conceptos_elasticidad

CONCEPTOS CONCEPTOS FUNDAMENTALESFUNDAMENTALES

Mecánica Clásica de Medios Mecánica Clásica de Medios ContinuosContinuos

Mecánica del sólido Mecánica de fluidos

uDesplazamientos

FFuerzas aplicadas

Tensiones

Deformaciones

Relaciones cinemáticas = (u)

Relaciones de equilibrio

f = f()

Relaciones constitutivas

= ()

Mecánica de Sólidos Mecánica de Sólidos Variables fundamentalesVariables fundamentales

uDesplazamientos

de los puntos

FFuerzas aplicadas

Tensiones en el entorno de los

puntos

Deformaciones en el entorno de los

puntos

Mecánica de Sólidos Mecánica de Sólidos Variables fundamentalesVariables fundamentales

Variables referidas a la estática

Campos vectoriales

Campos tensoriales

Variables referidas a la geometría

Ejemplo sencilloEjemplo sencillol

l+u

uF

u

l

F A

E

EAF u

l

cinemática

equilibrio

constitutiva

Ecuación que gobierna el comportamiento del problema

Relaciones de equilibrio f = f()

0

0

0

xyx xzx

xy y yzy

yzxz zy

fx y z

fx y z

fx y z

Relaciones cinemáticas = (u)

x y z

zy zy

zx xz

xy yx

u v w

x y z

v w

z y

u w

z xu v

y x

ε ε ε

Relaciones constitutivas = ()

yx zx

yx zy

yx zz

E E E

E E E

E E E

yzyz

xzxz

xyxy

G

G

G

Relaciones diferencialesRelaciones diferenciales

DESPLAZAMIENTOS Y DESPLAZAMIENTOS Y FUERZASFUERZAS

T fuerza por unidad de superficie

u desplazamiento del punto X(x,y,z)

f fuerza por unidad de volumen

Pi fuerza concentrada

T, ,u v wu

T, ,x y zT T T T

T, ,x y zf f f f

T, ,i x y zp p p P

Estado de tensión de un puntoEstado de tensión de un punto

xy

z

xyxz

zxyz

yx

zy

Cuando el dV tiende a un punto el tensor de tensiones es

x xy xz

yx y yz

zx zy z

σ

Que puede escribirse como un vector

T, , , , ,x y z yz xz xy σ

TENSIONES Y EQUILIBRIOTENSIONES Y EQUILIBRIO

Multiplicando las tensiones por áreas para obtener fuerzas podemos plantear las ecuaciones de equilibrio del volumen elemental.

0 0

0 0

0 0

xyx xzx x

xy y yzy y

yzxz zz y

F fx y z

F fx y z

F fx y z

CONDICIONES DE CONTORNOCONDICIONES DE CONTORNO

En la superficie Su se especifica u

En la superficie ST en la que se aplica T se plantea equilibrio.

0 u uen S o en S u u a

Dirichlet. Esencial

Neumann. Natural

CONDICIONES DE CONTORNOCONDICIONES DE CONTORNO

En la superficie ST en la que se aplica T se plantea equilibrio.

x x xy y xz z x

xy x y y yz z y

xz x yz y z z z

dAn dAn dAn T dA

dAn dAn dAn T dA

dAn dAn dAn T dA

x x xy y xz z x

xy x y y yz z y

xz x yz y z z z

n n n T

n n n T

n n n T

Neumann. Natural

DEFORMACIÓNDEFORMACIÓN

La deformación se manifiesta como:

• un cambio en la distancia entre dos puntos vecinos.

• un cambio en el ángulo que forman dos líneas que se cortan.

Deformación específica longitudinalDeformación específica longitudinal

ε

x x xx

y y yy

z z zz

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

x x y y z z(x+dx+u +du ,y+u +du ,z+u +du )

x y z(x+u ,y+u ,z+u )

Para el punto A (x,y,z) el desplazamiento es u = u(x,y,z)

Para el punto B (x+dx,y+dy,z+dz) el desplazamiento es u+du

Por la regla de la cadena:


ε

2 2 2

' ' ' ' ' '

22 2

' '

' '

B A B A B A

x x x y y y z z z

AB dx

A B x x y y z z

A B x dx u du x u y u du y u z u du z u

x x y y z z(x+dx+u +du ,y+u +du ,z+u +du )

x y z(x+u ,y+u ,z+u )


x x xx

y y yy

z z zz

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

22 2

22 2

' '

' '

x x x y y y z z z

x y z

A B x dx u du x u y u du y u z u du z u

A B dx du du du

Dado que AB es paralelo al eje x

entonces dy = 0 y dz = 0 entonces

xx

yy

zz

udu dx

xu

du dxxu

du dxx

22 2

' ' 1

yx zuu u

A B dxx x x


22 2

' ' 1

yx zuu u

A B dxx x x

Expresión exacta

2 22

1 ; 1 ; 1 1

y yx xz zu uu uu u

x x x x x x

Suponiendo pequeños gradientes de desplazamientos (pequeñas deformaciones) entonces

Entonces se puede aproximar

' ' 1

xuA B dx

x


La elongación de la línea infinitesimal, paralela al eje x resulta

Siguiendo el mismo desarrollo para líneas paralelas a los ejes y y z

' '

1

x

x

x

xx

A B AB

AB

udx dx

xdx

u

x

yx zx y z

uu u

x y z

Deformación específica angularDeformación específica angularSi se suponen pequeños gradientes de desplazamientos se pueden despreciar las

variaciones de longitud de las líneas AB y AC es decir |A’B’| = |AB| y |A’C’| = |AC|

1

2

' '

