Conceptos Bsicos deElementos Finitos

Anlisis Estructural

FORMULACIONES PRINCIPALESFORMULACIONESPRINCIPALES

Formulacin Formulacin EulerianaFormulacinLangragiana

Formulacin Euleriana

D d l bl l i G d i i V dDatosdelproblemaelstico:Geometra,dominioVocupadoporelslido

Definicindelasvariablesindependientes:formulacinlagrangiana:lagrangiana:

x2

x1x

Identificacin de un elemento de volumen especficodi t t i i ( )mediante su vector posicin xi=(x1,x2,x3) en una

configuracin de referencia conocida

Vectordedesplazamientosu

ui=(u1,u2,u3)

uxi(x1,x2,x3,0)

X (x1 x2 x3 t)Xi(x1,x2,x3,t)

Campo de despla amientos ( t)} X xCampodedesplazamientos:ui=ui(x1,x2,x3,t)}=Xixi

Enfoquelagrangianoomaterial:variableindependiente:xi(posicin de la partcula en la configuracin de referencia)(posicindelapartculaenlaconfiguracindereferencia)

Caracterizacin delmovimiento enrepresentacin lagrangiana:

X =X (x x x t); donde (X X X ) es la posicin en el espacio ocupadaXi=Xi(x1,x2,x3,t);donde (X1,X2,X3)es laposicin enelespacio ocupadapor laparticula xi enelinstante t.xi (x1,x2,x3,0)es laposicin original

Vector de desplazamientos: ui = Xi xi;Vectordedesplazamientos:ui Xi xi;

Campodedesplazamientos:ui =ui(x1,x2,x3,t)

uiu20

i

Definicindelasvariablesindependientes:formulacineuleriana:

ddy1

dy2

dy3

Representacindelmovimientoenrepresentacineuleriana:

v =v (y y y t); donde (v v v ) es la velocidad de la particula que en elvi=vi(y1,y2,y3,t);donde(v1,v2,v3)eslavelocidaddelaparticulaqueenelenelinstantetocupalaposicinenelespacioyi

dy1

dy2

dy3

Formulacin Langragiana conel d d lMtodo deElementos Finitos

El mtodo de los elementos finitos es un caso particular de aplicacin del mtodo de

Pasos para obtener las funciones deinterpolacin:

Elmtodo deloselementos finitos es uncaso particulardeaplicacin delmtodo deGalerkin odelmtodo deRitzutilizando unas funciones deinterpolacin especiales

a) Dividir elvolumen delaestructura enelementos finitos:

123

44 7

8 12

13 14 19 20

nudos

1314 1920

21 22 23 24 25 26 27 28

246135

2122232425262728

elementos

b)Aproximarlosdesplazamientosmedianteseriesdefunciones.Seescogeunafuncin por nudo de la mallafuncinpornudodelamalla

)x(Nb)x(Nb)x(Nb)x(u)x(Na.....)x(Na)x(Na)x(u nn22111

}q)]{x(N[)}x(u{

)x(Nb.....)x(Nb)x(Nb)x(u nn22112

}q)]{([)}(u{

0N0N

ba

}{1

1

.......N0N0

.......0N0N)]x(N[

21

21

:ba}q{

2

2

:

Enelejemploanteriorseescogeran28funciones:(n=28)porser28nudos

c)Funcionesdeinterpolacionen1D

N (X) 1N3(X)

12345

Elementos1

X123456

nudos

inudojnudocoord(x) xsi 0)x(Ni nudo coord(x) xsi 1)x(N

i

i

udojudocoo d( )s0)(Ni

)x(Na)x(Na)x(Na)x(Na)x(Na)x(Na)x(u 665544332211

Parax=coord(x)nudo3;u(x)=a3

Parax=coord(x)nudoi;u(x)=ai

Enelmtododeloselementosfinitos,lasconstantesai tieneninterpretacinfsica

c)Funcionesdeinterpolacionen2Dy3D

1N1

N15

xxsi0)x(Nxx si 1)x(N hh

xx si 0)x(Nh

hnudoelincluyequeelementox si 1)x(N0 h

casos dems losen 0)x(Nudoec uyequee e e os)(N0

h

h

Vectordedesplazamientos delosnodos

}q)]{x(N[)}x(u{

Funciones deForma

Elemento Finito de CerchaElemento Finito deCercha

Condosnodos

Ecuacin Cinemtica

Truss

dudxdudx )(

i jFi, ui Fj, uj

dxdxn

)(

Energa dedeformacin de

unelemento diferencial de

Trussvolumen dW:

Caso deesfuerzos

uniaxiales

Energa dedeformacin oEnergaI t W

Interna Wo

dW 1Si el material es elstico lineal: dvW 20

Sielmateriales elstico lineal:

Energa Total

TrussFi,ui Fj,uj

jjiiExt FuFuW**

ExtT WWU 0 ExtT 0

FuFudvU **1 jjiiT FuFudvU 2

Ley deComportamiento

TrussFi,ui Fj,uj

E

EAF

EAFA EAF

PrincipioEstacionario

TrussFi,ui Fj,uj

0

aUTa

Debe buscar laminimaEnerga acumulada

Funciones deFormapara losElementosde Barras

N1(x):=1x/L;

deBarras

1N1(x): 1 x/L;

11 2

}q)]{x(N[)}x(u{

N2(x):=x/L;

11 2

1

1

1u

2

1)}({uL

xLxxu

Funciones deFormapara losElementosde BarrasdeBarras

1}q)]{x(N[)}x(u{

11 3N1(x):=13*x/2/L+x^2/2/L^2;

11 2

1N2(x):=2*x/Lx^2/L^2;

1

1N3(x):=x/2/L+x^2/2/L^2;

1

222 23

u

xxxxxx

11 3

3

2222 222

2231)}({

u

uL

xLx

Lx

Lx

Lx

Lxxu

Elementosfinitostipobarra