INSTITUTO TECNOLGICO DE CAMPECHE

INSTITUTO TECNOLGICO DE CAMPECHEINGENIERA INDUSTRIAL

PRUEBAS DE BONDAD Y AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICASTRABAJO NUMERO: 9

JOSU DANIEL CASTILLO MOOESTADISTICA INFERENCIAL.- UNIDAD IVGRUPO. VI3

SAN FRANCISCO DE CAMPECHE A 24 DE NOVIEMBRE DEL 2014UNIDAD IV.- PRUEBAS DE BONDAD Y AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICASCOMPETENCIAS ESPECFICAS A DESARROLLAR:-IDENTIFICAR Y APLICAR LOS CONCEPTOS DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.-ESTABLECER CUAL ES LA METODOLOGIA APLICABLE A UNA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE.-IDENTIFICAR Y APLICAR LOS CONCEPTOS DE UNA PRUEBA NO PARAMETRICA.-- TEMAS DE INVESTIGACION CONCEPTUAL

BONDAD DE AJUSTE2oANALISIS JI-CUADRADA3oPRUEBA DE INDEPENDENCIA4oP. D/LA BONDAD DEL AJUSTE10oTABLAS DE CONTINGENCIA13PRUEBAS NO PARAMETRICAS17oESCALA DE MEDICION18oPRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA LA MEDIANA20oPRUEBA DE SUMAS DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA LA DIFERENCIA ENTRE 2 MEDIANAS (2 POBLACIONES INDEPENDIENTES)22oPRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA LA DIFERENCIA DE 2 MEDIANAS ( 2 POBLACIONES DEPENDIENTES, DATOS PAREADOS)24oPRUEBA DE CORRIDAS26METODOS ESTADISTICOS CONTRA NO PARAMETRICOS27oPRUEBAS PARA VERIFICAR LA NORMALIDAD EN UN GRUPO DE DATOS33oPRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV33oPRUEBA DE ANDERSON DARLING35oPRUEBA DE RYAN JOINER36oPRUEBA DE SHAPPIRO WILK36BIBLIOGRAFIA BASICA37

BONDAD DE AJUSTELas pruebas de bondad de ajuste tratan de verificar si el conjunto de datos se puede ajustar o afirmar que proviene de una determinada distribucin.Las pruebas bsicas que pueden aplicarse son: la ji-cuadrada y la prueba de Smirnov - Kolmogorov. Ambas pruebas caen en la categora de lo que en estadstica se denominan pruebas de Bondad de Ajuste y miden, como el nombre lo indica, el grado de ajuste que existe entre la distribucin obtenida a partir de la muestra y la distribucin terica que se supone debe seguir esa muestra. Ambas pruebas estn basadas en la hiptesis nula de que no hay diferencias significativas entre la distribucin muestral y la terica, H0 es la distribucin que se supone sigue la muestra aleatoria. La hiptesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribucin supuesta.Hablamos de bondad de ajuste cuando tratamos de comparar una distribucin de frecuencia observada con los valores correspondientes de una distribucin esperada o terica. Algunos estudios producen resultados sobre los que no podemos afirmar que se contribuyen normalmente, es decir con forma acampanada concentradas sobre la media.Su frmula es la siguiente: = Valor observado en la i-simo dato.= Valor esperado en la i-simo dato. = Categoras o celdas. = Parmetros estimados sobre la base de los datos de la muestraLos grados de libertad vienen dados por: gl= K-m-1. Criterio de decisin es el siguiente:

Se rechaza H0 cuando . En caso contrario se acepta.Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, segn el nivel de significacin elegido.Cuanto ms se aproxima a cero el valor de chi-cuadrada, ms ajustadas estn ambas distribuciones.ANALISIS JI-CUADRADAEs considerada como una prueba no paramtrica que mide la discrepancia (bondad de ajuste) entre una distribucin observada a partir de la muestra y otra terica que se supone debe seguir esa muestra, indicando en qu medidas las diferencias existentes entre ambas se deben al azar en el contraste de la hiptesis.Esta prueba se basa en la hiptesis nula H0 de que no hay diferencias significativas entre la distribucin muestral y la terica.La estructura bsica de la prueba para la bondad de ajuste se muestra en la siguiente tabla:ClasesFrecuencia observadaFrecuencia esperada

1Foi1Fe1

2Foi2Fe2

...

...

KFoikFek

Total NN

Donde para calcular la Frecuencia esperada se tiene:

Frmula para el anlisis de ji-cuadrada

Interpretacin: cuanto mayor sea el valor de ji-cuadrada menos creble es la hiptesis nula H0. De la misma forma, cuanto ms se aproximan acero el valor de , ms ajustadas estn las distribuciones. H0 se acepta H0 se rechazaPRUEBA DE INDEPENDENCIALa prueba de independencia trata de la comparacin de dos situaciones en las cuales podemos esperar que sean dependientes o independientes, esto quiere decir que, pueden o no estar relacionados sus datos debido a muchos factores que pueden influir en ellos, o bien, un problema no tenga relacin con otro.Su objetivo es determinar si alguna situacin es afectada por otra, basndose en datos estadsticos y valores probabilstico obtenidos de la tabulacin de datos o de pronsticos por medio de formulas y tablas, para esto se basaen un nivel de significancia en un caso y en el otro a comparar, valindonos de tablas de contingencia para obtener frecuencias esperadas y poder aplicarlas, para as obtener datos comparativos que son determinantes en la decisin de independencia. Para todas las pruebas de independencia, las hiptesis son:H0: las dos variables de clasificacin son independientes.H1: las dos variables de clasificacin son dependientes.Los mtodos para poner a prueba H0 contra H1 son idnticos a los usados para poner a prueba las diferencias entre proporciones poblacionales basados en la prueba de 2. De nuevo compararemos las frecuencias observadas con las esperadas, las obtenidas bajo el supuesto de que H0, para determinar que tan grande debe ser el alejamiento permitido para que la hiptesis de independencia pueda rechazarse. Si el valor del estadstico de prueba 2 es mayor o igual que el valor critico calculado, ya no podremos suponer que pueda resultar de dos variables de clasificacin independientes, siendo esta la razn de que todas las pruebas de 2 sobre independencia sean de cola derecha. La estadstica de prueba que ser utilizada en la toma de una decisin acerca de la hiptesis nula es ji cuadradoX2. Los valores de ji-cuadrada se obtienen con la siguiente frmula: Grados de libertad v = (r-1)*(c-1)Frecuencia Esperada =Total de la columna * Total del rengln Gran total

