Conferencia – taller modelando ecuaciones

Presenta: Prof. Fredes Rodríguez Galarza

Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas

Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la

Universidad de Puerto Rico, Recinto de Carolina. Sufragado por fondos federales

de Título I -A.

Prof. Fredes RodríguezProf. Miguel Colón

1. Saludos2. Dinámica de presentación3. Aspectos preliminares

a. Estándares y expectativas que se atenderán en el taller.b. ¿Qué es una ecuación?c. Solución y clasificación de ecuaciones.d. Método para resolver un modelo.e. Modelos lineales simplesf. Modelos cuadráticos simples.g. Modelos lineales en dos variables.h. Modelos cuadráticos en dos variables.

4. Post-prueba5. Evaluación

2

Agenda


A.RE.7.5.2 Traduce frases lingüísticas a frases algebraicas para resolverproblemas.

A.CA.7.6.1 Demuestra que la razón de cambio en casos lineales es constante ydescribe gráficamente la relación proporcional implícita en esta razón decambios y representada en la inclinación de la recta.

A.CA.7.6.2 Interpreta, describe y utiliza la razón de cambio para modelarsituaciones matemáticas y del mundo real. Interpreta el significado de larazón de cambio asociada con incrementos y decrecimientos en contextosvariados y del mundo real que involucran tasas, razones y porcentajes.

A.PR.7.6.4 Establece conexiones y traduce entre representacionesequivalentes de relaciones lineales, incluyendo gráficas, tablas, ecuaciones yexpresiones verbales para resolver problemas.

3

Recuerde

A. RE. = Algebra. Representación

A. PR. = Algebra, Patrones, relaciones y funciones

A.CA. = Álgebra, CambioProf. Fredes RodríguezProf. Miguel Colón

A.MO.7.7.1 Representa situaciones matemáticas y del mundo real que utilicenecuaciones lineales de la forma

ax + b = c, donde a, b, c son números racionales.

A.RE.7.7.2 Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes numéricos racionalesutilizando métodos gráficos y simbólicos. Con y sin tecnología.

A.PR.7.7.3 Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tablas ysímbolos a la solución única de una ecuación lineal dada.

A.CA.8.8.2 Analiza situaciones matemáticas y del mundo real, determina sipuede describirse por un modelo lineal, y determina la razón de cambioconstante y desarrolla e interpreta la función lineal que modela la situación.

4

Recuerde

A.MO. = Algebra, Modelos matemáticos

A. RE. = Algebra. Representación

A. PR. = Algebra, Patrones, relaciones y funciones

A.CA. = Álgebra, CambioProf. Fredes RodríguezProf. Miguel Colón

5

Escriba lo que significapara usted una ecuación.


6

Una ecuación es la igualdad de dos expresionesalgebraicas.

a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4

b) 5𝑥 + 𝑥2 = 6 − 𝑥

La letra en la ecuación se llama variable.

Las ecuaciones pueden ser de primer grado, segundo grado,tercer grado….etc. El grado en las ecuaciones en una variableestá determinado por la variable de mayor potencia.

c) 𝑥4 + 2 = 7 𝑥 − 1

primer grado

segundo grado

grado 4

Ejemplos:


7

Conjunto solución de la ecuación

El conjunto solución de la ecuación es la colección de númerosreales que puede asumir la variable para satisfacer la relaciónde igualdad.

a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4

b) 5𝑥 + 𝑥2 = 6 − 𝑥

c) 𝑥4 + 2 = 7 𝑥 − 1

primer grado

segundo grado

grado 4

Cantidad máxima de soluciones 1



Ejemplos:

Por esto es necesario conocer el grado de la ecuación dadoque el determina la cantidad máxima de soluciones que puedetener la misma.

Aun así tenemos casos especiales donde la ecuación puedetener ninguna solución, al cual llamamos conjunto solución nulo(∅) o infinitas soluciones o decimos conjunto solución infinito(∞).


De acuerdo al conjunto solución que tenga la ecuación lasmismas reciben nombre o clasificación, veamos…

Clasificación de las ecuaciones

Sí su conjunto solución es finito la ecuación es unacondicional.

Sí su conjunto solución es infinito la ecuación es unaidentidad.

Sí su conjunto solución es nulo la ecuación es unainconsistente.

Toda ecuación resuelta, a la luz de su conjunto solución lapodemos clasificar.

8Prof. Fredes RodríguezProf. Miguel Colón

¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el procedimiento?

I. Condicionales

Reconocemos este tipo de ecuación cuando logramos despejarcompletamente para la variable.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 − 6 = 5 y clasifique la ecuaciónde acuerdo a su conjunto solución

𝑥 − 6 = 5𝑥 = 5 + 6𝑥 = 11

Solución:

conjunto solución finito∴ ecuación condicional

II. Identidad

Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminan todas lasvariables y llegamos a algo cierto.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2 yclasifique la ecuación de acuerdo a su conjunto solución

𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 − 23𝑥 − 3𝑥 = −2 + 2

0 = 0

Solución:

conjunto solución infinito∴ ecuación identidad

9

Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión es la adecuada.


III. Inconsistente

Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminantodas las variables y llegamos a algo falso.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5 yclasifique la ecuación de acuerdo a su conjuntosolución.

𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 +53𝑥 − 3𝑥 = 5 + 2

0 = 7

Solución:

conjunto solución nulo∴ ecuación inconsistente

¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el procedimiento?

Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión es la adecuada.

Cualquier ecuación que resolvamos caerá en una de las tresclasificaciones.

10Prof. Fredes Rodríguez

Prof. Miguel Colón

11

PrácticaManual de ejercicios página 1-2


Práctica

Halle el conjunto solución a las siguientes ecuaciones y clasifique lamisma como condicional, identidad o inconsistente.

