Carga de un Condensador La relacin que muestra el aumento de la diferencia de potencial de un condensador en relacin con el tiempo es

La vida media para el condensador de capacidad de 4700mf es 0.0216. La vida media para el condensador de capacidad de 2200mf es 0.0462. Introduccin El objetivo de este experimento es poder determinar experimentalmente la relacin de carga de un condensador respecto al tiempo que se demora ste en cargarse. Para esto, verificaremos el aumento de la diferencia de potencial y la relacionamos con el tiempo. Luego se tratar de encontrar una relacin para el caso de la carga de un condensador y se determinar como depende de C y R (capacidad y resistencia). Se debe recordar que en el caso de la descarga de un condensador es el tiempo que se demora la diferencia de potencial en ir del valor Vo al valor Vo/2. Procedimiento Experimental Para empezar, se va a graficar la situacin para poder entenderla mejor. La situacin es la siguiente: R v CS Los materiales que se usan en este experimento son los siguientes:

2 Condensadores (4700 mf y 1000mf) Protoboard Resistor (9.83K) Multitester Cronmetro Condensador 4700mf

Los supuestos de este experimento son:

Los instrumentos usados estn bien calibrados Los condensadores y el resistor estn en buenas condiciones Los condensadores estn totalmente descargados al inicio del experimento

Este experimento trata de poder encontrar alguna relacin para la carga de un condensador en relacin con el tiempo. Para esto se va a medir el tiempo que tarda un condensador en cargarse completamente, y el procedimiento adecuado es por series de 10 segundos por cada toma de datos. Primero se mide para un condensador de 4700 mf y despus para uno de 2200 mf, por separado, ocupando una misma resistencia en los dos casos (9.83 K). Los datos encontrados son los siguientes: Condensador 4700 mf Resistor 9,83 Kohm Tiempo 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 Diferencia de Potencial 0 4,57 7,99 10,5 12,64 14,37 15,78 16,98 17,99 18,8 19,53 20,2 20,7 21,1 21,5 21,8 22,1 22,3 22,5 22,7

200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 Condensador 2200 mf Resistor 9,83 Kohm Tiempo 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

22,8 23 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5 23,5 23,5 23,6 23,6 23,7 23,7 23,7 23,7 23,7

Diferencia de Potencial 0 8,81 13,77 16,81 18,97 20 21,3 22 22,5 22,8 23 23,1 23,3 23,3 23,4 23,5 23,5

170

23,6

Ahora, se grafcan los datos obtenidos en las tablas (Ver anexos 1 y 2). Si nos damos cuenta a medida que aumenta el tiempo la curva siempre va tendiendo a un nmero, recordemos que al conectar el sistema el voltaje inicial es de aproximadamente de 24 volt. Y si miramos los datos a medida que el tiempo aumenta nos fijamos que la curva tiende a este valor a medida que aumenta el tiempo, es decir cuando el tiempo tiende a infinito la diferencia de potencial del condensador va aumentando hacia Vo. Pensando ms profundamente, Qu pasa si invertimos los grficos?. Para esto se puede crear la tabla (Vo- v(t)) v/s t. La tabla de este grfico es la siguiente: Condensador 4700 mf Resistor 9,83 Kohm Tiempo 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 Condensador 2200 mf Resistor 9,83 Kohm Vo-V(t) 24,9 16,09 11,13 8,09 5,93 4,9 3,6 2,9 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,6 1,5 1,4 1,4 1,3

Vo- Vo(t) 24,9 20,33 16,91 14,4 12,26 10,53 9,12 7,92 6,91 6,1 5,37 4,7 4,2 3,8 3,4 3,1 2,8 2,6 2,4 2,2 2,1 1,9

220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350

1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2

Si nos damos cuenta en el grfico de la tabla anterior (ver anexo3). Ambas curvas obedecen ala forma:

