Conducción de calor en estado no estacionario o transitorio

Al someter a un cuerpo solido a un cambio repentino de temperatura en un

medio, debe transcurrir un cierto tiempo para que alcance una condición de

temperatura en equilibrio. En el proceso de calentamiento o enfriamiento

transitorio que tiene lugar en el periodo intermedio antes que se establezca el

equilibrio, el análisis debe modificarse para tomar en cuenta el cambio de la

energía interna del cuerpo con el tiempo, y se deben ajustar las condiciones de

frontera para que correspondan a la situación física.

El análisis de transferencia de calor en estado estacionario es obviamente de

gran interés práctico, debido al gran número de procesos de calentamiento y

enfriamiento que deben calcularse en aplicaciones industriales.

Conducción de calor en estado transitorio en paredes planas grandes,

cilindros largos y esferas con efectos especiales

Considere una pared plana de espesor 2 L, un cilindro largo de radio r0 y una

esfera de radio r0, inicialmente a una temperatura uniforme T i, como se

muestra en la figura 1.

a) Pared plana grande b) cilindro grande c) Una esfera

Fig.1 esquema de las configuraciones geométricas

En el instante t=0, cada configuración geométrica se coloca en un medio

grande que está a una temperatura constante T ∞ y se mantiene en ese medio

para t>0. La transferencia de calor se lleva a efecto entre estos cuerpos y sus

medios ambientes por convección, con un coeficiente de transferencia de calor

h uniforme y constante. En los tres casos se tiene simetría geométrica y

térmica: la pared plana es simétrica con respecto a su plano central (x=0), el

cilindro es simétrico con respecto a su línea central (r=0) y la esfera es

simétrica con respecto a su punto central (r=0). Se desprecia la trasferencia de

calor por radiación entre estos cuerpos y sus superficies circundantes, o bien,

se incorpora el efecto de la radiación en el coeficiente de calor por convecciónh

.

En la figura 2 se ilustra la variación del perfil de temperatura con el tiempo en

la pared plana. Cuando la pared se expone por primera vez al medio

circundante que está a T ∞<T i en t=0, toda la pared está a la temperatura

inicial T i. Pero la temperatura de la pared en las superficies y cerca de estas

empieza a caer como resultado de la transferencia de ella hacia el medio

circundante. Este crea un gradiente de temperatura de la pared y se inicia la

conducción de calor desde las partes internas de ella hacia sus superficies

exteriores. El perfil de temperatura se hace más y más aplanado conforme

pasa el tiempo como resultado de la transferencia de calor y llega el momento

en que se vuelve uniforme T=T ∞. Es decir la pared alcanza el equilibrio térmico

con sus alrededores.

Fig.2 Perfiles de temperatura transitoria en una pared expuesta a convección

desde sus superficies para T i>T∞

La formulación de los problemas para la determinación de la distribución de

temperatura unidimensional en régimen transitorio. T (x , t), en una pared

conduce a una ecuación diferencial de derivadas parciales, la cual se puede

resolver utilizando técnicas matemáticas avanzadas. Sin embargo, por lo

general la solución comprende series infinitas, las cuales son inconvenientes y

su evaluación es tardada. Por lo tanto, se tiene una clara motivación para

presentar una solución en forma tabular o gráfica. Sin embargo la solución

comprende los parámetros x ,L , k ,∝, h ,T i∧T∞, con el fin de reducir el número

de parámetros, se quitan dimensiones al problema mediante la definición de las

siguientes cantidades adimensionales:

Temperatura adimensional: θ ( x ,t )=T ( x ,t )−T ∞T i−T ∞

Distancia adimensional desde el centro: X= xL

Coeficiente adimensional de transferencia de calor: Bi=hLK

(Biot)

Tiempo adimensional: τ=∝ tL2

(Fourier)

La eliminación de dimensiones permite presentar la temperatura en términos

solo de tres parámetros:X , Bi y τ . Esto hace que sea práctico presentar la

solución en la forma gráfica. Las cantidades adimensionales antes definidas

para una pared plana también se pueden usar para un cilindro o una esfera.

Conducción de calor en estado transitorio en sólidos semi infinitos

Un sólido semi infinito figura 3, es un cuerpo idealizado que tiene una sola

superficie plana y se extiende hacia el infinito en todas direcciones, se utiliza

para indicar que el cambio de temperatura en la parte del cuerpo en la que se

interesa se debe a las condiciones térmicas en una sola superficie.

Fig.3 Esquema de un sólido semi infinito

7. Que representa en número de Biot en el análisis del estado transiente

Un procedimiento para simplificar la solución de la ecuación general de la

conducción es considerar que el sólido pueda variar su temperatura, pero es su

interior mantenga la misma temperatura. Entonces para comprobar que la

resistencia interior es despreciable se recurre a un coeficiente adimensional

denominado número de Biot, el cual representa la relación entre la resistencia

superficial con la resistencia interna, y cuyo valor debe ser inferior a la unidad.

En este caso se dice que si Bi<0.1 el error será inferior del 5%, aunque lo

deseable es que Bi sea lo menor posible.

Calculo de coeficiente de convección y numero de Biot para cada proceso

Probeta 1

Proceso de calentamiento

h Bi7456263,11 94077,35221778770,8 22443,1521

902649,998 11388,9385676987,499 8541,70385448911,77 5664,02098

374093,142 4720,01748320651,264 4045,72927206770,331 2608,86787183795,85 2318,99366

165416,265 2087,09429150378,422 1897,35845109415,23 1380,5166277257,539 974,775782

71739,1434 905,14894157360,246 723,727152

53775,2307 678,49420542505,0915 536,29631932799,7891 413,84233224389,0076 307,72160617058,9944 215,23717810638,7465 134,23146310155,1671 128,1300339713,63813 122,5591624574,18653 57,71354244391,21907 55,4050007

Enfriamiento en agua

h Bi1180792,41 14898,32391034738,81 13055,5328944985,018 11923,089889385,402 11221,5761829587,563 10467,0933811754,061 10242,0839757561,083 9558,31893799062,083 10081,9464790564,802 9974,73429804665,931 10152,6514731514,483 9229,6831779970,172 9841,05946892630,84 11262,5245

725262,558 9150,80115682600,054 8612,51873519980,115 6560,70631492612,74 6215,40597

467982,103 5904,63568383174,253 4834,59591365757,241 4614,84155309351,444 3903,1569296461,801 3740,52536284603,329 3590,90434273657,047 3452,79264263521,601 3324,91143254110,115 3206,16459

Enfriamiento en aceite

h Bi161405,248 2036,48639147599,051 1862,29049162761,976 2053,60454290897,662 3670,32137295639,66 3730,15223

280569,856 3540,01311291773,946 3681,37764283495,505 3576,92669278033,521 3508,0116274862,183 3467,99812273657,047 3452,79264

274235,933 3460,09657276529,188 3489,03108280569,856 3540,01311264065,747 3331,77705270584,687 3414,02798256343,388 3234,3423265146,379 3345,41163276290,498 3486,01949263731,839 3327,56405277934,638 3506,76396266354,028 3360,6488284603,329 3590,90434273657,047 3452,79264263521,601 3324,91143287380,69 3625,94693

277471,011 3500,91428268221,977 3384,21714259569,655 3275,04884292488,815 3690,3973283625,517 3578,56708275283,59 3473,3151

331548,598 4183,22338322338,914 4067,02273313627,052 3957,1032305373,708 3852,96891297543,613 3754,17483

Proceso de enfriamiento en aceite

h Bi317229,827 4002,56023187046,571 2360,00874134980,557 1703,08011109415,23 1380,51662

94498,5018 1192,308991620,7277 1155,9993784703,3716 1068,7215379985,4805 1009,1948376813,6632 969,17530169132,2969 872,25777162847,5426 792,9616162348,857 786,66958157552,791 726,156536

57982,4329 731,57742554116,9374 682,80559766588,5069 840,1622

62671,5359 790,74089465880,4002 831,22785762413,0107 787,47902367055,4943 846,05428463862,3755 805,76598570906,3793 894,64176984088,4125 1060,96245

Probeta 2

Proceso de calentamiento

Enfriamiento en agua

h Bi0 0

3572786,46 55866,01118373102,4 287291,71342993381,5 672267,64273417510,2 1147995,69115995408 1813766,6181813061 2842926,82425756848 6657363,12730031701 11415168,4821285663 12842064,5912539626 14268960,5

