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Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C (X ) sobre X Lucero Madrid Mendoza Dr. Félix Capulín Pérez Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México Noviembre 2014
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Condiciones relacionadas a la existencia deretracciones de C(X) sobre X
Lucero Madrid MendozaDr. Félix Capulín Pérez
Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
Noviembre 2014
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y nodegenerado.
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y nodegenerado.
Dado un contiuno X se definen los siguientes hiperespacios:2X = {A ⊂ X : A es cerrado y no vacío}
C(X) = {A ∈ 2X : A es conexo }
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y nodegenerado.
Dado un contiuno X se definen los siguientes hiperespacios:2X = {A ⊂ X : A es cerrado y no vacío}
C(X) = {A ∈ 2X : A es conexo }
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
Dado un espacio topológico X y A ⊂ X cerrado. Una funcióncontinua r : X → A tal que r |A es la función identidad sobre A
es llamada retracción.
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Dado un espacio topológico X y A ⊂ X cerrado. Una funcióncontinua r : X → A tal que r |A es la función identidad sobre A
es llamada retracción.
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Dado un espacio topológico X y A ⊂ X cerrado. Una funcióncontinua r : X → A tal que r |A es la función identidad sobre A
es llamada retracción.
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
Dado un espacio topológico X y A ⊂ X cerrado. Una funcióncontinua r : X → A tal que r |A es la función identidad sobre A
es llamada retracción.
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(Sam Nadler Jr, 1970)¿Qué condiciones necesarias ysuficientes se necesitan para que existan retracciones de C(X)
sobre X?
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DefiniciónSean X un continuo, p, q ∈ X. Diremos que X es de tipo Nentre los puntos p y q si: existen un arco A = pq, dossucesiones de arcos {Ai}∞i=1, {Bi}∞i=1 en X tales queAi = pip
′i, Bi = qiq
′i y puntos p
′′i ∈ Bi \ {qi, q
′i}, q
′′i ∈ Ai \ {pi, p
′i}
para toda i ∈ N tales que:1. A = LimAi = LimBi
2. p = Limpi = Limp′i = Limp
′′i
3. q = Limqi = Limq′i = Limq
′′i
4. Cada arco que une a qi con q′i debe contener a p
′′i
5. Cada arco que une a pi con p′i debe contener a q
′′i
Si X es de tipo N entre dos puntos, diremos simplemente queX es de tipo N .
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p q
p'i
pi
q'i
qi
Ai
Bi
q''i
p''i
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DefiniciónSea X un continuo. Diremos que X es uniformementearco-conexo (uac), si para cada ε > 0 existe K ∈ N tal quecada arco ab = A contenido en X contiene k puntosa = a1, a2, a3, . . . ak = b que dividen a A en subarcos ajaj+1
cada uno de ellos con diámetro menor que ε.
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Ejemplos uac.
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Ejemplos uac.
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Ejemplo NO uac.
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DefiniciónSe dice que un espacio X es contráctil con respecto a Ysiempre que cada función continua f : X → Y sea homotópicaa una función constante.
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p
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Teorema(J.J Charatonik) Sea X un dendroide. Si existen retraccionesde C(X) en X entonces X es uac.
Teorema(W.J Charatonik, F. Capulín) Sea X un continuo. Si existenretracciones de C(X) sobre X entonces X no es de tipo N .
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Teorema(J.J Charatonik) Sea X un dendroide. Si existen retraccionesde C(X) en X entonces X es uac.
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El reciproco del Teorema anterior no se cumple.
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•X es Tipo N .
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•X no es contráctil pues X es Tipo N .
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•X no es contráctil pues X es Tipo N .•C(X) es contráctil.
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•X no es contráctil pues X es Tipo N .•C(X) es contráctil.• La contractibilidad se preserva bajo retracciones.
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Teorema(W.J Charatonik, F. Capulín) Sea X un continuo. Si existenretracciones de C(X) sobre X entonces X no es de tipo N .
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El reciproco del Teorema anterior no es válido.
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El reciproco del Teorema anterior no es válido.
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El reciproco del Teorema anterior no es válido.
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El reciproco del Teorema anterior no es válido.
• NO es uac.
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El reciproco del Teorema anterior no es válido.
• NO es uac.• Por el Teorema anterior si existieran retracciones de C(X) enX entonces X es uac.
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¿Si X es un dendroide uac y no es de tipo N , entonces existenretracciones de C(X) a X?
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¿Si X es un dendroide uac y no es de tipo N , entonces existenretracciones de C(X) a X?
NO
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Contraejemplo.
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Contraejemplo.
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Contraejemplo.
