Instituto Tecnolgico de Villahermosa

Instituto Tecnolgico de VillahermosaInvestigacin sobre ecuaciones diferenciales

Alumno: Rafael Martnez Gordillo Asignatura: Ecuaciones diferenciales

Profesor: Ing. Edgar Lorenzo Hernndez Prez

Carrera: Ingeniera Qumica

Fecha:

26/08/15

Definicin de ecuacin diferencial:Se da el nombre de ecuacin diferencial a la ecuacin que contiene una variable dependiente y sus derivadas respecto de una o ms variables independiente. Muchas de las leyes generales de la naturaleza se expresan en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales; abundan tambin las aplicaciones del mismo en ingeniera, economa, en las mismas matemticas y en muchos otros campos de la ciencia aplicada.Esta gran utilidad de las ecuaciones diferenciales es fcil de explicar; recurdese que si se tiene la funcin , su derivada puede interpretarse como la velocidad de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables incluidas y sus velocidades de cambio se relacionan entre s mediante los principios cientficos que gobiernan el proceso. El resultado de expresar en smbolos matemticos estas relaciones, a menudo es una ecuacin diferencial. Se tratar de ilustrar estos comentarios con el siguiente ejemplo. Supngase que se quiere conocer cmo vara la altura del nivel en un tanque cilndrico de rea seccional cuando se llena con un lquido de densidad a razn de como se muestra en la figura 7.2 La ecuacin diferencial se obtiene mediante un balance de materia (principio universal de continuidad) en el tanque:AcumulacinEntradaSalida

(Kg/mtn)(Kg/min)(Kg/min)

donde la acumulacin significa la variacin de la masa de lquido en el tanque con respecto al tiempo, la cual se expresa matemticamente como una derivada: . Lo que entra es y el trmino de salida es nulo, con lo cual la ecuacin de continuidad queda como sigue:

Por otro lado, el volumen de lquido que contiene el tanque a una altura es . Al sustituir en la ecuacin diferencial de arriba y considerando que la densidad es constante, se llega a:

ecuacin diferencial cuya solucin describe cmo cambia la altura del lquido dentro del tanque con respecto al tiempo .

h

Figura 7.2 Llenado de un tanque cilndrico

Determinacin de orden y grado.Una ecuacin diferencial es ordinaria si slo tiene una variable independiente, por lo que todas las derivadas que tiene son ordinarias o totales. Las ecuaciones 7.1 a 7.4 son ordinarias. El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada de ms alto orden en ella. Las ecuaciones 7.1, 7.2 y 7.3 son de primer orden, y 7.3, 7.4 de segundo. (7.1) (7.2)

(7.3) (7.4)

Segn el grado se clasifican en lineales y no lineales, siempre y cuando la ecuacin diferencial est dada en forma de polinomio.Criterios para determinar que una ecuacin diferencial es lineala) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer gradob) Los coeficientes de la variable y de sus derivadas dependen slo de la variable independiente , o bien son constantes.Ejemplo:

Solucin de una ecuacin diferencialLa solucin general de una ecuacin diferencial ordinaria es una funcin dependiente de una o varias constantes tal que cualquier solucion de la ecuacin diferencial se obtiene dando valores especficos a una o mas de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la solucin general, surge una solucin particular. Geomtricamente, la solucin general de una ecuacin diferencial de primer orden representa una familia de curvas, denominadas curvas solucin, una para cada valor concreto asignado a la constante arbitraria.En la prctica, la determinacin de las constantes que aparecen en la solucin general se realiza a partir de las condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valores que adquiere la funcin solucin o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuacin diferencial de primer orden

una condicin inicial se expresara en la forma

En consecuencia, es solucin si para todo valor de en cierto intervalo, y Mtodos de solucin Factor integranteMtodo de EulerMtodos de TaylorMtodos de Runge-KuttaMtodos de prediccin- correccin

Fuentes de informacin:Libro: mtodos numricos aplicados a la ingeniera, autores: Antonio Nieves Hurtado y Federico C. Domnguez SnchezLibro: Mtodos de solucin de ecuaciones diferenciales y aplicaciones, autores: Ma. Carmen Cornejo Serrano.Link: http://www.um.es/docencia/plucas/manuales/mat/mat4.pdf

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