' '

y y

x x

du dusin

A B dx

du dusin

A C dy

Deformación específica angularDeformación específica angularAB es paralelo al eje x

entonces dy = 0 y dz = 0

x x xx

y y yy

z z zz

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

xx

yy

zz

udu dx

xu

du dxxu

du dxx

AC es paralelo al eje y entonces dx = 0 y dz = 0

x x xx

y y yy

z z zz

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

u u udu dx dy dz

x y z

xx

yy

zz

udu dy

y

udu dy

y

udu dy

y

1 1

1

/

y y

y

du usin dx dx

dx xu

x

2 2

2

/

x x

x

du usin dy dy

dy y

u

y

Deformación específica angularDeformación específica angular

El ángulo recto CAB decrece

1 2

yxuu

y x

yxxy

y zyz

x zxz

uu

y x

u u

z y

u u

z x

Repitiendo el razonamiento para todas las direcciones se obtiene

RELACIÓN RELACIÓN DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTODEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO

ε

x

y

z

yz

xz

xy

uu dx u

uxdx x

vv dy v

y v

dy y

ww dz w

wzdz zv w

z y

u w

z xu v

y x

RELACIÓN RELACIÓN DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTODEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO

ε

Expresando el tensor deformación como vector

T, , , , ,x y z yz xz xy ε

, , , , ,T

u v w v w u w u v

x y z z y z x y x

ε

El tensor deformación es

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

x xy xz

yx y yz

zx zy z

RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓNRELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN

yx zx

yx zy

yx zz

E E E

E E E

E E E

Para materiales elásticos lineales la relación tensión-deformacion es la ley de Hooke generalizada. Considerando un cubo elemental dentro del cuerpo de un material isotrópico

yzyz

xzxz

xyxy

G

G

G

2 1

EG

1 2x y z x y zE

RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓNRELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores se obtiene

σ Dε

Donde D es la matriz 6 x 6 simétrica del material

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0.5 0 01 1 2

0 0 0 0 0.5 0

0 0 0 0 0 0.5

E

D

CASO 1DCASO 1D

En los casos unidimensionales se tiene una tensión en la dirección x y la correspondiente deformación

E

CASOS 2DCASOS 2D

Se supone que:

– todas las variables dependientes son independientes de z

– las cargas externas son independientes de z y están contenidas en el plano xy.

TENSIÓN PLANATENSIÓN PLANA Sólidos planos con espesor muy pequeño en la dirección z. Fuerzas externas aplicadas en el plano xy. Tensiones nulas en la dirección z (z,xz, yz). Las deformaciones xz, yz son nulas.

TENSIÓN PLANATENSIÓN PLANAT

, , , , ,x y z yz xz xy σ


yxx

y xy

z x y

xyxy

E E

E E

E

G

2

1 0

1 01

10 0

2

x x

y y

xy xy

E

DEFORMACIÓN PLANADEFORMACIÓN PLANA Sólidos con dimensión grande en la dirección z. Sección uniforme en la dirección z. Fuerzas externas transversales aplicadas a lo largo de z. Movimiento de cualquier punto restringido en z . Todas las deformaciones en la dirección z (z,xz, xz) son nulas.

DEFORMACIÓN PLANADEFORMACIÓN PLANA

T, , , , ,x y z yz xz xy σ


1 0

1 01 1 2

10 0

2

x x

y y

xy xy

E

0

yx zx

yx zy

z

E E E

E E E

z x y

DEFORMACIÓN PLANADEFORMACIÓN PLANA

1 0

1 01 1 2

10 0

2

x x

y y

xy xy

E

1 0 0 0

1 0 0 0

01 0 0 0

00 0 0 0.5 0 01 1 2

00 0 0 0 0 0.5 0

0 0 0 0 0 0 0.5

xx

yy

z

yz

xy

E

EFECTOS DE TEMPERATURAEFECTOS DE TEMPERATURA

Para materiales isótropos un T origina una deformación uniforme.

La deformación depende del coeficiente de deformación lineal

Dicha deformación no causa tensiones si el cuerpo está libre.

EFECTOS DE TEMPERATURAEFECTOS DE TEMPERATURA

T0 , , ,0,0,0ε T T T

T0 , ,0ε T T

0D ε - ε

T0 1 , ,0ε T T

La deformación por temperatura se representa como una deformación inicial

La relación tensión - deformación es

Para tensión plana

Para deformación plana

T, ,x y xy ε

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMARESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

En Mecánica del Sólido el problema es:

determinar los desplazamientos del cuerpo

satisfaciendo las ecuaciones de equilibrio

y las condiciones de contorno

0

0

0

xyx xzx

xy y yzy

yzxz zy

fx y z

fx y z

fx y z

u

x x xy y xz z x

xy x y y yz z y

xz x yz y z z z

en S

n n n T

n n n T

n n n T

u a

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMARESOLUCIÓN DEL PROBLEMA En Mecánica del Sólido el problema es:

determinar los desplazamientos del cuerpo satisfaciendo las ecuaciones de equilibrio

Se requiere resolver ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden (forma fuerte).

Se utilizan métodos aproximados.

La forma fuerte del sistema de ecuaciones requiere mayor continuidad de las funciones que deben ser diferenciables hasta el orden del sistema de ecuaciones diferenciales.

En general se crea una forma débil del sistema usando alguno de los siguientes métodos:

Principios energéticos (métodos variacionales) Método de los residuos ponderados

Extraído deExtraído de

Introduction to Finite Elements in Engineering. T.R. Chandrupatla y A. D. Belengundu

Introducción a la Teoría de Elasticidad. L.A. Godoy, C.A. Prato y F. G. Flores

Introduction to the Finite Element Method. N. Ottosen y H. Peterson

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