1) 3𝑥 − 2 = 𝑥 + 2 3) 4𝑥 − 3 = 3𝑥 − (2 − 𝑥)2) 𝑥 − 2 𝑥 − 6 = 12 − 𝑥

12

3𝑥 − 𝑥 = 2 + 2

2𝑥 = 4

𝑥 =4

2

𝑥 = 2

conjunto solución finito∴ ecuación condicional

𝑥 − 2𝑥 + 12 = 12 − 𝑥

−𝑥 + 𝑥 = 12 − 12

0 = 0

conjunto solución infinito∴ ecuación identidad

4𝑥 − 3 = 3𝑥 − 2 + 𝑥

4𝑥 − 3 = 4𝑥 − 2

4𝑥 − 4𝑥 = −2 + 3

0 = 1

conjunto solución nulo∴ ecuación inconsistente


13

Modelando Algebraicamente


USO DE MODELOS VERBALES

Una de las mayores dificultades en las matemáticas: la diferencia entre una frase y

una oración. Las frases se traducen a expresiones; las oraciones se traducen a

ecuaciones o a desigualdades.

ExpresionesFrases

Ecuaciones o desigualdadesOraciones


MODELOS VERBALES

Escribir expresiones algebraicas, ecuaciones, odesigualdades que representen situaciones de la vidareal se le llama modelar.

Las expresiones, las ecuaciones y las desigualdadesson modelos matemáticos.


MODELOS VERBALES

El modelar situaciones de la vida real en ecuacionesen una sola variable le llamaremos modelos simples.

Y el modelar situaciones de la vida real en ecuacionesen dos variables le llamaremos modelos en dosvariables.


Con el fin de modelar más adelante problemas reales con ecuacionesnos corresponde recordar palabras o frases comunes que sonasociadas con las operaciones básicas. Hagamos un recuento:

Suma (+): más, añadir, incrementar, total, sumar, aumentar, másque, … etcétera.

Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menosque, reducir,… etcétera.

17

Multiplicación ( ∙ ): multiplicar, veces, producto, doble, triple,mitad, …parte de… etcétera.

Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menosque, reducir,… etcétera.

Operaciones básicas en una frase

División (/,÷): dividir, entre, cociente, … etcétera.

Potencias (-): elevado, exponente, cuadrado, cubo, … etcétera.

Patrones reconocidos: números enteros consecutivos 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,…números enteros pares o impares consecutivos 𝑛, 𝑛 + 2, 𝑛 + 4, …


Operaciones básicas en una frase u oración

18

Ejemplo: Traduzca algebraicamente

1. El cuadrado de, siete menos el doble de un número

3. Cinco menos que un tercio de la suma de dos números es igual catorce.

2. El cociente de la diferencia de dos números y el opuesto de tres

7 − 2𝑥 2

1

3𝑥 + 𝑦 − 5 = 14

𝑥 − 𝑦

−3

4. El producto de dos números enteros impares consecutivos más una décima es igual a dos más el numeral menor.

𝑥)(𝑥 + 2 +1

10= 𝑥 + 2


19

PrácticaManual de ejercicios página 3


20

Práctica: Traduzca la frase a la expresión algebraica quecorresponda

1. La diferencia de dos cubos de dos números

3. Trece menos que dos quintas partes del cuadrado de la suma de tres números es igual a un tercio del tercer número.

2. La mitad del producto de dos números enteros consecutivos

𝑥3 − 𝑦3

2

5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 − 13 =

1

3𝑧

𝑥(𝑥 + 1)

2

Operaciones básicas en una frase u oración


Solución de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas en una variable

Una ecuación lineal en una variable es de la forma:𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0

Todas las ecuaciones de los ejemplos anteriores discutidas yclasificadas eran ecuaciones lineales en una variable.

Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma:𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0

Ejemplos:1) 2𝑥2 − 𝑥 = 32) 4𝑥2 = 5𝑥3) 𝑥2 = 1

Hay distintos métodospara resolver ecuacionescuadráticas, depende desu estructura es elmétodo que se puedeutilizar.

El único método que puede aplicarse a cualquier cuadrática es la fórmula cuadrática. Dado 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 se

sustituyen en 𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎y

simplificamos.

Métodos para resolverecuaciones cuadráticas:

1.factorización2.raíz cuadrada3.completar el cuadrado4.fórmula cuadrática

El discriminante determina la cantidad de

soluciones reales que tiene la ecuación, sí

𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 → 2 𝑠. 𝑟𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 → 1 𝑠. 𝑟𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 → 0 𝑠. 𝑟


22

Solución de ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos

1) 𝑥2 − 𝑥 = 12, por factorización 2) 1 = 𝑥2, por raíz cuadrada

3) 2𝑥2 − 𝑥 = 3, completando el cuadrado 4) 3𝑥2 − 2𝑥 =1, fórmula cuadrática

𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0𝑥 − 4 𝑥 + 3 = 0

𝑥 − 4 = 0 𝑥 + 3 = 0𝑥 = 4 𝑥 = −3

𝑥2 = 1

𝑥2 = 1𝑥 = 1

𝑥 = −1 𝑥 = 1

𝑥2 −𝑥

2=3

2

𝑥2 −𝑥

2+

1

16=

3

2+

1

16

𝑥 −1

4

2

=25

16

𝑥 −1

4

2

=25

16

𝑥 −1

4=5

4

𝑥 −1

4= −

5

4𝑥 −

1

4=5

4

𝑥 = −1 𝑥 =3

2

𝑎 = 3, 𝑏 = −2 𝑦 𝑐 = −1

𝑥 =− −2 ± −2 2 − 4(3)(−1)

2(3)

𝑥 =2 ± 4 + 12

6

𝑥 =2 ± 16

6

𝑥 =2 − 4

6= −

13

𝑥 =2 + 4

6= 1

𝑥 = −13

𝑥 = 1Prof. Fredes RodríguezProf. Miguel Colón

23



24

Solución de ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos

1) 𝑥2 − 5𝑥 = 𝑥, por factorización 2) 𝑥2 − 36 = 0, por raíz cuadrada

3) 2𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 0, completando el cuadrado