Para encontrar las constantes P y K rectificamos la curva (ver anexo 4) De lo deducido en el informe de la carga de un condensador, la curva se comporta de la misma forma, entonces P = Vo y K = (1/R*C) Entonces queda:

Ahora se tratar de demostrar esta frmula encontrada anteriormente, pero de frmula terica. Vo = Vr + Vc Donde Vr es la V de la resistencia y Vc es V del condensador. Tambin sabemos que Vo= Vr + Vc

Tambin por la ley de Ohm se sabe que: V = I*R Y para los condensadores que V = Q/C

Entonces la solucin queda:

Lo cual queda demostrada la ecuacin encontrada anteriormente

Entonces ahora se pueden obtener los valores de K para ambos condensadores Para C( 4700mf) K = 0.0216 Para C( 2200mf) K = 0.0462 Estos valores obtenidos es lo que se llama el (Vida media de carga de un condensador el cual est relacionado con R y C como se muestra en la frmula encontrada Conclusin La relacin obtenida para calcular la cantidad de potencial que tiene un condensador relacionado con el tiempo de carga de este mismo es:

C(4700mf) = 0.0216 C(2200mf) = 0.0462

Capacitores en serie

Un capacitor puede ser armado acoplando otros en serie y/o en paralelo. De esta manera se obtiene una capacidad total equivalente para el conjunto de capacitores que se puede calcular mediante expresiones simples. Tambin es posible conocer las cadas de potencial y la carga almacenada en cada capacitor. El acoplamiento de capacitores en serie se realiza conectando en una misma rama uno y otro capacitor, obteniendo una capacidad total entre el primer borne del primer capacitor y el ltimo del ltimo.

Capacidad total en serieLa capacidad total (o equivalente) en serie se calcula sumando las inversas de cada una de las capacidades y calculando la inversa del resultado.

Tensin de capacitores en serieLa suma de las cadas de tensin de cada capacitor da como resultado la tensin total aplicada entre los bornes A y B.

Carga de capacitores en serieLa carga de cada uno de los capacitores de una rama en serie es igual a la de los dems y es igual a la carga equivalente acumulada en toda la rama (entre A y B)

A su vez, cada carga puede ser calculada como q = C V de cada capacitor, con lo que:

Y la carga total (qt) que es igual a la carga sobre cualquier capacitor se puede calcular sobre el capacitor equivalente como: qt = Ce VAB

Capacitores en paraleloEl acoplamiento en paralelo de los capacitores se realiza conectndolos a todos a los mismos dos bornes.

Capacidad total en paraleloLa capacidad total (o equivalente) en paralelo se calcula sumando las capacidades de cada uno de los capacitores.

Tensin de capacitores en paraleloAl estar unidos todos los capacitores por un mismo conductor, se encuentran todos a la misma diferencia de potencial (la de la tensin aplicada) por lo tanto la tensin de cada uno es igual a la de otro e igual a la total.

Carga de capacitores en paraleloLa carga total es igual a suma de las cargas almacenadas en cada capacitor

Y cada carga puede calcularse como q = C V de cada capacitor, pero en este caso V es la misma para todos, con lo que:

De esta manera, al ser V la misma, puede verse que las cargas que almacena cada capacitor para una determinada tensin aplicada no son iguales si las capacidades son distintas.

Condensadores en paraleloLos condensadores se pueden agrupar en serie o en paralelo. El caso ms importante sucede cuando se conectan las placas del mismo signo de dos condensadores de capacidades C1 y C2. Si inicialmente, el condensador C1 se ha cargado con una carga Q y se conecta al condensador C2 inicialmente descargado. Despus de conectarlos, las cargas pasan de un condensador al otro hasta que se igualan los potenciales.

Las cargas finales de cada condensador q1 y q2, se obtienen a partir de las ecuaciones de la conservacin de la carga y de la igualdad de potenciales de los condensadores despus de la unin.

