Estructuras Discretas I

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

FACULTAD DE INGENIERÍA

CABUDARE-EDO. LARA

Junio, 2011

Unidad III

Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos.

Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos aconsiderar.

Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos

escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formadopor todos los números naturales.

Generalmente, los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para loselementos se usan minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc. Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en uncírculo, el cual es llamado diagrama de Venn.

Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por comprensión.

a. Por extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno. Ejemplo: Los siguientes conjuntos estándeterminados por extensión. A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}

b. Por comprensión: Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de unconjunto que cumplen una condición dada. Ejemplo: Los siguientes conjuntos están dados por comprensión.

A = {n Î N / 1£ n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5)B = { x Î R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18)C = {x Î R / | x | < 4 } ( Los números reales cuyos valores absolutos son menores que 4)

Estructuras Discretas I 1

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Definición: Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual denotaremos por A B, si todo elementode A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como:

A B Û ( x Î U) ( x Î A x Î B ).

Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:

1. Reflexiva: A A, para todo conjunto A.2. Antisimétrica: A B Ù B A A = B.3. Transitiva: A B Ù B C A C.

Definición: Diremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propiode B si y sólo si A B y A ¹ B.

Ejemplo: Si A = a,d,f, y B = a, b,c,d,e,f,h , entonces A es subconjunto propio de B.Ejemplo: Si D = 1, 2, 3, 4 y E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , entonces D es subconjunto propio de E.

Problema: Probar que A Ë B Û ( x )( x Î A x Ï B )SoluciónUsando la ley del condicional, P ® q º p Ú q, en la definición de inclusión tenemos que:A B Û ( x )( x Î A x Î BÛ ( x )( x Ï A v x Î B ) luego, negamos ambos lados,

( A B ) Û ( x )( x Ï A v x Î B ) obtenemos queA Ë B Û ( x ) ( x Î A Ù x Ï B )

Conjunto VacíoDefinición: Dado un conjunto A, el conjunto vacío A es el conjunto:

A = { x Î A / x ¹ x } el A no tiene elementos, ya que todo x Î A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacíoes subconjunto de todo conjunto A

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Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o conjunto partes de A como (A) = { X X A}, esdecir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces(A) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}

Características del Conjunto Potencia- La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son

conjuntos.- Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de (A), ya que si A tiene n elementos, entonces

(A) tiene 2n elementos.El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de inclusión.

Teorema. A B Û (A) (B)

Representación Tabular del Conjunto ProductoUn conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo.

EjemploSi A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB

SoluciónAxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}

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Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A ={2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.

El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.

Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego,A = B Û A Ì B Ù B Ì A

Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de lasiguiente equivalencia:

(x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A )

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Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto:A I B = { xÎ U xÎ A Ù xÎ B}

Es decir, los elementos que están en A y también están en B.

Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d,e} y B = {a,c,e,h,i,j,k} luego, la intersección de los conjuntos A y B es el siguienteconjunto A I B ={a,c,e}

Propiedades de la Intersección de Conjuntos

Sean A y B conjuntos, luego se cumple:i. A I A = A , Aii. A I U = A , donde U es el conjunto universaliii. A I =iv. A I B = B I A

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Si A y B son conjuntos, entonces se define ladiferencia entre A y B como el siguiente conjunto:

A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todoslos elementos que están en A pero que no están en

B.

Ejemplo: Consideremos los conjuntosA = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-

4,5,7,9,6,8,10,18}Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-

4,6,8,10,18}

Sean A y B dos conjuntos. La diferenciasimétrica

entre A y B es el conjunto.AD B = (A-B) U (B-A) = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}

En el ejemplo anterior se tiene que AD B = {-4,0,3,6,10,11,12,18}

Propiedades de la Diferencia de Conjuntos

Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:

1. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)2. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)3. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)4. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)

5. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)

Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto.

C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B

son los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a U.

Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.

Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7}

entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}

Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:

1. A - B = AI C(B)2. C(C(A)) = A 3. AUC(A) = U 4. AI C(A) = f 5. C(U) = f 6. C(f ) = U 7. AÌ B Û C(B) Ì C(A)

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1. Leyes de Idempotencia1. A U A = A I A = A

2. A 2. Leyes Asociativas

1. A U (BUC) = (AUB) U C 2. A I (BIC) = (AIB) I C

3. Leyes Conmutativas 1. A U B = B U A 2. A I B = B I A

4. Leyes Distributivas 1. A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C)

= (A I B) U (A I C)

2. A

5.Leyes de Identidad 1.A U = A I =

2.A 6. Leyes de Dominación

1.A U U = U U: conjunto universal 2.A I U = A

7. Leyes de Complementación1.A U C(A) = U 2.A I C(A) = ) = U 3.C (C(A)) = A 4.C (U) =

5.C ( 8. Leyes de De Morgan

1.C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)

2.C(A

Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemoslas leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.

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Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}

Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8} entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)} mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}Nótese que Ax B ¹ Bx A

Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:

•A x B = F Û A = F Ú B = F•A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) •Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) •Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)

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Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I,

representa un conjunto.Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.

EjemploSea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada miembro de la familia.

SoluciónLa familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por

ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyoconjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la familia son:

Ahora definamos la unión e intersección de una familia indizada de conjuntos:Definición

Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:1. La unión de esta familia como el conjunto2. La intersección de esta familia como el conjunto.

Observación: dado un conjunto de índice I={n, n+1, & , n+k}, entonces se denota también las uniones e intersecciones como

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Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:

Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.

Ejemplo

Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

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Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamostrabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría decardinalidad de conjuntos.

Ejemplo: De un grupo de 200 turístas que llegaron a Venezuela se sabe lo siguiente: 70 visitaron Canaima, 140visitaron Zulia, 158 visitaron Mérida, 50 visitaron Canaima y Zulia, 120 visitaron Zulia y Mérida, 55 viaitaron Canaima yMérida, 15 visitaron Zulia pero no Mérida ni Canaima.

1. ¿Cuántos visitaron los tres lugares?.2. ¿Cuántos visitaron sólo Mérida?3. ¿Cuántos no visitaron ninguno de los tres lugares?

SoluciónSean U el conjunto formado por los 200 turistas.C el conjunto formado por los turistas que visitaron Canaima.M el conjunto formado por los turistas que visitaron Mérida.Z el conjunto formado por los turistas que visitaron Zulia.Sabemos que #C = 70, #M = 158, #Z = 140, #U = 200.#Z = 140 = x + (50-x)+(120-x)+15140 = x+50-x+120-x+15

140 = 185-xx = 185-140x = 45, es decir, 45 personas visitaron los tres lugares#M = 158 = m+(55-x)+(120-x)+x

158 = m+175-x, sustituyendo x y despejando m se tiene que m = 28. Por lo que se tiene que 28 turistas visitaronsolamente Mérida.

Los turistas que no visitaron ninguno de los tres lugares es #U - #(CUZUM)#(CUZUM) = #C+#Z+#M - #(C I Z) - #(CI M) - #(ZI M) + #(CI MI Z)= 70+158+140-50-55-120+45413+225

#U-#(CUZUM) = 200-188 = 12, por lo que se concluye que 12 turista no visitaron ninguno de los tres lugares.