4) 𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 2, fórmula cuadrática

𝑥2 − 6𝑥 = 0𝑥(𝑥 − 6) = 0

𝑥 = 0 𝑥 − 6 = 0𝑥 = 0 𝑥 = 6

𝑥2 = 36

𝑥2 = 36𝑥 = 6

𝑥 = −6 𝑥 = 6

𝑥2 − 3𝑥 = 4

𝑥2 − 3𝑥 +9

4= 4 +

9

4

𝑥 −3

2

2

=25

4

𝑥 −3

2

2

=25

4

𝑥 −3

2=5

2

𝑥 −3

2= −

5

2𝑥 −

3

2=5

2

𝑥 = −1 𝑥 = 4

𝑥 =− 4 ± 4 2 − 4(1)(4)

2(1)

𝑥 =−4 ± 16 − 16

2

𝑥 =−4 ± 0

2

𝑥 =−4

2= −2

𝑥 = −2


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MÉTODO PARA RESOLVER UN PROBLEMA USANDO MODELOS

Pregúntese lo que necesita saber para resolver elproblema. Escriba un modelo verbal de lo quedebe saber.

Asigne variables a las incógnitas del ejercicio .

Use las variables para escribir el modelo algebraico(ecuación o inecuación) basado en su modelo.

Resuelva el model algrebraico que contesta lapregunta original.

MODELOVERBAL

Pregúntese lo que necesita saber para resolver elproblema. Escriba un modelo verbal de lo quedebe saber.

Asigne variables a las incógnitas del ejercicio.

Use las variables para escribir el modelo algebraico(ecuación o desigualdad) basado en su modelo.

Resuelva el modelo algebraico que contesta lapregunta original.

Verifique su respuesta, asegúrese que esrazonable.

MODELOALGEBRAICO

VARIABLES

RESUELVE

VERIFICACIÓN


Modelo Algebraico

Usted y tres amigos están almorzando en un restaurante chino que cobra$2 por el plato. Usted pide varios platos. El camarero le da una cuenta de$25.20, que incluye el impuesto de $1.20. ¿Cuántas platos pidió su grupo?

Lea cuidadosamente el ejercicio.Entienda la situación delproblema antes de comenzar.Por ejemplo, note que elimpuesto está agregado despuésde que el costo total de losplatos se calcula.

OBSERVACIÓN


Variables

MODELOVERBAL

Escribe el Modelo Algebraico

Costo porplato •

Número de platos = Cuenta Tax–

Costo por plato = 2

Número de platos = p

Cantidad de la cuenta =25.20

Impuestos = 1.20

(dólares)

(dólares)

(dólares)

(platos)

25.20 1.20–2 =p

2p = 24.00

p = 12∴ Su grupo ordenó 12platos de comida con uncosto de $24.00

MODELALGEBRAICO

Estrategia desolución

RESUELVE

VERIFICACIÓN𝟐𝒑 = 𝟐𝟓. 𝟐𝟎 − 𝟏. 𝟐𝟎

𝟐 𝟏𝟐 = 𝟐𝟒𝟐𝟒 = 𝟐𝟒


28

Modelo algebraico simple Traducir la información, dada en una situación real, a una ecuación yresolverla es uno de los modelos matemáticos más simples. Dada suestructura utilizamos cualquiera de los métodos de solución deecuaciones discutidos.

Ejemplo: Modelo LinealLa suma de las edades de tres amigos es 57 años. Pedro es elmayor y tiene 2 años más que Juan y Carlos, el menor, tiene 4años menos que Pedro. Determine la edad de cada uno.

Pedro: 𝑥Juan: 𝑥 − 2Carlos: 𝑥 −4

Siempre leemosdetalladamente el problemapara determinar la relaciónentre los datos y con ello larepresentación algebraica.

𝑥 + 𝑥 − 2 + 𝑥 − 4 = 573𝑥 − 6 = 573𝑥 = 63𝑥 = 21

Pedro: 21Juan: 21 − 2 = 19Carlos: 21 − 4 = 17

Verificación: 21+19+17=57

Variables

RESUELVE

MODELOVERBAL

VERIFICACIÓN

MODELOALGEBRAICO


29

Modelo algebraico simple

Ejemplo: Modelo cuadráticoUn número positivo sumado al cuadrado del número quele precede es igual a 73. ¿Cuál es el número?

Variables: si 𝑥 es tal número el que le precede será 𝑥 − 1.

Ecuación: 𝑥 − 1 2 + 𝑥 = 73𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥 = 73

𝑥2 − 𝑥 − 72 = 0𝑥 − 9 𝑥 + 8 = 0

𝑥 − 9 = 0 𝑥 + 8 = 0𝑥 = 9 𝑥 = −8

como el número dice que es positivo entonces descartamos −8.

∴ tal número es 9

Verificación:

𝑥 − 1 2 + 𝑥 = 739 − 1 2+9 = 738 2 + 9 = 7364 + 9 = 7373 = 73

Variables

MODELOVERBAL

MODELALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICACIÓN


30



Modelos AlgebraicosUn piloto de jet está volando de Los Ángeles, CA a Chicago, IL con unavelocidad de 500 millas por hora. Cuando el avión está a 600 millas deChicago, un controlador de tráfico aéreo le indica que hasta 2 horas nohabrá oportunidad de aterrizar. El piloto sabe que la velocidad del avióndebe ser de más de 322 millas por hora o el avión puede caer.

a. A que velocidad debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?

b. Es razonable para el piloto volardirectamente a Chicago a la velocidad de300 millas por hora o debe tomar otraacción?


VARIABLES

MODELOVERBAL

Modelo algebraico

Velocidaddel jet • Tiempo =

Distanciaa viajar

Velocidad del jet =x

Tiempo = 2

Distancia = 600

(millas por hora)

(millas)

(horas)

600=

x = 300

MODELOALGEBRAICO

a.A qué velocidad debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?

2 x

Para llegar en 2 horas, el piloto debe volar el jet a 300 millas por hora.

Usted puede usar la fórmula(velocidad)(tiempo) = (distancia) para escribir el modelo verbal.