Despejando q1 y q2, en el sistema de dos ecuaciones

La energa inicial, es la almacenada en forma de campo elctrico en el condensador de capacidad C1

La energa final, es la suma de las energas almacenadas en los dos condensadores

Como vemos la energa final Uf es menor que la inicial Ui. En la figura, se muestra la analoga hidrulica de un sistema formado por dos condensadores en paralelo.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un condensador cargado a una diferencia de potencial V, la carga que adquiere el condensador es Q0=CV. La energa acumulada en el condensador es U0=CV2/2

Conectamos este condensador a otro idntico inicialmente descargado. Cuando el circuito se cierra la carga fluye del primero hacia el segundo hasta que la diferencia de potencial en

ambos condensadores es la misma. Como la capacidad C de ambos condensadores es la misma, la carga final de cada uno de los condensadores ser la mitad de la carga inicial Q1=Q0/2, V1=V/2 Q2=Q0/2, V2=V/2 La energa acumulada por el sistema formado por los dos condensadores es

La energa final es la mitad de la energa inicial. Siempre se perder la mitad de la energa independientemente de que cambiemos o no la resistencia de los cables que unen los condensadores. Analoga hidrulica Supongamos dos depsitos cilndricos iguales conectados por un tubo horizontal de seccin despreciable, tal como se indica en la figura, el primero de ellos con una masa m de agua, y el segundo vaco.

La energa inicial del agua es la energa potencial del centro de masas del agua que est a una altura h de la base. U0=mgh Si se abre la llave, el agua fluye del primer depsito al segundo, hasta que la altura del agua es la misma en ambos. Por tanto, el agua se reparte por igual entre los dos depsitos. La energa final ser

la mitad de la energa inicial. Como hemos visto, si no hubiese resistencia alguna, no habra prdidas, ya que la energa

potencial del agua se transforma en cintica del agua que fluye y viceversa. El agua pasara de un depsito al otro, se producira un movimiento oscilatorio. Lo mismo ocurrira en un sistema de dos condensadores, la carga oscilara entre los dos condensadores. La resistencia del tubo, que conecta los dos depsitos, al movimiento del agua es anloga a la resistencia de los cables que conectan los dos condensadores, el primero se opone al flujo del agua, el segundo al flujo de carga. Despus de unas cuantas oscilaciones se alcanza la situacin final de equilibrio.

La situacin final no se alcanza por tanto, de una vez, sino despus de un cierto tiempo tanto ms pequeo cuanto mayor sea la resistencia.

Circuito formado por dos condensadores y una resistenciaConsideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C1 y C2 y una resistencia R.

El condensador de capacidad C1 est cargado con una carga Q10 y el condensador de capacidad C2 est est cargado con una carga Q20. En el instante t=0, se cierra el circuito. En un instante dado t, tendremos que

El condensador C1 tiene una carga q1 El condensador C2 tiene una carga q2 Por la resistencia R circula una corriente de intensidad i.

Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y a. Se cumplir que Vab+Vbc+Vca=0

En el condensador C1 el potencial de a (placa negativa) es menor que el b (placa positiva), de modo que Vab=-q1/C1 En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego Vbc=iR En el condensador C2 el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que Vca=q2/C2

La ecuacin del circuito ser

Supongamos que la carga q1 disminuye con el tiempo y la carga q2 aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdr

Derivamos la ecuacin del circuito respecto del tiempo

Integramos la ecuacin diferencial con la siguiente condicin inicial: en el instante t=0, la intensidad i=i0. En el instante inicial t=0, el condensador de capacidad C2 tiene una carga Q20, el condensador de capacidad C1 tiene una carga inicial Q10.

La solucin de la ecuacin diferencial es

Calculamos las cargas de cada condensador en funcin del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C1 es q1=Q10, y la carga del condensador C2 es q2=Q20.