Caractersticas X2toma valores no negativos; es decir, puede ser cero o positiva. X2no es simtrica; es asimtrica hacia la derecha. Existen muchas distribucionesX2como en el caso de la distribucin t, hay una distribucin,X2diferente para cada valor de los grados de libertad. Nos dan una tabla de contingencia.El procedimiento de la prueba ji-cuadrada puede tambin utilizarse para probar la hiptesis de independencia de dos variables de clasificacin.Ejemplo: Supngase que desea determinar si las opiniones de los residentes votantes del estado de Illinois respecto a una nueva reforma impositiva son independientes de sus niveles de ingreso. Una muestra aleatoria de 1000 votantes registrados del estado de Illinois se clasifica de acuerdo con sus ingresos como bajo, medio y alto y si estn a favor o en contra de la nueva reforma impositiva. Las frecuencias observadas se presentan en la siguiente tabla, la cual se conoce como una tabla de contingencia.

Tabla de contingencia 2 x 3Reforma impositivaNivel de ingresosTotal

BajoMedioAlto

A favorEn contra182154213138203110598402

Total3363513131000

A una tabla de contingencia con r renglones y c columnas se le conoce como una tabla r x c (r x c se lee r por c), a los totales de renglones y columnas en la tabla anterior se les denomina frecuencia marginales. La decisin de aceptar o rechazar la hiptesis nula, H0, de independencia entre la opinin de votantes respecto a la nueva reforma de impuestos y su nivel de ingresos se basan en que tan bien se ajustan las frecuencias observadas en cada una de las 6 celdas de la tabla, y las frecuencias que se esperaran para cada celda bajo la suposicin de que H0 es verdadera. Para encontrar estas frecuencias esperadas, defnanse los siguientes eventos:L: una persona seleccionada esta en el nivel bajo de ingresos.M: una persona seleccionada esta en el nivel medio de ingresos.H: una persona seleccionada esta en el nivel alto de ingresos.F: una persona seleccionada est a favor de la nueva reforma fiscal.A: una persona seleccionada est en contra de la nueva reforma fiscal.

Al utilizar las frecuencias marginales, es posible escribir las siguientes estimaciones de probabilidad: , , , , Ahora si H0 es verdadera y las dos variables son independientes, debe tenerse: P (LF) = P (L) P (F) = , P (LA) = P (L) P (A) = , P (MF) = P (M) P (F) = , P (MA) = P (M) P (A) = , P (HF) = P (H) P (F) = , P (HA) = P (H) P (A) = .Las frecuencias esperadas se obtienen al multiplicar cada probabilidad de una celda por el nmero total de observaciones. Como antes, estas frecuencias se redondean a un decimal de esta manera el nmero esperado de votantes de bajos ingresos en la muestra y que favorecen la nueva reforma impositiva, se estima que es: x 100 = = 200.9 Cuando H0 es verdadera. La regla general para obtener la frecuencia esperada de cualquier celda la proporciona la siguiente frmula: Frecuencia Esperada =Total de la columna * Total del rengln Gran total

La frecuencia esperada para cada celda se registra entre parntesis a un lado del valor observado real en la siguiente tabla. Ntese que la suma de las frecuencias esperadas en cualquier rengln o columna da el total marginal o apropiado. Reforma impositivaNivel de ingresosTotal

BajoMedioAlto

A favorEn contra182(200.9)154(135.1)213(209.9)138(141.1)203(187.2)110(125.8)598402

Total3363513131000

En el ejemplo, se necesitan calcular nicamente las dos frecuencias esperadas del rengln de arriba de la tabla y entonces encontrar las otras por sustraccin. El numero de grados de libertad asociado a la prueba ji cuadrada que se utiliza aqu es igual al nmero de frecuencias de celdas que pueden llenarse libremente cuando se dan los totales marginales y el gran total; en este ejemplo ese nmero es 2. Una formula simple que proporciona el nmero correcto de grados de libertad es:v = (r-1)*(c-1)de aqu que, para este ejemplo V = (2-1)*(3-1) = 2 grados de libertad. Para probara la hiptesis nula de independencia, se utiliza el siguiente criterio de decisin: Prueba De Independencia: Calclese:

Donde la sumatoria se extiende a todas las celdas rc en la tabla de contingencia r x c. Si > con v = (r-1)(c-1) grados de libertad se rechaza la hiptesis nula de independencia en el nivel de significancia ; de lo contrario, se acepta la hiptesis nula.Al aplicar este criterio a este ejemplo, se encuentra que: + + + + + = 7.85P0.02De la tabla de Valores crticos de las distribuciones 2 resulta que = 5.991 para v= (2-1) (3-1) = 2 grados de libertad. La hiptesis nula se rechaza. Se concluye que la opinin de un votante referente a la nueva reforma fiscal y su nivel de ingresos no son independientes.Es importante recordar que el estadstico sobre el cual se basa la decisin tiene una distribucin que solo se aproxima por la distribucin JI cuadrada.Los valores calculados 2 dependen de las frecuencias de la celda y, en consecuencia, son discretos. La distribucin ji cuadrada continua parece aproximar muy bien la distribucin muestral discreta de x2 en la medida en la que el numero de grados de libertad sea mayor que 1. En una tabla de contingencia de 2 x 2, donde se tiene nicamente un grado de libertad, se aplica una correccin que recibe el nombre de correccin de yates para continuidad.La formula corregida se convierte entonces en:

Si las frecuencias esperadas de celdas son grandes, los resultados corregidos y sin corregir son casi los mismos. Cuando las frecuencias esperadas estn entre 5 y 10, debe aplicarse la correccin de Yates. Para frecuencias esperadas menores que 5, debe utilizarse la prueba exacta de Fisher-Irwin. Sin embargo, puede evitarse el uso de la prueba Fisher-Irwin al seleccionar una muestra grande.P. D/LA BONDAD DEL AJUSTEEs considerada como una prueba no paramtrica que mide la discrepancia entre una distribucin observada y otra terica, indicando en qu medida las diferencias existen entre ambas.En este tema se describe un procedimiento formal para probar la bondad de ajuste basado en la distribucin ji- cuadrada. El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamao n de la poblacin cuya distribucin de probabilidad es desconocida. stas n observaciones se ordenan en un histograma de frecuencia, con k intervalos de clase. Sea Oi la frecuencia observada en el intervalo de clase i. Se calcula la frecuencia esperada a partir de la distribucin de probabilidad hipottica, para el intervalo de clase i-simo, denotado por Ei, el estadstico de prueba es: Para demostrar que si la poblacin sigue la distribucin hipottica propuesta, tiene, aproximadamente, una distribucin ji-cuadrada en donde los grados de libertad vienen dados por: gl= K-m-1 donde m representa el numero de parmetros de la distribucin hipottica, estimados por los estadsticos muestrales. Esta aproximacin mejora conforme n se incrementa. El criterio de decisin es el siguiente: Se rechaza H0 cuando el valor del estadstico de prueba . En caso contrario se acepta.Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, segn el nivel de significacin elegido.Cuanto ms se aproxima a cero el valor de ji-cuadrada, ms ajustadas estn ambas distribuciones.Un punto que cabe destacar en la aplicacin de este procedimiento de prueba se refiere a la magnitud de las frecuencias esperadas. Si stas frecuencias esperadas son muy pequeas, entonces el estadstico de prueba no reflejar la desviacin de las frecuencias observadas y las esperadas, no nicamente la pequea magnitud de las frecuencias esperadas. No hay consenso generalizado en cuanto al valor mnimo de las frecuencias esperadas, pero valores de 3, 4 y 5 se usan ampliamente como mnimos. Algunos autores proponen que una frecuencia esperada podra ser tan pequea, como 1 o 2, siempre que la mayora de ellas excedan 5. Cuando una frecuencia esperada sea muy pequea, puede cambiarse con la frecuencia esperada de un intervalo de clase adyacente. Las frecuencias observadas correspondientes tambin se combinaran, y k se reducira una unidad. No es necesario que los intervalos de clase tengan la misma anchura.Ejemplo: Una distribucin continua.Un ingeniero est probando una fuente de poder usada en una computadora notebook. Utilizando = 0.05, el quiere determinar si una distribucin normal describe adecuadamente el voltaje de salida. De una muestra aleatoria de n = 100 unidades obtiene las estimaciones muestrales de la media y la desviacin estndar x = 5.04 V y s = 0.08 V.Una prctica comn cuando se construyen los intervalos de clase para la distribucin de frecuencia usada en la prueba ji-cuadrada de la bondad del ajuste es elegir los limites de clase de las celdas de tal modo que las frecuencias esperadas Ei = npi sean iguales para todas lsa celdas o intervalos de clase. Para usar este mtodo, los limites de clase a0,a1,,ak de los k intervalos de clase se elegiran de tal modo que todas las probabilidades= sean iguales. Suponga que se decide usar k = 8 intervalos de clase. Para la distribucin normal estndar, los intervalos que dividen la escala en ocho segmentos igualmente factibles son [ 0, 0.32), [0.32, 0.675), [0.675, 1.15), [1.15,) y los cuatro intervalos reflejados al otro lado de cero. Para cada intervalo pi = 1/8 = 0.125, por lo que las frecuencias esperadas de las celdas son Ei = npi = 100(0.125) = 12.5. La tabla completa de las frecuencias observadas y las esperadas se presenta a continuacin:

Intervalo de clase frecuencia observada frecuencia observada Oi Ei

x < 4.948 12 12.5

4.948 x < 4.986 14 12.5

4.986 x < 5.014 12 12.5

5.014 x < 5.040 13 12.5

5.040 x < 5.066 12 12.5

5.066 x < 5.094 11 12.5

5.094 x < 5.132 12 12.5

5.132 x 14 12.5

Totales 100 100

La cota del primer intervalo de clase es x 1.15s = 4.948. Para el segundo intervalo de clase es [x 1.15s, x 0.675s), y as sucesivamente. Puede aplicarse el procedimiento de prueba de hiptesis de ocho pasos en este problema.1. La variable de inters es la forma de la distribucin del voltaje de la fuente de poder.2. H0: la forma de la distribucin es normal.3. H1: la forma de la distribucin no es normal.4. = 0.055. el estadstico de la prueba es:

6. puesto que se estimaron dos parmetros de la distribucin normal, el estadstico ji-cuadrada anterior tiene k-p-1 = 8-2-1 = 5 grados de libertad. Por lo tanto, se rechazar H0 si > = 11.077. clculos

8. conclusiones: puesto que = 0.64 < = 11.07 no puede rechazarse H0 y no hay evidencia robusta que indique que el voltaje de salida no tenga una distribucin normal. El valor P del estadstico ji-cuadrada = 0.64 es P = 0.9861.

