1. CONCEPTOS BÁSICOS EN REGIONES DE DISCONTINUIDAD.

1.1.Comportamiento en regiones de discontinuidad sobre estructuras de hormigón.

Las estructuras de hormigón es una tarea que requiere el uso de modelos que reproduzcan en una forma suficiente aproximada su comportamiento frente a las cargas aplicadas. Por eso, ya desde el origen del uso del hormigón como material estructural, se ha realizado ensayos experimentales que han permitido conocer mejor su comportamiento y así, proponer modelos resistentes y formulaciones practicas par predecir la capacidad resistente de la estructuras.

Actualmente se dispone de diferentes modelos de comportamiento resistente para cada tipo de esfuerzo aplicado sobre una estructura. Por ejemplo, para la flexión pura se emplea un par de fuerzas interno, cuyas componentes se determinan asumiendo como válida la hipótesis de Navier – Bernouilli para la deformaciones de la sección transversal; para el cortante y la torsión se han empleado desde el comienza modelos de celosía – analogía de Ritter – Mörsch con diagonales formados por bielas de hormigón comprimido, montantes constituidos por los etrivos traccionados y con cordones paralelos.

Por otra parte. La normativa actual ha adoptado de forma general el método de los coeficientes parciales de seguridad para incorporar la seguridad estructural en los cálculos. La verificación de la seguridad en este método consiste en comparar dos valores de una misma magnitud escalar (por ejemplo un esfuerzo, una tensión o una deformación): el obtenido a partir de las acciones mayoradas y el que se siente en la estructura cuando esta se encuentra en una situación de estado limite, considerando minoradas la resistencias de los materiales.

Los esfuerzos seccionales son las magnitudes de comparación más habituales en las formulaciones actuales, por la sencillez que supone un planteamiento separado para obtener la solicitación actuante (análisis estructural) y la solicitación resistente (calculo resistente). Con el primero se obtienen los esfuerzos seccionales a partir de las acciones y con el segundo con los esfuerzos resistidos por la sección, que en la mayoría de los casos no dependen de las acciones aplicadas. Este sencillo planteamiento ha conducido durante muchos años a una concepción seccional en el proyecto de las estructuras de hormigón, dejando para los detalles de armado la extensión a toda la pieza de los resultados obtenidos en las secciones. Sin embargo el modelo basado en el cálculo seccional no contempla en el equilibrio entorno de los esfuerzos de compresión resistidos por el hormigón y los de tracción o compresión del acero en cualquier punto de la estructura.

Puede decirse que los modelos basados en la analogía de la celosía fueron los primeros que utilizaron la idea de representar el comportamiento de las estructuras mediante bielas comprimidas de hormigón y tirantes constituidos por armaduras. Estos modelos, que nacieron a comienzos del siglo XX con las ideas de Ritter – Mörsh, fueron mejorados gracias a una gran labor de investigación llevada a cabo en las décadas de los 60 y 70. Un buen ejemplo de estas investigaciones los representan los ensayos de Stutgard (Leonhardt y Walter (1964)). También sobre la base de numerosos ensayos, Collins 1986 pusieron a punto una teoría (The Modified Compression Field Theory) que produce con bastante exactitud el comportamiento del hormigón sometido a esfuerzos cortante, la presión alcanzada en general prestos modelos en la predicción de los esfuerzos resistidos por las estructuras de hormigón es bastante elevada cuando los esfuerzos se aplican de forma individualizada e incluso cuando se combinan algunos esfuerzos, sin embargo , no puede ser aplicada a regiones a de la estructura en las que la distribución de tenciones interna es compleja debido , por ejemplo, a la proximidad de cargas concentradas o a cambios bruscos en la geometría de la estructura. A estas regiones se los denomina regiones D, para distinguirlas de las nominadas regiones B en la que se asume como válida la hipótesis de Navier – Bernouilli de distribución plana de deformaciones.La aplicación de forma sistemática del teorema del límite inferior de la plasticidad a las estructuras de hormigón ha permitido generalizar a cualquier región de la estructura la idea de la analogía de la celosía

que se aplicaba exclusivamente a vigas (Martí 1985). Schlaich et al. (1987) formularon de forma consistente un método para el proyecto de estructuras de hormigón armado y pretensado basado en modelos de bielas y tirantes. Desde entonces, numerosas investigaciones han utilizado modelos de bielas y tirantes para explicar el comportamiento experimental de regiones y estructuras especiales de hormigón armado y pretensado. Por ejemplo, adobar et el. (1996) para encepados rígidos sobre pilotes Maxwell and Breen (2000) para vigas de gran canto con una abertura, Tan et al. (2001) para vigas pretensadas de gran canto y Chen et al. (2002) para vigas con cambio brusco de canto y una abertura que interrumpe la trayectoria natural de la compresiones hacia una apoyo.Actualmente el método de las bielas y tirantes es acepta como un método aplicable para el cálculo resistente de regiones D y ha sido incorporado tanto por la normativa Española EHE (1998), como por los códigos ACI – 318 (2002), CSA 1994, AASHTO (1994) Y Eurocódigo 2 (2003).

