República Bolivariana de Venezuela

Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico Rural “Gervasio Rubio”

Conceptos Introductorios de didáctica de la matemática

Paulino Bueno Camacho

V-12.972.278

09011 g-90

Rubio, Mayo 2011.

1.-Educación.

(Del latín educere "guiar, conducir" o educare "formar, instruir") puede definirse como:

El proceso multidireccional mediante el cual se transmiten conocimientos, valores, costumbres y formas de actuar. La educación no sólo se produce a través de la palabra: está presente en todas nuestras acciones, sentimientos y actitudes.

El proceso de vinculación y concienciación cultural, moral y conductual. Así, a través de la educación, las nuevas generaciones asimilan y aprenden los conocimientos, normas de conducta, modos de ser y formas de ver el mundo de generaciones anteriores, creando además otros nuevos.

Proceso de socialización formal de los individuos de una sociedad.

La educación se comparte entre las personas por medio de nuestras ideas, cultura, conocimientos, etc. respetando siempre a los demás. Ésta no siempre se da en el aula.

2.-Tipos de educación.

La educación puede dividirse en informal, no formal y formal.

La educación informal es el proceso que dura toda la vida por el cual cada persona adquiere y acumula conocimientos, capacidades, actitudes y comprensión a través de las experiencias diarias y del contacto con su medio. Se desarrolla en un ámbito extraescolar (Práctica libre de actividades artísticas, deportivas y relaciones entre las personas). No existen planes de estudio ni acreditación directa. No deja por ello de existir una valoración directa de tales aprendizajes. El personal que actúa como agente educador no es profesional. No opera con métodos típicamente pedagógicos sino, por acciones de animación, difusión, estímulo, promoción, etc. Los contenidos corresponden a la urgencia social, dependiendo de muchísimos factores. En general, el cúmulo de educación informal que recibe una persona a lo largo de toda su vida es enorme y no por no llevarse a cabo de manera organizada debe quitarse importancia.

Está comprendida en este tipo de información todo lo que uno aprende en la TV, en la radio y en Internet. Suele ser, a veces, más eficaz que otros aprendizajes porque aparece como una iniciativa del propio sujeto, o sea que tiene una base de motivación interna o interés.

La educación no formal comprende toda actividad educativa organizada y sistemática realizada fuera de la estructura de un sistema formal para impartir ciertos tipos de aprendizaje a subgrupos de la población ya sean adultos o niños. Se realiza fuera de las instituciones del sistema educativo y no constituye por su parte otro sistema. Los contenidos que abarcan son áreas muy específicas del conocimiento y se propone, por lo general, objetivos de carácter instrumental y a corto plazo. Fundamentalmente no plantean la formación integral del receptor. Entran aquí cursos de perfeccionamiento que

no sean de grado y cursos varios, generalmente de carácter técnico. Un curso de dactilografía corresponde a educación no formal, por ejemplo.

Por último, la educación formal, es aquella que se realiza en un sistema educativo institucionalizado, cronológicamente graduado y jerárquicamente estructurado. Cada país tiene un sistema educativo constituido generalmente por instituciones públicas y privadas (las privadas requieren de un proceso de habilitación por parte del estado). Un sistema formal posee un establecimiento regulado por organismos gubernamentales.

Abarca diferentes niveles de educación: Primaria, Secundaria y Universidad. El tránsito del educando por esta estructura se realiza mediante un sistema de credenciales, grados, títulos y certificados que acreditan los progresos y le permiten el pasaje a un nivel superior.

3.-Pedagogía

La pedagogía es el conjunto de saberes que se encarga de la educación como fenómeno específicamente humano y típicamente social. Se trata de una ciencia aplicada de carácter psicosocial, cuyo objeto de estudio es la educación.

Tanto el Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia Española, como el Diccionario Salamanca de la Lengua Española definen a la pedagogía como la ciencia que se ocupa de la educación y la enseñanza. Tiene como objetivo proporcionar guías para planificar, ejecutar y evaluar procesos de enseñanza y aprendizaje, aprovechando las aportaciones e influencias de diversas ciencias, como la psicología (del desarrollo, personalidad, superdotación, educativa, social), la sociología, la antropología, la filosofía, la historia y la medicina, entre otras. Luego, el pedagogo es el experto en educación formal y no formal que investiga la manera de organizar mejor sistemas y programas educativos, con el objeto de favorecer al máximo el desarrollo de las personas y las sociedades. Estudia la educación en todas sus vertientes: escolar, familiar, laboral y social.

Sus áreas profesionales son muy amplias, ya que recoge el conocimiento de varios saberes científicos, además de las ramas arriba mencionadas, de las neurociencias, diagnóstico pedagógico y psicopedagógico, didáctica, formación laboral y ocupacional, técnicas individuales y grupales de aprendizaje, tecnología educativa, intervención socio-educativa, metodología, investigación educativa, análisis de datos, organización y gestión de centros educativos, políticas y legislación educativa, educación comparada, educación de adultos, educación para la salud, educación ambiental, orientación escolar y familiar.

También hay varias clases de pedagogías: -pedagogía primitiva: la educación se reduce a hacer que el individuo se ponga en condiciones de satisfacer sus necesidades biológicas y las de su grupo o tribu. No hay un proceso de trasmisión consciente por que los jóvenes imitan los gestos de los adultos y una vez que los posee se integra al grupo.

4.-Pedagogo

Pedagogo es la persona que se dedica a educar a los niños, el concepto proviene del latín paedagögus, aunque su origen mas remoto esta en la lengua griega.

El pedagogo es un profesional de la pedagogía, la ciencia que se ocupa de la educación y la enseñanza, esto quiere decir que el pedagogo tiene cualidades de maestro y esta capacitado para instruir a sus alumnos.

El pedagogo cuenta con conocimientos psicosociales, ya que esta en condiciones de actuar sobre el niño como individuo (de acuerdo a su configuración psicológica) y como actor social (con sus relaciones con el entorno)

La confección de materiales didácticos también forma parte de las tareas de los pedagogos. Este tipo de materiales (textos, audiovisuales, etc) tienen la misión de facilitar el proceso de enseñanza aprendizaje como soporte para la transmisión de los mensajes formativos.

Cabe destacar que la finalidad última de la labor del pedagogo es maximizar el desarrollo de las personas y de las sociedades.

