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Comunicaciones Digitales: Modulación por Codificación

de Pulsos (PCM)

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Objetivo

Presentar los fundamentos de la Modulación por Codificación de Pulsos (PCM).

Se expondrán las características básicas y los esquemas generales de operación.

Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de implementar dicha modulación, reconocer sus principales características y sugerir los mejores esquemas o configuraciones de acuerdo al problema que esté estudiando.

● Definición de PCM● Cuantización, Ruido de Cuantización e Intervalo

Dinámico● Eficiencia de Codificación● Ventajas y Desventajas de la modulación PCM● Velocidad de PCM● Ancho de banda de PCM● Generación de PCM● Decodificador sub-óptimo de PCM● Efectos del ruido en PCM● Proceso de Cuantización no uniforme● Modulación Delta. Generación y Detección● Modulación Delta Adaptativa● Modulación Sigma Delta

En este tipo de modulación primero se cuantifica la señal usando Modulación por Amplitud de pulso (PAM), y luego se usa un código para designar cada nivel en cada tiempo de muestreo.

Recibe el nombre de Modulación de Código de Pulsos y se denota como PCM (Pulse Code Modulation).

Definición

● La señal original continua en el tiempo, al discretizarla se divide en un grupo finito de magnitudes discretas entre límites, superior e inferior.

● En consecuencia, una señal cuantizada es una aproximación de la señal analógica.

Señal Cuantizada

Señal Codificada

Señal Analógica

Señal de Muestreo

Cuantización

Cuantización

Cuantización de señal de entrada

● Las diferencias entre los niveles de las señales analógicas y cuantizada conducen a una incertidumbre que se conoce como Ruido de Cuantización.

● El Ruido de Cuantización depende directamente del número de valores discretos en los que se subdivide el intervalo de medición y sólo puede reducirse utilizando un mayor número de niveles, sin embargo al aumentar el número de niveles se requiere un mayor ancho de banda (velocidad de conversión).

Ruido de Cuantización

Ruido de Cuantización

Digitalización PCM

PCM

PAM

El Intervalo Dinámico, denotado como DR, es la relación de la magnitud más grande posible a la magnitud más pequeña posible que puede decodificarse por el DAC.En forma de ecuación se puede escribir como:

Vmínimo es igual a la resolución y Vmáximo es la máxima magnitud del voltaje que puede decodificar el DAC.

DR=V maximo

V minimo

Intervalo dinámico

Bajo la consideración anterior se tiene:

Expresada en Decibeles:

ResoluciónmaximoV

DR

Resoluciónlog20log20 maximo

mínimo

maximo V

V

VDR

Intervalo dinámico

Codificación Codificación con 3 bitscon 3 bits

Codificación PCM

La eficiencia de codificación es una medida de qué tan eficientemente se usa un código PCM. Es la relación del mínimo número de bits requerido para lograr un intervalo dinámico específico al número real de bits PCM usados.

El numerador y denominador incluyen el bit de signo.

100bits de real número

bits de número mínimoónCodificaci de Eficiencia x

Eficiencia de la Codificación

● En comunicaciones a largas distancias, las señales PCM pueden regenerarse por completo en estaciones repetidoras intermedias porque toda la información está contenida en el código.

● En cada repetidora se transmite una señal esencialmente libre de ruido. Los efectos del ruido no se acumulan y solo hay que preocuparse por el ruido de la transmisión entre repetidoras adyacentes.

Ventajas de los sistemas PCM

Retransmisión de la señal


● Los circuitos para la modulación y demodulación son todos digitales, alcanzando por ello gran confiabilidad y estabilidad, y se adaptan con rapidez al diseño lógico de circuitos integrados.

● Las señales pueden almacenarse y ponerse a escala en el tiempo de manera eficiente.

● Puede usarse un código eficiente para reducir la repetición innecesaria de información binaria (la redundancia en los mensajes).

● Una codificación adecuada puede reducir los efectos del ruido y la interferencia.


La gran Desventaja de PCM es el gran ancho de banda

respecto al ancho de banda de la señal analógica original,

sin embargo con las ventajas tan potentes que posee, con

mucha frecuencia se recurre a la PCM para ser utilizados

en los sistemas de comunicaciones.

