CONJUNTOS Y APLICACIONES

CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos.

DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos, entonces se dice que es un subconjunto de , y se escribe , si para todo elemento de se tiene que dicho elemento pertenece a . Matematicamente :

OBSERVACIÓN: Si , y son conjuntos y , ; entonces se verifica que

DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos y son iguales si y .

OBSERVACIÓN: Si esta incluido en , pero no es igual a , lo escribiremos

DEFINICIÓN: Sea un conjunto y . Se define el complementario en , y lo representaremos como al conjunto :

OBSERVACIÓN:

DEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de en , don de es un conjunto. Se representa por :

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OBSERVACIÓN:

es un subconjunto de cualquier conjunto •

es único. Es el mismo para todo conjunto•

DEFINICIÓN: Sea un conjunto. Entonces se define el conjuntos partes de , es representa por :

, como el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de . Hay como mínimo dos, y

OBSERVACIÓN:

es el número de elementos de

•

es la cantidad de algo.

•

DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos. Se define

El producto cartesiano de y , y se representa como , al conjunto :

•

La intersección de y , que se representa como , al conjunto

•

La unión de y , que se escribe como , al conjunto:

•

OBSERVACIÓN:

• •

•

PROPIEDADES: Sea un conjunto y ,

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y subconjuntos de . Se verifica que:

• • • • • • • • • • • • •

•

•

• •

CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES:

DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos, entonces se dice que es un grafo de en si está incluido en , y si

. Se dice entonces que

es una correspondencia de en , siendo el conjunto de salida y el conjunto de llegada Podemos expresar el grafo como un conjunto de puntos de . Nos indica como se relacionan los conjuntos y mediante la correspondencia.

DEFINICIÓN: Sea

una correspondencia. Se llama conjunto de definición de , y se representa por

, al conjunto

. Si además y

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, entonces:

EJEMPLO:

,

DEFINICIÓN: Sea un conjunto; entonces una relación binaria en es una correspondencia de en

OBSERVACIÓN: Dada la relación binaria

, entonces se escribe:

DEFINICIÓN: Una aplicación o función del conjunto en el conjunto es una correspondencia

OBSERVACIÓN: En el caso de aplicaciones se escribe:

DEFINICIÓN: Sea

una aplicación; entonces se dice que:

Es inyectiva si a elementos distintos, imágenes distintas:•

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Es suprayectiva si todo elemento de es imagen de uno de :

•

Es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva a la vez.•

DEFINICIÓN: Sea

una aplicación; entonces se define la función inversa de

, y se representada por

, como la aplicación :

OBSERVACIÓN: Claramente

pertenece a las funciones

DEFINICIÓN: Sea un conjunto; entonces se define la aplicación identidad, y se representa por

, como la aplicación:

TEOREMA(de la biyección): Si

es biyectiva, existe una función

tal que:

• •

Es decir :

Demostración:

biyectiva

¿

?

•

5

¿

?

•

¿

biyectiva? ¿

inyectiva?, ¿

suprayectiva?

¿

inyectiva? ¿

?

•

Supongamos que

Luego es inyectiva

¿

suprayectiva? ¿

?

•

EJEMPLO: Comprobar que la siguiente aplicación es biyectiva

¿Es inyectiva?•

Sean

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,

¿

? ¿

? ¿ ? Falso, luego es inyectiva

¿Es suprayectiva? ¿

?

•

Luego es suprayectiva

Por tanto es biyectiva

RELACIONES DE EQUIVALENCIA:

DEFINICIÓN: Sea un conjunto y una relación binaria tal que:

• • •

Entonces a se le llama RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Además se llama CLASE DE EQUIVALENCIA del elemento

, y se representa por

o al conjunto :

Al elemento se le llama REPRESENTANTE DE LA CLASE. Se puede intercambiar por cualquier elemento de

(

). Asimismo se llama CONJUNTO COCIENTE, y se representa por

(modificado por la relación ), al conjunto de las clases de equivalencia

EJEMPLO:

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Sean ,

, y

. ¿ es relación de equivalencia?

Sea ¿?

•

Si, pues luego

Sean

¿?

•

Si, pues luego

Sean

¿?

