
I Absorcion de energıa en un ciclo.
Fuerza
Elongacion
Elastico
Histeretico
Rompimiento
Modelo simple de una valva de la valvula:
I Modelo unidimensional.
I Modelo discreto:
I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no
conservativas.
θθ
θ
θ
θ
12
3
4
5
Presion
musculo
Valvula
Modelo simple de una valva de la valvula:
I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:
I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no
conservativas.
θθ
θ
θ
θ
12
3
4
5
Presion
musculo
Valvula
Modelo simple de una valva de la valvula:
I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:
I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,N
I Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no
conservativas.
θθ
θ
θ
θ
12
3
4
5
Presion
musculo
Valvula
Modelo simple de una valva de la valvula:
I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:
I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .
I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) noconservativas.
θθ
θ
θ
θ
12
3
4
5
Presion
musculo
Valvula
Modelo simple de una valva de la valvula:
I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:
I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no
conservativas.
θθ
θ
θ
θ
12
3
4
5
Presion
musculo
Valvula
I Histeresis: Modelo lineal a trozos.
Fi(θi) =
kiθi − ai si θi > 0 ,
kiθi + ai si θi < 0 .
I Presion del flujo → Forzamiento periodico.
I Ecuacion de movimiento de cada segmento:
mi θi = Fi+1(θi+1 − θi)− Fi(θi − θi−1)
i = 2, 3, . . . ,N − 2
I Histeresis: Modelo lineal a trozos.
Fi(θi) =
kiθi − ai si θi > 0 ,
kiθi + ai si θi < 0 .
I Presion del flujo → Forzamiento periodico.
I Ecuacion de movimiento de cada segmento:
mi θi = Fi+1(θi+1 − θi)− Fi(θi − θi−1)
i = 2, 3, . . . ,N − 2
I Histeresis: Modelo lineal a trozos.
Fi(θi) =
kiθi − ai si θi > 0 ,
kiθi + ai si θi < 0 .
I Presion del flujo → Forzamiento periodico.
I Ecuacion de movimiento de cada segmento:
mi θi = Fi+1(θi+1 − θi)− Fi(θi − θi−1)
i = 2, 3, . . . ,N − 2
I Condiciones de frontera en la pared:
m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1
I Constante elastica del anillo → kA
I Condiciones de frontera libre:
mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)
I Amplitud de forzamiento → p0A
I Condiciones de frontera en la pared:
m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1
I Constante elastica del anillo → kA
I Condiciones de frontera libre:
mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)
I Amplitud de forzamiento → p0A
I Condiciones de frontera en la pared:
m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1
I Constante elastica del anillo → kA
I Condiciones de frontera libre:
mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)
I Amplitud de forzamiento → p0A
I Condiciones de frontera en la pared:
m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1
I Constante elastica del anillo → kA
I Condiciones de frontera libre:
mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)
I Amplitud de forzamiento → p0A
Modelo de degradacion del material
I Histeresis:
I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk
dt = −σ× Area del cıclo de histeresis
Modelo de degradacion del material
I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.
I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk
dt = −σ× Area del cıclo de histeresis
Modelo de degradacion del material
I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.
I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk
dt = −σ× Area del cıclo de histeresis
Modelo de degradacion del material
I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).
I dkdt = −σ× Area del cıclo de histeresis
Modelo de degradacion del material
I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk
dt = −σ× Area del cıclo de histeresis
I Calcificacion:
I El aumento del calcio en el material rigidiza al material(k →∞).
I Interaccion:
I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc
dt = ρ× cambio de extension del material/segundo
I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material
(k →∞).
I Interaccion:
I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc
dt = ρ× cambio de extension del material/segundo
I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material
(k →∞).
I Interaccion:
I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc
dt = ρ× cambio de extension del material/segundo
I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material
(k →∞).
I Interaccion:I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.
I dkcdt = ρ× cambio de extension del material/segundo
I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material
(k →∞).
