1

Conjunto de los decimales y reales ( )

I.5.1 Presentacin de los decimales.

Como ya lo habamos dicho los naturales se pueden descomponer como la suma de

productos de cifras o dgitos por potencias de base 10, y decamos que era la notacin decimal de

un natural, ahora que conocimos los racionales. Estos tambin se pueden escribir de la misma

forma a saber:

3

4 lo transformaremos de manera tal que aparezcan potencias de base 10 en el

denominador, para ellos amplificaremos por 25, as nos queda:

3 3 25 75

4 4 25 100

, ahora lo separamos de la siguiente manera:

75 70 5 70 5 7 5

100 100 100 100 10 100

, usando las propiedades de potencias tenemos:

1 2

1 2

7 57 10 5 10

10 10

hemos logrado escribirlo de manera similar a los naturales, la

diferencia es que las cifras o dgitos ahora multiplican a potencias de base 10 pero con

exponentes negativos. Como 3

4 es una fraccin propia y por ello menor que un entero,

podremos decir que las partes de un entero generan sumas de productos de cifras por

potencias de base 10 con exponentes negativos y la manera de escribirlo y estas cifras

para nosotros las separamos por una como, en otros lugares por un punto.

3

4 = 0,75

Pinceladas histricas

Las civilizaciones antiguas no utilizaban las fracciones decimales, es ms los babilonios

utilizaban un sistema sexagesimal, que eran potencias de base 60. Aunque las fracciones

decimales, y por tanto los nmeros decimales eran conocidos y utilizados por los rabes y

chinos, se atribuye al cientfico y matemtico belga Simn Stevin (1548 1.620), la

introduccin de los decimales.

Stevin no us nuestro sistema actual sino un propio, ms tarde, el suizo Jobst Brgi (1.552

1.632) simplifico la notacin de Stevin y entre las cifras de la parte entera y la decimal

us el signo . As el nmero 23,75 se escriba como: 2375.

Finalmente la forma actual de escribir un decimal se debe a la forma que us John Napier

(1.550 1.617), quin uso la como o el punto para separar la parte entera de la parte

decimal, en Espaa usaron la coma al igual que otros pases, los pases anglosajones usan

el punto.

Nmero decimal:

Es aquel que puede expresarse como suma de productos de cifras por

potencia de base 10.

Ej. 1.258 = 11.000 + 2100 + 510 + 81

= 1103 + 2102 + 5101 + 8100

En particular, los nmeros que son menores que un entero, los exponentes de las

potencias de base 10 son negativos.

Ej. 4

3= 0,75 = 0100 + 710-1 + 510-2

En general los exponentes de las potencias de base 10, indican la posicin de la cifra en el

nmero, las cifras que multiplican a las potencias de base 10 con exponentes negativos van

2

ubicadas a la derecha de la coma, la coma separa a las cifras de la parte entera (cifras que

multiplican a potencias de base 10 con exponentes positivos o cero) de los dgitos de la parte

decimal (cifras que multiplican a potencias de base 10 con exponentes negativos).

Ej. 73,84 = 7101 + 3100 + 810-1 + 410-2

La cifra que multiplica a: 10-1; se llama dcimo

10-2; se llama centsimo

10-3; se llama milsimo

etc.

Es decir el nmero 73,84 se lee como 73 enteros y 84 centsimos.

Todo racional se puede llevar a decimal dividiendo el numerador por el denominador.

Ej. 3

4= 0,75

30 : 4 = 0,75

20

0

Los nmeros decimales se clasifican de la siguiente manera:

Para cubrir todos los nmeros decimales estudiaremos los que estn enmarcados.

Decimales finitos: son aquellos que tienen una cantidad determinada de cifras en la parte

decimal.

Ej. 0,25

0,125

Todo decimal finito es un racional y para llevarlo a forma racional, se anota en el numerador el

nmero sin coma, y en el denominador un uno con tantos ceros como cifras haya en la parte

decimal.

Ej. 0,25 = 025 25 1

100 100 4

0,125 = 0125 125 1

1000 1000 8

Decimales infinitos: son aquellos que en su parte decimal tienen una cantidad indeterminada de

cifras, en algunos de ellos se produce un conjunto de cifras que se repiten (periodo) y en otros

jams se repiten una o un grupo de cifras.

Decimales infinitos peridicos puros: son aquellos que en su parte decimal tienen una o ms

cifras que se repiten indefinidamente. Las cifras que se repiten se llaman periodo.

Ej. 0,3333 = 0,3

0,171717 = 0,17

Nmero Decimales

Finitos Infinitos

Peridicos No peridicos

Puros Semiperidicos

3

Todo decimal peridico puro es un racional. Para llevarlo a forma racional en el numerador se

anota el periodo y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.