Ancho de

Banda

Ruidoy

Errores

Desventajas de los sistemas PCM

La velocidad de línea o la tasa de transferencia es tan solo la frecuencia con que el tren de pulsos PCM (bits en serie) salen o son entregados de manera síncrona a la línea de transmisión.

En el receptor representan la velocidad con la que los bits PCM se envían de la línea de transmisión y son entregados al receptor.

En forma matemática:

muestra

bitsx

segundo

muestraslinea la de velocidad

Velocidad del PCM

Cada nivel de PAM puede ser representado por un código de n bits, dando como resultado M niveles diferentes, con M=2n según el teorema de muestreo y se pueden representar cada intervalo Ts.

La frecuencia de muestreo denotada como fs se define como:

ss T

f1

La tasa de bits a su vez se determinar mediante:

snfR

Ancho de banda PCM

Para condiciones de transmisión sin aliasing, f s ≥2B, el ancho de banda se puede estimar por:

BPCM≥12

R

Finalmente:

El ancho de Banda es directamente proporcional al número de bits

BPCM≥12

nf s

Ancho de banda PCM

Diagrama de bloques de un generador de PCM utilizando el codificador de rampa

GeneradorRampa

Muestreo yRetención

ContadorBinario

ConvertidorParalelo/Serie

ComparadorVi

Orden deCodificación

Reloj

Ordende

Codificación

Cuenta Digital

SalidaPCM

Detener conteoReinicio

110001110001010101

Generación de PCM

Diagrama de bloques de un receptor de PCM

Regeneradorde pulsos

ConvertidorSerie/Paralelo

SincronizaciónRegulación

Divisor Resistivoy Sumador

Muestray

RetenciónLPF

VoAnalógico

EntradaPCM

110001110001

Decodificador subóptimo de PCM

A la salida de un sistema PCM la señal está corrompida por el ruido. Las causas pueden ser:

● Ruido de cuantización provocado por el cuantizador de M escalones en el transmisor PCM.

● Errores de bits de la señal PCM recuperada. Los errores de bits son provocados por ruido en el canal, lo mismo que por una filtración inapropiada en el mismo, lo cual provoca interferencia.

Efectos del ruido en PCM

La potencia de ruido total promedio se puede estimar como:

esalidadepico PM

M

N

S

)1(41

32

2

La potencia promedio de la señal con respecto a la potencia del ruido promedio es:

esalida PM

M

N

S

)1(41 2

2

M = niveles de cuantización y Pe = la probabilidad de error

Potencia de Ruido Total Promedio

Existen dos métodos de cuantización no uniformes que son ampliamente utilizados:

● En América: denominada Ley ● En Europa: denominada Ley A

Proceso de Cuantización No Uniforme

La ley se puede determinar por la ecuación:

1ln

)(1ln)( 1

2

twtw

donde los valores máximos permitidos para w1(t) son ± 1,

es un parámetro constante positivo y ln es el logaritmo natural.

1)(1 tw

Cuantización No Uniforme: Ley μ


La curva aparece comprimida para pequeños valores de voltajes de entrada.

La ley A, se define como:

1)(1

ln1

)(ln1

1)(0

ln1

)(

)(

11

11

2

twAA

twAA

twA

twA

tw

1)(1 tw

A es una constante positiva, comúnmente toma valores de A = 87,6

Cuantización No Uniforme: Ley A

Cuantización No Uniforme: Ley A

Comparación de ambas leyes

● Cuando se utiliza compresión en el transmisor, a la salida del receptor se debe utilizar expansor para restaurar los niveles de la señal a sus valores relativos correctos.

● La característica del expansor es la inversa de la característica de compresión.

● La combinación de un compresor y un expansor se llama «compander».