I Interaccion:I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc
dt = ρ× cambio de extension del material/segundo
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)
+Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados+
Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+
Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados+
Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+
Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados+
Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+
Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados+
Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+
Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados
+Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+
Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados+
Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+
Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados+
Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Modelo simplificado de tres resortes:
Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+
Amarre al anillo elastico
m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0
k1 =kckA
kc + kA
Bloque de elementos no danados+
Forzamiento del fluido
m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)
Calcificacion del elemento danado (kc):
dkc
dt=
ρ
T
∫ T
0
(θ1
)+
dt
Relajacion del medio no danado
dk2
dt= − σ
T
∫ T
0
F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1
)dt
Calcificacion del elemento danado (kc):
dkc
dt=
ρ
T
∫ T
0
(θ1
)+
dt
Relajacion del medio no danado
dk2
dt= − σ
T
∫ T
0
F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1
)dt
Calcificacion del elemento danado (kc):
dkc
dt=
ρ
T
∫ T
0
(θ1
)+
dt
Relajacion del medio no danado
dk2
dt= − σ
T
∫ T
0
F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1
)dt
Calcificacion del elemento danado (kc):
dkc
dt=
ρ
T
∫ T
0
(θ1
)+
dt
Relajacion del medio no danado
dk2
dt= − σ
T
∫ T
0
F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1
)dt
Exploracion de la dinamica del modelo
I Modelo no lineal (histeresis)
I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.
I Metodo de promedios:
I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(
θp1
θ2
)=
(pq
)cos(ωt)
I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2
m1− k2
m1
− k2m1
ω2 − k2m1
)(pq
)=
(0B
)
siendo B = p0Am1
Exploracion de la dinamica del modelo
I Modelo no lineal (histeresis)
I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.
I Metodo de promedios:
I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(
θp1
θ2
)=
(pq
)cos(ωt)
I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2
m1− k2
m1
− k2m1
ω2 − k2m1
)(pq
)=
(0B
)
siendo B = p0Am1
Exploracion de la dinamica del modelo
I Modelo no lineal (histeresis)
I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.
I Metodo de promedios:
I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(
θp1
θ2
)=
(pq
)cos(ωt)
I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2
m1− k2
m1
− k2m1
ω2 − k2m1
)(pq
)=
(0B
)
siendo B = p0Am1
Exploracion de la dinamica del modelo
I Modelo no lineal (histeresis)
I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.
I Metodo de promedios:I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)
I Solucion (lineal) → ciclo lımite(θp
1
θ2
)=
(pq
)cos(ωt)
I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2
m1− k2
m1
− k2m1
ω2 − k2m1
)(pq
)=
(0B
)
siendo B = p0Am1
Exploracion de la dinamica del modelo
I Modelo no lineal (histeresis)
I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.
I Metodo de promedios:I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(
θp1
θ2
)=
(pq
)cos(ωt)
I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2
m1− k2
m1
− k2m1
ω2 − k2m1
)(pq
)=
(0B
)
siendo B = p0Am1
Exploracion de la dinamica del modelo
I Modelo no lineal (histeresis)
I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.
I Metodo de promedios:I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(
θp1
θ2
)=
(pq