Ej. 0,333 = 3 1

9 3

0,171717 = 17

99

Si adems del periodo aparece parte entera, en el numerador se anota el nmero sin coma y se le

resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.

Ej. 2,333 = 23 2 21 7

9 9 3

Decimales infinitos semiperidicos: son aquellos que en su parte decimal adems del periodo

tienen una o ms cifras que no se repiten (ante periodo).

Ej. 0,2333 = 0,23

0,12343434 = 0,1234

Todo decimal semiperidico es un racional y para llevarlo a forma racional en el numerador se

anota el nmero sin coma menos al ante periodo, y en le denominador se anotan tantos 9 como

cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el ante periodo.

Ej. 0,2333 = 23 2 21 7

90 90 30

0,12343434 = 1234 12 1222

9900 9900

Si adems de lo anterior el nmero tiene parte entera, se transforma de la misma forma.

Ej. 4,2333 = 423 42 381

90 90

Decimales infinitos no peridicos: son aquellos que en su parte decimal tienen una cantidad

indeterminada de cifras en las cuales jams se puede establecer un periodo.

Ej. = 3,1415

0,1010010001

Las races cuadradas o de ndice par de nmeros que nos son cuadrados perfectos

son decimales infinitos no peridicos.

Estos decimales no se pueden llevar a forma racional, por lo tanto reciben el nombre de

Irracionales ( ').

Operatoria entre racionales e irracionales:

i) Al sumar o restar un racional con un irracional el resultado es siempre irracional.

ii) Al sumar o restar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional.

iii) Al multiplicar un racional con un irracional en un nico caso resulta racional, es cuando el

racional es cero, en cualquier otro caso da irracional.

iv) Al multiplicar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional.

La unin de los Racionales con los Irracionales genera el gran conjunto de los Reales.

4

Operatoria entre decimales.

Para sumar o restar decimales estos deben ser ordenados de acuerdo a la coma.

Ej. 12,356 + 103,54 =115,896

12,356

+ 103,54

115,896

Para multiplicar decimales, estos se multiplican igual como si fueran enteros, y al resultado final

se corre la coma tantos lugares como cifras decimales hallan en los dos nmeros que se

multiplicaron.

Ej. 2,35 1,2 = 2,82 2,35 1,2

470

235

2,820, (la coma se corre

3 lugares)

Para dividir decimales, estos se deben amplificar para que el divisor sea entero, esto se hace

corriendo la coma hacia la derecha en ambos nmeros y luego se rellena con ceros. Si uno

requiere encontrar ms decimales en una divisin se debe agregar cero al resto y seguir

dividiendo.

Ej. 4,6 : 0,23 = 20 460 : 23 = 20

00

0

Observacin:

Los decimales peridicos en general deben ser transformados en racionales antes

de operarlos, no es recomendable operarlos en su forma decimal.

Redondeo y truncamiento

Como nos encontramos con decimales infinitos y obviamente estos as como tales no se

pueden operar, los decimales infinitos peridicos deben ser transformados a racional para

operarlos, los decimales infinitos no peridicos no pueden ser transformados a racionales por

tanto deberemos usar la mejor aproximacin de ellos y esto depender del uso que se le dar.

Una forma de trabajar estos nmeros u otros que tiene muchas cifras en su parte decimal es el

redondeo o truncamiento.

Redondeo: es una aproximacin en la cual, la cifra en cuestin se mantendr si la que est

inmediatamente a la derecha es inferior a 5 y aumenta en 1 si la cifra de la derecha es mayor o

igual a 5.

Ejemplo:

Sea el decimal 34,174357 luego si lo queremos redondear a la cifra de las centsimas,

debemos considerar a ella:

34,174 debemos slo tomar la que est inmediatamente a la derecha de ella, en este caso

4, como es inferior a 5, el nmero que redondeado a las centsimas como:

34,17

Si hubiese sido el decimal 34,177357, redondeado a la cifra de las centsimas sera:

34,18

5

Truncamiento: es la aproximacin de un decimal que hace lo que la palabra significa, truncar es

decir cortar, es decir se corta el decimal donde se requiere.

Ejemplo:

Considerando el decimal del ejemplo anterior y queremos truncarlo a las centsimas,

simplemente se eliminan todas las cifras que estn ms all de las centsimas, luego nos

queda:

34,174357 sera 34,17 truncado a las centsimas

Ahora si tomamos a los nmeros reales y lo analizamos estructuralmente, tenemos que:

i) , , tiene estructura de grupo abeliano.

ii) , , tiene estructura de grupo abeliano.

Adems si consideramos , , , tenemos que se cumple la distributividad;

Distributivita; a, b y c que pertenecen a los reales, se cumple que:

a b c a b a c

iii) , , tiene estructura de anillo.