5.-Didáctica

La palabra didáctica deriva del griego didaktike (‘enseñar’) y se define como la disciplina científico-pedagógica que tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en la enseñanza y el aprendizaje. Es, por tanto, la parte de la pedagogía que se ocupa de los sistemas y métodos prácticos de enseñanza destinados a plasmar en la realidad las pautas de las teorías pedagógicas.

Está vinculada con otras disciplinas pedagógicas como, por ejemplo, la organización escolar y la orientación educativa, la didáctica pretende fundamentar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje.

La didáctica es el campo disciplinar de la pedagogía que se ocupa de la sistematización e integración de los aspectos teóricos metodológicos del proceso de comunicación que tiene como propósito el enriquecimiento en la evolución del sujeto implicado en este proceso. (Dra nivia Álvarez)

Es el arte de saber explicar y enseñar con un mayor número de recursos para que el alumno entienda y aprenda. Se explica para que el alumno entienda (primer contacto con el conocimiento), se ensaña para que el alumno aprenda (que asimile, que lo haga suyo). (Javier ramirez)

Es una disciplina de la enseñanza del conocimiento cuyo objetivo es el entendimiento, mediante unos principios pedagógicos encaminada a una mejor comprensión de las ciencias. Parte de la pedagogía que se ocupa de los sistemas y métodos prácticos de enseñanza destinados a plasmar en la realidad las directrices de las teorías pedagógicas.

6.-Los componentes que actúan en el acto didáctico

Son:

El docente o profesor

El discente o estudiante

El contexto social del aprendizaje

El currículo

El currículo escolar es un sistema de vertebración institucional de los procesos de enseñanza y aprendizaje, y tiene fundamentalmente cuatro elementos constitutivos: objetivos, contenidos, metodología y evaluación. Aunque hay países que en sistema educativo el elemento contenido lo llegan a derivar en tres, como lo son los contenidos declarativos, conceptuales y los procedimentales. Es importante tener en cuenta el denominado currículum oculto que, de forma inconsciente, influye de forma poderosa en cuáles son los auténticos contenidos y objetivos en los que se forma el alumnado. Por ejemplo, Un docente tiene que conocer el CNB (Currículo Nacional Base) de su país, por que no todos tenemos las mismas necesidades, es por eso que tiene que conocer y también hacer uso de el, para que su trabajo se desarrolle de una manera eficiente de acuerdo a lo que su pueblo realmente necesite.

7.-Instrucción

Instrucción es un término con origen en el latín instructïo que hace referencia a la acción de instruir (enseñar, adoctrinar, comunicar conocimientos, dar a conocer el estado de algo). La instrucción es el caudal de conocimientos adquiridos y el curso que sigue un proceso que se esta instruyendo.

8.-Enseñanza

La enseñanza es una actividad realizada conjuntamente mediante la interacción de 3 elementos: un profesor o docente, uno o varios alumnos o discentes y el objeto de conocimiento.

Según la concepción enciclopedista, el docente transmite sus conocimientos al o a los alumnos a través de diversos medios, técnicas y herramientas de apoyo; siendo él, la fuente del conocimiento, y el alumno un simple receptor ilimitado del mismo. El aprendizaje es un proceso bioquímico.

9.-Aprendizaje

El aprendizaje es el proceso a través del cual se adquieren nuevas habilidades, destrezas, conocimientos, conductas o valores como resultado del estudio, la experiencia, la instrucción, el razonamiento y la observación. Este proceso puede ser analizado desde distintas perspectivas, por lo que existen distintas teorías del aprendizaje. El aprendizaje

es una de las funciones mentales más importantes en humanos, animales y sistemas artificiales.

El aprendizaje humano está relacionado con la educación y el desarrollo personal. Debe estar orientado adecuadamente y es favorecido cuando el individuo está motivado. El estudio acerca de cómo aprender interesa a la neuropsicología, la psicología educacional y la pedagogía.

El aprendizaje como establecimiento de nuevas relaciones temporales entre un ser y su medio ambiental ha sido objeto de diversos estudios empíricos, realizados tanto en animales como en el hombre. Midiendo los progresos conseguidos en cierto tiempo se obtienen las curvas de aprendizaje, que muestran la importancia de la repetición de algunas predisposiciones fisiológicas, de «los ensayos y errores», de los períodos de reposo tras los cuales se aceleran los progresos, etc. Muestran también la última relación del aprendizaje con los reflejos condicionados.

10.-Características de las ciencias pedagógicas y la didáctica.

Las Ciencias de la Educación son un conjunto de disciplinas que estudian, describen, analizan y explican los fenómenos educativos en sus múltiples aspectos. La educación es un fenómeno complejo que tiene lugar en todos los ámbitos de la sociedad diferentes disciplinas de las Ciencias Sociales y Humanas como la Sociología, Derecho, Psicología, Ciencia Política, Historia, Economía, Filosofía; realizan abordajes y estudios específicos por ello es posible de hablar de una Sociología de la Educación, una Historia de la Educación, una Antropología de la Educación, una Psicología Educacional, una Política Educacional, Economía de la Educación y una Filosofía de la Educación. Todas aquellas disciplinas que explican los fenómenos educativos, que pueden integrarse para realizar estudios nutren el campo de las Ciencias de la Educación.

Además está integrado por un conjunto de disciplinas o saberes que son propios: Campo Pedagógico o de las también llamadas "Ciencias Pedagógicas" como la Pedagogía, Didáctica General, Didácticas Específicas de Áreas (Matemática, Lengua, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Educación Física, Educación Artística entre las más significativas), Didáctica de Nivel (Educación Inicial, Educación Primaria, Educación Secundaria y Educación Superior), Administración Educacional, Organización Escolar, Planeamiento Educacional, Orientación Educacional, Currículum o Teoría del Currículum, Educación Comparada, Pedagogía Diferencial o Especial, Tecnología de la Educación y el Análisis Institucional de la Educación. Las Ciencias Pedagógicas originan un conjunto de conocimientos y saberes teórico-prácticos con la finalidad de comprender, intervenir y modificar positivamente los fenómenos educativos y procesos de formación. Apostando al mejoramiento y al cambio de la realidad educativa, de los procesos formativos, del funcionamiento de las instituciones educativas, de las prácticas de enseñanza en los aspectos pedagógicos, didácticos, organizacionales.

El campo disciplinar de las Ciencias de la Educación se ha constituido a partir de la intersección de un conjunto de diversas disciplinas: la filosofía, la psicología, la sociología,

la historia, entre otras; que abordan desde su especificidad el objeto “educación”. Este proceso de conformación no es exclusivo de las Ciencias de la Educación, sino que se vincula con la división del conocimiento en el campo de las Ciencias Sociales, y es producto de la progresiva fragmentación y especialización de los conocimientos durante los siglos XIX y XX.

Los diferentes aspectos de la educación en sociedades y culturas determinadas son estudiados por las Ciencias de la Educación, efectuando análisis interdisciplinarios o transdisciplinarios para alcanzar una comprensión y explicación de los procesos educativos. Así por ejemplo se busca conocer los procesos socio-políticos y su incidencia en el ámbito educativo, el sujeto que aprende, se aborda desde la complejidad psicobiológica-social. Se abordan problemáticas educativas, pedagógico–didácticas, referidas a los distintos niveles del sistema educativo, como así también en el ámbito de la educación no formal.

Las ciencias de la educación no constituyen un campo reservado solamente a algunos especialistas. Ellas representan actualmente el conjunto indispensable de disciplinas que permiten un correcto y fecundo funcionamiento de los sistemas educativos en todos sus niveles.

La Didáctica se concibe como una disciplina que estudia las prácticas de enseñanza que presenta fuertes relaciones con otras disciplinas del campo pedagógico, fundamentalmente, la Filosofía de la Educación, la Psicología Educacional, la Política Educacional, la Historia de la Educación y la Sociología de la Educación. Las distintas tradiciones históricas en su seno han contribuido a marcar la definición de su objeto y la naturaleza del saber que intenta producir, caracterizado por la constante articulación entre dimensiones descriptivas y normativas. El saber didáctico encierra una dosis considerable de complejidad en tanto la propia enseñanza, su objeto, reviste ese carácter. La enseñanza es una práctica social, institucionalizada, cambiante, en tanto la acción personal de un docente se desarrolló en momentos y contextos específicos, con grupos de estudiantes también particulares. El análisis de las situaciones de enseñanza nos revela su naturaleza inédita, incierta y multidimensional. Por otra parte, el carácter peculiar y complejo del saber didáctico puede atribuirse también a la constante articulación entre las dimensiones descriptivas, prescriptivas y normativas de su discurso. En efecto, la Didáctica no se limita a la elaboración de modelos de inteligibilidad acerca de la enseñanza. Desde sus orígenes, el pensamiento didáctico está comprometido con la intervención en los procesos educativos en vistas a promover buenas formas de enseñanza.

11.-Epistemología

La epistemología (del griego ἐπιστήμη (episteme), "conocimiento", yλόγος (logos), "teoría") es la rama de la filosofía cuyo objeto de estudio es el conocimiento científico. La epistemología, como teoría del conocimiento, se ocupa de problemas tales como las circunstancias históricas, psicológicas y sociológicas que llevan a su obtención, y los

criterios por los cuales se le justifica o invalida. Es de reciente creación, ya que el objeto al que ella se refiere es también de reciente aparición. En Grecia, el tipo de conocimiento llamado episteme se oponía al conocimiento denominado doxa. La doxa era el conocimiento vulgar u ordinario del hombre, no sometido a una rigurosa reflexión crítica. La episteme era el conocimiento reflexivo elaborado con rigor. De ahí que el término "epistemología" se haya utilizado con frecuencia como equivalente a "ciencia o teoría del conocimiento científico". Los autores escolásticos distinguieron la llamada por ellos "gnoseología", o estudio del conocimiento y del pensamiento en general, de la epistemología o teoría del modo concreto de conocimiento llamado científico. Hoy en día, sin embargo, el término "epistemología" ha ido ampliando su significado y se utiliza como sinónimo de "teoría del conocimiento". Así, las teorías del conocimiento específicas son también epistemología; por ejemplo, la epistemología científica general, epistemología de las ciencias físicas o de las ciencias psicológicas.

12.-Epistemologia a la antropología.

La antropología, en tanto que ciencia social, sitúa al mundo humano en el mismo plano físico que las ciencias naturales y ello pese al aparente giro que está dando hacia las ciencias humanas. Las ciencias sociales como la antropología entre otras, de invención reciente, han confundido los dos mundos entre los cuales el mundo humano se mueve: el natural y el cultural. Han fusionado estas dos realidades en una sola, la social, fusionando con ello todo aquello que concierne su estudio. En este sentido, la epistemología que subyace sus estudios conlleva también confusiones fundamentales, a partir de las cuales se impone un profundo cuestionamiento alrededor de dos ejes: la metodología y el propio concepto de cultura. En cuanto a la metodología, la confusión de las ciencias sociales se extiende hasta lo más profundo de su metodología, confundiendo lo cualitativo con lo cuantitativo, el método con la técnica. En cuanto al concepto de cultura, éste ha sido aceptado como genuinamente antropológico, olvidando lo que otras disciplinas como la filosofía han discutido a través de siglos de reflexión. La antropología ignora algunos siglos de tradición que han servido para acuñar, reflexionar y desarrollar la noción de cultura. La antropología, a pesar de abrazar conceptos e ideas desarrolladas por las ciencias humanas, sigue pretendiendo abarcarlo todo sobre la humanidad, erigiéndose ella como la disciplina central a partir de la cual las demás devienen satélites, usurpando aquello que otras disciplinas ya habían desarrollado antes. Sin embargo, parece mostrarse incapaz de reflexionar sobre lo que está haciendo y cómo lo está haciendo.

13.-Epistemología a la antropología de las matemáticas.

Al parecer, el primero en haber utilizado el término epistemología pudo ser J. F. Ferrier (Institutes of Metaphysics 1854).

Sin embargo, en Alemania existía, por lo menos desde 1791, la expresión “Teoría del conocimiento”, que es lo que etimológicamente designa el vocablo forjado con componentes griegos.

Epistemología es la rama de la filosofïa que estudia el origen, la estructura, los métodos y la validez del conocimiento, dice el Diccionario de Filosofía, de Runes.

Una buena descripción de epistemología de la matemática es la de conocimiento del conocimiento matemático, donde desde luego, conocimiento desempeña el papel que le corresponde en dos niveles diferentes. Así, epistemología toma un cariz crítico, que no ha de causar extrañeza dado que la filosofïa es ante todo un cuestionamiento de cuanto tenga que ver con las creaciones humanas.

No hay acuerdo en cuanto a las partes de la epistemología, dado que los puntos que se analizan difieren según la disciplina que se estudia.

Así, al tratar la epistemología de la matemática es preferible enfocar los siguientes cinco aspectos: génesis, estructura, función, método, problemas.