Aunque el método de bielas y tirantes es aplicable de forma general a cualquier región de la estructura, las normas solo se aplican a las regiones D, debido a que los métodos de cálculo resistente propuestos hasta la fecha para regiones B son más precisos que el método de las bielas y tirantes.

1.2.Determinación de las regiones denominadas “D”

1.2.1. Tipos de discontinuidad.

Como ya se ha dicho en el aparto anterior, las regiones D o regiones de discontinuidad son aquellas partes de las estructuras, o estructura completa, en las que no es aplicable la hipótesis de Navier – Bernouilli.

a) Discontinuidad estática b) Discontinuidad Geométrica.

c) Discontinuidad Generalizada

Figura 3.2.1.1 Tipos de Discontinuidad

La discontinuidad en la regiones D puede deberse a diversas causas (figura 3.2.1.1.).

Por la aplicación de cargas concentradas (discontinuidad estática), que puede ser generalizada por la actuación de una acción exterior, una reacción o un anclaje de pretensado (figura 3.2.1.1.a);Por un cambio brusco en la geometría en la pieza (Discontinuidad Geométrica), por ejemplo, en el entorno de un cambio en el canto de sección o en un encuentro entre viga y pilares de un pórtico de edificación.

Porque no cumple la hipótesis de Bernouilli – Navier

Figura 3.2.1.2. Ejemplos habituales D habituales.

En las estructuras aporticadas, las regiones D más usuales son los encuentros entre las vigas y los soportes y las regiones próximas tanto a una carga concentrada como a un aparato de apoyo o a un empotramiento, en una cimentación (Fig.3.2.1.2).

1.2.2. Discontinuidad estática en una región denominada “D”.

En una región de discontinuidad estática o geométrica, el campo de tensiones que se produce en su entorno queda distorsionando por ella y, de acuerdo con el principio de Saint-Venant, esta distorsión se disipa en una distancia igual al canto total de la pieza, tal como se muestra en la (figura 3.2.1.1.).

1.3. Definición de sistemas de carga en una región de discontinuidad.

1.3.1. Modelo basado en el análisis elástico y lineal.

Durante mucho tiempo se han empleado métodos que asumen la hipótesis de un comportamiento

elástico y lineal del hormigón para determinar las armaduras necesarias en las regiones D. El análisis

elástico y lineal permite conocer la distribución de tensiones internas que resultan al adoptar esta

hipótesis. Las armaduras deben absorber las tracciones mientras que las compresiones son

absorbidas por el hormigón y, en caso necesario, por armadura adicional de compresión.

Sin embargo, las trayectorias de las direcciones principales de tracción, obtenidas mediante un análisis

elástico y lineal no son generalmente rectilíneas y, por tanto, la disposición del armado resultante

conlleva una difícil colocación en obra. Por otro lado, la fisuración del hormigón y la presencia de

armaduras en posiciones predeterminadas, cambia sustancialmente la distribución real de tenciones

internas en la estructura respecto a la que resulta de un análisis elástico y lineal.

1.3.2. Modelo basado en el análisis no lineal.

el empleo de un modelo que tuviera en cuenta la fisuración, el comportamiento no lineal de los

materiales y la trayectoria real de las barras de que construyen las armaduras, permitiría

representar de forma más exacta la distribución de tenciones en la etapa posterior a la

fisuración y hasta la rotura. Ahora bien, los modelos de análisis no lineal requieren el

conocimiento previo de los datos del armado de la región y, por tanto, no puede ser utilizado de

forma directa para la determinación de las armaduras. Además, el comportamiento no lineal no

conduce a la necesidad de emplear procesos iterativos para obtener la solución del campo de

tensiones para una carga determinada y, en consecuencia, se requiere gran potencia de

cálculo. Por ello, actualmente están destinados a calibrar modelos más simplificados o a

reproducir ensayos experimentales para la investigación.

1.3.3. Modelo basado en la teoría de la plasticidad.

Cuando los materiales se pueden suponer un comportamiento dúctil antes de su rotura con una

rama de plastificación, la aplicación de la teoría de la plasticidad conduce a métodos prácticos y

sencillos para el proyecto de estructuras. Estos métodos consisten en aplicar el teorema de

límite inferior de la plasticidad, sugun el cual se encuentra la estructura de campo de tenciones

estáticamente admisible con la carga aplicada que no supera la resistencia de los materiales en

ningún punto, el valor de la carga aplicada es una cota inferior del valos de la carga ultima de la

estructura.

Entre estos métodos destacan dos: el método de los campos de tensiones y el método de las bielas y

tirantes.

1.3.3.1. Método de los campos de tenciones.

Este método consiste en descomponer la estructura en regiones sobre las que se definen campos de

tensiones sencillos. Estas regiones deben mantenerse en equilibrio entre ellas y con las cargas

exteriores aplicadas sin superar la condición de agotamiento en ninguna de ellas.

Este método, planteado originalmente por Drucker para el hormigón estructural en 1961, es aplicable

también a otros materiales como el acero estructural, y ha sido desarrollado por Thurlimann, Muller, Marti

y Muttoni (Muttoni y Fernández 2007).