Como vemos q1+q2=Q10+Q20, la carga total en los condensadores es la carga inicial. Despus de un tiempo tericamente infinito, se establece una situacin de equilibrio en el que las cargas finales de los condensadores sern

Estudio energtico

La energa inicial almacenada en el condensador de capacidad C1 es

La energa final almacenada en los condensadores despus de un tiempo tericamente infinito es

La energa disipada en la resistencia R hasta que se establece la situacin de equilibrio es

Como podemos comprobar parte de la energa inicial se disipa en la resistencia y la otra parte, se almacena en los condensadores en forma de campo elctrico. Uf=Ui-UR Ejemplo:

Resistencia, R=2 Capacidad del primer condensador, C1=1 Capacidad del segundo condensador, C2=1 Carga inicial del primer condensador, Q10=5 Carga inicial del segundo condensador, Q20=-3

1. Calcular la carga de cada condensador en el instante t=3, la energa inicial almacenada en los condensadores, la energa de los dos condensadores en dicho instante y la energa disipada en la resistencia. 2. Calcular la carga final de cada condensador en el instante t=, la energa final de los dos condensadores en dicho instante y la energa total disipada en la resistencia.

En el instante t=3, la carga de cada condensador es

Condensadores ideales en serieSean dos condensadores de capacidades C1 y C2 dispuestos en serie.

Los dos condensadores tienen la misma carga q. La diferencia de potencial entre a y c es Vac=Vab+Vbc=q/C1+q/C2=q(1/C1+1/C2) La agrupacin de dos condensadores en serie es equivalente al de un condensador de capacidad Ce

Esta es la situacin ideal, en la que se supone que los condensadores no pierden carga, las dos placas del condensador estn perfectamente aisladas una de la otra. Esto no es lo que ocurre en la situacin real.

Condensadores con prdidas en serieUn condensador con prdida de carga es equivalente a un condensador ideal de capacidad C que se descarga a travs de una resistencia R. Como ya hemos estudiado en la pgina anterior, la carga del condensador disminuye exponencialmente

con el tiempo

La resistencia R no suele ser constante sino que depende de la diferencia de potencial V=q/C entre las placas del condensador. Sin embargo, en nuestro estudio supondremos que la resistencia R es constante. Hay condensadores que tiene constantes de tiempo RC del orden de minutos. Sin embargo, hay otros como aceites o plsticos especiales cuyas constantes de tiempo se miden en horas o en das Consideremos ahora la situacin que se muestra en la figura, en la cual los condensadores tienen prdidas. Se establece una diferencia de potencial V entre a y c.

Estado inicial Inicialmente las cargas de los condensadores son iguales y las diferencias de potencial entre sus placas son respectivamente V1=q/C1 y V2=q/C2. Por lo que cumple que

Como V1+V2=V tendremos que

La corriente comienza a fluir a travs de las resistencias R1 y R2 y en general, las cargas en los condensadores sern distintas. Estado final Si la diferencia de potencial entre los extremos a y c se mantiene constante, se alcanza un estado estacionario en el que la misma corriente i pasa por las resistencias R1 y R2. Se cumplir entonces que V1=iR1 y V2=iR2. Por lo que tendremos la relacin

Como V1+V2=V tendremos que

La carga final de cada condensador ser q1=V1C1 y q2=C2V2, de modo que se cumple la relacin

Evolucin del estado inicial al final

Supongamos que a los extremos a y c se aplica una diferencia de potencial constante V. La corriente total i que pasa por a o que sale en b en el instante t, es la suma de dos trminos:

la corriente i1 que pasa por la resistencia R1 y la razn del cambio de la carga del condensador con el tiempo dq1/dt

tal como hemos visto al estudiar el circuito formado por dos condensadores y una resistencia Del mismo modo, la corriente i que entra en b o que sale en c en el instante t, es la suma de dos trminos:

la corriente i2 que pasa por la resistencia R2 y la razn del cambio de la carga del condensador C2 con el tiempo dq2/dt

Sustituyendo V2=V-V1 tenemos una ecuacin en V2.

o bien

Integramos esta ecuacin diferencial con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la diferencia de potencial entre las placas del condensador C2 es V02 tal como vimos al principio de este apartado.