Cuantización No Uniforme: Recepción

Número de niveles del cuantizador, M

Longitud de la palabra PCM,

n Bits

Ancho de banda de la señal PCM

Relaciones de ruido de cuantización a potencia de señal analógica recuperada (dB)

(S/N)pico de salida (S/N)salida

2 1 2B 10.8 6.0

4 2 4B 16.8 12.0

8 3 6B 22.8 18.1

16 4 8B 28.9 24.1

32 5 10B 34.9 30.1

64 6 12B 40.9 36.1

128 7 14B 46.9 42.1

256 8 16B 52.9 48.2

512 9 18B 59.0 54.2

1024 10 20B 65.0 60.2

2048 11 22B 71.0 66.2

4096 12 24B 77.0 72.2

8192 13 26B 83.0 78.3

16384 14 28B 89.1 84.3

32768 15 30B 95.11 90.3

65536 16 32B 101.1 96.3

Rendimiento de un sistema PCM

La modulación delta consiste en comparar la señal dada con una sucesión de pulsos de amplitud, los cuales son crecientes mientras la amplitud de esta sucesión se encuentra por debajo de la amplitud de la señal dada y es decreciente cuando la amplitud de los pulsos de muestreo supera la amplitud de la señal.

PCM de modulación Delta

Entrada

Analogica Operación IdealOperación Ideal

Operación RealOperación Real


Planteada como una alternativa válida para sistema PCM

Se sobremuestrea la señal a una tasa mucho mayor que la tasa de Nyquist, para aumentar la correlación entre muestras adyacentes y permitir el uso de una estrategia de cuantificación simple.

Se aproxima con una función escalera, para proveer la versión sobremuestreada de la señal mensaje.


● La diferencia entre la entrada y la aproximación es cuantificada en sólo dos niveles ±, correspondiendo a la diferencia positiva ó negativa.● Si la aproximación cae por debajo de la señal, es incrementada en .● Si la aproximación cae por encima de la señal, es decrementada en .● La señal no varía muy rápidamente de muestra a muestra.


m(t): Señal mensaje de entrada

mq(t): Señal aproximada en escalera


m(n) = m(nTs) ; n = 0, ±1, ±2,…

Ts: Período de muestra

m(nTs): Muestra de la señal m(t) en t= nTs

Set de relaciones discretas en el tiempo

e[n]: Señal de error, representa la diferencia entre la señal muestreada m[n] y la última aproximación mq[n-1]

eq[n]: Versión cuantificada de e[n]

Sgn: Función signo


e [n]=m [n ]−mq[n−1]

eq=Δ sgn (e [n])

mq[n ]=mq[n−1]+eq [n]

La tasa de transmisión es igual a la tasa de muestreo

fs = 1/Ts >> frecuencia de Nyquist

La principal virtud de la Modulación Delta es su simplicidad

Puede ser generada a partir de la aplicación directa de la versión muestreada de la señal mensaje al modulador, que involucra las funciones de comparador, cuantificador y acumulador.


Comparador: Computa la diferencia entre las dos entradas separadas en el tiempo Ts.

Cuantificador: Es un limitador simple con relación de 1 sólo escalón de entrada / salida, afectado por la función signo.Acumulador: Produce el siguiente resultado

En el instante de muestreo (nTs), el acumulador incrementa en un salto positivo ó negativo, dependiendo del signo algebraico de e[n] (función de error).Si la muestra de entrada m[n] es mayor que la última aproximación mq[n], se aplica un incremento positivo y visceversa


mq[n ]=Δ∑i=1

n

sgn(e [ i])=∑i=1

n

eq [n]

Señal de Salida del Demodulador Delta

Diagrama de Bloques de un receptor de PCM Modulación Delta

Receptor PCM de modulación Delta

Efectos de los errores en la Modulación Delta


Z-1: unidad de retardo de 1 período Ts

Receptor Delta

La escalera aproximada mq[n], es reconstruída, pasando la secuencia de pulsos producidos a la salida del decodificador a través de un acumulador, se manera similar al utilizado en el Tx.


El ruido de cuantificación fuera de banda es rechazado por el filtro pasabajos de ancho de banda igual al mensaje original.