Modelos Algebraicos

No es razonable para el pilotovolar a 300 millas por hora,porque el avión se puedeestrellar. El piloto debe tomarotra acción, como por ejemplovolar en círculo para consumirtiempo y poder mantenersesobre la velocidad mínima.

Es razonable para el piloto volar directamente a Chicago a lavelocidad de 300 millas por hora o debe tomar otra acción?

b.


34

Verificación: 13 + 7𝑛 = 5513 + 7(6) = 5513 + 42 = 55

55 = 55

Modelo Simple lineal


Una reproductora portátil cuesta $55, con impuesto incluido.Tú ya tienes $13 y puedes ahorrar $7 por semana. ¿Cuántassemanas necesitas para comprarla? Clasifique como elmodelo utilizado lineal o cuadrático.

Solución:

Variables: 𝑛 = ⋕ semanasAhorros: 13 + 7𝑛Ecuación: 13 + 7𝑛 = 55Proceso: 7𝑛 = 55 − 13

7𝑛 = 42𝑛 = 6

Variables

MODELOVERBAL

MODELALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICACIÓN


35

El ancho de un piso rectangular es 3 pies menos que su largo.Si el área del piso es 108 pies cuadrados, determina lasdimensiones del piso.

Modelo Simple cuadrático


Verificación: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108(9)(12) = 108108 = 108

Solución:

Variables: 𝑤 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑦 𝑙 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜Datos: 𝑤 = 𝑙 − 3Diagrama: ver fígura Fórmula de área: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108Proceso: (𝑙 − 3) ∙ 𝑙 = 108

𝑙2 − 3𝑙 − 108 = 0𝑙 − 12 𝑙 + 9 = 0

𝑙 − 12 = 0 𝑙 + 9 = 0𝑙 = 12 𝑙 = −9

𝑙

𝑤 = 𝑙 − 3

como el largo tiene que ser un número positivo entonces descartamos −9.

𝑤 = 9

𝑙 = 12

Variables

MODELOVERBAL

MODELALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICACIÓN


36

Modelos en dos variables


37

Modelo lineal en dos variablesLa ecuación lineal en dos variables es de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑦 𝑐 ∈ ℛ 𝑦 𝑎 ≠ 0 ó 𝑏 ≠ 0

El exponente máximo de sus variables es uno, 1.

Ejemplos:1) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 52) 𝑥 + 𝑦 = 9

La ecuación lineal en dos variables puede ser reescrita de la forma 𝑦 =𝑚𝑥 + 𝑏 donde m (pendiente) denota la razón a cual cambia la variabledependiente y en la medida aumentamos la variable independiente x. Lagráfica de éste tipo de ecuaciones es una línea recta. La inclinación dela línea recta en el plano cartesiano, está denotada por m y b es suintercepto con el eje de y.

Para calcular la m partiendo de dos puntos, 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝑥2, 𝑦2 ,contenidos en la línea recta, sustituimos en 𝑚 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1y luego para

hallar la ecuación de la línea se sustituyen los datos en la fórmula 𝑦 −𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 o en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 en caso de tener m y b.

Los pares ordenados siempre se escriben: 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Nota:


Modelo lineal en dos variables

Ejemplo: Halle la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos 2,−3 𝑦 4, −6 .

Interpretación de la m: por cada 2unidades aumentadas en la variableindependiente x, la variabledependiente y disminuye 3 unidades.Por ser negativa línea es decrecienteen todo su dominio.

𝑚 =−6 − −3

4 − 2=−3

2

Ecuación de la línea: 𝑦 − −3 = −3

2𝑥 − 2

𝑦 + 3 = −3

2𝑥 + 3

∴ 𝑦 = −3

2𝑥 es la ecuación de la línea recta

38

y

x

∆𝑥 = 2

∆𝑦 =3

En la gráfica de la ecuación seobservan los pares ordenadosgenerados por la razón de cambioestablecida por la pendiente.


x -2 -1 0 1 2 3

y 3 −32

0 32

-3 −92

39

Costos de transporteLa compañía de mudanzas Colinas cobra $70 por transportar una máquina15 millas y $100 por transportarla 25 millas. Determine la relación entrela tarifa total y la distancia recorrida , suponiendo que es lineal. Cuál esla tarifa mínima por transportar esta máquina? Cuál es la cuota por cadamilla que la máquina es transportada?

Solución:

15,70 𝑦 25,100 son los pares ordenados dados

𝑚 =100 − 70

25 − 15= 3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1𝑦 − 70 = 3 𝑥 − 15

𝑦 = 3𝑥 + 25

∴ la tarifa mínima es de $25 y la cuota por milla adicional es de $3



Práctica

40

Trabajar los ejercicios de la página 9-10


Torre inclinada de PisaCuando fue construida, la torre inclinada de Pisa, en Italia, tenía 180pies de alto. Desde entonces, uno de los lados de la base se hahundido, causando que la parte superior de la torre se incline 16 piesdel centro (véase la fígura). Calcule la pendiente de ese lado de latorre.

41

Solución: Destacar los detalles de la situaciónpermite organizar los datos y determinar laestrategia a seguir

16 pies180 pies

16,180

0, 0

Los puntos 0, 0 𝑦 16,180 están contenidosen ese lado de la torre y están contenidosen la inclinación de la torre,

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=180 − 0

16 − 0=180

16=45

4

∴ 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑠 45 4

Interpretación de la pendiente: por cada 4 pies dedesplazamiento horizontal, 45’ de la parte superior de latorre se inclinaban con respecto a su centro.



45’4 45 = 180

verificación

42

Resuelva con el modelo adecuado

Proyecto de construcciónEn un proyecto de construcción hay un carpintero dedicado a los techosinclinados de madera, los cuales miden 30 pies de largo en su base. La parteinclinada de cada techo se eleva 4 pulgadas por cada pie horizontal. Su tareaconsiste en colocar soportes verticales cada 16 pulgadas, lo cual lo obliga asubir la escalera, medir 16 pulgadas horizontalmente y medir la altura verticalen ese punto. Luego baja la escalera, corta el soporte y sube para colocarlo ensu lugar. El proceso se repite por cada soporte. Cómo puede determinar laslongitudes de los soportes de antemano y evitar subir y bajar.

