EVALUACIN

CONCEPTOS GEOMTRICOS PRIMITIVOSComponentes elementales de las figuras geomtricas

Nadie entre aqu que no sepa geometra.

PlatnPunto, recta, plano y espacio

Ideas, modelos o representaciones fsicas de los objetos geomtricos

Cmo podran describirse, un punto, una recta, un plano y el espacio? Estos cuatro conceptos son muy importantes en el estudio de la geometra. Aqu no se definirn el punto, la recta ni el plano, sino que se observarn objetos que los sugieren.

Punto, recta, plano y espacio

Ideas, modelos o representaciones fsicas de los objetos geomtricos

Algunas figuras geomtricas bsicas

Ideas, modelos o representaciones fsicas de los objetos geomtricos

Relaciones entre puntos, rectas y planos

Ideas, modelos o representaciones fsicas de los objetos geomtricos

Algunas de las relaciones bsicas de los puntos y las rectas en un plano se describen a continuacin con modelos, smbolos y definiciones.

Algunas figuras geomtricas bsicas

Figura plana y espacial

Una figura plana es una figura con todos los puntos en un plano, pero no todos en una recta.

Una figura espacial no tiene todos sus puntos en un solo plano.

Algunas ideas bsicas sobre conjuntos

Conjuntos de puntos y operaciones entre figuras geomtricas

Dado que la recta, el plano e inclusive el espacio se consideran conjuntos de puntos, resulta til definir los objetos o figuras geomtricas con los que trabajaremos como conjuntos y puntos y, como tales, pueden unirse o intersecarse para generar nuevos conjuntos (figuras). La teora de conjuntos nos proporciona entonces el lenguaje ideal para expresar de manera adecuada la teora que queremos construir. Tenemos dos conjuntos o figuras, A y B, entonces:

Se dice que un conjunto B es subconjunto de un determinado conjunto A si cada punto de B es punto de A. Se simboliza y se lee B est contenido o incluido en A.Ejemplo

Se dice que un conjunto B es subconjunto propio de un determinado conjunto A si B est contenido o incluido en A y adems existe un punto en A que no est en B.

La unin de dos o ms conjuntos es un conjunto que contiene a todos los elementos de estos conjuntos. Se simboliza y se lee A unido con B.Ejemplo

La interseccin de dos conjuntos es un conjunto que contiene a aquellos elementos comunes a ambos conjuntos. Se simboliza y se lee A interceptado con B.Ejemplo

Definicin: Existe un conjunto que no tiene elementos, denominado el conjunto vaco, y se denota .

Lleg el momento para una aclaracinSegn el DRAE (Diccionario de la Real Academia Espaola - Vigsima segunda edicin), podemos encontrar la definicin de los siguientes trminos:

Interseccin.1.Geom.Encuentro de dos lneas, dos superficies o dos slidos que recprocamente se cortan, y que es, respectivamente, un punto, una lnea y una superficie.

2. Mat.Conjunto de los elementos que son comunes a dos conjuntos.

Intersecarse.Geom. Dicho de dos lneas o de dos superficies: Cortarse o cruzarse entre s.Interceptar.1.Apoderarse de algo antes de que llegue a su destino.

2.Detener algo en su camino.

3.Interrumpir, obstruir una va de comunicacin.

Una advertencia: Si comparamos las definiciones de los trminos interseccin e intersecar, vemos que podra surgir confusin en la utilizacin de los mismos. Cuando hablamos de la interseccin de dos conjuntos, admitimos la posibilidad de que sta sea nula, pero cuando decimos que dos conjuntos se intersecan, siempre entendemos que contienen un elemento en comn, por lo menos.

Otra advertencia: La idea de cero y la del conjunto vaco estn estrechamente relacionadas, pero no son la misma cosa. Por ejemplo, la ecuacin

Tiene a cero como solucin nica y, por tanto, el conjunto solucin no es vaco; el conjunto de las soluciones tiene exactamente un elemento, a saber, 0.

Por otra parte, la ecuacin

No tiene soluciones. En consecuencia, el conjunto de las soluciones es o.

Dale que daleEn la figura, cada una de las dos rectas es un conjunto de puntos y su interseccin contiene exactamente un punto:

En la figura vemos dos conjuntos de puntos, cada uno de los cuales es una regin rectangular contenida en un plano. Su interseccin es un segmento, contenido en una recta. En la figura, cada uno de los rectngulos es un conjunto de puntos, y su interseccin es un conjunto que contiene exactamente dos puntos:

Anlogamente, cada una de las regiones rectangulares es un conjunto de puntos y su interseccin es la pequea regin rectangular en el medio de la figura (en negro):

En la siguiente figura, se pueden observar las figuras geomtricas, X denominada rectngulo AEFD e Y denominada rectngulo EBCF. Entonces la unin de las dos figuras es una nueva figura geomtrica Z, denominada rectngulo ABCD,

El segmento EF de la figura, es la interseccin la figura geomtrica X e Y. Observe que es un conjunto, formado por puntos: los puntos comunes de ambos rectngulos. Adems, los puntos de este segmento pertenecen a la unin por dos razones.Un tringulo es la unin de tres conjuntos, cada uno de los cuales es un segmento.

Un rectngulo es la unin de cuatro conjuntos, cada uno de los cuales es un segmento.

Referencia bibliogrficaTomado y adaptado de Clemens, S., ODafeer, P. y Cooney, T. (1989). Geometra con aplicaciones y solucin de problemas. Wilmington. Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.

5APUNTES DE CLASE: GEOMETRA Ing. Jorge Mario Rendn Vlez

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