)cos(ωt)
I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2
m1− k2
m1
− k2m1
ω2 − k2m1
)(pq
)=
(0B
)
siendo B = p0Am1
I Metodo de promedios:
I Solucion, suponiendo k1 >> k2:
q =B
ω2 − k2m1
(1 +
k22/m1
ω2 − ( k1m1
+ k2m1
)
)p =
k2B/m1(ω2 − k1
m1
)ω2
I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:
I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica
(solucion amortiguada):
h+(t) si θ2 > 0
h−(t) si θ2 < 0
I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π
ω ) = θ2(0))
I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:
q =B
ω2 − k2m1
(1 +
k22/m1
ω2 − ( k1m1
+ k2m1
)
)p =
k2B/m1(ω2 − k1
m1
)ω2
I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:
I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica
(solucion amortiguada):
h+(t) si θ2 > 0
h−(t) si θ2 < 0
I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π
ω ) = θ2(0))
I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:
q =B
ω2 − k2m1
(1 +
k22/m1
ω2 − ( k1m1
+ k2m1
)
)p =
k2B/m1(ω2 − k1
m1
)ω2
I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑
I Histeresis:
I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica
(solucion amortiguada):
h+(t) si θ2 > 0
h−(t) si θ2 < 0
I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π
ω ) = θ2(0))
I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:
q =B
ω2 − k2m1
(1 +
k22/m1
ω2 − ( k1m1
+ k2m1
)
)p =
k2B/m1(ω2 − k1
m1
)ω2
I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:
I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica
(solucion amortiguada):
h+(t) si θ2 > 0
h−(t) si θ2 < 0
I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π
ω ) = θ2(0))
I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:
q =B
ω2 − k2m1
(1 +
k22/m1
ω2 − ( k1m1
+ k2m1
)
)p =
k2B/m1(ω2 − k1
m1
)ω2
I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:
I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)
I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica(solucion amortiguada):
h+(t) si θ2 > 0
h−(t) si θ2 < 0
I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π
ω ) = θ2(0))
I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:
q =B
ω2 − k2m1
(1 +
k22/m1
ω2 − ( k1m1
+ k2m1
)
)p =
k2B/m1(ω2 − k1
m1
)ω2
I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:
I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica
(solucion amortiguada):
h+(t) si θ2 > 0
h−(t) si θ2 < 0
I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π
ω ) = θ2(0))
I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:
q =B
ω2 − k2m1
(1 +
k22/m1
ω2 − ( k1m1
+ k2m1
)
)p =
k2B/m1(ω2 − k1
m1
)ω2
I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:
I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica
(solucion amortiguada):
h+(t) si θ2 > 0
h−(t) si θ2 < 0
I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π
ω ) = θ2(0))
Estimacion de dk2dt
I Calculo de la energıa disipada:
I Integral de trabajo∫ 2π/ω1
0F (θ2 − θ1)× (θ2 − θ1)dt
I Consideramos a θ2 el ciclo lımite histeretico y θ1 lasolucion lineal.
Estimacion de dk2dt
I Calculo de la energıa disipada:I Integral de trabajo∫ 2π/ω1
0F (θ2 − θ1)× (θ2 − θ1)dt
I Consideramos a θ2 el ciclo lımite histeretico y θ1 lasolucion lineal.
Estimacion de dk2dt
I Calculo de la energıa disipada:I Integral de trabajo∫ 2π/ω1
0F (θ2 − θ1)× (θ2 − θ1)dt
I Consideramos a θ2 el ciclo lımite histeretico y θ1 lasolucion lineal.
I Cambio de k2:
I Proporcional a: − <promedio del trabajo>I Considerando ω >> k2/m1:
dk2
dt= −4Bam2
1
k22 m2
1
1−
(k2m1
)2
Λ
Λ = ω2 − k1
m1k1 =
kAkc
kA + kc
I Cambio de k2:I Proporcional a: − <promedio del trabajo>
I Considerando ω >> k2/m1:
dk2
dt= −4Bam2
1
k22 m2
1
1−
(k2m1
)2
Λ
Λ = ω2 − k1
m1k1 =
kAkc
kA + kc
I Cambio de k2:I Proporcional a: − <promedio del trabajo>I Considerando ω >> k2/m1:
dk2
dt= −4Bam2
1
k22 m2
1
1−
(k2m1
)2
Λ
Λ = ω2 − k1
m1k1 =
kAkc
kA + kc
Dinamica sin anillo elastico: kA →∞
I Si kc ↑⇒ Λ ↑
I Ecuacion de k2
1
Λ + (k22/m1)
(k2
m1
)2d
dt
(k2
m1
)= −4Ba
m1= −µ
I Solucion
k2(s)
m1−√
Λ arctan
(k2(s)
m1
