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DURACIÓN: 60´ GRADO: 4-12 MATERIA: MATEMÁTICAS, ÁLGEBRA, ARITMÉTICA, CIENCIAS, HISTORIA, ARTE, PINTURA. CONCEPTOS DE PRECÁLCULO II: LÍMITES-INFINITO-PROBABILIDAD DESCRIPCIÓN: El video nos muestra las matemáticas y la visión del mundo en el Valle del Indo e incluye la aplicación de las series infinitas que encontramos en las Paradojas de Zenón, la probabilidad conjunta en los eventos deportivos, la probabilidad condicionada, los efectos de la pesca excesiva y los límites e infinito en el contexto de la astronomía. OBJETIVO:

Conocer el uso y aplicación de los límites, el infinito y la probabilidad en la vida real MATERIALES: Mapa, lápiz, pluma, organizador gráfico o mapa conceptual.

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I. ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTO PREVIO. DISCUTIR Y RESPONDER LAS SIGUIENTES PREGUNTAS.

¿Qué entiendes sobre probabilidad? ¿Cómo usas la probabilidad en tu vida? ¿Qué sabes sobre el infinito?

II. VER EL VIDEO DEL MINUTO 2 AL MINUTO 23 Y RESPONDER LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. 1. ¿Qué es una probabilidad conjunta? Cuando uno o más factores afectan un resultado individual, la probabilidad de que dos o más hechos ocurran a la vez. 2. ¿Cómo se calcula la probabilidad conjunta? Se considera la relación que hay entre los hechos y si son dependientes o independientes; aquellos en los cuales el resultado de un hecho no afecta el resultado de otro. C ¿Qué indicadores son relevantes además de la probabilidad para que suceda un hecho? El trabajo duro, la habilidad, la determinación y la motivación. D ¿A qué se le llama condicional? Cuando la probabilidad de un evento depende de que otro ocurra. 5. ¿Cómo influye la probabilidad condicional nuestras vidas? De varias maneras, la probabilidad de que ocurra un hecho si otro hecho ya ocurrió o está por ocurrir. La probabilidad de que ocurra el segundo hecho depende de la probabilidad del primero. 6. Explica y ejemplifica matemáticamente la probabilidad condicional Si A y B son hechos, la probabilidad de B dada A es igual a la probabilidad de A y B sobre la probabilidad de A. 7. ¿A qué se refiere el problema de Monty Hall? Explica Se basa en el concurso de los años 60, llamado Let’s Make A Deal, donde se le muestran tres puertas cerradas a una concursante. Detrás de una puerta está el premio mayor, un auto, y detrás de las otras dos hay una cabra. El presentador le dice a la concursante que elija una de las tres puertas. Luego, abre una de las puertas que el concursante no escogió y muestra una cabra. El presentador siempre abrirá una puerta en donde habrá una cabra porque sabe qué hay detrás de cada puerta. Se le pregunta a la concursante si mantiene su elección original o si desea cambiar de parecer y elegir la otra puerta cerrada. Hacer un cambio, ¿aumenta las posibilidades de la concursante de ganar? La respuesta a esta pregunta no es intuitiva. Parecería ser que cambiar de puerta no afectaría las probabilidades de ganar. Cuando la concursante decide la primera vez, la posibilidad de acertar es de una en tres, o de un tercio. Se asume que luego de que el presentador abrió una puerta con una cabra, a la concursante le queda una posibilidad en dos para acertar, sin importar cuál sea su decisión. Pero la probabilidad condicional dice que si la concursante cambia de parecer y elije otra puerta, las posibilidades que tiene de ganar el auto son de dos en tres. 8. ¿Qué muestra el problema Monty Hall además de un indicador matemático? Que a veces la matemática y el pensamiento lógico son más precisos que la intuición. 9. ¿Quiénes han explorado el concepto de infinidad? Los científicos, filósofos y matemáticos, por ejemplo. 10. ¿Para qué se continúa explorando el universo? Para intentar descubrir cuál es su alcance y dónde termina.