TABLAS DE CONTINGENCIAEn muchas ocasiones, los n elementos de una muestra de una poblacin pueden clasificarse con base en dos criterios diferentes. Entonces es de inters saber si los dos mtodos de clasificacin son estadsticamente independientes.Suponga que el primer mtodo de clasificacin tiene r niveles y que el segundo tiene c niveles. Ser Oij la frecuencia observada del nivel i del primer mtodo de clasificacin y el nivel j del segundo mtodo de clasificacin. Los datos apareceran, en general, como en la siguiente tabla. A una tabla como esta se le llama tabla de contingencia r x c.TABLA DE CONTINGENCIA r x c Columnas

1 2 c

Renglones 1O11O12O1c

2O21O22O2c

............

...

rOrlOr2Orc

En estadstica las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relacin entre dos o ms variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales).Sea Pij la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar est en la celda ij, dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces pij = uivj, donde ui es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar este en la clase del rengln i y vj es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar est en la clase de la columna j. ahora bien, con el supuesto de independencia, los estimadores de ui y vj son

Por lo tanto, la frecuencia esperada de cada celda es

Entonces, para n grande, el estadstico

Tiene una distribucin ji-cuadrada aproximada con (r-1) (c-1) grados de libertad si la hiptesis nula es verdadera. Por lo tanto, la hiptesis de independencia se rechazara si el valor observado del estadstico de prueba excediera .Para calcular grados de libertad se tiene la siguiente frmula:gl= (r-)(c-1)NOTA: El clculo de grados de libertad nos dar la pauta para calcular el valor total de frecuencias.Ejemplo: Una compaa tiene que elegir entre tres planes de pensiones. La administracin quiere saber si la preferencia por los planes es independiente de la clasificacin laboral y desea usar = 0.05.En la siguiente tabla se muestran las opiniones de una muestra aleatoria de 500 empleados.Clasificacin laboralPlan de pensin

1 2 3 totales

Trabajadores asalariadosTrabajadores por hora16040140604060340160

Totales 200200100500

Para encontrar las frecuencias esperadas, primero debe calcularse = 0.68, 0.32, 0.40 y 0.20. Ahora pueden calcularse las frecuencias esperadas con la ecuacin

Por ejemplo, el nmero esperado de trabajadores asalariados que prefieren el plan de pensin 1 es

En la siguiente tabla se muestran las frecuencias esperadas.

Clasificacin laboralPlan de pensin

1 2 3 totales

Trabajadores asalariadosTrabajadores por hora136 64136 646832340160

Totales 200200100500

Ahora puede aplicarse el procedimiento de prueba de hiptesis de ocho pasos en este problema.1. La variable de inters es la preferencia de los empleados entre los planes de pensiones.2. H0: la preferencia es independiente de la clasificacin laboral asalariado o por horas.3. H1: la preferencia no es independiente de la clasificacin laboral asalariado o por horas.4. = 0.055. el estadstico de prueba es

6. puesto que r = 2 y c = 3, los grados de libertad de ji-cuadrada son (r-1) (c-1)= (1)(2) = 2, se rechazara H0 si > = 5.99

7. clculos

8. conclusiones: puesto que = 49.63 > , se rechazar la hiptesis de independencia y se concluye que la preferencia por los planes de pensiones no es independiente de la clasificacin laboral. El valor P para = 49.63 es P = 1.671 x 10-11.