√Λ
)∣∣∣∣t0
= −µt
I k2 se anula en tiempo finito tz
Dinamica sin anillo elastico: kA →∞
I Si kc ↑⇒ Λ ↑I Ecuacion de k2
1
Λ + (k22/m1)
(k2
m1
)2d
dt
(k2
m1
)= −4Ba
m1= −µ
I Solucion
k2(s)
m1−√
Λ arctan
(k2(s)
m1
√Λ
)∣∣∣∣t0
= −µt
I k2 se anula en tiempo finito tz
Dinamica sin anillo elastico: kA →∞
I Si kc ↑⇒ Λ ↑I Ecuacion de k2
1
Λ + (k22/m1)
(k2
m1
)2d
dt
(k2
m1
)= −4Ba
m1= −µ
I Solucion
k2(s)
m1−√
Λ arctan
(k2(s)
m1
√Λ
)∣∣∣∣t0
= −µt
I k2 se anula en tiempo finito tz
Dinamica sin anillo elastico: kA →∞
I Si kc ↑⇒ Λ ↑I Ecuacion de k2
1
Λ + (k22/m1)
(k2
m1
)2d
dt
(k2
m1
)= −4Ba
m1= −µ
I Solucion
k2(s)
m1−√
Λ arctan
(k2(s)
m1
√Λ
)∣∣∣∣t0
= −µt
I k2 se anula en tiempo finito tz
I Si Λ = 0, el tiempo tz = k2(0)m1µ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.5 1 1.5 2
k2/m
t
Lambda= infinito
Lambda=0
W
Variacion de k /m en el tiempo2 1
I Si Λ→∞
k2(t)
m1=
((k2(0)
m1
)3
− µt
)1/3
I Si Λ = 0, el tiempo tz = k2(0)m1µ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.5 1 1.5 2
k2/m
t
Lambda= infinito
Lambda=0
W
Variacion de k /m en el tiempo2 1
I Si Λ→∞
k2(t)
m1=
((k2(0)
m1
)3
− µt
)1/3
I dk2
dt<< 0 si k2 → 0
I Experimentos: (G. Pulos)
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31
Ace
lera
cion
Elongacion
Rompimiento
Degradacion
Histeresis
I dk2
dt<< 0 si k2 → 0
I Experimentos: (G. Pulos)
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31
Ace
lera
cion
Elongacion
Rompimiento
Degradacion
Histeresis
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.5 1 1.5 2
k2/m
t
Lambda= infinito
Lambda=0
W
Variacion de k /m en el tiempo2 1
I Antes del rompimiento ⇒ resorte muy flacido
I Umbral de ruptura: Si k2
m1< WR ⇒ Rompimiento
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.5 1 1.5 2
k2/m
t
Lambda= infinito
Lambda=0
W
Variacion de k /m en el tiempo2 1
I Antes del rompimiento ⇒ resorte muy flacido
I Umbral de ruptura: Si k2
m1< WR ⇒ Rompimiento
Efecto del anillo en el retardo del rompimiento
I La rigidez del anillo kA limita a k1:
k1 =kAkc
kA + kc
I Si kc →∞ ⇒ k1 → kA
I k1 ↓ ⇒ Λ ↑ ⇒ Tiempo de ruptura mayor
Efecto del anillo en el retardo del rompimiento
I La rigidez del anillo kA limita a k1:
k1 =kAkc
kA + kc
I Si kc →∞ ⇒ k1 → kA
I k1 ↓ ⇒ Λ ↑ ⇒ Tiempo de ruptura mayor
Efecto del anillo en el retardo del rompimiento
I La rigidez del anillo kA limita a k1:
k1 =kAkc
kA + kc
I Si kc →∞ ⇒ k1 → kA
I k1 ↓ ⇒ Λ ↑ ⇒ Tiempo de ruptura mayor
I Tiempo de ruptura en funcion de Λ
dTdΛ
= 1µ
{„Λ+
“WRm1
”2«
arctan
„WR
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(WR/m1)2)
−
„Λ+
“k2(0)m1
”2«
arctan
„k2(0)
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)
}
I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ
> 0
I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ
< 0
I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo
I Tiempo de ruptura en funcion de Λ
dTdΛ
= 1µ
{„Λ+
“WRm1
”2«
arctan
„WR
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(WR/m1)2)
−
„Λ+
“k2(0)m1
”2«
arctan
„k2(0)
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)
}
I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ
> 0
I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ
< 0
I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo
I Tiempo de ruptura en funcion de Λ
dTdΛ
= 1µ
{„Λ+
“WRm1
”2«
arctan
„WR
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(WR/m1)2)
−
„Λ+
“k2(0)m1
”2«
arctan
„k2(0)
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)
}
I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ
> 0
I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ
< 0
I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo
I Tiempo de ruptura en funcion de Λ
dTdΛ
= 1µ
{„Λ+
“WRm1
”2«
arctan
„WR
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(WR/m1)2)
−
„Λ+
“k2(0)m1
”2«
arctan
„k2(0)
m1√
λ
«− WR
m1√
Λ√
Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)
}
I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ
> 0
I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ
< 0