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11. ¿Qué líneas escribió la autora Simone de Beauvoir respecto al infinito? .¨… soy incapaz de concebir el infinito, y, aún así, no puedo aceptar lo finito¨ 12. ¿A qué se refiere el concepto de infinito? Al concepto de la extensión ilimitada de tiempo, de espacio, de cantidad. 13. ¿Cuál es el símbolo de infinito? Es

y no tiene ni principio ni fin. 14. ¿Cómo es la Tierra respecto a lo finito y al infinito? Se considera la superficie de la Tierra como finita, aun así, no tiene límites. 15. ¿Cómo se usa el concepto de ¨Límite¨ en las matemáticas? Se usa para describir el comportamiento de una función a medida que la variable se aproxima a algún número, o aumenta o disminuye sin límite. 16. ¿Cuando se denomina el límite en el infinito en las matemáticas? Cuando el cálculo de X se aproxima a cero. 17. ¿Para qué nos ayudan los límites? Para comprender el concepto de infinidad, pero la idea de la masa del universo aún intriga a muchos científicos 18. ¿De qué tratan las paradojas de Zenón sobre el infinito? Sobre el infinito y el continuo. 19. ¿Cuántas paradojas se dice que escribió Zenón? 40 y se dice que algunas tuvieron un gran impacto en el desarrollo de las matemáticas. 20. ¿Qué es una paradoja? Es una declaración aparentemente contradictoria que, no obstante, puede ser cierta. 21. ¿Cuáles son unas de las paradojas más conocidas? Las creadas por Zenón de Elea. 22. ¿Quién fue Zenón? Un filósofo griego que nació por el año 488 A.C. y seguidor de Parménides. 23. ¿Quién fue Parménides? Un filósofo que creía que la realidad era un todo inmutable y absoluto y que las ideas como el movimiento y la pluralidad eran meras ilusiones. 24. ¿Cuáles eran las paradojas de Zenón sobre el movimiento? Aquiles y la Tortuga, la paradoja de la dicotomía y la paradoja de la flecha . 25. ¿De qué trata la paradoja de Aquiles y la Tortuga? La paradoja de Aquiles y la Tortuga describe una carrera. Como el corredor fuerte, el guerrero griego, Aquiles, está confiado de que ganará, entonces le deja ventaja a la tortuga, pero la tortuga demuestra que no hay manera de que Aquiles pueda ganar la carrera. Zenón plantea el siguiente argumento. Antes de que Aquiles pueda alcanzar a la tortuga, primero debe correr hasta el punto A, desde donde comenzó la tortuga, pero la tortuga ya se movió hasta el punto B. Ahora Aquiles debe correr al punto B, pero la tortuga alcanzó el punto C. Aquiles está inmerso en una situación en la cual se aproxima a la tortuga, pero nunca la alcanza. Zenón dividió el viaje de Aquiles en un número infinito de piezas.

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26. ¿De qué trata la paradoja de la dicotomía? Refiere a los objetos que se mueven. En este caso, un auto sirve como ejemplo. La paradoja establece que antes de que un objeto en movimiento pueda viajar cierta distancia, debe recorrer la mitad de esa distancia. Para recorrer la mitad de la distancia, primero viajó la mitad de la mitad, o un cuarto. Y antes de viajar ese cuarto, debe viajar la mitad de ese cuarto o un octavo, y así sucesivamente. El proceso de dividir nunca tiene un final, porque siempre hay una distancia que se puede dividir, por más pequeña que sea. Por tanto, parece que la distancia original nunca se puede recorrer y que el movimiento es imposible. 27. ¿De qué trata la paradoja de la flecha? Nos imaginamos una flecha en el aire. En todo momento en el tiempo, la flecha se ubica en una posición específica, inmóvil. Si está inmóvil todo el tiempo que está en el aire, significa que está inmóvil durante el viaje completo, entonces el movimiento es imposible. Obviamente, sabemos que el movimiento es posible porque vemos cómo los objetos se mueven de forma constante. 28. ¿Qué hay de incorrecto en las paradojas de Zenón? La paradoja de la flecha es la más simple de resolver. Podemos concebir que la flecha no se mueva en cada instante, pero esto no significa que la flecha no se mueva en absoluto. En física, el concepto de movimiento se define como el cambio en la posición de un cuerpo con respecto al tiempo. Que la flecha no se mueva en ningún instante es irrelevante. El movimiento requiere de tiempo, así que, no hay movimiento en los instantes sin tiempo. En las otras dos paradojas, Aquiles y la Tortuga y la paradoja de la dicotomía, Zenón asegura que el espacio es infinitamente divisible. III. VER EL VIDEO DEL MINUTO 22 AL MINUTO 28. USA LA INFORMACIÓN DEL VIDEO PARA COMPLETAR LA INFORMACIÓN FALTANTE. El (1) movimiento es un cambio en la posición de un cuerpo con respecto al (2) tiempo Un objeto en

movimiento debe alcanzar un número (3)infinito de puntos, nunca puede alcanzar su objetivo, pero sabemos

que es posible viajar de un lugar a otro. Supongamos que estamos de acuerdo en que antes de recorrer un

kilómetro debemos (4) recorrer medio kilómetro, y que antes de recorrer el otro medio kilómetro debemos

hacer la mitad de este, que sería un (5) cuarto de kilómetro; luego, un octavo de kilómetro, un dieciseisavo y

así sucesivamente. Al recorrer un (6) número infinito de pequeñas distancias, donde cada distancia es la (7)

mitad de la distancia anterior, recorremos todo el kilómetro. Pareciera ser que al agregar un número infinito

de distancias (8) positivas deberíamos obtener una distancia infinita para la suma, pero, en este caso, no es

así. Esta es una serie (9) geométrica infinita cuya suma puede expresarse como: la suma a partir de ¨n¨ igual

a uno, a la infinidad de un medio a la (10) potencia de ¨n¨. Podemos probar que esta serie infinita es igual a

uno con solo mirar una serie geométrica (11finita.

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IV. VER EL VIDEO DEL MINUTO 28 AL MINUTO 30 Y DECIDIR SI LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS SON VERDADEROS (V) O FALSOS (F).

(V) 1. En la Época Oscura de Europa, los matemáticos del mundo indio y árabe cultivaron su conocimiento.

(V) 2. Los matemáticos del mundo indio y árabe establecieron las bases de las prácticas matemáticas actuales.

(V) 3. Las civilizaciones antiguas del río del Valle Indo y el subcontinente indio fueron de gran influencia para el mundo moderno.

(F) 4 .Las ciudades de Harappa y Mohenjodaro se formaron hace 500 años. (F) 5. Europa es responsable de los logros en el arte, en la ciencia y en las matemáticas. (V) 6. Se cree que el sistema numérico actual se originó en Harappa y Mohenjodaro. (V) 7 .Los griegos desarrollaron la geometría (F) 8. Los españoles desarrollaron el álgebra. (V) 9. La trigonometría y el sistema decimal fueron considerados las primeras raíces de la

matemática moderna. (V) 10. Los conceptos del sistema decimal, la notación de valor posicional y el cero se originaron en la

India. V. VER EL VIDEO DEL MINUTO 29 AL MINUTO 31 Y RELACIONAR LAS SIGUIENTES COLUMNAS. ESCRIBIR EL NÚMERO DE LA ORACIÓN QUE CORRESPONDA PARA COMPLETAR LA IDEA CORRECTAMENTE.

1. Las civilizaciones antiguas eran 2. Los eruditos del Valle Indo

(E) 3. Hoy Harappa esta en 4. En Harappa se desarrolló 5. La contribución más relevante de

Harappa fue el descubrimiento del (D) 6. El sistema de pesos y medidas 7. El período Védico comenzó hacia 8. Los Vedas son 9. Con los Vedas llegó la primera 10. Los Vedas aplicaron matemáticas a la

a) Tecnología para cocinar ladrillos de

barro b) Textos indios antiguos c) Competentes en matemáticas d) Graduaba el peso cúbico e) Pakistán f) Religión G .Prueba de las matemáticas 1. Desarrollaron el álgebra 2.1500 A.C. 3. Sistema uniforme de pesos y medidas

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VI. VER EL VIDEO DEL MINUTO 31 AL MINUTO 41 USAR LA TABLA DE LETRAS Y LAS CLAVES PARA COMPLETAR LAS PALABRAS. ENCONTRAR LAS COORDENADAS QUE FALTAN PARA CADA LETRA DE LAS PALABRAS Y ESCRIBIRLAS EN PARÉNTESIS DEBAJO DE CADA LETRA. SEGUIR EL EJEMPLO.

Un felino: G A T O

(3,5) (1,5) (3,4) (2,1)

5 A L G V D

4 K N T P H

3 Q C B Ñ S

2 F U J Y Z

1 I O R E M

1 2 3 4 5

1. Los diez símbolos que usamos evolucionaron de una serie india conocida como números …

B R A H M I

____ ____ ____ ____ ____ ____

(3,3) (1,5) (5,4) (1,1)

2. El concepto de … fue ignorado por las culturas más antiguas

C E R O

____ ____ ____ ____

(2,3) (3,1)

3. El cero posee naturaleza ...

A B S T R A C T A

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

(1,5) (3,3) (3,1) (1,5) (3,4)

4. El cero es importante en el sistema de … posicional

V A L O R

____ ____ ____ ____ ____

(4,5) (2,5) (3,1)

5. Brahmagupta fue uno de los matemáticos más reconocidos de la …

I N D I A

____ ____ ____ ____ ____

(1,1) (5,5) (1,5)

6. Brahmagupta escribió dos tratados … que hacían un fuerte uso de las matemáticas

C I E N T Í F I C O S

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

(2,3) (2,4) (3,4) (1,2) (2,3) (5,3)

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7. Brahmagupta definió el cero como el resultado de … otro número de sí mismo

S U S T R A E R ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (5,3) (5,3) (3,4) (4,1) (3,1) 8. Cuando el cero se suma o se resta de otro número, ese número permanece …

I G U A L ____ ____ ____ ____ ____ (1,1) (2,2) (2,5) 9. Brahmagupta también comprendió la … de los números negativos

P R O P I E D A D ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (4,4) (4,4) (5,5) (5,5) 10.¨ Fortuna¨ y ¨ ... ¨ son términos a los que se refieren los números positivos y negativos.

D E U D A ____ ____ ____ ____ ____ (5,5) (2,2) (5,5)

11. Cero ... cero es cero.

M E N OS ____ ____ ____ ____ ____ (5,1) (2,4) (2,1) 12. El producto de cero … por cero es cero.

M U L T I P L I C A C I O N ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

(5,1) (2,5) (3,4) (1,1) (2,3) (5,5) 13. El producto o ... de dos fortunas es una .

CO C I E N TE ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

(2,3) (2,3) (1,1) (3,4) 14. El producto o cociente de una … y una deuda es una deuda.

F O R T U N A ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (1,2) (3,1) (3,4) (1,5) 15. Las ventajas de un sistema decimal posicional se ven en la eficacia de las operaciones …

A R I T M É T I C A S ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

(1,5) (3,1) (5,1) (1,1) (2,3) (5,3)

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2. El ... comenzó a pensar las matemáticas como una disciplina abstracta que trabajaba con cifras numéricas importantes y a conceptuar la noción de infinito.

J A I N I S M O

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (3,2) (1,1) (2,4) (5,3) (2,1) 17. Un … es un número entero que puede definirse o calcularse.

