C´omputo Evolutivoa.morales/EC/pdf/Clase-abc-res.pdf · 2019. 2. 27. · C´omputo Evolutivo Dra....

Computo Evolutivo

Dra Ma Guadalupe Martınez

Instituto Nacional de Astrofısica Optica y Electronica

mgmartinezinaoepmx

February 25 2019

Dra Ma Guadalupe Martınez (INAOE) February 25 2019 1 37

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1 Colonia Artificial de Abejas (ABC)

2 Optimizacion con restricciones


Outline




Colonia Artificial de Abejas (ABC)

Algoritmo propuesto por Dervis Karaboga en el 2007 1

Basado en el comportamiento de forrajeo de abejas mielıferas

Disenado principalmente para problemas de optimizacion numerica

El proceso de busqueda de nectar en las flo-res por parte de abejas ha sido visto comoun proceso de optimizacion

1Karaboga D and Basturk B A powerful and efficient algorithm for numerical function optimization artificial bee colony

(ABC) algorithm Journal of Global Optimization Springer US 2007 39 459-471


Colonia Artificial de Abejas (ABC)Modelo biologico

El modelo biologico de recoleccion de alimento en abejas melıferas constade los siguientes elementos mınimos

Fuentes de alimento

Abejas recolectorasempleadas

Abejas recolectorasdesempleadas



Fuentes de alimento su valor depende de muchos factores(cercanıa concentracion facilidad de extraccion) Por simplicidadvalor numerico que indica su potencial

Recolectoras empleadas Estas abejas estan asociadas a una fuenteparticular de alimento la cual estan explotando Comparteninformacion sobre su fuente de alimento (ubicacion rentabilidad) alas abejas observadoras



Recolectoras desempleadas este tipo de abejas se encuentranconstantemente buscando fuentes de alimento que explotar Sedividen en dos tipos exploradoras que se encargan de buscar nuevasfuentes de alimento y las observadoras que esperan en la colmena yeligen una fuente de alimento con base en la informacion compartidapor una recolectora empleada



iquestComo funciona

Estos tres elementos basicos del comportamiento de forrajerointeraccionan de la siguiente forma

Las abejas empleadas comunicancomparten la informacion de lafuente de alimento que estan explotando a las abejas observadoraspor medio de una danza

Las duracion indica la rentabilidadEl angulo respecto al sol indica la direccion de la fuenteUn zigzagueo indica la distancia (numero de movimientos en zig-zag)

Dado que las danzas de las fuentes mas rentables son de mayorduracion existe una mayor probabilidad de ser observada porrecolectoras desempleadas aumentando la probabilidad de que unarecolectora elija dicha fuente de alimento



iquestComo funciona

Una vez que las fuentes de alimento han sido agotadas (ya sea por lasabejas empleadas u observadoras) estas son abandonadas y sonreemplazadas por nuevas fuentes encontradas por las abejasexploradoras

La abeja o abejas empleadas en ellas se convierten en abejasdesempleadas

Deben decidir entre convertirse en abejas exploradoras o regresar a lacolmena como abejas observadoras

El numero de abejas empleadas es usualmente igual al numero defuentes de alimento y se asignara una abeja empleada a cada una delas fuentes



Algoritmo

Fuentes de alimento se representan como vectores 983187x de numerosreales

Abejas empleadas y observadoras Operadores de variacion

Abejas exploradoras generan una fuente de alimento aleatoria



El total de abejas empleadas y observadoras es 2 lowast SN es decir cadagrupo tiene SN abejas

El numero de ciclos que se mantiene una solucion que no es mejoradaes dado por el valor de limit este parametro es calculado como SN lowastD



Elementos del ABC

Representacion de soluciones Son las fuentes de alimento y sonvectores de D-dimensiones Donde D es el numero de variables delproblema

983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC

Mecanismo de seleccion La forma en que se seleccionan lasmejores soluciones es mediante la comunicacion entre abejasempleadas y abejas observadoras de manera que aquellas fuentes decomida con mejor calidad seran mas visitadas

Para la seleccion de las fuentes que seran visitadas por las abejasobservadoras se le asigna a cada fuente de alimento una probabilidadbasada en su aptitud de acuerdo a la siguiente ecuacion

pi =fit i983123SNn=1 fitn

(1)

Se utiliza ruleta para ir seleccionandolas



Elementos del ABC

Operadores de variacion (abejas) Las abejas son vistas comooperadores de variacion pues cuando una de ellas llega a una fuentede alimento calcula una nueva solucion candidata 983187vi j usando

983187vi j = 983187xi j + φ (983187xi j minus 983187xkj) (2)