La modulación delta es objeto de dos tipos de error de cuantificación:– Distorsión por sobrecarga– Ruido granular


Del diagrama en bloques del transmisor

Si q[n] es el error de cuantificación

La entrada al cuantificador es

Excepto por el error de cuantificación q[n-1], la entrada del cuantificador es diferencia de 1er orden de la señal de entrada, puede ser vista como una aproximación digital de la derivada de la señal de entrada.

mq[n ]=mq[n−1]+eq [n]

mq[n ]=m [n]+q[n ]

e [n]=m [n ]−m [n−1]−q[n−1]

Distorsión por sobrecarga de pendiente

Si consideramos la pendiente máxima de la señal de entrada m(t), la secuencia de muestras mq[n], deberá incrementarse de manera de aumentar la rapidez de la secuencia de muestras m[n] en la región de máxima pendiente de m(t).

Para que esto se cumpla, la condición para no tener sobrecarga de pendiente:

Podríamos encontrar que el salto es tan pequeño que la aproximación en escalera mq [n], resulta insuficiente para seguir a la señal de entrada m(t)

Esto se denomina SOBRECARGA DE PENDIENTE

ΔT s

⩾max∣dm( t)

dt∣


La sobrecarga de pendiente resulta en un error de cuantificación (ruido).La máxima pendiente de la escalera está limitada por el escalón .

Un Modulador DELTA, con escalón fijo , se le conoce también Modulador Delta Lineal


Ruido Granular: Sucede cuando el escalón es demasiado grande frente a la pendiente de m(t). Esto causa que la aproximación de los escalones mq (t) conmute en el segmento plano de m(t).

Es análogo al ruido de cuantificación en sistemas PCM.

Ruido Granular


Ventajas

● Permite seguir señales de cualquier amplitud.

● Además el equipo transmisor y el receptor son muy sencillos.

● No se requiere sincronismo de palabra.

Desventajas

● Presenta ruido granular, sobrecarga de pendiente, transitoria. ● Necesita una frecuencia de muestreo varias veces superior a la de Nyquist (para que la predicción del valor sea apropiada)● En caso d TDM, cada canal requerirá un receptor separado.

Es necesario encontrar el salto suficientemente grande para acomodar el intervalo dinámico de la señal de entrada m(t).

Es necesario encontrar el salto suficientemente pequeño para acomodar las pequeñas variaciones de la señal de entrada m(t).

Para encontrar un se debe tener en cuenta el compromiso entre la distorsión por sobrecarga y el ruido granular para la obtención del valor óptimo.

Lo anterior implica hacer ajustable al Modulador Delta

Optimización de la modulación Delta

Estrategias de Solución:

● Parte de los problemas se resuelven aumentando considerablemente la frecuencia de muestreo, pero si lo que se desea es reducir el ruido granular también conviene disminuir el paso del escalón. ● Para reducir la sobrecarga de pendiente conviene mas bien aumentar el paso del escalón. ● En la práctica se prefiere usar modulación delta adaptiva.


Para mejorar el comportamiento del modulador delta se puede adaptar el tamaño del escalón en el tiempo. El esquema sería el siguiente:

Modulación Delta Adaptativa

Otra alternativa es la de integrar el mensaje m(t) antes de ingresar a un modulador Delta?

– La modulación Delta utiliza una aproximación de la derivada de m(t). El ruido resulta en un error acumulado en la señal demodulada.

– Cuando se integra, el contenido de baja frecuencia es enfatizado.– Cuando se integra, la correlación entre muestras adyacentes se

incrementa, tiende a mejorar el desempeño del sistema, reduciendo la varianza de la señal de error a la entrada del cuantificador

– El diseño del RECEPTOR se simplifica

El esquema que incorpora estas ventajas se llama DM (Delta Sigma Modulador)

Modulación SIGMA DELTA

El RECEPTOR consiste simplemente en un filtro pasabajos.

El segundo circuito (gráfico) es más sencillo de implementar y da una versión suavizada de una señal PCM de 1 bit. Está suavizada porque se integra la señal antes de la cuantificación, el término 1 bit se refiere al limitador con sólo dos niveles de representación.

