Conjunto de los Números naturales y sus propiedades

¿Qué es un conjunto?

Se entiende por conjunto la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o de nuestra mente.

Georg Cantor, Matemático ruso/alemán (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918)

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. Para que una colección de objetos se considere como un conjunto no debe haber ambigüedad ni subjetividad.Actividad 1, 2 y 3

Notación de conjuntos

Los conjuntos se indican por medio de una letra mayúscula y los elementos de un conjunto por medio de letras minúsculas, números o combinación de ambos. Los elementos se colocan entre llaves, { }, separados por comas.

Ejemplo 1. El conjunto B tiene como elementos a las letras de la palabra “mandarina” y éste se representa como:

B = {m, a, n, d, a, r, i, n, a}B = {m, a, n, d, r, i}

Notación de conjuntosAlgunas veces es imposible o inconveniente listar los elementos de unconjunto entre llaves, entonces en lugar de esto se utiliza lo que se conoce como notación abstracta:

A = {x I P(x)}

que se lee como “A es el conjunto de las x, tal que cumple con la condición (o condiciones) P(x).”

Ejemplo 2. Sea el conjunto C que tiene como elementos a todos los números reales comprendidos entre 2 y 3. En este caso es imposible listarlos elementos del conjunto ya que hay una cantidad infinita de ellos; en lugar de esto el conjunto se puede indicar de la siguiente manera:

C = {x I x es un número real entre 2 y 3}C={x|2<x<3}

Clasificación de los números

Conjunto de los números naturalesLos números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos existentes en un conjunto.

Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.

N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…)

Conjunto de los números naturales

Giuseppe Peano (1858-1932) comenzó su carrera como asistente en la Universidad de Turín en 1880 teniendo 22 años. Se dice que publicó más de doscientos libros y artículos. En 1899 enunció cinco postulados (que hoy llevan su nombre ) con los cuáles se puede construir el sistema de los números naturales.

Conjunto de los números naturales:Postulados de Peano

1) El conjunto de los números naturales existe y 1 es un elemento de dicho conjunto.

2) SI x es un número natural, entonces el sucesor de n, también es un número natural.

3) 1 no e el sucesor de ningún número natural.

4) Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

Conjunto de los números naturales:Postulados de Peano

5) Axioma de inducción. Un subconjunto de N que contenga al 1 y que dado un elemento del subconjunto también contenga a su sucesor, entonces el subconjunto es igual al conjunto N.

Este postulado dice que en esencia que cualquier número natural puede alcanzarse comenzando con 1 y contando los siguientes consecutivos.

Propiedades de los números naturales

Principio de inducción matemática.

Una proposición P(m) es cierta para todo siempre que:

1) Para todo

Propiedades de los números naturales:Adición sobre N

La adición sobre N se define por:

La adición está regida por las leyes siguientes:

Propiedades de los números naturales:Adición sobre N

Ejemplo 1. Demostrar la ley de clausura : para cualesquiera

Es verdadero por i y por el postulado II: “SI x es un número natural, entonces el sucesor de n, también es un número natural.”

Es verdadero ya que por ii y siempre que por el postulado II.

Así que, por inducción, es verdadero para todo y como era cualquier número natural, queda probada la ley de clausura para la adición.

Propiedades de los números naturales:Multiplicación sobre N

La multiplicación sobre N se define por:iii) iv)

La multiplicación está regida por las leyes siguientes:

Propiedades de los números naturales:Relaciones de orden

Para cualesquiera

Teorema

Para cualesquiera

Propiedades de los números naturales:Múltiplos y potencias

Sea

Se tiene que

Y como la adición y la multiplicación son conmutativas sobre S: