MATRICES

CONCEPTO DE MATRIZ

Una matriz e s un conjunto de e le me ntos de cualquie r naturale za aunque , e n ge ne ral, sue le n se r núme ros orde nados e n filas y columnas .

S e llama matriz de orde n "m × n"   a un conjunto re ctangular de e le me ntos a ij  dispue s tos e n   m  filas y e n n  columnas . El orde n de una matriz tambié n se de nomina dime ns ión o tamaño, s ie ndo m  y  n  núme ros naturale s .

• Las matrice s se utilizan e n e l cálculo numé rico, e n la re solución de s is te mas de e cuacione s line ale s , de las e cuacione s dife re nciale s y de las de rivadas parciale s . Ade más de su utilidad para e l e s tudio de s is te mas de e cuacione s line ale s , las matrice s apare ce n de forma natural e n ge ome tría, e s tadís tica, e conomía, informática, fís ica, e tc ...

• La utilización de matrice s cons tituye actualme nte una parte e se ncial donde los le nguaje s de programación, ya que la mayoría de los datos se introduce n e n los orde nadore s como tablas organizadas e n filas y columnas : hojas de cálculo, base s de datos ,...

Las matrice s s e de notan con le tras mayúsculas : A, B, C, ... y los e le me ntos de las mismas con le tras minúsculas y subíndice s que indican e l lugar ocupado: a, b, c , ... Un e le me nto ge né rico que ocupe la fila i  y la columna j   s e e scribe a ij . S i e l e le me nto ge né rico apare ce e ntre paré nte s is tambié n re pre se nta a toda la matriz : A = (a ij)

Cuando nos re fe rimos indis tintame nte a filas o columnas

hablamos de líne as .El núme ro total de e le me ntos de una matriz Am×n  e s  

m·nEn mate máticas , tanto las Listas como las Tablas

re cibe n e l nombre ge né rico de matrice s .

• Una lis ta numé rica e s un conjunto de núme ros dispue s tos uno a continuación de l otro.

• MATRICES IGUALES• Dos matrice s A = (a ij)m×n  y  B = (b ij)p×q  son iguale s ,

s í y solo s i, tie ne n e n los mismo lugare s e le me ntos iguale s , e s de cir :

• ALGUNOS TIPOS DE MATRICES• Hay algunas matrice s que apare ce n fre cue nte me nte y

que se gún su forma, sus e le me ntos , ... re cibe n nombre s dife re nte s :

• Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.

OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES

La suma de dos matrice s  A = (a ij)m×n  y  B = (b ij)p×q  de la misma dime ns ión (e quidime ns ionale s) : m = p  y  n = q  e s otra matriz  C = A+B = (c ij)m×n = (a ij+b ij)

Es una le y de compos ición inte rna con las s iguie nte sPROPIEDADES :

· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C· Conmutativa : A+B = B+A· Ele m. ne utro : ( matriz ce ro 0m×n ) , 0+A = A+0 = A· Ele m. s imé trico : ( matriz opue s ta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0

Al conjunto de las matrice s de dime ns ión  m×n cuyos e le me ntos son núme ros re ale s lo vamos a re pre se ntar por  Mm×n  y como he mos v is to, por cumplir las propie dade s ante riore s ,  ( M, + ) e s un g rupo abe liano.

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un e scalar por una matriz se multiplica e l e scalar por todos los e le me ntos de la matriz , obte nié ndose otra matriz de l mismo orde n.

Es una le y de compos ic ión e xte rna con las s iguie nte sPROPIEDADES :

• PRODUCTO DE MATRICES• Dadas dos matrice s  A = (a ij)m×n  y  B = (b ij)p×q  donde n = p, e s

de cir, e l núme ro de columnas de la prime ra matriz  A  e s igual al núme ro de filas de la matriz  B , s e de fine e l producto A·B de la s iguie nte forma :

• El e le me nto a que ocupa e l lugar (i, j)  e n la matriz producto s e obtie ne sumando los productos de cada e le me nto de la fila  i  de la matriz  A por e l corre spondie nte de la columna  j  de la matriz B.

 • MATRIZ INVERSA

• S e llama matriz inv e rsa de una matriz cuadrada An  y la re pre se ntamos por  A -1  , a la matriz que v e rifica la s iguie nte propie dad : A -1·A = A·A -1 = I

• De cimos que una matriz cuadrada e s  "re gular"  s i su de te rminante e s dis tinto de ce ro, y e s  "s ingular"  s i su de te rminante e s igual a ce ro.

:PROPIEDADES

S ólo e xis te matriz inve rsa de una matriz cuadrada s i é s ta e s re gular. La matriz inv e rsa de una matriz cuadrada, s i e xis te , e s única. Entre matrice s NO e xis te la ope ración de div is ión, la matriz inv e rsa

re aliza funcione s análogas .

TABLA DE VERDAD

TABLA DE VERDAD e s una tabla que de splie ga e l v alor de v e rdad de

una propos ic ión compue s ta, para cada combinación de valore s de v e rdad que se pue da as ignar a sus compone nte s .

Fue de sarrollada por Charle s S ande rs Pe irce por los años 1880, pe ro e l formato más popular e s e l que introdujo Ludwig Wittge ns te in e n su Tractitos log ico-philosophicus , publicado e n 1921.

Definición y algoritmo fundamental

Cons idé re se dos propos ic ione s A y B. Cada una pue de tomar uno de dos valore s de v e rdad: o 1 (v e rdade ro), o 0 (falso). Por lo tanto, los valore s de v e rdad de A y de B pue de n combinarse de cuatro mane ras dis tintas : o ambas son v e rdade ras ; o A e s v e rdade ra y B falsa, o A e s falsa y B v e rdade ra, o ambas son falsas . Es to pue de e xpre sarse con una tabla s imple :

1 2 3  4 5

A B C B\/C A/\(B\/C)

V V V V V

V V F V V

V F V V V

V F F F F

F V V V F

F V F V F

F F V V F

F F F F F

Cons idé re se ade más a " " como una ope ración o conjunción lóg ica que re aliza una función de v e rdadal tomar los valore s de v e rdad de A y de B, y de volv e r un único valor de v e rdad. Entonce s , e xis te n 16 funcione s dis tintas pos ible s , y e s fácil cons truir una tabla que mue s tre qué de vue lv e cada función fre nte a las dis tintas combinacione s de valore s de v e rdad de A y de B.

Contradicción S e e ntie nde por propos ición contradictoria, o

contradicción, aque lla propos ición que e n todos los casos pos ible s de su tabla de v e rdad su valor s ie mpre e s F. Dicho de otra forma, su valor F no de pe nde de los valore s de v e rdad de las propos icione s que la forman, s ino de la forma e n que e s tán e s table cidas las re lacione sde unas con otras . S e a e l caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C A/\B A\/B ¬(A\/B)(A/\B)/\¬(

A\/B)[(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C

V V V V V F F F

V V F V V F F F

V F V F V F F F

V F F F V F F F

F V V F V F F F

F V F F V F F F

F F V F F V F F

F F F F F V F F

Tautologías S e e ntie nde por propos ición tautológ ica, o tautolog ía,

aque lla propos ición que e n todos los casos pos ible s de su tabla de v e rdad su valor s ie mpre e s V. Dicho de otra forma, su valor V no de pe nde de los valore s de v e rdad de las propos icione s que la forman, s ino de la forma e n que e s tán e s table cidas las re lacione s s intácticas de unas con otras . S e a e l caso: [(A B)/\(B C)] (A C)→ → → →

S iguie ndo la me cánica algorítmica de la tabla ante rior cons truire mos su tabla de v e rdad:

A B C A→B B→C(A→B)/\(B→C)

(A→C)[(A→B)/\(B→C)]

→(A→C)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos

En re alidad toda la lóg ica e s tá conte nida e n las tablas de v e rdad, e n e llas s e nos manife s tó todo lo que implican las re lacione s s intácticas e ntre las div e rsas propos ic ione s .

No obs tante la s e ncille z de l algoritmo, apare ce n dos dificultade s . La gran cantidad de ope racione s que hay que hace r para una

propos ic ión con más de 4 v ariable s . Es ta dificultad ha s ido magníficame nte supe rada por la rapide z de

los orde nadore s , y no pre se nta dificultad alguna. Que únicame nte s e rá aplicable a un e sque ma de infe re ncia, o

argume nto cuando la propos ic ión condic ionada, como conclus ión, s e a pre v iame nte conocida, al me nos como hipóte s is , has ta comprobar que su tabla de v e rdad manifie s ta una tautolog ía.

LÓGICA

MATEMÁTICA

Desarrollo. La lóg ica mate mática e s la disciplina que trata de

mé todos de razonamie nto. En un niv e l e le me ntal, la lóg ica proporciona re g las y té cnicas para de te rminar s i e s o no valido un argume nto dado. El razonamie nto lóg ico se e mple a e n mate máticas para de mos trar te ore mas ; e n cie ncias de la computación para v e rificar s i son o no corre ctos los programas ; e n las cie ncias fís ica y  naturale s , para sacar conclus ione s de e xpe rime ntos ; y e n las c ie ncias sociale s y e n la v ida cotidiana, para re solv e r una multitud de proble mas . Cie rtame nte se usa e n forma cons tante e l razonamie nto lóg ico para re alizar cualquie r activ idad.

