CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 5 - CÓNICAS

Construcciones elementales

DIBUJO TÉCNICO I

Ejercicio Nº 17Elementos de la elipse

1º La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentesLas circunferencias focales Cf y Cf' de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a Es decir si desde un foco trazamos perpendiculares a la Cp se dibujan las tangentes a la elipse.En el otro lado el punto T es simetrico del foco F respecto a la tangente t, si unimos T con F' determinamos el punto M punto de tangente de la elipse y la recta t'

Ejercicio Nº 18Trazar una elipse dados los ejes AB y CD por haces proyectivos

A B

C

D

Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad

el lado menor AE en el mismo numero de partes.

E

4

321

1 2 3 4A B

C

O

D

Se une el extremo D del eje menor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4.

Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE 1,2,3,4.Donde se cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.

E

4

321

1 2 3 4A B

C

O

D

Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada

E

4

321

1 2 3 4A B

C

O

D

Ejercicio Nº 19Construcción de una elipse por envolventes Dados los ejes y los focosTrazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.

C

A B

O

D

F F'

La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.

C

A B

O

D

F F'

Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F' y se traza la perpendicular t por L a LF', la recta t es tangente a la elipse.

C

A B

O

D

E t

F

C

A B

O

D

E t

F F'

Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la figura.

Ejercicio Nº 20Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b.Dados los ejes

A B

C

D

O

Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.

A B

C

D

O

Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores.Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.

A B

C

D

O

T'

T''T

Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise

A B

C

D

O

T'

T''T

Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD1D' como el RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD1D'Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C1 D1 que corta en S a la Cp, por S la paralela D1-D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada

A' B'

C'

D'

D1

C1

OR

P

S

Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a continuación se traza la elipse

A' B'

C'

D'

D1

C1

OR

P

S

Ejercicio Nº 24 Circunferencia principal Tenemos una elipse dada por sus ejes y sus focos, una tangente t y los simétricos de F y F' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal F1 y F'1 Observamos que en el triángulo FF'1F', N es el punto medio del lado FF1 y O lo es del FF', en consecuencia OM será la paralela media y su longitud valdrá de FF'FF'= k = AA'; OM'= FF1' implica OM'= k =1/2AA'= OASiendo además FM perpendicular a la tangente por lo que; Los pies de las perpendiculares, trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual a denominada Circunferencia principal (Cp)La Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse

A B

C

D

OF F'

F1

F'1

T

M

t

Cp

Cf'

Cf

N

Ejercicio Nº 27Construcción de la hipérbola por haces proyectivos. Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’

F' A B F

Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.

F' A B F N

P

Se traza un rectángulo BMPN.

F' A B F N

PM

Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.

F' A B F N

PM

1

2

3

1 32 4

Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de MP los simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..

F' A B F N

PM

1

2

3

1 32

1'

2'

3'

4

4'

1'

1' 2'

2'

3'

3'4'

Se unen los puntos anteriores y tenemos la hipérbola buscada

F' A B F N

PM

1

2

3

1 32

1'

2'

3'

4

4'

1'

1' 2'

2'

3'

3'4'

Ejercicio Nº 29Trazar una hipérbola por envolventesTenemos una hipérbola definida por los vértices A y B y los focos F y F'.

A BO

F F'

Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB.

A BO

F F'

Cp

Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M por el que pasa la asíntota t', la otra asíntota t es simétrica AM = AN

A BO

F F'

MCp

N

b

Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t‘y t

A BO

F F'

MCp

t'

N

T

T'

a

cb

Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F’ y trazamos la perpendicular a 1F’ por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.

A BO

F F'

MCp

1

t'

N

T

T'

a

cb

Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación

A BO

F F'

MCp

1

t

t'

N

T

T'

a

cb

Ejercicio Nº 33Trazar una parábola por envolventesTenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.

ejeFV

Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia focal de la parábola Cf.

ejeF

d

AV

Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal Cp

ejeF

d

AV

tv

Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una perpendicular por T.

ejeF

d

AV

tv

T

Repetimos la operación con otros puntos, y la parábola es la tangente a las perpendiculares.

ejeF

d

AV

tv

T

Ejercicio Nº 34Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva

Veje

P

Trazamos la tangente en el vértice VN y la paralela PN al eje.

Veje

PN

Se divide PN y VN en un numero de partes iguales.

Veje

P

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6N

Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.

eje

P1 2 3 4 5 6N

La paralela por 6 y el rayo 6V se cortan en R. De la misma forma se obtienen los demás puntos

V

P

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6N

R

La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje

Veje

P

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

P654321

-6

-5

-4

-3

-2

-1

N

R