1.3.3.2. Método de las bielas y tirantes.

El método de las bielas y tirantes, como se verá en los próximos capítulos, se basa en la utilización de

un modelo simplificado de comportamiento resistente, formado por una estructura interna de bielas y

tirantes, que representa los esfuerzos internos que equilibran las cargas aplicadas (véase el ejemplo de

la figura 1.3).

Este sencillo modelo permite un tratamiento de las regiones D completamente similar al realizado en el

caso de las regiones B. Es decir, escogida la magnitud escalar de comparación (esfuerzo, tensión o

deformación), se calcularía por un lado el valor de esta magnitud producido por las cargas aplicadas y,

por otro, el valor que corresponde a la situación de estado límite de acuerdo con el modelo de

comportamiento resistente.

Un sencillo ejemplo como el de la región D de la figura 3.2.1.3 permite ilustrar esta idea. En la región D

generada en el entorno de una carga concentrada, la configuración de las cargas aplicadas se puede

expresar mediante cuatro fuerzas aplicadas en su contorno. El modelo de bielas y tirantes adoptado

proporciona los esfuerzos internos de tracción y compresión que se equilibran con las cuatro fuerzas

aplicadas. Por otro lado, el método de bielas y tirantes proporciona los esfuerzos que producen el agotamiento

en los puntos más críticos de la región. Es decir, en la secciones mas desfavorables de la bielas y de los

tirantes o en las zonas de encuentro entre estos elementos (nudos). Así, los esfuerzos aplicados pueden ser

comprados con los que producen el agotamiento de alguna de las partes de la región. Más adelante se verá

como el modelo de bielas y tirantes proporciona los esfuerzos de agotamiento de las bielas, los tirantes y los

nudos.

Figura 3.2.1.3. Configuración de carga aplicada y mecanismo resistente interno para una carga consentrada

sobre una macizo.

En la conocida verificación del estado límite último por solicitaciones normales a una sección de una región B

se realiza el mismo proceso descrito en el párrafo anterior para una región D. Por otro lado, se determinan los

esfuerzos axil y flector aplicados sobre una región en una sección en función de las acciones aplicadas y, por

otro, se calcula, para el mismo axil aplicado, el momento flector de agotamiento suponiendo un

comportamiento resistente de la sección mediante un modelo simplificado (Fig. 3.2.1.4). Por ejemplo.

en el Art. 42.1 de la EHE-08 se definen los principios generales de cálculo en rotura de secciones

sometidas a solicitaciones normales. En este modelo, la magnitud de las resultantes de compresiones (C)

y tracciones (T) en la sección y su brazo mecánico (z) se determinan definiendo la rotura mediante el

conocido diagrama de pivotes, y adoptando un diagrama simplificado de compresiones sobre el hormigón.

Figura. 3.2.1.4.- Esfuerzos aplicados y mecanismo resistente interno en una sección sometidos a esfuerzos de flexión y axil,

correspondientes a una región B.

En el caso de una región D como la mostrada en la figura 3.2.1.3 será necesario aplicar otros criterios

diferentes para determinar la posición y magnitud de las compresiones y tracciones del modelo, puesto

que no es aplicable la hipótesis de Navier-Bernouilli y, por tanto, no se puede adoptar la definición de la

rotura mediante el diagrama de pivotes.

1.4. Planteamiento de transmisión de los esfuerzos en las estructuras de hormigón.

Antes de abordar las explicaciones del método de las bielas y tirantes resulta conveniente, para

su compresión y para poder deducir reglas practicas que sirvan para determinar el modelo

interno resistente (modelo de bielas y tirantes), descartar ideas básicas sobre la generación y

transmisión de los esfuerzos a través de la estructura de hormigón.

1.4.1. Equilibrio entre esfuerzos internos y externos.

En cualquier estructura sometida a unas determinadas cargas se produce un estado de

tensiones definido en cada punto P(x,y,z) de la misma por un tensor de tenciones σ̿̿LL(x,y,z).

Si en un punto cualquiera de la estructura P(x,y,z) se considera un elemento diferencial de

superficie, representado por un vector dSM normal a ella, el esfuerzo aplicado sobre este

elemento diferencial de área será un vector dFN que se obtiene como resultado del producto de

la matriz σ̿̿LL por el vector dSN :

dFN = σ̿̿L * dSN

La integración de estos esfuerzos diferenciales extendida a una determinada superficie S de la

estructura proporcionada su esfuerzo FN asociado (Figura 3.2.1.5):

Donde U, es el vector unitario en dirección normal al elemento diferencial de superficie.

Fig. 3.2.1.5.- Esfuerzo asociado a una superficie.

Si la superficie S corresponde a una superficie totalmente interna de la estructura (S = Sint. ), las tensiones

que actúan sobre la misma son las que tiene el material o materiales de la estructura en los puntos de

dicha superficie (σ̿̿L = σ̿̿L int.), y el esfuerzo asociado a esta superficie es un esfuerzo interno (FN = FN int.). Si,

por el contrario, todos los puntos de la superficie S pertenecen a la superficie exterior del volumen de la

estructura (S = Sext), los esfuerzos, elementales aplicados sobre cada punto son las presiones Pext.

