Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, siningún elemento de A está en B y si ningún elemento de B estáen A, se dice que A y B son disjuntos.

Conjuntos Disjuntos

Ejemplo 1: Sean A = 1, 3, 7, 8 y B = 2, 4, 7, 9; A y B no sondisjuntos entonces, pues 7 está en ambos conjuntos, o seaque 7 ∈ A y 7 ∈ B.

Ejemplo 2: Sean A el conjunto de los números positivos y B el de losnúmeros negativos. Entonces A y B son disjuntos, puesningún número es positivo y negativo

Ejemplo 3: Si E x, y, z y F r, s, t E y F son disjuntos.

Sean A y B dos conjuntos. El conjunto producto de A y B,expresado por A × B, está formado por todas las parejasordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B

A × B (a, b) : a ∈ A, b ∈ B

El producto de un conjunto por sí mismo, A × A se denota por A2.

Conjunto Producto

Sean A = 1, 2, 3 y B = a, b. Entonces

A × B (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)

El concepto de conjunto producto se extiende a un número finito de conjuntos en forma natural.

El conjunto producto de los conjuntos A1, A2, …, Am, es el conjunto de todas las m-duplas ordenadas (a1, a2, . . . , am) donde ai ∈ Ai

para cada i

Sean:

M = Tomás, Marcos, Enrique y

W = Andrés, Beatriz.

Hallar M × W

M ×W consta de todas las parejas ordenadas (a, b) donde : a ∈ M y b ∈ W. Por tanto

M ×W = (Tomás, Andrés), (Tomás, Beatriz), (Marcos, Andrés), (Marcos, Beatriz), (Enrique, Andrés), (Enrique, Beatriz)

Ejercicio 1

Sean A = 1, 2, 3, B = 2, 4y C = 3, 4, 5.

Hallar A × B × C

Un método conveniente para hallar el producto A × B × C es por medio del denominado “diagrama de árbol” que se muestra a continuación:

(1, 2, 3)(1, 2, 4)(1, 2, 5)(1, 4, 3)(1, 4, 4)(1, 4, 5)(2, 2, 3)(2, 2, 4)(2, 2, 5)(2, 4, 3)(2, 4, 4)(2, 4, 5)(3, 2, 3)(3, 2, 4)(3, 2, 5)(3, 4, 2)(3, 4, 4)(3, 4, 5)

345345345345345245

2

4

2

4

2

4

1

2

3

Ejercicio 2

Sean A = a, b, B = 2, 3 y C = 3, 4.

Hallar: a) A × (B C), b) (A × B) (A × C),

c) A × (B C), d) (A × B) (A × C)

Ejercicio 3

a) Primero hallamos B C = 2, 3, 4. LuegoA × (B C) = a, b× 2, 3, 4A × (B C) = (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)

b) Primero hallamos A × B y A × C:A × B = (a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)A × C = (a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)Luego calculamos la unión de los dos conjuntos:(A × B) (A × C) (a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3), (a, 4), (b, 4)

Observamos de a) y b) que: A × (B C) (A × B) (A × C)

Sean A = a, b, B = 2, 3 y C = 3, 4.

Hallar: a) A × (B C), b) (A × B) (A × C),

c) A × (B C), d) (A × B) (A × C)

Ejercicio 3

c) Primero calculamos B C = 3. LuegoA × (B C) = a, b × 3 = (a, 3), (b, 3)

d) Ahora A×B y A× C ya fueron calculados:A × B = (a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)A × C = (a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)La intersección de A×B y A×C consta de aquellas parejasordenadas que pertenecen a ambos conjuntos:(A × B) (A × C) (a, 3), (b, 3)

Observamos de c) y d) que A × (B C) (A × B) (A × C)

Ejercicios

Ejercicio 1: Sean W=Marcos, Enrique, Pablo y V=Enrique, David.Hallar a) W × V, b) V × W, c) V2 = V × V

Ejercicio 2: Sean A = 2, 3, B = 1, 3, 5 y C = 3, 4. Construir el“diagrama de árbol” de A × B × C y luego hallar

A × B × C.Ejercicio 3: Sean S = a, b, c, T = b, c, d y W = a, d. Construir el

“diagrama de árbol” de S × T × W y luego hallar

S × T × W .Ejercicio 4: Suponer que los conjuntos V, W y Z tienen 3, 4 y 5

elementos respectivamente. Determinar el número deelementos a) V × W × Z, b) Z × V × W, c) W × Z × V

Ejercicio 5: Sean S = a, b, W = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y V = 3, 5, 7, 9.

Hallar: a) (S × W) (S × V)

Se logra ilustrar de manera sencilla e instructiva las relaciones entreconjuntos mediante los llamados diagramas de Venn-Euler, o deVenn, simplemente, que representan un conjunto con un área plana,por lo general delimitada por un circulo y U, el conjunto universal,por la superficie total del rectángulo.