La simplicidad de implementación del Tx y Rx de un modulador Delta se contrapone con la utilización de una mayor tasa de transferencia que la utilizada por PCM. El precio que se paga por este beneficio es un incremento del ancho de banda del canal.


Cuando una señal de audio ó video es muestreada a una tasa un poco superior a la de Nyquist, en PCM, resulta que la señal muestreada exhibe un alto grado de correlación entre muestras adyacentes.

En general, la señal NO CAMBIA de una muestra a la siguiente, lo que implica que la diferencia entre muestras adyacentes tienen una varianza que es menor que la varianza de la señal original.

Cuando esta señal (altamente correlacionada) es codificada como PCM estándar, la señal codificada contiene información redundante → Hay información que no es esencial para la transmisión de la información

Modulación PCM Diferencial

Removiendo dicha redundancia antes de la codificación, se obtiene una señal codificada, llamada DPCM.

Supongamos que una señal m(t) se muestrea a fs = 1/Ts para producir una secuencia {m[n]} cuyas muestras están separadas Ts [seg.]

La señal de entrada al cuantificador queda definida por:

e[n]: Error de predicción

m[n]: Muestra de la señal de entrada m(t)

: Muestra cuantificada de la señal de entrada, desplazada en Ts


e (nT s)=m(n T s)−m̂(n T s)

m̂ [n ]

Codificando la salida del cuantificador, obtenemos una variante de PCM, más conocida como DPCM

La salida del cuantificador – q (nTs): Error de cuantificación

eq(nT s)=e (nT s)+q(nT s)


La salida del cuantificador eq [n] se suma al valor predictivo m[n] que produce la entrada al filtro de predicción

Donde mq [nTs] representa la versión cuantizada de la señal de entrada m(nTs) Independientemente del filtro de predicción. La señal cuantizada mq [nTs] a la entrada del filtro de predicción, difiere de la señal de entrada m(nTs) en

proporción del error de cuantización q(nTs)


m̂

mq(nT s)=m̂(n T s)+eq(n T s)

mq(nT s)=m̂(nT s)+e (nT s)+q (n T s)

mq(nT s)=m(nT s)+q(n T s)

Si la predicción es buena, la varianza del error de predicción c deberá ser menor que la varianza de m(nTs). Entonces el cuantizador con un dado número de niveles, podrá ser ajustado para producir un error de cuantización con la menor varianza posible si la señal m(nTs) es cuantizada directamente como un sistema PCM estándar.

El receptor que reconstruye la versión cuantizada


Decodificador: Reconstruye la señal de error cuantizada. La versión cuantizada de la señal original se reconstruye a partir de la salida de la señal de error cuantizada usando el mismo filtro predictor que el usado en el transmisor.En ausencia de ruido del canal, encontramos que la señal codificada a la entrada del receptor es idéntica a la señal codificada que sale del transmisorDe acuerdo a que la salida del receptor es igual a mq (nTs), difiere de la entrada original m(nTs) sólo en error de cuantificación q(nTs), como resultado del error de predicción cuantificado e(nTs).


En un entorno libre de ruido, el filtro de predicción, en Tx y en Rx operan en la misma secuencia de muestras mq (nTs).

DPCM incluye la modulación Delta (DM) como un caso particular, son básicamente similares, excepto por dos importantes diferencias.

– La utilización de un cuantizador de dos niveles en el modulador delta

– El reemplazo del filtro de predicción por un simple elemento de retardo

El modulador delta es una versión de 1 bit DPCM

Ambos moduladores tienen realimentación.


Tanto el DPCM, como el DM, están sujetos a la distorsión de sobrependiente, cuando la señal de entrada varía más rápidamente que el filtro de predicción, éste no alcanza a seguir a la señal

Ambos, el DPCM al igual de PCM, sufren ruido de cuantización

Una particularidad del DPCM es que funciona como un compresor de datos ya que como se hace la diferencia entre dos muestras, el resultado será un valor pequeño, e inclusive, cercano a cero y, por lo tanto, su codificación requerirá menos bits. Lo anterior implica que la representación de la señal “diferencia” requiere menos bytes que los requeridos por la señal discreta original.


Sistema de Comunicaciones PCM

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