“Probabilidad. Experimento aleatorio, espaciomuestral, variable aleatoria. Probabilidadcondicional. Sucesos mutuamente excluyentes e independientes. Variable aleatoria.Esperanza y varianza de una variable aleatoria. Distribución de probabilidad.”

Conceptos iniciales:

Las teorías matemáticas, sobre todo las relacionadas con fenómeno naturales, a losque se trata de entender para luego poder predecir, se construyen siempre a partir deconceptos intuitivos, suficientemente claros para que puedan ser aplicados en las primerasetapa de la teoría, pero no suficientemente rigurosos para que queden a salvo de objecionescuando la misma alcanza cierto grado de desarrollo. Se hace necesario, entonces, revisar losfundamentos, precisar las definiciones y dar, si es posible, una construcción axiomática.

Sin embargo, para comenzar a estudiar una teoría, no siempre el camino axiomático esel más recomendable. Los axiomas son elaborados por quienes conocen muy bien la teoría, ysu verdadero sentido se comprende con facilidad cuando se está familiarizado con el tema.

Es mejor empezar por definiciones tal vez no muy exactas y con ejemplos simples, perosubstanciales, para poder comprender luego el verdadero sentido de los axiomas, y para quelos mismos aparezcan de manera natural como expresión sintética y firme de conocimientosya adquiridos.

Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos estos dos valores, que describela posibilidad de ocurrencia de un evento.

Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.

· Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene siempre el mismo resultado.

· Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas condiciones se obtienen distintos resultados.

Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de un experimento.Evento: Es una colección de uno o más resultados de un experimento.

Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección de uno o más resultados de un experimento.

· E1=Sacar un 5 al tirar un dado

· E2=Sacar un número par al tirar un dado.

· E3=Sacar un número menor que 7 al tirar un dado=EVENTO CIERTO

· E4=Sacar un número mayor que 6 al tirar un dado=EVENTO IMPOSIBLE

Sucesos mutuamente excluyentes:· Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos impide

la ocurrencia del otro.

· P(A B)=P(AyB)=P(AB)=0

Sucesos colectivamente exhaustivos

· Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos cuando al menosuno de ellos deba ocurrir siempre que se realiza el experimento.

· Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma de las probabilidades de todos lossucesos deberá ser igual a 1.

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de unexperimento.Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de ListasConjunto de posibles resultados al tirar un dado={1;2;3;4;5;6}

Diagramas de árbolConjunto de posibles resultados al tirar dos monedas

Tablas rejilla

Conjuntos (Diagramas de Venn)Se pretende representar a las mujeres, a losuniversitarios pero es necesario tener en cuenta queexisten mujeres universitarias.

Tablas de doble entradaCuando se tienen dos o más variables con dos o más categorías

cada una, por ejemplo hombres y mujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados en Economía

y Administración Agraria.

Recordemoscuales sonlos totalesmarginales yel gran total.

Definiciones de probabilidad:

Definición de probabilidad clásica

Se basa en que todos los resultados son igualmente probables o equiprobables.

· Mutuamente excluyentesColectivamente exhaustivos

Regla de Laplace:

Ejemplo: Sea el experimento de tirar dos monedas a la vez

•El espacio muestral será S = {CC, CS, SC, SS}

•Consideremos el evento de que salga una sola cara.

•Probabilidad de una sola cara = {CS, SC}/{CC, CS, SC, SS}= 2/4 = ½ = 0,5

Probabilidad frecuencial.

Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de ocurrencia de un eventose determina por observación del número de veces que eventos similaresocurrieron en el pasado.

(Frecuencia relativa)

Ejemplo: Sea el experimento de estudiar una droga que cura cierta enfermedad en vacunos

enfermos. Se aplicó a 1000 vacunos y se curaron 700.

•El espacio muestral será S = {curado; no curado}

•Consideremos el evento de que el vacuno se cure.

