COMPROBACION DE HIPOTESIS SOBRE DOS

PROMEDIOS

Mario Briones L.MV, MSc

2005

Caso I: Supuestos - Población con distribución normal- Desviación estándar conocida- Bilateral

Comprobación de hipótesis acerca de laMedia de la muestra de una población

Cada vez que se comparan dos promedios, se obtieneuna diferencia entre las infinitas diferencias posibles

entre ambos grupos o poblaciones, con muestrasdel mismo tamaño.

Comprobación de hipótesis acerca de laMedia de la muestra de una población

POBLACION A POBLACION B

por ejemplo,si se quiere comparar el peso de dospoblaciones de peces, sólo podemos

tener acceso a dosmuestras, una de cada población.

Cada una de estas muestras,como ya sabemos, tiene error. Por lo

tanto, cada vez quese repitiese la comparación, habría

distintos promedios y distintas diferencias entre cada una

de las dos poblaciones.

Es importante aquí comprender que si en realidad no hay diferencia entre ambos promedios poblacionales (caso en que la hipótesis nula es verdadera), entonces la sumatoria de todas las diferencias obtenidas en cada una de las sucesivas comparaciones, SERÍA CERO.

Si no existe diferencia entre 1 y 2, muestreos sucesivos darán similar cantidad de valores positivos y negativos a

la expresión x1 -x2, lo que significa que 1-2=0

DISTRIBUCION DE LA DIFERENCIA

2x1-x2=2

1/n1 +22/n2

x1-x2x1-x2=1 -2=0

Esta es la unidad dedistribución de estacurva: la varianzade las diferencias.

(x1-x2) - (1-2)Z=---------------------------------------- 2

1/n1 + 22/n2

X1 X2

X2-X1

X1 X2

X2-X1

Puede verse que si la hipótesis nula (ausencia de diferencia

entre los promedios) es verdadera, la media real de la diferencia es cero, ya que se cancelan todas las diferenciasal estarse estimando con ambas muestras, el mismo valor

X1X2

X2-X1

Puede verse que si la hipótesis nula (ausencia de diferencia

entre los promedios) es verdadera, la media real de la diferencia es cero, ya que se cancelan todas las diferenciasal estarse estimando con ambas muestras, el mismo valor

H0: 2 - 1= 0 HA: 2 - 1 0

H0: 2 - 1 0 HA: 2 - 1< 0

H0: 2 - 1 0 HA: 2 - 1> 0

Todas estas son posibles hipótesis nulas y alternativasal comparase dos promedios, uni o bilaterales.

Caso I: Supuestos -Muestreo a partir de poblaciones con

distribución normal- Desviación estándar conocida- Bilateral

Comprobación de hipótesis acerca de dosmedias

Un grupo de investigadores desea saber si los datos que han reunido proporcionan

evidencia suficiente que indique unadiferencia en las concentraciones medias de

ácido úrico en suero entre individuos normales e individuos con síndrome de Down.

Se dirá que los datos proporcionan dicha evidencia si puede rechazarse la hipótesis

nula de que las medias son iguales.

1. Datos: Mediciones de ácido úrico en el suero de 12 individuoscon síndrome de Down y 15 individuos normales. Lospromedios son

Individuos con síndrome de Down, X1= 4.5 mg/100 ml

Individuos normales, X2= 3.4 mg/100 ml

2. Supuestos: Los datos constituyen dos muestras aleatoriasindependientes, cada una extraída de una poblacióncon distribución normal y con varianza igual a 1mg/100ml.

3. Hipótesis:

H0: 2 - 1= 0 HA: 2 - 1 0

4. Estadística de prueba:

(X1 - X2) - (1 - 2) z= 2

1 22

+ n1 n2

5. Distribución de la estadística de prueba:

Normal unitaria, cuando la hipótesis nula es verdadera

6. Regla de decisión:

Sea = 0.05. Los valores críticos de z son 1.96

Se rechaza H0 a menos que

-1.96 < z calculada < 1.96

7. Estadística de prueba calculada:

(4.5 - 3.4) - z= = = 2.82 + 12 15

8. Decisión estadística:

Se rechaza H0 ya que 2.82 > 1.96

9. Conclusión:

En base a los datos disponibles, hay una indicaciónde que las medias no son iguales para la concentraciónde ácido úrico entre individuos normales e individuoscon síndrome de Down.