Se hace, en seguida, un somero comentario acerca de cada uno de ellos.

Se menciona, inicialmente, la historia de los primeros indicios de matemática. Las sociedades humanas incipientes se desarrollan si se organizan. La distribución de tareas, de contribuciones, de tierras, de granos da origen a la aritmética y a una geometría “para las necesidades del comercio” como decían despectivamente los griegos más ilustres. Así fue en el centro de Europa, en Mesopotamia, en Egipto, en India, en China, en el México de aztecas o de mayas, o en el Perú de los incas.

Difícil establecer la antigüedad de tales procedimientos utilitarios. Puede aseverarse que surgen en cada una de tales civilizaciones según su peculiar capacidad Memorias XV Encuentro de Geometría y III de Aritmética practica y de interiorización.

Solamente, los griegos pensaron realmente en una organización secuenciada de tales conocimientos. Supuestos algunos de ellos, los griegos logran obtener los demás, mediante reglas fijas que paulatinamente van a constituir la lógica. Quizá fue mas capital para la constitución de la matemática el que, ateniéndose a tales reglas fijas, los griegos alcanzan conocimientos de los que no disponían. Estos dos pasos primordiales impulsaron el desenvolvimiento de los principios hasta convertirse en un procedimiento inagotable. Cada nuevo conocimiento va sugiriendo nuevas cuestiones interesantes. Cuando no haya mas preguntas en una vertiente determinada, la rama correspondiente de la matemática se extingue.

El segundo aspecto epistemológico tiene que ver con la estructuración que hayan alcanzado las respuestas a una secuencia de cuestiones. Actualmente, el enfoque mas sistemático de lo que se conocía en matemática hacia mediados del siglo XX, es el expuesto mediante estructuras matemáticas por la escuela francesa llamada Bourbaki.

El tercer aspecto epistemológico tiene que ver con la función de la matemática. Los seres humanos aprenden para desempeñarse convenientemente en la sociedad en la que conviven. Diversos adiestramientos están a la disposición de individuos de un conglomerado, generalmente con capacidades muy diferentes: literarios, artísticas,

manuales, artesanales, filosoficas, altamente técnicas algunas, otras eminentemente practicas. Entre las habilidades que requieren un dominio más refinado por la precisión con la que hay que aplicar sus procedimientos esta la matemática. Es una actividad, por excelencia, educativa; empero, no es la única; puede ser mucho mas agradable lograr la maestría en ajedrez; no obstante, la matemática, que posee también un cariz lúdico, es utilizable en grado sumo en diversas tareas que hay que resolver para la organización de una sociedad; es la razón de que la matemática sea asignatura indispensable en todo plan de estudios y no lo sea el ajedrez. Una de las posibilidades de la comunicación entre los seres humanos, es la de ocuparse de enunciados que se siguen necesariamente de enunciados anteriores. A ello se dedica la matemática. Su preocupación mayor, no son las cosas como son, ello lo estudian otras ciencias, sino las cosas como deben ser, si se prefijan ciertas reglas.

Estos barrimtos de argumentación llevan a mostrar que la matemática en un plan de estudios no es cuestión de lujo o de elección de elites sino instrumento de trabajo indispensable mirando a la sociedad humana desde diversos ángulos. Un cuarto aspecto es el método, igualmente desde diferentes puntos de vista. El universal que indagaba Descartes para conducir bien su razón y para perquisicionar con éxito en la filosof´ıa y en las ciencias. Un matemático, en principio, ha de ocuparse o en enseñar su ciencia o en resolver problemas que pueden ser de poca o de mucha dificultad. Los de poca, tienen métodos conocidos de solución; para los de gran dificultad puede que haya que inventar la manera de resolverlos.

Por otra parte, Hilbert mismo consideraba paradigmática, es decir, digna de imitación, la actitud del matemático frente a una dificultad. Lo mismo han pensado lógicos como Russell. Y diferentes filosofos elaboraron sus sistemas mirando de reojo hacia la matemática. En particular Kant discurrió ampliamente acerca de la constitución misma de la matemática para poder decidir sobre su pregunta capital de si la metafísica es ciencia, así como de la posibilidad para la filosof´ıa de inspirarse en los métodos eficientes de la matemática con el fin de que en metafísica no se contentaran con crecimientos como los de la espuma sino que persiguieran adquisiciones duraderas, como Elementos, de Euclides.

Finalmente, hay el aspecto de los problemas. Los hay estrictamente epistemológicos: fundamento lógico, perdida de la certidumbre, naturaleza de la demostración, relación entre matemática y experiencia, estatuto ontológico de los entes matemáticos. Igualmente digna de consideración epistemológica es la actitud del matemática al hacer consistir su ciencia en el desenvolvimiento de ella mediante solución de problemas, según la concepción de Hilbert. Cuán lejos está el profano en matemática de entender lo que hace todo el día el matemática cuando lo considera inactivo porque el profano cree que la matemática se reduce a aquellas operaciones en las que solía naufragar en sus años de educación básica y media.

Si solo eso fuera la matemática, más valdría que no existiera.

Nociones de epistemología o filosofïa de la matemática son indispensables para los matemáticos en menesteres más allá de los de “definición, teorema, demostración”.

Preguntas capitosas de su actividad: Cómo llegué hasta la matemática? Por que continuo en ella? Cual es la función social o académica de mi actividad como docente o como investigador? Cuales son los problemas, que no puedo obviar, en cuanto al alcance del conocimiento matemático? Cuáles son los límites de mi ciencia? Cuál es la posición de la matemática entre las otras ciencias?

14.-Etapas básicas del proceso de enseñanza de la matemática.

Antes de que empecemos a enseñar a alguien, hay que revisar ciertos elementos que determinarán que tan efectivamente aprenderá el alumno: las llamamos precondiciones del aprendizaje.

La conciencia de la ignorancia.

Un aspecto importante a considerar es juzgar si el alumno reconoce:

* La existencia de un dominio de acción propio de la práctica profesional;

* Que consigne un quiebre que le sea relevante;

* En el que él o ella no puedan actuar efectivamente.

La declaración de ignorancia determina el grado de apertura al aprendizaje; si por alguna razón, el alumno no ve el dominio de acción, o no juzga que pueda declarar un quiebre que le es relevante, o asume que puede tratarlo dentro de su nivel de competencias, el aprendizaje será muy difícil. Si éste fuera el caso, el maestro puede necesitar mostrarle esas precondiciones básicas antes de intentar educarle.