𝑚 =4

12=1

3& 0,0 → 𝑦 − 0 =

1

3𝑥 − 0 = 𝑦 =

1

3𝑥

Solución:

Podemos determinar una ecuación lineal (para el techo) en función de xpulgadas horizontales (en múltiplos de 16)

x 16’’ 32’’ 48’’ 64’’ 80’’ …

y 163 ′′ 32

3 ′′16’’ 64

3 ′′ 803’’ …

12′′

4′′

16′′

soporte

0,0

𝑦 =1

3𝑥

Nota: cuidado con las unidades de medida.

360’’


Modelo cuadrático en dos variables: función cuadrática máximos y mínimos

Un valor máximo o mínimo de una función es el valormás grande o más pequeño de la función en unintervalo.

Aprenderemos a escribir la función cuadrática enforma estándar, a dibujar su gráfica y hallar sus valormáximo o mínimo.

Una función cuadrática es una función f de la forma:𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números

reales y 𝑎 ≠ 0.


44

Una función cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 expresada en forma estándar es:

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘

a gráfica de f es un parábola con vértice ℎ, 𝑘 ; la parábola abre hacia arriba si 𝑎 > 0 o hacia abajo si 𝑎 < 0. El eje de simetría de la parábola es la ecuación 𝑥 = ℎ .

Vértice (h, k)

eje de simetría x=h

eje de simetría x=h

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 > 0𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 < 0

0 h x

y

k

0 h x

y

k

Vértice (h, k)


Ejemplo:Dado 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 23, escribe la función en forma estándar y

bosqueje la gráfica.

a) Forma estándar:

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 23

𝑓(𝑥) = 2(𝑥2−6𝑥) + 23

𝑓 𝑥 = 2(𝑥2−6𝑥 + 9) + 23 − 2 9

𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 5

b) Bosqueje la gráfica

Vértice (3, 5)

El coeficiente de 𝑥2 es distinto de 1. El primer paso es factorizar los primerosdos términos (factor común es el 2). Luego se calcula el número que completa el

cuadrado que es −6

2

2= 9 . Después se suma y se resta para mantener la

igualdad. Finalmente se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y sesimplifican las constantes obteniendo la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 5.

45

𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 5

0 3 x

y

5

Funciones cuadráticas: forma estándar


Funciones Cuadráticas: Valor máximo o mínimo

Sea f una función cuadrática con forma estándar𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

El valor máximo o mínimo de f ocurre en 𝑥 = ℎ.

Si 𝑎 > 0, entonces el valor mínimo de f es 𝑓(ℎ) = 𝑘.

Si 𝑎 < 0, entonces el valor máximo de f es 𝑓(ℎ) = 𝑘.

h

y

k

mínimo

y

k

máximo

46

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 > 0 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 < 0


h

Funciones cuadráticas : valor mínimo

c) Valor mínimoComo el coeficiente de 𝑥2 es positivo, 𝑓 tieneun valor mínimo en 𝑥 = 3 . El valor mínimo es𝑓 3 = 4.

47

Ejemplo:Dado 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 30𝑥 + 49, escribe la función en forma estándar,

bosqueje la gráfica y halle el valor mínimo.

a) Forma estándar:

𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 30𝑥 + 49

𝑓(𝑥) = 5(𝑥2−6𝑥) + 49

𝑓 𝑥 = 5(𝑥2−6𝑥 + 9) + 49 − 5 9

𝑓(𝑥) = 5 𝑥 − 3 2 + 4


Mínimo (3, 4)

𝑓(𝑥) = 5 𝑥 − 3 2 + 4

0 3x

y

5


Funciones cuadráticas: valor máximo

c) Valor máximoComo el coeficiente de 𝑥2 es negativo, 𝑓 tiene un valor máximo

en 𝑥 = 1

2. El valor máximo es 𝑓

1

2=

9

4.

48

Ejemplo: Dado 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 𝑥 + 2, escribe la función en formaestándar, bosqueje la gráfica y halle el valor máximo.

a) Forma estándar:

𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 𝑥 + 2𝑎 = −1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 2

ℎ = −1

2 −1=

1

2

𝑘 =4 −1 2 − 1 2

4(−1)=9

4


Máximo 1

2,9

4

𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 12

2+ 9

4

0 12

x

y

92


El valor máximo o mínimo de una función cuadrática

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ocurre en: 𝑥 = − 𝑏

2𝑎

Si 𝑎 > 0, entonces el valor mínimo es 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

Si 𝑎 < 0, entonces el valor máximo es 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

Mínimo

− 𝑏

2𝑎, 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

Máximo

− 𝑏

2𝑎, 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

0 h x

Y

k

0 h x

Y

k

49

Funciones cuadráticas:valores máximos y mínimos


Ejemplo:

Halla el valor máximo o mínimo de cada función cuadrática.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 b) 𝑔 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5

50

Funciones cuadráticas: valores máximos y mínimos

𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

4

2 1= −2

Como 𝑎 > 0, la función tieneel valor mínimo en 𝑥 = −2. Elvalor es 𝑓 −2 = −2 2 +4 −2 = −4

𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

4

2 −2= 1

Como 𝑎 < 0, la función tiene elvalor máximo en x = 1 . Elvalor es 𝑔 1 = −2 1 2 + 4 1 −5 = −3



Modelo cuadrático en dos variables

Halle dos números enteros cuya suma sea 12 y su producto seamáximo.

Solución:

De principio podemostantearlo hasta obtener elproducto mayor, veamos:

i) 1 y 11, p=11ii) 2 y 10, p=20

iii)3 y 9, p=27iv) 4 y 8, p=32v) 5 y 7, p=35

vi) 6 y 6, p=36vii) 7 y 5, p=35

Modelemos la situación para confirmar nuestro resultado.