•Probabilidad de curado = 700/1000=0,7

Probabilidad subjetiva:

Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo, ni posibilidad de efectuarrepetidamente el experimento, se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen saber yentender estimará la probabilidad.

Ejemplos:

•Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato

•Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón

•Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una compañía se incremente endos años.

Axiomas de probabilidadIndependientemente de que definición de probabilidad utilicemos, siempre se

deberán cumplirlos siguientes tres axiomas.

Axiomas:

•Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número mayor o igual

a cero

P(A)≥0

•Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

P(S)=1•Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes luego la probabilidad de launión entre ambos está dada por la siguiente fórmula.

P(A∪B)=P(A)+P(B)Consecuencias de los axiomas de probabilidad:

1.- (∅) = 02.- Si ̅= Suceso complementario de A, es decir, ̅ = − , á , ( ) = 1 − ( )3.- Si , ∁ , ( ) ≤ ( )4.- Para todo A, se cumple que: ( ) ≤ 1Regla general de la suma de probabilidades:

Si A y B son dos sucesos no mutuamenteexcluyentes, la probabilidad de la uniónentre ambos está dada por la relación:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Ejemplo:

Independencia:Dos eventos A y B son independientes cuando se cumple que la la probabilidadconjunta es igual al producto de las probabilidades marginales.( ∩ ) = ( ) × ( )Probabilidad condicionalEs la probabilidad de ocurrencia de un evento en particular, dado que otro eventoha ocurrido. La probabilidad condicional del evento A dado que el evento B haocurrido se escribe P(A/B)

Regla general del producto:

Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta de que ambos sucedan secalcula según la siguiente formula:( ∩ ) = ( ) × ( / ) = ( ∩ ) = ( ) × ( / )Si los evento A y B son independientes , la probabilidad conjnta de que ambossucedan , se calcula según la siguiente fórmula:( ∩ ) = ( ∩ ) = ( ) × ( ) = ( ) × ( )Problemas a resolver:Dos candidatos a los consejos de administración A y B , compiten por el controlde una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y

o,3 respectivamente. Si gana A , la probabilidad de intrioducir un nuevo productoes 0,8 y si gana B , la correspondiente probabilidad es 0,4.Demuestre que antes de las elecciones, la probabilidad de que sea introducido unnuevo producto es 0,68.Sugerencia , recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta.Considerar todo el espacio muestral.

Problemas a resolver:El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de la variedad A. Delos de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbol al azar,¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?Sugerencia: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta.

Considerar la tabla de contingencia:

Problema a resolver:

El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir unaenfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal

infectado se recupera. ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido lavacuna preventiva?

Sugerencias: recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta.

Regla del producto.

Variable aleatoria

Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral, sedenomina variable aleatoria a la función que asigna a cada elemento delespacio muestral un número real.

: → ( ) =Ejemplo: si se define la variable aleatoria, X= número de caras obtenidas alarrojar dos monedas:

¿Qué valores puede tomar X?

X(SS)=0

X(CS)=X(SC)=1

X(CC)=2

Se denomina recorrido Rx al conjunto de valores que puede tomar la variable.

Variable aleatoria discreta: Una variable aleatoria es discreta

cuando toma un número contable de valores. Entonces entre dos valoresconsecutivos de una variable aleatoria discreta no hay ningún número quepertenezca al recorrido de la variable Rx={ , , } , donde cada es unvalor de la variable aleatoria.

En general, estos valores no serán igualmente probables, sino que cada Xtendrá asignada una probabilidad.

Luego, para caracterizar una variable aleatoria es necesario conocer surecorrido y la probabilidad de cada elemento del recorrido.

Ejemplo. Retomando el ejemplo de X= “cantidad de caras al lanzar al aire dosmonedas”.

P(X=0)= P(SS)= ¼P(X=1) = P(SC;CS)=1/2P(X=2) = P(CC)=1/4

Propiedades

1) P( ) ≥ ,⍱2) ∑ ( ) = 1∈

Variable aleatoria continua:

Una variable es continua en un intervalo, cuando puede tomar cualquier valorperteneciente al intervalo.