Integrando

El resultado final es

Comprobacin En el estado inicial t=0 tenemos que

En el estado final t tenemos

Intensidad de la corriente La intensidad de la corriente i es igual a

La intensidad es mxima en el instante t=0, y tiende hacia un valor constante V0/(R1+R2) para t Caso especial En el caso especial de que C1R1=C2R2 las diferencias de potencial V1 y V2 son independientes del tiempo, aunque la corriente sigue

fluyendo a travs de cada uno de los condensadores

Como C1R1=C2R2 las cargas en los condensadores q1 y q2 son iguales. Esta condicin se puede cumplir eligiendo adecuadamente la constante dielctrica k y la resistividad del dielctrico que se coloca entre las placas de un condensador plano paralelo, cuyas placas tiene un rea A y estn separadas una distancia d.

La capacidad del condensador es C=k0A/d La resistencia al paso de la corriente es R=d/A

El producto de ambas magnitudes solamente depende de la constante dielctrica k y de la resistividad del dielctrico, RC= k0. Siempre que de los dielctricos que separan las placas de los dos condensadores sean tales que cumplan la relacin 1 k1=2 k2 se cumplir tambin que C1R1=C2R2 Ejemplo 1:

Los datos del primer condensador son C1=0.2F y R1=5000 M. Los datos del segundo condensador son C2=0.5F y R2=1000 M.

En el instante inicial t=0 la relacin V1/V2=2.50. Despus de un tiempo suficientemente grande t V1/V2=5.0 Ejemplo 2:

Los datos del primer condensador son C1=0.1F y R1=5000 M. Los datos del segundo condensador son C2=0.5F y R2=1000 M.

Se cumple el caso especial de que C1R1=C2R2. La relacin

V1/V2=5 en la situacin inicial (t=0) y en la final (t ). Aunque la carga de cada condensador no cambia, la intensidad no es nula. Nota: En el artculo citado en las referencias se obtiene la misma expresin de V2(t) suponiendo una situacin ms relista que V pasa de 0 al valor constante V0 en un tiempo muy corto.

Donde la constante de tiempo es muy pequea comparada con las constantes de tiempo en el proceso de autodescarga de los dos condensadores C1R1 C2R2.

Capacitancia elctrica La capacitancia de un condensador electrosttico se define como la relacin entre la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos: (17)

Donde: C: capacitancia elctrica, Faradio Q: carga depositada, Coulomb V: diferencia de potencial aplicada al capacitor, Voltios En el caso de un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es proporcional al rea de sus placas e inversamente proporcional a la separacin de stas (Figura 4): (18) Donde: C: capacitancia elctrica, Faradio A: rea de las placas, m2 d: distancia entre las placas, m

: constante de permitividad elctrica del medio,

Figura 4. Capacitor de placas paralelas, se observa incrustado entre sus placas un material dielctrico el cual incrementa el valor de su capacitancia

A continuacin se presenta los submltiplos del Faradio:A. F (se lee microfaradio) es igual a 1 x 1 10-6 Faradios.

B. 1 pF (se lee picofaradio) es igual a 1 x 10-12 Faradios. Los capacitores pueden tener diferentes formas, como por ejemplo; capacitores esfricos, cilndricos u otros. 1.10 Clculo de capacitancia equivalente en diferentes configuraciones Capacitores dispuestos en serie (Figura 5)

(19) Donde: Ci: capacitancia del capacitor i, Faradio Ceq: capacitancia equivalente de la configuracin, Faradio Reglas: A. Los capacitores colocados en serie poseen voltajes diferentes (excepto cuando las capacitancias son iguales) B. Los capacitores colocados en serie poseen cargas iguales

Figura 5. Disposicin de capacitores en serie Capacitores dispuestos en paralelo (Figura 6)

(20)

Donde: Ci: capacitancia del capacitor i, Faradio Ceq: capacitancia equivalente de la configuracin, Faradio Reglas: A. El voltaje es igual en cada capacitor en una configuracin paralela B. La carga es diferente en cada capacitor en una configuracin paralela (excepto cuando las capacitancia sean iguales)

Figura 6. Los capacitores en la figura se encuentran en paralelo, por lo que el voltaje en cada uno de ellos es 12 V.