Diagramas de Venn-Euler

A B

U

A B

U

A B sombreado A B sombreado

A B sombreado Ac sombreado

U

A B

A y B son disjuntossombreado

Disjuntos

Ejercicio 1: En el diagrama de Venn dibujado, sombree:a) Bc

b) (A B)c

c) (B C)c

d) Ac Bc

A B

U

a) Bc consta de los elementos que no pertenecen a B; o sea que se sombrea el área exterior a B como sigue

U

A B

Bc

b) (AB)c

Primero se sombrea A B; luego el área exterior o sea (A B)c

U

A B

U

BA

c) ( B - A)c

Primero se sombrea B A; el área de B que no pertenece a A; luego ( B - A )c, o sea el área exterior de B A

U

B

U

BAA

AB (AB)c

B A

(B A)c

d) Ac Bc

Primero se sombrea Ac, o sea el área exterior de A, con trazos oblicuos

inclinados a la derecha , y luego se sombrea Bc con trazos oblicuos inclinados

a la izquierda ; entonces Ac Bc es el área rayada doblemente :

U

A B

U

BA

Ac y Bc Ac Bc

Definición: La cardinalidad de un conjunto A es el número deelementos distintos que contiene. Esto lo denotaremos comon(A).

Cardinalidad

Teorema: Sean A, B y C conjuntos arbitrarios finitos yn(A), n(B), n(C), las cardinalidades respectivas; entoncesse satisfacen las siguientes formulas:

i) n() 0

ii) n(A B) n(A) n(B) n(A B)

iii) n(A B C) = n(A) n(B) n(C)

n(A B) n(A C) n(B C)

n(A B C)

Ejemplo: Sean A 1, 2, 3, 4, B 2, 4, 6, 8, C 1, 3, 5; determine n(A B) y n(A B C).

Solución: Para ello se determinan las cardinalidades de cada conjunto:

n(A) 4

n(B) 4

n(C) 3

A B 2, 4; n(A B) 2

A C = 1, 3; n(A C) 2

B C = ; n(B C ) 0

A B C n(A B C) 0

Formulas:

n(A B) n(A) n(B) n(A B)

n(A B) 4 4 2 6

n(A B C) = n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)

n(A B C) 4 4 3 2 2 0 0 7

Comprobación: A B 1, 2, 3, 4, 6, 8 ; n(A B) 6

A B C 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ; n(A B C) 7

Ejemplo: Con el diagrama de Venn-Euler, determine las cardinalidades siguientes:

a) n(A)

b) n(B)

d) n(A B)

c) n(C)

e) n(B C)

f) n((A B C)c)

g) n((A B) C)

A B

C

9 5

10

8

127

1116

31

35

40

15

13

16

5

Ejercicio 1: En el diagrama de Venn dibujado, sombree:

a) W V

b) Vc W

c) V Wc

d) Vc Wc

V W

U

Ejemplo 1: Se realizó una encuesta a 1600 individuos entre los 20 y 35 años de edad para conocer sus preferencias musicales. Los resultados son los siguientes:

801 Jazz900 Rock Pop752 Heavy Metal435 Jazz y Rock Pop398 Jazz y Heavy Metal412 Rock Pop y Heavy Metal310 Jazz, Rock Pop y Heavy metal

U = Personas entre los 20 y los 35 años de edadJ = Personas que prefieren JazzP = Personas que prefieren el Rock PopM = Personas que prefieren el Heavy Metal

n( U ) = 1600n( J ) = 801n( P ) = 900n( M ) = 752n( J P ) = 435n( J M ) = 398n( P M ) = 412n( J P M ) = 310

Indique el número de aquellos que:a)Prefieren un solo genero Musical

b) Prefieren exactamente dos géneros musicales

c) Prefieren al menos un genero musical

d) Prefieren cunado mucho dos géneros musicales

310

J

M P

12588

102

278

252363

82

252 + 363 + 278 = 893

102 + 88 + 125 = 315

801+900+752-435-398-412+310 = 1518

1600 310 = 1290

Ejemplo 2: Una agencia de viajes ha preguntado a 180 de sus clientes sobre sus destinos favoritos en Europa. Los resultados son los siguientes:

57 prefieren España77 prefieren Alemania45 prefieren España y Alemania10 prefieren España, pero no Alemania ni Polonia.28 prefieren España y Alemania, pero no Polonia.90 prefieren otros países.19 prefieren Alemania y Polonia.

Calcule el número de clientes que prefieren como destino turístico a Polonia

U = Clientes de una agencia de viajesE = Clientes que prefieren viajar a EspañaA = Clientes que prefieren Viajar a AlemaniaP = Clientes que prefieren viajar a Polonia

n( U ) = 180n( E ) = 57n( A ) = 77n( E A ) = 45

17

P

E A

22

28

1

1030

90

22 CLIENTES

Ejemplo 3: En una pequeña ciudad árabe con 300 habitantes, 110 son hombres, 120 son musulmanes y 50 son hombres musulmanes. Calcule el número de habitantes que:

a) Son mujeresb) Son mujeres musulmanesc) Son mujeres no musulmanes