Cuando uno est en presencia de una estructura de anillo, en ese conjunto con las dos

operaciones, est permitido hacer lgebra.

Observacin:

Si tenemos dos nmeros reales cualesquiera; a y b, entonces podemos decir que;

i) a = b

ii) a > b

iii) a < b

Esta propiedad de los reales se llama tricotoma, de i) llegamos a las ecuaciones, de ii) y

iii) llegamos a las inecuaciones, que estudiaremos ms adelante.

Ejercicios V

1. Transforma los siguientes racionales a decimales.

1) 1

10 2)

2

5 3)

1

4

4) 5

16 5)

4

25 6)

7

5

7) 1

3 8)

5

6 9)

1

8

10) 1

212

11) 1

32

12) 2

7

13) 5

9 14)

8

11 15)

5

15

2. Transforma los siguientes decimales en racionales irreductibles.

1) 0,6 2) 0,02 3) 0,12

4) 0,13 5) 1,1 6) 5,59

7) 4,8 8) 9,52 9) 30,196

10) 147,04 11) 6,083 12) 8,95

13) 0,444 14) 0,010101 15) 2,111

6

16) 1,1222 17) 7,777 18) 1,999

19) 2,22333 20) 10,101010 21) 1,2345

22) 738,555 23) 24,18383 24) 9,111

25) 3,3335 26) 1,123123 27) 2,33555

28) 0,222555 29) 7,3434 30) 5,555

4. Ordena de manera creciente y decreciente los siguientes conjuntos de decimales.

1) {2,1;1,2;2,01;1,21}

2) {4,5;-5,1;-4,9;-5,3;-5,8}

3) {3,22;3,29;3,31;3,18;3,33;3,04;3,47}

4) {-5,333;-5,333;-5,2999}

5. Realiza las siguientes operaciones.

1) 4,26 + 9,513 12,8 = 2) 21,7 6,34 + 3,591 =

3) 36,28 5,7 14,629 = 4) 43,5 (31,398 7,6) =

5) 27,316 + (5,2 + 19,87) = 6) 19,258 (21,7 8,36) =

7) 25,4 (16,83 + 0,094) = 8) 57,9 (2,8 + 37,416) =

9) 36,29 8 = 10) 17 5,864 =

11) 95,7 3,6 = 12) 8,3 4,19 =

13) 4,519 10 = 14) 2,834 100 =

15) 82,5 4,035 = 16) 5,928 0,7 =

17) 0,762 3,92 = 18) 208 4,76 =

19) 638,8 0,618 = 20) 713,2 0,862 =

21) 2,221 : 6,3 = 22) 8,719 : 6,6 =

23) 0,3 : 0,2 = 24) 5 : 1,2 =

25) 0,07 : 100 = 26) 10 : 0,3 =

27) 1,11 : 2,22 = 28) 27,28 : 4,23 =

29) 25 : 0,001 = 30) 0,001 : 0,002 =

31) 200,1 : 12 = 32) 0,12 : 0,04 =

33) 0,12 = 34) 2,23 = 35) 0,002-1 =

36) (0,333)-1 = 37) (1,111)2 =

38) 0,53 = 39) 0,64 = 40) 1,3-2 =

41) 65,2 4,953 10 = 42) 3,5 (6,43 + 2,816) =

43) 5,63 + 0,084 100 9,2 = 44) 1,1 + 0,13 1000 =

45) 0,007 : 100 7000 = 46) 1000 : 0,001 10000 =

47) 3,22 10 + 2,4 = 48) 2,53 : 5 0,3,125 =

49) (10,25 7,5)2 : 7,5625 = 50) 0,12 : 0,3 4 0,6 =

6. Determina a que conjunto (racionales o irracionales) pertenecen las respuestas de los

siguientes ejercicios.

1) 0,1010010001 + 0,111 =

2) 2,121121112 - 0,212212221 =

3) 3,777 0,444

7. Redondea y trunca los siguientes decimales en la cifra que se indica.

1) 0,3245 (centsimas)

2) 324,789 (decenas)

3) 37,84999 (centsimas)

4) 1827,99 (unidades)

5) 100,8111 (decenas)

7) 17498,52 (dcimas)

8) 4,544499 (milsimas)

7

Autoevaluacin N 5

Decimales

1. 0,1 + 0,02 + 0,003 =

A) 0,006 B) 0,06 C) 0,6

D) 0,123 E) 0,0123

2. 4

2 0,59

=

A) 2,9 B) 2,99 C) 3

D) 17

18 E)

172

18

3. Cul de los siguientes decimales est ms cerca del entero 10?

A) 9,9 B) 9,99 C) 10,01

D) 10,009 E) 10,9

4. [(0,111)-2]0,25 =

A) 0,3 B) 1 C) 3

D) 9 E) 27

5. Si 1 + 1,1 + 1,11 + = 4,44, entonces cul es el decimal que se debera agregar en

el rectngulo?