𝑎 + 𝑏 = 12 𝑦 𝑃 = 𝑎 ∙ 𝑏Optimizaremos la ecuación producto usando

la ecuación suma así 𝑏 = 12 − 𝑎 por lo cual

𝑃 = 𝑎 12 − 𝑎 = −𝑎2 + 12𝑎

ℎ = −12

2 −1= 6 𝑦 𝑘 =

4 −1 0 − 12 2

4 −1= 36

Podemos reescribir P así:𝑃 = − 𝑎 − 6 2 + 36

Como a<0 entonces (h, k)=(6, 36) es unmáximo.Por lo tanto los dos números enteroscuya suma es 12 y su producto máximoson 6 y 6.

Trayectoria de un proyectilLa trayectoria de un proyectil disparado desde el suelo es una parábolaabierta hacia abajo. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros entonces…

b) Determine la función que describe su traslación.

a) A qué distancia de la base del disparo alcanzó su altura máxima.

c) ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo al puntodonde el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80metros? Buscamos el punto 𝑥, 80

Nota: Recuerde la función cuadrática puede reescribirsede la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, donde ℎ, 𝑘 es su vértice.

∴ 𝑦 = −3

6250𝑥 − 500 2 + 120

52

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 ℎ, 𝑘 = 500,120 y contiene los puntos 0,0 𝑦 1000,0

Como su alcance es 1000 metros y ella es simétrica entonces alcanza su máximo en la mitad de su trayectoria 500 metros

y

x1000

120

80

x

80 = −3

6250𝑥 − 500 2 + 120 𝑦 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑥 ≅ 500 ± 289∴ 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 1𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑧 80 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≅ 500 − 289 ≅ 211𝑚



Práctica

53

Trabajar los ejercicios de la página 11-13


54


10 𝑝𝑖𝑒𝑠

Dos regiones circulares son tangentes una con otra (ver fígura). Ladistancia entre los centros es de 10pies.

a) Encuentre el radio de cada círculo si sus áreas combinadas son de 52𝜋pies cuadrados.

Fórmula de área del círculo: 𝒜 = 𝜋𝓇2

notación: 𝓇: 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠10 − 𝓇: 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2

𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 52𝜋𝓇 2 + 10 − 𝓇 2 = 52𝓇 2 + 100 − 20𝓇 + 𝓇2 = 522𝓇2 − 20𝓇 + 48 = 0𝓇2 − 10𝓇 + 24 = 0(𝓇 − 6)(𝓇 − 4) = 0𝓇 = 6 ó 𝓇 = 4

∴ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 4 𝑦 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 6


55

Modelo cuadrático (continuación)

10 𝑝𝑖𝑒𝑠

b) Suponga que la distancia entre los centros permanece igual pero quelos radios son ahora iguales. ¿Aumentaría o disminuiría el áreacombinada?

𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 𝒜𝜋𝓇2 + 𝜋 𝓇2 − 20𝓇 + 100 = 𝒜𝜋𝓇2 + 𝜋𝓇2 − 20𝜋𝓇 + 100𝜋 = 𝒜2𝜋𝓇2 − 20𝜋𝓇 = 𝒜 − 100𝜋

𝓇2 − 10𝓇 +10

2

2

=𝒜 − 100𝜋

2𝜋+

−5

2

2

𝓇 − 5 2 = 𝑘

∴ 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑢

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑒𝑛 5,𝒜 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜∴ 𝑠𝑢 á𝑟𝑒𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 5.

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋

𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠…


56

Altura máxima de una cajaUna puerta en forma de arco parabólico, ver fígura, tiene 3 metrosde altura en el centro y 2 metros de ancho en la base. Una cajarectangular de 1.5 metros de ancho tiene que ser deslizada a travésde la puerta. ¿Cuál es la máxima altura que puede tener la caja?

El vértice de la parábola es 1, 3 , contiene los puntos 0,0 𝑦 2,0 abre hacia abajo ∴ 𝑓 𝑥 = −3 𝑥 − 1 2+3

Solución:

Como la caja tiene una base de 1.5m y quedadebajo del arco o vértice de la parábolaentonces los extremos de su base distan 0.25mde la base de la puerta, si queremos saber laaltura en este punto lo sustituimos en 𝑓 𝑥 .

∴ 𝑓 0.25 = −3 0.25 − 1 2 + 3

𝑓 0.25 ≅ 1.31𝑚

∴ 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 1.31𝑚

1.5m

2m

3m

y



Capacidad de desagüeDe una plancha de aluminio de 6 pies de largo por 16 pulgadasde ancho, se desea construir un desagüe doblando hacia arribados lados perpendiculares a la base del desagüe, ver fígura. Si xpulgadas son dobladas hacia arriba, busque el valor de x quemaximiza la capacidad del desagüe.

Solución: En la fígura se muestran las dimensiones

𝐴 = 𝑥 16 − 2𝑥 = 16𝑥 − 2𝑥2

ℎ = −𝑏

2𝑎= −

16

2 −2= 4

∴ 𝑥 = 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜,así las dimensiones que maximizan su capacidad son8 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑜𝑟 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑜.

x

72 pulg.

Nota: Hay que hacer conversión de unidades 57



58

Problemas adicionales

Trabajar los ejercicios de la página 14 - 24


59

Dos personas se encuentran a las 8:45 a.m., la primera camina a1.5 m/s hacia el oeste y la segunda camina hacia el este a 0.5m/s, ¿a qué hora la distancia entre ellos es de 360m?