1114427180 17425782,91534928325 240009651841224066 287903701704050107 26645444,2

1728195864 27023000,21768779020 27657580,31807929248 28269754,31892175788 29587078,51867175260 29196156,81916333214 29964817,11978028955 30929524,92038050943 31868060,92067195852 32323786,42138429825 33437639,1

Enfriamiento en aceite

h Bi78364,0774 1225,3428727222,7228 425,66913847989,9102 750,39605262687,6977 980,21856582164,4454 1284,7674783766,3819 1309,8162187853,0232 1373,7171392497,6526 1446,3430696318,7132 1506,0912295747,8434 1497,16479

94882,3904 1483,632198544,658 1540,8972999525,135 1556,22855

100966,045 1578,75939101526,343 1587,5205198568,5491 1541,27086103046,801 1611,29522106316,431 1662,42091106766,038 1669,4512107619,522 1682,79674107366,653 1678,84275110078,264 1721,24296107893,453 1687,08008107593,069 1682,38311114642,749 1792,6157117864,724 1842,99623121901,205 1906,11281122079,276 1908,89723119409,567 1867,15222121842,132 1905,18912125932,177 1969,14327134714,407 2106,46694141059,429 2205,68112155815,358 2436,41276178817,004 2796,07887

212400,734 3321,21214206660,174 3231,44965187185,156 2926,9278157223,28 2458,42779

140395,853 2195,30509121294,466 1896,62553114429,786 1789,2857108254,911 1692,73202103674,651 1621,1126198473,7156 1539,7879994565,3224 1478,6742590114,0203 1409,071386735,2086 1356,2383882877,1578 1295,9118280565,8827 1259,7714877742,6653 1215,6261474505,1138 1165,0020472550,5294 1134,4391170678,0433 1105,1599168381,5644 1069,2509366676,5572 1042,5905265039,3653 1016,990563021,7925 985,4426561523,7207 962,01799560082,2423 939,478263

58694,3709 917,77675957747,6875 902,973908

Proceso de enfriamiento en aire

h Bi13840,5342 216,41803814693,3114 229,75252214968,0567 234,04858714292,8287 223,49035913897,4313 217,30771213447,3426 210,26988413367,8246 209,02649813233,2124 206,92162913342,3074 208,62749512885,4739 201,48420212733,5876 199,10922612524,0582 195,83291212497,9482 195,42464112170,3082 190,30148612124,8932 189,59135312172,7572 190,33978

12037,2815 188,22140911885,4345 185,84704711871,2209 185,62479711833,4359 185,0339711873,9573 185,66758511683,8033 182,69423311470,3734 179,3569311479,6285 179,50164711459,8352 179,19214811459,895 179,193083

11428,8925 178,70831211466,5948 179,29784511626,5833 181,79951111546,2794 180,54383711640,229 182,012883

11754,4722 183,79925112003,8505 187,69866412720,2246 198,90027512802,8388 200,19207613045,2892 203,9831613704,203 214,28629

14143,6228 221,15729514568,5732 227,80204716573,2004 259,14747817268,5005 270,01956418915,7275 295,77649119797,5476 309,56510522027,4284 344,43272131366,3026 490,46038124374,3967 381,131179

Conclusiones (José Caluguillin)

Se concluye que una de las maneras para resolver la ecuación que rige en el estado transitorio de la conducción, es mediante la utilización del número adimensional Biot, con lo cual se puede obtener un porcentaje bajo de error en todo calculo.

Se concluye de la práctica que la probeta en forma de cono tarda más tiempo en enfriarse en cualquier de los tres procesos, debido a la geometría de la misma y con la cual se obtiene una longitud efectiva mayor a la otra probeta, con lo cual se confirma.

Se concluye que el medio de enfriamiento más efectivo para el caso de las dos probetas utilizadas, es con el uso de aceite, esto debido a la propiedad que tienen los aceites de absorber el calor.

Recomendaciones (José Caluguillin)

Se recomienda que para mejorar la toma de datos, y en lo posible de realizar la práctica con más probetas, se disponga de un área de trabajo más amplia y se cuente al menos con otra cocineta para así agilitar la realización de la práctica.

Se recomienda a más de tener un área de prácticas más amplia, tener un área adecuada en donde la variación de temperatura ambiental sea más estable y así tener datos más exactos.