Condensador esférico1 EnunciadoHalle la capacidad de un condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b).

2 Caso generalSuponemos la superficie interior a potencial V0 y la exterior a tierra. En el hueco entre las dos superficies esféricas no hay carga intermedia, por lo que se verifica la ecuación de Laplace

con las condiciones de contorno

Por la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada radial r. En este caso, la solución de la ecuación de Laplace es de la forma

Quedan por determinar las constantes A y B. Sustituyendo las condiciones de contorno

resultan las constantes y el potencial

y sustituyendo las constantes en la expresión del potencial

Una vez que tenemos el potencial hallamos el campo eléctrico

La carga en la esfera a mayor potencial (la interior) la calculamos por aplicación de la ley de Gauss. Si tomamos una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera interior

ya que para una superficie esférica y el ángulo sólido total Ω = 4π. La capacidad del condensador esférico la obtenemos como el cociente entre la carga y la diferencia de potencial

3 El límite de radio exterior infinitoUn límite de interés del resultado anterior es el límite en que . En este límite

Esta es la capacidad de una esfera en ausencia de otros conductores. Por ello, podemos entender el caso de una esfera conductora, como un condensador esférico una de cuyas placas (la de tierra) se encuentra en el infinito. 4 El caso de dos radios muy próximosConsideremos ahora el caso de un condensador esférico formado por dos superficies de radios a y b, muy próximos entre sí, de forma que

En este caso la capacidad del condensador esférico se puede expresar como

Despreciando δ frente a a

ya que S = 4πa2 es el área de una superficie esférica. Esta es la expresión de la capacidad para un condensador plano. Cuando la diferencia entre radios es mucho menor que los radios, pueden despreciarse los efectos de curvatura. 4.1 Un ejemplo: la superficie terrestre y la ionosferaPara el condensador formado por la superficie terrestre (aproximadamente de radio 6400 km) y la ionosfera (situada a unos 100 km sobre ella) la capacidad calculada empleando la fórmula del condensador esférico da

y usando la fórmula del condensador plano

siendo el error cometido del 1.5%, que es mucho menor que la incertidumbre que se tiene respecto a la altura de la ionosfera.

Condensador cilíndricoElectromagnetismo Capacidad de un condensador cilíndrico

  Capacidad de un condensador cilíndricoEl campo existente entre las armaduras de un condensador cilíndrico de radio interior a, radio exterior b, y longitud L, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región a<r<b, ya que tanto fuera como dentro del condensador el campo eléctrico es cero.La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada,y requiere los siguientes pasos:

1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.La dirección del campo es radial y perpendicular al eje del cilindro. 2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujoTomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r, y longitud L. Tal como se muestra en la figura. El cálculo del flujo, tiene dos componentesFlujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son perpendiculares, el flujo es cero. Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie lateral, por lo que,

El flujo total es por tanto; E·2 rL3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerradaLa carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura cilíndrica interior4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

Ahora, es fácil demostrar, aplicando el teorema de Gauss que el campo en las regiones r<a

y r>b es nulo. En el primer caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r<a y de longitud L, dicha superficie no encierra carga alguna. En el segundo caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r>b y longitud L, la carga total encerrada es +Q-Q=0, es nula, el flujo es cero y el campo es cero. En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia radial r.

La diferencia de potencial entre las placas del condensador se calcula integrando, (área sombreada de la figura).

La capacidad es

La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio a y radio b de sus armaduras, y longitud L del condensador)Si el cilindro interior no está completamente introducido en el exterior, sino solamente una longitud x, la capacidad del condensador será

Energía del condensador

Electrómetro cilíndricoLa fuerza que actúa sobre el cilindro interior del condensador, manteniendo constante el potencial V entre sus placas es

La fuerza es constante e independiente de x.

ActividadesEn el applet se trata de medir una tensión desconocida V, mediante un electrómetro formado por dos armaduras cilíndricas de radios a y b que tienen el mismo eje. El potencial V se calcula midiendo la fuerza F, conocidos los datos del radio interior a y el radio exterior b del condensador cilíndrico.Cuando se pulsa el botón titulado Nuevo, se genera un número aleatorio que representa la tensión V desconocida de un generador.Cuando se pulsa el botón titulado Conectar, las placas del condensador se conectan a dicho generador. El cilindro interior es atraído por el campo eléctrico y la balanza se desequilibra. Tenemos que volverla a equilibrar para medir la fuerza de atracción F.Moviendo los cursores (flechas de color azul, rojo y negro) equilibramos la balanza y medimos la fuerza en miligramos.Ejemplo:Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratón los cursores hasta marcar 57.7 mg.Sabiendo que el radio interior a del cilindro es de 45 mm, y el radio del cilindro exterior es de 50 mm. Introducimos los datos en la fórmula de la fuerza en las unidades adecuadas.

Comparamos nuestros cálculos con la respuesta dada por el programa interactivo 1465.5 V, al pulsar el botón titulado Respuesta.