(Fuerzas distribuidas en la superficie) generadas por las acciones exteriores, y el esfuerzo asociado a

esta superficie es un esfuerzo externo (FN = FN ext.). Por tanto, los esfuerzos internos y externos de una

estructura se pueden expresar como:

Cuando la superficie S considerada está compuesta por varias superficies, unas internas y otras que

forman parte del contorno exterior de la estructura, el esfuerzo asociado a esa superficie se compone de

la suma de esfuerzos internos y externos.

Si la superficie S encierra un volumen V, es decir corresponde a una región aislada de la estructura, de

los esfuerzos internos y externos asociados a la superficie S deben equilibrarse con la resultante de

todas las cargas exteriores aplicadas en cualquier punto de dicho volumen, ya sean estas puntuales

(F< ext) o la unidad de volumen (q< est). Si se designa por (r< ) al vector posición de un punto cualquiera del

volumen considerado, las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en forma vectorial mediante dos

expresiones siguientes, una correspondiente al equilibrio de fuerzas y otra al equilibrio de momentos.

En las que se utilizan el símbolo ⦻ para expresar el producto vectorial.

Estas dos ecuaciones vectoriales constituyen seis ecuaciones escalares – tres fuerzas y otras tres de

momento – cuando se plantea el equilibrio en el espacio, y tres ecuaciones – dos fuerzas y una de

momento – cuando se plantea el equilibrio en el plano.

En las estructuras de hormigón armado, compuestas por dos materiales diferentes, resulta necesario

considerar por separado los esfuerzos internos que actúan sobre el hormigón de los que lo hacen sobre

el acero, de modo que las ecuaciones de equilibrio se expresan del siguiente modo:

Los esfuerzos internos en las armaduras F< si corresponden a la integración de las tenciones

sobre la sección transversal de las armaduras que atraviesan la superficie S1 en el punto de

intersección. La escasa rigidez a flexión y cortante de las armaduras permite admitir que este

esfuerzo F< si esta aplicado en el centro de gravedad de la armadura y tiene una dirección igual a

la de la propia armadura.

El esfuerzo resultante sobre el hormigón puede descomponerse en varios esfuerzos F< cj correspondiente a las fracciones en las que se subdivida

Sc:

Cada uno de estos esfuerzos F< cj aplicados a una superficie Scj puede considerarse como un esfuerzo interno diferente sobre el hormigón. La superficie Sc puede descomponerse de muy diversas formas y en un número de superficies Scj puede también descomponerse en distintos sistemas de esfuerzos internos.

Si en una región de la estructura que ocupa un volumen V encerrado por una superficie S, se determina una determinada descomposición de una superficie Sc que está formada por hormigón, las ecuaciones de equilibrio de la región puede expresarse derectanente en función de los esfuerzos internos

correspondientes al acero F< si y al hormigón F< cj sustituyendo a la expresión:

En las expresiones:

Para ilustrar el dignificado de las ecuaciones de equilibrio escritas anteriormente, se ha escogido otra vez como ejemplo la región D constituida por el entorno de una carga concentrada (figura 1.6). si se divide en dos mitades mediante un plano horizontal y se aísla la mitad está constituida por cuatro partes diferenciadas:

Figura 1.6. Esfuerzos internos y exteriores en equilibrio sobre una región aislada de una estructura.

El plano horizontal de división, sobre el actúan de forma diferenciada de tenciones de compresión sobre el hormigón y de tracción en el acero. La resultante de las compresiones es Fc1

y de las tracciones Fs1.

La mitad de la sección de continuidad de la región D estudiada con el resto de la estructura, sobre la que actúa una compresión unifórmeme cuya resultante es Fc2.

La mitad superior de la superficie de contacto con la placa mediante la cual se aplica la carga concentrada, cuya resultante Fext es igual a la mitad de la carga aplicada.

El resto de la superficie de la región aislada es superficie de la región D sobre la que no se aplica ninguna carga.

Si se despresia el peso propio, las tres ecuaciones de equilibrio que resulta de las expresiones vectoriales:

Son:

Si se divide la región anterior en dos partes, como se muestra en la figura 1.7., se hace

explicito el esfuerzo interno Fc3 correspondiente a la sección CD.

El equilibrio de los esfuerzos que actúan sobre la región ABCD se expresa únicamente con dos

ecuaciones, que corresponden a las fuerzas, ya que el equilibrio de los momentos se cumple

obligatoriamente debido a que las líneas de acción de los tres esfuerzos Fext, Fc1 y Fc3 se cortan

en el mismo punto. Estas dos ecuaciones son las siguientes.

Figura 1.7. División de la región de la figura 1.6 para hacer explicito el esfuerzo interno Fc3.

