XIX  Olimpiada  de  Matemática  de  Países  del  Cono  Sur  Pucón,  Lican-­‐Ray.  CHILE  

   

 PRIMER  DÍA,  20  DE  MAYO  DE  2008  

(Versión  en  Español)    

     Duración  de  la  Prueba:  4  horas.          Problema  1:    Se   define   I n( )  como   el   resultado   de   invertir   los   dígitos   del   número  n .   Por   ejemplo   I 123( ) = 321 ,  

I 2008( ) = 8002 .  Encontrar  todos  los  enteros  n ,  1≤ n ≤ 10000 ,  para  los  cuales   I n( ) = n2

⎡⎢⎢

⎤⎥⎥.  

     Nota:   x⎡⎢ ⎤⎥  denota  el  menor  entero  mayor  o  igual  que   x .  Por  ejemplo   2,1⎡⎢ ⎤⎥ = 3 ,   3,9⎡⎢ ⎤⎥ = 4 ,   7⎡⎢ ⎤⎥ = 7 .            Problema  2:    Sea  P  un  punto  en  el  interior  del  triángulo  ABC .  Sean   X ,  Y ,   Z  puntos  en  los  lados  BC ,   AC  y  AB  respectivamente,  tales  que  

!PXC = !PYA = !PZB .  Sean  U ,  V  y  W  puntos  en  los   lados   BC ,   AC  y  AB  respectivamente,  (o  en  sus  extensiones,  de  ser  necesario)  con   X  entre  B  y  U ,  Y  entre  C  y  V ,  y  Z  entre   A  y  W ,  tales  que  PU = 2PX ,  PV = 2PY  y  PW = 2PZ .  Si  el  área  del  triángulo   XYZ  es  1,  determinar  el  área  del  triángulo  UVW .            Problema  3:    Dos   amigos   A  y   B  deben   resolver   el   siguiente   acertijo.   Cada   uno   de   ellos   recibe   un   número   del  conjunto   1,2,…,250{ }  pero   no   ve   el   número   que   recibió   el   otro.   El   objetivo   es   que   cada   amigo  descubra  el  número  del  otro.  El  procedimiento  que  deben  seguir  es  anunciar,  por  turnos,  números  enteros   positivos   no   necesariamente   distintos:   primero   A  dice   un   número,   luego   B  dice   un  número,   a   continuación   nuevamente   A ,   etc.,   de   modo   que   la   suma   de   todos   los   números  anunciados  sea  20.  Demostrar  que  existe  una  estrategia  por  la  cual  mediante  un  acuerdo  previo   A  y   B  pueden  lograr  el  objetivo,  sin  importar  qué  número  reciba  cada  uno  al  comienzo  del  acertijo.        

   

XIX  Olimpiada  de  Matemática  de  Países  del  Cono  Sur  Pucón,  Lican-­‐Ray.  CHILE  

   

 SEGUNDO  DÍA,  21  DE  MAYO  DE  2008  

(Versión  en  Español)    

     Duración  de  la  Prueba:  4  horas.          Problema  4:    ¿Cuál  es  el  mayor  número  de  casillas  que  puede  colorearse  en  un  tablero  de   7 × 7  de  manera  que  todo  subtablero  de  2 × 2  posea  a  lo  más  2  casillas  coloreadas?            Problema  5:    Sea   ABC  un  triángulo  isósceles  de  base  AB .  Una  semicircunferencia  Γ  con  centro  en  el  segmento  AB  es   tangente   a   los   lados   iguales   AC  y   BC .   Se   considera   una   recta   tangente   a  Γ  que   corta   los  segmentos  AC  y   BC  en  D  y  E ,  respectivamente.  Las  rectas  perpendiculares  a   AC  y  BC  trazadas  respectivamente   por  D  y  E  se   cortan   en  P .   Sea  Q  el   pie   de   la   perpendicular   a   la   recta   AB  que  pasa  por  P .  Demostrar  que  

PQCP

= 12ABAC

.  

         Problema  6:    Decimos  que  un  número  es  capicúa  si  al  invertir  el  orden  de  sus  cifras  se  obtiene  el  mismo  número.  Hallar  todos  los  números  que  tienen  al  menos  un  múltiplo  que  es  capicúa.