ECUACIONES

DIFERENCIALES

¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , y si depende de más de una variable, se llama parcial

¿A QUÉ SE LE LLAMA ORDEN?

El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,

d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex dx2 dx es una ecuación diferencial de segundo orden

¿A QUÉ SE LE LLAMA GRADO?

Existe si la función incógnita que se puede expresar como un polinomio en los distintos órdenes, el grado de la ecuación diferencial se considera el grado mayor en que aparece el orden mayor.

CLASIFICACIÓN DE GRADO Y TIPOS DE GRADO Y DE ORDEN

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN LINEALES. De variables separadas Son de la forma P(x) dx + Q(y)dy = 0 Son las más sencillas de integrar. Sólo tenemos que pasar al otro lado del signo

igual uno de los sumandos e integrar en los dos lados. xdx + 2y2dy = 0 xdx = -2y2dy Integrado en los dos lados, nos queda: x2/2 = -

2/3y3 + C Ecuaciones separables Sea la ecuación diferencial dy/dx = H(x,y). Supongamos que H(x,y) = f(x)/g(y),

entonces la ecuación inicial se convierte en: f(x)dx = g(y)dy que ya podemos integrar.   Ecuaciones homogéneas Son aquellas en las que y' es una función homogénea de grado cero de x e y

(es decir, el grado de todos los términos es el mismo). Ecuaciones reducibles a homogéneas Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en

homogéneas. Diferenciales exactas Dada la ecuación diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Si se cumple P'y = Q'x la

ecuación es una diferencial exacta. Reducibles a diferencial exacta Se convierten a diferencial exacta haciendo una transformación.

Ecuación lineal Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) Ecuación de Bernoulli Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) yn   Ecuación de Riccati Son del tipo y' = X1(x) + X2(x)y + X3(x)y2

Ecuaciones de primer orden no lineales Resolubles en y' Son de la forma: a0(x,y) y 'n + a1(x,y) y 'n-1 + a2(x,y) y 'n-2 + ...+ an(x,y) = 0 Resolubles en x Cuando se puede despejar la x. Obtenemos x = f(y,y') y derivando respecto de x 1 = f'y y' + f'y' y'' haciendo el cambio y' = p e y'' = dp/dx = dp/dy dy/dx = dp/dy p tenemos una ecuación de primer orden lineal Resolubles en y Cuando se puede despejar y. Obtenemos y = f(x,y'). Hacemos y' = p. Entonces y'' = p' y' = f'x + f'y y'' p = f'x + f'p p' Que es una ecuación de primer orden y primer grado que puede ser más fácil de integrar

que la original.

Ecuación de Lagrange Son de la forma y = x f(y')  + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'. Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de

p.                  Ecuación de Clairaut Es como la de Lagrange pero con f(y') = y' y = x y' + g(y') La solución es y = Cx + g(C) Ecuaciones de orden superior Ecuaciones reducibles de orden Reducción de ecuaciones carentes de términos en y Son del tipo F(x, y', y'', ... y'n) = 0 Se resuelven reduciéndolas a otras de orden n - 1 haciendo el cambio y' = p  Ecuaciones sin x Son del tipo F(y, y', y'', ... y'n) = 0  Ecuaciones carentes de x e y Son del tipo F(y', y'', ... y'n) = 0  Ecuaciones del tipo y'n = F(y'n-2) Se reducen a otras de segundo orden haciendo el cambio z = y'n - 2 y quedan de la forma z''

= F(z). Si multiplicamos por z' dx nos queda z'' z' dx = F(z) dz cuyo primer miembro es la diferencial de z'2/2 por lo que integrando obtendremos una ecuación de primer orden de variables separadas.

¿QUÉ ES UNA SOLUCIÓN?

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación.

SOLUCIÓN GENERAL

Es aquella solución de la ecuación que está en la forma estándar; la cual, está definida en un intervalo I llegando a ser de esta manera miembro de la familia de soluciones. La solución general está conformada por las constantes paramétricas, dependiendo del orden de la ecuación el número de éstas.

SOLUCIÓN PARTICULAR

Es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (x0,y0) coincide con la tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto (x0,y0), por pequeña que esta sea. Estas soluciones no se obtienen a partir de la solución general. Un método para encontrar dichas soluciones es derivar la ecuación diferencial dada con respecto a y´.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Geométricamente, la diferencial representa el incremento de la variable dependiente, pero no hasta la curva, sino hasta la tangente:

Δy = SQ = ST + TQ , por lo que   dy = ST

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Dos familias uniparamétricas de curvas G1(x, y, c1) = 0, G2 (x, y, c2) = 0, se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las

curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia. El método para calcular la familia de trayectorias

ortogonales a la familia uniparamétrica G (x, y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la

ecuación diferencial asociada a la familia y' = f (x, y) y, a continuación, plantear y resolver la ecuación

asociada a la familia ortogonal que vendrá dada por y' = -1 / f (x, y)

CAMPOS DIRECCIONALES

La terna (x, y, y´) determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del “campo direccional”. Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el campo direccional, en donde, para cada curva de la familia solución, la tangente en cada uno de sus puntos tiene la misma dirección que el campo en ese punto.

PAULINA VILLALVAZO No.9310400 RAMIREZ B:207

REFERENCIAS http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferencial

es/edo-geo/edo-cap1-geo/node3.html http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimic

as_y_farmaceuticas/apmat4e/images/fig1456.gif http://sai.uam.mx/apoyodidactico/ED/concbasi/EjmOrGr.htm

l http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Anal

isis/Ecuaciones%20Diferenciales/Ordinarias.htm ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIÓN AL

MODELADO. (DENNIS G. ZILL)