Lo mismo ocurre en la región CDEF. Las líneas de acción de los esfuerzos Fc1, Fc2 y Fc3 se

cruzan en el mismo punto y por consiguiente, el equilibrio de esfuerzos se establece mediante

el equilibrio de esfuerzas y no es necesario emplear la ecuación de momentos.

Como se ha visto en este ejemplo, si se escogen regiones de la estructura en la que intervienen

esfuerzos cuyas líneas de acción se cruzan en un solo punto, las ecuaciones de equilibrio de

momentos son innecesarias. Esto ocurre en las ecuaciones de equilibrio que se producen en

cada nudo de la estructura articulada de barras. Por tanto, existe una similitud total entre las

ecuaciones de equilibrio de los esfuerzos de una región de una estructura cuando sus

líneas de acción se cruzan en un punto y las ecuaciones de equilibrio de los esfuerzos de

las barras que concluyen en un nudo de una estructura articulada de barras con idéntica

geometría.

1.4.2. Generación de esfuerzos.

Los esfuerzos de una estructura se generan normalmente por aplicación de una directa de

cargas sobre la masa de hormigón o sobre el acero. Las acciones indirectas, como son los

descensos de apoyo, aplicados a la estructura pueden producir reacciones en los apoyos, si la

estructura es hiperestática, generando esfuerzos en la estructura de igual forma que lo hacen

las cargas directamente aplicados a la masa de hormigón.

Las cargas directamente aplicadas sobre la masa de hormigón pueden ser:

Concentradas, como son producidas por un anclaje de pretensado o una reacción de

apoyo:

Distribuidas en la superficie, como son las cargas muertas o las sobrecargas de nieve:

Distribuidas en el volumen, como es el peso propio.

En cualquier caso, estas cargas aplicadas deben generar esfuerzos de compresión sobre la

masa de hormigón o, dicho de otra forma, en ningún caso pueden generar esfuerzos de

tracción sobre el hormigón. Si es necesario aplicar una carga que genere un esfuerzo de

tracción sobre la superficie de la superficie de la región estudiada, como sucede en el caso de

una carga colgada, esta debe transmitirse directamente al acero.

1.4.3. Trayectoria de carga. Estructuras de barras equivalentes.

En una región aislada de una estructura, los esfuerzos exteriores aplicados Fext, los esfuerzos

internos F< cj sobre cada una de las superficies en las que se descompone la superficie del

contorno del hormigón y los esfuerzos F< si sobre las armaduras cortadas por el contorno de la

región estudiada, son vectores que tienen coda uno de ellos por su propia línea de acción,

también denominada línea de carga. El encuentro de dos líneas de carga genera, por

composición de esfuerzos internos sobre una región constituye una red conexa que enlaza las

cargas aplicadas. Una trayectoria de carga puede considerarse como una línea poligonal que

se puede recorrer en esta red desde un punto de aplicación de una carga a otro de la misma

región (figura 1.8.).

Figura 1.8. Línea de carga generada por una región D.

Si la región aislada de la estructura es sencilla, el trazado de las líneas de acción de las cargas

aplicadas y de los esfuerzos que actúan en su contorno genera un trazado muy sencillo de las

trayectorias. Por ejemplo en el caso de una región de una estructura plana cargada en su plano

sobre la que actúa solamente tres esfuerzos, las tres líneas de carga correspondientes deben

cruzarse en un mismo punto para que se cumplan las condiciones de equilibrio (Figura 1.9.). Si,

por el contrario, en la región aislada de la estructura actúan muchos esfuerzos, el trazado de las

líneas de carga no resulta tan inmediato. Pero, si el campo de tensiones fuera conocido,

bastaría con dividir la región estudiada en otras regiones más pequeñas para obtener una

representación del campo de tensional mediante los esfuerzos y líneas de carga

correspondiente a la división realizada.

Figura 1.9. Líneas de carga de tres esfuerzos que se equilibran en el interior de la masa de

hormigón.

Hay que tener en cuenta que las líneas de carga de las regiones adyacentes coinciden con el

esfuerzo correspondiente a la sección en contacto. De esta forma, la red de líneas de carga de

la región completa se configura por YUXTAPOSICION de las regiones en las que se ha dividido

aquella.

En viga de gran canto de la figura 1.10., se ha subdividido en cuatro regiones de forma

rectangular y se ha integrado las tensiones internas proporcionadas por un cálculo elástico y

lineal sobre las diferentes secciones. La resultante sobre cada sección corresponde a un

esfuerzo interno y permite trazar una línea de carga. Como puede observarse, el equilibrio de

los esfuerzos hace que se constituya una red conexa de una representación simplificada del

campo de tensiones de la estructura o de la región de ella analizada.

El nivel de información que proporcionan los esfuerzos asociados a las líneas de carga

dependerá del número de divisiones que se haga de la región estudiada. A mayor número de

divisiones, mayor numero de esfuerzos internos se producirá.

Figura 1.10. Líneas de carga correspondiente a una viga de gran canto dividida en cuatro

regiones.

En la figura 1.11., se ha representado la red de línea de carga que se produce para el mismo

campo tensional que el de la figura 1.10., considerando la estructura dividida en ocho regiones.