Caso I: Supuestos -Muestreo a partir de poblaciones con

distribución normal- Desviación estándar desconocida- Bilateral

Comprobación de hipótesis acerca de dosmedias

Alternativas

varianza desconocida e igual en ambas poblaciones

varianza desconocida y distinta en ambas poblaciones

(n1-1)s21 + (n2-1)s2

2

s2P=

n1 +n2 -2

Se dispone de valores de perímetro torácico en caballoschilenos adultos, machos y hembras. Se quiere comprobar que el sexo del animal influye sobre el perímetro del tórax.

Para esto se debe rechazar la Hipótesis nula de que el sexo de los caballos no tiene importancia o

no influye sobre el perímetro.

1. Datos:

machosn1= 38X1= 171.83 cms1= 4 cm

hembrasn2=39X2= 173.6 cms2= 6.15 cm

2. Supuestos:

Los datos constituyen muestras aleatorias INDEPENDIENTES,se desconoce la varianza pero se supone que es igual en

ambas poblaciones.

(Independientes significa que no existe relación entre losindividuos de una y otra población. Por ej. No son hermanos)

3. Hipótesis:

H0: 2 - 1= 0 HA: 2 - 1 0

4. Estadística de prueba:

(X1 - X2) - (1 - 2) t= s2

P s2P

+ n1 n2

5. Distribución de la estadística de prueba

Cuando la hipótesis nula es verdadera, la estadísticade prueba sigue la distribución t de Student con

n1 + n2 - 2 grados de libertad

6. Regla de decisión

Sea = 0.05, los valores críticos de t son 1.99

Se rechaza H0 a menos que -1.99<tcalculada<1.99

7. Estadística de prueba calculada:

A) varianza promedio s2P

(n1-1)s21 + (n2-1)s2

2

s2P=

n1 +n2 -2

(38-1)42 + (39-1)6.152 592 + 1437.3s2

P= = = 27.1 38 + 39 -2 75

B) Estadística calculada

(171.83 - 173.6) - 0 -1.77 t= = = -1.26 27.1 27.1 1.4 + 38 39

8. Decisión estadística:

No puede rechazarse H0, ya que -1.99 < 1.26 < 1.99

9. Conclusión:

Con los datos disponibles no se puede concluir que el perímetro torácico de los caballos chilenos, machosy hembras, sea diferente.

Intervalo de confianza para la media real de la diferencia en la población

ExxExx )(<)(<)( 212121

2

22

1

21

2/ nnzE

Cuando se conoce la varianza de la población

Ej: concentración de ácido úrico en individuos con y sin sídrome de Down

Individuos con síndrome de Down, X1= 4. 5 mg/100 mlIndividuos normales, X2= 3.4 mg/100 ml

Diferencia observada 4.5 – 3.4= 1.1

Límite inferior= 1.1–0.759= 0.341Límite superor= 1.1+0. 759 = 1.859

Con un 95% de confianza la diferencia real entre los promedios de las concentraciones de ácido úrico de las personas con y sin síndrome de Down, se encuentra entre 0.341 y 1. 859 mg/100 ml (observe que este intervalo no incluye al cero).

957.0511

121

1.96 E

Intervalo de confianza para la media real de la diferencia en la población

ExxExx )(<)(<)( 212121

2

2

1

2

/ ns

ns

tE PPGlP

Cuando no se conoce la varianza de la población

Ej: perímetro toráxico en caballos machos y hembras

Perímetro de machos= 171.83 cmPerímetro de hembras= 173.6 cm

Diferencia observada= 171.83 – 173.6 = –1.77

Límite inferior= –1.77–2.36 =–4.13Límite superior= –1.77+2.36=0.59

Con un 95% de confianza la media real de ladiferencia puede ser cero

36.239

1.2738

1.2799.1 E