En donde 983187xi j es la fuente de alimento que se visita por la abejaobservadora o a la que se encuentra asociada una abeja empleada983187xkj es una fuente de alimento seleccionada de manera aleatoria ydiferente de 983187xi j y φ es un numero real aleatorio en el intervalo [-11]i isin 1 SN y j isin 1 D



Elementos del ABC

Mecanismo de reemplazo La forma de eliminar soluciones (fuentesde alimento) es mediante las abejas exploradoras que al momento enque una abeja empleada abandona una fuente de alimento que no esmejorada en un determinado numero de ciclos generan otra solucioncandidata



Elementos del ABC



Algoritmo ABC

1 Inicializar la poblacion de soluciones (fuentes de alimento)983187xi i = 1 SN

2 Evaluar las fuentes de alimento3 Repetir mientras que g le MCN

1 Ejecutar la fase de abejas empleadas2 Calcular probabilidades de seleccion para cada fuente de alimento3 Ejecutar la fase de abejas observadoras4 Ejecutar la fase de abejas exploradoras5 Guardar la mejor solucion encontrada hasta este momento6 La mejor solucion encontrada durante el ciclo se compara con la mejor

solucion se mantiene la mejor7 g = g + 1

4 Retornar la mejor solucion



Fase de abejas empleadas

Por cada fuente de alimento

Seleccionar una posicion del vector j de manera aleatoria

Generar una nueva fuente de alimento de acuerdo a la ecuacion 2

Evaluar la nueva fuente y mantener la mejor entre la actual y lacandidata

Si no mejoro incrementar su lımite (limit)

Seleccionar las soluciones que seran visitadas por una abeja observadorasegun su aptitud (probabilidades de seleccion ecuacion 1)




Desde i=1 hasta SN seleccionar una fuente de alimento de acuerdoal mecanismo de selccion de ruleta con base a la probabilidad





Fase exploradoras reemplazo

Determinar si existe una fuente abandonada y reemplazarla utilizandouna abeja exploradora


Colonia Artificial de Abejas (ABC)Ejemplo numerico



Fase empleadas

Operador 983187vi j = 983187xi j + φ (983187xi j minus 983187xkj)

983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1

Ejemplo con 983187x1983187x1 = [minus3 0] f (983187x1) = 9

983187v11 = minus3 + (minus05) lowast (minus3minus (minus2))

983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Optimizacion con restricciones

Motivacion

Los algoritmos evolutivos y de inteligencia colectiva han demostradoser una buena herramienta para resolver problemas de optimizacion

Estos algoritmos son tecnicas de busqueda sin restricciones

Han surgido diferentes mecanismos que les permitan trabajar conrestricciones

Es un area abierta proponer tecnicas para manejo de restricciones

Normalmente las tecnicas para manejo de restricciones agregan masparametros a la tecnica yo aumentan su costo computacional



Definicion del problema

Matematicamente un problema de optimizacion numerica conrestricciones es definido comoMinimizar

f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)

donde f es la funcion objetivo m es el numero de restricciones dedesigualdad p es el numero de restricciones de igualdad y S es el espaciode busqueda S sube Rn el cual se encuentra delimitado por los lımites de lasvariables La region factible F sube S contiene aquellas soluciones quesatisfacen todas las restricciones del problema



Para satisfacer las restricciones de igualdad estas se transforman enrestricciones de desigualdad (ecuacion 6 donde δ es una toleranciapermitida cuyo valor es 1E minus 4 generalmente

|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)



Tecnicas para manejo de restricciones (CHT)

Objetivo guiar a los algoritmos evolutivos hacia la region factible delproblema

Las tecnicas para manejo de restricciones mas empleados en losultimos anos

Funciones de penalizacionReglas de factibilidad de DebJerarquizacion estocastica (SR)Metodo 983171-constrainedOperadores especialesSeparacion de restricciones y objetivos (Opt multiobjetivo)Metodos hıbridos



Funciones de penalizacion

Objetivo es castigar a las soluciones no factibles disminuyendo suaptitud de manera que aquellas factibles sean favorecidas en elproceso de seleccion

φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1

ri middotmax(0 gi (983187x))2 +

p983131

j=1

cj middot |hj(983187x)| (8)

Donde ri y cj son los factores de penalizacion Por tanto en unproblema de minimizacion una solucion no factible tendra un valormayor a aquellas soluciones factibles porque ri y cj incrementan elvalor de la sumatoria que se calcula en fp(983187x)

Desventaja Definicion por parte del usuario de los factores depenalizacion



Reglas de factibilidad de Deb

Propuestas por Deb (1998) es uno de los mecanismos mas simples ymas usado en varios algoritmos evolutivos