PRUEBAS NO PARAMETRICASLa mayor parte de los procedimientos de prueba de hiptesis que se presentan en las unidades anteriores se basan en la suposicin de que las muestras aleatorias se seleccionan de poblaciones normales. Afortunadamente, la mayor parte de estas pruebas an son confiables cuando experimentamos ligeras desviaciones de la normalidad, en particular cuando el tamao de la muestra es grande. Tradicionalmente, estos procedimientos de prueba se denominan mtodos paramtricos. En esta seccin se consideran varios procedimientos de prueba alternativos, llamados no paramtricos mtodos de distribucin libre, que a menudo no suponen conocimiento de ninguna clase acerca de las distribuciones de las poblaciones fundamentales, excepto que stas son continuas.Los procedimientos no paramtricos o de distribucin libre se usan con mayor frecuencia por los analistas de datos. Existen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniera donde los datos se reportan no como valores de un continuo sino ms bien en una escala ordinal tal que es bastante natural asignar rangos a los datos.Se debe sealar que hay desventajas asociadas con las pruebas no paramtricas. En primer lugar no utilizan la informacin que proporciona la muestra, y por ello una prueba no paramtrica ser menos eficiente que el procedimiento paramtrico correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos mtodos. En consecuencia, para lograr la misma eficiencia, una prueba no paramtrica requerir la correspondiente prueba paramtrica.Como se indic anteriormente, ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramtricas estndar.EJEMPLO.-Dos jueces deben clasificar cinco marcas de cerveza de mucha demanda mediante la asignacin de un grado de 1 a la marca que se considera que tiene la mejor calidad global, un grado 2 a la segunda mejor, etctera. Se puede utilizar entonces una prueba no paramtrica para determinar donde existe algn acuerdo entre los dos jueces.Se debe sealar que hay varias desventajas asociadas con las pruebas no paramtricas. En primer lugar, no utilizan la informacin que proporciona la muestra, y por ello una prueba no paramtrica ser menos eficiente que el procedimiento paramtrico correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos mtodos. En consecuencia, para lograr la misma potencia, una prueba no paramtrica requerir la correspondiente prueba no paramtrica.Como se indic antes, ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramtricas estndar. Esto es cierto en particular para la prueba t y la prueba F. En el caso de la prueba t y la prueba F, el valor P citado puede ser ligeramente errneo si existe una violacin moderada de la suposicin de normalidad.En resumen, si se puede aplicar una prueba paramtrica y una no paramtrica al mismo conjunto de datos, debemos aplicar la tcnica paramtrica ms eficiente. Sin embargo, se debe reconocer que las suposiciones de normalidad a menudo no se pueden justificar, y que no siempre se tienen mediciones cuantitativas.

ESCALA DE MEDICIONDefinicin de escalaCualquier recurso para determinar la magnitud o cantidad de un objeto o hecho de cualquier clase; instrumento para asignar un nmero o guarismo que indicar cunto hay de algo; un recurso de medicin que provee un conjunto de normas (numeradas de acuerdo con ciertas reglas de trabajo) con las que se puede comparar el objeto que ser medido, para asignarle un nmero o valor matemtico que represente su magnitud. El trmino es de amplia aplicacin: una escala de alguna clase est incluida en toda medicin o estimacin. Implcito en cada caso hay un conjunto de reglas para asignar nmeros o valores: son estas reglas las que dan significado a las cantidades. Los objetos pueden ser perceptuales o conceptuales.La escala de medida de una caracterstica tiene consecuencias en la manera de presentacin de la informacin y el resumen. La escala de medicin-grado de precisin de la medida de la caracterstica tambin determina los mtodos estadsticos que se usan para analizar los datos. Por lo tanto, es importante definir las caractersticas por medir. Las escalas de medicin ms frecuentes son las siguientes: Escala Nominal.- No poseen propiedades cuantitativas y sirven nicamente para identificar las clases. Los datos empleados con las escalas nominales constan generalmente de la frecuencia de los valores o de la tabulacin de nmero de casos en cada clase, segn la variable que se est estudiando. El nivel nominal permite mencionar similitudes y diferencias entre los casos particulares. Los datos evaluados en una escala nominal se llaman tambin "observaciones cualitativas", debido a que describen la calidad de una persona o cosa estudiada, u "observaciones categricas" porque los valores se agrupan en categoras. Por lo regular, los datos nominales o cualitativos se describen en trminos de porcentaje o proporciones. Para exhibir este tipo de informacin se usan con mayor frecuencia tablas de contingencia y grficas de barras.Escala Ordinal.- Las clases en las escalas ordinales no solo se diferencian unas de otras (caracterstica que define a las escalas nominales) sino que mantiene una especie de relacin entre s. Tambin permite asignar un lugar especfico a cada objeto de un mismo conjunto, de acuerdo con la intensidad, fuerza, etc.; presentes en el momento de la medicin. Una caracterstica importante de la escala ordinal es el hecho de que, aunque hay orden entre las categoras, la diferencia entre dos categoras adyacentes no es la misma en toda la extensin de la escala. Algunas escalas consisten en calificaciones de mltiples factores que se agregan despus para llegar a un ndice general.Debe mencionarse brevemente una clase espacial de escala ordinal llamada "escala de posicin", donde las observaciones se clasifican de mayor a menor (o viceversa). Al igual que en las escalas nominales, se emplean a menudo porcentajes y proporciones en escalas ordinales.Escala de Intervalo.- Refleja distancias equivalentes entre los objetos y en la propia escala. Es decir, el uso de sta escala permite indicar exactamente la separacin entre 2 puntos, lo cual, de acuerdo al principio de isomorfismos, se traduce en la certeza de que los objetos as medidos estn igualmente separados a la distancia o magnitud expresada en la escala.Escala de Razn.- Constituye el nivel ptimo de medicin, posee un cero verdadero como origen, tambin denominada escala de proporciones. La existencia de un cero, natural y absoluto, significa la posibilidad de que el objeto estudiado carezca de propiedad medida, adems de permitir todas las operaciones aritmticas y el uso de nmeros representada cantidades reales de la propiedad medida.Con esto notamos que esta escala no puede ser usada en los fenmenos psicolgicos, pues no se puede hablar de cero inteligencia o cero aprendizaje, etc.

PRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA LA MEDIANALaprueba de los rangos con signo de Wilcoxones unapruebano paramtricapara comparar lamedianade dos muestras relacionadas y determinar si existen diferencias entre ellas. Se utiliza como alternativa a laprueba t de Studentcuando no se puede suponer la normalidad de dichas muestras. Debe su nombre aFrank Wilcoxon, que la public en 1945.1Es una prueba no paramtrica de comparacin de dos muestras relacionadas, debe cumplir las siguientes caractersticas: Es libre de curva, no necesita una distribucin especfica Nivel ordinal de la variable dependiente Se utiliza para comparar dos mediciones de rangos (medianas) y determinar que la diferencia no se deba al azar (que la diferencia sea estadsticamente significativa).

Se utiliza cuando la variable subyacente es continua pero no se presupone ningn tipo dedistribucinparticular.PlanteamientoSuponga que se dispone denpares de observaciones, denominadas. El objetivo del test es comprobar si puede dictaminarse que los valoreseson o no iguales.Suposiciones1. Si, entonces los valoresson independientes.1. Los valorestienen una misma distribucin continua y simtrica respecto a una mediana comn.

MtodoLahiptesis nulaes:. Retrotrayendo dicha hiptesis a los valoresoriginales, sta vendra a decir que son en cierto sentido del mismo tamao.Para verificar la hiptesis, en primer lugar, se ordenan los valores absolutosy se les asigna surango. Entonces, el estadstico de la prueba de los signos de Wilcoxon,, es

es decir, la suma de los rangoscorrespondientes a los valores positivos de.La distribucin del estadsticopuede consultarse en tablas para determinar si se acepta o no la hiptesis nula.En ocasiones, esta prueba se usa para comparar las diferencias entre dos muestras de datos tomados antes y despus del tratamiento, cuyo valor central se espera que sea cero. Las diferencias iguales a cero son eliminadas y el valor absoluto de las desviaciones con respecto al valor central son ordenadas de menor a mayor. A los datos idnticos se les asigna el lugar medio en la serie. La suma de los rangos se hace por separado para los signos positivos y los negativos.Srepresenta la menor de esas dos sumas. ComparamosScon el valor proporcionado por las tablas estadsticas al efecto para determinar si rechazamos o no la hiptesis nula, segn el nivel de significacin elegido.

PRUEBA DE SUMAS DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA LA DIFERENCIA ENTRE 2 MEDIANAS (2 POBLACIONES INDEPENDIENTES)Esta prueba es un procedimiento libre de distribucin poderoso, muy sencillo y ampliamente utilizado, para probar las diferencias entre las medianas de dos poblaciones. Adems, la prueba de suma de rangos de wilcoxon es un procedimiento excelente a escoger cuando solamente se pueden obtener datos del tipo ordinal, como sucede a menudo cuando tratamos con estudios sobre comportamientos de consumo, investigaciones de mercado y psicologa experimental. Esta prueba se emplea en combinacin con el diseo de grupos independientes, con datos que tienen por lo menos una escala ordinal, puede sustituir a la prueba t student cuando sta no cumple con la suposicin de normalidad de su poblacin. La hiptesis nula y alternativa se enuncia sin mencionar los parmetros de la poblacin.Tambin puede emplearse en lugar de la prueba t cuando los datos no se encuentran en una escala de razn o intervalo. Bsicamente compara la diferencia entre las medianas de dos grupos.Procedimiento:Para efectuar la prueba de suma de rangos de wilcoxon debemos sustituir las observaciones de las dos muestras de tamaos n1 y n2 por sus rangos combinados. Los rangos son asignados de tal manera que el rango 1 se asigna a la ms pequea de las n = n1 + n2 observaciones combinadas, el rango 2 se le asigna a la siguiente ms alta y as sucesivamente, de modo que el rango n queda asignado a la observacin mas grande.Si varias observaciones tienen el mismo valor, asignamos a cada una de estas el promedio de los rangos que, en otra circunstancia, se les habra asignado.Por cuestiones de comodidad, siempre que los dos tamaos de muestras sean distintos, haremos que n1 represente el de la muestra ms pequea y que n2 corresponda al de la ms grande. La estadstica de prueba de suma de rangos de wilcoxon, T1, es simplemente la suma de rangos asignados a las n1 observaciones de la muestra ms pequea.Para cualquier valor entero n, la suma de los n primeros enteros consecutivos puede calcularse fcilmente como n(n + 1)/2. La estadstica de prueba, T1, mas la suma de los rangos asignados a los n2 elementos de la segunda muestra, T2, por consiguiente, debe sr igual a este valor; es decir, De modo que esta ecuacin puede servir como una verificacin del procedimiento de asignacin de rangos. La prueba de hiptesis nula puede ser de dos extremos o de un extremo dependiendo de si estamos probando si las dos medianas de poblacin son exclusivamente diferentes o si una de ellas es mayor que la otra.

Cuando los tamaos de ambas muestras n1 y n2 son 10, se puede usar la tabla para obtener los valores crticos de la estadstica de prueba T1 para pruebas de uno y dos extremos, a varios niveles de significacin.Para una prueba de dos extremos y para un nivel particular de significacin , si el valor calculado de T1 es igual o mayor que el valor critico superior o si es menor o igual que el valor critico inferior, la hiptesis nula pude ser rechazada.Para pruebas de un extremo que tiene la hiptesis alternativa H1: M1 < M2, la regla de decisin consiste en rechazar la hiptesis nula si el valor observado de T1 es menor o igual que el valor critico inferior. Para la pruebas de un extremo cuya hiptesis alternativa sea H1: M1 > M2, la regla de decisin consiste en rechazar la hiptesis nula si el valor observado de T1 es igual o mayor que el valor critico superior.Utilizamos como estadstico de prueba:Donde: T1 = suma de rangos de la primera muestras.N1 = nmero de observaciones de la primera muestra.N2 = numero de observaciones de la segunda muestra.Basndonos en el nivel de significacin seleccionado, la hiptesis nula puede ser rechazada si el valor Z calculado cae en la regin de rechazo apropiada, dependiendo de si se trata de una prueba de dos extremos o de uno solo.