N U M E R A B L E ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (2,4) (5,1) (1,5) (4,1) 18. Un número ... es un número entero que existe pero que es difícil de calcular o contar.

I N N U M E R A B L E ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

(1,1) (2,4) (2,4) (3,1) (1,5) (3,3) 19. Un número infinito es una cantidad que es inmensurable o …

I L I M I T A D A ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (1,1) (2,5) (5,1) (1,5) (5,5) 20. Los janistas también crearon … y series de números.

S E C U E N C I A S ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (5,3) (2,2) (4,1) (1,1) (1,5) 21. Los janistas también comprendían bien la ley de índices y raíces …

C U A D R A D A S ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ (2,3) (1,5) (5,5) (5,5) (1,5) 22. Los janistas demostraron gran habilidad al calcular … y combinaciones.

P E R M U T A C I O N E S ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

(4,4) (5,1) (2,2) (2,3) (1,1) (4,1) (5,3)

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VII. VE EL VIDEO DEL MINUTO 40 AL MINUTO 51 Y COMPLETA LAS SIGUIENTES IDEAS. A .La (1) permutación sería el orden de un determinado número de (2) elementos de una serie dada. 1 Se define una (3) combinación como uno o más elementos seleccionados de una (4) serie sin tener en cuenta el orden de selección. 2 Un janista llamado (5) Mahavira planteó el problema para encontrar el número total de combinaciones de los diferentes (6) gustos que existen, nombrando seis gustos individuales: (7) astringente, amargo, agrio, acre, salado y (8) dulce. Lo que Mahavira hizo fue (9) agregar todas las combinaciones diferentes, de seis objetos, para encontrar el (10) número total de combinaciones. 3 Mahavira no revela cómo llegó a estas (11)fórmulas , pero las fórmulas que él inventó son las que usamos en la actualidad, para resolver los problemas de (12) probabilidad. 4 Las civilizaciones de la (13) India fueron las primeras en aplicar las matemáticas y la (14) ciencia en su práctica religiosa. Una cita del Lilavati, escrita por Bhaskara, nos plantea un problema que nos hace pensar: ¿cuántas (15) variaciones de la forma del dios Sambhu pueden hacerse al cambiar los diez (16) atributos que sostiene a la vez, con cada una de sus manos? La soga, el gancho de elefante, la (17) sepiente , el tambor, el cráneo, el tridente, la cama, la daga, la flecha y el (18) arco. La respuesta es diez III. diez, o el factorial de diez, que es igual a 3, 628,800. 11. Ramanujan fue capaz de desarrollar (19) teorias matemáticas sorprendentes, trabajando con funciones (20) elípticas, fracciones continuas y series infinitas. 12. En el presente, la (21) India es un referente mundial en la informática, en la (22) ingeniería y en la gestión de datos.

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VIII. SOPA DE LETRAS. VE EL VIDEO Y ENCUENTRA LAS SIGUIENTES PALABRAS.

MATEMÁTICA INFINITO PROBLEMA PERMUTACIÓN LÍMITES JANISTA COMBINACIÓN CIENCIA ÍNDICES NÚMERO PROBABILIDAD RAIZ ASTRINGENTE TEORÍA CERO FÓRMULAS ELÍPTICAS DEUDA INFORMÁTICA SERIE RESTAR INGENIERÍA GUSTOS VEDAS ELEMENTOS FRACCIONES ERUDITO SECUENCIAS CALCULAR ÁLGEBRA NUMERABLE ILIMITADA GEOMETRÍA ARITMÉTICA FORTUNA POTENCIA PROPIEDAD MULTIPLICAR PARADOJA