Pero incluso cuando aquellas precondiciones se hayan logrado, puede ser que el compromiso con uno mismo para con el aprendizaje no esté dado, y el maestro debería asegurarse que estén hechas no sólo la declaración de ignorancia sino también, la declaración del compromiso con uno mismo para con el aprendizaje.

El permiso para educar.

Sería extremadamente difícil educar a alguien que no le ha dado autorización al maestro para apoyarle; este permiso, como hemos visto, incluye dos elementos básicos: confianza y autoridad.

Si el alumno -por alguna razón- juzga que el maestro no es congruente entre lo que dice y lo que la información refleja, o que no es competente en el dominio en que educa, o que no es responsable en la forma que maneja sus promesas y compromisos en el proceso de aprendizaje, la apertura del alumno al maestro será afectada; la confianza es un prerrequisito fundamental para aprender.

También es necesario que el alumno otorgue autoridad al maestro y acepte los modelos entendidos como instrumentos de los procesos de aprendizaje, incluso si no tienen sentido para él. Puesto que él alumno no sabe, normalmente tampoco no sabe lo que necesita hacer para aprender.

Explicitar los obstáculos para aprender.

Cuando podemos anticipar que algunos de los obstáculos para el aprendizaje identificados más arriba pueden interferir en el proceso educativo, es útil hablar previamente de ellos, ya que esto puede resolver las crisis futuras antes de que sucedan, aunque no es un factor indispensable en el proceso de aprendizaje. Esta práctica se recomienda cuando podemos prever que el alumno pueda encontrarse distraído por información que pueda socavar su compromiso para aprender.

Puesto que hemos identificado la mayoría de las conversaciones negativas, es importante mencionarlas antes de que empiece el proceso de aprendizaje; por lo tanto, cuando el alumno se vea manteniendo conversaciones tales como: "Yo ya sé esto", o "¿Por qué el maestro quiere que haga esto?" o "No aprenderé nunca", etc., él puede observarse a sí mismo en esas conversaciones y podrá verlas como conversaciones esperables, o bien, reconocer el hecho de que pueden deteriorar el aprendizaje, descartarlas y volver al aprendizaje de nuevo. Esta es la razón por la cual recomendamos normalmente empezar nuestros instrumentos pedagógicos hablando acerca de la autogestión del conocimiento; establece favorablemente un contexto para aprender.

15.-Enfoque didáctico para la enseñanza de la matemática.

La enseñanza de la matemática en la escuela ha sido y es fuente de preocupaciones para padres, maestros y especialistas.

A pesar de los variados recursos didácticos utilizados, el acceso de los niños al sistema de numeración se constituye en un problema.

Los niños no comprenden las reglas que regulan nuestro sistema de numeración decimal-posicional, lo que inevitablemente ocasiona luego dificultades en la operatoria ya que no logran visualizar la relación existente entre la organización del sistema y los algoritmos convencionales de las operaciones.

Se ha trabajado en la materialización de los agrupamientos, pero los resultados distan de ser los esperados ya que la relación entre dichas agrupaciones y la escritura numérica sigue, en muchos casos, sin ser comprendida por los niños, así como la utilización de colores y figuras representando unidades, decenas y centenas. Nuestros niños terminan siendo expertos agrupadores de fósforos y decodificadores de colores y formas pero el problema que nos convoca continúa sin ser resuelto.

Creemos importante tener en cuenta que ya que la numeración escrita existe no sólo dentro de la escuela sino también fuera de ella, los niños elaboran conocimientos acerca de este sistema de representación desde mucho antes de ingresar a la Escuela. Es un

producto cultural, objeto de uso social cotidiano que se les ofrece desde las páginas de los libros, calendarios, publicidades, direcciones, reglas, etc. Esto trae como consecuencia que las competencias numéricas de los niños sean sumamente heterogéneas, lo cual sugiere por un lado la necesidad de proveer a los maestros de herramientas para diagnosticar estos niveles y por el otro, de propuestas para la enseñanza que les permitan asegurar a los niños los niveles de aprendizaje deseados.

La didáctica de la matemática ha hecho importantes avances en los últimos años, en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los diferentes contenidos de esta ciencia particularmente en situaciones escolares, determinando condiciones didácticas que permiten mejorar los métodos y los contenidos de enseñanza asegurando en los niños la construcción de un saber vivo y funcional, susceptible de evolucionar y que permita resolver problemas dentro y fuera del aula.

Dicho enfoque se hace más evidente en los últimos dos bloques del capítulo de matemática referidos a procedimientos y actitudes relacionados con el quehacer matemático. Estos aspectos muestran que la matemática no es solamente un conjunto de conceptos y mecanismos a seguir, sino también una forma de producir y de pensar, debiendo ser concebida la actividad matemática en el aula como la producción, el análisis y la confrontación individual y grupal de respuestas en un clima de placer por enfrentar el desafío y constancia en la búsqueda de la mejor respuesta posible.

Según esta propuesta, el trabajo que se deberá proponer deberá basarse en generar entre los niños discusiones acerca de los números (cómo se escriben, cómo se leen, etc.), creando condiciones en el aula para que puedan reflexionar y sistematizar sus conocimientos acerca del sistema de numeración.

Se deberán plantear situaciones de trabajos individuales y grupales donde al enfrentarse los niños con “problemas” con números, deban utilizar sus conocimientos y poner a prueba sus hipótesis, probando, desechando y retomando caminos. La comparación entre sus escrituras y las formas en que aparecen en la realidad, las intervenciones docentes, las discusiones entre pares, constituyen situaciones en las que surgen permanentemente conflictos cognitivos y progresos en las ideas.

Deberá instalarse en el aula permiso para discutir, refutar ideas, explicar y defender las propias, aceptando el error propio y ajeno.

Los juegos, problemas y ejercicios deberán presentar a los números en situaciones variadas, valorizando las concusiones a las que día a día se va llegando para poder ser retomadas en contextos diferentes. (Leer y escribir números, comparar números y sus valores, situar números en distintas posiciones, modificar el orden, etc.).Se trata de enfrentar a los alumnos a situaciones que evolucionen de manera tal que el conocimiento que se desea que aprendan sea el único (o más eficiente) medio para controlar dicha situación.