PRUEBA DE RANGOS CON SIGNO DE WILCOXON PARA LA DIFERENCIA DE 2 MEDIANAS ( 2 POBLACIONES DEPENDIENTES, DATOS PAREADOS)

UTILIDAD Es til para probar la aseveracin de que una muestra proviene de una poblacin con una mediana especfica. Se emplea para grupos correlacionados (datos apareados) y cuyos datos no siguen una distribucin normal Esta prueba toma en cuenta la magnitud como la direccin de los puntajes de diferencia Puede emplearse en lugar de la prueba t para grupos dependientes cuando no se tiene certeza de la distribucin de la muestra y no se tiene datos sobre la poblacinEs una prueba no par mtrica que utiliza rangos ordenados de datos mustrales consistentes en datos apareados. Se usa para probar las diferencias en las distribuciones poblacionales y se basa en los siguientes supuestos: Los datos consisten en datos apareados que se seleccionan aleatoriamente. La podemos emplear para evaluar si dos grupos dependientes tienen distribuciones similares. La distribucin de las diferencias tiene una distribucin que es aproximadamente simtrica. Los datos dentro de cada pareja deben ser por lo menos de mediciones ordinales. Para calcular Tobt hay que ordenar por rangos de puntaje de diferencia.

Suposiciones y pasos a considerar:1. Los datos se ordenan de acuerdo a un criterio, por ejemplo del ms pequeo al ms grande, o del mayor a menor, etc.2. El rango es el nmero que se asigna a un elemento muestral individual de acuerdo con su orden en la lista ordenada3. Se descartan todas las diferencias iguales a cero y se ordenan y etiquetan las diferencias absolutas restantes, desde la mnima hasta la mxima.4. Cuando las diferencias son iguales se les asigna la clasificacin media a sus posiciones ordenadas en el conjunto combinado de datos5. La idea bsica que est detrs de la prueba del signo es el anlisis de las frecuencias de los signos positivos y negativos para determinar si son significativamente diferentes6. Emplearemos el estadstico de prueba con base en el nmero de veces que ocurre el signo menos frecuente.

Criterios a considerar: T= se elige a la ms pequea de las siguientes sumas: La suma de los valores absolutos de los rangos negativos de las diferencias d La suma de los rangos positivos de las diferencias d Si el tamao de la muestra es menor a 30, entones empleamos estadstico T y se compara con T critico de tablas. Si el valor de TOBT es menor o igual a TCRI rechazamos Ho La suma de los rangos debe ser igual a T1 + T2 = n ( n + 1)/ 2

Entonces con respecto a las medianas:Para probar la hiptesis nula de que se muestrean dos poblaciones simtricas continuas con mediana1 = mediana2 para el caso de una muestra pareada, clasificamos las diferencias de las observaciones pareadas sin importar el signo y procedemos como en el caso de una sola muestra.

PRUEBA DE CORRIDAS

Las pruebas de las corridas, que se basan en el orden en el que se obtienen las observaciones muestrales, es una tcnica til para probar la hipoteis nula h0 de que las observaciones en realidad se extraen al azar.

Para ilustrar las pruebas de corridas. Supongamos que se encuestan 12 personas para saber si utilizan cierto producto. Se cuestionara seriamente la supuesta aleatoravilidad de la muestra si las 12 personas fueran del mismo sexo. Designaremos un hombre y una mujer con los smbolos M y F, respectivamente, y registraremos los resultados de acuerdo con su sexo en el orden en que ocurren. Subsecuencia tpica para el experimento podra ser

M M F F F M F F M M M M

DONDE AGRUPAMOS LAS SUBSECUENCIAS DE SIMBOLOS SIMILARES. TALES AGRUPAMIENTOS SE LLAMAN CORRIDAS.

Definicin: una corrida es una subsecuencia de uno o ms smbolos idnticos que representan una propiedad comn de los datos

Sin importar si las mediciones de nuestra muestra representan datos cuantitativos o cualitativos, la prueba de corridas divide los datos en dos categoras mutuamente excluyentes; masculino o femenino ; defectuoso o no defectuoso caras o cruzes; arriba o abajo; etc. En consecuencias, una secuencia siempre estar limitada a dos smbolos distintos. Sea n el numero de smbolos asociados con la categora. Entonces el tamao de la muestra n= n1 +n2

Para los n =12 smbolos en nuestra encuesta tenemos cinco corridas con la primera que contiene dos m la segunda 3 f etc. si el numero de corridas es mayor o menor que el que esperaramos al azar se debe rechazar la hiptesis de que la muestra se extrajo al azar; ciertamente, una muestra que tiene como resultado solo dos corridas.

O la inversa, es mas improbable que ocurra a partir de un proceso de seleccin aleatoria. Tal c resultado indica que las primeras siete personas entrevistadas fueron todas hombres seguidas de cinco mujeres. De la misma manera, si la muestra tiene como resultado el numero mximo de 12 corridas, como en la secuencia alternamente

M f m f m f m f m f m f

De nuevo sospechamos del orden en que se seleccionaron los individuos para la encuesta

La prueba de corridas para la aleatoriedad se basa en la variable aleatoria V el numero total de corridas que ocurren en la secuencia completa de nuestro experimento. Se dan valores de p (V 03. = 0.054. Estadstica de prueba : variable binomial x con p= 5. Clculos: despus de reemplazar cada diferencia positiva con un smbolo + `` y cada diferencia negativa con un smbolo "-, y despus descartar las dos diferencias cero ,obtenemos la secuencia+ - + - + - + - + - + - + - + - + -+ - +Para la que n= 14 y x =11. Con el uso de la aproximacin de la curva normal, encontramos que