El conjunto de reglas se define de la siguiente manera1 Si se comparan dos soluciones factibles se selecciona aquella que tenga

el mejor valor de la funcion objetivo2 Si se compara una solucion factible contra una infactible entonces la

solucion factible se selecciona3 Si se comparan dos soluciones infactibles se selecciona aquella que

tiene la menor suma de violacion de restricciones

La suma de violacion de restricciones se calcula mediante

φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)

Desventaja Convergencia prematura



Jerarquizacion Estocastica (SR)

Propuesta por Runarsson y Yao (2000) esta basada en el metodo deordenamiento de burbuja para ordenar soluciones de la poblacion deacuerdo a

1 La suma de violacion de restricciones o2 El valor de la funcion objetivo

Requiere un parametro (Pf ) que indica la probabilidad de como serealizara la comparacion

Una ventaja es que en SR no se necesitan definir factores depenalizacion



Pseudocodigo de SR Ij es un individuo de la poblacion N es el tamano dela poblacion φ(Ij) es la suma de violacion de restricciones y f (Ij) es elvalor de la funcion objetivo del individuo Ij



Metodo ε-constrained

Propuesto por Takahama y Sakai(2005) transforma un problema deoptimizacion restringida en un problema sin restricciones

Usa una tolerancia ε la cual decrece durante las generaciones delalgoritmo ε-level donde ε es un parametro definido por el usuario

El ε-level entre dos soluciones es computado como




La suma de violacion de restricciones se calcula como

φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)

El ε-level decrece durante las generaciones de acuerdo a ε(0) = φ(xθ)

ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)

Donde cp es un parametro definido por el usuario que controla lavelocidad de la reduccion de la tolerancia ε t es la iteracion actual yTC es el maximo numero de iteraciones permitidas por el algoritmopara mantener un valor de ε gt 0 El valor inicial de ε(0) es la v derestricciones de la θth solucion de la poblacion inicial θ = 2N


Referencias optimizacion restringida

E Mezura-Montes and C A Coello-Coello Constraint-handling innature-inspired numerical optimization Past present and futureSwarm and Evolutionary Computation 1(4)173ndash194 2011

K Deb An efficient constraint handling method for geneticalgorithms In Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering pages 311ndash338 1998

TP Runarsson and X Yao Stochastic ranking for constrainedevolutionary optimization Evolutionary Computation IEEETransactions on 4(3)284ndash294 Sep 2000

T Takahama S Sakai and N Iwane Constrained optimization bythe rdquo constrained hybrid algorithm of particle swarm optimization andgenetic algorithm In S Zhang and R Jarvis editors AI 2005Advances in Artificial Intelligence volume 3809 of Lecture Notes inComputer Science pages 389ndash400 Springer Berlin Heidelberg 2005


Fin


Outline




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Fuentes de alimento












iquestComo funciona







iquestComo funciona







Algoritmo










Elementos del ABC


983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin


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Fuentes de alimento












iquestComo funciona







iquestComo funciona







Algoritmo










Elementos del ABC


983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin












Fuentes de alimento












iquestComo funciona







iquestComo funciona







Algoritmo










Elementos del ABC


983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin










iquestComo funciona







iquestComo funciona







Algoritmo










Elementos del ABC


983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









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iquestComo funciona







Algoritmo










Elementos del ABC


983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin



Algoritmo










Elementos del ABC


983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

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Elementos del ABC


983187xi g i = 1 SN g = 1 MCN



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








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Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin



Elementos del ABC




(1)




Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








Outline





Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin



Elementos del ABC






Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








Outline





Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin



Elementos del ABC




Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








Outline





Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin



Elementos del ABC



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








Outline





Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin



Algoritmo ABC





























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








Outline





Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin
























Fase empleadas


983187x1 k = 983187x2 φ = minus05 j = 1

983187x2 k = 983187x4 φ = 1 j = 2

983187x3 k = 983187x1 φ = minus04 j = 2

983187x4 k = 983187x1 φ = 06 j = 1



983187v11 = minus25

983187v1 = [minus25 0] f (983187v1) = 625 f (983187v1) le f (983187x1)








Outline





Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin








Outline





Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin



Motivacion










f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin





f (983187x) 983187x = (x1 x2 xn ) isin Rn (3)

Sujeto agi (983187x) le 0 i = 1 m (4)

hj (983187x) = 0 j = 1 p (5)





|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

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p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin




|hj(983187x)|minus δ le 0 j = 1 p (6)











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin











φ(983187x) = f (983187x) + fp(983187x) (7)

fp(983187x) =m983131

i=1


p983131

j=1













φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin










φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (9)






















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin





















φ(983187x) =m983131

i=1

max(0 gi (983187x)) +

p983131

j=1

|hj(983187x)| (10)


ε(t) =

983099983103

983101ε(0)(1minus t

TC)cp 0 lt t lt TC

0 t ge Tc

(11)









Fin








Fin


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