Figura 7. Los capacitores C1, C2 y C3 se encuentran en paralelo entre si, los capacitores C4 y C5 se encuentran en serie, el capacitor equivalente de C4, C5, C3, C2 y C1 se encuentra en serie con C6. La resolucin de un circuito depende en gran medida de la habilidad para reconocer la disposicin de los capacitores entre si. 1.11 Energa almacenada por un capacitor Para cuantificar la energa almacenada por un capacitor de placas paralelas se usan las siguientes formulas:

(21) Donde: U: energa almacenada por el capacitor, Joule Q: carga almacenada por el capacitor, Coulomb V: diferencia de potencial aplicada al capacitor, Voltios C: capacitancia del capacitor, Faradio Recuerde colocar cada variable elctrica en las unidades correctas, de no ser as, tendr resultados errneos.

PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS A.- FUERZA ELCTRICA Y CAMPO ELCTRICO

1. 2. Se localizan tres cargas ubicadas en las esquinas de un triangulo equiltero. Calclese la fuerza elctrica neta sobre la carga de 7 Sol: 0,8727 N, 330

3. En la figura se muestran tres cargas puntuales idnticas, cada una de masa m y carga

q que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de q en trminos de m, L y . Sol.

4. En un nubarrn es posible que haya una carga elctrica de +40 C cerca de la parte

superior y 40 C cerca de la parte inferior. Estas cargas estn separadas por aproximadamente 2 km. Cul es la fuerza elctrica entre ellas? Sol. 7,2 x 109 N 5. Un avin vuela a travs de un nubarrn a una altura de 2000 m. Si hay una concentracin de carga de + 40 C a una altura de 3000 m dentro de la nube y 40 C a una altura de 1.000 m Cul es el campo elctrico en la aeronave? Sol. 90.000 N/C 6. Un objeto que tiene una carga neta de 24 se coloca en un campo elctrico uniforme de 610 N/C dirigido verticalmente. Cul es la masa de este objeto si "flota" en el campo? Sol. 1,49 g 4,676 x 1010 Sol. q/d2 (d: distancia entre las cargas) 7. Tres cargas puntuales, q, 2q, y 3q, estn colgadas sobre los vrtices de un tringulo equiltero. Determine la magnitud del campo elctrico en el centro geomtrico del tringulo. 8. Una barra de 14 cm de largo est cargada uniformemente y tiene una carga total de 22 . Determine la magnitud y direccin del campo elctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36 cm de su centro Sol. 1.586.367,28 N/C hacia la izquierda 9. Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicrculo. Si la barra tiene una carga de 7.5 , encuentre la magnitud y direccin del campo elctrico en O, el centro del semicrculo Sol. 6.891.428,57 N/C del centro del arco hacia adentro 10. Un electrn y un protn se ponen en reposo en un campo elctrico de 520 N/C. Calcule la velocidad de cada partcula 48 ns (nanosegundo) despus de liberarlas Sol. Vp = 2.391,5 m/s, Ve = 4.389.715,67 m/s 11. Una carga q1 se localiza en el origen y una carga q2 se ubica a lo largo del eje y. En qu punto a lo largo del eje y el campo elctrico es cero? Sol. A la mitad de la distancia entre las cargas 12. La fuerza electrosttica entre dos iones semejantes que se encuentran separados por una distancia de 5 x 10-10 m es de 3,7 x 10-9 N. Cul es la carga de cada uno de los iones?. Cuntos electrones faltan en cada uno de los iones? Sol. 3,2 x 10-19 C; Dos. 13. Dos pequeas esferas estn cargadas positivamente y la carga combinada es 5 x 105 C. Cmo est distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1 N cuando las esferas estn separadas 2 m? Sol. 1,2 x10-5 C y 3,8 x 10-5 C 14. Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-q. Cul es la relacin de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separacin, tengan una repulsin coulombiana mxima? Sol. q = Q 15. Un electrn, cuya rapidez inicial es de 3,24 x 105 m/s, se lanza en direccin a un protn que est esencialmente en reposo. Si al principio el electrn se encontraba a una gran distancia del protn, a qu distancia de ste su rapidez instantnea es igual al doble de su valor inicial?. Sol. 1,6 x 10-9 m