Solución:

tiempoDistancia = velocidad x

𝑑1 𝑑2 = 360+

1.5𝑡 0.5𝑡 = 360+

𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

2.0𝑡 = 360

𝑡 = 360

2

𝑡 = 180 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

𝑡 = 3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Verificación:

1.5𝑡 + 0.5𝑡 = 3602.0(180) = 360360 = 360

∴ 𝑎 𝑙𝑎𝑠 8: 48 𝑎.𝑚.𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑏𝑎𝑛 360𝑚


Primer tren transcontinentalEn 1862 el Congreso de los EE.UU otorgó los derechos de construcción a doscompañías ferroviarias para construir las vías que unen Nebraska con California.Las vías totales hacen cerca de 1590 millas de longitud. La compañía A empezóla construcción en dirección este (a una razón de 8.75 millas de vías por mes)desde Sacramento, California en 1863. Veinticuatro meses después la compañíaB empezó a construir la vía hacia el oeste (a una razón de 20 millas de vías pormes), desde Nebraska. ¿Cuándo se terminaron las vías? ¿Cuántas millas de víasconstruyó cada compañía?

60

Solución:

La compañía A durante los primeros 24 meses (2 años) a razón de 8.75mi pormes construyeron un total de 210 mi. La compañía B construye 20 mi por mes(m) y simultáneamente, la A a su razón de trabajo. Esto provoca la ecuación:

20𝑚 + 8.75𝑚 + 24 8.75 = 1590

28.75𝑚 + 210 = 1590

28.75𝑚 = 1380

𝑚 = 48 (4 𝑎ñ𝑜𝑠)

∴ La construcción totalde las vías duro 6 años apartir del 1863 así quefueron terminadas en el1869.

La compañía A construyó∶ 72 8.75 = 630 𝑚𝑖La compañía B construyó: 48 20 = 960 𝑚𝑖



61

El producto de dos números enteros pares consecutivos es 10más 7 veces el mayor de los dos enteros. Encuentre losenteros.


Solución

𝑛, 𝑛 + 2 ∶ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

𝑛 𝑛 + 2 = 7 𝑛 + 2 + 10

𝑛2 + 2𝑛 = 7𝑛 + 14 + 10

𝑛2 + 2𝑛 − 7𝑛 − 24 = 0

𝑛2 − 5𝑛 − 24 = 0

(𝑛 − 8)(𝑛 + 3) = 0

𝑛 = 8

𝑛 + 3 = 0

𝑛 − 8 = 0

𝑛 = −3

∴ 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛𝟖 𝑦 𝟏𝟎

Se descarta por no ser par

Verificación:8 10 = 7 10 + 10

80 = 70 + 1080 = 80


62

El perímetro de un triángulo escaleno mide 23 pulgadas. Si unode los lados mide dos pulgadas menos que el doble del segundolado y tres pulgadas más que el tercer lado, cuánto mide cadalado?



Solución:

𝑃 = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 = 23

𝑙2 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑙1= 2𝑙2 − 2

𝑙3= 2𝑙2 − 2 − 3 = 2𝑙2 − 5

𝑙2

2𝑙2 − 2 + 𝑙2 + 2𝑙2 − 5 = 23

5𝑙2 − 7 = 23 5𝑙2 = 30

∴ 𝑙2 = 6

∴ 𝑙1 = 2 6 − 2 = 10

∴ 𝑙3 = 2 6 − 5 = 7

67

Verificación:

𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 = 2310 + 6 + 7 = 23

23 = 23

Las medidas de los lados del triángulo escaleno son:

6, 7 𝑦 10

63

Una cuerda de 75 cm se divide en dos partes, de tal manera quela longitud de una de ellas es las tres quintas partes del total dela cuerda.


a. Si con el trozo más pequeño se formauna circunferencia, determine suradio.

b. Si con el trozo mayor se forma uncuadrado, determine la longitud decada uno de sus lados.


Solución:

3

575 = 45

75

75-45=30

𝐶 = 2𝜋𝑟2𝜋𝑟 = 30

𝑟 =30

2𝜋=15π

∴ el radio del círculo con tal

circunferencia es15

π.

𝑃 = 4𝑥4𝑥 = 45

𝑥 =45

4= 11.25

Verificación:

𝐶 + 𝑃 = 75

2𝜋15

π+ 4

45

4= 75

2 15 + 45 = 7575 = 75

64

PitágorasHalle tres números enteros consecutivos que satisfagan el Teoremade Pitágoras.Solución: El patrón algebraico que siguen los números enteros

consecutivos es 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3,…

Si los tres números son 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, el lado mayor 𝑥 + 2 tiene querepresentar lo que en un triángulo rectangular es la hipotenusa, losotros los catetos, así…

𝑥

𝑥 + 1

𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 2

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1

−𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0

∴ 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 son los posibles valores para el lado menor𝑥 = −1 se descarta por ser negativo, por lo tanto 𝑥 = 3

Al sustituir x tenemos que los otros lados del triángulo son 4 y 5. Concluimos que los tres números enteros consecutivos que satisfacen el Teorema de Pitágoras son: 3, 4 y 5.



65

Dos personas se encuentran a una distancia de 55 metros,después de cuánto tiempo se encontrarán si la primera camina a1m/s y la segunda a 1.2 m/s?



Solución:

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑑1 = (1)(𝑡)

Sabemos que 𝑑1 + 𝑑2 = 55𝑚

𝒚

2.2𝑡 = 55

Verificación:1 25 + 1.2 25 = 25 + 30 = 55

55 𝑚

𝑑2= (1.2 𝑚 𝑠)(𝑡)

∴ 𝑡 + 1.2𝑡 = 55 𝑡 =55

2.2= 25 𝑠𝑒𝑔

∴ el tiempo que le tomará encontrarse será 25 segundos

66

Resuelva con el modelo adecuadoÁreaLa suma de las áreas de la base en que está montada la foto y el áreade la foto es 58 pulgadas cuadradas. Halle las dimensiones de la fotosi sabemos que el largo de la base es 3 pulgadas más que su ancho yla franja que bordea la foto tiene ancho uniforme de 1 pulgada.