A) 3,33 B) 1,23 C) 0,12

D) 2,13 E) 3,21

6. 3 =

A) 1

7 B) 0,14 C) 3

D) 3 E) 3

7. 0,1 0,01 1.000 =

A) 0,1 B) 1 C) 10

D) 100 E) 1.000

8. El decimal 0,125 corresponde al racional

A) 1

4 B)

125

100 C)

1

8

D) 1

16 E)

1

125

9. 0,111 + 0,999 =

A) 1 B) 1,111 C) 1,1

D) 1,00001 E) 1,010101

10. 36 0,333

A) 1,21212 B) 12,121212 C) 10,888 D) 0,121212 E) 12

8

11. Qu fraccin al cuadrado da como resultado 0,444?

A) 4

9 B)

2

9 C)

2

3

D) 4

10 E)

2

10

12. 0,25 + 0,125 1 =

A) 0,625 B) 0,375 C) -0,375

D) -0,625 E) ninguna de las anteriores

13. 0,1010010001... + 0,0101101110... =

A) 1

9 B)

1

3 C) 0,10101010...

D) 1 E) 9

14. 0,52 =

A) 25 B) 2,5 C) 0,25

D) 0,025 E) 0,0025

15. 0,4203520352035 =

A) 4.671

11.111 B)

8.461

10.000 C)

42.031

99.990

D) 42.035

99.999 E)

3.821

9.090

16. El nmero 703,205 es equivalente a

A) 7102 + 3100 + 2101 + 510-3

B) 7101 + 3100 + 210-1 + 510-3

C) 7102 + 3100 + 210-1 + 510-2

D) 7102 + 3100 + 210-1 + 510-3

E) 72 + 30 + 2-1 + 5-3

17. 3 102 + 5 100 + 2 10-1 + 3 10-3 =

A) 305,23 B) 35,203 C) 305,203

D) 350,023 E) 300,523

18. Sean los racionales a = 0,125, b = 0,125 , c = 0,125 y d = 0,125 , luego el grfico que

mejor los representa es

A) b c a d

B) c a d b

C) a c d b

D) a d c b

E) ninguno de los anteriores

19. Un nmero se dice escrito en notacin cientfica, s es de la forma a 10n, donde1 a 10 ,

luego si 0,00004 se escribe en notacin cientfica, entonces a n =

A) 1 B) 9 C) 9

D) -5 E) -1

9

20. 2,3 0,8

A) 3,2 B) 3,1 C) 3,11

D) 3,02 E) 3,2

21. Cuntas veces caben 6 dcimos en 1,8?

A) 0,03 B) 0,3 C) 3

D) 30 E) 300

22. El orden creciente de a = 0,33; b = 3

1 y c = (0,3)2 es

A) a,b,c B) b,a,c C) c,a,b

D) c,b,a E) b,c,a

23. Si k = 0,35 , entonces cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) 100k es entero

II) 100k 10k es entero

III) k es decimal infinito no peridico.

A) Slo I B) Slo II C) Slo III

D) Slo II y III E) I, II y III

24. 0,12 : 0,4 0,3 =

A) 9 B) 1 C) 0,9

D) 0,0144 E) 0,09

25. Cul de los siguientes racionales al transformarlos a decimal, la cifra de los centsimos es

7?

A) 1

4 B)

1

3 C)

1

5

D) 1

7 E)

14

18

26. Al dejar caer una pelota desde una altura h, esta rebota subiendo hasta 0,9 veces la altura

de donde cay, si esta sigue rebotando con la misma condicin, entonces a qu altura

llegar despus del quinto rebote?

A) 0,9 h B) 4,5 h C) 0,45 h

D) (0,9)4 h E) (0,9)5 h

27. 0,1

11,1

0,1

A) 0,9 B) 0,101 C) 0,009

D) 0,009 E) 0,101

28. Una familia tiene un negocio en donde todos ellos trabajan. Han decidido que de las

ganancias, el padre tendr el 0,29, la madre el 0,27 y el resto para los dos hijos por igual.

Si ganaron $ 1.000.000, entonces cunto recibi cada hijo?

A) $ 270.000 B) $ 290.000

C) $ 220.000 D) $ 440.000

E) $ 560.000

10

29. El dgito que ocupa la posicin 2004 en la expresin decimal del racional 2322

990 es

A) 0 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

30. Si la siguiente suma (0,1 + 0,01 + 0,001) es dividida por 0,0001, resulta:

A) 111 B) 11,1 C) 1,11

D) 1.110 E) 1.000

Sixto Mauln y Savane Emegu

2013