P E R M U T A C I O N L U C I A R I T M E T I C A R S R U O S H O I S E R A D F M N U O A O S J P S O R E C I A M M Q A P C T A E E L I P T I C A S T B I C A N L C B N L I E Z I L U B P N E R L N N R A L G E B R A I U U Y I C I E N C I A M A O I R I B Q U R I U M N H M A O U L M D T O N A L L S A N I E S I N T B A T R T P O T E N C I A T U P T N G L I T T F R O C D O R A D O N G H U L I C O A N E I R O E O J V I N F L R M S T I P A F C L T E R N D T S E R I E O F M R A U T O N R N M A A E X E T A S I T M F S N R T I D S O S E C U E N C I A S E D V E D A S N U M E R O C A R P I M B H O P A P G A I C E T F T S S I N J L I M I T E S D M R I J O M U L T I P L I C A R A G T E T I R E S T A R S T E O T O C E T E H L U I L I M I T A D A E V T B I L C F R A C C I O N E S A I P A T B N T O D E V N B O D R C T E G I S N D S H U E P L H V R S M P I O C I N D I C E S O U O T I D U R E Z D I O O E F R A V F A D R N M E O T E P F O R T U N A L E N N P R O P I E D A D A S Y Q O R A I R E I N E G N I

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IX. CONEXIONES CURRICULARES. ARITMÉTICA / MATEMÁTICAS / HISTORIA: En equipos de 3 o 4 alumnos, estudiar el sistema de multiplicación de los Vedas, aplicarlo y explicarlo dando ejemplos. Ver el video del minuto 37 al 38. R.Para multiplicar 81 y 95, usando el sistema veda, comenzamos determinando el número de base o la potencia más cercana de diez, de ambos números, que en este caso es 100. Luego, creamos dos columnas. A la izquierda, escribimos los números que multiplicamos, 81 y 95. A la derecha, sustraemos cada número de la base y obtenemos 19 y cinco. A estos números se los denomina “deficientes”. Lo próximo a hacer es la sustracción en cruz. Sustraemos cinco de 81 ó 19 de 95. En ambos casos la diferencia es de 76. Ahora, multiplicamos los dos deficientes, 19 y cinco, y obtenemos 95. Por último, fusionamos 76 y 95 y nos da como resultado 7,695, el producto de 81 y 95. La multiplicación veda usa la adición en cruz cuando los dos números son mayores al número de base más cercano. Por ejemplo, multiplicamos 1,031 y 1,004. En este caso, la potencia más cercana de diez es 1,000. Hacemos dos columnas, ubicamos los dos números a multiplicar a la izquierda. A la derecha, sustraemos el número de base de cada uno de los números, y obtenemos 31 y cuatro. Estos números se llaman excedentes. Luego, hacemos la adición en cruz y obtenemos 1,035. Multiplicamos los excedentes para llegar a 124. Por último, fusionamos ambos números y obtenemos 1, 035,124, el producto de 1,031 y 1,004. X. GLOSARIO. ÁLGEBRA: Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita. ARITMÉTICA: Parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos. CERO: Signo sin valor propio, que en la numeración arábiga sirve para ocupar los lugares donde no haya cifra significativa. Colocado a la derecha de un número entero, decuplica su valor; pero a la izquierda, en nada lo modifica. ELÍPTICA: Perteneciente o relativo a la elipsis. FÓRMULA: Ecuación o regla que relaciona objetos matemáticos o cantidades. GEOMETRÍA: Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. INFINITO: Que no tiene ni puede tener fin ni término. Que no tiene ni puede tener fin ni término. MULTIPLICAR: Hallar el producto de dos factores, tomando uno de ellos, llamado multiplicando, tantas veces por sumando como unidades contiene el otro, llamado multiplicador. Realizar esta operación con expresiones algebraicas.

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NÚMERO: Expresión de una cantidad con relación a su unidad. PARADOJA: Figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción. PERMUTACIÓN: Cada una de las ordenaciones posibles de los elementos de un conjunto finito. POTENCIA: Producto que resulta de multiplicar una cantidad o expresión por sí misma una o más veces. PROBABILIDAD: En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. SECUENCIAS: Conjunto de cantidades u operaciones ordenadas de tal modo que cada una está determinada por las anteriores. SERIE: Expresión de la suma de los infinitos términos de una sucesión.