Conjuntos numéricos e intervalos na reta numérica e real

http://youtu.be/WT-XMn4rz9s

Importância dos números no nosso dia a dia.

• O primeiro contato com os números é através da contagem.

• Os números estão presentes nas mais diversas situações do nosso dia a dia.

• Brasil tem 3,6 milhões de crianças e jovens fora da escola • 06/03/2013 - 12h49 • Educação • Mariana Tokarnia • Repórter da Agência Brasil

• Brasília – No Brasil, 3,6 milhões de crianças e jovens entre 4 e 17 anos estão fora da escola. A

maioria (2 milhões) tem entre 15 e 17 anos e deveria estar cursando o ensino médio. O déficit também é grande entre aqueles com idade entre 4 e 5 anos (1 milhão), que deveriam estar na educação infantil.

• Os dados foram divulgados hoje (6) no relatório De Olho nas Metas, do movimento Todos pela Educação (TPE)*. A entidade estabelece que até 2022, 98% ou mais dos jovens e crianças entre 4 e 17 anos estejam matriculados e frequentando a escola.

• que em 2011, ano referente ao levantamento, 94,1% dos brasileiros dentro da faixa etária estivesse • Para que essa meta seja cumprida, seria necessário m na escola. O número atual corresponde a

92%. Em relação aos que ficam de fora, em números absolutos, o estudo os compara a toda a população uruguaia (cerca de 3,4 milhões de pessoas).

Conjuntos numéricos • Os tipos diferentes de números podem ser

organizados em grupos.

• Esses grupos tem nomes, sabendo isso nos vamos entende melhor a linguagem da matemática

Conjunto dos números naturais

Como resolver esta questão

(4 – 6) = ? Para resolver questões como esta, foram criados os números inteiros.

Vamos ver o que acontece com a divisão de números inteiros (Z), será que o

cociente é sempre um número inteiro

dividendos

Nestes casos os dividendos são múltiplos dos divisores e o cociente e sempre um número inteiro.

divisores cocientes

Mas e quando o dividendo não é múltiplo do divisor?

• O resultado é um número decimal exato.

Dividendo não é múltiplo do divisor

Se tentássemos dividir 2:3=

teríamos uma fração

Se tentássemos dividir 1:9,

teríamos uma dízima periódica.

Conjunto dos números racionais (Q)

• Inclui os conjuntos

• Números Inteiros (Z)

• As frações

• Números decimais exatos

• Dizimas periódicas

0,1111 2,5

Característica comum a todos os números racionais (Q)

• Número racional e aquele que pode ser escrito em forma de fração.

• 5 = 5/1 = 10/2 = 15/3

• 0,8 = 8/10 = 4/5 = 12/15

O conjunto dos números naturais (N), está contido no conjunto dos números inteiros (Z),

por sua vez o conjunto dos números inteiros (Z), está contido no conjunto dos números racionais.

Os diagramas abaixo representam de forma bem simples os números: naturais,

inteiros e racionais

Revisando – Conjunto dos números Reais (Q)

• 5 – está na forma de número inteiro.

• 15/3 – 5 na forma fracionária 15:3=5.

• 2,5 – um número racional também pode ser um decimal exato.

• 0,171717...... Ou na forma de dízima periódica.

Reta numérica, números racionais

Número decimal exato e dizima periódica

• São números racionais

A reta e o conjunto dos números irracionais.

• 0,1717171717... Dizima Periódica o período se repete periodicamente, portando um número racional

• 0,1011011101111011111... Não é um número decimal exato, nem uma dízima periódica, são chamados números irracionais.

Número irracional

• Definição: É um número Real que não é racional.

Números irracionais

• Números naturais até 100 que são quadrados perfeitos, possuem raiz quadrada exata.

• 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 81 100

• 2 = quando o radicando não é um quadrado perfeito é um número irracional. Se efetuarmos na calculadora, vamos ter como resultado. 1.414213562373095

Números Irracionais

• Portanto 2 = 1.414213562373095... é um número irracional, o período não se repete e é infinito.

• 3 = 1,73205080... Também é um número irracional, não tem raiz quadrada exata e não é uma dízima periódica.

• 5 = 2.236067977... Outro número irracional

Como representar os números irracionais na reta numérica?

• Já sabemos representar os números racionais na reta numérica.

• Vamos aprender como representar na reta numérica um número irracional 2

Como representar 2 na reta numérica

• Primeiro vamos precisar da ajuda de uma construção geométrica. Vamos construir um triângulo retângulo (que tem um dos lados um ângulo de 90⁰) isósceles . Também vamos utilizar o teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

• A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. a² = b² + c²

• hipotenusa

b a

c

Somente para os triângulos retângulos

catetos

Como representar 2 na reta numérica

• a² = b² + c²

• x² = 1² + 1²

• x² = 2

• x² = 2

1

1

x a

b

c

Então chegamos a conclusão que

a medida da hipotenusa é a 2

Como representar 2 na reta numérica

• Com o compasso em zero tomamos a medida da hipotenusa e marcamos na reta numérica

Se girarmos o compasso para esquerda

teremos a localização - 2

Essa representação serviu para mostrar que 2 pode ser representada em um ponto exato.

Vamos tentar um meio mais simples

utilizando como exemplo 5

• Podemos localizar a posição aproximadamente

• Exemplo:

Vamos tentar um meio mais simples utilizando como

exemplo 5

• Vamos lembrar dos números que tem raiz quadrada exata (quadrados perfeitos).

• 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 81 100

Utilizando as raízes exatas acima sabemos que:

4 < 5 < 9

2 < 5 < 3

Raiz quadrada de 4 é 2 e raiz quadrada de 9 é 3, concluímos que raiz quadrada de 5 está entre 2 e 3.

Localizamos nosso ponto, aproximadamente

Podemos melhorar esse cálculo aproximado

• Sabemos que 5 está entre 2 e 3 vamos tentar 2,1

• (2,1)²= 2,1 x 2,1 = 4,41

• Vamos tentar agora com 2,2

• (2,2)²= 2,2 x 2,2 = 4,82 – achamos um valor bem aproximado.

Desmembrando os conjuntos

Conjunto dos números naturais.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Conjunto dos números naturais não nulos.

N* = {1, 2, 3, 4, 5...}

Conjunto dos números inteiros.

Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}

Conjunto dos números inteiros não nulos.

Z* = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}

Números Reais Qualquer número racional ou irracional é chamado de número REAL. Podemos dizer portanto, que número real é todo número decimal, finito ou infinito, indica-se por “R” o conjunto dos números reais e R*o conjunto dos números reais não nulos.

R+ = {x | x é número real positivo ou nulo}

R* ̟= {x | x é número real positivo}

R_ = {x | x é número real negativo ou nulo}

R* ̠= {x | x é número real negativo}