TEOREMAS INTEGRALES DEL CÁLCULO VECTORIAL

Dr. Baltasar Mena Iniesta

Objetivos del Cálculo Vectorial

1. Describir y caracterizar los campos vectoriales existentes en la naturaleza y/o provocados artificialmente, en cualquier sistema de coordenadas (Cálculo Diferencial de Vectores).2. Estudiar la forma en que los campos vectoriales actúan sobre los cuerpos que se encuentran a su paso. (Cálculo Integral de Vectores).

3. Aplicar los resultados para establecer las ecuaciones fundamentales de la Física y de la Ingeniería:• Balance de masa.• Balance de momento lineal (2da Ley de

Newton).• Balance de Energía.• Teorema Electromagnética clásica.

Cálculo Diferencial de Vectores

x

i y

j z

k

1

hu

u

eu 1

hv

v

ev 1

hw

w

ew

Operador Vectorial

En coordenadas cartesianas:

Campo Vectorial

V u(x,y,z)i v(x,y,z ) j +w(x,y,z)k

a) Gradiente

V ux uy uzvx vy vzwx wy wz

b) Divergencia

V trV uxvywz

c) Rotacional

V

i j kx

y

z

u v w

ESCALAR (1er invariante del tensor gradiente)

Tensor de segundo orden

Casos Particulares

V 0Campo Solenoidal o cuerpo incompresible

V 0Campo Conservativo o Campo Irrotacional

Consecuencias

Si

V 0

V

: Función Potencial (escalar)

V ui vj +wk =x

i +y

j +z

k

Como

(x) udx C1(y) vdy C2 (x,y,z ) U((x),(y),(z ))

(z ) wdz C3

V 0 y además

V 0

2 0 Ecuación de Laplace

Si ,

Cálculo Integral de Vectores1. Integral de Línea El campo actúa tangencialmente a la

trayectoria

r(s) x(s)i y(s) j z(s)k

r(t) x(t)i y(t) j z(t)k

F drC F(c( t)) Tdt

a

b

Si la curva es cerrada i.e

a b

circulación de campo F alrededor de la curva C

F drC

Donde T =dr

ds

dr

dtdr

dt

Caso Especial

F 0 F Si

F dr ba

b

ay

Obviamente si

F drC

0

C es cerrada

En general si

C no es cerrada

F drC 0

2. Si C es cerrada, define una superficie S

Circulación alrededor de C F dsC

lims 0

1

sF ds F rot F

pero lims 0

1

scirculación d

ds(circulación )

F dsC

F ndsS

La circulación del campo F alrededor

de la curva C que rodea la superficie S

Rotacional del campo F sobre la

superficie S rodeada por la curva C

TEOREMA DE STOKES

Definición

ds nds

Otra forma de expresar el Teorema de Stokes

La cantidad de amor que circula en un corazón no depende del tamaño del mismo, sino de la intensidad del flechazo

2. Si S es cerrada, define un volumen V

La componente F n es perpendicular

a la superficie S y penetra o sale del volumen V

limV 0

1

VF nds F div F

pero limV 0

1

Vflujo neto d

dVflujo neto

F ndsS

FdVV

El flujo neto del campo F através

de la superficie S que rodea el volumen V

Divergencia del campo F alojada

en el volumen V

TEOREMA DE GAUSS

Definición

ds nds

Casos Especiales

Si F es solenoidal, F = 0

superficie F

CERO. (incompresibilidad)

El flujo neto de campo através de la

S que rodea al volumen V es

Si F es conservativo, F = 0

F

C CERO.

La circulación del campo alrededor de cualquier

curva cerrada es

Casos Especiales

Si F = M (x , y )i + N (x , y )j R2

F Nx

My

k y el Teorema de Stokes

F dsC

Nx

My

k kdxdy

S

F dsC

Nx

My

ds Teorema de Green

S

Aplicaciones

Ecuación de Balance de Masa : ""

Cantidad de masa en V en un instante dado dVV

(1)

Cambio de masa en V a través del tiempo (tasa de cambio)

si = (t ) t

dVV

(2)

El cambio de masa se debe a que la masa penetra o sale del volumen V a través de la

superficie S y en dirección perpendicular a la misma, es decir la masa total que penetre

al volumen V através de la superficie S , a una velocidad v será :

v ndsS

(3)

De (2) y (3), si = (t ) tentra a la integral

tdV v nds

S

V

(4)

Utilizando el Teorema de Gauss

v ndsS

v dVV

(5)

En (4 ) y agrupando

t v

dV 0

V

Pero V es arbitrario :

t v 0 Ecuación de Conservación

o Balance de Masa

Usando :

v v v

tv v = 0

DDt

v = 0

tv =

DDt

pero

Tenemos

Caso especial

Si = cte DDt

0

Ecuación de Continuidad (incompresible)

V 0

Aplicaciones

Ecuación Balance de Momentum Lineal : (v)

La tasa de cambio del momentum lineal (v) de un cuerpo es debida

a la suma de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo (2da Ley de Newton ).

D v Dt

F

Fcuerpoo volumen

fdVV

Donde :

Fsuperficie T ndsS

T Tensor de esfuerzo

Usando el Teorema de la Divergencia

D v Dt

T 2ª Ley de Newton

F = ma

D v Dt

F

EJEMPLO

La fuerza electromotriz en un circuito C es igual a la circulación del

campo eléctrico E alrededor de dicho circuito.

E ndsC

(1)

Faraday descubrió que en un circuito estacionario t0

la

fuerza electromotriz inducida por un flujo de campo magnético variable es :

E t

(2)

Donde = B ndsS

(3)

S es cualquier superficie rodeada por C

De (2) y (3) :

B

t nds E nds

C

S

(4)

Usando el Teorema de Stokes :

E ndsC

E ndsS

(5)

Sustituyendo (5) en (4 ) :

E B

t

nds 0

S

Como S es arbitraria

E B

t

Ecuación de Maxwell

Problemas

1) Calcule el flujo neto del campo F = xi yj zk a través de la superficie limitada

por x 2 y 2 9 y los planos z = 1, z = -1.

F ndsS

FdVV

Donde F = 3

Flujo neto = 3 dV = 3 rdrddz 3r2

20

3

2 1 ( 1)

0

3

0

2

-1

1

V

332

2(2 )(2)

54

Volumen del cilindro r2h ()(32)(2) 18

Flujo neto = 3 dVV

3(Volumen del cilindro ) = 3(18) 54

Resolviendo de otra forma

Utilizando el Teorema de Gauss

Problemas

2) Calcule la circulación del campo F = yi xj zk alrededor de la curva x 2 y 2 9.

F drC

F ndsS

Utilizando el Teorema de Stokes

Donde F = 2k, n = k

2 2( ) 2(9 ) 18F r C S

d ds área de la circunferencia

F drC

2 dsS

2 rdrd0

3

0

2

2r2

20

3

(2)

2

32

22

18

Resolviendo de otra forma

Área de la circunferencia r2 ()(32) 9