16. En cada vrtice de un cubo de lado a hay una carga q. Demostrar que la magnitud

de la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas es:17. Cul es la magnitud de una carga puntual que se escoge de tal forma que el campo

elctrico a 5 cm de ella tenga una magnitud de 2 N/C? Sol. 5,6 x 10-11 C18. Calcular la magnitud y la direccin de E en el punto P de la figura adjunta.

Sol.

18. Sol. 19. Una varilla delgada, no conductora, se dobla en la forma de arco circular, de radio

interno ao , y subtiende un ngulo respecto del centro del crculo. Se le distribuye uniformemente una carga q. Determinar el campo elctrico en el centro del crculo en trminos de a, q y o. 20. Entre dos placas con cargas contrarias existe un campo elctrico igual. De la superficie de la placa cargada negativamente se libera un electrn que se encontraba en reposo, hacindolo incidir despus de 1,5 x 10-8 s sobre la superficie de la placa opuesta, que se encuentra a 2 cm de distancia. Cul es la rapidez del electrn cuando incide sobre la segunda placa?. Cul es la magnitud del campo elctrico? Sol. 2,7 x 106 m/s, 1 x 103 N/C 21. Cul es la aceleracin de un electrn en un campo elctrico uniforme de 1 x 106 N/C?. Cunto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez sea un dcimo de la velocidad de la luz?. Sol. 1,8 x 1017 m/s2, 1,7 x 10-10 s B.- POTENCIAL ELCTRICO Y CONDENSADORES

1. A una distancia r de una carga puntual q, el potencial elctrico es V = 400 V y la

magnitud del campo elctrico es E= 150 N/C. Determine los valores de q y r? Sol. r = 2,7 m, q = 0,12 x 10-6 Coul 2. A que distancia desde una carga puntual de 8 el potencial elctrico es igual a 3,6 x 104 V? Sol. 2 m 3. Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca en el origen de coordenadas xyz que esta en un campo elctrico inicialmente uniforme E = Eok, el potencial elctrico resultante es V(x,y,z) = Vo para puntos dentro de las esfera y

para puntos fuera de la esfera, donde Vo es el potencial electrosttico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuacin para determinar las componentes x, y, y z del campo elctrico resultante Sol. Vx = -3*Eo*a^3*z*x/((x^2+y^2+z^2)^(5/2)) Vy = -3*Eo*a^3*z*y/((x^2+y^2+z^2)^(5/2)) Vz = -Eo + Eo*a^3/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)) - 3*Eo*a^3*z^2/((x^2+y^2+z^2)^(5/2))

4. Sol.

5. Considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente sobre su permetro. Cul es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2R del centro? 6. Un conductor esfrico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 . Calcule el campo elctrico y el potencial elctrico a 20 cm del centro. Sol. E = 5.844.673,05 N/C ; V = 1.168.934,61 V 7. Un capacitor de placas paralelas tiene un rea de placa de 12 cm2 y una capacitancia de 7 pF. Cul es la separacin entre las placas? Sol. 1,517 x 10-3 m 8. Un capacitor esfrico esta compuesto por una bola conductora de 10 cm de radio que esta centrada en el interior de un cascarn esfrico conductor de 12 cm de radio interior. Qu carga de capacitor se requiere para alcanzar un potencial de 1000 V en la bola? Sol. 6,67 x 10-8 C9. Un grupo de capacitores idnticos se conecta en serie y despus en paralelo. La