Solución:La suma de las áreas es 58 → 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑓𝑜𝑡𝑜 = 58

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑤 𝑤 + 3

𝐴𝑓𝑜𝑡𝑜 = 𝑙𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2 𝑤𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2= 𝑤 + 3 − 2 𝑤 − 2 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2

𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3 = 58𝑤2 − 𝑤 − 2 + 𝑤2 + 3𝑤 = 58

2𝑤2 + 2𝑤 = 60𝑤2 + 𝑤 = 30

𝑤2 + 𝑤 − 30 = 0𝑤 + 6 𝑤 − 5 = 0

1’’

1’’

𝑙 = 𝑤 + 3

𝑤

𝑤−2

𝑤 + 1

5−2=3′′

5 + 1 = 6′′

𝑤 = −6 ó 𝑤 = 5, descartamos el valor negativo, así 𝑤 = 5′′


67

Un delfín al nacer mide 1.5 metros y pesa alrededor de 30 kilogramos. Losdelfines jóvenes son amamantados durante 15 meses, al final de dicho períodoestos cetáceos miden 2.7 metros y pesan 375 kilogramos. Sea L y P la longituden metros y su peso en kilogramos, respectivamente, para un delfín de t meses.


a) Si la relación entre L y t es lineal, expresa L en términos de t.

b) ¿Cuál es el aumento diario de la longitud para un delfín joven?


𝐿 = 𝑚𝑡 + 𝑏 𝐿 = 𝑚𝑡 + 1.5 Cuando 𝑡 = 15, 𝐿 = 2.7

2.7 = 𝑚(15) + 1.5 15𝑚 = 1.2 𝑚 =1.2

15= 0.08 =

2

25

∴ 𝐿 =2

25𝑡 +

3

2ó ∴ 𝐿 = 0.08𝑡 + 1.5

La parte que indica el aumento en la longitud del delfín es:2

25𝑡, como t está

en meses tenemos que dividirlos entre 30 días para cambiar la unidad de

tiempo a días: 𝐿 =2

25

𝑡

30+

3

2=

𝑡

375+

3

2esta es la ecuación para la L por día,

por lo cual 1 día crece1

375≈ 0.00267 𝑚.

68


c) Expresa P en términos de t, si P y t están relacionados linealmente.

d) ¿Cuál es el peso de un delfín de cinco meses de edad?


𝑃 = 𝑚𝑡 + 𝑏 Cuando 𝑡 = 0 , 𝑃 = 0

30 = 𝑚(0) + 𝑏 𝑏 = 30 𝑃 = 𝑚𝑡 + 30

y ∴ 𝑃 = 23𝑡 + 30

Luego de 15 meses pesa 375 kg 375 = 𝑚(15) + 30

∴ 𝑚 =375 − 30

15=345

15= 23

𝑃 = 23𝑡 + 30

𝑃 = 23(5) + 30

𝑃 = 115 + 30

𝑃 = 145 𝑘𝑔

Por lo tanto, el peso deun delfín de cincomeses de edad es de145 kg.

69

Diez yardas de tela tienen un costo de $300.00, encuentre unmodelo lineal para el costo y determine a) el costo de 25 yardasb) cuántas yardas de tela se pueden comprar con $1,200.00.



Solución:

Si no compramos no hay costo 0, $0 y si compramos 5 pagamos $300 10, $300 . En el parordenado 𝑥, 𝑦 x: cantidad de yarda de telas, y: monto a pagar por x cantidad de tela.

𝑚 =300 − 0

10 − 0= 30

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

𝑦 − 300 = 30 𝑥 − 5

𝑦 = 30𝑥

a) 𝑦 = 30𝑥𝑦 = 30(25)𝑦 = $750

b) 30𝑥 = 1200

𝑥 =1200

30𝑥 = 40 𝑦𝑑

∴ el costo de 25 yd de tela es$750.

∴ con $1,200 podemoscomprar 40 yd de tela.

70


Cuando dos personas juegan en un sube y baja el mismo debe estarbalanceado para que cada una contribuya con el mismo esfuerzo. Para talbalance deben ser iguales los productos de: (distancia: con respecto al puntode apoyo) x (el peso de la persona). Si una persona que pesa 90 lb se sientaen uno de los extremos de un sube y baja de 12 pies. ¿Cuán lejos del puntode apoyo deberá estar sentada una persona de 120 lb para que se establezcael balance?

Solución:


90(6) = 120(6 − 𝑥)

120𝑥 = 720 − 540

540 = 720 − 120𝑥

120𝑥 = 180

𝑥 =180

120= 1. 5 𝑝𝑖𝑒𝑠 ∴ la persona de 90 lb al estar sentado en uno de los

extremos, a 6 pies del centro de apoyo obliga a que lapersona de 120 lb se siente a 4.5 pies del centro deapoyo para que el sube y baja quede balanceado y amboshagan el mismo esfuerzo.

Verificación:

𝑝1𝑑1 = 𝑝2𝑑290 6 = 120(4.5)

540 = 540

𝑝1𝑑1 = 𝑝2𝑑212 𝑝𝑖𝑒𝑠

120 𝑙𝑏

90 𝑙𝑏

𝑑1𝑑2

∴ 6 − 1.5 = 4.5

71


Distancia recorridaUna camioneta comienza un viaje a una velocidad promedio de 45 millaspor hora. Tres horas después, un automóvil empieza el mismo viaje a unavelocidad de 60 millas por hora (ver fígura)

a) Encuentre las distancias 𝑑1 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑦 𝑑2 (𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙) que cada vehículoha recorrido cuando el automóvil viajó un tiempo de 𝑡 horas.Dado 𝑣1 = 45 𝑚𝑝ℎ 𝑦 𝑣2 = 60 𝑚𝑝ℎ y sustituyendo en la fórmula 𝑑 = 𝑣𝑡obtenemos…

𝑑1= 45 𝑡 + 3 y 𝑑2 = 60𝑡

b) Use el resultado anterior para determinar la relación entre la distancia queha viajado el automóvil y el que ha recorrido la camioneta.

𝑑2 = 60𝑡

𝑡 =𝑑260

𝑑1 = 45 𝑡 + 3

𝑑1 = 45𝑑260

+ 3

𝑑1 =34𝑑2 + 135

Debemos reescribir una ecuación en términos de la otra:


72

Post-prueba


73

Fin


Conferencia – taller modelando ecuaciones

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