Este tipo de situaciones no se encuentra frecuentemente al observar clases organizadas de una manera tradicional, en las que el maestro provoca, recibe, corrige e interpreta todas las respuestas de cada uno de sus alumnos. Además, la gestión de estas situaciones por parte del docente es difícil, en la medida en que implica el abandono de prácticas fuertemente arraigadas en su quehacer cotidiano.

Es necesario obtener el asesoramiento y capacitación docente y/o directiva para una implementación gradual y eficiente del enfoque y su aplicación en el aula.

16.-Diferencias y divergencias de la matemática y la educación matemática.

Matemática pura:

Con mucha frecuencia se opone el concepto de matemática pura al de matemática aplicada, dando lugar así la idea de que existen dos clases de matemáticos, los eventivos que se dedican exclusivamente al arte por el arte, los técnicos quienes utilizan sus resultados para ofrecer respuestas a problemas planteados por el mundo exterior. Pero en realidad, la separación no es tan nítida, las matemáticas son una unidad, y el progreso de cada una de sus disciplinas repercute en todas las otras, e incluso los matemáticos más puros son responsables del empleo que se hace de su ciencia y esto último se ha podido comprobar claramente con la aparición de métodos muy eficaces de criptografía que se basan únicamente en la generalización.

De lo aclarado en consecuencia las matemáticas puras se refieren al estudio de la cantidad considerada en abstracto. Mientras que la aplicada al estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos. Estas dos son disciplinas de la matemática en si.

La complejidad de la matemática pura y de la educación sugiere que los teóricos de la educación matemática, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinámica rápidamente mutante de la situación global venga. La educación, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable persistencia ante las variaciones es la característica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales.

Matemáticas, principalmente en el ámbito de la matemática pura, en la dirección de ciencia básica y colaboración con otros departamentos, pero también, aunque en menor medida, en la de transferencia de tecnología.

Aunque la matemática sea la supuesta "Reina de las Ciencias", algunos matemáticos no la consideran una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática (nos referimos a los matemáticos puros), debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una herramienta útil para cálculos frecuentes.

Además, muchos matemáticos consideran la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada.

Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física. La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que es el estudio de los "números y símbolos". Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.

El principal objetivo de la matemática pura es extender, el conocimiento matemático, en ella la aplicación práctica carece de interés. El matemático puro considera su tarea como un arte.

No confundamos las matemáticas puras con las matemáticas aplicadas que si son empleadas para el desarrollo de las ciencias.

Las matemáticas puras, están para la aplicación del conocimiento matemático tales como para crear nuevos objetivos matemáticos como teoremas, formulas etc. Mientras que las matemáticas aplicadas sirven para la aplicación de estos objetivos en el campo científico.

Frente a ello, a esta diferencia establecida cabría preguntarnos: ¿PODRÍA UN MATEMÁTICO PURO DESEMPEÑAR EL PAPEL DEL MAESTRO DE MATEMÁTICAS?

Planteada ésta interrogante de echo, un matemático puro no podrá desempeñarse dicho papel pues para llevar el proceso de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas no es suficiente tener un conocimiento amplísimo sobre matemáticas, sino conocer la cuestión didáctica, esa cuestión que llevo al profesor de matemáticas hacer un profesional, he aquí esos famosos cursos complementarios que llevan muchos licenciados con el propósito de formarse pedagógicamente, simplemente con estos cursos no lograran formarse íntegramente como verdaderos pedagogos, bueno salvo los matemáticos puros con vocación a enseñar.

Con quien tiene el suyo, el docente en especialidad de matemáticas podrá ser didáctico, pero no conoce a profundidad las matemáticas, por otro lado el matemático puro es un experto en matemáticas pero no puede o sabe como lograr que lo entiendan. Uno es el completo y el otro viceversa. Tal vez a esta situación le correspondería a la educación matemática, en la fusión de los dos seria una alternativa.

Educación matemática:

Ahora bien ya comentamos sobre la matemática pura y el ámbito en el que se ocupa, de realizar nuevas teorías, teoremas, todo un conjunto de propiedades con la cual rige sobre la realidad; es decir como bien lo diría Pitágoras: “Todo es número”.

La matemática misma es una ciencia intensamente dinámica y cambiante. De manera rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje sencillo.

La educación ha de hacer necesariamente referencia a lo más profundo de la persona, una persona aún por conformar, a la sociedad en evolución en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en el momento se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas.

A nuestro parecer, un cierto conocimiento de la historia de la matemática, debería formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemático en general y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este último, no sólo con la intención de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino primariamente porque la historia le puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática, de lo cual suele estar también el matemático muy necesitado.

La educación matemática en ciertas aulas causa serias tendencias generales más difundidas de hoy, consiste en el hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática más bien que es la fiel copia de transferencia de contenidos. La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.

Por otra parte, existe la conciencia, cada vez más acusada, de la rapidez con la que, por razones muy diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la enseñanza de unos contenidos a otros. En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes.

En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó "ideas inertes", ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente.

17.-Disciplina.

La Disciplina es la capacidad de actuar ordenada y perseverantemente para conseguir un bien. Exige un orden y unos lineamientos para poder lograr más rápidamente los objetivos deseados, soportando las molestias que esto ocasiona. La principal necesidad para adquirir este valor es la Auto exigencia; es decir, la capacidad de pedirnos a nosotros mismos un esfuerzo "extra" para ir haciendo las cosas de la mejor manera. El que sesabe exigir a sí mismo se hace comprensivo con los demás y aprende a Trabajar y a darle sentido a todo lo que hace. La disciplina es indispensable para que optemos con persistencia por el mejor de los caminos; es decir, por el que nos va dictando una conciencia bien formada que sabe reconocer los deberes propios y se pone en marcha para actuar.

Este valor es fundamental y básico para poder desarrollar muchas otras virtudes, sin la disciplina es prácticamente imposible tener fortaleza y templanza ante las adversidades que se presentan día a día.

Siempre debemos estar consientes del objetivo que queremos lograr y proponernos alcanzarlo; eso, es eficacia. Ser eficaz es la capacidad de producir resultados; no solamente se debe dar en las áreas en que producimos cosas, sino también debemos dar resultados como alumnos, padres, hijos, hermanos y como ciudadanos. Todo ésto se ve reflejado cuando entregamos una tarea o un trabajo o cuando alguien espera algo más de nosotros; es decir, un determinado resultado. Lo que tenemos que dar es ese resultado y no podemos quedarnos en el esfuerzo ni en las buenas intenciones. Eso, es ser eficaz.