capacitancia combinada en paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la conexin en serie. Cuntos capacitores estn en el grupo? Sol. 10 11. Calcule la energa, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuacin: 10. Un capacitor de placas paralelas de 16 pF se carga por medio de una batera de 10 V. Si cada placa del capacitor tiene un rea de 5 cm2; a) cul es el valor de la

energa almacenada en el capacitor?, b) Cual es la densidad de energa (energa por unidad de volumen) en el campo elctrico del capacitor si las placas estn separadas por aire?. kaire = 1.00059, rigidez dielctrica =3 x 106 V/cm. Sol. 0.8 x 10-9 = 5.782 x 10-3 Joules ; Joules/m3

Condensador C1 Voltaje (V) Energa (J) 12. 1,204

C2 1,204

C3 2,407

C4 1,204

C5 1,204

C6 4,796

C7 4,796

Carga (Coul) 1,20 E-06 1,20 E-06 2,40 E-06 1,20 E-06 1,20 E-06 4,80 E-06 4,80 E-06 5,00 E-07 5,00 E-07 4,99 E-07 5,00 E-07 5,00 E-07 5,00 E-07 5,00 E-07

13. Se carga un capacitor de 100 pF hasta una diferencia de potencial de 50 V, y

despus se desconecta la batera. A continuacin se le conecta en paralelo otro capacitor (que inicialmente estaba descargado). Si la diferencia de potencial disminuye hasta 35 , Cul es la capacitancia del segundo capacitor?. Sol. 43 pF 14. Calcular la capacitancia de la Tierra, considerndola como un conductor esfrico de 6.400 Km de radio. F Sol. 710 15. Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen con una fuerza dada por la expresin: 16. Un material especfico tiene una constante dielctrica de 2,8 y una intensidad dielctrica de 18 x 106 V/m. Si este material se usa como dielctrico en un capacitor

de placas paralelas, Cul debe ser el rea mnima de las placas del capacitor para tener una capacitancia de 7 x F y para que el capacitor pueda soportar una 10-2 diferencia de potencial de 4.000 V? Sol. 0,63 m2 17. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dielctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente est dada por:

12.

13.18. Sobre una pompa de jabn descargada, de radio Ro, se coloca una carga q.

Debido a la repulsin mutua de las cargas en la superficie de la pompa, su radio aumenta hasta un valor R. Demostrar que: . En donde p es la presin atmosfrica. Sugerencia: el trabajo realizado por la pompa en contra de la atmsfera debe ser igual a la disminucin en la energa del campo elctrico almacenada que se produce en la expansin, en

virtud del principio de conservacin de la energa. Suponga que la presin es constante e ignore la tensin superficial). 19. Una esfera metlica aislada de 10 cm de dimetro tiene un potencial de 8.000 V. Cul es la densidad de energa en la superficie de las esfera? Sol. 0,11 J/m3 20. Un capacitor esfrico consta de dos esferas huecas concntricas de radios a y b, en donde a > b. Demostrar que su capacitancia es:14. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dielctricos, tal como se muestra

en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente est dada por:

C.- LEY DE GAUSS1. La intensidad del campo elctrico terrestre cerca de su superficie es 130 N/C y

apunta hacia abajo. Cul es la carga de la Tierra, suponiendo que este campo sea causado por tal carga?. Sol. 6 x105 C 2. Una esfera metlica hueca de paredes delgadas y de radio a tiene una carga qa. Concntrica a ella hay otra esfera metlica hueca de paredes delgadas de radio b (b>a), con una carga qb. Utilizar la Ley de Gauss para encontrar el campo elctrico en puntos que se encuentran a una distancia r del centro de las esferas cuando: r