Como puede observarse, el nivel de información proporcionada por esta red de líneas de sobre

carga el campo de tenciones es mayor que el proporcionado por la de la figura 1.10.

Figura 1.11. Líneas de carga correspondientes a una viga de gran canto dividida en ocho

regiones.

Para la comprobación de las regiones D frente al estado límite ultimo correspondiente a una

determinada hipótesis de carga, solo se requiere conocer el estado tensional en las zonas o

secciones determinantes o críticas de la región. Esto permite que el nivel de información

necesario no sea alto, es decir que el numero de esfuerzos internos representados por sus

líneas de carga sea relativamente reducido.

El campo de tensiones existente en el interior de la región estudiada dependerá de la hipótesis

de comportamiento de los materiales que se establezca en su cálculo. Si se adopta como

hipótesis un comportamiento elástico y lineal, se obtendrá un campo de tensiones

diferentes al caso de suponer un comportamiento fisurado y no lineal. Cuando se asume

un comportamiento fisurado y no lineal del hormigón y se considera la plastificación del acero,

la distribución de tensiones en la región puede diferir bastante de la obtenida si se supone un

único material elástico y lineal es por ello que la distribución de las líneas de carga de los

esfuerzos internos pude ser diferente según la hipótesis considerada, representando todas

ellas, sin embargo, soluciones perfectamente equilibradas con la carga aplicadas.

Si se considera que la estructura posee una capacidad limitada de redistribución por

deformación plástica, de acuerdo con el teorema del límite inferior de la plasticidad,

cualquier solución del campo de tenciones que cumpla las ecuaciones de equilibrio con las

cargas aplicadas (estáticamente admisibles) y no supere la resistencia de los materiales,

equilibra una carga de menor valor que la capacidad máxima de la estructura. Por consiguiente,

si se encuentra una solución del campo de tenciones estáticamente admisible que no

supere las resistencias de los materiales en ningún punto, la carga que los equilibra es

una cota inferior de la carga última de la estructura.

Debido a que el campo de tensiones puede ser representado por los esfuerzos internos y sus

líneas de carga, el teorema de límite inferior también puede ser enunciado con los esfuerzos

internos. Así, se le encuentra una red de líneas de carga correspondiente a esfuerzos internos

que estén en equilibrio con las cargas aplicadas y no se produce la rotura de los materiales en

ningún punto de la estructura, la carga que equilibra los esfuerzos correspondientes a la red de

líneas de carga es una cota inferior de la carga ultima de la estructura.

Tal como se indico en el aparto de equilibrio de esfuerzos internos y externos, la composición

de los esfuerzos internos en cada uno de la red de líneas de carga representa el equilibrio

interno de la estructura (ver ejemplo de la figura 1.7.). Por consiguiente, las ecuaciones de

equilibrio entre los esfuerzos internos en cada nudo de esta red son idénticas a las que

se obtendrían en los nudos de una estructura articulada de barras cuya geometría

considera con las líneas de carga entre los nudos de esta red.

En general las líneas de carga los esfuerzos aplicados a la región estudiada no se cortan en

puntos interiores a la estructura Figura 1.12.a) Sin embargo una trayectoria de carga puede

quedar fuera de la estructura si se considera por separado los esfuerzos de compresión del

hormigón de los de tracción de armaduras, puesto que la resultante de tenciones del hormigón

sobre cualquier sección interna del hormigón debe de estar aplicada en un punto inferior de la

misma. En las estructuras de hormigón, las armaduras son también internas a la masa de

hormigón y, por ello, la red de líneas de carga que representa el campo de tensiones debe

quedar totalmente dentro del volumen que ocupa la región estudiada (Figura 1.12.b). De esta

forma, el campo de tensiones de una estructura de hormigón en la que este solo

transmite esfuerzos de compresión y el acero solo de tracción puede ser representado

por una red de líneas de carga cuyos nudos quedan en el interior de la estructura y, en

consecuencia, puede ser visto como una estructura articulada de barras cuyos esfuerzos

axiles son los esfuerzos internos de la estructura. En esta estructura, las barras

traccionadas (Tirantes) deben de estar constituidas por la armadura y las comprimidas (Bielas)

por el hormigón.

Figura 1.12. Trayectoria de carga: a Líneas de carga de los esfuerzos exteriores.

b Hormigón armado.

Así con la aplicación de esta analogía, el teorema de límite inferior puede ser reformulado

diciendo que “si el interior de la región analizada puede configurarse una estructura

articulada de bielas y tirantes estáticamente admisibles y no se produzca la rotura de

ningún hormigón punto de la región estudiada, la carga equilibrada es el interior de la

carga equilibrada es inferior a la carga ultima resistida por dicha región”.

Desgraciadamente, el hormigón tiene una capacidad de deformación plástica limitada y, por

consiguiente, no pueden darse como soluciones posibles aquellas que requieran una gran

capacidad de deformación plástica. Esta limitación puede cumplirse adoptando estructuras

internas de bielas y tirantes que no separen de la red de líneas de carga que se obtendrían del

análisis elástico y lineal (Schlaich et al. 1987).