Z= 10.5 7 = 1.87 14/2

Y entonces P= P(X 11) P ( Z>1.87)= 0.0307

6. DECISION: rechazar Ho y concluir que, en promedio, las llantas radiales mejoran la economa de combustible.

PRUEBAS PARA VERIFICAR LA NORMALIDAD EN UN GRUPO DE DATOS

Un caso especfico de ajuste a una distribucin terica es la correspondiente a la distribucin normal. Este contraste se realiza para comprobar si se verifica la hiptesis de normalidad necesaria para que el resultado de algunos anlisis sea fiable, como por ejemplo para el ANOVA.Para comprobar la hiptesis nula de que la muestra ha sido extrada de una poblacin con distribucin de probabilidad normal se puede realizar un estudio grfico y/o analtico.

PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOVRecurdese que para aplicar la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada cuando el modelo propuesto bajo es continuo, es necesario aproximar mediante el agrupamiento de los datos observados en un nmero finito de intervalos de clase. Este requisito de agrupar los datos implica tener una muestra ms o menos grande. De esta manera, la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada se encuentra limitada cuando es continua y la muestra aleatoria disponible tiene un tamao pequeo. Una prueba de bondad de ajuste ms apropiada que la chi-cuadrada cuando es continua, es la basad en la estadstica de Kolmogorov Smirnov. La prueba de Kolmogorov Smirnov no necesita que los datos se encuentren agrupados y es aplicable a muestras de tamao pequeo. sta se basa en una comparacin entre las funciones de distribucin acumulativa que se observa en la muestra ordenada y la distribucin propuesta bajo la hiptesis nula. Si esta comparacin revela una diferencia suficientemente grande entre las funciones de distribucin muestral y propuesta, entonces la hiptesis nula de que la distribucin es , se rechaza.Considrese la hiptesis nula por , en donde se especifica en forma completa. Dentese por a las observaciones ordenadas de una muestra aleatoria de tamao y defnase la funcin de distribucin acumulativa muestral como

En otras palabras, para cualquier valor ordenado de la muestra aleatoria, es la proporcin del nmero de valores en la muestra que son iguales o menores a . Ya que se encuentra completamente especificada, es posible evaluar a para algn valor deseado de , y entonces compara este ltimo con el valor correspondiente de . Si la hiptesis nula es verdadera, entonces es lgico esperar que la diferencia sea relativamente pequea. La estadstica de Kolmogorov Smirnov se define como.La estadstica tiene una distribucin que es independiente del modelo propuesto bajo la hiptesis nula. Por esta razn, se dice es una estadstica independiente de la distribucin. Lo anterior da como resultado que la funcin de distribucin para cualquier . En la tabla J del apndice, se proporcionan los valores cuantiles superiores de para varios valores de la muestra. El lector debe notar que los valores asintticos de que se encuentran en la parte inferior de la tabla proporcionan una adecuada aproximacin para los valores de mayores de 50.Para un tamao del error de tipo i, la regin crtica es de la forma

De acuerdo con lo anterior, la hiptesis se rechaza si para algn valor observado del valor se encuentra dentro de la regin crtica de tamao Como se hizo anteriormente, la estadstica de Kolmogorov Smirnov es, en general, superior a la prueba de bondad de ajuste chi cuadrada cuando los datos involucran una variable aleatoria continua, debido a que no es necesario agrupar los datos. Adems, la prueba de Kolmogorov Smirnov tiene la atractiva propiedad de ser aplicable a muestras de tamao pequeo. Por otro lado, la estadstica se encuentra limitada, ya que el modelo propuesto bajo debe especificarse en forma completa. La estadstica de Kolmogorov Smirnov no se aplica a todos aquellos casos para los que las observaciones no son inherentemente cuantitativas a consecuencia de las ambigedades que pueden surgir cuando se ordenan las observaciones.

PRUEBA DE ANDERSON DARLINGEsta prueba compara la funcin de distribucin acumulada emprica de los datos de su muestra con la distribucin esperada si los datos son normales. Si esta diferenciaobservada es suficientementegrande, la prueba rechazar lahiptesis nula de normalidad en la poblacin.En estadstica, la prueba de Anderson-Darling es una prueba no paramtrica sobre si los datos de una muestra provienen de una distribucin especfica. La frmula para el estadstico A determina si los datos (observar que los datos se deben ordenar) vienen de una distribucin con funcin acumulativa FA2 = N SDonde:

El estadstico de la prueba se puede entonces comparar contra las distribuciones del estadstico de prueba (dependiendo que F se utiliza) para determinar el P-valor.

PRUEBA DE RYAN JOINEREsta prueba evala la normalidad calculando la correlacin entre sus datos y las puntuaciones normales de sus datos. Si el coeficiente de correlacin se encuentra cercade 1, es probable que la poblacin sea normal. Laestadsticade Ryan-Joiner evala la solidez de esta correlacin; si se encuentra por debajo del valor crtico apropiado, se rechazar lahiptesisnula H0 de normalidad en la poblacin. Esta prueba es similar a la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk.

PRUEBA DE SHAPPIRO WILKEn estadstica, la prueba de ShappiroWilk, se usa para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Se plantea como hiptesis nula que una muestra X1,..., Xn proviene de una poblacin normalmente distribuida. Se considera uno de las pruebas ms potentes para el contraste de normalidad, sobre todo para muestras pequeas (n