La disciplina es el valor de la armonía, por que todo guarda su lugar y su proporción. Los seres humanos debemos tender a nuestra propia armonía de ser, pensando, y actuando siempre en relación a un buen fin. Para conquistar este valor hay que empezar por aprovechar nuestra necesidad de orden en las casas y para ello hay que tenerles un lugar a cada cosa y mantenérselo por medio de la disciplina, poner siempre allí esas cosas. También hay que practicar el orden en el hablar, en el vestir y en nuestras pertenencias.

"Quien hace lo que quiere, no hace lo que debe"

18.-Concepto.

Un concepto es una unidad cognitiva de significado, un contenido mental que a veces se define como una "unidad de conocimiento".

Los conceptos son construcciones o imágenes mentales, por medio de las cuales comprendemos las experiencias que emergen de la interacción con nuestro entorno. Estas construcciones surgen por medio de la integración en clases o categorías que agrupan nuestros conocimientos y experiencias nuevas con los conocimientos y experiencias almacenados en la memoria.

La formación del concepto está estrechamente ligada a un contexto de experiencia de la propia realidad; de experiencia individual, cultural, social, etc. siendo de especial

importancia la referencia al lenguaje sobre todo referido a la propia lengua, pues mediante ella el conocimiento tiene la posibilidad de adquirir una expresión como habla y, por tanto, comunicable; lo que le da al conocimiento una dimensión pública, sociológica y cultural.

19.-Definicion.

Una definición es una proposición que trata de exponer de manera unívoca y con precisión la comprensión de un concepto o término.

Una definición puede ser una declaración de las propiedades de cierta cosa o bien una declaración de equivalencia entre un término y el significado de ese término. El término y su significado no son mutuamente exclusivos ni equivalentes, al contrario, son complementarios.

20.-Transposicion Didáctica

20.1 Teoría de la transposición didáctica.

La transposición didáctica es la transformación del saber científico en un saber posible de ser enseñado.

La importancia este concepto, reside en el quiebre de la ilusión de correspondencia entre el saber que se enseña y el conocimiento específico de la disciplina en el ámbito académico.

El saber que forma parte del sistema didáctico no es idéntico al saber científico, y su legitimidad depende de la relación que éste establezca desde el punto intermedio en el que se encuentra respecto de los académicos y del saber banalizado de los padres.

Esta distancia, entre el saber a enseñar y el saber científico, es negada porque de dicha negación depende, en parte, la legitimación. La transformación de los conocimientos en su proceso de adaptación supone la delimitación de conocimientos parciales, la descontextualización y finalmente una despersonalización.

A propósito de la despersonalización del saber, señala Chevallard que todo saber, está conectado originalmente con su productor puesto que se encarna en él. Compartir ese saber, aún en el interior de la comunidad académica, supone cierto grado de despersonalización, que constituye un requisito para la publicidad del saber. Por ejemplo, menciona que lo que hoy conocemos como "Mecánica clásica", fue en principio un saber personal (casi esotérico, agrega) de Isaac Newton. Fueron las presiones de su entorno las que produjeron el nacimiento de los "Principia". Pero sin duda, este proceso que se inicia dentro de la misma comunidad académica, completa su ciclo en el momento de la enseñanza: "... pueden creerme, porque no es mío..." .

La Trasposición Didáctica tiene por objeto de estudio el saber, en nuestro caso, el saber matemático que tiene un lugar en el Edificio Matemático (saber sabio), que no es el

mismo en el que se sitúa en la matemática escolar (Saber enseñado). La distancia que hay entre ambos saberes, se produce por la serie de transformaciones que los hacen accesible a un determinado nivel. Estas transformaciones las estudia la Teoría de la Transposición Didáctica de Yves Chevallard (1985). Considerando que el saber del profesor y su relación con el saber sabio es base de este estudio, Chevallard dice:

“El profesor tiene que enseñar una parte del “saber sabio o erudito”, del cual los matemáticos profesionales e investigadores puros son sus poseedores y fabricantes. La sociedad demanda enseñar una parte de este saber, lo que supone que ella debe tener utilidad social. Para responder a esta demanda, es necesario transformar el conocimiento para que se vuelva enseñable a un nivel dado. Este punto es clave en cuanto a que el profesor debe cuestionarse acerca de su relación con el saber a enseñar, así como con el saber erudito”.

Los 5 actos de la transposición didáctica

Es claro que el Saber Sabio (de los matemáticos) y el Saber Escolar (de los estudiantes) no es el mismo. Henry, considera el proceso de transposición Didáctica por medio de 5 actos como en una obra teatral, pues inciden distintos personales como protagonistas, desde que se transforma el saber matemático en un saber del alumno.

1º acto: Los protagonistas de este primer acto son los matemáticos, quienes tienen por misión crear nuevos conocimientos que les permitan resolver problemas que con sus conocimientos previos no les es posible. Construye o reconstruye herramientas, escoge lo

que es útil y comunica su descubrimiento haciéndolo lo más general posible, borrando todos los pasos en falso, errores y falsas conclusiones. Estos nuevos aportes son publicados por la comunidad científica manteniendo de este modo al día el “libro del Saber”. De este modo, el Saber Sabio que es legitimado por la comunidad científica, es un saber despersonalizado y descontextualizado, pues no sólo se ha dejado atrás todos los episodios personales del autor, sino también se ha olvidado el contexto inicial para hacerlo un producto lo más general posible, de modo que ingrese a la lógica de los saberes eruditos de la comunidad.

2º acto: La noosfera (sistema social de enseñanza), da cuenta de todos los conocimientos existentes, aquellos que son pertinentes para la formación matemática de los jóvenes, lo que depende de varios factores tales como tipo de sociedad, nivel de desarrollo, tipo de sistema educativo, etc. el Ministerio de Educación es el agente que decide junto a su equipo de expertos cuáles son los objetos a enseñar. Una vez lista la selección de los objetos a enseñar, se elabora “el texto del saber a enseñar”, el que debe integrarse en el currículo en secuencias de hipótesis de aprendizaje. Así se tendrá el manual del profesor. En él aparecen indicaciones del tratamiento de los temas, jerarquía de los conocimientos, etc. Para hacer un texto de saber a enseñar, los expertos deben re-escribir las definiciones, propiedades y demostraciones para lograr una articulación lógica, coherente y accesible a los estudiantes.