Sin embargo, las líneas de carga correspondiente a los esfuerzos de tracción derivados de un

cálculo elástico y línea no llevan normalmente una dirección adecuada para poder realizar una

disposición de las armaduras razonablemente constructiva en la práctica. Pero

afortunadamente, los requerimientos de ductilidad de las estructuras no son excesivos si se

disponen las armaduras de acuerdo de la práctica habitual y se sitúa las bielas según las líneas

de carga de los esfuerzos de compresión obtenidos del análisis elástico y lineal.

De acuerdo con esto, para que los requerimientos de ductilidad de la estructura no sean

excesivos, se puede proponer una estructura interna de bielas y tirantes que represente a un

campo de de tensiones estáticamente admisible cuyas bielas –trayectorias de compresión – no

se separen de las que se obtendría del análisis elástico y lineal .Además , si se limita la tensión

máxima del hormigón en compresión a un valor inferior al de su rotura, la armadura alcanzara el

limite elástico del acero para una carga en la que el hormigón todavía no está agotado,

asegurándose así una mejor ductilidad de la estructura al desarrollarse deformaciones plásticas

en el acero previas al agotamiento de la estructura.

Para poder configurar esta estructura interna de bielas y tirantes que se denominara en

adelante MODELO DE BIELAS Y TIRATES, resulta útil recordar los mecanismos básicos de

transmisión de esfuerzos en las estructuras de hormigón. En primer lugar, se estudiaran las

especiales características de la transmisión de esfuerzos en la masa de hormigón; en segundo

lugar, la transmisión de esfuerzos en las armaduras y, finalmente, la conexión entre ambos a

través de la adherencia.

1.4.4. Transmisión de esfuerzos a través del hormigón.

Trayectoria de un esfuerzo.-

Cuando se aplica un determinado esfuerzo a una masa de hormigón, la trayectoria de carga

correspondiente a ese esfuerzo es siempre recta, y solo se desvía por la composición con otro

esfuerzo de compresión cuya línea de carga se cruza con ella o con un esfuerzo de tracción

producido por una armadura.

Composición y descomposición de esfuerzos.-

Un esfuerzo puede descomponerse dentro de la masa hormigón en varios esfuerzos de idéntica

resultante que el esfuerzo inicial, generando las correspondientes trayectorias de carga. Por el

contrario, varios esfuerzos pueden componerse en unos solo, integrándose todas las

trayectorias en una solo.

Figura 1.13. Trayectoria de cargas generadas por diferentes descomposiciones de la carga

aplicada.

La descomposición de las cargas aplicadas o de los esfuerzos internos genera una red de

trayectorias de carga más compleja aunque proporciona una mayor información sobre el campo

de tensiones que representa. La figura 1.13., ilustra la mayor información que supone la mayor

descomposición de una carga aplicada sobre una región D.

Difusión de las tensiones de un esfuerzo

Aunque la trayectoria de un esfuerzo aplica sobre el hormigón se rectilínea, las tenciones

pueden no ser uniformes a lo largo de ella. Un mismo esfuerzo tiende a difundirse en mayor

superficie para reducir las tenciones en el hormigón. Así, si en una sección el esfuerzo se

produce en una prisma detrás de la carga aplicada. Subdividiendo la carga aplicada en varios

esfuerzos y dibujado las trayectorias en el prisma de difusión, se tiene la forma en que se

produce la difusión de la carga concentrad en la masa de hormigón. Según la forma que

adoptan estas trayectorias pueden ser en “huso” o en “habanico”.

Figura 1.14. Difusión de una carga concentrada en uso

En la difusión en uso (figura 1.14.) las tensiones normales a la sección transversal no llegan a

tener una distribución uniforme hasta una cierta distancia por detrás del punto de aplicación de

la carga. La región definida por esta sección y aquella en las que se aplica carga se denomina

prisma de regularización de tensiones. La distancia entra ambas secciones transversales del

prisma de regularización de toma igual a la mayor dimensión de las mismas. En el interior del

prisma se producen necesariamente tensiones de tracción para que se cumpla el equilibrio

interno.

Figura 1.15. Difusión de una carga concentrada en forma radial.

En la difusión en abanico (Figura 1.15.) las trayectorias de los esfuerzos en las que se divide

la carga aplicada adquieren una forma radial y no se requiere que se produzcan tensiones de

tracción en el interior de la región de regularización para establecer el equilibrio interno.

1.4.5. Transmisión de esfuerzos en el acero.

El acero es una material que resiste bien tanto las tracciones como las compresiones. Sin

embargo, para que pueda comprimirse con tenciones elevadas requiere que este bien

arriostrado transversalmente, pues, en caso contrario, puede pandear localmente antes de

alcanzar su plastificación. Normalmente el recubrimiento de las armaduras establecido en las

normas por razones de durabilidad no es suficiente para conseguir un arrióstramiento eficaz y,

por eso, cuando las armaduras absorben esfuerzos de compresión es necesario disponer

armadura transversales que las arriostren adecuadamente (articulo 42.3 EHE). En cualquier

caso, resulta más económico que sea el hormigón el que absorba las compresiones, por lo que

solamente se considera que el acero colabora en compresión cuando la zona comprimida de

hormigón es incapaz de resistirla por sí sola.