En general definiremos variables aleatorias continuas cuando lasexperiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo, temperatura,etc.

En este caso se define (en lugar de la función de distribución), unafunción de densidad de probabilidad que tiene las siguientes propiedades:

1) ( ) ≥ ,⍱ ∈2) ∫ ( ) = 13) < ⇒ ( ≤ ≤ ) = ∫ ( )

Esperanza de una variable aleatoria:

La esperanza es un parámetro de la distribución. Es una medida de tendenciacentral. = ( ) = ( ) ,∈= ( ) = ( ) , í

La esperanza E(x) no es un resultado que esperaríamos cuando X seobserva solo una vez.

Pero si observáramos un gran número de observaciones independientede X , el promedio de esos resultados estará cerca de E(x).Ejemplo:

En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 osufrir una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0.6.Demuestre que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.Primero se define la variable aleatoriaX: Utilidad de la operación comercial.= ( ) = ( )∈Ex)= 1000 x0.6 +(-500)x0.4

E(x)= 400

Propiedades de la esperanza:

Sean X e Y variables aleatorias y C una constante perteneciente a losnúmeros reales R.

1) E(C)=C2) E(X+C)E(X) +C3) E(CX)=CE(X)

4) E(X*Y)=E(X)+E(Y)5) E(X-Y)=E(X)-E(Y)6) Si X e Y son independientes: E(XY)=E(X) x E(Y)

Varianza de una variable aleatoria:

La varianza de un parámetro de la distribución. Es una medida de ladispersión de los valores de X , alrededor de E(X):

Var(X)= = ( − )Var(X)= = ( − [ ( )] )Propiedades de la varianza:

Sean X e Y variables aleatorias y C una constante perteneciente a los reales:

1) V(C) = 02) V(X+C)= V(X)3) V(CX)= ( )4) Si X e Y son independientes V(X+Y) = V(X) + V(Y)5) Si X e Y son independientes V(X-Y) = V(X) +V(Y)

Teorema de Bayes:

P( ⁄ ) = ( 1) ( 1⁄ )( 1) ( 1⁄ )+ ( 2) ( 2⁄ )Ejemplos de aplicación del teorema de Bayes.Ejemplo 1:_ En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los

niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Unpediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.1.1.- Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.1.2.- Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:

SucesoH: seleccionar una niña.Suceso V: seleccionar un niño.SucesoM: infante menor de 24 meses.En los ejercicios de probabilidad total y teorema de Bayes, es importante identificar los sucesosque forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estosserán los sucesos condicionados.

1.1.- En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que seanmenores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de Bayes, hay que partirpor reconocer si esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de lossucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infantemenor de 24 meses será:

EJEMPLO 2Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizancorrecciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Sesabe además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales,15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar,determine:2.1-.Determine la probabilidad de que sea de género masculino

2.1.- Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizadouna cirugía de implantes mamarios.SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:

Suceso F: pacientes que se realizan cirugías facialesSucesoM: pacientes que se realizan implantes mamariosSuceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivasSucesoH: pacientes de género masculinoa. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidadtotal, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, elvalor de la probabilidad será:

EJEMPLO 3Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da acada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatostienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultadode una ecografía y observa que tiene un error.3.1.- Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparatoSuceso S: seleccionar el segundo aparatoSuceso T: seleccionar el tercer aparatoSuceso E: seleccionar un resultado con errorSe puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examenerrado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurriral teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de quelos aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

Repasando conceptos de conteo:

Permutaciones: Algunos arreglos de “r” objetos seleccionados de “n”posibles de ellos:

( , ) = !( − )!

Nota: El orden de los arreglos, no es importante en las permutaciones.

Combinaciones: El número de formas de elegir “r” objetos de un grupo de “n”objetos de un grupo de “n” objetos sin considerar el orden está dado por:

= !! ( − )!