3º acto: Generalmente los profesores prefieren preparar sus clases utilizando textos que ofrecen el mercado o aquellos distribuidos por el ministerio de educación, en lugar de emplear los propios manuales. El 3º acto de la transposición didáctica se refiere a la elaboración del Saber Escolar, que es difundido por los textos del alumno. Las diversas editoriales presentan sus textos proponiendo una organización del programa, aportan ilustraciones de los temas, ejercicios de entrenamiento y problemas. Estas obras servirán durante un tiempo como referencia a la comunidad: profesores, alumnos y apoderados. De estos textos se desprende un cierto saber que contribuye a la instalación de una cultura particular, integrada por todos aquellos contemporáneos de una misma época escolar. Este trabajo de selección corresponde a la NOOSFERA, conjunto de agentes político - educativos de una nación. La Transposición hasta aquí dice Chevallard es externa, ya que no hay participación del enseñante en estas decisiones.

4º acto: El protagonista en este acto es el profesor, quien tiene la responsabilidad de administrar esta transposición didáctica, adaptar a sus conocimientos, los objetos a enseñar, insertarlos en el saber escolar y organizarlos en el tiempo. Se trata de una transposición interna, pues él ahora toma decisiones importantísimas, porque ellas incidirán en la percepción del saber de los estudiantes. El docente participa con la transposición transformando el objeto a enseñar en objeto enseñado, para lo cual recontextualiza y personaliza el saber, de modo que los alumnos lo hagan propio. Es en cierta manera, el trabajo inverso del que hace el investigador.

5º acto: Lo que el profesor enseña no es lo mismo que finalmente retienen sus alumnos. Aquí hay otra transformación de la que se hacen cargo los estudiantes. Ellos protagonizan

el 5º acto de la transposición didáctica: transforman el saber enseñado a saber del alumno. En esta parte de la metamorfosis del saber, los estudiantes tienen que hacer un trabajo similar al del matemático, en relación a los episodios en que despersonaliza y descontextualiza el saber para darle un estatus general.

La evolución de un objeto matemático

El primer acto de la transposición didáctica se observa en el quehacer de los matemáticos, que construyen sus objetos de saber científico que contiene una historia de los mismos, hasta que llegan al sitial que los define en su rigor. Chevallard, acerca de este proceso, indica:

“El estudio de la transposición didáctica implica una “vigilancia epistemológica”, esto es, examinar la distancia, vista por la deformación que existe entre el objeto de saber (del saber erudito) y el objeto de enseñanza (del saber a enseñar). A veces no queda más que una nomenclatura en común y en el peor de los casos, un lenguaje seudo-erudito. En casos extremos se habla de “ruptura epistemológica”, por lo que convendrá averiguar los motivos de estas rupturas”.

Para analizar el discurso de un texto matemático, se deben tener presentes los tratamientos de las nociones que allí aparecen. Se define como noción matemática aquella que aparece como útil al trabajo matemático y como objeto de estudio. Una noción paramatemática, es aquella que aparece en el entorno del trabajo matemático, generalmente como medio o herramienta para estudiar otro objeto de saber matemático. Claro que el estatus de un mismo objeto matemático, varía según sea al ámbito en que sea tratado, en algunos momentos puede ser un objeto de saber y por tanto toma su estatus matemático, pero si se le considera sólo como una herramienta para desarrollar otros objetos de estudio, su estatus es netamente paramatemático. Así la frontera que separa estas nociones, es absolutamente variable y dependiente del nivel en que se emplee. Por último decimos que un objeto que de herramienta ha pasado ha objeto de estudio, construyendo y preparando su noción matemática, ocupa el estatus de noción protomatemática.

Cabe señalar que existen ciertos cuestionamientos a la Transposición Didáctica, que por motivos de espacio no trataremos aquí. Chevallard consiente de ello, levanta posteriormente una nueva teoría que incluye a la Transposición y en la que resuelve algunos de los cuestionamientos, incorporando el análisis de los “saberes institucionales” y sus praxeologías en la Teoría Antropológica de lo Didáctico.

20.2 El porque de la transposición didáctica.

La toma de conciencia de la existencia de la transposición didáctica, de conocer e indagar (y si se quiere investigar) acerca de la diferencia entre los contenidos de saber matemático y los contenidos de saber de las matemáticas escolares, en el lenguaje de Chevallard,

distinguir las construcciones del saber sabio y las del saber a enseñar, puede permitir a los profesores en formación inicial o continua, trabajar sobre una compleja realidad de la enseñanza de las matemáticas, desmitificando creencias y concepciones que se acumulan con el tiempo como la inocente y a veces inconsciente aceptación de un ficticio isomorfismo entre estos saberes. Por ejemplo, el involucrarse con la transposición didáctica, requiere del análisis epistemológico de los objetos de enseñanza, que hagan del docente un agente activo y crítico frente a la forma en que él decida interpretar el programa y preparar los escenarios en que participarán.

La epistemología de los profesores ya sea en formación inicial o continua, da el hilo conductor de la preparación de las clases en que ellos participan, pues como indica Brousseau, es su medio: de lectura de las matemáticas, de concebirlas como conocimientos proyectados a los alumnos como distanciamientos con respecto a esta norma y para concebir una intervención.

Uno de los mayores aportes de la transposición didáctica, está en mostrar la tensión entre el tiempo legal de enseñanza que está dado por los programas en relación a las diferencias entre éste y la multiplicidad de tiempos de aprendizaje, dejando fuera la posibilidad de un isomorfismo ficticio entre ellos, que probablemente nos parece, puede ser una creencia de los profesores. Por otra parte, el saber enseñado se ordena en el tiempo, en completa linealidad, por capítulos, en cambio el saber del alumno, no responde a este modelo, pues tiene avances y retrocesos. Un estudiante por ejemplo puede quedarse con varias ideas sueltas que logra concretar muchas veces en posterioridad a la finalización de la unidad temática que trabajo en el aula. El profesor sabe desde antes que el alumno, hay una diferencia en los tiempos de saber entre los roles de enseñante y enseñado, (cronogénesis) y tiene entonces la posibilidad de anticiparse. Chevallard también hace alusión a la diferencia en la Topogénesis, esto es, que el profesor se sitúa en el lado de la teoría, mientras que el alumno está al lado de la práctica. Sin embargo, nos parece en este punto que siendo bastante claro que el profesor está en la teoría, los estudiantes a modo que avanzan en sus niveles, disminuyen la brecha topogenética. Sucede por ejemplo con la enseñanza de la demostración en el nivel medio y más aún en el superior, claro está cuando se hace matemática y no matematecnia.