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DefiniciónSea X un continuo Tipo N entre p y q. Se dice que (X, g, Y )tiene la propiedad (∗) si Y es un continuo hereditariamenteunicoherente y g : X → Y es una función continua tal que:a)g(p) 6= g(q)b)g(piq
′′i ) ∩ g(q
′′i p
′i) = {g(q
′′i )}
c)g(qip′′i ) ∩ g(p
′′i q
′i) = {g(p
′′i )}
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DefiniciónSea X un continuo Tipo N entre p y q. Se dice que (X, g, Y )tiene la propiedad (∗) si Y es un continuo hereditariamenteunicoherente y g : X → Y es una función continua tal que:a)g(p) 6= g(q)b)g(piq
′′i ) ∩ g(q
′′i p
′i) = {g(q
′′i )}
c)g(qip′′i ) ∩ g(p
′′i q
′i) = {g(p
′′i )}
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Teorema(T.Czuba) Sean X y Y dos continuos y g : X → Y una funcióncontinua. Si (X, g, Y ) tiene la propiedad (∗), entonces paracada función f : X → Y homotópica a la función g tenemosque g(p), g(q) ∈ f(pq) ⊂ f(X).
Teorema(A.Illanes, S.Nadler Jr.) Sea X un continuo. C(X) escontráctil si y sólo si existe una función continua α : X → γ(X).En donde γ(X) = {arcos ordenados en C(X) que unen a unelemento de F1(X) con X}
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• Arcos Ordenados
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• Arcos Ordenados• Si x pertenece al triodo de convergencia:
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•x ∈ or
p
q
o
r
x
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•x ∈ or
p
q
o
r
x
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•x ∈ or
p
q
o
r
x
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•x ∈ or
p
q
o
r
x
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•x ∈ or
p
q
o
r
x
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•x ∈ or
p
q
o
r
x
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•x ∈ orq
o r
p
x
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
p
q
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•x ∈ pc donde c es el punto medio de op.q
o r
p
c
x
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•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
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•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.
p
q
o
rc
x
q
p
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•x ∈ oc donde c es el punto medio de op.q
o r
p
c
x
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• Arcos Ordenados• Si x ∈ pqn:
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
c
qn
wn
sn
rn
x=un
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•x = unq
o r
p
qn qn
sn
sn rn
rnwn
wn
x=un
x=un
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•x > unq
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rnx
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•x > unq
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rnx
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•x > unq
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rnx
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•x > unq
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rnx
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x > unq
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rnx
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x > unq
o r
p
qn qn
sn
sn rn
rnwn
wn
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ pun \ {un}q
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rn
x
q
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rn
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ pun \ {un}q
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rn
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ pun \ {un}q
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rn
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ pun \ {un}q
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rn
x
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
•x ∈ pun \ {un}q
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rn
x
fn(x)
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•x ∈ pun \ {un}q
o r
p
c
qn
un
wn
sn
rn
x
fn(x)
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•x ∈ pun \ {un}q
o r
p
qn qn
sn
sn rn
rnwn
wn
p
c
un
x
fn(x)
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• ContinuidadSea ε > 0. P.d. Existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ entoncesH2(Ax, Ay) < ε.
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• ContinuidadSea ε > 0. P.d. Existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ entoncesH2(Ax, Ay) < ε.Ax ⊂ NH(ε, Ay) y Ay ⊂ NH(ε, Ax)
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• ContinuidadSea ε > 0. P.d. Existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ entoncesH2(Ax, Ay) < ε.Ax ⊂ NH(ε, Ay) y Ay ⊂ NH(ε, Ax)Para todo C ∈ Ax, existe K ∈ Ay tal que H(C,K) < ε.
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• ContinuidadSea ε > 0. P.d. Existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ entoncesH2(Ax, Ay) < ε.Ax ⊂ NH(ε, Ay) y Ay ⊂ NH(ε, Ax)Para todo C ∈ Ax, existe K ∈ Ay tal que H(C,K) < εC ⊂ N(ε,K) y K ⊂ N(ε, C).
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• Continuidad•x ∈ or \ {o}, y ∈ T :
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p
q
o
r
xc
y
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p
q
o
r
xc
y
p
q
o
r
xc
y
K={y}
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
c
y
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
c
y
p
q
o
r
x
c
y K
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
cy
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
cy
p
q
o
r
x
cy
K=C
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
cy
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
cy
p
q
o
r
x
cy
K
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
cy
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
p
q
o
r
x
cy
p
q
o
r
x
cy
K=C
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• Continuidad•x ∈ or \ {o}, y /∈ T :
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
K
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y K
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
K
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
q
o r
p
qn
wn
sn
rn
X C
y
K
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
• Continuidad•x = p:
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
x=p
qn
wn
sn
rn
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
x=p
qn
wn
sn
rn
un
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
x=p
qn
wn
sn
rn
un
z
Condiciones relacionadas a la existencia de retracciones de C(X) sobre XFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México
q
o r
x=p
qn
wn
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¡GRACIAS!
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