Proposiciones y operaciones lógicas.

Una propos ic ión o e nunciado e s una oración que pue de se r falsa o v e rdade ra pe ro no ambas a la v e z . La propos ic ión e s un e le me nto fundame ntal de la lóg ica mate mática.

A continuación se tie ne n algunos e je mplos de propos ic ione s válidas y no válidas , y se e xplica e l porqué algunos e nunciados no son propos ic ione s . Las propos ic ione s se indican por me dio de una le tra minúscula, dos puntos y la propos ic ión propiame nte dicha. Eje mplo.

  p:    

     La tie

rra e s plana.

q:        

-17 + 38 = 21

r:        

  x > y -9

s :        

El More lia se rá campe ón e n la

pre sente

temporada de Fut-Bol.

t:        

  Hola ¿como e s tas?

w:        

Lava e l coche por favor.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.

Exis te n cone ctore s u ope radore s lóg icas que pe rmite n formar propos ic ione s compue s tas (formadas por

varias propos ic ione s ). Los ope radore s o cone ctore s bás icos son:

Operador and (y) :S e utiliza para cone ctar dos propos ic ione s que se de be n cumplir para que se pue da obte ne r un re sultado v e rdade ro. S i s ímbolo e s : {Ù, un punto (.), un paré nte s is}. S e le conoce como la multiplicación lóg ica

Eje mplo.

S e a e l s iguie nte e nunciado “El coche e ncie nde cuando tie ne gasolina e n e l tanque y tie ne corrie nte la bate ría”

S e an: p: El coche e ncie nde . q: Tie ne gasolina e l tanque . r: Tie ne corrie nte la bate ría.

Proposiciones condicionales.

Una propos ic ión condicional, e s aque lla que e s tá formada por dos propos icione s s imple s (o compue s ta) p y q. La cual s e indica de la s iguie nte mane ra:

p ® q                S e le e “S i p e ntonce s q” Eje mplo. El candidato de l PRI dice “S i salgo e le cto pre s ide nte de la

Re pública re cibirán un 50% de aume nto e n su sue ldo e l próximo año”. Una de claración como e s ta s e conoce como condic ional. S u tabla de v e rdad e s la s iguie nte :

S e an p: S alió e le cto Pre s ide nte de la Re pública. q: Re cibirán un 50% de aume nto e n su sue ldo e l próximo año.

Proposición bicondicional.

S e an p y q dos propos ic ione s e ntonce s se pue de indicar la propos ición bicondicinal de la s iguie nte mane ra:

p « q                S e le e “p s i solo s i q”

Es to s ignifica que p e s v e rdade ra s i y solo s i q e s tambié n v e rdade ra. O bie n p e s falsa s i y solo s i q tambié n lo e s . Eje mplo; e l e nunciado s iguie nte e s una propos ición bicondicional

“Es bue n e s tudiante , s i y solo s i; tie ne prome dio de die z” Donde : p: Es bue n e s tudiante . q: Tie ne prome dio de die z .

Equivalencia lógica.

S e dice que dos propos ic ione s son lóg icame nte e quivale nte s , o s imple me nte equivalentes . S i coincide n sus re sultados para los mismo valore s de v e rdad. S e indican como p º q.

  Cons ide ro que un bue n e je mplo e s e l que se

e s table ció para ilus trar la tautolog ía e n donde se pue de obse rvar que las columnas de (p®q)  y  (q’®p’) para los mismo valore s de v e rdad, por lo tanto se pue de e s table ce r que (p®q)  º (q’®p’)

Reglas de inferencia

Los argume ntos basados e n tautolog ías re pre se ntan mé todos de razonamie nto univ e rsalme nte corre ctos . S u valide z de pe nde solame nte de la forma de las propos ic ione s que inte rv ie ne n y no de los valore s de v e rdad de las variable s que contie ne n. A e sos argume ntos se le s llama reg las de inferencia.Las re g las de infe re ncia pe rmite n re lacionar dos o más tautolog ías o hipóte s is e n una de mos tración.

Bibliografía.

Libro Autor Editorial Estructuras de Matemáticas Discretas 

Bernard Kolman, Robert C. Bisby, Sharon Ross 

Prentice Hall 

Elements of Discrete Mathematics 

C.L.Liu  Mc graw Hill 

Matemáticas Discreta y Combinatoria 

Ralph P. Grimaldi  Addiso Wesley 

Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación 

Jean Paul Tremblay, Ram Manohar 

CECSA 

Matemáticas Discretas  Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright 

Prentice Hall 

Matemática Discreta y Lógica  Winfried Karl, Jean Paul Tremblay 

Prentice Hall 

Matemáticas Discretas  Richard Johnsonbaugh  Gpo. Editorial Iberoamerica