I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo
Efecto del calcio en la rigidez de kc
I El cambio de kc es proporcional al trabajo en un ciclo
dkc
dt=
ρ
T
∫ T
0
(θ1
)+
dt =ρ
2
Bk2
Λ
I Como Λ = ω2 − kAkc
kA+kcpodemos integrar kc en funcion del
tiempo
I Si kA grande ⇒ anillo rıgido ⇒:
kc(t) = ω2 − (ω2 − kc(0)) exp(−ρ2
Bk2t)
I Si kA pequeno ⇒ anillo flexible ⇒:
kc(t) = kc(0) +ρ
2ω2Bk2t
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
K_C
t
Saturacion
Saturacion
K_A nulo
I Como Λ = ω2 − kAkc
kA+kcpodemos integrar kc en funcion del
tiempoI Si kA grande ⇒ anillo rıgido ⇒:
kc(t) = ω2 − (ω2 − kc(0)) exp(−ρ2
Bk2t)
I Si kA pequeno ⇒ anillo flexible ⇒:
kc(t) = kc(0) +ρ
2ω2Bk2t
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
K_C
t
Saturacion
Saturacion
K_A nulo
I Como Λ = ω2 − kAkc
kA+kcpodemos integrar kc en funcion del
tiempoI Si kA grande ⇒ anillo rıgido ⇒:
kc(t) = ω2 − (ω2 − kc(0)) exp(−ρ2
Bk2t)
I Si kA pequeno ⇒ anillo flexible ⇒:
kc(t) = kc(0) +ρ
2ω2Bk2t
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
K_C
t
Saturacion
Saturacion
K_A nulo
I Saturacion de calcio en la membrana
dkc
dt=
{ρ2
Bk2
Λ− µk2
c elongacion > Ec
0 elongacion < Ec
I La flexibilidad de anillo retarda la calcificacion
I Saturacion de calcio en la membrana
dkc
dt=
{ρ2
Bk2
Λ− µk2
c elongacion > Ec
0 elongacion < Ec
I La flexibilidad de anillo retarda la calcificacion
Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion
I Poca elongacion ⇒ Poca histeresis
I Poca elongacion ⇒ Poca calcificacionI Ciclo de degradacion
(θ − θ ) < Umbral ?
histeresis a
calcificacion k
(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?
2 1
2 1 2 1
c
no
si
no
si
(θ − θ )2 1
anillo elastico?si
noFALLA
I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion
Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion
I Poca elongacion ⇒ Poca histeresisI Poca elongacion ⇒ Poca calcificacion
I Ciclo de degradacion
(θ − θ ) < Umbral ?
histeresis a
calcificacion k
(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?
2 1
2 1 2 1
c
no
si
no
si
(θ − θ )2 1
anillo elastico?si
noFALLA
I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion
Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion
I Poca elongacion ⇒ Poca histeresisI Poca elongacion ⇒ Poca calcificacionI Ciclo de degradacion
(θ − θ ) < Umbral ?
histeresis a
calcificacion k
(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?
2 1
2 1 2 1
c
no
si
no
si
(θ − θ )2 1
anillo elastico?si
noFALLA
I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion
Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion
I Poca elongacion ⇒ Poca histeresisI Poca elongacion ⇒ Poca calcificacionI Ciclo de degradacion
(θ − θ ) < Umbral ?
histeresis a
calcificacion k
(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?
2 1
2 1 2 1
c
no
si
no
si
(θ − θ )2 1
anillo elastico?si
noFALLA
I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion
Efecto en las valvas debido al anillo elastico
I Modelo simplificado de un sistema de dos valvas
I Mitad del anillo rıgido – Mitad del anillo flexible
Efecto en las valvas debido al anillo elastico
I Modelo simplificado de un sistema de dos valvasI Mitad del anillo rıgido – Mitad del anillo flexible
Analisis de datos clınicos
I Valvulas de Ionescu: Modelo de anillo rıgido
I Valvulas de Carpentier: Modelo de anillo flexible
I Estudio de fallas estructurales de estas valvulas durante15 anos
I Resultado consistente con las prediciones de nuestroestudio
Analisis de datos clınicos
I Valvulas de Ionescu: Modelo de anillo rıgido
I Valvulas de Carpentier: Modelo de anillo flexible
I Estudio de fallas estructurales de estas valvulas durante15 anos
I Resultado consistente con las prediciones de nuestroestudio
Analisis de datos clınicos
I Valvulas de Ionescu: Modelo de anillo rıgido
I Valvulas de Carpentier: Modelo de anillo flexible
I Estudio de fallas estructurales de estas valvulas durante15 anos
I Resultado consistente con las prediciones de nuestroestudio