A pesar de que las barras de acero pueden absorber esfuerzos de flexión y cortante, los

valores que estos pueden alcanzar son despreciables. Por ello, las armaduras solo se

consideran sometidas a esfuerzos de tracción o compresión en dirección tangente a su

trayectoria en cada punto.

La carencia de rigidez a flexión conduce inmediatamente a que una barra aislada de acero

sometido a un esfuerzo de tracción tome una forma rectilínea. Por tanto, si la forma de la

armadura es curva dentro de la masa de hormigón, esto significa necesariamente que debe

haber una fuerza de desviación para mantenerse en equilibrio en estas formas (figura 1.16).

Figura 1.16. Fuerzas de desviación sobre una armadura.

La armadura nunca puede tomar una forma poligonal dentro de la masa de hormigón, por que

en el punto de quiebre generaría una fuerza puntual de valor infinito. Análogamente, la

armadura tampoco puede tomar un radio de curvatura excesivamente pequeño, porque

generaría una concentración de tensiones locales en el hormigón que superaría la resistencia

de este. De ahí la existencia de la prescripción de un radio mínimo de doblado en la normativa

(articulo 69.3.4. EHE - 08) y la necesidad de disponer armadura transversal al plano de doblado

para distribuir sobre mayor superficie el esfuerzo que genera la armadura doblada.

Si se respeta la prescripción de la normativa sobre radio mínimo de doblado y se dispone de

armadura transversal de reparto, se pueden equilibrar los esfuerzos de tracción de una barra

doblada con el esfuerzo de compresión en el hormigón sin alcanzar su agotamiento local.

(Figura 1.17.)

Figura 1.17. Tensiones locales generadas en una armadura doblada.

Desde el punto de vista de la representación del equilibrio de esfuerzos, basta con dibujar el

encuentro de los esfuerzos de la biela de hormigón y las tensiones de las armaduras en un solo

punto (figura 1.18.).

Figura 1.18. Equilibrio de una barra traccionada doblada

1.4.6. Transmisión de esfuerzos en el acero y en el hormigón.

Además de las tenciones normales desarrolladas entre el acero y el hormigón cuando una barra

traccionada tiene un forma curva la transferencia de esfuerzos entre el acero y el hormigón

puede producir mediante el desarrollo de tensiones tangenciales sobre la superficie de contacto

entre ambos materiales, llamadas tensiones de adherencia. Debido que estas tenciones están

limitadas por su máxima capacidad (resistencia a la adherencia), para transferir un

determinado esfuerzo será necesaria una cierta longitud de transmisión que no podrá ser

inferior a un valor mínimo.

Desde el punto de vista de la representación del equilibrio de esfuerzos, basta de dibujar el

encuentro entre los esfuerzos de las bielas de hormigón y la armadura en un solo punto (figura

1.19).

Figura 1.19. Representación del equilibrio de esfuerzos en una barra que modifica su tracción

por adherencia con el hormigón.

La transmisión de esfuerzo entre el acero y el hormigón también puede hacerse mediante

placas de anclaje, como es el caso de la armadura activa pos tensado. Es este caso, la

armadura transmite la tracción directamente a la placa y esta comprime al hormigón, generando

una carga concentrada sobre este. En la figura 1.20., se a represento el equilibrio de esfuerzos

en un anclaje mediante una placa, desglosando por un lado el equilibrio de los esfuerzos en el

hormigón y por otro los que se producen en el acero.

Figura 1.20. Transmisión de esfuerzos entre el acero y el hormigón mediante placa de apoyo.

El anclaje de una barra en prolongación recta puede considerarse similar al que se realiza mediante una placa de anclaje. La diferencia estriba en que la placa metálica en sustituida por un cilindro de hormigón que rodea a la armadura a lo largo de la longitud de anclaje. Figura 1.21., ilustra el anclaje en prolongación recta de un tirante por detrás del apoyo extremo de una viga. También aquí, como se hizo antes en el anclaje mediante placa de apoyo, sea separado el equilibrio de esfuerzos en el hormigón de los que se produce en el acero para una mayor claridad en la compresión del mecanismo de la transmisión de esfuerzos entre ambos.La barra transmite su esfuerzo al hormigón a lo largo de la longitud de anclaje mediante tenciones tangenciales de adherencia generando un esfuerzo de compresión en el hormigón cuya resultante es igual a la tracción de la armadura. Las tensiones generadas en el interior de cilindro de anclaje pueden ser interpretadas también mediante trayectorias de compresión y tracción. La figura 1.21 muestra también una representación simple de estas trayectorias, entre las que necesariamente se producen tracciones circulares y radiales. Estas tracciones son resistidas por el propio hormigón, si tiene suficiente resistencia a tracción, o por armaduras transversales, en caso contrario.

Figura 1.21. Esquema de esfuerzos correspondientes a un anclaje de una armadura en prolongación recta