•

Si, pues

;

, luego:

luego

Por cumplirse las tres condiciones, es relación de equivalencia. Su conjunto cociente es:

Obsérvese que no se construya la clase de equivalencia del elemento , por coincidir con la del cero.

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A esta relación de equivalencia en particular se le llama relación de congruencia modulo . Se suele escribir :

En el caso particular de :

PROPOSICIÓN: Sea una relación de equivalencia en . Entonces:

, pues

•

Si

, entonces

, pues si

•

Si

, entonces

:

•

Sea

Sea

Luego

Si , entonces

:

•

Supongamos

, lo que es falso

DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos, y

una aplicación. Entonces se define la RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INDUCIDA POR UNAAPLICACIÓN como la siguiente relación binaria:

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Por tanto su conjunto cociente viene dado por:

DESCRIPCIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN:

TEOREMA: Sean dos conjuntos y , y una aplicación cualquiera

. Entonces

se puede realizar mediante la composición de tres aplicaciones:

Vamos a comprobar que las tres son aplicaciones, y en su caso las características particulares:

Hace corresponder a cada elemento su clase de equivalencia.

es aplicación, pues

y

es suprayectiva:

Sea

¿

?

Hace corresponder a cada clase de equivalencia su imagen.

es aplicación, pues

es inyectiva:

Sean

¿

?

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¿

? Si, pues

es suprayectiva:

Sean

¿

?

es biyectiva

es claramente una aplicación inyectiva.

Sea

,

¿

?

Luego la descomposición canónica es valida.

EJEMPLO:

Por tanto

ALGEBRA DE BOOLE:

DEFINICIÓN: Sea un conjunto. Entonces se llama operación binaria interna(ley de composición interna) a toda aplicación de en

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DEFINICIÓN: Un álgebra de Boole es una terna

, donde y y son operaciones binarias en si se verifica:

(Conmutatividad)

•

(Asociatividad)

•

(Distributividad)

•

(Idempotencia)

•

(

)

•

(

)

•

(es el complementario de )

•

(Leyes de Morgan

•

(Involución)

•

RELACIONES DE ORDEN:

DEFINICIÓN: Sea , y una relación binaria en . Entonces se llama RELACIÓN DE PREORDEN si se verifica que:

• •

DEFINICIÓN: Sea , y una relación de preorden. Entonces se llama RELACIÓN DE ORDEN si además verifica que:

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OBSERVACIÓN:

Si es una relación de orden, se suele escribir

o

•

Al par

se le llama conjunto ordenado.

•

DEFINICIÓN: Sea , y una relación de orden. Entonces se dice que es DE ORDEN TOTAL si se verifica que:

En tal caso al par

se la llama conjunto totalmente ordenado.

Analogamente, si no es de orden total, se dice que es DE ORDEN PARCIAL, y al par

se le llama conjunto parcialmente ordenado.

EJEMPLO:

Sea

y

¿Es

de orden? ¿Es

sde orden total?

Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:

¿?. Si, pues , y , luego

•

¿

? ¿?

•

Luego

Por tanto

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es de preorden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿

?

Por tanto

es de orden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿

?

,

,

Por tanto

es de orden parcial

EJEMPLO:

Sea

y

¿Es

de orden? ¿Es

de orden total?

Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:

¿?. Si, pues , y

, luego

•

¿

? ¿

?

•

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Luego

Por tanto

es de preorden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿

?

Luego

Por tanto

es de orden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿

?

Por tanto

es de orden total

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO:

DEFINICIÓN: Sea

un conjunto ordenado, y . Entonces se dice que:

es un máximo de si y

•

es un mínimo de si y

•

es una cota superior de si (Se dice que

•

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está acotado superiormente)Análogo para cotas inferiores• El supremo de , si existe, es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de

•

Análogo para ínfimo.•

es minimal de si y

•

Análogo para maximal.•

OBSERVACIÓN:

Si existe máximo, entonces es único. Análogo para el mínimo.• Si existe máximo, entonces existe un único maximal y coincide con el máximo. Análogo para el mínimo yminimal.

•

significa que tan solo existe uno.

Es decir, aRb si a es el resto de dividir b entre m

Todo elemento tiene imagen, y la imagen de un elemento es única

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