Conocimientos matemáticos puestos en juego por un grupo de ... · matemáticos puestos en juego...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Centro de investigación en ciencia aplicada y tecnología avanzada del IPN

Conocimientos matemáticos puestos en juego por un grupo de

maestros de una escuela de práctica para la enseñanza del signo igual

Tesis para obtener el grado de

Maestría en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta:

Leticia Medina Uval

Directores de tesis:

Dr. Javier Lezama

Dra. Cristina Ochoviet

México, Distrito Federal Mayo 2018

Conocimientos matemáticos puestos en juego por un grupo de maestros de una escuela de práctica para la

enseñanza del signo igual

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AUTORIZACIÓN DE USO DE OBRA

Instituto Politécnico Nacional

Presente

Bajo protesta de decir verdad la que suscribe Leticia Medina Uval, manifiesto ser autora y

titular de los derechos morales y patrimoniales de la obra titulada: Conocimientos

matemáticos puestos en juego por un grupo de maestros de una escuela de práctica para la

enseñanza del signo igual, en adelante “La Tesis” y de la cual se adjunta copia, por lo que

por medio del presente y con fundamento en el artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley

Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN,

autorización no exclusiva para comunicar y exhibir públicamente total o parcialmente en

medios digitales (formato electrónico en formato PDF) “La Tesis” por un periodo de 10 años

contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se renovará

automáticamente en caso de no dar aviso expreso a “El IPN” de su terminación. En virtud de

lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de autor de “La Tesis”.

Adicionalmente, en mi calidad de autora y titular de los derechos morales y patrimoniales de

“La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente autorización no contraviene

ninguna otorgada por el suscrito respecto del “La Tesis”, por lo que deslindo de toda

responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido del “La Tesis” o la autorización

concedida afecte o viole derechos autorales, industriales, secretos industriales, convenios o

contratos de confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de

terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier demanda o reclamación

que puedan derivarse del caso.

México, D. F., 2 de mayo de 2018.

Atentamente

__________________________



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Agradecimientos

Agradezco a la vida, por darme oportunidades y por permitirme disfrutar día a día de ella.

Agradezco a mi familia, por darme su amor, su apoyo y el espacio necesario para seguir

creciendo… Gracias por estar ahí, por acompañarme y sostenerme. Gracias por entender mis

necesidades y muchas veces, sobreponerlas a las propias.

Agradezco a mi amor por darme tres hermosas hijas, por elegirme día a día y hacer que todo

se vea mejor estando juntos… Gracias por entender mis pedidos aún sin palabras, por ser mi

refugio, por acompañarme en mis proyectos y tomarlos como tuyos.

Agradezco a la Dra. Cristina Ochoviet por hacer posible que esto suceda… Gracias por

inspirarme, por creer en mí, por desafiarme y acompañarme en todo este trayecto. Gracias por

generar oportunidades para que los docentes miremos con otros lentes las problemáticas que

enfrentamos en las aulas y nos involucremos en la búsqueda de soluciones. Gracias por

enseñarme a aprender día a día de mis alumnos.

Agradezco al Dr. Javier Lezama por su calidez y aplomo al acompañarme en este trayecto…

Gracias por estar cerca a pesar de las distancias. Gracias por creer en otras formas de enseñar

y aprender y luchar por ello hasta hacerlo posible.

Agradezco finalmente a CICATA-IPN por abrirme sus puertas… Gracias por darme la

oportunidad de hacer este recorrido y por permitirme ser parte de su gran familia.



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Índice

Agradecimientos ..................................................................................................................... vii

Índice ........................................................................................................................................ ix

Relación de figuras ................................................................................................................ xiii

Relación de tablas ................................................................................................................... xv

Resumen ................................................................................................................................. xvi

Abstract ................................................................................................................................. xvii

Glosario .................................................................................................................................. xix

Organización de este trabajo ................................................................................................... 1

Introducción .............................................................................................................................. 3

Capítulo I: Fundamentación, Estado del arte y Formulación de objetivos ........................ 5

I.1 Fundamentación de la relevancia del tema de investigación ............................................ 5

I.2 Estado del Arte .................................................................................................................. 8

I.2.A Estudios sobre las dificultades asociadas a la construcción de significados del signo igual ... 8

I.2.B Currículo actual para la enseñanza primaria en Uruguay ..................................................... 13

I.2.C Estudios sobre el conocimiento del profesor ....................................................................... 15

a) Breve cronología............................................................................................................................ 15

b) Conocimiento matemático para la enseñanza. El modelo MKT ...................................................... 16

c) Conocimiento matemático para la enseñanza en profesores formadores ......................................... 17

d) Antecedentes en relación al conocimiento matemático necesario para la enseñanza del signo igual 18

I.2.D Síntesis y delimitación del problema de investigación ......................................................... 23

I.3 Formulación de objetivos ................................................................................................ 27

I.3.A Objetivo general de la investigación .................................................................................... 27

I.3.B Objetivos específicos de la investigación ............................................................................. 27

Capítulo II: Marco teórico .................................................................................................... 28

II.1 Modelo MKT ................................................................................................................. 28

II.2 Definición de conocimiento adoptada para este estudio................................................ 32



x

II.3 Usos y significados del signo igual ............................................................................... 33

Capítulo III: Método .............................................................................................................. 37

III.1 Descripción general ...................................................................................................... 37

III.2 Análisis preliminar de cuadernos de escolares ............................................................. 40

III.3 El cuestionario y su análisis a priori ............................................................................. 44

III.3.A Diseño del cuestionario ...................................................................................................... 44

III.3.B Análisis a priori de las tareas del cuestionario .................................................................... 45

a) Pregunta 1...................................................................................................................................... 46

b) Pregunta 2 ..................................................................................................................................... 52

c) Pregunta 3...................................................................................................................................... 61

d) Pregunta 4: .................................................................................................................................... 62

III. 3.C Sobre la aplicación del cuestionario .................................................................................. 63

III.4 Las entrevistas .............................................................................................................. 64

Capítulo IV: Resultados ......................................................................................................... 66

IV.1 Las respuestas y su análisis .......................................................................................... 66

IV.1.A Pregunta 1 ......................................................................................................................... 66

a) Pregunta 1a .................................................................................................................................... 66

b) Pregunta 1b ................................................................................................................................... 73

c) Pregunta 1c .................................................................................................................................... 79

d) Pregunta 1d ................................................................................................................................... 80

IV.1.B Pregunta 2 .......................................................................................................................... 89

a) Pregunta 2.1.a ................................................................................................................................ 89

b) Pregunta 2.1.b ................................................................................................................................ 95

c) Pregunta 2.2 ................................................................................................................................. 102

d) Pregunta 2.3 ................................................................................................................................ 104

e) Pregunta 2.4 ................................................................................................................................. 108

IV.1.C Pregunta 3 ........................................................................................................................ 112

a) Pregunta 3a y 3b .......................................................................................................................... 112



xi

b) Pregunta 3c .................................................................................................................................. 115

c) Pregunta 3d .................................................................................................................................. 120

IV.1.D Pregunta 4 ....................................................................................................................... 121

a) Respuestas que señalan que han identificado dificultades ............................................................. 121

b) Respuestas que señalan que no han identificado dificultades ........................................................ 125

IV.2 Síntesis y reflexiones ................................................................................................. 126

IV.2.A Usos y significados del signo igual evidenciados en la población de estudio .................. 127

IV.2.B Síntesis sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego al desarrollar las diferentes

prácticas. ..................................................................................................................................... 134

a) Conocimientos evidenciados al completar sentencias ................................................................... 134

b) Conocimientos evidenciados al corregir producciones escritas ..................................................... 137

c) Conocimientos evidenciados al definir y ejemplificar al signo igual ............................................. 145

d) Conocimientos evidenciados al identificar dificultades en el aprendizaje ..................................... 148

e) Conocimientos evidenciados al evaluar tareas para implementarlas en el aula .............................. 150

f) Conocimientos evidenciados al anticipar respuestas de escolares frente a tareas que involucran al

signo igual ....................................................................................................................................... 153

Capítulo V: Conclusiones y recomendaciones ................................................................... 157

V.1 Conclusiones ............................................................................................................... 157

V.1.A Respecto a los significados del signo igual ....................................................................... 157

V.1.B Respecto a los conocimientos matemáticos para la enseñanza del signo igual .................. 160

V.1.C Vínculos entre los subdominios del MKT ......................................................................... 168

V.2 Recomendaciones ........................................................................................................ 172

V.2.A Recomendaciones para fortalecer los conocimientos matemáticos para la enseñanza de este

grupo de maestros formadores..................................................................................................... 172

V.2.B Recomendaciones para la formación inicial ...................................................................... 175

Referencias bibliográficas .................................................................................................... 178

Anexos ................................................................................................................................... 186

Anexo 1: La enseñanza del signo igual en el currículo de la enseñanza obligatoria ......... 186

Anexo 2: Cuestionario aplicado a las maestras adscriptoras y a la maestra directora ....... 192



xii

Anexo 3: Diseño preliminar de las entrevistas ................................................................... 199



xiii

Relación de figuras

Figura 1: Dominios del Conocimiento Matemático para la Enseñanza ................................... 29

Figura 2: Producción de un alumno trabajando con distintas expresiones de un número. ...... 41

Figura 3: Producción de un alumno trabajando con medidas de longitud. .............................. 41

Figura 4: Producción de un alumno trabajando con medidas de longitud. .............................. 41

Figura 5: Producción de un alumno trabajando con división entera ........................................ 42

Figura 6: Producción de un alumno trabajando con división entera. ....................................... 42

Figura 7: Producción de un alumno trabajando con fracciones ............................................... 43

Figura 8: Significados implicados en el uso del signo igual como propuesta de actividad. .... 83

Figura 9: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de completar sentencias no

estándares. .............................................................................................................................. 136

Figura 10: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de corregir producciones

escritas de escolares................................................................................................................ 143

Figura 11: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de definir y ejemplificar al

signo igual .............................................................................................................................. 147

Figura 12: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de identificar dificultades en

el aprendizaje del signo igual ................................................................................................. 149

Figura 13: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de evaluar tareas para

implementarlas en el aula ....................................................................................................... 153

Figura 14: Diagrama que sintetiza los posibles vínculos que podrían darse entre los

subdominios del MKT. ........................................................................................................... 171

Figura 15: Programa Escolar. Introducción al concepto de igualdad. Nivel inicial. .............. 186



xiv

Figura 16: Programa Escolar. Igualdad en Naturales. 1ro y 2do año. .................................... 187

Figura 17: Programa Escolar. Igualdad en Naturales. 3er y 4to año. ..................................... 187

Figura 18: Programa Escolar. ¿Igualdad en Naturales? 5to y 6to año. ................................. 188

Figura 19: Programa escolar. Signo igual en Operaciones.1er y 2do año.............................. 188

Figura 20: Programa escolar. Signo igual en Operaciones.3er y 4to año. ............................. 189

Figura 21: Programa escolar. Signo igual en Operaciones.5to y 6to año. ............................. 190

Figura 22: Programa Escolar. Introducción al álgebra. .......................................................... 191



xv

Relación de tablas

Tabla 1: Vínculos entre significados del signo igual y conocimientos matemáticos para la

enseñanza, en el caso de completar espacios faltantes. ............................................................ 46

Tabla 2: Síntesis de las respuestas a la pregunta 1 del cuestionario....................................... 127






xvi

Resumen

Múltiples investigaciones reportan dificultades en la construcción de significados relacionales

del signo igual, aunque poco se sabe sobre cómo interpretan este símbolo y qué

conocimientos han desarrollado sobre su enseñanza quienes tienen a cargo esta tarea. Desde

una metodología cualitativa y utilizando la clasificación propuesta por Molina (2006), este

estudio indagó los usos y significados atribuidos a este signo por un grupo de maestros de

enseñanza primaria que participan de la formación de nuevos maestros. Con base en el

modelo Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT) propuesto por Ball, Thames y

Phelps (2008) este trabajo exploró algunos de los conocimientos que son movilizados al

desarrollar tareas relacionadas a la enseñanza del signo igual, los relacionó con el subdominio

del MKT correspondiente y puso en evidencia ciertos vínculos entre los subdominios.

Identificó que en múltiples situaciones este grupo de maestros privilegia los conocimientos

provenientes del dominio conocimiento didáctico del contenido frente al dominio

conocimiento del contenido. El subdominio conocimiento del horizonte matemático no fue

movilizado en ninguna de las prácticas propuestas, aun cuando estos conocimientos se

evidenciaron necesarios para afrontar dilemas y superar inseguridades. En pocas ocasiones los

maestros participantes evocaron saberes vinculados al subdominio conocimiento

especializado del contenido, esto limitó su capacidad de identificar conceptos erróneos en las

producciones de los escolares y efectuar recomendaciones que resultaran poderosas para

superarlos.

Finalmente este estudio mostró que a nivel grupal existen dificultades para ver

relacionalmente al signo igual. Interpretar a este símbolo bajo los significados propuesta de

actividad, aproximación, indicador de cierta conexión o correspondencia y operador llevó a

algunos maestros a dar respuestas matemáticamente erróneas a las tareas, a validar

producciones incorrectas de escolares y a quedar sin posibilidades de interactuar

positivamente en el aprendizaje de los alumnos.

Este estudio realiza recomendaciones para el trabajo con este grupo de maestros, deja algunas

reflexiones vinculadas a las fuentes que alimentan algunos de estos subdominios del MKT y

brinda sugerencias que aportan a repensar la formación inicial de maestros en el Uruguay.



xvii

Palabras claves: Conocimiento matemático para la enseñanza; Significados del signo igual;

Formación de maestros.

Abstract

Many studies report that children have difficulties on viewing the equal sign as a relational

symbol, although little is known about how teachers interpret this symbol and what

knowledge they had developed about its teaching.

From a qualitative methodology and using Molina’s (2006) classification, this study

investigated how a group of teachers trainers use this sign and what meanings they attribute to

it. Based on the model Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) proposed by Ball,

Thames and Phelps (2008), this work explored some of the knowledge that is mobilized when

teachers develop tasks related to equal sign teaching, linking them to the corresponding MKT

subdomain and putting in evidence certain links between subdomains. This study identified

that in multiple situations this group of teachers privileges knowledge coming from the

pedagogical content knowledge domain and minimizes the content knowledge domain. The

Horizon content knowledge subdomain was not mobilized in any of the proposed practices,

even though this knowledge was necessary to face dilemmas and overcome insecurities. On a

few occasions the participating teachers evoked knowledge related to the specialized content

knowledge subdomain, this limited their capacity to identify misconceptions in students’

productions and make powerful recommendations to overcome them.

Finally, this study showed that at the group level, there are difficulties to see the equal sign

relationally. Interpreting this symbol as activity proposal, approximation, indicator of a

certain connection or correspondence and operator, led some teachers to give mathematically

wrong answers to tasks, to validate incorrect students’ productions and to be left without the

possibility of interacting positively in the students’ learning.

This study makes recommendations for the work with this group of teachers, leaves some

reflections linked to the sources that feed some of these sub-domains of the MKT and offers

suggestions that contribute to rethink the initial teacher training in Uruguay.

Keywords: Mathematical knowledge for teaching; Meanings of the equal sign; Teacher

training



xviii



xix

Glosario

Maestro: docente que trabaja a nivel de enseñanza primaria con niños de edades entre los 6 y

los 12 años.

Maestro adscriptor: Docente que tiene a su cargo un grupo de escolares, y que recibe en su

grupo clase a uno o dos estudiantes de magisterio, futuros maestros, para que hagan su

práctica docente. Se desempeñan, al mismo tiempo, como maestros de un grupo clase y como

maestros formadores.

Maestro director: Maestro que tiene a su cargo la dirección de una escuela, desde el punto de

vista pedagógico y administrativo. Su cargo es jerárquicamente superior al de los maestros

que trabajan en la escuela que dirige.

Maestro director de una escuela de práctica: Maestro director que tiene a su cargo la

dirección de una escuela de práctica. Además de las funciones desempeñadas por los

directores de escuela, tiene a su cargo el dictado de la asignatura Didáctica - Práctica docente

en el Instituto de Formación Docente y orienta la práctica que los futuros maestros o

practicantes desarrollan en la escuela que este maestro director dirige.

Maestro practicante o practicante: Estudiante magisterial que cursa la asignatura Didáctica

- Práctica docente como parte de su formación inicial para desempeñarse como maestro y

asiste a una escuela de práctica a realizar su práctica docente.

Escuela de práctica: Institución dedicada simultáneamente a la formación de escolares y a la

formación de futuros maestros de enseñanza primaria.

Conocimiento: Par conformado por una creencia-afirmación y una justificación para esta

creencia-afirmación (Campos Lins, 1994).

Práctica docente: Parte práctica del curso Didáctica - Práctica docente desarrollada por un

maestro practicante en un grupo escolar, acompañado por un maestro adscriptor encargado de

este grupo, siguiendo los lineamientos del maestro director de la escuela de práctica. El

maestro practicante se hace cargo del dictado de algunas clases a los escolares (entre el 10% y

el 25 % según el nivel) abordando distintas asignaturas, entre ellas matemática.



xx

MKT: Abreviación de Mathematical Knowledge for Teaching o Conocimiento Matemático

para la Enseñanza.

Conocimiento Matemático para la Enseñanza: modelo descriptivo del conocimiento

matemático que los profesores utilizan o requieren para desarrollar las tareas vinculadas a la

enseñanza de la matemática (Ball, Thames y Phelps, 2008; Hill, Ball y Schilling, 2008).

Organización de este trabajo

El presente trabajo consta de una Introducción y cinco capítulos. A continuación se describen

brevemente los contenidos de la Introducción y de cada capítulo.

INTRODUCCIÓN: Se presenta en forma sintética la problemática a abordar.

CAPÍTULO I: Este capítulo se divide en tres secciones. En la primera sección se fundamenta

la relevancia del tema abordado en este estudio. Posteriormente se analiza el estado del arte en

relación a la temática abordada. Este capítulo finaliza con la formulación de los objetivos de

esta investigación.

CAPÍTULO II: En este capítulo se presenta el marco teórico elegido para desarrollar este

estudio. En la primera sección se describe el modelo elegido para identificar los

conocimientos matemáticos que se movilizan al desarrollar tareas vinculadas a la enseñanza

del signo igual. En la segunda sección se presenta la definición de conocimiento adoptada por

este trabajo y finalmente en la tercera sección se describe la categorización de usos y

significados del signo igual, que fue elegida para explorar los significados que los maestros

atribuyen al signo igual.

CAPÍTULO III: En este capítulo se describen los pasos seguidos para desarrollar este estudio.

En la sección (1) se realiza una descripción general del método, incluyendo los detalles sobre

cómo se procedió para recoger los datos. En la sección (2) se presenta una exploración de

posibles usos escolares del signo igual, que orientó el diseño del cuestionario. En la sección

(3) se explicita cómo se diseñó el cuestionario y el análisis a priori de sus actividades. En la

sección (4) se presentan detalles vinculados a cómo se desarrollaron las entrevistas.

CAPÍTULO IV: Este capítulo se divide en dos secciones. La sección (1) presenta las

respuestas obtenidas frente a las tareas del cuestionario, complementando la reflexión con

extractos de las entrevistas. Estas respuestas son analizadas observando los usos y

significados vinculados al signo igual y los conocimientos matemáticos evidenciados al

realizar cada una de estas tareas, las relaciones entre estos y los subdominios del MKT

involucrados en cada una de las tareas realizada por el docente. Posteriormente, en la sección

(2) se sintetizan los resultados por medio de algunas tablas que permiten una apreciación

rápida de algunos de los resultados. Posteriormente se profundizan las reflexiones en torno a



2

los usos y significados del signo igual y en relación a los conocimientos matemáticos para la

enseñanza puestos en juego en cada una de las prácticas desarrolladas por los maestros

participantes.

CAPÍTULO V: En este capítulo se presentan en primer lugar las conclusiones que se

desprenden de este estudio. Estas son agrupadas en tres secciones: la primera sección (A)

vinculada a los significados del signo igual evidenciados en nuestra población de estudio, la

segunda sección (B) vinculada a los conocimientos matemáticos para la enseñanza que fueron

movilizados por los maestros al desarrollar cada una de las prácticas solicitadas y finalmente

una sección (C) que sintetiza los vínculos observados entre los distintos subdominios del

MKT. las implicaciones didácticas. Se realizan algunas sugerencias didácticas. En segundo

lugar se dejan algunas recomendaciones, en torno a dos ejes. Un primer grupo de

recomendaciones tendientes a fortalecer los conocimientos matemáticos para la enseñanza del

grupo de maestros participantes de este estudio y un segundo grupo tendientes a repensar la

formación inicial docente.



3

Introducción

Una de las grandes dificultades en la construcción del pensamiento algebraico, se ha asociado

a interpretaciones incorrectas o incompletas del signo igual (Herscovics y Kieran, 1980;

Kieran, 1992; Knuth, Stephens, McNeil y Alibali, 2006). Distintos trabajos de investigación

(Kieran, 1981, entre otros) reúnen bajo la denominación de visiones operacionales a aquellas

interpretaciones del signo igual que le asocian el carácter de operador, es decir, aquellas que

perciben a este símbolo como una señal que invita a “hacer algo” o como un separador entre

una operación y su resultado. Estos trabajos distinguen estas interpretaciones de otras

denominadas visiones relacionales, en las que el signo igual implica una comparación entre

los números o expresiones representadas a ambos lados de este símbolo (Kieran, 1981; Knuth

et al., 2006, entre otros).

Diversos trabajos de investigación se han desarrollado en torno a estas dos interpretaciones

del signo igual. Algunos estudios se han dedicado a recoger evidencias sobre la persistencia

de interpretaciones operacionales de este símbolo matemático en los distintos niveles

educativos (Behr, Erlwanger y Nichols, 1976; Kieran, 1981; Knuth et al., 2006; Burgell,

2012; Parodi, 2016; Weinberg, 2010; Stephens, 2006; Hartzler, 2013; entre otros), dando

cuenta que esta problemática alcanza incluso a estudiantes universitarios y futuros maestros

(Weinberg, 2010; Stephens, 2006). Por otra parte, otros estudios han vinculado las

dificultades en construir interpretaciones relacionales de este símbolo con el aprendizaje del

álgebra, destacando que este conocimiento es crucial para la comprensión de las

transformaciones que se realizan habitualmente al resolver una ecuación (Carpenter, Franke y

Levi, 2003). A pesar de esto, Asquith, Stephens, Knuth y Alibali (2007) reportan que los

profesores de enseñanza media que participaron en su estudio, rara vez identificaron al signo

igual como un obstáculo para resolver problemas y no consideraron que mantener una visión

operacional del signo igual podía obstaculizar el rendimiento de sus estudiantes.

Por otra parte, múltiples investigaciones reportan que es necesario el trabajo planificado del

docente con igualdades planteadas de diversas formas para ir construyendo una comprensión

relacional del signo igual (Behr et al., 1976; Kieran, 1992; Carpenter et al., 2003, Molina,

Castro y Ambrose, 2006; entre otras). En este sentido, el papel que desempeña el docente y

las propuestas que lleve al aula para promover los procesos de aprendizaje del signo igual se



4

tornan fundamentales. Asquith et al. (2007) señalan que el conocimiento del profesor es un

factor determinante de sus prácticas de aula; Hill, Rowan y Ball (2005) agregan que el

conocimiento del profesor está estrechamente vinculado con lo que sus estudiantes aprenden.



5

Capítulo I: Fundamentación, Estado del arte y Formulación de

objetivos

Este capítulo se presenta dividido en tres secciones. En la sección (1) se fundamenta la

relevancia del tema de investigación. En la sección (2) se presenta el análisis del Estado del

Arte en relación a la temática abordada, dividiendo esta sección en cuatro subsecciones que se

describen en ese punto. Finalmente, en la sección (3) se presentan los objetivos de este

estudio.

I.1 Fundamentación de la relevancia del tema de investigación

Actualmente se reconoce que una comprensión adecuada del signo igual y de la igualdad

matemática es un requisito imprescindible para el aprendizaje del álgebra (Kieran, 1992;

MacGregor y Stacey, 1997; Stacey y MacGregor 1999; Knuth et al., 2006; Knuth, Alibali,

Hattikudur, McNeil y Stephens, 2008). De hecho, han surgido propuestas promovidas por

referentes internacionales en Educación Matemática (NCTM, 1989 y 2000 por ejemplo), que

pretenden superar algunas de las dificultades identificadas en el aprendizaje del álgebra,

adelantando su introducción y promoviendo el desarrollo del pensamiento algebraico desde

los primeros años de la Educación Obligatoria.

En este contexto se implementó en el año 2008 en Uruguay un nuevo plan de estudios para

Educación Inicial y Primaria, que establece de manera global los contenidos a enseñar y a

diferencia de los currículos anteriores, brinda mayor libertad a las escuelas y a sus docentes

para organizar la enseñanza y da ingreso al currículo escolar como contenido programático la

enseñanza del signo igual. En el currículo actual se establece un conjunto de conocimientos a

desarrollar en cada grado, y si bien se establece la enseñanza del signo igual, no se declara de

manera explícita que la escuela se hace cargo de promover significados relacionales del signo

igual. No se cuenta con un conjunto de pautas o especificaciones que informen al docente

sobre la problemática asociada a la construcción de significados del signo igual, no se señala

la relevancia de la construcción de significados relacionales como sustento del pensamiento

algebraico ni se brinda sugerencias sobre las tareas que potencian la construcción de los



6

significados pretendidos. Los maestros en ejercicio afrontaron el reto de esta renovación

programática con los conocimientos y herramientas que encuentran a su alcance, sin que se

conozca actualmente qué lectura realizan estos maestros sobre este currículo, cómo conciben

la enseñanza del signo igual ni qué necesidades formativas existen en el colectivo docente.

Por otra parte, la investigación ha puesto en evidencia que las dificultades en la construcción

de significados del signo igual no se superan por el solo hecho de avanzar en el nivel

educativo, estas dificultades se han apreciado en estudiantes de nivel universitario (Weinberg,

2010) e incluso en maestros en formación (Stephens, 2006; Hartzler, 2013; Medina, 2016).

Cabe cuestionarse entonces si los maestros que enseñan en las escuelas uruguayas han

logrado construir visiones flexibles del signo igual, y si han desarrollado los conocimientos

necesarios para hacerse cargo de la enseñanza de este símbolo en la forma que los referentes

internacionales recomiendan.

Teniendo en cuenta que quien presenta este estudio participa de la formación de futuros

maestros y considerando que Lampert y Ball (1998) indican que el conocimiento adquirido en

un contexto específico de práctica profesional será probablemente más usado en la acción

profesional, que aquel proveniente de cualquier material académico organizado, este trabajo

se interesa por conocer el conocimiento matemático de los maestros formadores, que

comparten el aula escolar con los futuros maestros durante el período de sus prácticas pre-

profesionales.

Dado que el sistema de formación docente uruguayo prevé una formación disciplinar en

matemática alejada del contexto escolar en el que este conocimiento será puesto en juego, los

espacios de práctica docente son espacios privilegiados para movilizar los conocimientos

matemáticos de los futuros maestros. La incidencia que tienen estos espacios en la formación

inicial docente, por al conjunto de experiencias y saberes construidos en el ámbito de la

práctica en una escuela, lleva a que en este trabajo se busque explorar los conocimientos

matemáticos para la enseñanza del signo igual que ha logrado construir un grupo de maestros

formadores.

Bajo el entendido que los conocimientos desarrollados por los maestros formadores, tendrán

una gran influencia en la construcción de los conocimientos matemáticos para la enseñanza



7

del signo igual que desarrollarán las nuevas generaciones de maestros, esta investigación

busca hacerlos explícitos en relación a un tema central y problemático dentro de la

matemática educativa. Se entiende que conocer las necesidades formativas de estos maestros

alimentará al proceso de transformación que vive la formación inicial docente en el Uruguay.

En la siguiente sección se presenta el análisis del Estado del Arte en relación a la

problemática descrita anteriormente.



8

I.2 Estado del Arte

En esta sección se presenta un análisis de las investigaciones que aportan de forma

significativa al tema de esta investigación. En una primera parte se organizan los trabajos

consultados en torno a las siguientes líneas temáticas:

(1) Estudios sobre las dificultades asociadas a la construcción de significados del signo

igual.

(2) Currículo actual para la enseñanza primaria en Uruguay.

(3) Estudios sobre el conocimiento del profesor.

Posteriormente en el punto (4) se presenta una síntesis de las tres secciones anteriores y se

posiciona este trabajo en el contexto actual de la investigación. Finalmente en el punto (5) se

formulan los objetivos planteados para este estudio.

I.2.A Estudios sobre las dificultades asociadas a la construcción de significados del

signo igual

En la década de los setenta del siglo XX, Behr, Erlwanger y Nichols (1976) advierten que los

significados atribuidos por los escolares al signo igual no son necesariamente los mismos que

los atribuidos por sus docentes e informan que muchos escolares generan visiones incorrectas

o al menos incompletas del signo igual. Los investigadores presentan las siguientes

situaciones para ejemplificar las dificultades evidenciadas en la construcción de sus

significados:

Algunos estudiantes no atribuyen sentido a expresiones de la forma 3 = 3 y proponen

sustituir la expresión colocada a la izquierda del signo igual por una operación, planteando

por ejemplo la igualdad: 7 – 4 = 3. Informan que el mismo desconcierto se observa en estos

estudiantes al enfrentar tareas de completar el espacio para lograr una igualdad, al trabajar

con sentencias de la forma ___ = 3 + 4.



9

Algunos escolares aprecian como falsas ciertas expresiones del tipo 4 + 5 = 3 + 6. Estos

escolares argumentan que 4 + 5 no es igual a 3, ignorando el 6. Otros simplemente la

señalan como mal expresada, pues consideran que luego del signo igual debe seguir la

respuesta (un número) y no otra operación, sugiriendo la separación de esa expresión en

dos igualdades separadas: 4 + 5 = 9 y 3 + 6 = 9.

En los ejemplos presentados los estudiantes tienen la idea de que el signo igual es un símbolo

operador, es decir, ven a este signo como el indicador de que se debe efectuar una acción, una

especie de separador entre una cadena de números y operaciones y su resultado. Por otra

parte, bajo estas interpretaciones el uso dado a este símbolo es asimétrico, estos estudiantes no

aceptan la propiedad recíproca del signo igual.

Estas concepciones han sido nombradas por los investigadores como visiones operacionales

del signo igual (Behr et al., 1976; Knuth et al., 2006, entre otros). Por otra parte, la

investigación ha denominado como visiones relacionales del signo igual a aquellas que

realizan una comparación entre los números o expresiones representados a ambos lados de

este símbolo (Kieran, 1981; McNeil et al., 2006, entre otros). Hasta el momento se han

desarrollado una multiplicidad de estudios que evidencian que muchos niños de nivel inicial y

primaria, construyen y mantienen visiones operacionales del signo igual (Behr et al., 1976;

Kieran, 1981; Seo y Ginsburg, 2003; Knuth et al., 2006, entre otros) que les impide por

ejemplo encontrar con éxito el número faltante para obtener una igualdad (considérese por

ejemplo la tarea de completar este espacio: 2 + 3 = __ + 1)

Una pregunta que surge al abordar esta temática es por qué los alumnos tienden a desarrollar

concepciones erróneas sobre el significado del signo igual. A continuación se presentan

algunos trabajos que permiten introducirnos en esa temática.

Según Kieran (1981, siguiendo a Gelman y Gallistel, 1978 y a Siegel, 1978) el signo igual se

introduce inicialmente de forma intuitiva en los preescolares para establecer una relación

entre dos conjuntos con igual cantidad de elementos no necesariamente homogéneos. Luego,

acompañando el proceso de construcción del concepto de adición, su uso se amplía para

vincular la cantidad de elementos de dos conjuntos, con la cantidad de elementos de su

conjunto unión. Kieran destaca esta instancia como aquella que introduce en la escuela la

noción del signo igual como símbolo operador.



10

Molina (2005) señala que la mayoría de los estudios aluden como principal causa de la

limitada comprensión del signo igual, a la reiterada consideración de igualdades que

corresponden exclusivamente al formato a b = c a lo largo del aprendizaje de la aritmética.

En Molina et al. (2006) las autoras señalan que al observar igualdades numéricas, el ver al

signo igual como un símbolo que vincula dos expresiones iguales en valor no es un

conocimiento intuitivo para los alumnos y que tampoco es adquirido directamente como

consecuencia de una explicación del docente. Estas investigadoras destacan que es necesario

el trabajo planificado del docente con igualdades de diversas formas para ir construyendo una

comprensión relacional del signo igual.

McNeil y Alibali (2005) reportan que ciertas tareas parecen activar la visión operacional del

signo igual y agrega que los estudiantes no abandonan sus interpretaciones operacionales

porque no les resulten útiles en algunos contextos, sino que aprecian estos contextos como

casos particulares y cambian los significados puestos en juego solo para los casos específicos

en los que el otro significado se aprecia inútil, coexistiendo así varias visiones del signo igual

en un mismo individuo. Esto realza la importancia de considerar los contextos en los que se

trabaja el signo igual en relación a las interpretaciones que los estudiantes realizan de este

símbolo.

Seo y Ginsburg (2003) agregan que la interpretación operacional surge frente a contextos

intramatemáticos y que en situaciones contextualizadas vinculadas al dinero, las

interpretaciones operacionales parecen dar lugar a algún tipo de entendimiento relacional del

signo igual.

McNeil et al. (2006) realizan una investigación a nivel de sexto, séptimo y octavo grado,

tendiente a analizar la importancia del formato de las tareas que involucran al signo igual para

el desarrollo de visiones relacionales de este símbolo. Este estudio incluyó un análisis de las

tareas presentadas en los libros de texto utilizados y advierte que el formato predominante en

las tareas que involucran al signo igual corresponde al denominado formato estándar, en el

que se plantea una operación al lado izquierdo del signo igual y la respuesta inmediatamente a

su derecha. Este formato, también denominado operación igual respuesta, dirige a los

estudiantes a realizar el cálculo de la operación planteada y expresarlo después del signo

igual, promoviendo interpretaciones operacionales de este símbolo. Informan que los libros

analizados rara vez ofrecen tareas con operaciones a ambos lados del signo igual y que estas

tareas resultan ser las más efectivas para promover entendimientos relacionales de este signo,



11

más aún que aquellas que contienen operaciones solo del lado derecho del signo igual. Para

construir entendimientos relacionales del signo igual sugieren a los docentes complementar el

trabajo basado en los libros de texto con actividades que presenten el signo igual en contextos

no estándares.

Powell (2012) refuerza lo observado por McNeil et al. (2006). En su estudio analizó los libros

del alumno y los manuales de acompañamiento docente correspondientes a ocho currículos

norteamericanos de enseñanza primaria en sus seis niveles, observando la presencia de

ecuaciones estándares (correspondientes al formato a b = c) y no estándares (como por

ejemplo 3 = 8 − 5; 2 + 3 = 1 + 4; 9 − 3 = 6). Concluye que en siete de los ocho currículos no

se promueve que los estudiantes se enfrenten a trabajar con ecuaciones no estándares y

advierte que desde los currículos analizados se brindaron mínimas oportunidades para que los

estudiantes construyan significados relacionales del signo igual.

Si bien la mayor parte de estas investigaciones se han abocado principalmente a distinguir

entre interpretaciones relacionales u operacionales del signo igual, éstos no son los únicos

significados que se le atribuyen a este símbolo. Marta Molina realiza una investigación que

incluye el análisis de los usos del signo igual en libros de texto, en apuntes de clase y en las

producciones de estudiantes cuando trabajaban en contextos aritméticos y algebraicos. En su

tesis doctoral (Molina, 2006) propone una amplia categorización de los significados asociados

al signo igual en la que distingue catorce significados de este símbolo. En esta clasificación se

reconocen los significados operador, propuesta de actividad y equivalencia numérica, que han

sido ampliamente estudiados por la investigación, pero además permite reconocer otros usos y

significados del signo igual que han permanecido fuera del foco de atención de la mayor parte

de los estudios desarrollados en esta temática. En particular, este trabajo permitió a Burgell

(2012) identificar un conjunto de usos del signo igual en estudiantes que se encontraban a

punto de iniciar el trabajo con ecuaciones y analizar los significados asociados a ellos.

Múltiples estudios han dado cuenta que la problemática de la construcción de significados

relacionales del signo igual alcanza también a estudiantes de nivel secundario y terciario

(Kieran, 1981; Knuth et al., 2006; Burgell, 2012; Parodi, 2016; Weinberg, 2010); incluso se

han constatado dificultades en este sentido en futuros maestros y en profesores de enseñanza

secundaria (Stephens, 2006; Hartzler, 2013; Medina, 2016, Asquith et al., 2007, entre otros).



12

En Uruguay, Burgell (2012) realiza un estudio exploratorio sobre los significados que

atribuyen al signo igual treinta y seis estudiantes de primer año de enseñanza secundaria, con

edades que oscilan entre los doce y dieciséis años, a pocos meses de iniciar el trabajo

algebraico vinculado a la resolución de ecuaciones. Utilizando como marco teórico la

categorización propuesta por Molina (2006) reporta que la tercera parte de estos liceales

evidencian visiones exclusivamente operacionales del signo igual, asociando este signo con el

anuncio del “resultado de una operación”, con “una señal de hacer algo” o con “acciones a

realizar”. Con base en la apreciación de que existe una correspondencia entre el 8 y el 16, la

mitad de los estudiantes que participan de su estudio no logran identificar que 8 = 16 no es

una igualdad. Reporta de esta forma que el signo igual es visto por los liceales como el

indicador de cierta conexión o correspondencia y realizando una ampliación a esa categoría,

agrega este uso a los ya vinculados por Molina a este significado. Informa también que

muchos de los liceales no dan sentido a sentencias numéricas en las que no hay operaciones o

hay operaciones a ambos lados del signo igual. A través de un estudio de los libros de texto

usados por estos niños, pone en evidencia la ausencia de referencias explícitas a los

significados del signo igual y concluye que son mínimas las situaciones que favorecen

efectivamente el desarrollo de visiones relacionales de este signo. Advierte además que

muchos educadores desconocen la problemática que rodea al signo igual y que se evidencia

una baja valoración por parte del colectivo docente de la relevancia de promover la enseñanza

del signo igual.

Weinberg (2010) realiza una investigación con doscientos diez estudiantes universitarios con

al menos un curso aprobado de álgebra avanzado, buscando conocer sus interpretaciones del

signo igual y explorar cómo usan este símbolo para representar situaciones que involucran

comparación. Reporta que ciertas sentencias conformadas por cadena de igualdades (por

ejemplo 2 + 3 = 5 + 2 = 7) son percibidas como correctas por muchos estudiantes, aun cuando

presentan diferentes cantidades a un lado y otro del signo igual. Agrega que estos estudiantes

de nivel terciario visualizan al signo igual jugando diferentes roles en los diferentes

problemas y que atribuyen a este signo distintos significados de acuerdo al contexto en el que

se presenta, a la actividad matemática en la que participan y a las ideas que procuran

representar. Advierte que los estudiantes podrían usar el signo igual en maneras que pudieran

funcionar efectivamente en algún contexto de la resolución de problemas y que los docentes

podrían confundir esto con la construcción de significados relacionales del signo igual.



13

I.2.B Currículo actual para la enseñanza primaria en Uruguay

En el año 2000, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) a través de sus

Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares propone la enseñanza del álgebra

como uno de los cinco bloques de contenido a desarrollar en la escuela. Sugiere su abordaje

desde el nivel inicial, dando apoyo a las propuestas agrupadas bajo el nombre “Early

Algebra” que reclaman la necesidad de una reforma curricular en la enseñanza de la

aritmética, para que los conceptos y las destrezas de origen aritmético se coordinen con la

enseñanza del álgebra. Estas reformas proponen una introducción temprana al álgebra y el

trabajo con actividades que faciliten la transición entre aritmética y álgebra, haciendo énfasis

en las estructuras que subyacen a las operaciones aritméticas y en sus propiedades, y no tanto

en los aspectos vinculados a su cálculo (Molina, 2006), entendiendo que esto favorecerá el

desarrollo conceptual y la coherencia de la matemática desde los primeros cursos escolares.

El currículo que norma la enseñanza primaria en Uruguay sufrió sus últimas modificaciones

en el año 2008, momento en el que el álgebra tuvo su primera aparición en el programa

escolar uruguayo. Si bien hay un avance en relación a la edad de inicio del trabajo con el

álgebra respecto al currículo anterior, aún está muy alejado de las sugerencias internacionales

en lo relativo a su enfoque: la edad de inicio al álgebra se propone recién a los 9 años y no

hace énfasis en las estructuras y propiedades de las operaciones aritméticas.

El bloque de álgebra, que tradicionalmente quedaba restringido al trabajo a nivel de

enseñanza media, se introdujo por primera vez en este currículo proponiendo la

generalización de patrones y distintas situaciones de uso de la variable, sin que se hagan

referencias explícitas ni implícitas al signo igual. Los maestros debieron afrontar la

implementación del nuevo currículo con escasas sugerencias o pautas que proporcionen una

guía sobre los posibles abordajes; en el programa no se hace explícita la problemática que

rodea la construcción de significados del signo igual y están ausentes las orientaciones que

promueven la revisión de las prácticas docentes en relación a su enseñanza.

Los contenidos curriculares en el área de Matemática se agrupan en seis bloques temáticos

entre los que se incluye álgebra; estos bloques coinciden globalmente con los propuestos por

los Principios y Estándares para la Educación Matemática, aunque presenta de forma separada

las áreas Numeración y Operaciones. El currículo hace referencia por primera vez al concepto



14

de igualdad (en el área de matemática) al describir los contenidos que constituyen el bloque

Numeración, concretamente dentro del subtema Naturales, bajo el tópico el número como

cardinal y ordinal. Se presenta de forma explícita un abordaje secuencial de contenidos

referidos a la igualdad, que abarca desde el nivel 5 de preescolares hasta tercer año escolar.

No existen referencias explícitas a este concepto en los niveles posteriores, si bien el

programa establece que “los contenidos aparecen enunciados en forma explícita al inicio de

cada secuencia y se mantienen de manera implícita en los siguientes grados” (CEIP, 2008, p.

167). La secuencia temporal inicia abordando en nivel 5 la relación de orden: mayor, menor e

igual, aunque no se explicita si se propone la utilización de los símbolos matemáticos

correspondientes; en primer año se establece el trabajo con la relación de igualdad entre

cantidades; en segundo año se propone abordar la igualdad en las expresiones matemáticas;

y finalmente en tercer año se propone la comparación de igualdades.

Posteriormente, en el bloque referido a Operaciones aparecen referencias explícitas al signo

igual al proponer el abordaje de la representación simbólica: signos +; –; = en primer y

segundo año. En tercer año se propone el análisis del signo igual y finalmente en cuarto año

aparece el contenido “el análisis del uso del signo igual en la división con números

racionales” (CEIP, 2008, pp. 168-169), siendo estas las únicas referencias que brinda este

currículo en relación a este tema. Se observa que para interpretar la profundidad y alcance de

estos sintéticos lineamientos del programa escolar se requiere que el docente haya

desarrollado un amplio universo de conocimientos matemáticos vinculados a la enseñanza del

signo igual.



15

I.2.C Estudios sobre el conocimiento del profesor

a) Breve cronología

La necesidad de identificar el conocimiento necesario para enseñar matemática es uno de los

problemas que en los últimos treinta años ha despertado un creciente interés entre los

investigadores en Matemática Educativa. Esta línea de investigación pretende analizar la

naturaleza, características y profundidad de los conocimientos evidenciados o requeridos por

los docentes al desarrollar tareas vinculadas a la enseñanza de la matemática y cobra especial

relevancia cuando se considera la formación inicial y continua de maestros y profesores de

matemática.

Llinares (2008) propone una visión de la formación de profesores de matemática como un

ámbito en el que se aprende una práctica. Agrega que “al considerar la enseñanza de las

matemáticas como una práctica que tiene que ser comprendida y aprendida, podemos

identificar algunas tareas que la articulan y componentes del conocimiento profesional del

profesor que permiten realizarlas” (Llinares, 2008, p. 12).

Previo a la década del 80 la investigación referida al conocimiento del profesor reconocía la

existencia de dos entidades o formas aisladas de conocimiento: el conocimiento pedagógico y

el conocimiento del contenido. El conocimiento pedagógico reunía a los contenidos

enseñados en las asignaturas del área de educación, mientras que el conocimiento del

contenido agrupaba a aquellos conocimientos impartidos en los cursos destinados al

contenido específico. Esta dicotomía tomó un giro relevante a partir del trabajo de Shulman

(1986) en el que este investigador propone una categorización del conocimiento base para la

enseñanza en siete categorías: Conocimiento del Contenido, Conocimiento Pedagógico

General, Conocimiento del Currículo, Conocimiento Pedagógico del Contenido,

Conocimiento de los Estudiantes, Conocimiento del Contexto Educacional y Conocimiento de

los Fines, Propósitos y Valores Educacionales. La categoría Conocimiento Pedagógico del

Contenido, que es definida como “el conocimiento de la asignatura pertinente para el acto de

enseñar” (Shulman, 1986, p. 9), representó un avance importante en las concepciones del

conocimiento del profesor ya que integró las dos formas tradicionales de agrupar el

conocimiento del profesor: el conocimiento del contenido y el conocimiento pedagógico (Hill

y Ball, 2004).



16

A partir de esta propuesta de Shulman se desarrollaron en el campo de la Matemática

Educativa, un apreciable número de investigaciones sobre el conocimiento del profesor (Ball,

Hill y Bass, 2005; Godino, 2009; Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013; entre

otros) que varían en cuanto a los objetivos para los que se han desarrollado, al nivel educativo

al que están dirigidos e incluso en los marcos de referencia en los que están inmersos.

b) Conocimiento matemático para la enseñanza. El modelo MKT

Este estudio se interesó particularmente en considerar aquellos aportes dirigidos a profundizar

sobre el conocimiento matemático requerido para desarrollar las múltiples tareas que se

asocian a la enseñanza de la matemática. Entre los trabajos con estas características surge en

los años noventa una propuesta impulsada desde la Universidad de Michigan por Deborah

Ball y un grupo de colaboradores, que da inicio a un constructo denominado Conocimiento

Matemático para la Enseñanza. Un trabajo publicado por Ball en el año 2001 (Ball,

Lubienski y Mewborn, 2001) reúne los aportes del trabajo de Shulman (1986), Ma (1999) y

diversos estudios desarrollados por Ball y su equipo, consolidando y delimitando este

constructo. En trabajos posteriores Ball y varios investigadores (Ball y Bass, 2003; Ball, Hill

y Bass, 2005; Hill, Rowan y Ball, 2005; Hill, Sleep, Lewis y Ball, 2007) profundizaron

distintos aspectos abarcados por esta noción y ejemplifican las distintas áreas que lo

componen. En el año 2008 (en Hill, Ball y Schilling, 2008 y Ball, Thames y Phelps, 2008)

Ball y su equipo logran dar forma a un marco teórico para el estudio del conocimiento

matemático del profesor, que denominan Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT

por sus siglas en inglés correspondientes a Mathematical Knowledge for Teaching).

Este modelo descriptivo refina el esquema general de base propuesto por Shulman (1986,

1987), con el propósito de diferenciar los componentes del conocimiento del profesor de

matemática y orientar su formación inicial y continua. Según los propios autores y otros

investigadores en Matemática Educativa (por ejemplo: Flores, Escudero, y Carrillo, 2013;

Carreño y Climent, 2009; Hill, Ball y Schilling, 2008) el principal aporte de este constructo es

la consideración del subdominio Conocimiento Especializado del Contenido y actualmente se

destaca como un potente instrumento que permite analizar las prácticas profesionales.



17

El modelo MKT propone una categorización del conocimiento matemático vinculado a las

tareas de enseñanza en seis tipologías de conocimiento; tres subdominios derivados del

Conocimiento Didáctico del Contenido (Conocimiento del Contenido y los Estudiantes, el

Conocimiento del Contenido y su Enseñanza y el Conocimiento del Contenido y del

Currículo) y otros tres subdominios derivados del Conocimiento del Contenido

(Conocimiento Común del Contenido, el Conocimiento del Horizonte Matemático y el

Conocimiento Especializado del Contenido).

En relación a este modelo algunos investigadores (Silverman y Thompson, 2008; Mochón y

Morales, 2010, entre otros) reclaman que aún hay una compresión limitada de lo que es cada

subdominio, cómo puede reconocerse y cómo puede desarrollarse en la mente de los

profesores, señalando que las fronteras entre las componentes es difusa y que se relacionan

entre ellas. Por su reciente aparición y por la complejidad de la situación que modeliza, otros

investigadores consideran que “las categorías propuestas seguirán necesitando refinamiento y

revisión” (Ball et al., 2008, p. 404) y entienden que este proceso “permite que surjan grandes

ideas y modelos relacionados con el conocimiento profesional del profesor en el contexto de

la enseñanza de las matemáticas”. Actualmente el modelo Conocimiento Matemático para la

Enseñanza (MKT) actúa “como referencia para algunos investigadores que han seguido

profundizando en estas directrices” (Rojas, Flores, Carrillo, 2013, p. 49) y “ha sido adoptado

por muchos investigadores como un marco teórico para interpretar sus propios datos de clase,

y también como un lenguaje para articular sus hallazgos” (Rowland, 2014, p. 236).

c) Conocimiento matemático para la enseñanza en profesores formadores

Para el caso particular de los conocimientos requeridos por los Formadores de Profesores, es

muy poca la investigación que hay al respecto. Rojas y Deulofeu (2015, citando a Gómez,

2009) señalan que “el rol que le compete al formador de profesores, su conocimiento y

desarrollo profesional empieza ahora a explorarse de forma sustantiva” (p. 48).

Sánchez y García (2004) realizan aportes en dirección a establecer el conocimiento deseable

del formador de profesores de matemática, al definir tres dominios de conocimiento:

conocimiento base del profesor (por ejemplo, PCK: Shulman, 1987; MKT: Ball, Thames y

Phelps, 2008), conocimiento de las distintas formas de caracterizar el proceso de aprender a



18

enseñar matemáticas (en referencia al conocimiento de los distintos enfoques teóricos sobre

formación de profesores) y conocimiento del uso del contenido de un contexto de enseñanza

de las matemáticas (en referencia al conocimiento del formador que posibilita la generación

de representaciones didáctico-matemáticas propias y la elaboración de casos como

generadores de estas últimas).

d) Antecedentes en relación al conocimiento matemático necesario para la enseñanza del

signo igual

Como ya se señaló, el conocimiento del profesor es un factor determinante de sus prácticas de

aula (Borko y Putnam, 1996, citado por Asquith et al., 2007) y tiene implicaciones sobre lo

que sus estudiantes aprenden (Hill, Rowan y Ball, 2005). En los últimos tiempos se ha hecho

énfasis en que los docentes requieren conocer los entendimientos de sus estudiantes, sus

concepciones y sus errores conceptuales para actuar positivamente sobre sus aprendizajes. A

continuación se presentan algunos trabajos realizados con maestros en formación, maestros y

profesores de educación media, que informan sobre el estado del arte en relación al

conocimiento matemático para la enseñanza del signo igual.

d.1 Investigaciones cuya población de estudio fueron futuros maestros

Stephens (2006) realiza un estudio con treinta maestros en formación, indagando sus

opiniones sobre el trabajo de sus estudiantes al tratar con el signo igual y las ecuaciones. La

investigadora reporta que los docentes rara vez anticiparon que sus estudiantes seguramente

tendrían ideas erróneas sobre el signo igual y que difícilmente lograron anticipar las

dificultades asociadas a tareas que involucran a este signo. Agrega que más de la mitad de

estos estudiantes presentaron dificultades al tratar de explicar los pensamientos subyacentes

en las producciones incorrectas de los escolares cuando estos daban solución a tareas que

involucran al signo igual y señala que los futuros maestros atribuyen los errores de los niños a

olvidos o distracciones. Indica que menos de la cuarta parte de estos futuros maestros propone

como causa de los errores observados en las tareas la existencia de un concepto erróneo o

incompleto del signo igual. Informa además que solo el 30% de los estudiantes entrevistados

es capaz de anticipar respuestas de alumnos basadas en ambas visiones (operacionales o



19

relacionales) del signo igual, y que la mayor parte de los fututos docentes no son capaces de

considerar respuestas alternativas a su propia visión de este signo. Stephens advierte de una

predisposición a creer que si los escolares son bien enseñados no tendrán ideas falsas y una

baja valoración de la relevancia del trabajo con estas estrategias en la clase. Sugiere que existe

poca valorización del trabajo con la equivalencia en los primeros grados de primaria y

advierte que existe entre estos futuros maestros una falta de comprensión de la equivalencia

como concepto fundamental del álgebra. Atribuye estas conductas a la falta de énfasis en la

equivalencia y en la promoción del pensamiento relacional otorgado en la formación inicial de

maestros, agregando que los noveles maestros no estaban advertidos de las diferentes visiones

del signo igual.

Hartzler (2013) realiza un estudio con 268 futuros maestros en tres etapas de su formación

inicial, procurando conocer los entendimientos del signo igual que habían desarrollado

transversalmente los futuros maestros en diferentes etapas de su formación y establecer la

relación entre sus entendimientos del signo igual y su conocimiento matemático para la

enseñanza. La investigadora utiliza un cuestionario para medir los entendimientos del signo

igual y un instrumento para medir el MKT de los futuros maestros, y concluye que hay

evidencia estadísticamente significativa que sugiere una correlación positiva entre estas dos

medidas y una fuerte correlación entre el entendimiento del signo igual y su nivel de

confianza al enseñar matemática. Por otra parte, señala que la mezcla de entendimientos

relacionales y operacionales del signo igual, tanto a nivel colectivo como individual, excedió

ampliamente lo esperado por ella para este nivel educativo. Casi la mitad de los estudiantes

evidenciaron tener una mezcla de entendimientos del signo igual (que la investigadora

denominó como interpretación relacional con cómputo) que les permitió resolver

correctamente una serie de tareas por medio de cálculos sin poner en juego necesariamente

propiedades de la equivalencia características de las visiones netamente relacionales. En su

trabajo destaca la necesidad de que aquellos involucrados en la formación de maestros,

realicen esfuerzos para crear oportunidades que permitan que todos los docentes en formación

puedan desarrollar una sólida comprensión del signo igual.

Medina (2016) realiza un estudio exploratorio con treinta y dos estudiantes que cursaban su

último año de formación para maestros. Mediante un estudio de casos se evidenció la

coexistencia a nivel individual de múltiples significados del signo igual y una débil visión de



20

este símbolo como representante de la igualdad. Al enfrentar tareas sencillas del ámbito

escolar que involucraron a este símbolo, las interpretaciones operacionales del signo igual se

asociaron a inseguridad e incapacidad para dar solución a las tareas propuestas, inoperancia

para anticipar respuestas que podrían dar los niños e incapacidad para corregir producciones

realizadas por escolares. Esta investigación sugiere que los distintos significados del signo

igual difícilmente logran ser puestos en juego simultáneamente por los estudiantes cuando

enfrentan una tarea, aun cuando esta admita diferentes respuestas asociadas a distintos

significado del signo igual. Este estudio evidenció la existencia de estrategias para resolver

tareas como __+ 3 = 11 + 5 sin abandonar las visiones operacionales del signo de igual.

Relata que una estudiante habitúa realizar en primer lugar y de ser posible, todas las

operaciones que estén indicadas y posteriormente se dedica a resolver la situación resultante.

Esta estrategia le permite dar respuestas correctas a tareas no estándares con operaciones a

ambos lados del signo igual, manteniendo un formato “operación = respuesta”. Evidenció que

algunos futuros maestros utilizan el signo igual para vincular por ejemplo 5 y 100% bajo el

entendido que el 5 representa cierta totalidad; asimismo constató que más de la mitad de este

grupo de estudiantes acepta el uso del signo igual para vincular un número con un conjunto

numérico al cual pertenece, aceptando por ejemplo que 1/3 = Q, siendo Q el conjunto de los

números racionales. Este estudio sugiere que estos usos, coherentes con una visión del signo

igual como indicador de cierta conexión o correspondencia, podrían estar asociados a vincular

el signo igual con la palabra “es” y observa que en la investigación bibliográfica realizada no

se encontraron investigaciones que aporten información sobre la presencia de estos usos en la

escuela ni sobre sus consecuencias educativas.

d.2 Investigaciones cuya población de estudio fueron profesores en ejercicio

Asquith et al. (2007) realizan un estudio comparativo que incluyó a veinte profesores de

enseñanza media y a sus estudiantes, observando la correspondencia entre los juicios de los

docentes y la comprensión de los estudiantes en relación al signo igual y al concepto de

variable. Informan que si bien la mayoría de los profesores dicen conocer que algunos de sus

estudiantes podría pensar en el signo igual como anticipo para “dar una respuesta”, la

extensión de este error conceptual no fue anticipada adecuadamente por estos profesores. Al

igual que Stephen (2006) advierten una sobreestimación por parte de los docentes de la

construcción de visiones relacionales del signo igual por parte de sus estudiantes. Agregan



21

que estos docentes no consideraron que mantener una visión operacional del signo igual podía

obstaculizar el rendimiento de sus alumnos. También observan que los alumnos emplearon un

abanico de estrategias de resolución, muchas de ellas basadas en concepciones relacionales

del signo igual que excedieron las previsiones de sus docentes y que pocos profesores logran

reconocer la equivalencia como posible estrategia al alcance de los estudiantes para resolver

esta tarea. Los autores sugieren una falta de entendimiento de la matemática involucrada en

estas tareas por parte de los docentes.

d.3 Investigaciones cuya población de estudio fueron maestros en ejercicio

Parslow-Williams y Cockburn (2008) a través de su informe reportan que un grupo de

maestros en ejercicio “no habían percibido el aparentemente inocente signo ‘=’ como un

problema” (p. 29), poniendo en evidencia la falta de conciencia de la problemática que rodea

a la construcción de los significados de este signo en ese colectivo docente. Agregan que

algunos maestros reconocieron el mal uso del signo igual por parte de ellos mismos en el aula,

por ejemplo al mostrar a sus alumnos estrategias de partición para efectuar cálculos como el

siguiente: 45 + 22 = 40 + 20 = 60 + 5 = 65 + 2 = 67. Los autores advierten que la visión

operacional del signo igual, asociada al uso de cadena de igualdades, podría convivir con

muchos de los maestros de escuela primaria.

Trivilin y Ribeiro (2015) reportan una investigación (Trivilin, 2013) que exploró bajo la

perspectiva de Shulman (1986, 1987) los conocimientos para enseñar los diferentes

significados del signo igual desarrollados por un grupo de maestros de educación primaria. A

través de cuestionarios, análisis de documentos y una dinámica de interacción colectiva,

buscó comprender múltiples aspectos del conocimiento del profesor: el conocimiento

específico del contenido (particularmente buscó identificar lo que los profesores declaran

saber sobre los diferentes significados del signo de igualdad); el conocimiento pedagógico del

contenido (el estudio se enfocó en las interacciones sociales que tenían lugar) y el

conocimiento curricular de los maestros.

Este estudio reveló que los niveles de conocimiento de los maestros sobre los diferentes

significados del signo igual son muy diferentes y relativamente limitados. Algunos profesores



22

identificaron los significados del signo igual puestos en juego en las actividades propuestas,

mientras que otros no identificaron que el objetivo de la actividad propuesta a los alumnos era

discutir los diferentes significados del signo de igualdad. Trivilin y Ribeiro observan que “la

mayor parte de las veces los profesores indicaban conocer solamente el significado

operacional del signo igual” (2015, p. 49) y que muchas veces tuvieron dificultades para

identificar los significados que el signo igual cobraba en los distintos contextos. En relación al

conocimiento específico del contenido, concluyen que a nivel global se evidenciaron

conocimientos limitados para reconocer diferentes significados matemáticos de este signo y

percibir en el currículo las implicaciones de la enseñanza de sus diferentes significados y

sugieren una falta de un desarrollo conceptual sobre la matemática involucrada por parte de

los docentes.

Todos los maestros participantes de ese estudio declararon desconocer la existencia de

expectativas de aprendizaje en relación a los diferentes significados del signo igual en el ciclo

escolar posterior al que dictaban o haber reflexionado sobre el hecho de que el signo igual

podía asumir diferentes significados; previo a su participación en ese estudio tampoco habían

ponderado la importancia de que los alumnos se apropiaran de ese conocimiento. El

conocimiento curricular de los docentes participantes pareció quedar circunscrito al programa

de enseñanza que se encuentra directamente bajo su responsabilidad y los investigadores

sugieren incluir expectativas de aprendizaje sobre los diferentes significados del signo de

igualdad en los programas curriculares para suscitar reflexiones en el colectivo docente.

Meyer (2016) realiza un estudio mixto en el que participan once maestros de enseñanza

primaria y sus estudiantes. Buscó establecer si existe una relación entre el conocimiento

especializado del contenido en relación al signo igual (en el sentido dado por Ball, Thames y

Phelps, 2008) desarrollado por los maestros y los conceptos erróneos de sus estudiantes.

Utilizó cuestionarios, análisis de clases y entrevistas grupales e individuales, invitando a los

docentes a identificar errores o conceptos erróneos en los trabajos de los estudiantes, y

consultándolos sobre cómo evitar y cómo superar los conceptos erróneos identificados.

Informa que aunque todos los profesores de esta escuela parecían ser implícitamente

conscientes de que el signo igual es un símbolo relacional, no estaban conscientes de su

importancia como un concepto que más tarde podría afectar el rendimiento de los alumnos en

álgebra. Estos maestros carecieron de habilidades para identificar si la respuesta de los



23

alumnos contenía un error o un concepto erróneo, revelando carencias en el conocimiento

especializado del contenido con respecto a la identificación de errores o conceptos erróneos,

bajas habilidades para la corrección del error y falta de estrategias sobre cómo lidiar con

conceptos erróneos. Informan que los maestros en esta escuela en particular necesitan

especialmente desarrollar los conocimientos matemáticos para la enseñanza del signo igual

vinculados a los subdominios CCK, SCK y HCK.

I.2.D Síntesis y delimitación del problema de investigación

Una gran cantidad de estudios dan cuenta de las dificultades asociadas a las interpretaciones

del signo igual en múltiples niveles educativos y llevan a apreciar que las interpretaciones

operacionales del signo igual no son abandonadas espontáneamente por el solo hecho de

acumular años de estudio. Medina (2016) advierte que las visiones operacionales persisten en

estudiantes que están a punto de egresar como maestros y los lleva a dar respuestas erróneas a

tareas sencillas de nivel escolar, los inhabilita para corregir tareas de escolares y los deja sin

herramientas para anticipar o explicar sus errores.

Teniendo en cuenta que Hartzler (2013) reclama que aquellos involucrados en la formación de

maestros realicen esfuerzos para crear oportunidades que permitan que todos los futuros

maestros desarrollen una sólida comprensión del signo igual y considerando además que los

maestros formadores de maestros ocupan un lugar protagónico en la formación inicial

docente, esta investigación se interesa por conocer particularmente el conocimiento

matemático para la enseñanza del signo igual que circula entre los maestros formadores. En el

sistema educativo uruguayo dos figuras resultan relevantes en este sentido: los maestros

adscriptores y los maestros directores de escuelas de práctica.

En el entendido que los significados relacionales del signo igual son componentes

fundamentales del conocimiento del profesor para desarrollar las diferentes prácticas que se

vinculan a su enseñanza, cabe cuestionarse si los maestros que enseñan actualmente en las

escuelas uruguayas y particularmente los maestros que intervienen en la formación de futuros

maestros han desarrollado las visiones relacionales pretendidas para los escolares.



24

Son escasas las investigaciones que en relación a los significados del signo igual, toman como

población de estudio a maestros o profesores y es nula la información encontrada en este

sentido que involucra a maestros formadores. En la revisión de literatura realizada se encontró

que el estudio reportado por Trivilin y Ribeiro (2015) involucra aspectos vinculados a los

significados atribuidos al signo igual por maestros en ejercicio. Considerando que los

investigadores reportan que algunos de los maestros que participaron de su estudio evidencian

conocer solamente el significado operacional del signo igual y que el estudio mencionado no

tuvo por objetivo principal explorar los significados de estos maestros, se entiende relevante

conocer qué interpretaciones atribuyen al signo igual un grupo de maestros uruguayos.

Asimismo este trabajo se interesa por explorar si estos maestros son conscientes de la

importancia de que los alumnos construyan interpretaciones relacionales del signo igual y si

tienen conciencia de que el signo igual asume diferentes significados según el contexto en el

que se utilice.

Teniendo en cuenta, además, que el sistema educativo uruguayo asume que los maestros han

desarrollado los conocimientos necesarios para interpretar todo lo que se esconde tras los

sintéticos lineamientos que establece el programa escolar en relación al signo igual, se

considera relevante indagar de forma amplia sobre los conocimientos matemáticos para la

enseñanza desarrollados por un grupo de maestros experimentados en relación a esta temática.

Observar el conocimiento matemático para la enseñanza que han desarrollado un grupo de

maestros experimentados de enseñanza primaria, permitirá tener un punto de referencia en

relación a la situación global de los maestros uruguayos. Por otra parte, se aprecia que tomar

como población de estudio específicamente un grupo de maestros formadores, permite

identificar al mismo tiempo algunos de los conocimientos matemáticos para la enseñanza que

alimentan los saberes que los futuros maestros construyen en el ámbito de la práctica docente,

recabando información valiosa para promover mejoras en la formación inicial de nuevos

maestros.

Teniendo en cuenta que Meyer (2016) utilizó el modelo MKT para observar específicamente

algunos conocimientos matemáticos para la enseñanza del signo igual desarrollados por

maestros en ejercicio sin analizar las interacciones que se dan entre ellos y considerando que

algunos investigadores dan cuenta que conocimientos de algunos subdominios se entrelazan

otros conocimientos provenientes de otros subdominios, este trabajo se propone explorar las

posibles interacciones entre los distintos conocimientos del profesor cuando estos toman



25

decisiones vinculadas a la enseñanza del signo igual. Se aprecia que esta visión global de la

situación permitirá identificar los conocimientos que es necesario reforzar en este grupo de

maestros y planificar intervenciones en distintas esferas (maestros adscriptores, maestros,

futuros maestros) que atiendan a mejorar los conocimientos matemáticos del signo igual.

En síntesis esta investigación se propone conocer los usos que admiten del signo igual e

interpretar los significados que vinculan a este signo quienes actúan como tutores y mentores

del proceso de práctica de aula. También se interesa por conocer qué conocimientos

matemáticos son puestos en juego cuando estos maestros desarrollan tareas propias de su

labor.

El modelo Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT), propuesto por Ball, Thames

y Phelps (2008), se aprecia como una herramienta apropiada para guiar esta exploración,

entendiendo que permitirá no solo identificar algunos de estos conocimientos haciéndolos

explícitos y visibles para la comunidad educativa involucrada, sino además, se entiende que

permitirá explorar las interrelaciones que podrían darse entre conocimientos de distintos

subdominios.

Se aprecia que la identificación de estos conocimientos es un paso necesario para iniciar un

proceso de mejora en la formación inicial y continua de maestros respecto a la temática

abordada. Cabe agregar que el interés de este trabajo radica en conocer lo que Sánchez y

García (2004) denominan conocimiento base del profesor y no se pretende profundizar en los

conocimientos específicos de los docentes formadores. En este sentido, se entiende que este

trabajo podrá ser tomado como contribución para conocer los conocimientos base de los

maestros formadores que participan de este estudio.

Teniendo en cuenta que los conocimientos matemáticos para la enseñanza serán movilizados

cuando los maestros desarrollen una tarea vinculada a la enseñanza de este símbolo, se

entiende pertinente explorar los conocimientos en acción, seleccionando un conjunto de

prácticas e identificando los conocimientos matemáticos en relación al signo igual que son

puestos en juego cuando este grupo de maestros desarrollan cada una de ellas.

El conjunto de prácticas considerado es el siguiente:

Completar sentencias no estándares que involucran al signo igual.



26

Corregir producciones escritas de escolares al realizar tareas que involucran al signo

igual (en este punto se incluye (a) identificar los errores en las producciones de los

escolares y (b) realizar recomendaciones escritas a partir de interpretar sus

producciones).

Definir el signo igual y ejemplificar sus usos escolares.

Identificar dificultades en el aprendizaje de este símbolo.

Evaluar tareas que involucran al signo igual con vistas de su implementación en el

aula.

Anticipar respuestas de escolares frente a tareas que involucran al signo igual.

Se considera que este conjunto de prácticas permitirá construir un panorama global de cuáles

son los conocimientos matemáticos para la enseñanza que han logrado desarrollar este grupo

de maestros, cuáles son los subdominios del MKT que participan en cada una de ellas y

establecer posibles vínculos entre estos subdominios. Cabe aclarar que este listado de

prácticas no pretende abarcar todas las prácticas que el docente desarrolla, por el contrario,

pretende solo dar un primer paso hacia la consideración de las prácticas docentes como

vehículo para analizar y potenciar los conocimientos matemáticos para la enseñanza de los

maestros y futuros maestros.

En relación al interés de este trabajo por conocer los significados que atribuyen los maestros

al signo igual y considerando que la categorización propuesta por Molina (2006) resultó

apropiada para identificar nuevos usos de este símbolo en los trabajos de Burgell (2012) y

Parodi (2016), se considera apropiado elegir esta categorización como parte del marco teórico

de esta investigación.

Finalmente, se entiende que se ha logrado un gran avance desde que Shulman invitó a la

comunidad de investigadores a ocuparse de caracterizar y hacer explícitos los conocimientos

necesarios para enseñar matemática, pero es evidente que aún falta mucho camino por

recorrer en este sentido. Este trabajo busca, como otros tantos (Danisman y Tanisli, 2017; van

den Kieboom, 2013; Hatisaru, 2013; Herbst y Kosko, 2014; Gómez, Batanero y Contreras,

2014; entre otros) contribuir a esta causa, poniendo en acción un modelo vivo como el

propuesto por Ball para apropiarse de él, para dialogar con él y repensarlo desde el contenido

particular que se aborda en este estudio. Sin duda cada temática tendrá sus particularidades,

pero se aprecia que son necesarios estudios de esta índole para alimentar la construcción de un



27

modelo teórico que permita hacer explícitos los saberes matemáticos que pone en juego un

docente en sus prácticas de enseñanza.

I.3 Formulación de objetivos

I.3.A Objetivo general de la investigación

Identificar conocimientos matemáticos puestos en juego por maestros de enseñanza

primaria al desarrollar un conjunto de prácticas relacionadas a la enseñanza del signo

igual y explorar posibles interrelaciones entre los subdominios del Conocimiento

Matemático para la Enseñanza (MKT).

I.3.B Objetivos específicos de la investigación

Identificar usos y significados del signo igual que evidencian atribuir un grupo de

maestros formadores y los conocimientos que evidencian poner en juego cuando

realizan un conjunto de prácticas vinculadas a la enseñanza del signo igual.

Identificar los subdominios del MKT que son movilizados por un grupo de maestros al

realizar una serie de prácticas vinculadas a la enseñanza del signo igual e indagar los

posibles vínculos entre estos subdominios.



28

Capítulo II: Marco teórico

En esta sección se presentará inicialmente una breve introducción fundamentando el modelo

teórico elegido para identificar los conocimientos matemáticos puestos en juego por los

docentes al realizar las prácticas mencionadas. Posteriormente, se desarrollará este modelo

describiendo los subdominios que lo componen. Finalmente, se ubicará el contexto en el que

surge la caracterización de los usos y significados del signo igual que se toma en este trabajo

y se definirán las categorías utilizadas para interpretar los usos y significados atribuidos a este

signo por los maestros participantes de esta investigación.

II.1 Modelo MKT

Para identificar y clasificar el conocimiento matemático requerido por los maestros para

promover usos relacionales del signo igual en los escolares, se utiliza el modelo propuesto por

Ball, Thames y Phelps (2008) denominado Conocimiento Matemático para la Enseñanza

(MKT). Hill, Ball y Schilling (2008) conceptualizan la noción de conocimiento matemático

para la enseñanza como “el conocimiento matemático que los profesores utilizan en el aula

para producir aprendizaje y crecimiento en los alumnos” (p. 374).

Ball y sus colaboradores (Ball et al., 2008; Hill et al., 2008) plantean el modelo MKT

distinguiendo dos grandes dominios del conocimiento: el Conocimiento Didáctico del

Contenido (PCK, del inglés Pedagogical Content Knowledge) que integra simultáneamente

las ideas importantes de la materia con la manera en la que los estudiantes las aprenden (Ball

et al., 2008) y el Conocimiento del Contenido (SMK, del inglés Subject Matter Knowledge)

que incluye los conocimientos de la matemática misma que son puestos en juego al enseñar

matemática. Según los autores, la combinación de ambos define los conocimientos necesarios

para la enseñanza de la matemática.

Cada uno de estos dos dominios, es subdividido en tres subdominios específicos del

conocimiento (Ball et al., 2008; Hill et al., 2008). El Conocimiento Didáctico del Contenido

se subdivide en: Conocimiento del Contenido y los Estudiantes, Conocimiento del Contenido



29

y la Enseñanza y el Conocimiento del Contenido y el Currículo. Por otra parte, el

Conocimiento del Contenido se subdivide en los siguientes subdominios: Conocimiento

Común del Contenido, Conocimiento Especializado del Contenido y Conocimiento del

Horizonte Matemático.

El siguiente diagrama continuación presentado en Ball et al. (2008) y Hill et al. (2008)

sintetiza los subdominios del conocimiento matemático para la enseñanza:

Figura 1: Dominios del Conocimiento Matemático para la Enseñanza

(Ilustración propia que traduce al español el diagrama presentado en Ball et al., 2008, p. 403).

A continuación se presenta una descripción detallada de cada uno de ellos.

Conocimiento del Contenido y los Estudiantes (KCS del inglés, Knowledge of Content and

Students)

Es definido por Hill y colaboradores como el “conocimiento del contenido que se entrelaza

con el conocimiento de cómo piensan, saben o aprenden los estudiantes un contenido

particular” (2008, p. 375). También es definido como el “conocimiento que combina los

saberes acerca de los estudiantes y los saberes acerca de la matemática” (Ball et al., 2008, p.

401) y en este subdominio se incluye conocer cuáles podrían ser los errores más frecuentes de

los estudiantes al realizar cierta tarea, conocer las dificultades que se les presentará a los

estudiantes de cierto nivel educativo al resolver cierta tarea, predecir dónde podrían



30

confundirse o estancarse los estudiantes al realizar una tarea específica, anticipar las preguntas

que podrían plantear o conocer la motivación o intereses de los estudiantes respecto a abordar

ciertos contenidos matemáticos. Dado que este subdominio se deriva del propuesto por

Shulman (1986), Hill et al. (2008) acotan que este incluye conocer las concepciones e ideas

previas que los estudiantes de diferentes edades y orígenes podrían traen consigo al aprender

ciertos temas, centrándose en la comprensión de los maestros sobre cómo los estudiantes

aprenden un contenido particular (Hill et al., 2008).

Conocimiento del Contenido y la Enseñanza (KCT, Knowledge of Content and Teaching)

Es definido como “el conocimiento que combina los saberes sobre la enseñanza con los

saberes sobre la matemática” (Ball et al., 2008, p. 401). Según estos autores este subdominio

incluye saber construir procesos pertinentes para tratar y corregir los errores y concepciones

erróneas de los estudiantes a partir de entender el razonamiento de los estudiantes y las

estrategias que utilizan. Este conocimiento se utiliza, por ejemplo, al decidir la secuencia de

las tareas, elegir ejemplos para introducir o profundizar sobre un tema, evaluar cuáles son las

representaciones más adecuadas para promover cierta idea o identificar los distintos métodos

y procedimientos que potencian cierto aprendizaje. En cada una de estas tareas se “requiere

una interacción entre el conocimiento matemático específico y la comprensión de cuestiones

pedagógicas que afectan al aprendizaje de los estudiantes” (Ball et al., 2008, p. 401), además

de involucrar cierta coordinación entre las matemáticas que se ponen en juego y los objetivos

de enseñanza (Ball et al., 2008).

Conocimiento del Contenido y el Currículo (KCC, Knowledge of Content and Curriculum)

Hace referencia al conocimiento de los planes de estudio, a los objetivos, contenidos, fines y

orientaciones del currículo. También incluye el conocimiento de la variedad de materiales y

recursos educativos disponibles en relación con los programas (Ball et al., 2008).

Conocimiento Común del Contenido (CCK, del inglés Common Content Knowledge)

Es descrito como el “conocimiento matemático y habilidades que se emplean en situaciones

que no son exclusivas de la enseñanza” (Ball et al., 2008, p. 399), entendiéndose como el

conocimiento matemático que posee cualquier persona instruida del nivel correspondiente al



31

que se esté analizando, no siendo un conocimiento exclusivo de los profesores de matemática.

Este subdominio da cuenta también del saber hacer e incluye el conocimiento que el profesor

pone en juego al resolver problemas matemáticos, operar y aplicar definiciones y propiedades

(Ball et al., 2008).

Conocimiento Especializado del Contenido (SCK, Specialized Content Knowledge)

Es definido como el “conocimiento matemático y habilidad exclusiva para la enseñanza”

(Ball et al., 2008, pp. 400-401). Sus conocimientos exceden lo que se espera de un adulto bien

educado (Ball et al., 2008) y permiten a los docentes participar en tareas específicas de su

profesión. Entre los conocimientos de este subdominio se incluye saber por qué las reglas o

procedimientos matemáticos funcionan y evaluar si un algoritmo no estándar es

matemáticamente correcto. Este conocimiento es puesto en juego, por ejemplo, cuando el

docente representa ideas matemáticas, proporciona explicaciones matemáticas para reglas y

procedimientos, examina y comprende los métodos de solución inusual para cierto problema

(Ball et al., 2008). En contraste con el conocimiento de contenido pedagógico, el SCK no

implica saber sobre los estudiantes y su forma de pensar o sobre el diseño pedagógico; es de

naturaleza matemáticamente reconocible aunque surge y es distintivo del trabajo de

enseñanza. Ball et al. (2008) señalan que reconocer que una respuesta es incorrecta es un

conocimiento común del contenido (CCK), mientras que formarse un juicio de un error,

especialmente si es desconocido, por lo general requiere agilidad en el pensamiento sobre

números, atención a patrones y pensamiento flexible sobre el significado, en formas que son

distintivas del conocimiento especializado del contenido (SCK). Por el contrario, la

familiaridad con errores comunes y decidir cuál de varios errores son más propensos a hacer

los estudiantes, son ejemplos de conocimientos vinculados al subdominio conocimiento del

contenido y los estudiantes (KCS).

Conocimiento del Horizonte Matemático (HCK, del inglés Horizon Content Knowledge)

Es definido por Ball el al. (2008) como un tipo de visión periférica que es requerida en la

enseñanza, señalando que se refiere al conocimiento que tiene el docente sobre cómo están

relacionados los tópicos matemáticos incluidos en el currículo. Ball y Bass (2009) señalan que

implica un sentido de cómo la matemática que se pone en juego en la enseñanza se relaciona

con otros y que hace referencia a la toma de conciencia del gran paisaje matemático en el que

la experiencia y la instrucción están situadas. Zasquiz y Mamolo (2012) lo señalan como una



32

perspectiva avanzada sobre el conocimiento elemental, describiéndolo como un conocimiento

matemático avanzado en términos de conceptos (horizonte interno), conexiones entre

conceptos (horizonte externo), y las principales ideas y estructuras disciplinarias (horizonte)

aplicado a las ideas abordadas en la escuela. Este conocimiento incluye un conocimiento

explícito de las formas y las herramientas que son propias de la disciplina, los tipos de

conocimiento y sus garantías, de dónde provienen las ideas y cómo se establece la validez de

las mismas. También incluye la conciencia de las orientaciones y valores disciplinarios

centrales y de la mayor o menor importancia de las estructuras dentro de la disciplina.

Jakobsen, Thames y Ribeiro, (2013) señalan que un conocimientos del subdominio HCK no

es un conocimiento común ni es un conocimiento especializado y que tampoco se trata de una

progresión curricular; señalan que se basa en un sentido amplio del entorno matemático de la

disciplina que está siendo enseñada.

II.2 Definición de conocimiento adoptada para este estudio

Se considera necesario hacer explícito qué se entiende por el término conocimiento en este

trabajo. Para ello, se elige tomar la definición propuesta por Rómulo Campos Lins (1994) que

conceptualiza el conocimiento como un par: una creencia-afirmación junto con una

justificación. Este investigador señala la importancia de conocer por qué los alumnos realizan

una afirmación, pues la justificación en que se basa tal afirmación constituye la base sobre la

que se ha producido este conocimiento; indica que conocer cuál es la justificación que el

alumno atribuye a su creencia-afirmación es parte fundamental de conocer el conocimiento de

los alumnos y que esto es necesario para que el docente acceda a la posibilidad de interactuar

positivamente con ellos.

Campos Lins (1994) señala que esta concepción del conocimiento permite entender el

concepto de significado y define significado como “la relación entre una creencia-afirmación

y una justificación, que tiene lugar en la enunciación de un conocimiento” (p. 48). Indica que

el significado está asociado a lo que el individuo cree que es posible hacer o decir y agrega

que esta es la manera en que se constituyen los objetos.



33

II.3 Usos y significados del signo igual

Considerando que esta investigación estudia los conocimientos matemáticos que un grupo de

maestros formadores ha desarrollado respecto a la enseñanza del signo igual y en vista de las

dificultades específicas que se asocian a la construcción de significados asociados a este

símbolo matemático, se consideró pertinente tomar como parte del marco teórico una

categorización de los significados del signo igual que fuera a la vez amplia y adaptable al

contexto escolar en que se aplicaría. La categorización propuesta por Molina (2006)

desarrollada a partir de diferentes fuentes (observación de trabajos de estudiantes, apuntes de

clase y libros de texto) a nivel de enseñanza primaria y que reúne un conjunto detallado de

usos y significados asociados a este signo en contextos aritméticos y algebraicos, se aprecia la

mejor opción a considerar para este trabajo.

Molina propone una categorización que incluye once categorías, una de ellas (Expresión de

una equivalencia) es particularizada por la autora en cuatro acepciones diferentes. Las

categorías propuestas (2006, pp. 148–152) son:

1) Propuesta de actividad. Este significado se refiere al uso del signo igual en

expresiones incompletas que contienen una cadena de números y/o símbolos

encadenados con símbolos operacionales, seguida del signo igual (Ejemplo:

16 ÷ 3 = ; x(x + 1) – 3x(x + 5)= ). Este tipo de expresiones se utilizan en actividades

de cálculo de operaciones o simplificación de expresiones para proponer al alumno

una actividad a realizar, o más concretamente un cálculo o la reducción de una

expresión, que no necesariamente ha de abordarse en el formato de una igualdad.

2) Operador. Este significado hace referencia al uso del signo igual como un símbolo

que separa una cadena o secuencia de operaciones, que se sitúan a la izquierda del

signo igual, y su resultado, que se dispone a la derecha inmediato al signo igual

(Ejemplo: 12 + 12 = 24; x(x – 2) + 3x2

= 4x2

– 2x). Con este significado, en ocasiones

este símbolo es usado de formas que violan las propiedades transitiva y simétrica de la

igualdad, encadenándose operaciones de izquierda a derecha, dando lugar a

expresiones matemáticamente incorrectas. En este uso del signo igual, la sentencia no

está siendo considerada como una totalidad sino como una secuencia unidireccional de

izquierda a derecha (Ejemplo: 12 + 3 = 15 + 21 = 36).



34

3) Separador. Significado atribuido por los estudiantes en contextos algebraicos para

separar los pasos realizados en la resolución de una actividad. El signo igual relaciona

expresiones algebraicas que en el contexto considerado pueden o no tener relación

alguna, siendo pasos sucesivos en la resolución de la actividad en cuestión (Ejemplo:

f(x) = x2 = f

2(x) = x

4).

4) Expresión de una acción. El signo igual es usado como símbolo que separa una

cadena o secuencia de operaciones y su resultado, pudiéndose disponer ambos tanto a

izquierda como a derecha del signo igual (Ejemplo: 24 = 12 + 12). Extiende el

significado de operador, al reconocer la propiedad simétrica de la igualdad.

5) Expresión de una equivalencia condicional (ecuación). Este significado lo

encontramos en el contexto del álgebra, en situaciones en las que el signo igual

expresa una equivalencia solo cierta para algún o algunos valores de la/s variable/s,

pudiendo no existir ninguno (Ejemplo: x2 + 3x = x + 1; sen (3x) = 0).

6) Expresión de una equivalencia. Cuando el signo igual indica que las expresiones que

se disponen a ambos lados se refieren al mismo objeto matemático. Este significado se

particulariza en cuatro acepciones diferentes según el tipo de expresiones que

compongan ambos miembros:

1) Equivalencia numérica. Cuando las expresiones en ambos miembros tienen un

mismo valor numérico, es decir, representan a un mismo número (Ejemplo:

4 + 5 = 3 + 6; 32 = 12 ; sen (/2) = 1).

2) Equivalencia simbólica. Cuando las expresiones algebraicas de ambos

miembros tienen el mismo valor numérico para cualquier valor que tomen la/s

variable/s. Un caso particular tiene lugar cuando la igualdad expresa una

propiedad matemática (Ejemplo: a + b = b + a).

3) Identidad estricta. Significado restringido a expresiones donde los dos

miembros representan el mismo objeto matemático usando el mismo

representante (Ejemplo: 3 = 3; a + b = a + b). Este caso está incluido dentro de

las acepciones anteriores.

4) Equivalencia por definición o por notación. Este uso indica la equivalencia de

dos expresiones numéricas o algebraicas por definición o por equivalencia del

significado de la notación utilizada (Ejemplo: Si se considera la fracción como

cociente entendemos que 5/75

7 ).



35

7) Definición de un objeto matemático. En este caso el signo igual se utiliza para definir

o asignar un nombre a un objeto matemático (Ejemplo: f(x) = 3x + 2; sen () = cateto

opuesto a / hipotenusa).

8) Expresión de una relación funcional o de dependencia. Este significado del signo

igual se refiere al uso de este símbolo para indicar cierta relación de dependencia entre

variables o parámetros. Por ejemplo en fórmulas del área de figuras geométricas

(Ejemplo: A = r2).

9) Indicador de cierta conexión o correspondencia. Este significado impreciso del signo

igual hace referencia a su uso entre objetos no matemáticos o de distinta naturaleza,

como por ejemplo entre imágenes o figuras y números, (Ejemplo: Pedro = 12 años;

= 3; precio bici = 3x + 5 siendo x el precio de una pelota).

10) Aproximación. Este significado se refiere al uso del signo igual para relacionar una

expresión aritmética y una aproximación de su valor numérico (Ejemplo: 1/3 = 0,33).

11) Asignación de un valor numérico. El signo igual es usado para asignar un valor

numérico a un símbolo (Ejemplo: si x = 4, ¿cuál es el valor de x2 – 5?).

Por otra parte, Burgell (2012) propone una contribución tendiente a mejorar la categorización

planteada por Molina (2006). Señala que estudiantes que participaron de su estudio admiten

que 16 = 8 pues observan que 16 es el doble de 8; informa que en esos casos el uso del signo

igual también se basa en la consideración de que existe una relación entre estos dos números,

y propone ampliar la novena categoría de la categorización de Molina (Indicador de cierta

conexión o correspondencia) para que esta contemple también la conexión o correspondencia

entre dos expresiones u objetos matemáticos. Teniendo en cuenta que en Medina (2016) se

puso en evidencia que algunos maestros practicantes utilizan el signo igual para vincular el

100 % con un número distinto de la unidad cuando consideran este número como el total, se

aprecia que este aporte es relevante para esta investigación y se entiende pertinente incorporar

la ampliación propuesta por Burgell (2012) pues permitiría clasificar este u otros usos

similares del signo igual que eventualmente podrían surgir en la presente investigación.

Por lo expuesto, se reformula la novena categoría propuesta por Molina (2006, pp. 148–152)

para incluir la ampliación propuesta por Burgell (2012, p. 255) caracterizando el significado

indicador de cierta conexión o correspondencia como sigue:



36

Indicador de cierta conexión o correspondencia. Este significado impreciso del signo igual

hace referencia a su uso entre objetos matemáticos o no matemáticos, con base en apreciar

que existe cierta relación o correspondencia entre ellos. Los siguientes usos ejemplifican este

significado: Pedro = 12 años; = 3; precio bici = 3 x + 5 siendo x el precio de una

pelota; 3 = 6 porque 6 es el doble de 3.

Por otra parte, en la literatura abundan dos interpretaciones del signo igual (Kieran, 1981,

entre otros): una interpretación operacional que concibe al signo igual como una “señal de

hacer algo”, es decir, como un símbolo operador que indica que se debe realizar una

operación y escribir a continuación de él un número como respuesta a la misma, y una

interpretación relacional, en la que este signo implica una comparación entre los números o

expresiones representados a ambos lados de este símbolo (Kieran, 1981; McNeil et al., 2006,

entre otros). En este trabajo se considera que los significados operador y propuesta de

actividad cumplen las características propias de la visión operacional, dado que atribuyen al

signo igual un sentido unidireccional de izquierda a derecha, admitiendo solo que del lado

izquierdo del signo igual pueda presentarse una operación y del lado derecho de este signo se

ubique o quede reservado para colocar el resultado de dicha operación. Por otra parte, se

entiende que los significados expresión de una equivalencia (en sus cuatro acepciones) se

corresponden con la denominada visión relacional del signo igual, pues en estos casos se está

considerando la relación existente entre las cantidades ubicadas a un lado y otro del signo

igual.



37

Capítulo III: Método

En esta sección se presenta el método seguido en esta investigación y los instrumentos

utilizados.

En el punto (1) se describe de forma general las fases para la realización del trabajo y sus

instrumentos. En el punto (2) se exponen los elementos recogidos como insumo para elaborar

las actividades que se propondrían en el cuestionario. En el punto (3) se presenta el diseño del

cuestionario presentado a los maestros participantes de este estudio, su análisis a priori y las

condiciones de aplicación. En el punto (4) se realiza una descripción general del proceso

seguido para realizar las entrevistas.

En el capítulo V se presenta el análisis de las respuestas obtenidas, mientras que en el capítulo

VI se sintetizan las conclusiones de este estudio.

III.1 Descripción general

En esta investigación cualitativa de corte descriptivo e interpretativo, se exploraron e

interpretaron las respuestas escritas y orales de un grupo de maestros formadores al

desarrollar una serie de prácticas vinculadas a la enseñanza del signo igual. Inicialmente se

realizó una exploración de los usos del signo igual a nivel escolar a partir del análisis de

cuadernos de clase; esta información se utilizó para elegir las tareas que serían incluidas en el

cuestionario.

Se diseñó un cuestionario que combinó preguntas abiertas y cerradas. La información

obtenida se amplió con tres entrevistas con el fin de profundizar en las respuestas a las tareas

propuestas en el cuestionario y conocer las respuestas de estos maestros al enfrentar otras

situaciones propias. Las entrevistas se realizaron a posteriori del cuestionario, en la propia

escuela y fueron audio-grabadas.



38

Inicialmente la población de estudio estuvo constituida por doce maestros adscriptores y por

la maestra directora de una escuela de práctica localizada en una ciudad del interior del

Uruguay. La aplicación del cuestionario se realizó de forma presencial en la propia escuela en

la que trabajaban estos maestros y tuvo lugar en tres instancias separadas. Durante la

aplicación del cuestionario al grupo de maestros que desempeñaban sus funciones en el turno

vespertino, una maestra realizó comentarios que a entender de la investigadora incidieron en

las respuestas dadas por sus colegas que compartían la sala, esto llevó a separar de este

estudio a las cuatro maestras cuyas respuestas quedaban invalidadas. La población de estudio

quedó entonces conformada por nueve maestros: la maestra directora, seis maestras y un

maestro que se desempeñan en esa escuela en el turno matutino y una maestra que se

desempeña en el turno vespertino.

Una escuela de práctica es una escuela dedicada simultáneamente a la formación de escolares

y de futuros maestros (también llamados maestros practicantes o simplemente practicantes).

Como parte de la asignatura Didáctica - Práctica docente, correspondiente a la carrera de

maestro de enseñanza primaria, los estudiantes llevan a cabo en estas escuelas la práctica de

aula durante un lapso que varía según el nivel de avance de su carrera, pero que alcanza las 12

horas semanales durante un año lectivo. En este período cada estudiante entra en contacto con

el mundo escolar, bajo el acompañamiento de un maestro experimentado, que recibe el

nombre de maestro adscriptor. El futuro maestro también participa de 3 horas semanales de

clase en el Instituto de Formación Docente al que concurre. En esta parte del curso el maestro

director de la escuela de práctica a la cual asiste el practicante dirige el trabajo en aspectos

teóricos relativos a la didáctica de ciertas áreas del conocimiento.

El maestro director de una escuela de práctica, es responsable del funcionamiento de esta

escuela y tiene a su cargo un grupo de maestros practicantes en el curso teórico de la

asignatura Didáctica - Práctica docente, que incluye el trabajo con ciertas didácticas

específicas, entre ellas Matemática. Entre otros aspectos el maestro director pauta el

desarrollo de la práctica docente de los practicantes, da directivas sobre las clases a dictar y

está jerárquicamente por encima de los maestros adscriptores. El maestro director también

orienta el trabajo de aula de estos maestros formadores, así como el trabajo de los otros

maestros de la escuela que no tienen a su cargo maestros practicantes.



39

Los maestros adscriptores tienen a su cargo un grupo de escolares en esta escuela de práctica

y además ofician de tutores de uno o dos estudiantes-practicantes en la asignatura Didáctica -

práctica docente. Permiten a los futuros maestros observar y dictar algunas clases (10-25% de

las clases, dependiendo el nivel), acompañan y guían su práctica docente y contribuyen a

calificar al practicante en esta asignatura. Asimismo, los maestros adscriptores inciden en las

prácticas que desarrollan sus practicantes, quienes los perciben en muchos casos como

modelos a seguir y pautan en mayor o menor medida, el qué y el cómo enseñar las distintas

asignaturas.

Tanto los maestros directores como los maestros adscriptores tienen el título de maestros de

escuela primaria, producto de una formación terciaria específica para desempeñarse como

maestros. El plan de estudios vigente para la formación de maestros (Plan 2008), propone una

formación de cuatro años que incluye, en relación a la asignatura Matemática, dos cursos

anuales ubicados en los dos primeros años de la carrera (con una carga horaria de 4 y 3 horas

cátedra semanales respectivamente) y un seminario de Profundización en Matemática y apoyo

a la práctica ubicado en tercer año, con una duración total de 30 horas cátedra. En relación a

la formación en el área didáctica, este plan prevé un curso de Didáctica General en primer año

y tres cursos anuales que abarcan las Didácticas Específicas de varias asignaturas. Se prevé

que en uno de estos cursos, específicamente en Didáctica I del segundo año de la carrera, los

maestros directores dediquen un semestre al abordaje de aspectos vinculados a la didáctica

específica de Matemática.

La información obtenida a través del cuestionario y las entrevistas se procesó, analizó e

interpretó a la luz del marco teórico de referencia. La categorización propuesta en Molina

(2006) se utilizó para identificar los significados del signo igual puestos en juego por los

maestros al responder cada una de las respuestas del cuestionario. En este sentido, se

siguieron los lineamientos que se brindan en la sección “Análisis a priori de las tareas del

cuestionario”. Por otra parte, las respuestas al cuestionario y las narraciones brindadas por los

maestros en las entrevistas realizadas, se analizaron también desde el punto de vista de los

conocimientos matemáticos movilizados. El modelo MKT aportado por Ball et al. (2008)

junto a la caracterización de cada subdominio presentada en nuestro marco teórico y a la

definición amplia de conocimiento aportada por Campos Lins (1994), pautó la identificación



40

de los conocimientos matemáticos que evidenciaron movilizar los maestros cuando

desarrollaban distintas prácticas vinculadas a la enseñanza del signo igual.

III.2 Análisis preliminar de cuadernos de escolares

Con motivo de tomar un primer contacto con los usos del signo igual que podrían circular en

la escuela, se realizó una exploración inicial de estos usos a partir de los registros del trabajo

escolar plasmado en los cuadernos de clase. Para ello se seleccionó un grupo cinco de

escolares de diferentes grados que concurren a un centro de enseñanza primaria diferente al

que participó de este estudio, y se escanearon las secciones del cuaderno de clase que

presentaran situaciones vinculadas al uso o no uso del signo igual que podrían resultar de

interés para esta investigación. Entre las imágenes obtenidas se seleccionaron aquellas que

presentan situaciones de interés, presentando a continuación las principales observaciones de

este análisis. Cabe aclarar que las imágenes recolectadas en este análisis preliminar tuvieron

el propósito de orientar el diseño de las actividades del cuestionario y no constituyen el objeto

de este estudio.

Se observa que el signo igual podría no ser elegido para vincular dos expresiones referidas a

un mismo valor, por ejemplo dos fracciones equivalentes o una misma cantidad cuando se

expresa mediante una fracción y una expresión decimal:



41

Figura 2: Producción de un alumno trabajando con distintas expresiones de un número.

En las figuras 3 y 4 se observa que el signo igual podría no ser aceptado para vincular dos

expresiones referidas a la misma cantidad cuando estas se expresan con diferentes unidades de

medida:

Figura 3: Producción de un alumno trabajando con medidas de longitud.

Figura 4: Producción de un alumno trabajando con medidas de longitud.



42

En la siguiente imagen se observa el uso del signo igual como propuesta de actividad al

plantear a través de él la ejecución de una división entera con resto no nulo. Esta imagen

plantea la interrogante respecto a si los docentes que participan de nuestro estudio admiten el

uso del signo igual para vincular dicha división con su cociente:

Figura 5: Producción de un alumno trabajando con división entera

En la figura 6 se aprecian otros usos del signo igual vinculados al planteo de una división

entera con resto no nulo:

Figura 6: Producción de un alumno trabajando con división entera.

La figura 7 muestra otro uso del signo igual, que aparece vinculado a la resolución de

problemas con contexto. En este caso se vincula la unidad con un total y la fracción

correspondiente con una parte de esa unidad.



43

Figura 7: Producción de un alumno trabajando con fracciones

Como se mencionó anteriormente, este análisis preliminar sirvió de insumo para elaborar el

cuestionario que se presentaría a los maestros formadores.



44

III.3 El cuestionario y su análisis a priori

En esta sección se presenta en primer lugar y de forma sintética la estructura global del

cuestionario aplicado a los participantes. A continuación se realiza un análisis a priori de cada

una de las tareas propuestas. Posteriormente se señalan cuestiones relativas a la aplicación del

cuestionario. Cabe agregar que el cuestionario completo, en el formato en el que fue

presentado, se encuentra en el anexo 2.

III.3.A Diseño del cuestionario

A fin de explorar los conocimientos matemáticos para la enseñanza que han desarrollado en

torno al signo igual los maestros que participan de esta investigación, se elabora un

cuestionario compuesto por cuatro preguntas, algunas de ellas conformadas por varios

apartados.

La primera actividad solicita completar espacios en blanco y busca fundamentalmente

evidenciar los usos dados al signo igual e interpretar los significados que estos maestros

atribuyen a este símbolo. Esta pregunta se dirige a conocer el conocimiento común del

contenido (CCK) que estos maestros han desarrollado en relación a esta temática.

La segunda pregunta plantea la corrección de una serie de producciones de escolares basadas

en realizar tareas que involucran al signo igual. Las producciones de los escolares que fueron

presentadas a los maestros se generaron previamente con un grupo de escolares de cuarto año,

que concurren a una escuela diferente a la escuela vinculada a este estudio. Esta actividad

permite complementar el análisis de los usos y significados atribuidos al signo igual y busca

explorar cuáles son los conocimientos puestos en juego por los docentes cuando validan la

producción de un escolar y realizan recomendaciones para que este supere las dificultades

evidenciadas en esa producción.

La tercera actividad solicita explicitar el significado personal del signo igual, ejemplificar

usos e informar cómo lee este símbolo. Esta actividad busca por un lado complementar la

información recabada en las otras tareas en relación a los usos aceptados por este grupo de

maestros y los significados vinculados a ellos. Por otra parte, permite explorar los

conocimientos puestos en juego por los docentes cuando definen y ejemplifican el signo igual.



45

La cuarta y última pregunta solicita describir y ejemplificar dificultades asociadas a este

símbolo; esta pregunta busca conocer si los docentes han identificado dificultades en el

aprendizaje del signo igual y en caso afirmativo, explorar qué conocimientos y qué

subdominios del MKT se movilizan cuando los docentes realizan esta práctica.

III.3.B Análisis a priori de las tareas del cuestionario

En este apartado se presentará inicialmente algunos aspectos que fueron tenidos en cuenta

para analizar todas las actividades. Posteriormente se presenta el análisis a priori de cada

actividad, señalando de forma explícita cómo se analizarán las respuestas obtenidas bajo la

luz de nuestro marco teórico.

En forma general se presenta un análisis basado en dos dimensiones: los significados del

signo igual y los conocimientos matemáticos para la enseñanza del signo igual. Respecto a los

significados del signo igual, se utilizará la categorización de Molina (2006) que aporta una

amplia cantidad de categorías con el fin de identificar los significados evidenciados por

nuestra población de estudio. Respecto a los conocimientos matemáticos para la enseñanza,

no se cuenta con una categorización previa de los conocimientos que eventualmente un

maestro podría poner en juego al realizar distintas prácticas vinculadas a la enseñanza del

signo igual. En este sentido, y teniendo en cuenta que cada uno de los usos del signo igual

evidenciados por los maestros deja ver no solo cierto significado que le corresponde según la

categorización de Molina, sino además, cierta creencia o afirmación que para el maestro está

legitimada por cierta justificación que asocia a ella, se entiende que es posible establecer

asociaciones entre los significados del signo igual y los conocimientos matemáticos para la

enseñanza del signo igual.

Se entiende sin embargo que esta asociación no es independiente de la práctica que desarrolla

el maestro. Poner en juego el signo igual bajo el significado operador no involucra el mismo

conocimiento que poner en juego este significado para dar una respuesta a una tarea. Por lo

expuesto, se analizan los vínculos correspondientes en el análisis de cada tarea.



46

a) Pregunta 1

La pregunta 1 propone completar los espacios faltantes para formar sentencias verdaderas. En

esta pregunta cada docente es invitado a dar su propia respuesta frente a una tarea y para ello

elegirá entre el conjunto de conocimientos que ha construido en torno a la temática

involucrada (saberes vinculados al signo igual, a las tareas de completar espacios, etc.) algún

conocimiento (o grupo de ellos) que entienda adecuado para dar respuesta a la tarea. Se

entiende que el conocimiento movilizado dará cuenta de cierto significado del signo igual que

el docente ha construido y en ese sentido se entiende en este caso posible establecer las

siguientes asociaciones entre significados del signo igual y conocimientos matemáticos para

la enseñanza:

Significado del signo igual según

categorización de Molina (2006)

Conocimiento (en el sentido dado por

Campos Lins, 1994) vinculado al MKT.

Operador Conoce que el signo igual separa una

operación de su resultado

Propuesta de actividad Conoce que el signo igual se utiliza para

invitar a hacer algo

Equivalencia numérica Conoce que el signo igual separa dos

expresiones de un mismo valor

Expresión de una acción Conoce que el signo igual cumple la

propiedad recíproca

Tabla 1: Vínculos entre significados del signo igual y conocimientos matemáticos para la enseñanza, en el caso

de completar espacios faltantes.

Las asociaciones establecidas en la tabla anterior se explican y fundamentan dentro del

análisis a priori de las cuatro actividades contenidas en esta pregunta. Se señalan además



47

aspectos concretos de las actividades y se detalla cómo se procederá a interpretar las

respuestas de los maestros.

a.1 Pregunta 1a:

Esta tarea fue propuesta por Burgell (2012). Busca evidenciar si los maestros han logrado

dejar atrás las visiones operacionales del signo igual para dar una respuesta correcta a esta

tarea, o si por el contrario, persiste en los maestros la idea de que el signo igual es el símbolo

que separa una operación de su resultado. Este contexto que involucra el uso del signo igual

en una cadena de igualdades numéricas, ha sido útil según los antecedentes reportados, para

evidenciar visiones operacionales aún en poblaciones con larga trayectoria escolar.

Aquellos maestros que vean el signo igual como operador podrán poner en juego esta visión

para dar respuesta a esta tarea sin que el término + 3 llame su atención. Una respuesta

será considerada evidencia de poner en juego a este signo como

operador. Simultáneamente se considera que estos maestros están dando su respuesta con base

en los conocimientos (en el sentido dado por Campos Lins) que han construido en torno al

signo igual y que esta respuesta es coherente con entender que el signo igual es un símbolo

que separa una operación de su resultado. Se entiende pues que el significado operador, en la

clasificación dada por Molina (2006) es consecuente con cierto conocimiento que podría ser

enunciado como “conoce que el signo igual separa una operación de su resultado”,

conocimiento que se categoriza según el modelo MKT como correspondiente al subdominio

conocimiento común del contenido.

Por otra parte, una respuesta de indicará que el docente pone en juego al

signo igual bajo su significado equivalencia numérica, al buscar que las expresiones

planteadas a un lado y otro del signo igual sean iguales en valor. Quienes den esta respuesta

también podrían haber puesto en juego al signo igual bajo su significado expresión de una

acción, dado que una vía posible de resolución es efectuar la división y luego resolver

30 = __+3. Teniendo en cuenta que otra vía posible es efectuar la división y aplicar la

propiedad transitiva para deducir que el último espacio es 30, no se puede asegurar que este

significado sea efectivamente puesto en juego por todos los docentes que den esta respuesta;

por lo expuesto se considerará que aquellos maestros que den esta respuesta darán evidencias

de atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica.



48

Se entiende que atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica se vincula con

conocer que el signo igual separa dos expresiones referidas a un mismo valor y en tal sentido

estas respuestas darán cuenta de este conocimiento. Se considera que cualquier persona

matemáticamente instruida habrá construido los conocimientos matemáticos necesarios para

realizar correctamente esta tarea; esto lleva a incluir los conocimientos mencionados en el

subdominio del conocimiento común del contenido (CCK).

Cabe aclarar que los conocimientos que no se vinculan con la enseñanza del signo igual no

serán mencionados en este trabajo. A modo de ejemplo en esta tarea es necesario conocer que

al dividir 90 entre 3 se obtiene cociente 30 y resto cero, o que 30+3 da como resultado 33. Se

entiende que no aporta a este trabajo su consideración y en los casos que sí aporta se los

menciona de forma explícita.

a.2 Pregunta 1b: ×

Esta tarea evidenciará que el significado operador persiste en aquellos maestros que

respondan con 5 en el espacio, mientras que evidenciará que los maestros que completen el

espacio con un 4 ven al signo igual bajo su significado equivalencia numérica. En este último

caso, se entiende que el maestro conoce la propiedad reflexiva de la igualdad, dado que en el

proceso de resolución decidió colocar un 4 para completar la sentencia 5 =__+1. Esto lleva a

interpretar que además este docente pone en juego el signo igual bajo su significado expresión

de una acción.

Considerando que existe una operación ( + 1) que carece de sentido para quienes completen el

espacio con el resultado de la operación planteada a la izquierda del signo igual, se entiende

que esta tarea tiene menor potencial que la tarea anterior para movilizar visiones

operacionales, es decir, que responderán bajo esta visión solo aquellos maestros dominados

por una fuerte visión operacional del signo igual. También se entiende posible que algún

maestro decida continuar la sentencia con otra igualdad (2,5 × 2 = 5 + 1 = 6), pues esto daría

sentido a la expresión “+1”. En este caso, al igual que aquellos maestros que respondan

completando únicamente con un 5 en el espacio, se interpretará que el significado operador ha

predominado sobre el de equivalencia numérica para dar respuesta a esta tarea en este

contexto.

Se entiende además que los maestros que atribuyan al signo igual en este contexto el

significado operador, darán evidencia de conocer (en el sentido de Campos Lins, 1994) que el



49

signo igual es un símbolo que separa una operación de su resultado. Asimismo se considera

que poner en juego el significado equivalencia numérica evidencia que los maestros conocen

que el signo igual separa dos expresiones de un mismo valor. En este caso particular se

considera además que dar una respuesta de 4 en el espacio también señala que conoce la

propiedad simétrica de la igualdad.

a.3 Pregunta 1c: ×

Al igual que las tareas anteriores, podrían existir dos respuestas probables para este ítem.

Aquel docente que responda con “4” en el espacio a completar, evidenciará atribuir al signo

igual el significado operador, dado que el número colocado inmediatamente a la derecha de

este símbolo será el resultado de la operación planteada a su izquierda. Esta misma respuesta

indicará que el docente moviliza el conocimiento (en el sentido dado por Campos Lins, 1994)

de que el signo igual separa una operación de su resultado.

Por otra parte, ante una respuesta de “6” en el espacio en blanco, se puede inferir que el

docente en cuestión ha desarrollado ciertos conocimientos sobre el signo igual que le permite

responder adecuadamente esta tarea, pero se observa que no es posible identificar si el

docente ha abandonado o no sus visiones operacionales del signo igual. Dado que esta forma

de completar el espacio iguala las cantidades expresadas a ambos lados del signo de igual, se

podría interpretar que esta respuesta es dada por un docente que vea al signo igual bajo su

significado equivalencia numérica. Sin embargo, con base en lo reportado en Medina (2016)

se considera que algunos maestros podrían llegar a esta misma respuesta al utilizar como

estrategia el efectuar todos los cálculos posibles para luego dar solución al problema. En esta

situación el maestro enfrentaría el problema de encontrar el número faltante en el espacio

×lo que le permitiría dar como respuesta un 6 sin abandonar una visión del signo

de igual como operador. Por lo expuesto se considera que una respuesta de 6 en este espacio

no permite identificar el significado del signo igual que está siendo puesto en juego y será

categorizada en este sentido como sin clasificar. En relación a los conocimientos matemáticos

puestos en juego por los maestros que den esta respuesta, solo se podrá afirmar que han

desarrollado un conjunto de conocimientos que les permite resolver con éxito este tipo de

tareas.



50

a.4 Pregunta 1d:

En Medina (2016) quedó en evidencia que estudiantes magisteriales completan esa sentencia

con el cociente de la división entera. Este uso también apareció en el análisis preliminar de

cuadernos de clase de escolares, en el que se observa una notación específica vinculada a esa

situación, que registra a continuación del signo igual, el cociente y el resto de esta división.

Ninguno de estos usos ha sido identificado en los estudios consultados, lo que motiva a que

este ítem sea agregado en este cuestionario. Este ítem busca evidenciar si los maestros

participantes en este estudio interpretan en este contexto el signo igual como propuesta de

actividad, explorar qué usos dan al signo igual al completar la sentencia e indagar qué

conocimientos matemáticos ponen en juego cuando son enfrentados a realizar una tarea

abierta en la que se plantea una división entera con resto no nulo y a su derecha el signo igual.

Se anticipa que se podrían encontrar una variedad de respuestas entre este grupo de maestros,

las que se separan en dos grupos: aquellas que atienden la igualdad numérica de las

expresiones colocadas en torno al signo igual y aquellas otras que no respetan esta igualdad.

Dentro del primer grupo se pueden encontrar respuestas como 12

7,

24

14 o cualquier otra

expresión de ese número, ya sea fraccionaria o decimal como lo sería: 1, 714285̂ ; incluso

podría surgir la escritura de esa misma operación 12 ÷ 7. En todos estos casos se entiende que

el maestro estará dando una respuesta que respeta la igualdad numérica de las expresiones

colocadas a ambos lados del signo igual y se interpreta que esto es evidencia de conocer que

el signo igual indica la equivalencia numérica entre las expresiones que vincula.

Por otra parte, entre las respuestas dadas por los docentes se observarán en particular aquellas

que incluyan ejecutar el algoritmo de la división y en esos casos, se entenderá que estos

maestros atribuyen al signo igual el significado propuesta de actividad y que conocen que el

signo igual es utilizado como invitación para hacer algo.

Se observa que por esta vía la única respuesta matemáticamente correcta a la tarea (además

de plantear la definición de división entera) incluye encontrar el período del cociente.

También es posible que surja como respuesta: 12 ÷ 7 = 1, en estos casos los docentes habrán

respondido considerando al cociente de la división entera con resto no nulo como resultado de

la división planteada, dando evidencia de atribuir al signo igual el significado operador. En



51

esta respuesta también se considera que el signo igual está siendo visto como propuesta de

actividad, dado que el maestro se lanza a efectuar la división.

Con base en los usos del signo igual identificados a partir de cuadernos escolares, se

considera posible que un maestro pueda dar como respuesta: 12 ÷ 7 =𝐶: 1𝑅: 5

. Se entiende que en

este caso los significados que podrían estar interviniendo son: propuesta de actividad, pues el

signo igual lo invita a efectuar la división; operador pues busca obtener “el resultado” de esta

división; indicador de cierta conexión o correspondencia, pues considera que a tal operación

le corresponde tal cociente y tal resto.

Si bien es cierto que este uso del signo igual no es coherente con una visión relacional del

signo igual, se considera que el significado equivalencia numérica, podría formar parte de los

significados que este docente atribuye al signo igual y que esta interpretación haya

participado en la decisión del docente de aceptar escrituras alternativas para escribir el planteo

horizontal de una división.

Se entiende que también podrían surgir respuestas como las siguientes: 12 ÷ 7 = 1,7 ; 12 ÷ 7 =

1,71; 12 ÷ 7 = 1,714, como consecuencia de atribuir al signo igual los siguientes significados:

propuesta de actividad, pues efectúa la división; el significado operador pues busca obtener

“el resultado”; el significado aproximación, pues acepta como válida una aproximación del

número 12/7. En todos estos casos la igualdad numérica no está siendo evaluada por el

maestro, o en su defecto se está aceptando que dos números aproximados son efectivamente

iguales, por lo que se entiende que el significado operador es el que prima en esta situación, y

que el conocimiento que sustenta este significado es el que identifica al signo igual con

aquello que separa una operación de su resultado.

Los usos presentados en este análisis no pretenden ser exhaustivos, ni son usos que se

entiendan “deseables”, solo pretenden dar cuenta de cómo se interpretarán las respuestas a

esta tarea. Nos interesará justamente conocer cuáles son los usos que evidencian los maestros

participantes ante este planteo.

En relación a los conocimientos matemáticos esperables para resolver con éxito esta tarea el

conocer que el signo igual vincula dos cantidades iguales en valor y como ya se expuso, este

conocimiento se corresponde con el significado equivalencia numérica. Sin embargo, se



52

entiende que los maestros al desarrollar esta tarea podrían poner en juego conocimientos

vinculados a cada uno de los significados del signo igual que se acaban de mencionar.

b) Pregunta 2

En esta pregunta se invita al maestro a corregir el trabajo de escolares que han resuelto ciertas

tareas que involucran al signo igual, solicitando que se expliciten los errores en las

producciones de los estudiantes en caso de existir y que se registren las recomendaciones

pertinentes para que el estudiante pueda mejorar su trabajo.

En las producciones de los maestros se observarán los usos del signo igual que ellos admiten

y desde el marco teórico de Molina (2006) se categorizarán los significados del signo igual

que se corresponden con dichos usos. Por otra parte, en las correcciones y recomendaciones

dejadas por los maestros a los escolares que produjeron la tarea, se observará y analizará

según el modelo MKT los conocimientos matemáticos para la enseñanza que quedan en

evidencia.

Teniendo en cuenta lo expuesto al introducir la sección IV.3.B sobre la importancia de

considerar el tipo de práctica desarrollada cuando se pretende establecer vínculos entre

significados del signo igual y los conocimientos matemáticos para la enseñanza, se resumen

en esta sección las consideraciones generales que marcaron el análisis de los cinco ítemes que

constituyen esta pregunta.

En cada una de estas tareas se entiende que un mismo docente podría poner en juego distintos

significados del signo igual según corrija como correcto o incorrecto una tarea o según realice

recomendaciones al estudiante. Para juzgar la validez de la producción del escolar, se espera

que el docente movilice sus conocimientos en relación al signo igual y tome su decisión con

base en el significado del signo igual que entienda más adecuado para resolver la situación

propuesta. En este sentido, estaría evocando un conocimiento común del contenido, que

podría vincularse con cierto significado de acuerdo a la tabla proporcionada en la pregunta 1.

Por otro lado, se entiende que para realizar recomendaciones a los estudiantes, es necesario

que el docente interprete la producción del escolar y para esto, deba evocar conocimientos



53

vinculados al significado del signo igual que den sentido a las producciones de los escolares.

En este contexto se entiende que el docente a través de sus recomendaciones, podrá dar

evidencias de conocer que los estudiantes podrían atribuir al signo igual cierto significado, o

conocer que muchos estudiantes podrían dar esa respuesta, o incluso conocer que las tareas

habituales promueven ese significado. Sin embargo, en esos casos, no se concluirá que el

docente atribuye al signo igual el significado en cuestión. Por lo expuesto, se entiende que la

categorización aportada por Molina (2006) permitirá analizar con mayor profundidad cada

uno de los conocimientos matemáticos para la enseñanza que evidencien los maestros, pero

no será posible establecer una correspondencia entre los significados del signo igual y los

conocimientos matemáticos para la enseñanza, cuando los docentes desarrollan prácticas

específicas de su profesión.

En las secciones presentadas a continuación se señalan aspectos concretos del análisis a priori

de cada una de las actividades de esta pregunta y se detalla cómo se procederá a interpretar las

respuestas de los maestros.

b.1 Pregunta 2.1.a:

Como ya se indicó, dentro de esta consigna el docente deberá abordar dos tareas: corregir (en

términos de correcta o incorrecta la tarea) y realizar recomendaciones al escolar.



54

En la primera etapa es fundamental que el maestro identifique el uso incorrecto del signo

igual. Se entiende que para identificar los errores, se requiere que los maestros pongan en

juego conocimientos vinculados al subdominio conocimiento común del contenido, en

particular que conozca que en contextos aritméticos el signo igual se utiliza para vincular dos

cantidades iguales en valor. Se observa que esto será suficiente para identificar la sentencia

5 + 3 = 8 + 1 = 9 como incorrecta. Por otra parte, conocer y aplicar la propiedad transitiva de

la igualdad, proporcionaría alternativas al docente para identificar el error y podrían surgir

como argumentos del docente al realizar recomendaciones.

Para realizar recomendaciones al escolar, se entiende que será necesario que el maestro

identifique los conocimientos matemáticos movilizados por esta tarea y la procedencia del

error del estudiante para que las recomendaciones dejadas al escolar resulten pertinentes y

potentes para complementar los significados que el niño atribuye al signo igual, Estos

conocimientos que podrían ser enunciados como conocer los saberes matemáticos

movilizados por la tarea y conocer qué concepto erróneo evidencia la producción del

estudiante se vinculan con el subdominio conocimiento especializado del contenido y podrían

eventualmente ser evidenciados a través de las respuestas de los maestros. Interesa igualmente

conocer qué conocimientos matemáticos para la enseñanza ponen en juego los docentes

participantes de este estudio en relación a esta tarea e indagar si otros subdominios del MKT

son movilizados en esta práctica.

En relación a los usos y significados del signo igual evidenciados a partir de esta tarea, se

considera que con base en las respuestas pueden identificarse dos casos: una corrección de

esta producción como correcta será evidencia de que el docente admite este uso por parte de

los escolares y sugiere que atribuye al signo igual en este contexto el significado operador.

Corregir esta tarea como incorrecta, señalando que los espacios debieron ser completados con

el par (7, 8) en reemplazo del par (8, 9) respectivamente, dará evidencias de que el docente no

acepta este uso del signo igual por parte de los estudiantes; se interpretará esta situación

señalando que el docente atribuye al signo igual el significado equivalencia numérica.

b.2 Pregunta 2.1.b:



55

En relación a los conocimientos matemáticos (vinculados a la enseñanza del signo igual) que

se ponen en juego al corregir como correcta o incorrecta esta tarea, se entiende que para

realizar esta práctica eficazmente se requiere que los maestros conozcan que el signo igual, en

contextos aritméticos, se utiliza para vincular dos cantidades iguales en valor, conocimiento

que se vincula al subdominio CCK.

Respecto a los conocimientos matemáticos que se ponen en juego al realizar recomendaciones

a la estudiante, se entiende que el conocimiento común del contenido no será suficiente para

proponer guiar al alumno para que este mejore sus aprendizajes tomando como base la

información dada por su trabajo y se anticipa que se requieren de otros conocimientos

específicos del saber docente. Se espera que los docentes identifiquen a partir de la

producción de esta escolar, el o los significados del signo igual que le dan sentido.

Concretamente, se espera que los docentes identifiquen que esta tarea moviliza ciertos

conocimientos del alumno respecto al signo igual, y que advierta que según la interpretación

que se le atribuya podría recibir distintas respuestas. En particular aquel docente que

identifique que esta estudiante está dando su respuesta desde una visión del signo igual como

operador (conocimiento que se vincula al subdominio SCK) podrá orientar las

recomendaciones tendientes a resignificar el signo igual.

El docente también podría dar recomendaciones involucrando la dimensión didáctica del

contenido, por ejemplo evidenciando que conoce que muchos estudiantes dan esta respuesta,

conocimiento que se vincula al subdominio KCS o que conoce que muchas de las actividades

que se proponen en la escuela siguen el formato “operación = respuesta”. Se estará atento a

identificar la participación de los distintos subdominios del MKT en las respuestas dadas por

los maestros.



56

Al igual que la tarea 1d, esta tarea permite conocer si los maestros admiten el uso del signo

igual para relacionar una división con el cociente de la división entera con resto no nulo;

busca también identificar qué significados se conjugan en torno al signo igual en un maestro

cuando acepta este uso. La corrección de esta tarea como correcta indicará que este maestro

acepta el uso del signo igual para vincular el planteo de una división entera con resto no nulo

con su cociente y se interpretará que el docente atribuye al signo igual los siguientes

significados: propuesta de actividad, al entender que el escolar debía realizar la división

planteada; operador, al entender que el estudiante debía dar como respuesta el resultado de la

división y que el cociente es el resultado de la división; indicador de cierta conexión o

correspondencia al vincular que a tal división le corresponde tal cociente; aproximación,

entendiendo que un maestro acepta el uso del signo igual para vincular un número y una

aproximación del mismo.

Identificar de que 7÷2=3 no es una igualdad, indicará que este maestro no acepta el uso del

signo igual para vincular una división entera con resto no nulo con su cociente. En estos casos

el signo igual podría estar siendo puesto en juego bajo su significado equivalencia numérica,

lo que le permitiría al maestro advertir que los números 7 ÷ 2 y 3 no son iguales. También se

entiende que podría ponerse en juego el significado equivalencia por definición,

permitiéndole juzgar que 7 ÷ 2 = 3 si y solo si 7 = 3 × 2 y evaluar que al ser esto falso, la

igualdad inicial también lo es. Se observa que también bajo una visión del signo igual como

operador puede advertirse que esta igualdad no es correcta, si el maestro ve la división 7 ÷ 2

como lo que realmente es, una división y no una división entera. En estos casos el docente

podrá hacer referencia a que el “resultado” no es 3 sino 3,5, en lugar de hacer referencia a que

no se cumple la igualdad. Eventualmente a partir de las sugerencias realizadas por el docente,

o a partir de preguntas que se realicen en la entrevista, se puede distinguir cuál de las

situaciones anteriores corresponde a cada caso. Interesará particularmente conocer a través de

la corrección de estas tareas, qué escritura proponen aquellos docentes que entiendan el signo

igual como propuesta de actividad y acepten además la división entera como la división

esperable para ser realizada por un escolar que cursa los grados iniciales de educación

primaria.



57

b.3 Pregunta 2.2:

Se entiende que el conocimiento matemático necesario para identificar que la producción de

esta escolar es incorrecta es aceptar la propiedad simétrica de la igualdad, o bien de forma

más general, conocer que el signo igual vincula dos expresiones de un mismo valor. Se

observa que poner en juego este último conocimiento podría llevar a un maestro a identificar

que 13=15-2 es una igualdad aunque no se sienta “cómodo” con la presencia de la operación

en el lado derecho del signo igual y su resultado a la izquierda de este signo.

Para realizar recomendaciones pertinentes a los estudiantes será necesario que el docente

identifique que la dificultad de esta estudiante se encuentra en aceptar la propiedad recíproca

de la igualdad y se aprecia que esto requiere que se pongan en juego los siguientes

conocimientos matemáticos: aceptar la propiedad recíproca de la igualdad; identificar que la

tarea implica aceptar la reversibilidad del signo igual y reconocer la propiedad recíproca de la

igualdad como objeto de enseñanza. Se entiende que los conocimientos mencionados se

vinculan con los subdominios CCK, SCK y KCC, respectivamente.

En relación a los usos y significados del signo igual que permite evidenciar esta tarea se

señala que: tanto el significado expresión de una acción como el significado equivalencia

numérica permiten reconocer que la tarea de esta estudiante es incorrecta; por otra parte, ver

al signo igual bajo el significado operador llevaría a que se considere la respuesta de

Alexandría como correcta, dando evidencias de no aceptar la propiedad recíproca de la

igualdad.



58

b.4 Pregunta 2.3:

Para identificar que las sentencias 100% = 4 y 50% = 2 son ambas incorrectas es necesario

conocer que en contextos aritméticos el signo igual se utiliza para vincular dos cantidades

iguales en valor. Asimismo se entiende que es necesario que el maestro reconozca cuando dos

cantidades son iguales en valor, aun cuando estas se expresan mediante distintas

representaciones (en este caso porcentual y entera). Aunque el segundo conocimiento no se

vincula directamente a la enseñanza del signo igual, se aprecia que ambos son necesarios para

para corregir como correcta o incorrecta esta tarea y se vinculan al subdominio CCK.

Para realizar recomendaciones pertinentes a esta estudiante será necesario que el docente

identifique que su dificultad se encuentra en aceptar el uso del signo igual para vincular dos

cantidades diferentes en valor, por el solo hecho de encontrar una correspondencia entre

ambos. Se considera que esto requiere que el maestro ponga en juego los siguientes

conocimientos matemáticos para la enseñanza: conocer que en contextos aritméticos el signo



59

igual se utiliza para vincular dos cantidades iguales en valor (CCK); conocer que este uso del

signo igual da cuenta que la estudiante interpreta a este símbolo como un conector entre dos

objetos que se corresponden de alguna forma (SCK); conocer que el signo igual es objeto de

enseñanza (KCC). Si bien se entiende que para esta práctica los conocimientos mencionados

serían suficientes para reconocer el error, su procedencia y hacerse cargo de su enseñanza, se

aprecia que posiblemente un docente también podría movilizar alguno de los siguientes

conocimientos al desarrollar esta práctica: conocer que algunos de los escolares

probablemente utilice el signo igual para vincular dos objetos diferentes al encontrar cierta

relación que los vincule (KCS); conocer que algunas tareas escolares podrían favorecer que

los estudiantes construyan estos significados alrededor del signo igual (KCT); conocer que las

interpretaciones relacionales del signo igual son fundamentales para el aprendizaje del tema

ecuaciones.

En relación a los usos y significados del signo igual, esta tarea permite explorar el uso del

signo igual para relacionar un número que representa un porcentaje de cierta cantidad, con el

porcentaje correspondiente, uso que en Medina (2016) se evidenció en estudiantes

magisteriales y se vinculó al significado indicador de cierta conexión o correspondencia. Se

entiende que aquellos maestros que indiquen esta producción como correcta, sin señalar

reparos con el planteo de estas dos igualdades, estarán utilizando el signo igual bajo el

significado indicador de cierta conexión o correspondencia, vinculando mediante este signo

cantidades de distinto valor con base en apreciar que existe un vínculo entre ellas. Dado que

ninguna de las dos sentencias muestra una igualdad entre las cantidades expresadas a ambos

lados del signo igual, se entiende que estos maestros no están poniendo en juego el

significado equivalencia numérica.

Por otra parte, aquellos maestros que señalen un error en el planteo de estas igualdades,

habrán advertido que no hay igualdad numérica entre las cantidades expresadas a ambos lados

del signo igual, interpretándolo bajo su significado equivalencia numérica.



60

b.5 Pregunta 2.4:

Se entiende que el conocimiento matemático necesario para identificar que las sentencias

30 = 1

4 y 120 =

4

4 no son igualdades es conocer que en contextos aritméticos el signo igual se

utiliza para vincular dos cantidades iguales en valor, conocimiento que se vincula al

subdominio CCK.

Al igual que en la tarea 2.3 se aprecia que para realizar recomendaciones pertinentes será

necesario que el docente identifique que la dificultad de esta estudiante se encuentra en

atribuir al signo igual el significado indicador de cierta conexión o correspondencia. Se

entiende que la corrección de esta tarea requiere que se pongan en juego al menos los

siguientes conocimientos matemáticos: conocer que en contextos aritméticos el signo igual se

utiliza para vincular dos cantidades iguales en valor (CCK); identificar que las sentencias

producidas por la estudiante involucran el uso del signo igual como indicador de cierta

conexión o correspondencia (SCK). Por otra parte, se aprecia que los docentes podrían poner

en juego también alguno de los siguientes conocimientos: conocer que algunos de los

escolares probablemente utilice el signo igual para vincular dos objetos diferentes al encontrar

cierta relación que los vincule (KCS) o conocer qué estrategias didácticas resultan potentes

para superar estas dificultades (KCT).



61

En relación a los usos y significados del signo igual, esta tarea pretende identificar si los

maestros admiten su uso para relacionar un número que representa una fracción de cierta

cantidad con dicha fracción o un número que representa la totalidad con una escritura

fraccionaria del número uno. Este uso que surge del análisis preliminar de los cuadernos no ha

sido explorado aún en la bibliografía consultada y es interés de este estudio observar si los

maestros aceptan o no este uso por parte de los escolares.

Se entiende que aquellos maestros que indiquen esta producción como correcta, sin señalar

reparos con el planteo de las dos igualdades ubicadas en la columna izquierda, estarán

admitiendo el uso del signo igual bajo el significado indicador de cierta conexión o

correspondencia. Por otra parte, aquellos maestros que señalen esta producción como

incorrecta, acompañando su corrección con algún argumento que apunte a que las sentencias

30 =1

4 y 120 =

4

4 no son igualdades o que las expresiones vinculadas por el signo igual no

son iguales en valor, estarán atribuyendo al signo igual su significado equivalencia numérica.

c) Pregunta 3

c.1 Pregunta 3a y 3b

Esta actividad, basada en una actividad similar propuesta por Knuth et al. (2008) y Burgell

(2012), pretende explorar de forma más abierta los conocimientos matemáticos que son

puestos en juego al definir y ejemplificar el signo igual.

Se considera que para realizar con éxito esta tarea los docentes deberán conocer que el signo

igual es el símbolo que representa la equivalencia y que en contextos aritméticos se utiliza

para vincular cantidades iguales en valor, estas respuestas son coherentes con atribuir al signo

igual su significado equivalencia numérica o de forma más amplia, conceptualizarlo bajo su

significado expresión de equivalencia.



62

c.2 Pregunta 3c:

Se considera que esta pregunta posibilitará que los maestros propongan usos del contexto

escolar que no han sido contemplados por las otras actividades propuestas en el cuestionario.

Se entiende incluso que esta actividad podría habilitar a que se detectaran usos y significados

que no han sido reportados aún en la bibliografía lo que permitiría ampliar la clasificación

tomada con base en los trabajos de Molina (2006) y Burgell (2012).

Cabe señalar que en caso que aparezcan en un mismo docente varios usos del signo igual,

asociados a múltiples significados, todos estos serán tomados en consideración. En aquellos

casos en los que los usos correspondan a un mismo significado, este será tomado como único.

Aquellas respuestas no previstas por este análisis, serán categorizadas de ser posible según el

marco teórico o se analizarán en vistas de una ampliación del mismo.

c.3 Pregunta 3d:

=

Se pretende con esta pregunta complementar la información recabada en los puntos anteriores.

d) Pregunta 4:

Esta actividad de carácter abierto invita a los maestros a indicar si han detectado dificultades

vinculadas al aprendizaje del signo igual y en caso afirmativo, que describan y ejemplifiquen

estas dificultades.

La tarea de identificar dificultades es una tarea propia del docente, que requiere prestar

atención a las producciones de los escolares e interpretarlas con actitud investigativa. Se

entiende que esta actividad permitirá profundizar la exploración sobre los conocimientos



63

desarrollados por los maestros en torno a la enseñanza del signo igual, permitirá conocer si los

maestros han notado o no estas dificultades y explorar cuáles son las dificultades detectadas.

Por otra parte, la descripción de las dificultades asociadas y los ejemplos planteados por los

docentes permitirán complementar los significados del signo igual que atribuyen los maestros,

conocer cuáles son los conocimientos matemáticos para la enseñanza que los maestros ponen

en juego al reportar estas dificultades e identificar los subdominios del MKT que se movilizan

en dicha práctica.

III. 3.C Sobre la aplicación del cuestionario

La aplicación del cuestionario se organizó con antelación para favorecer que todos los

maestros adscriptores de esta escuela participaran de esta investigación. Se acordó con la

maestra directora su aplicación para el día 27 de julio de 2017 en el horario de recreo de cada

uno de los turnos: a las 10:00 el turno matutino y a las 15:00 horas el turno vespertino. De

esta forma se buscó que los docentes realizaran el cuestionario en su horario laboral y

asimismo se procuró evitar pérdidas de clase para los escolares, previendo que los maestros

practicantes se hicieran cargo del grupo si el trabajo en el cuestionario se extendía en más de

media hora. Según lo previsto los maestros adscriptores del turno matutino realizaron el

cuestionario ese día en horario de la mañana y los maestros adscriptoras del turno vespertino

lo realizaron en horas de la tarde. El día estipulado la maestra directora no se presentó por

encontrarse con licencia médica, dejando instrucciones a la maestra subdirectora que se

procediera con la investigación según lo previsto. Esto llevó a que la aplicación de las

preguntas del cuestionario a la maestra directora quedara postergado para más adelante,

realizando finalmente el cuestionario el día 30 de agosto de 2017.

Como se mencionó anteriormente, una de las maestras del turno vespertino (maestra

denominada “M8”) realizó comentarios que a entender de la investigadora alteraron las

respuestas de las otras cuatro docentes que compartían el salón, pues estas modificaron las

respuestas que habían dado hasta ese momento a las tareas del cuestionario. Por ese motivo se

decide descartar de la población de estudio a estas cuatro participantes.

Cabe agregar que los maestros fueron advertidos con anticipación por la maestra directora que

habrían de realizar una actividad fuera de su rutina, pero no fue comunicada la temática

abordada por este estudio. Se les informó que se trataba de un trabajo vinculado a un estudio



64

de maestría que buscaba tender puentes entre el Instituto de Formación Docente y los

maestros que trabajan en las escuelas y que el cuestionario y las entrevistas buscaban recabar

información sobre las necesidades formativas de los maestros para posteriormente desarrollar

talleres en la escuela.

El cuestionario fue entregado en hojas separadas por tarea, tal y como se muestra en el anexo,

y cada hoja fue asignada a cada docente de forma separada y secuenciada, para ser realizadas

las actividades propuestas de forma individual y con bolígrafo, entregando inicialmente a los

maestros de cada turno la pregunta 1, cuando cada maestro entregaba esta tarea, se le

entregaba la pregunta 2.1, y con el mismo criterio, la pregunta 2.2, etcétera. Este proceso llevó

un tiempo aproximado de 30 minutos. Cabe aclarar que se adoptó esta forma de administrar el

cuestionario para identificar posibles modificaciones en las respuestas y poder captar

respuestas espontáneas ante un eventual aprendizaje promovido a partir de la realización de

las actividades.

III.4 Las entrevistas

Con la intención de ampliar la información obtenida a partir del cuestionario se entrevistó a

tres maestros en forma posterior a la realización del cuestionario. Estas entrevistas tuvieron un

formato semiestructurado, una duración aproximada de cuarenta minutos y fueron audio

grabadas.

Las entrevistas buscaron atender dos aspectos. Por un lado se organizaron para abordar

algunas cuestiones que habían quedado inconclusas o que se apreciaron interesantes para

explorar con mayor profundidad en relación a las respuestas de los maestros a las tareas

propuestas a través del cuestionario. En este sentido, la narrativa obtenida se escuchó detenida

y reiteradamente y se seleccionó aquellos fragmentos que aportaban una ampliación a las

respuestas brindadas en el cuestionario, en particular, se buscó que estos dejaran en evidencia

a través de sus explicaciones o fundamentaciones, los conocimientos que los docentes

movilizaron al desarrollar las prácticas propuestas. Posteriormente se procedió a realizar la

transcripción del fragmento correspondiente y a realizar su análisis a la luz del marco teórico

elegido en esta investigación. Concretamente estas transcripciones se analizaron desde el

modelo MKT identificando los conocimientos matemáticos (tomando la definición de



65

conocimiento dada por Campos Lins, 1994) puestos en juego por los docentes al justificar o

amplificar sus respuestas.

Por otra parte, se aprovechó esta instancia para indagar los conocimientos movilizados por los

maestros cuando realizan las siguientes prácticas profesionales: anticipar respuestas de

escolares frente a tareas que involucran al signo igual, evaluar tareas para ser implementarlas

en el aula y corregir producciones de escolares al resolver tareas que incluían al signo igual.

En este sentido, se procedió de igual forma a la descrita anteriormente. En las narrativas de

los maestros se seleccionaron aquellos fragmentos que además de aportar información

vinculada a alguna de las tres prácticas profesionales permitían evidenciar las justificaciones

del docente al brindar su respuesta. Los fragmentos seleccionados se transcribieron y se

analizaron bajo el marco teórico aportado por Ball et al. (2008) identificando los

conocimientos matemáticos movilizados y vinculándolos con el subdominio del MKT

correspondiente. El diseño preliminar de las entrevistas puede verse en el anexo 3.



66

Capítulo IV: Resultados

En este capítulo se presentará en primer lugar una síntesis de las respuestas dadas por los

maestros a cada una de las tareas del cuestionario, acompañadas por un doble análisis: un

estudio focalizado en los usos y significados vinculados al signo igual (usando el marco

teórico propuesto por Molina, 2006, considerando la ampliación propuesta por Burgell, 2012)

y un análisis más amplio que observa desde el modelo MKT los conocimientos evidenciados

al realizar cada una de estas tareas, las relaciones entre estos y los subdominios del MKT

involucrados en cada una de las tareas realizada por el docente. Para sustentar las

afirmaciones realizadas se presentan imágenes de las respuestas dadas por los maestros o

fragmentos de las entrevistas realizadas, de forma de hacer explícitos los elementos que se

tienen en cuenta como evidencia de tales conocimientos.

Cabe señalar que para resguardar la identidad de cada uno de los maestros adscriptores se

asigna a cada uno de ellos una denominación que incluye la letra M seguida de un número de

una cifra. Así se tienen los maestros M1, M2, … , M8. Por otra parte, en este trabajo la

maestra directora queda designada con la denominación MD.

IV.1 Las respuestas y su análisis

Utilizando las preguntas del cuestionario como organizadoras de la presentación, se presentan

en este apartado las respuestas de los maestros a estas preguntas y a las preguntas de la

entrevista. Los fragmentos de entrevista se intercalan en los momentos que se aprecian que

aportan información pertinente para este estudio.

IV.1.A Pregunta 1

a) Pregunta 1a

Esta pregunta solicitó completar los espacios en la sentencia para

que fuera verdadera, indicando que se escriban todas las respuestas que se consideren



67

correctas en caso de ser posible. A continuación se presentan las respuestas de los docentes

agrupadas con base en los significados del signo igual que evidencian poner en juego.

a.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado operador

Dos de los nueve maestros participantes de este estudio responden de la siguiente forma:

Respuesta del maestro M1

Esto evidenció que el maestro M1 y la maestra directora interpretan en este contexto al signo

igual bajo el significado operador y para dar su respuesta ponen en juego el conocimiento (en

el sentido de Campos Lins, 1994) de que el signo igual separa una operación de su resultado.

Este conocimiento se vincula al subdominio CCK. Se observa que esta interpretación del

signo igual, que podría ser útil para dar solución a tareas de completar sentencias estándares,

no les permitió a estos maestros dar una respuesta que atienda la igualdad.

Posteriormente a la realización del cuestionario, se realizó una entrevista a la maestra

directora, consultándola nuevamente sobre su respuesta a esta tarea. En la entrevista la

docente reitera la respuesta dada en el cuestionario (30 y 33 respectivamente) y se la consulta

sobre otras posibles respuestas que los escolares podrían dar frente a esta tarea. Se presenta a

continuación un fragmento de la entrevista en el que se evidencia que esta maestra no anticipa

otras respuestas posibles y hace explícita su visión sobre cómo trabajar matemática en la

escuela:

Entrevistadora (E): ¿Qué otras respuestas consideras factible recibir si propones esa tarea?

¿Se te ocurre alguna otra respuesta?

Maestra directora (MD): Más que respuestas a mí me surgen preguntas porque… me podrían

ellos preguntar… seguramente en esta escuela, yo estoy hablando de los chiquilines en la

forma en la que yo estoy trabajando en esta escuela, seguramente me podrían preguntar ¿90

qué voy a dividir entre tres? O sea me van a preguntar la situación en la que generalmente

trabajamos inmersa la operación. Y qué le sumo, le sumo la misma cosa, naranjas porque si

no sumo la misma cosa seguramente el resultado no puede ser igual, porque si yo estoy

sumando naranjas y bananas no va a ser igual, eso me lo tienen que preguntar.

E: Pidiendo un contexto.



68

MD: Y tiene que tener un contexto porque si yo le digo en un cajón de naranja con un total de

90 se distribuyó en tres almacenes, cuánto le tocó a cada almacén si le agregamos tres

bananas… me entendés. Ahí hay una complicación, esa propuesta no está para…. Y ahí es

donde yo te decía del símbolo de igual. El signo igual está en relación a la matemática

abstracta pero si yo la contextualizo el signo igual, no sé…

En primer lugar se aprecia que la maestra directora no logró anticipar otra respuesta más allá

de la suya propia, y en este sentido se observa que un conocimiento limitado en el subdominio

CCK no solo impidió que esta maestra responda a la tarea atendiendo a la igualdad, sino que

incidió en la capacidad de esta maestra para anticipar respuestas de escolares, más allá de la

suya propia.

Por otra parte, el discurso de la maestra directora deja apreciar que no comparte la propuesta

planteada por presentarse en forma descontextualizada y que plantea reparos al uso de tareas

intramatemáticas en la escuela que dirige. Los siguiente fragmentos de la entrevista permiten

apreciar su visión del trabajo matemático en esa escuela:

“las matemáticas para trabajarlas, cualquier situación que yo vaya a plantear, tiene que estar

contextualizada”.

“las operaciones planteadas aisladamente serían una ejercitación de saberes adquiridos pero

no siempre un razonamiento o algo que te lleve a una investigación. Entonces no la plantearía

así, le daría un cuadro, un enmarque. Estoy negada con esa propuesta”.

Se interpreta que el trabajo en contexto intramatemático como el que plantea esta pregunta no

es usual en esta escuela y que esa situación está alineada con los conocimientos que ha

construido su líder pedagógico sobre la enseñanza de la matemática. Se entiende que estos

conocimientos inciden y se materializan en las prácticas de aula y que constituyen por lo tanto

conocimientos matemáticos para la enseñanza.

Se identifican en la narración de esta maestra los siguientes conocimientos (en el sentido dado

por Campos Lins, 1994): las tareas escolares deben estar contextualizadas, las tareas

descontextualizadas como la tarea propuesta se limita a una mera ejercitación y las tareas que

proporcionan un contexto son más ricas que las que se proponen en un contexto

intramatemático. Se vinculan estos conocimientos al subdominio conocimiento del contenido

y su enseñanza, pues son de índole netamente didáctico y se vinculan directamente con las

decisiones sobre las tareas que los docentes llevarán al aula.



69

Se entiende que estos conocimientos y en general el subdominio KCT, tendrán especial

incidencia en las tareas que el docente selecciona para llevar al aula, siendo particularmente

de interés para desarrollar la práctica “evaluar tareas para implementarlas en el aula”.

a.2 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica

Las maestras M3, M5, M6, M7 y M8 completan los espacios en blanco formando igualdades:

Respuesta dada por la maestra M3

Se interpreta que estas cinco maestras dan su respuesta poniendo en juego su conocimiento de

que el signo igual se utiliza para vincular dos expresiones de igual valor, conocimiento que se

vincula al subdominio CCK, evidenciando atribuir al signo igual el significado equivalencia

numérica.

Se entrevistó a la maestra M5 con la intención de conocer si esta maestra logra anticipar otras

respuestas posibles de los estudiantes. El siguiente fragmento de la entrevista se obtiene a

partir de esa consulta:

M5: Probablemente te digan que no se puede hacer una igualdad, 90 ÷ 3, te va a dar

un número solo, no te puede dar con una suma, depende también el grado en el que

presentes la propuesta, si en sexto que es mi clase, tal vez alguno lo pueda resolver,

pero la primera impresión va a ser no, no puede haber una igualdad con una suma

porque si estoy dividiendo me va a dar un número solo, seguramente.

Más adelante esta maestra hace explícito su conocimiento de que el trabajo con tareas no

estándares no es usual en la escuela:

M5: Lo que pasa es que generalmente no se presentan situaciones de ese tipo en la

clase.

Esta maestra, luego de anticipar que los estudiantes podrían responder con 27 y 30 a esta

tarea, anticipa otra respuesta coherente de una visión operacional del signo igual:

E: ¿Y si se equivocaran? ¿Qué podrían responder?



70

M5: Podrían poner treinta más tres, por ejemplo. Podrían poner el resultado noventa

dividido tres que saben que da treinta, treinta más tres, treinta y tres, tal vez se

puedan equivocar ahí, y no se dan cuenta que lo que tienen que poner son igualdades,

que esto que es treinta, esto tiene que ser treinta y esto tiene que ser treinta. No sé, no

me doy cuenta de otra cosa. A veces es difícil ponerse en la mente de los niños

también.

Al expresar “Lo que pasa es que generalmente no se presentan situaciones de ese tipo en la

clase” se entiende que esta maestra conoce que en la escuela no se trabajan habitualmente

tareas con operaciones a ambos lados del signo igual, conocimiento que se vincula al

subdominio KCT.

Se aprecia asimismo que esta maestra pone en juego el conocer que el signo igual separa dos

expresiones de igual valor para anticipar que los niños podrían responder con 27 y 30 en los

espacios, conocimiento vinculado al subdominio CCK.

Al expresar “Podrían poner treinta más tres, por ejemplo. Podrían poner el resultado

noventa dividido tres que saben que da treinta, treinta más tres, treinta y tres, tal vez se

puedan equivocar ahí, y no se dan cuenta que lo que tienen que poner son igualdades” se

entiende que esta maestra es consciente de los conocimientos matemáticos que esta tarea

puede evocar y teniendo en cuenta que esa consciencia de la matemática involucrada en la

tarea es solo pertinente para la tarea docente, se vincula este conocimiento al subdominio

SCK.

En el primer fragmento de la entrevista esta maestra evidencia que conoce que los niños,

especialmente de clases inferiores, quedarían sin respuesta ante una tarea no estándar y se

observa que esto le permite anticipar que los niños podrían dar como respuesta “la tarea no se

puede resolver”; se entiende que esta respuesta está basada en el conocimiento del contenido

y los estudiantes y se vinculan estos conocimientos con el subdominio KCS. Sin embargo se

aprecia que este conocimiento también involucra conocer las tareas que habitualmente se

desarrollan en el aula y en ese sentido se entiende que en esta respuesta se movilizan

conocimientos del subdominio KCT.



71

Se concluye que esta maestra logra anticipar respuestas dadas desde una visión operacional y

relacional del signo igual, y que para ello pone en juego conocimientos que provienen de los

subdominios CCK, SCK, KCS y KCT.

a.3 Maestros que dejan sin hacer esta tarea

La maestra M4 deja sin hacer esta tarea.

Con base en la información dada por la maestra directora de esta escuela, se entiende que

probablemente esta situación sea novedosa para la maestra M4 y que tal vez se sintió como la

maestra directora, “negada con esa propuesta”. Dado el rol que tiene como maestra

adscriptora con amplia experiencia y teniendo en cuenta que la investigadora es docente en el

Instituto de Formación Docente en la misma ciudad, posiblemente factores emocionales

podrían incidir para que esta maestra decidiera no dar una respuesta a esta y a otras tareas del

cuestionario. Cabe agregar que esta maestra deja sin hacer tres de las nueve tareas que se

plantean en las preguntas 1 y 2 y muchas de las tareas de la pregunta 2 que sí responde, lo

hace sin tomar posición respecto a la validez o no de la respuesta dada por los escolares. Se

interpreta pues que esta maestra probablemente sienta inseguridad respecto a sus propias

respuestas y que esto explique este hecho.

Por lo expuesto, se interpreta que en la práctica de “completar espacios en blanco” podrían

intervenir aspectos emocionales como ser: inseguridad frente a lo que sabe, temor a las

propuestas novedosas, ansiedad frente a lo que se pueda requerir, temor a quedar en evidencia

frente a sus pares, directores e investigadora, etcétera. Se entiende que estos aspectos

posiblemente inciden en las decisiones tomadas por los maestros, pero teniendo en cuenta que

las emociones, en tanto no son conocimientos incluso en el sentido amplio del término

considerado en este trabajo, no pueden ser analizadas desde el marco teórico elegido.

a.4 Maestros que dan respuestas que no se pueden clasificar

La maestra M2 responde de forma confusa a esta tarea y esto no permite identificar bajo qué

significado del signo igual brinda esta respuesta:



72

Respuesta de la maestra M2

Surgen dos hipótesis posibles sobre la interpretación dada al signo igual: al observar cómo

completa el primer espacio se podría señalar que pone en juego una visión operacional y que

luego responde con 27 al confundir la suma con una resta; por otro lado, al observar que los

valores colocados se corresponden en forma invertida, con aquellos dados desde una visión

relacional del signo igual, se entiende que podría haber resuelto mentalmente la situación y

confundido las posiciones al dejar un registro escrito. Por lo expuesto en relación a los

significados del signo igual que pone en juego la docente, se categoriza esta respuesta como

sin clasificar.

a.5 Maestros que modifican su respuesta

Las maestras M7 y M8 dan las siguientes respuestas frente a esta tarea:



Se observa que estas maestras dieron una respuesta espontánea y luego la modificaron,

dejando solo una respuesta para esta tarea, aun cuando la consigna invitaba a dar varias

respuestas en caso de considerarlas correctas.

Las respuestas de ambas maestras evidencian que el significado operador fue el primero en

ser evocado llevándolas a responder con 30 y 33 estos espacios. Se observa que luego

evocaron el significado equivalencia numérica para sustituir el 30 por el 27 y el 33 por el 30.

Se entiende que ambos significados integran el conocimiento común de estas maestras, es

decir, ellas conocen que el signo igual vincula dos expresiones iguales en valor y conocen que



73

habitualmente el resultado de la operación que se plantea a la derecha del signo igual se ubica

inmediatamente a la derecha de este signo. Se entiende que al menos en estos dos casos, el

significado operador fue descartado como opción válida para resolver particularmente esta

situación y que el significado relacional del signo igual prevaleció frente al operacional.

Esto lleva a plantear que posiblemente aquellos maestros que dan su respuesta desde una

visión operacional del signo igual, no logren evocar frente a esta tarea el significado

relacional del signo igual y se aprecia que en este caso sería positivo conocer qué aspectos

contribuyen a que este significado sea evocado. Esto escapa a los objetivos planteados en este

trabajo y se entiende que es necesario realizar mayor investigación para verificar esta

hipótesis.

b) Pregunta 1b

Esta pregunta solicitó completar el espacio en blanco en la sentencia ×para

que esta fuera verdadera, invitando a escribir todas las respuestas que consideren posible. A

continuación se presentan las respuestas de los docentes agrupadas con base en los

significados del signo igual que evidencian poner en juego.

b.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado operador

Tres maestros completan el espacio en blanco con un 5:


Los maestros M1, M2 y la maestra directora responden a esta tarea poniendo en juego el

conocimiento (en el sentido dado por Campos Lins, 1994) de que el signo igual separa una

operación de su resultado que es colocado inmediatamente a su derecha, conocimiento

correspondiente al subdominio CCK que se vincula al significado operador.

Esta respuesta evidencia que estos maestros mantienen visiones operacionales del signo igual

lo suficientemente fuertes y visiones relacionales lo suficientemente débiles para que el

término “+ 1” no evoque el conocimiento de que el signo igual se utiliza para vincular dos



74

expresiones que se refieren a un mismo valor. Se observa que el maestro M1 y la maestra

directora habían puesto el signo igual bajo este mismo significado para dar respuesta a la tarea

1a mientras que la maestra M2 había dado una respuesta confusa a esa tarea.

La maestra directora completa la sentencia agregando otro signo igual a la sentencia:

Se entiende que el agregado del “=6” permite darle sentido a la expresión que está a la

derecha del (primer) signo igual y que posee dos términos (5 + 1), además pone en evidencia

la visión fuertemente operacional de esta maestra. Se observa que la propiedad transitiva no es

puesta en juego para corroborar si la sentencia escrita corresponde o no a una igualdad. Se

entiende que conocer y utilizar esta propiedad le permitiría a esta maestra identificar el error

en su respuesta y en las producciones de los estudiantes cuando estos trabajan con tareas que

involucran al signo igual.

b.2 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica

Cinco maestras dan respuestas como la siguiente:


Se interpreta que las maestras M3, M5, M6, M7 y M8 dan su respuesta con base en conocer

que el signo igual (en contextos aritméticos) se utiliza para separar dos expresiones con el

mismo valor (conocimiento que se vincula con el subdominio CCK) y que atribuyen al signo

igual el significado equivalencia numérica.

Teniendo en cuenta que en el proceso de resolución de esta tarea las docentes se vieron

enfrentadas a encontrar el número que hace que 5 = __ + 1 sea una igualdad, se considera que

esta tarea también evidencia que atribuyen al signo igual el significado expresión de una

acción y que conocen la propiedad recíproca de la igualdad. Este conocimiento integra

también el conjunto de conocimientos del subdominio CCK que son puestos en juego por

estas maestras para dar respuesta a esta tarea.



75

En la entrevista realizada a la maestra M5 se indaga en relación a esta tarea, en particular para

explorar si ella logra anticipar respuestas que podrían dar los escolares, más allá del 4 que ella

misma ha dado. Se observa que nuevamente esta maestra logra poner en juego el significado

operador para anticipar las respuestas que los escolares podrían dar:

M5: En sexto lo harían rapidísimo la mayoría. Tal vez duden, tal vez que dos coma

cinco por dos pongan cinco más uno, probablemente algunos lo hagan así, porque se

van a centrar en el resultado de dos coma cinco por dos, no en el signo igual, pero

con alguna intervención docente, decirles ¿están seguros que esto es una igualdad?

Ahí cambiarían enseguida…

Al expresar “se van a centrar en el resultado de…” y “no en el signo igual” esta maestra

moviliza saberes vinculados a conocer los conceptos matemáticos que pueden ser

involucrados esta tarea, concretamente conoce que en esta tarea el signo igual puede ser visto

como aquello que antecede al resultado de la operación, es decir, conoce que el signo igual

puede ser visto bajo el significado operador. Cabe agregar que la categorización de este

conocimiento requirió especial atención, puesto que se entiende que está muy cercano a otro

conocimiento vinculado al subdominio KCS: conocer que muchos estudiantes responderán

con el resultado de la operación que se plantea a la izquierda del signo igual, es decir, conoce

que muchos de sus estudiantes verán al signo igual como operador. Se entiende que ambos

conocimientos tienen importantes diferencias: el primero se vincula a los significados de los

objetos matemáticos que son puestos en juego en la tarea, es de orden matemático y está

incluido en lo que Ball y colaboradores denominan “un pensamiento flexible sobre los

significados en las formas en las que son distintivas del conocimiento especializado del

contenido” (2008, p. 402). El segundo involucra el conocimiento de lo que saben los

estudiantes en relación a esta temática, está incluido en lo que Ball y su equipo denominan

conocer cuáles podrían ser los errores más frecuentes de los estudiantes al realizar cierta tarea

y es de índole didáctico. Se considera que el primero no permitiría al docente anticipar

cuántos estudiantes responderán de una u otra forma, pero sí le permitiría explicar los

pensamientos que llevarían a una alumno a responder de esa forma; por otra parte,el

conocimiento vinculado al subdominio KCS permitiría a un docente que ha apreciado cierto

error en sus alumnos anticipar cuántos estudiantes podrían dar tal o cual respuesta, aún sin

tener una explicación matemática para este hecho.



76

Se entiende que en el caso particular que se analiza, la maestra da muestras de conocer que los

estudiantes posiblemente vean al signo igual como aquello que separa una operación de su

resultado, es decir, conoce que el signo igual puede ser visto como un símbolo operador. Se

interpreta pues que para anticipar las respuestas que podrían dar los escolares esta maestra

puso en juego conocimientos del subdominio SCK. Por otra parte, se observa que al expresar

“En sexto lo harían rapidísimo la mayoría”; “probablemente algunos lo hagan así” y “Ahí

cambiarían enseguida” la maestra involucra aspectos vinculados al pensamiento de sus

estudiantes para anticipar las respuestas de sus alumnos a esta tarea; en este sentido se aprecia

que participan en esta práctica conocimientos vinculados al subdominio KCS.

Al investigar con mayor profundidad la bibliografía vinculada al modelo MKT y en particular

al observar trabajos que profundizaran en el uso o análisis del subdominio SCK, se encuentra

que otros autores han reportado estas dificultades. Flores, Escudero y Carrillo (2013) con base

en una actividad propuesta en Suzuka, Sleep, Ball, Bass, Lewis y Thames (2009) en la que se

moviliza el SCK del profesor, concluyen que el SCK puede llegar a abarcar conocimientos de

diferentes tipologías, tanto relativos al conocimiento de los estudiantes (KCS), como al

conocimiento común (CCK). Si bien estos reportes son coherentes con los estrechos vínculos

observados en párrafos anteriores entre conocimientos de distintos subdominios, se entiende

que este modelo resulta una herramienta potente para promover el análisis de la multiplicidad

de conocimientos que se movilizan al desarrollar prácticas vinculadas a la enseñanza del signo

igual.

En síntesis, cuando esta maestra anticipó las respuestas que podrían dar los escolares

intervinieron los siguientes subdominios del MKT: CCK, SCK y KCS.

En esta misma entrevista esta maestra también deja ver que tareas como estas no son usuales

en la escuela y muestra cierta reticencia a utilizarlas. El siguiente fragmento de la entrevista

muestra el análisis que realiza esta maestra sobre esta tarea:

Entrevistadora (E): Bueno, ya me explicaste qué pensamientos sustentan esas

respuestas y qué otras respuestas consideras factible que den, ¿qué respuesta correcta

esperas que un niño conteste?

M5: Cinco. Ah no, correctamente 4+1. Lo que pasa que la trampa es el +1.

E: ¿Por qué decís trampa?



77

M5: Para el niño es una trampa, porque se va a fijar primero 2,5×2 y va a poner el

resultado directo. Tal vez que cuando ponga el resultado y vea el + 1…. Yo digo si le

ponés la tarea sin explicar nada, ¿no? Porque las consignas en la clase se explican.

Vos ponés una consigna y se explica, vamos a mirar…”.

A través de la narrativa de esta maestra, en la que señala que el niño “va a poner el resultado

directo”, se evidencia que ella conoce que los estudiantes seguramente darán su respuesta con

base en el formato “operación = respuesta”. Se interpreta además que esta maestra considera

deshonesto que sabiendo que seguramente el niño dará una respuesta equivocada el maestro la

plantee sin advertencias. Se entiende que los siguientes conocimientos se vinculan con el

subdominio KCS y que ambos inciden en la práctica de seleccionar tareas para ser propuestas

en el aula:

Conoce que los estudiantes responden siguiendo el formato “operación = respuesta”.

Conoce que los estudiantes se sentirían estafados si le propone esta tarea.

Por otra parte, más adelante en la entrevista se aprecia que esta maestra entiende que en caso

de proponer cierta tarea que anticipa que será vista por los estudiantes bajo un significado no

pertinente, debe explicar la consigna y reorientar la mirada de los estudiantes, a fin de que

estos puedan dar una respuesta acertada. Esto queda más explícito en el siguiente fragmento

de la entrevista.

E: O sea que si propusieras esa tarea, ¿tú explicarías que eso se está tratando de una

igualdad?

M5: O por lo menos focalizaría, no se olviden que acá lo que tenemos que tener son

igualdades, esto igual a esto, por lo tanto si son igualdades tienen que dar lo mismo.

Se aprecia que conocer que las consignas deben venir acompañadas de explicaciones que

permitan al alumno evocar el conocimiento que permite dar solución a la tarea forma parte

del contrato didáctico que esta maestra negocia con sus estudiantes y que este conocimiento

incide directamente en la selección de tareas que propone y seguramente en la forma que

propone estas tareas. Se interpreta que esta maestra evidencia poner en juego los siguientes

conocimientos cuando evalúa la pertinencia de proponer esta tarea a sus estudiantes y se

vinculan los mismos con el subdominio KCT:



78

Las consignas deben venir acompañadas de explicaciones que permitan al alumno

evocar el conocimiento que permite dar solución a la tarea.

El docente debe anticiparse a los errores y evitar que el niño se equivoque.

Se considera que estos conocimientos provenientes del subdominio KCT, al igual que

aquellos mencionados anteriormente provenientes del KCS repercuten de forma directa en la

selección de las tareas que esta maestra integrará al trabajo escolar y también en la mediación

que realice entre estas tareas y el alumno.

b.3 Maestros que dan respuestas que no se pueden clasificar

La maestra M4 da la siguiente respuesta a esta tarea:


Su respuesta es dejada sin clasificar respecto al significado del signo igual atribuido al dar

esta respuesta, puesto que ninguna de las visiones del signo igual da sentido a su producción.

Si se considera que la maestra M4 identifica que la expresión colocada a la derecha del signo

igual debe valer 5, no se aprecia coherente que no logre dar solución a la tarea de encontrar un

número que sumado a 1 da resultado 5. Por otra parte, si se considera que pone en juego una

visión operacional del signo igual y que el resultado de multiplicar 2,5 × 2 sea para esta

maestra 4,5, no se encuentra coherente que aprecie que 4,5 + 1 resulta 5. Se entiende que en

todos los casos esta respuesta es dada desde el subdominio CCK y se observa que tampoco en

este caso hay evidencias de que consulte la propiedad transitiva para verificar su propia

respuesta.



79

c) Pregunta 1c

Esta pregunta solicitó completar el espacio en la sentencia ×para que esta fuera

verdadera, indicando que en caso de considerar que hay más de una respuesta posible se la

escriba también.

Todos los maestros participantes de este estudio responden con un 6 en el espacio:


Se concluye que los nueve maestros que participan de este estudio resuelven con éxito tareas

que presentan un formato no estándar, cuando el espacio a completar se ubica del lado

izquierdo del signo igual.

Aunque esta respuesta se vinculó desde el marco teórico con el significado equivalencia

numérica, surgieron elementos que refuerzan la idea de que esta respuesta puede ser dada

también desde una interpretación operacional del signo igual.

A través de la entrevista con la maestra M5, se pudo conocer que esta maestra asume que los

escolares realizarán la operación planteada (12+6) para luego resolver la situación

equivalente. En la entrevista, al analizar con ella qué respuestas esperaría obtener frente a esta

tarea, ella relata:

“Ahí los chiquilines harían lo que está del otro lado del signo igual, porque es lo que

está completo, el término que está completo, para después doce más seis dieciocho

para poder resolver la otra operación, estoy segura que lo harían así”.

Si bien este comentario evidencia un conocimiento de esta maestra sobre las estrategias

empleadas por los niños al enfrentar esta tarea, se entiende que esto muestra también su

propio proceso de resolución, que podría eventualmente ser compartido por alguno de sus

colegas. La consideración de que esta estrategia puede formar parte de los contenidos a

enseñar por parte de este grupo de maestros, da elementos para decidir que una respuesta de 6

en ese espacio no debe considerarse evidencia de ser realizada desde una interpretación

relacional del signo igual.



80

El planteo expuesto anteriormente apoya la idea de que algunos maestros podrían conocer que

frente a una sentencia incompleta primero es conveniente efectuar todas las operaciones

planteadas, transformando el problema en otro equivalente y luego poner en juego el signo

igual bajo su significado operador, para dar la misma respuesta que aquellos que conozcan

que el signo igual vincula dos expresiones iguales en valor.

La situación planteada llevó a reflexionar sobre la existencia de conocimientos que sustituyen

con éxito local a otros, pero que dejan de tener validez fuera del contexto particular

proporcionado por las tareas trabajadas. Se entiende que el emplear la estrategia de efectuar

en primer término todos los cálculos actuando en forma conjunta con el significado operador

podría permitir a un maestro resolver correctamente esta situación, pero esta combinación de

conocimientos no será funcional en otras situaciones. Se vinculan todos estos conocimientos

al subdominio CCK y se aprecia que si bien esta tarea no resultó útil para evidenciar visiones

relacionales del signo igual, permitió identificar que aun cuando tres maestros dieron

muestras de interpretar operacionalmente al signo igual en las tareas 1a y 1b, estas visiones

pudieron conjugarse con estrategias de resolución de tareas para resolver con éxito esta

situación.

d) Pregunta 1d

Esta pregunta solicitó completar el espacio en la sentencia para que fuera

verdadera, indicando que se escriban también otras respuestas en caso de considerar que hay

más de una respuesta posible a esta tarea.

Los docentes dieron un abanico de respuestas diferentes a esta tarea, aunque todas ellas

implicaron realizar la división indicada. Dos de los docentes dejaron esta tarea sin respuesta;

las respuestas obtenidas se presentan organizadas en función a los significados del signo igual

que se evidencian en ellas.

d.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual los significados propuesta de actividad,

operador y aproximación.

El maestro M1 dio esta respuesta:

Las maestras M3, M6 y la maestra directora dieron respuestas como esta:



81

La maestra M8 brinda la siguiente respuesta:

La maestra M7 brinda esta respuesta:

Los siete maestros que responden a esta tarea realizan la operación para dar respuesta, esto

evidencia que el significado propuesta de actividad forma parte de los significados asociados

a este signo por la mayoría de los maestros de esta escuela. Se entiende además que este

significado promueve que se busque encontrar el resultado para completar ese espacio y que

esto promueve que se potencie también el significado operador pues se refuerza el formato

“operación = respuesta”. Se aprecia que utilizar el signo igual en el contexto escolar bajo el

significado propuesta de actividad promueve que los escolares atribuyan a este símbolo

además de ese significado, el significado operador; se entiende que evidencia de ello es que al

menos seis de estos maestros buscan obtener el resultado de esta operación y colocarlo a la

derecha del signo igual para dar respuesta a la tarea.

Por otra parte, la elección de qué se considera como “resultado” de esta división origina la

multiplicidad de respuestas que se ha recogido.

El maestro M1 responde con un 1, se interpreta que considera la operación como una división

entera y el cociente de esta división como “resultado” de ella.



82

Las maestras M3, M6 y la maestra directora responden con 1,7. Se entiende que en estos

casos ellas interpretan la operación como una división y toman como “resultado” el cociente

decimal obtenido al efectuar el algoritmo correspondiente, interrumpiendo el algoritmo

cuando obtienen la primera cifra decimal del cociente. Se observa que el significado

aproximación juega un papel importante en estas respuestas pues permite aceptar el valor 1,7

como cociente, aun cuando el maestro sea consciente de que este valor puede ser mejorado al

continuar el algoritmo.

Se observa que la maestra M8 responde con 1,7142857 dando una aproximación mucho más

precisa del cociente de dividir 12 entre 7, pero dado que no expresa que este número es

periódico igualmente se considera una aproximación. La maestra M7 responde con 2,2 y

aunque notoriamente equivoca el cálculo del cociente de esa división, se considera que los

significados que evoca para dar esa respuesta son propuesta de actividad, operador y

aproximación.

Por otra parte, se aprecia que el significado aproximación permite que el ciclo de

conocimientos puestos en juego al realizar esta tarea culmine con una respuesta que conforma

al maestro, contribuyendo a fortalecer cada uno de ellos. Se entiende que los significados

propuesta de actividad, operador y aproximación se suceden en este orden en el pensamiento

de estos maestros potenciándose uno a otro de forma tal que resulta complejo para un

maestro, más aún para un alumno, salir del embudo derivado de entender al signo igual como

propuesta de actividad. El siguiente diagrama sintetiza esta idea.



83

Figura 8: Significados implicados en el uso del signo igual como propuesta de actividad.

Fuente: elaboración personal.

Cabe agregar que el significado propuesta de actividad ocultó a los ojos de estos maestros

respuestas más económicas en relación al esfuerzo demandado para dar la respuesta, como

sería responder 12/7. Por otra parte, se entiende que admitir cualquiera de estos usos

contribuye también a fortalecer el significado indicador de cierta conexión o correspondencia,

promoviendo que el signo igual sea visto como un nexo entre dos objetos que se relacionan de

alguna forma.



84

Frente a la resolución de esta tarea se evidencia que la mayor parte de los maestros ponen en

juego los siguientes conocimientos (en el sentido de Campos Lins, 1994) del subdominio

CCK en el orden que se indican:

1. Consideran que el signo igual planteado a continuación de una operación invita a que

se efectúe la operación y proceden a realizar el algoritmo de la división.

2. Consideran que a continuación del signo igual se escribe el resultado de la operación.

3. Consideran que resultado es el cociente de la división entera con resto no nulo o una

aproximación del cociente decimal.

Se entiende que estos conocimientos se refuerzan unos a otros y que son alimentados por las

prácticas escolares que emplean al signo igual para invitar a realizar una operación. Se aprecia

que estos conocimientos jugarán un papel determinante para el diseño de tareas, y se observa

que si estos conocimientos no son complementados y revisados, posiblemente generen

situaciones en las que los estudiantes se vean atrapados en situaciones que no encuentren

respuestas matemáticamente correctas a su alcance.

Se observa que las maestras M3, M6 y M8 que evidencian conocer que el signo igual vincula

expresiones con el mismo valor y logran aplicar este conocimiento en otros contextos, en esta

situación particular del planteo horizontal de una división no logran poner en juego esos

conocimientos para advertir que sus respuestas no atienden a la igualdad. Los significados

relacionales del signo igual no logran emerger en el pensamiento de estas maestras en esa

situación particular. Se interpreta que atribuir al signo igual el significado propuesta de

actividad, dirige el pensamiento de todos estos maestros a efectuar el algoritmo de la división,

haciendo que el signo igual sea un objeto “transparente”, esto es, quedan inhibidos los

procesos de análisis necesarios para dar una respuesta matemáticamente correcta a la

situación.

En la entrevista realizada a la maestra directora, se quiso conocer si ella aceptaba o no el uso

del signo igual como propuesta de actividad. El siguiente fragmento de la entrevista evidencia

su posición al respecto:



85

Entrevistadora (E): Con respecto a la consigna, si se propone simplemente “a

dividir” y se pone simplemente 12 ÷ 7 =

E: ¿Sugerirías alguna modificación en esa consigna?

MD: No, no, modificación no, ¿por qué sugerir una modificación? Porque es un

número posible de dividir. Si no fuera posible de dividir lógico pero eso se puede

dividir.

Al evaluar la aplicación de esta consigna en el aula la maestra directora da evidencias de

poner en juego los siguientes conocimientos (en el sentido de Campos Lins, 1994):

Considera que esa tarea se responde efectuando la división, considera que

particularmente 12 y 7 “se pueden dividir” aunque sugiere que tal vez otros números

no se puedan dividir; se vinculan estos conocimientos al subdominio CCK.

Considera que el signo igual se utiliza para invitar a los alumnos a efectuar una

división; este conocimiento se vincula con el subdominio KCT dado que es de orden

netamente didáctico vinculado a las prácticas de enseñanza.

Considera que los alumnos frente a propuestas como la presentada, se volcarían a

realizar el algoritmo de la división; se vincula este conocimiento al subdominio KCS.

Se observa que la maestra directora no se opone al uso del signo igual como propuesta de

actividad; tampoco señala inconvenientes respecto a la elección del dividendo y el divisor que

integran la división que se le propone realizar a los escolares. En otra parte de esa entrevista

esta maestra no identifica que el cociente es una expresión periódica, e informa que las

respuestas de los escolares dependerán de hasta dónde se le indique “seguir” la división,

señalando que “todo depende si yo le digo bueno, llegar hasta el último dígito posible”.

Se aprecia que esta maestra no identifica los conocimientos matemáticos que son requeridos

para concretar la tarea solicitada (conocimiento que se vincula con el subdominio SCK), y

que esto no le permite vincular estos conocimientos con los conocimientos enseñados en la

escuela (implicando un diálogo entre el SCK y el KCT); tampoco da muestras de evaluar si

los estudiantes tienen las herramientas necesarias para realizar esta tarea (esto implicará

diálogos entre SCK, KCT y KCS). Se entiende, pues, que limitaciones en los conocimientos

del subdominio SCK, fundamentalmente en relación a identificar cuáles son los



86

conocimientos matemáticos implicados en cierta tarea, restringe las posibilidades de que el

docente seleccione o diseñe actividades apropiadas para llevar al aula.

En particular, se observa que sería importante complementar el subdominio SKC de esta

maestra con los siguientes conocimientos:

Conocer que no toda división arroja resto nulo.

Conocer que el cociente de una división puede ser una expresión decimal periódica

con período distinto de cero y las condiciones que establecen que lo sea.

Conocer que si el divisor no es divisible exclusivamente por múltiplos de 2 y/o 5 el

cociente de esa división podrá ser un número racional periódico de período distinto de

cero.

Conocer que la cantidad de cifras del período depende del dividendo y del divisor.

En síntesis, en este punto se pudo apreciar que frente a la práctica de seleccionar tareas para

desarrollar en el aula, la maestra directora responde poniendo en juego algunos conocimientos

vinculados a los subdominios KCT y KCS (conocer que el signo igual se utiliza como

propuesta de actividad y conocer que los alumnos frente a propuestas como esa se largarán a

hacer el algoritmo de la división); estos conocimientos le permitieron anticipar el camino de

resolución que se entiende emplearían los estudiantes para la resolución de las tareas, pero el

hecho de no movilizar conocimientos desde el subdominio SCK le impide identificar los

conocimientos matemáticos que deberán ser puestos en juego en esa tarea limitando su

capacidad de apreciar que la solución de la tarea excede los conocimientos pretendidos en la

escuela.

A través de su narrativa se interpreta que el planteo de esta tarea en la escuela es habitual y se

aprecia que esto promueve que los escolares refuercen los siguientes significados del signo

igual: propuesta de actividad, operador, aproximación, indicador de cierta conexión o

correspondencia. Por lo expuesto, se entiende que es fundamental fortalecer los

conocimientos de este grupo de maestros en relación al subdominio SCK para que logren

anticipar los conocimientos matemáticos requeridos por tareas como esta. En particular:

conocer que no toda división arroja resto nulo,



87

conocer que el cociente de una división puede ser una expresión decimal periódica de

período distinto de cero,

conocer que si el divisor no es divisible exclusivamente por múltiplos de 2 y/o 5 el

cociente de esa división es un número racional periódico de período distinto de cero,

conocer que la cantidad de cifras que componen el período depende del dividendo y

del divisor,

contribuiría a mejorar la capacidad de estos maestros de identificar los conocimientos

matemáticos requeridos para realizar una tarea y controlar las variables didácticas para regular

la dificultad de tareas como esta.

d.2 Respuesta que evidencia atribuir al signo igual los significados propuesta de actividad,

operador e indicador de cierta conexión o correspondencia

La respuesta de la maestra M5 frente a esta tarea fue la siguiente:

Esta maestra responde con dos cantidades que parece vincular al cociente y al resto de la

división, más allá de que el cociente referido debió ser 1 en lugar de 7. En la entrevista, al

consultarla sobre la escritura empleada para dar esta respuesta, la maestra plantea que no

acepta el uso del signo igual para vincular una división entera con resto no nulo con su

cociente, y repite su forma de responder a este tipo de planteos con otro ejemplo:

Se interpreta a través de su discurso que ella considera que el cociente y el resto son el

“resultado” de esta división, y que el conocimiento de que la división entera devuelve dos

elementos en lugar de uno, incide en esta consideración y es decisiva en la elección de la



88

notación que elige emplear para sus cursos. El siguiente fragmento de la entrevista evidencia

lo dicho:

“91 : 3 = 30 yo les digo que no, que esto está equivocado, entonces hacemos varias, a

ver por qué yo digo que está equivocado todo eso, los hago razonar y cuando hacen el

algoritmo, entonces los hago visualizar si esto es igual a 30. Porque estoy trabajando

las propiedades de la división, estoy trabajando los términos de la división, ¿cuáles

son los términos de la división? Cociente por divisor me tiene que dar este (hace

referencia al dividendo) ¿Da este? No, no da este. Da esto por esto más esto (hace

referencia a que el dividendo debería ser el resultado de multiplicar el divisor por el

cociente más el resto). Entonces quiere decir que el resultado no es este, (señalando el

30 colocado a continuación del signo igual), que el resultado es el cociente y el resto.

Esto sí es una igualdad: cociente 30 y el resto 1. Esto es igual a esto (señala la

sentencia que explicita el cociente y el resto), pero esto no es igual a esto (señala

91 ÷ 3=30). No sé si está bien, yo lo hago así, porque a mí me parece que si no, no

trabajamos las propiedades de la división, y cuáles son las relaciones entre los

elementos que tiene la división.”

Se interpreta que la maestra M5 identifica la sentencia 91 ÷ 3 = 30 como falsa al poner en

juego la definición de igualdad y al constatar que la sentencia no es una igualdad esto la

moviliza a buscar un planteo que sí contemple el resto, planteo que encuentra a través de la

siguiente notación:

Se entiende que para dar su respuesta esta maestra evidencia poner en juego al menos los

siguientes conocimientos que se incluyen en el subdominio CCK:

1. Considera que el signo igual planteado a continuación de una operación invita a que se

efectúe la operación.

2. Considera que a continuación del signo igual se escribe el resultado de la operación.



89

3. Conoce que la división entera devuelve dos elementos, cociente y resto y vincula este

par con el “resultado” de la división.

4. Considera que el signo igual se puede emplear para vincular dos objetos que se

corresponden de alguna forma.

En síntesis, la maestra M5 pone en juego conocimientos del subdominio CCK para invalidar

el uso del signo igual para vincular una división entera con resto no nulo a su cociente; desde

este mismo lugar propone vincular por medio del signo igual una división entera con resto no

nulo con el par: cociente y resto de dicha división.

d.3 Maestros que dejan esta tarea sin responder

Las maestras M2 y M4 dejan esta tarea sin hacer. Dado que ambas maestras se desempeñan

en los niveles iniciales (primero y segundo) de primaria que aún no abordan el algoritmo de la

división, se aprecia que probablemente no se sienten confiadas para dar una respuesta o que

perciban una presión respecto a que saben que sus respuestas serán observadas y analizadas.

Se aprecia que probablemente exista entre este colectivo docente inseguridad respecto a sus

propias respuestas o a la situación de que sus respuestas sean observadas y analizadas y que

estos aspectos emocionales lleven a algunos de estos maestros a dejar sin responder aquellas

tareas en las que se sientan más inseguros, pero se carecen de evidencias que confirmen estas

apreciaciones.

IV.1.B Pregunta 2

a) Pregunta 2.1.a

Esta pregunta solicitó a los maestros corregir el trabajo de Delfina, señalar los errores en caso

de existir y realizar recomendaciones que orienten a la estudiante para mejorar su trabajo,

presentándoles la siguiente producción:



90

Tarea 1: Completa

A continuación se resumen las respuestas de los docentes agrupadas con base en los


a.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado operador

Dos maestros corrigen esta tarea como correcta:

Tarea corregida por el maestro M1

El maestro M1 y la maestra directora evidencian atribuir al signo igual el significado operador

y esto no les permite identificar el error matemático en la producción de esta escolar. Se

aprecia que el conocimiento puesto en juego para dar esta respuesta ha sido considerar que el

signo igual separa una operación de su resultado, conocimiento que no permite identificar que

la sentencia escrita por esta alumna es matemáticamente incorrecta. Se vincula este

conocimiento con el subdominio CCK y se observa que un conocimiento insuficiente en este

subdominio impidió que estos maestros identifiquen el error de la estudiante y también anuló

sus posibilidades de realizar sugerencias para que la niña complemente los significados

asociados al signo igual.



91

a.2 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica

Tres maestras identifican que la producción de esta escolar no es correcta, dando respuestas

como la dada por la maestra M2:

Al señalar esa respuesta como incorrecta, las maestras M2, M7 y M8 evidencian poner en

juego el signo igual bajo el significado equivalencia numérica. Se entiende que conocer que el

signo igual se utiliza para vincular dos expresiones iguales en valor es un conocimiento del

subdominio CCK que intervino en esta práctica y que resultó suficiente para identificar el

error en la producción de una escolar.

Por otra parte, al realizar las recomendaciones para que la escolar mejore su trabajo, la

maestra M2 señala “te apuraste”, dando muestras de atribuir el error a un apuro o distracción

de la estudiante sin interpretar que la estudiante ha puesto en juego una interpretación

inadecuada del signo igual. Esto evidencia que la maestra no logró identificar los

conocimientos matemáticos que podrían ser puestos en juego en esa tarea, en particular, que

existen al menos dos conocimientos (en el sentido de Campos Lins, 1994) asociados al signo

igual, vinculados a los significados operador y equivalencia numérica, que podrían dar

respuestas diferentes a esta misma tarea. Se entiende que conocer que el signo igual puede ser

vinculado a distintos significados y conocer cada uno de los significados de la categorización

de Molina (2006) son saberes valiosos en el momento de identificar la fuente del error en las

producciones incorrectas de escolares; se vinculan estos conocimientos al subdominio SCK.

Por otra parte, se observa que conocimientos incompletos en este subdominio imposibilitaron

que esta maestra identifique la verdadera fuente del error, la llevaron a buscar otros

“responsables” de esta dificultad e imposibilitaron que la verdadera dificultad resulte visible

para ella.



92

Nuevamente se apreciaron dificultades para categorizar este conocimiento. Se consideró que

al involucrar significados se involucra al estudiante y en este sentido el conocimiento pasaría

a ser de corte didáctico. Sin embargo, como se expuso anteriormente se identificó un

importante peso de los aspectos matemáticos en estos conocimientos que llevaron al rechazo

de esta idea. El trabajo de Suzuka et al. (2009) en el que los autores señalan que una habilidad

demandada por el subdominio SCK es interpretar las producciones matemáticas de los

estudiantes, ayudó a identificar que el conocer los distintos significados del signo igual forma

parte del subdominio SCK.

Se entiende que conocer los conocimientos matemáticos que moviliza la tarea propuesta es

fundamental para identificar la fuente del error y esto a su vez, es imprescindible para realizar

recomendaciones a los estudiantes que contribuyan a superar las dificultades. Por otra parte,

se aprecia que la ausencia del conocimiento aportado por el subdominio SCK promovió que

esta maestra señalara al alumno como fuente de las dificultades apreciadas en su producción.

Se observa también que a través de la sugerencia realizada por esta maestra es posible

apreciar que ella conoce que muchos de los escolares brindan respuestas sin realizar un

análisis previo y se aprecia que este conocimiento fue movilizado al señalar ese aspecto como

fuente del error. Bajo esa interpretación se entiende que el subdominio KCS ha sido puesto en

juego por esta maestra al dar su respuesta, aunque se observa que esta docente parece

desconocer que probablemente muchos de sus propios alumnos darían la misma respuesta que

Delfina frente a esta tarea y que su dificultad trasciende a un simple apuro por responder.

Por otra parte, se entiende que las sugerencias dejadas al estudiante “Realizaste la suma sin

tener en cuenta que debes agregar 1 al resultado” evidencia cierto conocimiento de los

procesos que permiten a los estudiantes corregir sus errores. Se observa además que el uso del

término resultado podría ser un obstáculo al intentar elaborar una explicación para sus

alumnos. En este sentido, se entiende que esta maestra da su respuesta involucrando también

conocimientos vinculados al subdominio KCT.

En síntesis, se entiende que la maestra M2 responde a la práctica de corregir producciones de

escolares poniendo en juego conocimientos de los subdominios: KCT y KCS, siendo visible

la necesidad de conocer qué conocimientos del signo igual podrían ser puestos en juego para



93

hacer esta tarea. Si bien se entiende que la sugerencia dejada por la docente permitiría a un

alumno mejorar su respuesta a esta tarea de forma puntual, se considera que esta respuesta no

promueve que el estudiante supere de forma profunda y permanente las dificultades que

evidenció al dar esta respuesta. Se aprecia que los conocimientos aportados por el subdominio

SCK son cruciales para que el docente pueda interpretar las dificultades de los alumnos y

potenciar su enseñanza.

a.3 Maestros que no explicitan si consideran la tarea de Delfina como correcta o incorrecta

La maestra M3 no explicita si evalúa que la tarea realizada por Delfina es correcta o

incorrecta y da la siguiente respuesta:

Esta respuesta es categorizada como sin clasificar dado que no explicita si considera correcta

o incorrecta la producción de la escolar, esto impide identificar las interpretaciones del signo

igual que realiza esta maestra a partir de su respuesta a esta tarea.

Como la maestra M3 responde de forma correcta la tarea 1a (que presenta al igual que esta

tarea una cadena de igualdades para completar) se interpreta que esta maestra logra identificar

que existe un error en esta tarea, pero evita ponerlo en evidencia. Se analizó con mayor detalle

su respuesta en busca de evidencias que hagan explícitos los conocimientos que llevan a esta

maestra a tomar esta decisión.

De su recomendación “si consideras que no está correcto, vuelve a intentarlo” se interpreta

que la maestra valoriza el esfuerzo de esta estudiante y su respuesta busca ante todo motivar y

desarrollar un crecimiento emocional en ella. En ese sentido se interpreta que probablemente

evita señalar el error de la escolar como forma de reconocer el esfuerzo puesto en la tarea y

que valora que la estudiante haya efectuado las sumas planteadas de forma correcta. Se

entiende que valorar el esfuerzo del estudiante no constituye un conocimiento matemático

para la enseñanza, sino una actitud del docente para apoyar a sus estudiantes y como tal no

queda contemplada por el marco MKT. Sin embargo, se entiende que esto también evidencia

la concepción de esta maestra sobre la enseñanza de la matemática y el papel del estudiante en



94

ella. El discurso de esta maestra sugiere que busca promover que la escolar justifique y valide

su propia respuesta; se entiende que en esta recomendación evidencia un conocimiento

didáctico de orden metodológico que se vincula al subdominio KCT. En particular se

interpreta que esta maestra pone en juego los siguientes conocimientos para dar su respuesta:

conocer que es importante que el alumno aprenda a validar sus propias producciones y

conocer que darle al alumno la posibilidad de juzgar sus propias producciones potencia su

aprendizaje matemático. Se destaca la fuerza con la que este subdominio participa en la

práctica de corregir tareas, incidiendo en el hecho de que esta maestra evite señalar el error en

la producción de esta escolar.

La sugerencia “revisa tu estrategia de cálculo” señala el aspecto operatorio como foco de la

dificultad de esta estudiante y evidencia que la maestra M3 no logra reconocer la procedencia

de este error, es decir, no logra identificar que la producción de esta escolar es coherente con

una concepción errónea sobre el signo igual. Se considera que si esta docente hubiera

identificado que las dificultades de la niña provienen de una interpretación operacional del

signo igual, sus orientaciones estarían dirigidas a problematizar qué significados atribuye esta

niña al signo igual y a problematizar qué operaciones realizar, pero no orientarían la mirada

hacia las “estrategias de cálculo”. Se interpreta que los conocimientos que permiten a un

docente identificar los conceptos que sustentan la respuesta matemática de esta escolar

integran el subdominio SCK; en este sentido se entiende que sería positivo fortalecer los

conocimientos de esta maestra en esta dimensión.

En síntesis, se interpreta que la maestra M3, aun percibiendo que la sentencia

5 + 3 = 8 + 1 = 9 no es una igualdad, al movilizar conocimientos del subdominio KCT elige

no hacer explícito el error de la escolar. Al mismo tiempo, conocimientos limitados desde el

subdominio SCK impiden que esta maestra identifique el concepto erróneo que evidencia la

producción escrita de esta niña y dejan a esta maestra sin posibilidades de realizar

recomendaciones no pertinentes. Se observa que la maestra perdió todas las posibilidades que

esta instancia le dio para ayudar a esta escolar a superar sus dificultades.

a.4 Maestros que dejan sin corregir la tarea 1a de Delfina

Tres maestras no realizan la corrección de la tarea 1a elaborada por Delfina



95

Las respuestas de las maestras M4, M5 y M6 son categorizadas como sin corregir, dado que

no realizan ningún tipo de corrección a la producción de esta escolar.

Teniendo en cuenta que las maestras M3, M5, M6, M7 y M8 completaron los espacios en la

cadena de igualdades propuesta en la tarea 1a poniendo en juego el signo igual como

equivalencia numérica y que solo las maestras M7 y M8 evidencian ponen en juego este

conocimiento para señalar esta tarea como incorrecta, llama la atención que las maestras M5 y

M6 no realicen correcciones a esta tarea, puesto que se interpreta que ellas logran identificar

que esta sentencia no es una igualdad.

Se consideran dos interpretaciones posibles para este hecho. La primera es que no hayan visto

esta tarea pues se planteó como uno de dos ítems para corregir. El segundo aspecto que se

considera que podría explicar este hecho es que los maestros no logren tomar una posición

firme sobre corregir esta tarea como correcta o incorrecta, más aun teniendo en cuenta que no

está inmersa en un contexto de trabajo con objetivos definidos, con conocimiento de qué

saben los estudiantes y qué trabajos previos hayan antecedido a estas tareas. Se aprecia que el

docente puede percibir tensiones entre distintos subdominios del contenido que lo lleven a

preferir abstenerse de corregir esta tarea. No se tienen elementos suficientes para poder

identificar cuál de estas dos situaciones se corresponde con la realidad.

b) Pregunta 2.1.b

Esta pregunta solicitó a los maestros corregir otro trabajo de Delfina, señalar los errores en

caso de existir y realizar recomendaciones que orienten a la estudiante para mejorar su

trabajo, presentándoles en este caso la siguiente producción:





96

b.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica

Las maestras M5 y M6 evidencian no aceptar el uso del signo igual para vincular una división

entera con resto no nulo, con su cociente.

La maestra M6 brinda el siguiente argumento:

Esta maestra informa que “no hay igualdad en la división”, identificando claramente que

considera que 7 ÷ 2 = 3 no es una igualdad y se interpreta que pone en juego el signo igual

bajo el significado expresión de una equivalencia para identificar como incorrecta la

producción de esta estudiante. Dado que podría haber comparado ambas cantidades para

constatar que no son iguales o que podría haber aplicado la definición de división para

constatar que 7 no es igual a 3 × 2, no se puede distinguir si pone en juego el signo igual bajo

el significado equivalencia numérica o como equivalencia por definición. Se entiende que

para dar esta respuesta la docente moviliza este conocimiento desde el subdominio CCK.

En relación a los conocimientos que pone en juego para realizar recomendaciones a los

estudiantes, esta maestra no solo identifica que la producción de la escolar tiene un error, sino

que identifica la procedencia de este error, es decir, identifica que el problema de la estudiante

está en el uso del signo igual y le propone un camino posible que permite dar una respuesta



97

matemáticamente correcta a esta tarea. Se entiende que en su respuesta intervienen además de

conocimientos vinculado al CCK, conocimientos vinculados al subdominio SCK (al

permitirle identificar que el error de esta estudiante está en la interpretación del signo igual),

KCT (en particular conocer los contenidos abordados en la escuela respecto a esta temática y

que le permitirán a la estudiante realizar la tarea), y conocimientos vinculados al subdominio

KCS (conocer los procedimientos que están al alcance del estudiante)

Por otra parte, la maestra M5 brinda esta respuesta:

La maestra M5 reconoce que 7 ÷ 2 = 3 no es una igualdad (CCK), sin embargo se observa

que la recomendación “colocar el resto para que sea una igualdad” no constituye una ayuda

para que el niño escriba una igualdad, por lo que se considera que esta maestra no identifica

un recorrido matemático por el que esta niña pueda brindar una respuesta correcta a esta tarea.

Considerando que en la pregunta 1d esta misma maestra dio como respuesta al planteo

horizontal de una división, el cociente y el resto de efectuar la división entera, se entiende que

este es el planteo que ella ha trabajado con sus estudiantes y que espera que sea puesto en

juego por esta niña. El siguiente fragmento de la entrevista realizada con esa maestra permite

confirmar esta situación:

“Entonces ahora ya están acostumbrados que si hay resto tengo que poner el cociente

y el resto para que sea una igualdad”.

En este sentido, se considera que su recomendación es dada desde el conocimiento del trabajo

realizado con los estudiantes para promover esta escritura, conocimiento que se puede

desglosar en dos: conocer las tareas que se han propuesto y las formas de escritura que se han

promovido en el aula (conocimiento que se vincula al subdominio KCT) y conocer a las



98

respuestas que los estudiantes darán frente a cierta tarea (conocimiento que se vincula al

subdominio KCS). Se aprecia pues que su respuesta pone en juego conocimientos

provenientes de los subdominios KCS y KCT.

Se observa por otra parte, que el discurso de esta maestra se sustenta en mostrarle al alumno

el cómo se debe escribir, pero que no hace visible los fallos en el pensamiento del alumno,

concretamente no brinda razones que le indican al alumno por qué su respuesta no es válida y

menos aún por qué la respuesta propuesta por la docente sí lo es. Se entiende que este

discurso que hace énfasis en cómo hacer la tarea sin un fundamento de por qué hacerla de ese

modo promueve que los alumnos acepten el uso sugerido por su docente sin cuestionarse el

significado que cobra el signo igual en este uso. Estos conocimientos que se vinculan a

concepciones instrumentales de la matemática escolar integran también el subdominio KCT y

se aprecia la necesidad de someterlas a análisis y discusión por parte de este colectivo

docente.

b.2 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado operador

Cuatro maestros aceptan la respuesta dada por Delfina como válida, realizando correcciones

como la siguiente:

Los maestros M1, M2, M3 y M8 validan el uso del signo igual por parte de los escolares para

vincular una división entera con resto no nulo con su cociente, evidenciando poner en juego el

conocimiento de que el signo igual separa una operación de su resultado, conocimiento que se

vincula al subdominio CCK.

Cabe observar que las maestras M3 y M8 no respondieron con el cociente de la división

entera a la tarea que planteaba de forma abierta una división, pero sin embargo aceptan este

valor como respuesta de una escolar. Esto lleva nuevamente a considerar qué conocimientos

de otros subdominios además del CCK inciden al corregir las tareas de los escolares.



99

La entrevista llevada a cabo con el maestro M1 permite explorar este aspecto. Este maestro

tiene en cuenta las herramientas que ha construido el alumno para dar su respuesta, y esto

condiciona la respuesta que acepta o no como correcta. Aunque reconoce que “7 ÷ 2 da 3,5”,

entiende que en cierta parte del año, cuando los alumnos aún no han entrado al campo de los

decimales “sí se le acepta que por ahora en el resto le quede uno”, en estos casos admite que

“esperaría como respuesta correcta que ellos me pusieran un 3”, aunque agrega que “va a

haber un pequeño grupo de dos o tres alumnos que tienen un nivel más avanzado y que tienen

mayor dominio en la parte de matemática y que va a ir más allá y que van a entrar en el

campo de los decimales, pero los demás la van a dejar ahí”. Se interpreta que el

conocimiento de las tareas que han sido abordadas en el aula (KCT) y el conocimiento de que

frente a cierta tarea, el alumno carece de herramientas para dar una mejor respuesta (KCS)

inciden en la validación de la sentencia 7 ÷ 2 = 3, aun cuando desde el subdominio CCK

tenga información suficiente para identificar que la sentencia no es una igualdad.

Se interpreta que existe una baja apreciación del signo igual como objeto de enseñanza y que

esto lleva a que este maestro elija validar esa sentencia en lugar de reconocer que esta tarea no

es adecuada para ser propuesta en escolares que recién inician con el trabajo de la división

entera. Se aprecia que los subdominios HCK y KCC aportarían para que el docente asuma la

enseñanza del signo igual, pero se entiende que estos subdominios del conocimiento no son

puestos en juego por este maestro al realizar la corrección de la tarea.

Por otra parte, considerando que en caso de trabajar con estudiantes que se inician en el

algoritmo de la división entera, la tarea ubica al alumno en una posición desde la cual no le

resulta posible dar una respuesta matemáticamente válida, resulta de interes explorar qué

conocimientos pone en juego el docente al analizar esta tarea con vistas a proponerla en su

aula.

En este sentido, se consultó al maestro M1 si propondría esta tarea de la forma en la que está

formulada o si realizaría alguna modificación, ante lo que responde: “buscaría algo más

significativo” y agrega “hoy en día se busca integrar todo, si bien estamos parados dentro de

la matemática se trata de integrar la lengua, la comprensión lectora. Le pondría letra para

decorarlo un poco más, si bien el producto va a ser lo mismo lo decoraría un poquito más”.

Se entiende que este maestro reafirma lo dicho por la directora (presentado en el punto

IV.1.A.d.1), en relación a la contextualización que se busca promover de las tareas

matemáticas en la escuela. Se aprecia sin embargo que cuando el maestro manifiesta “le



100

pondría letra para decorarlo un poco más” revela que desconoce que la modificación

propuesta (contextualizarla) incidiría directamente en los conocimientos que pone en juego la

tarea, es decir, parece desvincular el formato de presentación de la tarea con la matemática

que es puesta en juego; también evidencia desconocer que el manejo de las variables

didácticas (como el planteo de un contexto) es una elección que se espera el docente realice

para alinear la tarea con los objetivos planteados para su clase. Se considera que estos

conocimientos se vinculan al subdominio KCT.

Se aprecia que en su discurso este maestro no cuestiona el uso del signo igual como propuesta

de actividad, ni plantea reparos en cuanto a la división propuesta, por ejemplo sugiriendo

modificar la propuesta para que esta plantee una división exacta si no es esperable que los

estudiantes puedan trabajar con un cociente decimal. Este maestro no es consciente que el uso

del signo igual como propuesta de actividad pone al alumno que recién inicia su aprendizaje

del algoritmo de la división, en una situación desde la que es imposible dar una solución

correcta a esta tarea. Se aprecia pues que resulta fundamental que el docente pueda identificar

estas incongruencias y anticiparlas, para evitar poner a los estudiantes frente a situaciones

como esta. Se entiende que identificar todos los conocimientos matemáticos que podrían ser

movilizados por una tarea es un conocimiento que pertenece al subdominio SCK y que este

docente no dio muestras de involucrar ese subdominio para proponer las modificaciones a

esta tarea.

Se concluye que frente a la práctica “proponer modificaciones a una tarea” este maestro pone

en juego fundamentalmente conocimientos vinculados a las características de las tareas

escolares (KCT) dejando fuera del diálogo el conocimiento de que el signo igual se utiliza

para vincular dos expresiones de igual valor (CCK), el conocimiento de los saberes

involucrados para responder correctamente esa tarea (SCK), el conocimiento de lo que saben

y pueden hacer los estudiantes (KCS), entre otros.

Se observa que los subdominios del conocimiento puestos en juego por este maestro para

analizar esta tarea son los mismos que los que se identifican en la maestra directora.

b.3 Maestros que dejan sin hacer esta tarea

Las maestras M4 y M7 no responden esta tarea.



101

b.4 Maestros que no explicitan si consideran la respuesta de Delfina como correcta o incorrecta

Una maestra da la siguiente respuesta:

Respuesta dada por la maestra directora

La maestra directora responde de forma tal que no es posible apreciar si considera la respuesta

de esta alumna como correcta o incorrecta.

Si se considera, además, a los dos maestros que dejan sin responder esta tarea y los cuatro

maestros que la indican como correcta, se observa que siete de los nueve maestros no

problematizan el significado que esta alumna atribuye al signo igual. Esto evidencia que a

nivel global hay una baja percepción de que el signo igual es objeto de enseñanza y baja

conciencia por parte de este grupo de maestros de que la escuela, a través del programa

escolar propuesto en 2008, asumió el compromiso de promover la construcción de

significados relacionales del signo igual. Se interpreta que para “corregir tareas de escolares”

el conocimiento de que el signo igual es objeto de enseñanza no parece ser puesto en juego.

Por otra parte, al observar que siete de los nueve maestros no cuestionan que 7 ÷ 2 = 3 no es

una igualdad, reafirma la idea de que este uso del signo igual es aceptado habitualmente en las

aulas de esta escuela. Se entiende que la inercia de su uso, junto a un conocimiento débil de

que el signo igual en contextos aritméticos se utiliza para vincular dos cantidades iguales en

valor, impiden que la mayor parte de los docentes adviertan que este uso es contrario a su

definición matemática.



102

c) Pregunta 2.2

Esta pregunta solicitó a los maestros corregir el trabajo de Alexandría, señalar los errores en


trabajo, presentándoles la siguiente producción:

Tarea 2: Indica con verdadero (V) o falso (F). Anota lo que pensaste para responder.



c.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado expresión de una acción

Cinco de los nueve maestros responden como esta maestra, expresando de forma explícita que

la tarea de esta escolar es incorrecta:




103

El conocimiento de la propiedad simétrica de la igualdad (conocimiento vinculado al

subdominio CCK) les permitió a los maestros M1, M2, M7, M8 y MD identificar como

incorrecto el trabajo de Alexandría. En esta respuesta evidencian atribuir al signo igual el

significado expresión de una acción.

A través de las correcciones de la maestra M7 se puede apreciar que esta docente evidencia

vincular la edad del estudiante a las dificultades que podría presentar y que identifica una

posible fuente del error (atribuirlo a dificultades con la cardinalización); en este sentido se

interpreta que al realizar recomendaciones moviliza los subdominios KCS y SCK. Por otra

parte, se considera que esta maestra no parece conocer que esta tarea requiere que el alumno

acepte la propiedad recíproca de la igualdad, (conocimiento que se vincula al subdominio

SCK) ni conoce que muchos escolares luchan por atribuir sentido a sentencias como la

presentada (conocimiento que se vincula al subdominio KCS) y se aprecia que estos

conocimientos resultan cruciales en esta tarea para brindar recomendaciones pertinentes. Esta

recomendación también evidencia que el signo igual no parece ser considerado objeto de

enseñanza, y que los conocimientos provenientes del subdominio KCC no parecen intervenir

en la práctica de corregir realizando recomendaciones a los estudiantes.

c.2 Maestros que no explicitan si consideran la tarea de Alexandría como correcta o incorrecta

Las maestras M3, M4, M5 y M6 no sancionan esta tarea como correcta o incorrecta,

brindando respuestas como la dada por la maestra M3:

En el análisis a priori se aprecia que aquellos maestros que no logren identificar que

13 = 15 – 2 es una igualdad no estarían poniendo en juego el signo igual bajo su significado

expresión de una acción ni como equivalencia numérica. Sin embargo, se entiende que las



104

respuestas de estos cuatro maestros no evidencian que ellos no acepten esa sentencia como

una igualdad, sino que evitan invalidar la producción de la escolar.

Se analizará la respuesta dada por la maestra M3 buscando comprender qué conocimientos

llevan a estos docentes a tomar esta decisión:

Si se tiene en cuenta que esta misma maestra responde de forma correcta la tarea 1b del

cuestionario en la que debió poner en juego el signo igual bajo los significados equivalencia

numérica y expresión de una acción, se entiende que esta maestra conoce que la respuesta de

esta escolar es incorrecta, y que en su respuesta participa el subdominio CCK.

El discurso de esta maestra sugiere además que busca promover que sea la propia estudiante

quien justifique y valide su propia respuesta; se entiende que en la recomendación de la

maestra participan conocimientos vinculados al subdominio KCT, en particular conocer que

el alumno debe fundamentar sus aseveraciones y que este subdominio incide con fuerza en el

hecho de que esta maestra evite señalar el error en la producción de esta escolar.

Se entiende que las sugerencias realizadas podrían promover que la niña complementara los

significados del signo igual y se vincula esto a que la docente evidencia identificar que el

concepto de igualdad debe ser puesto en juego para resolver esta tarea, movilizando pues el

subdominio SCK. Por otra parte, se aprecia que las sugerencias dejadas a esta escolar

incentivan el uso de material concreto para que ella pueda rever su propia respuesta,

evidenciando que pone en juego conocimientos provenientes del subdominio KCT.

d) Pregunta 2.3



105

Esta pregunta solicitó a los maestros corregir el trabajo de Constanza, señalar los errores en


trabajo, presentándoles la siguiente producción:



d.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica

Una de las nueve docentes participantes da evidencias de reconocer que las sentencias

100% = 4 y 50% = 2 no son igualdades, respondiendo de la siguiente forma a la tarea

planteada:


La maestra M5 coloca un signo de interrogación sobre el signo igual y sugiere otra notación

para representar la situación; se interpreta que esa maestra no acepta el uso del signo igual



106

para vincular dos cantidades relacionadas, al menos en ese contexto. Por otra parte, la maestra

orienta a la estudiante a modificar la escritura, reemplazando el signo igual por una línea para

establecer la correspondencia. Se entiende que esta sugerencia (que moviliza al subdominio

CCK) puede contribuir a mejorar el uso del signo igual de esta niña, pero se aprecia que no

contribuye a problematizar los significados que ha construido alrededor del signo igual. Se

observa que identificar los conocimientos matemáticos que son puestos en juego en esta tarea,

concretamente identificar que la niña está interpretando al signo igual bajo significados que

no son los pretendidos por la escuela, contribuiría a realizar recomendaciones que resulten

pertinentes para ayudar a esta niña a superar sus dificultades. Será necesario pues

complementar los conocimientos vinculados al subdominio SCK de este grupo de maestros.

Por otra parte, conocer los vínculos existentes entre el aprendizaje del signo igual y el

aprendizaje del álgebra (HCK) y conocer que muchos estudiantes seguramente interpretan al

signo igual como el indicador de que existe una vinculación o correspondencia entre las

expresiones colocadas a ambos lados (KCS), permitiría a esta maestra mirar con otros lentes

la respuesta dada por esta estudiante y realizar sugerencias que movilicen (en lugar de

esconder) sus interpretaciones del signo igual.

En síntesis, en esta tarea la maestra M5 brinda recomendaciones a la estudiante involucrando

solamente conocimientos del subdominio CCK. Las orientaciones realizadas, si bien permiten

mejorar la escritura de esta tarea o incluso de otras similares, no contribuyen a problematizar

los significados que esta niña evidencia atribuir al signo igual a través de esta producción. Se

aprecia que la ausencia de conocimientos provenientes de las áreas SCK, HCK y KCS

impiden que esta maestra aproveche las oportunidades de que la estudiante resignifique el

signo igual.

d.2 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado indicador de cierta conexión

o correspondencia

Cuatro maestros dan respuestas en las que aceptan como correcto el planteo de esta escolar;

esto evidencia que estos maestros admiten el uso del signo igual bajo el significado expresión

de cierta conexión o correspondencia:



107


Los maestros M2, M3, M6 y M8 responden esta tarea bajo el entendido de que el signo igual

se utiliza para vincular dos objetos que se corresponden de alguna forma. Estas respuestas

dadas desde el subdominio CCK evidencian que es necesario complementar este subdominio

fortaleciendo el significado equivalencia numérica.

Se observa que ver el signo igual bajo el significado equivalencia numérica inhabilita a este

grupo de cuatro maestros a identificar el error de la alumna y trae como consecuencia que no

puedan corregir la tarea ni realizar recomendaciones pertinentes.

d.3 Maestros que no explicitan si consideran la tarea de Constanza como correcta o incorrecta

Cuatro maestros dan respuestas como la de esta maestra, dejando la tarea sin validar:


Se categorizan las respuestas de los maestros M1, M4, M7 y MD como sin clasificar, pues no

resulta posible identificar si aceptan o no este uso del signo igual.



108

En este caso, al igual que otros similares, este grupo de cuatro maestros deciden no validar o

invalidar la producción de esta alumna. Si bien se aprecia que algunos maestros podrían no

reconocer que esta producción tiene un uso matemáticamente incorrecto del signo igual y que

otros posiblemente prefieran no señalar el error a la estudiante, se entiende que esta situación

destaca la baja percepción del signo igual como objeto de enseñanza, conocimiento que se

vincula al subdominio KCC.

e) Pregunta 2.4

Esta pregunta solicitó a los maestros corregir este trabajo, señalar los errores en caso de existir

y realizar recomendaciones que orienten a la estudiante para mejorar su trabajo,

presentándoles en este caso esta producción:

Tarea 4: Si 30 es la cuarta parte de la cantidad de naranjas que tengo en un cajón.

¿Cuántas naranjas hay en este cajón?



e.1 Respuestas que evidencian atribuir al signo igual el significado indicador de cierta conexión o

correspondencia



109

Ocho de los nueve maestros aceptan que 30 = 1

4 y que 12 =

4

4 son igualdades, dando

respuestas similares a la siguiente:

Considerando poco plausible que estos maestros no reconozcan que las cantidades

comparadas en cada caso son diferentes, se entiende que estos maestros no ponen en juego el

significado relacional del signo igual y se concluye que los maestros M1, M2, M3, M4, M6,

M7, M8 y la maestra directora ponen en juego el signo igual bajo el significado indicador de

cierta conexión o correspondencia para validar la producción de esta escolar. Se aprecia que el

conocimiento común del contenido que han desarrollado no les permitió identificar que el uso

del signo igual dado en esta tarea no es coherente con el significado matemático de este

símbolo.

Por otra parte, se aprecia que la falta de conocimientos en el subdominio CCK impide a estos

maestros identificar que el planteo realizado por esta escolar contiene un error y posiciona a

estos docentes en una posición desde la que les resulta imposible realizar recomendaciones

para que la estudiante complemente los significados del signo igual.

Esta corrección también evidencia que estos maestros no identifican cuáles son las nociones

matemáticas que se movilizan con esta tarea, particularmente no identifican que podrían ser

puestos en juego distintos significados del signo igual, ni que la producción de esta estudiante

da cuenta que interpreta al signo igual bajo el significado indicador de cierta conexión o

correspondencia (SCK), no dan muestras de conocer que muchos estudiantes probablemente

ven al signo igual como un símbolo que vincula dos objetos que se corresponden de alguna



110

forma (KCS) ni dan muestras de apreciar que la tarea permite evidenciar estas visiones del

signo igual (KCT).

Por otra parte, tener una visión panorámica de los vínculos entre el signo igual y el trabajo

algebraico con ecuaciones (HCK) y conocer que el currículo y la investigación en matemática

educativa pone en manos del docente la promoción de significados relacionales del signo

igual (KCC) favorecería la consideración del signo igual como objeto de enseñanza,

contribuyendo a que la maestra problematice este y otros usos del signo igual, pudiendo

cuestionar la inercia de estos usos.

e.2 Respuesta que evidencia no aceptar este uso del signo igual

Finalmente se analizará la respuesta de la maestra M5 que parece advertir que existe un mal

uso del signo igual en la producción de esta escolar:

Esta maestra identifica claramente el uso matemáticamente incorrecto del signo igual, dejando

claro que no acepta este uso. Por otra parte, agrega información acerca de cómo sugiere

escribir la relación entre 30 y ¼, utilizando para esto el símbolo .

La interpretación inicial de esta respuesta la vinculó con una interpretación relacional del

signo igual. Sin embargo, resultó llamativa la notación sugerida por esta maestra y en la



111

entrevista que se tuvo con ella se pudo apreciar el siguiente aspecto que hizo repensar el

análisis de esta situación. Se presenta a continuación el fragmento de la entrevista que relata

la situación referida, en la cual esta maestra invalida el uso del signo igual para vincular dos

fracciones equivalentes, por el hecho de considerar que hay otro símbolo más adecuado para

ello. Previo a este fragmento la maestra indicó que no utiliza el signo igual para vincular dos

expresiones de una misma medida cuando estas están expresadas en unidades diferentes de

magnitud.

Entrevistadora (E): ¿Y por ejemplo con fracciones? ¿Qué notación utilizas?

M5: Equivalente. Un medio equivale a dos cuartos (escribe 2

1

4

2)

E: Si un niño o una practicante planteara un medio igual a dos cuartos, ¿la

corregirías como incorrecta?

M5: Sí, porque son fracciones equivalentes, no iguales. Porque si yo los fuera

a representar, generalmente yo voy a lo gráfico. No son iguales, son

equivalentes. Tienen el mismo valor, pero no son iguales. No sé, yo lo pienso

así. (Risas.)

Por otra parte, en Burgell (2012) algunos estudiantes utilizan la palabra “equivalente” para

vincular dos cantidades que se corresponden de alguna forma; un estudiante indica que “el 16

es equivalente a 8” al advertir que 16 es el doble de 8. Se interpreta que posiblemente esta

maestra, al igual que los liceales estudiados por Burgell, emplea la palabra equivalente en

lugar de correspondiente, para vincular dos objetos que se corresponden de alguna forma, y al

encontrar un símbolo más adecuado para vincular 30 y ¼ niega el uso del signo igual para ser

usado en esta situación. En este caso el significado equivalencia numérica no interviene en el

pensamiento de esa maestra para dar su respuesta. Por lo expuesto se decide categorizar esta

respuesta como sin clasificar en relación a la interpretación dada al signo igual.

En relación a los conocimientos matemáticos que esta maestra pone en juego para corregir la

tarea de esta escolar, se entiende que ella invalida la expresión 30 = ¼ con base en conocer

que existe otro símbolo para vincular estas cantidades, poniendo en juego el subdominio

CCK. No parece involucrar conocimientos específicos del docente y claramente no pone en

juego conceptos amplios que denoten conocimiento de la estructura matemática, en este



112

sentido se aprecia que manejar el concepto de equivalencia podría evitar o minimizar sus

dilemas. Por otra parte, se aprecia que si bien esta maestra recurre a conceptos matemáticos

para explicar por qué 1

2 no es igual a

2

4, no parece haber consultados esos argumentos para

tomar su decisión; por el contrario, su decisión parece no haber sido sometida a análisis,

previo a la entrevista, y se interpreta que los fundamentos de su decisión pasan más por la

costumbre de utilizar esa notación que por argumentos en contra de este uso. En este sentido,

se considera que también para corregir la sentencia 30 = ¼, esta maestra observó que

acostumbra a utilizar el símbolo en lugar del signo igual y eso la llevó a señalar la sentencia

como incorrecta y a marcar el uso del signo igual como el error de la estudiante. Se considera

pues que su respuesta involucró también conocimientos del subdominio KCT vinculados al

uso del símbolo .

IV.1.C Pregunta 3

a) Pregunta 3a y 3b

La pregunta 3 hizo referencia explícita al signo “=”. En el apartado a) solicitó que los

docentes explicaran con sus palabras el significado de ese símbolo, mientras en el apartado b)

consultó si puede significar algo más y solicitó indicarlo en caso afirmativo.

Al explicitar el significado personal del signo igual se observa que todos los docentes (en

alguna parte de su respuesta a las tareas a o b) aluden a la palabra “igualdad” o a algún

derivado de ella como ser “es igual”, “igual a”, o simplemente “igual”. Teniendo en cuenta

que esto hace referencia a su denominación usual y bajo el entendido de que no es posible

vincularlo a uno u otro significado del signo igual, estas respuestas se categorizan como “sin

clasificar” respecto al significado del signo igual con el que se corresponden.

Algunos de estos maestros complementan su respuesta y esto permite identificar significados

que son puestos en juego al definir este signo; esas respuestas se presentan a continuación

agrupadas en relación a los significados del signo igual que son evidenciados a través de ellas:

a.1 Respuestas que evidencian que los docentes atribuyen al signo igual el significado operador



113

Ningún docente se refiere al signo igual como el “resultado de una operación” o alguna otra

expresión que evidencie que este símbolo es interpretarlo bajo el significado operador cuando

se solicita dar una definición personal del mismo.

a.2 Respuestas que evidencian que los docentes atribuyen al signo igual el significado indicador

de cierta conexión o correspondencia

La maestra M6 como parte de su respuesta a la tarea 3b se refiere al signo igual de la siguiente

forma:

Se observa que la maestra M6 parece dar su definición personal del signo igual con base en

describir su uso para vincular una división entera con resto no nulo con su cociente: “indica la

relación entre dos números en una división aunque el resultado no sea igual a _”. Esto es

interpretado como evidencia de que esta maestra define al signo igual coherentemente con una

interpretación bajo el significado indicador de cierta conexión o correspondencia.

Se observa que esta maestra respondió algunas tareas poniendo en juego el signo igual bajo el

significado equivalencia numérica y que en la tarea 2.1.b esta maestra recomendó a la

estudiante que continuara la división y que expresara su planteo como una igualdad. Si bien

esto muestra que busca la igualdad numérica entre las expresiones ubicadas a ambos lados del

signo igual, en esta respuesta parece resignarse a admitir su uso para vincular expresiones que

no son iguales en valor. La narrativa de la maestra deja ver la tensión que percibe entre la

definición y los usos del signo igual que son aceptados en la escuela, consecuencia de

conjugar conocimientos provenientes del dominio conocimiento del contenido (desde el

subdominio CCK) y conocimientos provenientes del dominio conocimiento didáctico del

contenido (vinculados a los subdominios KCS y KCT) como se ha analizado anteriormente.

a.3 Respuestas que evidencian que los docentes atribuyen al signo igual el significado expresión

de una acción



114

El maestro M1 como parte de su respuesta a la tarea 3a se refiere al signo igual de la siguiente

forma:

Se interpreta que cuando indica “tanto a la izquierda como a la derecha” se refiere a una

operación, y que admite que esa operación pueda encontrarse tanto a la izquierda como a la

derecha del signo igual. Esto evidencia que el maestro piensa en el signo igual como un

separador entre una operación y su resultado, y no da muestras de concebirlo relacionalmente.

Se interpreta pues que este maestro atribuye en esta respuesta el significado expresión de una

acción.

a.4 Respuestas que evidencian que los docentes atribuyen al signo igual el significado expresión

de equivalencia

Cuatro de los nueve maestros dan respuestas que hacen referencia a igualdad de cantidades,

mismo valor o al concepto de equivalencia:



Los maestros M3, M4, M5 y M6 que responden de esta forma a esta pregunta ven al signo

igual como el indicador de que dos expresiones de un mismo valor están siendo comparadas,

y se vincula esta interpretación con el significado expresión de equivalencia, particularmente

bajo su acepción equivalencia numérica.

Se analizará en particular la respuesta de la maestra M6, que como parte de su respuesta a la

tarea 3b señala lo siguiente:



115

Teniendo en cuenta el relato de maestra M5 que niega el uso del signo igual para vincular

fracciones equivalentes, la referencia hecha por esta maestra M6 en relación a “indicamos la

equivalencia” y que ella presenta el símbolo “” en conjunción con la expresión “a veces”, se

interpreta que el uso del signo igual para vincular fracciones equivalentes no está totalmente

aceptado por esta maestra o por la comunidad educativa que ella integra.

Por otra parte, la utilización de otro símbolo diferente al signo igual para referirse a la

equivalencia hace pensar que la vinculación del signo igual con la noción de equivalencia no

es del todo clara al menos para las maestras M5 y M6.

b) Pregunta 3c

La pregunta 3c solicitó al docente indicar la mayor variedad posible de situaciones de clase en

las que utiliza el símbolo “=”. A continuación se resumen las respuestas de los docentes

agrupadas con base en los significados del signo igual que evidencian poner en juego.

b.1 Respuestas que evidencian visiones operacionales del signo igual

Siete de los nueve maestros que participan de este estudio ofrecen ejemplos de usos asociados

a significados operacionales del signo igual. Las maestras M2, M3, M5, M6, M8 y la maestra

directora brindan respuestas similares a las dadas por la maestra M4:



116

Esta respuesta evidencia ser dada desde una interpretación operacional del signo igual. Por

otra parte, la maestra M6 brinda la siguiente respuesta a esta tarea (se interpretará acá solo el

primer punto de su respuesta, el otro será analizado en el siguiente apartado):

En su respuesta evidencia asociar el uso del signo igual al trabajo en operaciones.

Considerando que el uso del signo igual en esta área tiene un fuerte componente de trabajo

con sentencias estándares, se entiende que los usos en este núcleo temático se vinculan

principalmente con interpretaciones operacionales del signo igual. Por otra parte, esta

respuesta deja ver que la maestra involucra su conocimiento del programa escolar para dar

esta respuesta.

Otros maestros hacen referencia a situaciones de uso en el contexto de operaciones y

situaciones de cálculo, que también se interpretan vinculadas a este significado. Cabe agregar

que si bien se entiende que en el contexto de las operaciones se pueden plantear sentencias

que involucran un uso relacional del signo igual, se aprecia que en estos contextos predomina

un uso operacional del signo igual; eso llevó a vincular estas respuestas con interpretaciones

operacionales del signo igual.

Se observa que ninguno de estos siete maestros brindó una definición que evidenciara una

visión operacional del signo igual, pero, a la hora de ejemplificar usos de este signo, los que

corresponden a visiones operacionales fueron los más frecuentes.

En relación a los conocimientos que son movilizados para ejemplificar usos del signo igual se

identifica que en las respuestas dadas por estas maestras se involucraron a los subdominios

CCK y KCC.



117

b.2 Respuestas que evidencian visiones relacionales del signo igual

La maestra M6 brinda la siguiente respuesta a esta tarea:

En esta respuesta evidencia asociar el uso del signo igual al trabajo en numeración.

Considerando que el uso del signo igual en esta área contempla fundamentalmente comparar

cantidades, descomponer aditivamente o multiplicativamente un número o simplemente

expresar un número de diferentes formas; se entiende pues que los usos en este núcleo

temático se vinculan principalmente con interpretaciones relacionales del signo igual.

Por otra parte, al analizar esta respuesta desde el punto de vista de los conocimientos que

evidencia poner en juego, se observa que para hacer referencia a los usos del signo igual esta

maestra moviliza conocimientos provenientes del subdominio KCC, específicamente su

conocimiento de que operaciones y numeración son los dos bloques temáticos en los que el

currículo establece el trabajo con el signo igual.

Se analizará la respuesta de la maestra M5 frente a esta tarea:

Se observa que en este punto esta maestra ofrece como ejemplo de uso del signo igual al

contexto de trabajo con fracciones equivalentes. Como se menciona al analizar la respuesta de

esta maestra al problema 2.4, en la entrevista declaró no aceptar el uso del signo igual para

vincular fracciones equivalentes, ni el uso del signo igual para vincular dos expresiones

distintas de una misma medida. En la entrevista relata que en estos casos utiliza la siguiente

notación:



118

Teniendo en cuenta que esta maestra afirma que dos fracciones equivalentes “tienen el mismo

valor, pero no son iguales” y considerando además que cuando presenta su definición

personal del signo igual hace referencia a la igualdad y al concepto de “mismo valor”, se

aprecia que esta maestra no pone en juego la definición del objeto “=” para evaluar su uso. Se

observa además que los argumentos utilizados para negar el uso del signo igual para vincular

fracciones equivalentes no han sido analizados por esta maestra con profundidad, pues esto la

llevaría a apreciar que la representación en la recta numérica de dos fracciones equivalentes es

el mismo punto; en otras palabras, el argumento proporcionado por ella es un argumento a

favor de la posición contraria a la que ella asume. Se interpreta que antes de la entrevista

probablemente esta maestra no se ha cuestionado si corresponde que dos fracciones

equivalentes se vinculen o no mediante el signo igual, y que ante esta pregunta responde

guiada por la inercia de no aceptar su uso.

Cuando se le preguntó por qué no utiliza el signo igual para vincular dos medidas iguales

cuando se expresan mediante diferente unidad de medida, esta maestra responde:

M5: Y porque cambia la unidad de medida, entonces no es igual, es equivalente.

Decímetro no es igual que centímetro. Sí puedo establecer la igualdad entre… Porque

el niño podría pensar que 1 centímetro es igual a 1 decímetro, y no. Es equivalente

porque acá tengo 10 y acá tengo 1.

La maestra M5, al igual que la maestra M6 lucha con identificar la igualdad con la

equivalencia y esta lucha le impide aceptar el uso del signo igual para vincular fracciones

equivalentes o dos medidas iguales cuando estas se expresan en diferente unidad. Por otra

parte, se observa que en lugar de señalar que 10 cm es equivalente a 1 decímetro indica que

10 es equivalente a 1, se interpreta que nuevamente la palabra equivalente parece vincularse

con la idea de correspondencia.

A través de la entrevista a la maestra directora se pudo explorar también esta problemática.

Ante la consulta puntual si utiliza el signo igual para vincular 1

2 𝑦

2

4, ella informa que no

utiliza este símbolo para vincular fracciones equivalentes ni para vincular dos cantidades

iguales cuando estas se expresan en distinta unidad de medida. En este contexto ella amplía su

relato y en el que se pone en evidencia que esta problemática no se limita a la elección de un

símbolo u otro, sino que se remite al corazón mismo del concepto de igualdad:



119

“Es muy común que se diga 200 cm es igual a 2 m. Me parece que ahí cabe más un

símbolo de equivalencia que de igualdad. Porque no es igual desde la escritura.

Desde las escritura son diferentes. En cuanto a la medida va a ser igual. En cuanto a

la escritura, tanto a una respuesta escrita como a una respuesta numérica no. Porque

si yo te digo 200 cm es igual a 2 m, yo te pongo 200 cm igual a 2 metros. Ahí ya hay

una diferencia.”

Se entiende que la presencia de otros símbolos que estas maestras vinculan con la

equivalencia fortalece la idea de que el signo igual no se refiere al concepto de equivalencia.

A través del discurso de la maestra directora se pone en evidencia que el concepto que maneja

de igualdad está más próximo al de identidad que al de equivalencia. Se aprecia que

conocimientos aportados desde el subdominio HCK son necesarios para ayudar a estas

maestras a superar los dilemas que enfrentan.

b.3 Respuestas que evidencian que los docentes atribuyen al signo igual el significado indicador

de cierta conexión o correspondencia

Los maestros M1 y M2 presentan las siguientes respuestas en esta tarea:

Respuesta dada por el maestro M1




120

En el primer caso el maestro señala el uso del signo igual para vincular objetos no

matemáticos (palabras), mientras que en el segundo caso la maestra podría hacer referencia a

vincular objetos matemáticos o no matemáticos. En ambas situaciones los maestros dejan ver

su idea de utilizar el signo igual como indicador de que esos objetos están vinculados o

asociados de alguna forma y en ese sentido se corresponden con el significado indicador de

cierta conexión o correspondencia en la clasificación de Molina (2006). Molina define este

significado entre objetos no matemáticos o entre objetos matemáticos de distinta naturaleza,

definición que dejaría fuera de esa clasificación el uso del signo igual para asociar un número

y su doble, por ejemplo. Tomando la ampliación propuesta por Burgell (2012) al significado

indicador de cierta conexión o correspondencia abarca el uso del signo igual para vincular dos

objetos, ya sean estos matemáticos o no matemáticos, de igual o diferente naturaleza, bajo la

consideración que existe un vínculo o correspondencia entre ellos. Con esta ampliación

considerada en el marco teórico de este trabajo, las dos interpretaciones del signo igual

quedan comprendidas bajo este significado.

c) Pregunta 3d

La pregunta 3d solicitó al docente indicar cómo lee el símbolo “=”

En relación a la denominación elegida para hacer referencia al signo igual, se observa que

todos los maestros eligen referirse a su nombre: es igual, igual a, igual y esto no aporta

información relevante.

Sin embargo, a través de algunas tareas es posible distinguir cierto lenguaje asociado a

significados particulares del signo igual. A continuación se presentan algunas situaciones que

permiten identificar palabras asociadas a este símbolo:



121

Como ya se indicó el uso del signo igual evidenciado en la producción de esa niña se asocia al

significado indicador de cierta conexión o correspondencia de la clasificación de Molina

(2006) y en la corrección realizada por la maestra se aprecia que comparte ese significado.

Por otra parte, la traducción verbal de la expresión escrita por la niña que realiza la maestra,

vincula el signo igual con las palabras “equivale” y “son”. Se observa que posiblemente la

palabra “es” se use como una síntesis de “es igual” y se refuerce así el uso del signo igual para

vincular dos objetos que se corresponden, bajo el entendido que 4 es el 100 % de la cantidad

de muffins y que 2 es el 50% de esa cantidad.

IV.1.D Pregunta 4

La pregunta 4 solicitó al docente describir y ejemplificar dificultades en el aprendizaje del

símbolo “=”. A continuación se ejemplifican las respuestas de los docentes, agrupadas según

identifiquen o no dificultades.

a) Respuestas que señalan que han identificado dificultades



122

La siguiente respuesta fue dada por la maestra M5:

La siguiente respuesta es dada por la maestra M6:

Estas dos maestras logran identificar las dos temáticas que en este trabajo se han destacado

como más emblemáticas al observar las respuestas de los docentes:

El uso del signo igual para vincular una división entera con resto no nulo con su

cociente.

La relación entre el concepto de igualdad y equivalencia, o específicamente el uso del

signo igual como representante de una relación de equivalencia.



123

Se observa que ambas dificultades se refieren a dificultades, inseguridades o tensiones

apreciadas a nivel de los propios docentes y no se considera que estén vinculadas a

dificultades específicas en el aprendizaje del signo igual por parte de los escolares. Se

analizarán los conocimientos matemáticos para la enseñanza puestos en juego al hacer

referencia a estas dificultades.

La maestra M6 señala como dificultad que “a veces cuando el resultado de la división no es

exacta, el símbolo se usa igual”. A través de esta respuesta nuevamente esta maestra deja

apreciar su incomodidad con el uso del signo igual para vincular una división entera con resto

no nulo y su cociente, y que claramente reconoce que se trata de un uso abusivo del signo

igual. Se observa que señala el uso del signo igual como una dificultad, pero que no lo limita

a una dificultad detectada en los estudiantes; se interpreta que el término “se usa” señala que

ella u otros docentes aceptan su uso a pesar de que identifica contradicciones con su

definición matemática. Se entiende que la maestra está poniendo en juego su conocimiento

común del contenido que le indica que la sentencia no es una igualdad y el conocimiento del

contenido y la enseñanza, que le indica que habitualmente se acepta esa sentencia como

verdadera. No resulta claro si es la propia docente que decide aceptar esta sentencia u otros

actores (directores, colegas, inspectores, bibliografía, etcétera) la motivan a hacerlo. Como se

ha observado anteriormente, la consideración de que esa podría ser la mejor respuesta que un

escolar puede tener a su alcance también constituye un conocimiento que podría intervenir

para que esta maestra decida aceptar este uso. Por lo expuesto, se entiende que la dificultad

observada por esta maestra responde a que ha identificado tensiones entre conocimientos

matemáticos para la enseñanza que en este caso provienen de distintos subdominios del MKT:

los subdominios CCK y KCT.

En relación a la otra dificultad detectada por esta maestra “En algunos autores se puede ver

como equitativo el uso del signo igual y el de equivalencia, sobre todo para las fracciones…”,

se observa que justamente cuando se le solicita enumerar dificultades vinculadas al

aprendizaje del signo igual la maestra trae a lugar el uso del signo igual en remplazo del

símbolo de equivalencia, y en particular hace referencia a su uso con fracciones equivalentes.

Nuevamente se aprecia que las dificultades expresadas por esta maestra no se refieren a

dificultades de aprendizaje de los estudiantes, sino más bien a dificultades que ella percibe a

nivel personal o a nivel del colectivo docente en relación a esta temática. Se entiende que

evidencia conocer la existencia de dos símbolos matemáticos para vincular fracciones, y que



124

se cuestiona e interesa por cómo utilizan estos símbolos los referentes académicos que ha

consultado. Los conocimientos matemáticos para la enseñanza entre los cuales esta maestra

identifica tensiones pertenecen al subdominio CCK pues los ubica en el uso de los dos

símbolos pero no problematiza el concepto de igualdad y el de equivalencia.

Se analizarán las dificultades detectadas por los maestros M1 y M7:

Respuesta del maestro M1

En relación a los significados del signo igual, el contexto en el que se ubica este uso del signo

igual escapa los alcances del marco teórico considerado para categorizar los significados de

este símbolo. Molina limita su trabajo a usos del signo igual en contextos aritméticos y del

álgebra escolar y este uso se plantea fuera de ese contexto. En este sentido, se señala que la

categorización de Molina podría ser ampliada para que esta incluya usos escolares del signo

igual, más allá de que el contexto sea aritmético o algebraico. Posiblemente el uso señalado

por este docente esté presente en el aula a través de sus propuestas y esto incida en promover

ciertos significados del signo igual.

A continuación se analizará la respuesta dejada por la maestra M7:


Se entiende que esta maestra identifica tensiones entre la estructura de los planteos

horizontales que involucran al signo igual y la forma natural en que piensan y expresan los



125

estudiantes su pensamiento. Se interpreta que cuando la maestra señala “ha sido difícil

incorporarlo”, se refiere a las dificultades que ella percibe en relación al acompañamiento

docente requerido en el proceso de apropiación del uso de este símbolo matemático por parte

de los escolares. Se interpreta que esta maestra identifica dificultades propias en el

subdominio KCT que involucran tensiones con los subdominios CCK y el KCS.

b) Respuestas que señalan que no han identificado dificultades

Cinco docentes (M2, M3, M4, M8 y MD) informan que no han identificado dificultades

vinculadas al uso del signo igual, dando respuestas como la de esta maestra M2:

Se considerará la respuesta de la maestra M3:

Se aprecia que esta maestra responde desde una evaluación de su propia práctica profesional,

y que en este sentido, involucra al subdominio KCT para dar su respuesta.



126

IV.2 Síntesis y reflexiones

En este apartado se presenta una síntesis de los hallazgos, se profundiza en su interpretación y

se presentan algunas reflexiones. Para organizar la presentación se expone en primer lugar (A)

una síntesis de los usos y significados del signo igual evidenciados en este estudio y

posteriormente (B) se exponen los hallazgos en relación a los conocimientos matemáticos

involucrados en la enseñanza del signo igual.



127

IV.2.A Usos y significados del signo igual evidenciados en la población de estudio

a) Resumen de respuestas obtenidas

La siguiente tabla resume las respuestas obtenidas en la pregunta 1 del cuestionario

clasificadas según el marco teórico de Molina (2006).

Tabla 2: Síntesis de las respuestas a la pregunta 1 del cuestionario.

Tarea Respuestas obtenidas y significados del signo de igual asociados a ellas

1a)

Operador

(M1 y MD)

Equivalencia numérica

(M3, M5, M6, M7, M8)

Sin responder

(M4)

Sin clasificar

(M2)

1b)

Operador

(M1, M2, MD)

Equivalencia numérica y expresión de

una acción

(M3, M5, M6, M7, M8)

Sin clasificar

(M4)

1c)

Sin clasificar (M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, MD)

1d)

Propuesta de actividad, operador y

aproximación

(M1, M3, M6, M7, M8; MD)

Propuesta de actividad, operador y

correspondencia

(M5)

Sin responder

(M2 y M4)



128




Tarea Respuestas obtenidas y significados del signo de igual asociados a ellas

2.1 a)

Operador (M1, MD)


(M2, M7, M8)

Sin clasificar

(M3)

Sin corregir

(M4, M5, M6)

2.1 b)

Operador (M1, M2, M3, M8)


(M5, M6)

Sin responder (M4 y M7)

Sin clasificar (MD)

2.2

Expresión de una acción (M1, M2, M7, M8, MD)

Sin clasificar (M3, M4, M5, M6)

2.3

Indicador de cierta conexión o

correspondencia (M2, M3, M6, M8)

Equivalencia numérica (M5)

Sin clasificar (M1, M4, M7, MD)

2.4

M2:

Indicador de cierta conexión o correspondencia

(M1, M2, M3, M4, M6, M7, M8, MD)

M5:

Sin clasificar (M5)



129




Tarea Respuestas obtenidas al definir y ejemplificar el signo igual

3a) y

3b)

Indicador de cierta

conexión o

correspondencia (M6)

Expresión de una acción

(M1)


(M3, M4, M5, M6)

Operador

Ningún maestro pone en

juego el signo igual

como operador para

definir el signo igual

3 c)

Visiones operacionales

(M2, M3, M4, M5, M6, M8, MD)

Visiones relacionales

(M3, M5, M6, M7)

Interpretaciones bajo el significado

Indicador de cierta conexión o

correspondencia

(M1, M2)

3d)

M2 y M7: “es igual”;

M4, M8 y MD: “igual”

M5 y M6: “igual a”

M3: “es igual a”

Sin hacer (M1)



130


clasificadas según identifiquen o no dificultades asociadas al aprendizaje del signo igual.


Detecta dificultades en el aprendizaje del

signo igual No detecta dificultades en su aprendizaje

(M1, M5, M6, M7)

(M2, M3, M4, M8, MD)

:



131

b) Síntesis de los usos y significados del signo igual

Los nueve maestros que participaron de este estudio completaron exitosamente el espacio en

blanco en una sentencia no estándar con operaciones a ambos lados del signo igual, cuando el

espacio se encontró ubicado a la izquierda de este símbolo. Algunos de estos maestros

pusieron en juego el signo igual bajo su significado equivalencia numérica mientras que otros

posiblemente conjugaron exitosamente sus visiones operacionales del signo igual con

estrategias de resolución de estas tareas para completar esta sentencia formando una igualdad.

Cinco maestras dan muestras de atribuir al signo igual el significado equivalencia numérica al

ponerlo en juego para completar sentencias con operaciones a ambos lados del signo igual

cuando el espacio estuvo ubicado inmediatamente a la derecha de este símbolo. Más de la

mitad de estos maestros da evidencias de aceptar la propiedad simétrica de la igualdad y de

atribuir al signo igual el significado expresión de una acción, no se tiene información

suficiente para afirmar o negar que los otros docentes atribuyan este significado al signo

igual.

Por otra parte, el significado operador se encuentra profundamente arraigado en el

pensamiento de tres maestros de esta escuela de práctica, incluyendo a su maestra directora

que tiene más de treinta años de experiencia docente. Esto evidencia que las visiones

operacionales del signo igual resisten no solo a largas trayectorias educativas, sino también, a

años de experiencia docente y remarca la necesidad de intervenir no solo a nivel de la

formación inicial de docentes, sino también a nivel de la formación continua de docentes. Si

se considera que estos maestros formadores ofician como referentes para la formación de

nuevos maestros, resulta evidente la necesidad de fortalecer las interpretaciones relacionales

del signo igual de este grupo de maestros, dotándolos de la posibilidad de realizar un manejo

flexible de los distintos significados del signo igual, para que puedan poner en juego el

significado que mejor se adecue a la situación que deban resolver, pero conociendo las

limitaciones de los mismos. La puesta en juego del significado del signo igual cuando este

interviene en cadena de igualdades o sentencias con operaciones a ambos lados del signo

igual y cuando el espacio a completar estuvo colocado inmediatamente a la derecha de este

símbolo, trajo como consecuencia que completaran sentencias sin considerar la igualdad e

impidió que estos maestros identificaran los errores en las producciones de los escolares.



132

Frente al planteo de una división entera con resto no nulo seguida por el signo igual y un

espacio vacío, todos los maestros que dan una respuesta lo hacen buscando escribir el

“resultado” de esa división, lo que evidencia que la mayor parte de este grupo de maestros

atribuyen al signo igual el significado propuesta de actividad. Este significado parece reforzar

el significado operador y la conjunción de los significados propuesta de actividad, operador y

aproximación tuvo como consecuencia que ninguno de los docentes encontró un valor que

complete la sentencia como igualdad. Se observa también que el significado aproximación

juega un papel importante en estas respuestas pues permite aceptar el cociente obtenido (ya

sea entero o decimal) como un valor terminal, aun cuando el maestro sea consciente que este

valor puede ser mejorado al continuar el algoritmo. Se concluye que el significado propuesta

de actividad impidió a estos maestros dar una solución sencilla a la tarea y los dirigió hacia

una estrategia de resolución desde la cual difícilmente un escolar pueda dar una respuesta

matemáticamente correcta. Se advierte que el uso escolar del signo igual como propuesta de

actividad para proponer una división entera con resto no nulo, sin un análisis profundo del

docente de los conocimientos matemáticos involucrados el desarrollo de esa actividad, pone a

los estudiantes en situaciones desde las cuales probablemente les resultará imposible dar una

respuesta matemáticamente correcta.

Todos los maestros dan evidencias de atribuir al signo igual el significado indicador de cierta

conexión o correspondencia, aceptando el uso del signo igual para vincular cantidades

diferentes por el solo hecho de encontrar una correspondencia entre ambas. Ocho maestros

aceptan que 30 = ¼ al entender que 30 es la cuarta parte de las naranjas de un cajón, mientras

que cuatro maestras aceptan que 100% = 4 y que 50% = 2 al entender que 4 es la cantidad

total de muffins. Solo uno de los nueve maestros identifica esos usos como inadecuados, pero

admite el uso del signo igual para vincular una división entera con resto no nulo con su

cociente y resto, uso que también se asoció a este mismo significado.

Se identificó que las sentencias incompletas con el espacio a completar colocado a la

izquierda del signo igual pueden ser resueltas correctamente bajo visiones operacionales del

signo igual. Los escolares y probablemente los maestros cuentan con conocimientos que

conjugados con el significado operador, permiten resolver este tipo de sentencias. Una

maestra da por hecho que los escolares, al identificar operaciones que pueden resolverse, las

resolverán como primer paso para dar solución a una sentencia incompleta. Este conocimiento

que se entiende es heredado de las maestras, permite completar correctamente los espacios



133

faltantes en una sentencia no estándar cuando el espacio está colocado a la izquierda del signo

igual, aun manteniendo una visión operacional del mismo. Esto evidencia que resolver

correctamente este tipo de tareas, no implica atribuir al signo igual el significado equivalencia

numérica. Señala además que las tareas que presentan sentencias con operaciones a ambos

lados del signo igual y el espacio colocado inmediatamente a la derecha de este signo, son

más ricas para evidenciar visiones operacionales de este símbolo que aquellas tareas que

tienen el espacio colocado a la izquierda del signo igual.

Considerando que conocer estas estrategias refuerza las visiones operacionales del signo

igual, se entiende que el trabajo con sentencias no estándares que presenten el espacio a

completar a la izquierda del signo igual debe ser complementado con tareas de completar

sentencias que presenten el espacio en blanco a la derecha del signo igual. Esa situación se

corresponde con la reportado por Weinberg (2010), que señala que algunos universitarios

emplean estrategias de resolución que combinadas con visiones operacionales les permite

resolver ciertas tareas exitosamente.

Se observa que una maestra que inicialmente brinda una respuesta desde una visión

operacional del signo igual, modifica la misma para responder desde una visión relacional

anulando su primera respuesta aunque la tarea solicitaba escribir todas las respuestas que el

maestro considerara correctas. Esta maestra logró ver al signo igual bajo dos interpretaciones

diferentes en una misma tarea y la visión relacional prevaleció frente a la visión operacional.

Se interpreta que los maestros que respondieron esta tarea bajo visiones operacionales del

signo igual, probablemente no lograron evocar en la situación particular presentada, una

visión relacional del signo igual, aun cuando sí logren evocar interpretaciones relacionales de

este símbolo en otras situaciones o contextos.

Por otra parte, se observa que cuando un docente no logró identificar las limitaciones de

validez asociadas al significado operador, tuvo dificultades para:

completar sentencias formando igualdades (cuando los formatos presentados incluyen

sentencias con operaciones a ambos lados del signo igual y el espacio a completar

colocado inmediatamente a su derecha),

identificar los errores en las producciones de los escolares y, consecuentemente,

realizar recomendaciones que sean pertinentes para que el estudiante supere las

concepciones erróneas sobre el signo igual que evidencia en su producción escrita.



134

Finalmente, este estudio evidenció que a nivel grupal e individual, la mayor parte de los

maestros que participaron de esta investigación atribuyen al signo igual múltiples

significados. Se recopilaron evidencias que dan cuenta que los docentes a nivel grupal,

atribuyen al signo igual los siguientes significados: propuesta de actividad, indicador de cierta

conexión o correspondencia, operador, expresión de una acción, aproximación y equivalencia

numérica.

IV.2.B Síntesis sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego al desarrollar las

diferentes prácticas.

Seguidamente se sintetizan los conocimientos matemáticos para la enseñanza que son

movilizados por este grupo de maestros, organizados en torno a cada una de las prácticas

desarrolladas.

a) Conocimientos evidenciados al completar sentencias

A continuación se presenta un resumen de evidencias en el que se sintetizan nuestros

hallazgos a lo largo del análisis de la pregunta 1. Seguidamente se realiza un análisis global

de los conocimientos puestos en juego a nivel grupal por estos maestros y los subdominios

correspondientes al corregir las producciones de los escolares.

a.1 Resumen de evidencias

En los puntos IV.1.A.a.1 y IV.1.A.b.1 algunos maestros ponen en juego el conocimiento de

que el signo igual separa a una operación de su resultado para dar su respuesta a tareas en

formato no estándar y esto los lleva a dar respuestas matemáticamente incorrectas.

En los puntos IV.1.A.a.2 y IV.1.A.b.2 algunas maestras ponen en juego el conocimiento de

que el signo igual separa dos expresiones de igual valor para dar su respuesta a tareas en

formato no estándar y esto las lleva a dar respuestas matemáticamente correctas.



135

En los puntos IV.1.A.a.3 y IV.1.A.d.3 se observa que algunos maestros quedaron sin

respuesta frente a ciertas tareas que no requerían conocimientos más avanzados que los que se

trabajan en la escuela para su resolución. Se aprecia que probablemente este colectivo perciba

cierta presión frente a la situación de saber que sus respuestas serán observadas y analizadas,

potenciándose posibles inseguridades respecto a lo que saben y a las respuestas que pueden

brindan, temores a las propuestas novedosas y a quedar en evidencia frente a sus pares,

directores, investigadora, etc. Por lo expuesto, se señala que en la práctica de “completar

espacios en blanco” podrían intervenir aspectos emocionales que posiblemente actúan junto a

los conocimientos matemáticos cuando estos maestros brindan respuesta a estas tareas. Se

entiende que en tanto las emociones no son conocimientos, incluso en el sentido amplio del

término considerado en este trabajo, el modelo MKT no logra capturar estos elementos que

permean cada una de las prácticas desarrolladas por los docentes. En este sentido, se

considera que es necesaria mayor investigación para estudiar su incidencia en las prácticas

docentes.

En IV.1.A.c se observa que dos conocimientos, que puestos en juego individualmente tienen

validez solo frente a sentencias estándares, se refuerzan mutuamente al permitir resolver

exitosamente tareas no estándares de completar espacios cuando el espacio en blanco se ubica

a la izquierda del signo igual. Se interpreta que conocer que para resolver una sentencia

incompleta es conveniente realizar las operaciones planteadas y dar solución a la sentencia

equivalente en conjunción con conocer que el signo igual separa una operación de su

resultado, permitió a algunos maestros responder correctamente a una tarea de completar

espacios en una sentencia no estándar (tarea 1c), aún bajo una visión operacional del signo

igual.

En IV.1.A.d.1 se vio que el significado propuesta de actividad forma parte de los significados

asociados al este signo igual por la mayoría de los maestros de esta escuela. Este significado

promueve que se busque encontrar una respuesta para dar en ese espacio vacío y que esto

refuerza el significado operador. Se observa también que el significado aproximación juega

un papel importante en estas respuestas pues contribuye a legitimar el cociente obtenido (ya

sea entero o decimal) como resultado.

En el punto IV.1.A.d.2 una maestra evoca conocimientos del subdominio CCK para invalidar

el uso del signo igual para vincular una división entera con resto no nulo a su cociente y que

estos conocimientos la llevan a emplear una notación particular que recoge los dos elementos



136

que resultan de la división. La notación propuesta implica el uso del signo igual como

indicador de cierta conexión o correspondencia y se aprecia como un intento por superar las

dificultades que presenta el planteo horizontal de la división.

En todos los casos, los maestros recurrieron a conocimientos vinculados a distintos

significados del signo igual y eventualmente a conocimientos vinculados a técnicas para

realizar las tareas de completar espacios, restringiéndose en todos los casos a conocimientos

relativos al subdominio CCK.

a.2 En síntesis

Este estudio permitió identificar que al desarrollar la práctica de completar sentencias no

estándares que involucran al signo igual, los maestros recurren a conocimientos vinculados a

los distintos significados del signo igual y eventualmente a conocimientos vinculados a

técnicas para realizar las tareas de completar espacios, restringiéndose en todos los casos a

conocimientos relativos al subdominio CCK, como lo evidencia el siguiente diagrama:

Figura 9: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de completar sentencias no estándares.

Los conocimientos que fueron puestos en juego por los maestros que participaron de este

estudio en la práctica de completar espacios en sentencias no estándares fueron los siguientes:

Conocer que el signo igual se utiliza en contextos aritméticos para vincular dos

expresiones iguales en valor.

Conocer la propiedad recíproca de la igualdad.



137

Conocer que el signo igual se utiliza para separar una operación de su resultado.

Conocer que el signo igual se utiliza para invitar a hacer una operación.

Conocer que el signo igual se utiliza para vincular un número y su aproximación.

Conocer que el signo igual se utiliza para vincular dos números que se corresponden

de alguna forma.

Conocer que para resolver una sentencia incompleta es conveniente realizar las

operaciones planteadas y dar solución a la sentencia equivalente.

Para dar solución a tareas planteadas en la pregunta 1 del cuestionario, era suficiente con

conocer que el signo igual se utiliza en contextos aritméticos para vincular dos expresiones

iguales en valor. Se observa que muchos de estos conocimientos tienen validez “local”, es

decir, funcionan en contextos restringidos dentro del contexto aritmético; en su mayor parte

solo resultan funcionales para dar solución a tareas de completar sentencias estándares. Como

muchos de estos maestros han dado muestras de no conocer los límites de validez de los

conocimientos que aplican, es necesario complementar los conocimientos de este grupo de

maestros con esta información, para que tengan un manejo flexible de estos conocimientos.

Se observa que algunos conocimientos del subdominio CCK se alimentan unos a otros: en

particular utilizar el signo igual para invitar a los estudiantes a efectuar el algoritmo de la

división, da inicio a un círculo que involucra el uso este símbolo bajo los significados

propuesta de actividad, operador y aproximación, ciclo en el que los significados no

relacionales del signo igual se potencian y consolidan unos a otros. Para provocar cambios en

esta situación es necesario fortalecer algunos conocimientos en el dominio del conocimiento

común del contenido para que este incluya el conocer que el signo igual vincula dos

cantidades iguales en valor, de una forma que sea utilizable por el maestro incluso en este

contexto particular de la división.

b) Conocimientos evidenciados al corregir producciones escritas

En esta sección se incluye: identificar los errores en las producciones de los escolares y

realizar recomendaciones escritas a partir de interpretar sus producciones. Se presenta un

resumen de evidencias que sintetizan los hallazgos a lo largo del análisis de la pregunta 2.



138

Seguidamente se realiza un análisis global de los conocimientos puestos en juego a nivel

grupal por estos maestros y los subdominios correspondientes al corregir las producciones de

los escolares.

b.1 Resumen de evidencias

En IV.1.B.a.1 se pudo observar que dos maestros que al corregir una tarea evocan desde el

subdominio CCK al signo igual como operador, validan la producción incorrecta de una

alumna y quedan sin herramientas para identificar el error en esta producción y realizar

recomendaciones que contribuyan a que la estudiante mejore en dificultades.

En IV.1.B.a.2 se observa que una maestra responde a la práctica de corregir producciones de

escolares poniendo en juego conocimientos que provienen de los subdominios CCK, KCS y

KCT. Si bien la recomendación brindada podría promover que la estudiante mejore su

respuesta a esta tarea de forma puntual, se considera que no promueve que la estudiante

supere de forma sustantiva las dificultades que evidenció a través de esa producción. Se

aprecia que los conocimientos aportados por el subdominio SCK son cruciales para que el

docente pueda interpretar las dificultades de los alumnos y potenciar su enseñanza.

Si bien es posible identificar que la producción de una estudiante es matemáticamente

incorrecta con conocimientos provenientes exclusivamente del subdominio CCK, en

IV.1.B.a.3 una maestra movilizó conocimientos provenientes de los subdominios KCS y KCT

al validar la producción de una escolar y que eligió no hacer explícito el error de la alumna.

Se interpreta que esta maestra evidencia apreciar tensiones entre conocimientos provenientes

del subdominio CCK con conocimientos provenientes de los subdominios KCT y KCS y ante

esta situación optó por desestimar la información proveniente del dominio del conocimiento

del contenido y priorizar la dimensión del conocimiento didáctico del contenido. Se vincula

esta situación a un escaso desarrollo de los subdominios HCK y KCC, y se señala que su rol

como enseñante del signo igual queda en segundo plano.

En el punto IV.1.B.b.1 una maestra pone en juego conocimientos provenientes de los

subdominios CCK, KCT, KCS y SCK para señalar los errores en la producción de una escolar

y realizar recomendaciones pertinentes para que la alumna supere sus dificultades en el

planteo horizontal de una división. Otra maestra brinda recomendaciones vinculando

conocimientos provenientes de los subdominios KCT y KCS pero no pone en juego la



139

definición del signo igual (CCK). Esto lleva a que las recomendaciones brindadas guíen a la

estudiante hacia una respuesta matemáticamente incorrecta.

En IV.1.B.b.2 un maestro valida 7 ÷ 2 = 3 por conocer que en el curso no se ha abordado la

división con cociente decimal y conocer que el niño no cuenta con herramientas para dar

otra respuesta, aun cuando conoce que el signo igual vincula dos expresiones en valor. Se

interpreta que al advertir las tensiones entre la información aportada por los subdominios

KCT, KCS y CCK prioriza la información dada desde la dimensión didáctica y desestima la

información aportada desde el dominio Conocimiento del Contenido. El signo igual no parece

ser visto como objeto de enseñanza.

En el punto IV.1.B.b.4 se observa nuevamente que el conocimiento de que el signo igual es

objeto de enseñanza no parece ser puesto en juego para corregir producciones de escolares.

Siete de los nueve maestros participantes no reaccionan ante la sentencia 7 ÷ 2 = 3,

desaprovechando la oportunidad de promover significados relacionales en estos alumnos.

Además, se observa otro caso en el que una maestra apreció la tensión entre conocimientos

provenientes del subdominio CCK con información proveniente de los subdominios KCT y

KCS y esto la llevó a realizar recomendaciones sin señalar o llamar la atención sobre el error

de la estudiante. Nuevamente, la dimensión del conocimiento didáctico del contenido es

priorizada por los maestros de esta escuela frente a la dimensión del conocimiento del

contenido.

En el punto IV.1.B.c.1 una maestra brinda recomendaciones involucrando conocimientos

incompletos desde los subdominios SCK y KCS. No conocer que la tarea requería admitir la

propiedad recíproca de la igualdad y que los escolares podrían presentar dificultades en

aceptar una igualdad cuando la operación está planteada a la derecha del signo igual y su

resultado del lado izquierdo, llevó a esta maestra a brindar una recomendación que no resulta

pertinente para que la escolar supere la dificultad evidenciada en su producción. El signo igual

parece ser un objeto transparente para estos maestros, no parece ser considerado como objeto

de enseñanza y los maestros no parecen movilizar su conocimiento de que el signo igual

integra el currículo escolar.

En el punto IV.1.B.c.2 se observa que una maestra que identifica para sí misma que la

producción de una escolar es matemáticamente incorrecta, sus concepciones de la matemática

y su enseñanza (vinculadas al subdominio KCT) la llevan a no señalar el error de la escolar.



140

Por otra parte, esta maestra pone en juego conocimientos provenientes de los subdominios

CCK, SCK y KCT, y logra registrar recomendaciones pertinentes y ricas para que esta alumna

supere las dificultades evidenciadas en su producción.

En IV.1.B.d.1 una maestra brinda recomendaciones a la estudiante involucrando solamente

conocimientos del subdominio CCK. Las orientaciones realizadas, si bien permiten mejorar la

escritura de esta tarea, no contribuyen a problematizar los significados que esta niña evidencia

atribuir al signo igual a través de esta producción. Se aprecia que la ausencia de

conocimientos provenientes de las áreas SCK, HCK y KCS impiden que esta maestra

aproveche las oportunidades de que la estudiante resignifique el signo igual.

En IV.1.B.d.2 se observa que entender el signo igual bajo el significado expresión de cierta

conexión o correspondencia inhabilita a un grupo de maestros a identificar el error de la

alumna y a realizar recomendaciones pertinentes.

En IV.1.B.d.3 un grupo de maestros no toman posición respecto a la validez de la producción

de una alumna que señala que 100% = 4. Se interpreta que algunos docentes podrían no

advertir el error matemático y otros quizás prefieran no señalarlo, pero se considera que en

todos los casos esto refleja una baja percepción del signo igual como objeto de enseñanza

entre estos maestros, conocimiento que se vincula al subdominio KCC.

En el punto IV.1.B.e.1 ocho maestros aceptan que 1

3= 40. Conocimientos desde el

subdominio CCK los guían a aceptar un uso matemáticamente incorrecto del signo igual y

limitan las posibilidades de realizar recomendaciones que permitan resignificar el signo igual.

En relación a este uso del signo igual, estos maestros dan evidencia de no identificar que la

producción de la escolar involucra el uso del signo igual bajo el significado indicador de

cierta conexión o correspondencia (SCK), de no conocer que muchos estudiantes podrían ver

al signo igual como un símbolo que vincula dos objetos que se corresponden de alguna forma

(KCS) ni que la tarea es rica para evidenciar estas visiones del signo igual (KCT). Se aprecia

que tener una visión panorámica de los vínculos entre el signo igual y el trabajo algebraico

con ecuaciones (HCK), y conocer que el currículo y la investigación en matemática educativa

pone en manos del docente la promoción de significados relacionales del signo igual (KCC)

favorecería la consideración del signo igual como objeto de enseñanza, contribuyendo a que

la maestra problematice este y otros usos del signo igual.



141

En el punto IV.1.B.e.2 una maestra invalida el uso del signo igual en la sentencia 30 = 1

4

pero no parece consultar la definición del signo igual; se interpreta que su decisión se basa en

apreciar que existe para esa situación otro símbolo que se ajusta mejor y se interpreta que en

este conocimiento se involucran los subdominios CCK y KCT.

b.2 En síntesis

A lo largo de este resumen se han dado evidencias que señalan que para validar como

matemáticamente correcta o incorrecta la producción de un escolar, es necesario poner en

juego conocimientos del signo igual adecuados a la situación planteada. También se apreció

que corregir una sentencia no estándar atribuyéndole al signo igual el significado operador

llevó a validar producciones incorrectas y dejó a los docentes sin posibilidades de identificar

el error en las producciones para realizar recomendaciones pertinentes. Atribuir al signo igual

el significado indicador de cierta conexión o correspondencia llevó a la mayor parte de este

grupo de maestros a esta misma situación. Por otra parte, conocer que el signo igual se utiliza

para vincular dos expresiones iguales en valor es un conocimiento del subdominio CCK que

resultó suficiente para identificar los errores en las producciones de los escolares que fueron

presentadas a los maestros en la tarea 2 del cuestionario, pero esto no siempre llevó a que los

maestros señalaran este error.

En múltiples oportunidades los maestros evocaron conocimientos provenientes de los

subdominios KCT y KCS en la práctica de corregir como correctas o incorrectas las

producciones de los escolares y esto llevó a que se produjeran tensiones con algunos

conocimientos provenientes del subdominio CCK.

Ante esta situación, algunos maestros desestimaron los conocimientos provenientes del

dominio del conocimiento del contenido y priorizaron aquellos vinculados al dominio del

conocimiento didáctico del contenido. Concretamente algunos maestros evidenciaron elegir

no señalar el error de los escolares, aun sabiendo que su producción contenía un uso

inadecuado del signo igual. Conocimientos provenientes del subdominio KCT vinculados a

las concepciones de los maestros sobre la enseñanza en general y la matemática en particular,

como por ejemplo considerar que es positivo que el alumno fundamente sus aseveraciones o

que es conveniente promover la autonomía de trabajo entre los estudiantes incidieron en esta

decisión. Otras tensiones surgieron cuando las propuestas podrían exigir conocimientos que

los docentes identificaban como superiores a los esperados para estudiantes de cierto nivel. En



142

este sentido, se aprecia que es fundamental que los docentes desarrollen conocimientos

vinculados al subdominio SCK lo suficientemente amplios para que al planificar una tarea,

logren identificar los conocimientos matemáticos movilizados por ella y puedan contrastarlos

con lo que saben los estudiantes y con los procesos que podrían seguir, desarrollando su

capacidad de regular las variables didácticas para evitar este tipo de situaciones que

promueven el afianzamiento de significados no relacionales del signo igual.

Se observa que en los casos que las recomendaciones dejadas no estuvieron dirigidas

directamente a problematizar el concepto erróneo que evidenció el estudiante a través de su

producción, la intervención del docente se apreció carente de elementos que contribuyan a

que el alumno supere sus dificultades. Para realizar recomendaciones que resulten pertinentes

al estudiante y que le permitan superar las dificultades que se evidencian en su producción

escrita, se entiende que es imprescindible que el docente conozca las nociones matemáticas

que se involucran en la tarea, conocimiento que se vincula al subdominio SCK. En todos los

casos en los que se apreció que este subdominio aportó información incompleta o incorrecta,

el docente no logró identificar con acierto la procedencia del error y atribuyó este a

dificultades vinculadas a otros conocimientos matemáticos o a distracciones de los

estudiantes; en el mejor de los casos, orientó al alumno a realizar la tarea de forma correcta,

pero no promovió la construcción de significados relacionales del signo igual. Se destaca

nuevamente la necesidad de fortalecer el subdominio SCK para desarrollar la capacidad del

docente de identificar el origen de las dificultades matemáticas del estudiante y acompañar al

alumno desde el posicionamiento didáctico elegido sin dejarlo a la deriva.

Muchos de estos maestros, en diferentes tareas, muestran no apreciar al signo igual como

objeto de enseñanza; esto los lleva a desaprovechar las oportunidades de promover

significados relacionales del signo igual al corregir las producciones de escolares, a no

identificar que las dificultades del alumno provienen de interpretaciones incompletas o

incorrectas del signo igual y a desaprovechar las múltiples instancias que brinda la práctica

profesional para observar lo que los estudiantes piensan sobre el signo igual y sus diferentes

usos y a que no problematice este y otros usos del signo igual cuestionando la inercia de sus

usos. Se entiende que los conocimientos provenientes de los subdominios KCC y HCK

contribuyen a que el signo igual sea visto como objeto de enseñanza y a que los docentes

aprecien el papel fundamental que este desempeña en los aprendizajes futuros de sus

estudiantes. Es conveniente fortalecer los conocimientos de este grupo de maestros en los



143

subdominio KCC y HCK para que conozcan que el currículo y la investigación en matemática

educativa sugieren promover significados relacionales del signo igual. También es necesario

que los maestros profundicen en el conocimiento del subdominio HCK para lograr una visión

panorámica de la matemática en relación a los vínculos entre el signo igual y el trabajo

algebraico con ecuaciones. Se resalta que estos conocimientos son necesarios para equilibrar

la incidencia que los conocimientos provenientes del dominio del conocimiento didáctico del

contenido parecen tener sobre las decisiones de estos docentes; los subdominios SCK, KCC y

HCK constituyen pilares desde los cuales el docente podría evitar y afrontar las tensiones

entre conocimientos de distintos subdominios. Se alerta que los subdominios SCK, KCC y

HCK fueron rara vez movilizados por los docentes participantes en estas situaciones.

Finalmente, se aprecia que en esta práctica hay una fuerte incidencia de los subdominios KCS

y KCT que en muchas situaciones se imponen frente a los conocimientos provenientes del

subdominio CCK. Asimismo se observa una mínima presencia de los conocimientos

provenientes del subdominio SCK y una nula incidencia de los conocimientos provenientes de

los subdominios HCK y KCC en la toma de decisiones. Se sintetiza este mapa con el

siguiente diagrama:

Figura 10: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de corregir producciones escritas de escolares

Los maestros que realizaron recomendaciones poniendo en juego conocimientos relevantes

desde los subdominios CCK, SCK, KCT y KCS logran identificar los errores en las

producciones de los escolares y realizar sugerencias pertinentes para que el estudiante supere

las dificultades que se aprecian en ella. Finalmente, se entiende que para “corregir y realizar



144

recomendaciones a un estudiante con base en el análisis de sus producciones escritas al

trabajar tareas que implican al signo igual” los siguientes conocimientos se destacan dentro de

cada subdominio como instrumentos necesarios para desarrollar esta práctica:

Conocer qué conocimientos matemáticos moviliza esa tarea, en particular, conocer

que la tarea en cuestión requiere considerar el concepto de igualdad o que requiere

aceptar la propiedad recíproca del signo igual. Estos conocimientos se vinculan al

subdominio SCK.

Conocer que el signo igual es objeto de enseñanza, que está incluido en el currículo

escolar y que es objeto de múltiples investigaciones a nivel internacional que dan

cuenta de la relevancia de la construcción de significados relacionales de este signo

Estos conocimientos se vinculan al subdominio KCC.

Conocer que muchos escolares ven al signo igual bajo múltiples significados. En

particular se aprecia positivo que los docentes conozcan que muchos escolares ven a

este signo como aquello que separa una operación de su respuesta, que tienen

dificultades con aceptar una igualdad cuando la operación se plantea a la derecha del

signo igual y su resultado a la izquierda y que algunos utilizarán el signo igual para

vincular objetos matemáticos o no matemáticos al encontrar alguna correspondencia

entre ellos. Estos conocimientos se vinculan al subdominio KCS.

Conocer que desde la enseñanza se promueve el formato “operación = respuesta” y

que rara vez se utiliza en la forma “respuesta = operación”. Estos conocimientos se

vinculan al subdominio KCT.

Profundizar la visión panorámica de los maestros sobre esta temática, en particular

conocer que la construcción de significados relacionales del signo igual es la base

desde la cual los niños construirán sus aprendizajes de las transformaciones que se

realizan habitualmente para resolver ecuaciones. Estos conocimientos se vinculan al

subdominio HCK.

Se aprecia que cada uno de estos conocimientos juega un rol protagónico y fundamental en

esta práctica y se considera que deberían formar parte del conocimiento base para la

enseñanza del signo igual.



145

c) Conocimientos evidenciados al definir y ejemplificar al signo igual

A continuación se presenta un resumen de evidencias que sintetizan los hallazgos a lo largo

del análisis de la pregunta 3 y en algunos puntos particulares en los que se abordó esta

temática a través de fragmentos de narrativas de maestros. Seguidamente se realiza un análisis

global de los conocimientos puestos en juego a nivel grupal por estos maestros y los

subdominios correspondientes al desarrollar esa práctica.

c.1 Resumen de evidencias

En el punto IV.1.C.a.1 se observa que ninguno de estos siete maestros brindó una definición

basada en una visión operacional del signo igual.

En el punto IV.1.C.a.2 una maestra evidenció atribuir al signo igual el significado indicador

de cierta conexión o correspondencia, al mismo tiempo que deja ver la tensión que le produce

admitir el uso del signo igual para vincular una división con su cociente a pesar de no ser una

igualdad, se entiende que esto evidencia las tensiones que existen entre conocimientos de los

subdominios CCK, KCS y KCT.

En el punto IV.1.C.a.3 el maestro define poniendo en juego el significado expresión de una

acción y otra maestra responde indicando que el signo igual se utiliza en el contexto de las

fracciones equivalentes pero acompaña su respuesta con otro símbolo.

En el punto IV.1.C.a.4 el significado predominante entre este grupo de maestros al definir el

signo igual fue el de equivalencia numérica.

En el punto IV.1.C.b.1 se observa que siete de los nueve maestros que participan de este

estudio ofrecen ejemplos de usos asociados a significados operacionales del signo igual.

En el punto IV.1.C.b.2 una maestra pone en juego conocimientos provenientes del

subdominio KCC para ejemplificar usos del signo igual, específicamente evidencia conocer

que operaciones y numeración son los dos bloques temáticos en los que el currículo establece

el trabajo con el signo igual. Otra maestra ejemplifica inicialmente nombrando fracciones

equivalentes, pero luego en la entrevista muestra que emplea otro símbolo para vincularlas.

Esa maestra, al igual que la maestra directora, no acepta el uso del signo igual para vincular



146

fracciones equivalentes o dos medidas iguales cuando estas se expresan con diferente unidad

de medida. La existencia de otro símbolo () asociado a la equivalencia parece alejar, ante los

ojos de una de estas maestras al signo igual del concepto de la equivalencia y podría explicar

por qué algunas maestras no vinculan el signo igual con la equivalencia. Por otra parte, se

muestra también que la maestra directora parece manejar un concepto de igualdad que está

más próximo al de identidad que al de equivalencia. Se señala que es necesario complementar

los conocimientos matemáticos de estas maestras con saberes provenientes del subdominio

HCK para ayudarlas a superar los dilemas que enfrentan.

En IV.1.C.b.3 un maestro propone usos del signo igual que se vinculan al significado

indicador de cierta conexión o equivalencia.

En IV.1.C.c una maestra asocia al signo igual los vocablos “equivale” y “son” cuando utiliza

el signo igual bajo el significado indicador de cierta conexión o correspondencia. Se aprecia

que posiblemente a la palabra “es” pueda asociarse como un acrónimo de “es igual” y reforzar

así el uso del signo igual para vincular dos objetos que se corresponden, bajo el entendido que

4 es el 100 % de la cantidad de muffins y que 2 es el 50% de esa cantidad.

c.2 En síntesis

La mayor parte de este grupo de maestros define el signo igual poniendo en juego una

interpretación relacional del mismo, coherente con su definición matemática. En casos

aislados se brindaron definiciones del signo igual que dejaran ver otras interpretaciones y en

ningún caso surgió la visión operacional al definirlo. Sin embargo, cuando se solicitó

ejemplificar usos de este símbolo, la mayor parte de los maestros proponen usos o contextos

de uso del signo igual vinculados al significado operador. Se interpreta que esto evidencia que

los usos escolares del signo igual alimentan este significado y que los docentes establecen un

escaso diálogo entre los usos y los significados de este objeto matemático. Una maestra

propone como ejemplo de uso del signo igual el contexto de las fracciones equivalentes pero

luego se pudo identificar que tanto esta maestra como la maestra directora no aceptan el uso

del signo igual para vincular fracciones equivalentes ni dos medidas iguales cuando estas se

expresan con diferente unidad de medida. La existencia de otro símbolo () asociado a la

equivalencia parece ser el argumento bajo el cual se desecha el signo igual para vincular por

ejemplo 1

2 𝑦

2

4, mientras que la definición del signo igual dada por una maestra basada en la

idea de “mismo valor” no parece ser evocada para juzgar este uso. Si bien se entiende que la



147

sentencia 1

2=

2

4 puede ser analizada bajo dos miradas, una que juzgue la igualdad entre las

fracciones consideradas y otra que juzgue la igualdad numérica planteada, se aprecia que

negar el uso del signo igual para vincular dos fracciones equivalentes promueve que tengan

lugar las tensiones que evidencia tener esta maestra y que la llevaron a disociar la definición

que ha construido del signo igual y el uso de este símbolo. Se entiende que a nivel escolar

sería prioritario que el niño construya el concepto de número y el concepto de igualdad y se

deja planteada la necesidad de profundizar la reflexión y el debate sobre las ventajas y

desventajas de este uso del signo igual, desde una perspectiva integradora que considere este

y otros aportes que contribuyen al mismo (por ejemplo Burgell, 2012).

La maestra directora parece manejar un concepto de igualdad que está más próximo al de

identidad que al de equivalencia, lo que evidencia la necesidad de fortalecer el conocimiento

del contenido en todas sus dimensiones.

En relación a los conocimientos matemáticos para la enseñanza que fueron puestos en juego

al definir y ejemplificar el signo igual, se pudo observar que predominaron los conocimientos

provenientes del subdominio CCK y que solo una maestra mostró responder estas preguntas

involucrando conocimientos que se vincularon al subdominio KCC. El siguiente diagrama

sintetiza esa situación:

Figura 11: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de definir y ejemplificar al signo igual



148

Por otra parte, algunas maestras evidenciaron enfrentar dilemas para dar ciertos usos al signo

igual que denotan visiones muy limitadas sobre los conceptos igualdad y equivalencia. Se

aprecia que sería necesario reforzar los conocimientos desde el subdominio HCK para ayudar

a estas maestras a superar estas dificultades.

d) Conocimientos evidenciados al identificar dificultades en el aprendizaje

A continuación se presenta un resumen de evidencias en el que se sintetizan los hallazgos

obtenidos a lo largo del análisis de la pregunta 4 y a través de fragmentos de narrativas de

maestros que se adjuntan a este análisis. Seguidamente se realiza un estudio global de los

conocimientos puestos en juego a nivel grupal por estos maestros y los subdominios

correspondientes al desarrollar esa práctica.

d.1 Resumen de evidencias

En IV.1.D.a se vio que dos maestras hacen referencia a dos aspectos que en este trabajo han

sido observados y analizados en reiteradas oportunidades pues se apreciaron como

problemáticos:

El uso del signo igual para vincular una división entera con resto no nulo con su

cociente.

La relación entre el concepto de igualdad y de equivalencia, o específicamente el uso

del signo igual como representante de una relación de equivalencia.

Una maestra evidencia a través de su respuesta que aprecia las tensiones entre conocimientos

provenientes de los subdominios CCK y KCT al aceptar que el signo igual “se usa” para

vincular una división entera con resto no nulo con su cociente. También evidencia

incertidumbre al vincular mediante el signo igual dos fracciones equivalentes y más

globalmente, al signo igual y al concepto de equivalencia. Las dificultades advertidas por esta

maestra provienen de tensiones que logra identificar entre conocimientos matemáticos para la

enseñanza que provienen de distintos subdominios o incluso del mismo subdominio.

Otra maestra identifica dificultades propias de la enseñanza del signo igual, que se interpreta

provienen de identificar tensiones entre la estructura rígida de los planteos horizontales para



149

promover la igualdad, con la forma natural y desestructurada con que piensan y se expresan

los estudiantes. Se entiende nuevamente que las dificultades enunciadas por esta maestra

corresponden a tensiones que identifica entre distintos subdominios del conocimiento

matemático para la enseñanza, particularmente entre los subdominios CCK y el KCS, y que

repercuten directamente en el subdominio KCT.

d.2 En síntesis

En síntesis, la pregunta 4 permite apreciar que más de la mitad de los docentes declara no

apreciar dificultades en el aprendizaje del signo igual por parte de los escolares. Los docentes

que declaran apreciar dificultades hacen referencia a dificultades que operan a nivel docente,

es decir, dificultades o tensiones que perciben y no han logrado resolver. Una maestra

identifica tensiones entre los subdominios CCK y KCT mientras que otra maestra declara

apreciar tensiones entre conocimientos dentro del subdominio CCK. Otra docente declara

apreciar dificultades en el subdominio KCT, si bien se interpreta que las dificultades

mencionadas se deben también a tensiones, en este caso entre los subdominios KCS y CCK.

Finalmente, en la práctica de identificar dificultades en el aprendizaje del signo igual se pudo

observar que predominaron los conocimientos provenientes del subdominio CCK. Los

conocimientos provenientes del subdominio KCT fueron movilizados también pero en menor

medida, seguidos por los del subdominio KCS. El siguiente diagrama sintetiza esa situación:

Figura 12: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de identificar dificultades en el aprendizaje del

signo igual



150

e) Conocimientos evidenciados al evaluar tareas para implementarlas en el aula

A continuación se presenta un resumen de evidencias extraídas de las entrevistas y expuestas

a lo largo de todo el análisis de las tareas del cuestionario, en los que se sintetizan los

hallazgos en relación a los conocimientos puestos en juego al solicitarles a algunos maestros

que evaluaran ciertas tareas para ser implementadas en su clase. Seguidamente se realiza un

análisis global de los conocimientos puestos en juego a nivel grupal por estos maestros y los

subdominios correspondientes al desarrollar esa práctica.

e.1 Resumen de evidencias

En el punto IV.1.A.a.1 se pudo observar que la maestra directora de esta escuela, al evaluar la

posibilidad de incorporar tareas de completar espacios en una cadena de igualdades al trabajo

escolar, responde desde el subdominio KCT poniendo en juego un conjunto de conocimientos

(en el sentido de Campos Lins, 1994) vinculados a sus concepciones sobre la enseñanza de la

matemática que se identifican como:

Conocer que las tareas escolares deben estar contextualizadas.

Conocer que las tareas descontextualizadas como completar los espacios en blanco en

la sentencia 90 ÷ 3 = __ + 3 = 27 se limitan a una mera ejercitación.

Conocer que las tareas que proporcionan un contexto son más ricas que las que se

proponen en un contexto intramatemático.

En el punto IV.1.A.b.2 se identifica la siguiente lista de conocimientos vinculados a los

subdominios KCS y KCT que inciden en la práctica de seleccionar tareas para llevar al aula:

Conoce que los estudiantes responden siguiendo el formato “operación = respuesta”.

Conoce que los estudiantes se sentirían estafados si le propone esta tarea.


evocar el conocimiento que permite dar solución a la tarea.

El docente debe anticiparse a los errores y evitar que el niño se equivoque.



151

En el punto IV.1.A.d al solicitarle a la maestra directora que evaluara la tarea “¡A dividir!

12 ÷ 7 =” dio su aval a esta tarea y poniendo en juego conocimientos vinculados a los

subdominios CCK, KCT y KCS (concretamente conocer que la tarea se puede responder

efectuando la división, que el signo igual se utiliza para invitar a los estudiantes a hacer la

operación y conocer que los alumnos frente a propuestas como esa desarrollarán el algoritmo

de la división) logra anticipar un camino probable de resolución. Evidencia no apreciar cuales

son los conocimientos matemáticos requeridos para dar solución a la tarea por el camino

previsto, y esto no le permite reconocer que la solución de la tarea excede los conocimientos

pretendidos en la escuela. Se observa que el uso del signo igual como propuesta de actividad,

sin que medie un buen manejo de las variables didácticas (como elegir el dividendo múltiplo

del divisor) para controlar que las dificultades que plantea la tarea puedan ser superadas por el

estudiante coloca al alumno en una posición desde la cual le resulta imposible dar una

respuesta correcta, y coloca al maestro desde una posición desde la cual le resulta éticamente

imposible no avalar la producción del alumno. Por lo expuesto, se entiende que es

fundamental fortalecer los conocimientos de esta maestra en relación al subdominio SCK

(conocer que no toda división arrojará resto nulo, conocer que el cociente de una división

puede ser una expresión decimal periódica, conocer que si el divisor no es divisible

exclusivamente por múltiplos de 2 y/o 5 el cociente de esa división es un número racional

periódico con período distinto de cero, conocer que la cantidad de cifras que componen el

período está asociada al dividendo y al divisor de esa división), para que pueda anticipar los

conocimientos matemáticos requeridos por tareas como esta.

Se evidencia que esta docente responde poniendo en juego conocimientos provenientes del

área del conocimiento didáctico del contenido (particularmente del KCS y KCT) y sin dar

evidencias de consultar la dimensión del conocimiento del contenido. En la situación

analizada, un conjunto de conocimientos provenientes del subdominio SCK que se apreciaron

cruciales para tomar decisiones no parecen ser consultados por esta maestra.

En el punto IV.1.B.b.2 se vio que un maestro pone en juego conocimientos vinculados a las

características de las tareas escolares (KCT) para evaluar la pertinencia de proponer cierta

tarea y no considera conocimientos fundamentales provenientes de los subdominios CCK,

SCK, KCS, entre otros.

e.2 En síntesis



152

Los docentes evalúan las tareas con miras de incorporarlas a su trabajo de aula poniendo en

juego conocimientos (en el sentido de Campos Lins, 1994) vinculados al subdominio KCT y

en menor medida se involucran los subdominios KCS y CCK. El siguiente listado enumera

algunos de los conocimientos (afirmaciones aportadas por los docentes) evidenciados al

solicitarles a algunos maestros desarrollar esa práctica:

Conoce que las tareas escolares deben estar contextualizadas (KCT).

Conoce que las tareas descontextualizadas como completar los espacios en blanco en

la sentencia 90 ÷ 3 = __ + 3 = 27 se limita a una mera ejercitación (KCT).

Conoce que las tareas que proporcionan un contexto son más ricas que las que se

proponen en un contexto intramatemático (KCT).

Conoce que el signo igual se utiliza para invitar a hacer una operación (KCT).


evocar el conocimiento que permite dar solución a la tarea (KCT).

El docente debe anticiparse a los errores y evitar que el niño se equivoque (KCT).

Conoce que los estudiantes responden siguiendo el formato “operación = respuesta”

(KCS).

Conoce que al ver una operación seguida del signo igual y un espacio libre la mayor

parte de los estudiantes efectuarán la operación (KCS).

Conoce que los estudiantes se sentirían estafados si le propone una tarea como

2,5 × 2 = __ + 1 sin advertirles que deben atender a la igualdad (KCS).

Conoce que se puede responder a la tarea “12 ÷ 7 =” efectuando la división (CCK).

Se aprecia que muchos de estos conocimientos se vinculan a las concepciones de los docentes

entrevistados respecto a la enseñanza de la matemática y que, en consecuencia, este aspecto

incide directamente sobre la elección de las tareas que el docente lleva al aula, repercutiendo

en definitiva en los aprendizajes que puedan producirse respecto al signo igual.

El siguiente diagrama resume los subdominios que participan:



153

Figura 13: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de evaluar tareas para implementarlas en el aula

Por otra parte, al desarrollar esta práctica ningún maestro evidenció evocar conocimientos

provenientes del subdominio SCK para identificar cuáles son los conocimientos requeridos

para hacer la tarea evaluada. Esto repercute en que las tareas aceptadas por la maestra

directora pondrían a un escolar en una posición desde la que le resultaría imposible dar una

respuesta correcta. Se aprecia que algunos conocimientos vinculados al subdominio SCK son

imprescindibles para manejar las variables didácticas que presenta una tarea escolar.

f) Conocimientos evidenciados al anticipar respuestas de escolares frente a tareas que

involucran al signo igual

A continuación se presenta un resumen de las evidencias extraídas de las entrevistas y que

han sido presentadas a lo largo de todo el análisis de las tareas del cuestionario. En este

resumen se sintetizan los hallazgos en relación a los conocimientos puestos en juego por

algunos maestros cuando anticiparon las respuestas que podrían dar sus escolares al

proponerles tareas que involucran al signo igual. Posteriormente se realiza un análisis global

de los conocimientos puestos en juego por estos maestros en estas instancias y los

subdominios correspondientes al desarrollar dicha práctica.



154

f.1 Resumen de evidencias

En el punto IV.1.A.a.1 se observa que la maestra directora, que responde a una tarea

poniendo en juego el signo igual bajo su significado operador para dar respuesta a una tarea

de completar espacios en una cadena de igualdades, no logra anticipar que los escolares

podrían dar otra respuesta a esta tarea. Se aprecia que posee conocimientos incompletos desde

el subdominio CCK (en este caso la maestra no lograr evocar el conocimiento de que el signo

igual vincula expresiones referidas a un mismo valor para esta situación). Esto impide que la

maestra anticipe otras respuestas que podrían dar los escolares, más allá de la suya propia.

En el punto IV.1.A.a.2 se observa que la maestra M5 que responde a una tarea de completar

espacios en una cadena de igualdades poniendo en juego el signo igual bajo el significado

equivalencia numérica, logra anticipar tres posibles respuestas frente a esta tarea: una

respuesta dada desde una visión operacional, otra respuesta que coincide con la suya desde

una visión relacional del signo igual y una respuesta que anticipa que los estudiantes

quedarían paralizados frente a esta tarea. Para ello, además de poner en juego que el signo

igual separa dos expresiones de igual valor, da muestras de evocar los siguientes

conocimientos: conoce que en la escuela no se trabajan habitualmente tareas con operaciones

a ambos lados del signo igual; conoce los conocimientos matemáticos que esta tarea

involucra; conoce que los niños de clases inferiores quedarían sin respuesta ante una tarea no

estándar. Se entiende, pues, que para anticipar posibles respuestas de los escolares, esta

maestra recurrió a conocimientos que provienen de los subdominios CCK, SCK, KCS y KCT.

En IV.1.A.b.2 se observa nuevamente que la maestra M5 anticipa respuestas de los

estudiantes dadas desde visiones operacionales y relacionales del signo igual y se aprecia que

para esto pone en juego conocimientos provenientes de los subdominios CCK, SCK y KCS.

Se identifican entre ellos los siguientes conocimientos conocer que el signo igual separa dos

expresiones de igual valor; conocer los conceptos matemáticos que podría involucrar esta

tarea y conocer el pensamiento de los escolares. Se observa que conocer las ideas matemáticas

que podría involucrar esta tarea es fundamental para el desarrollo de esta práctica; se entiende

que aquel docente que logre identificar las ideas matemáticas que podrían verse involucradas

en la tarea podrá anticipar posibles respuestas de los estudiantes independientemente de haber

observado o no a sus alumnos trabajando en una situación similar.



155

Se aprecia que conocer el pensamiento de los escolares está íntimamente vinculado a la forma

de trabajo en el aula, a las experiencias vividas a lo largo del curso y a las interacciones que

tuvieron lugar entre el docente, los alumnos y el saber matemático. Si bien no hay rastros

explícitos en este fragmento de la entrevista que indiquen la participación de conocimientos

provenientes del subdominio KCT en esta práctica, se entiende que los conocimientos

provenientes del KCT sustentan aquellos generados en torno al subdominio KCS.

f.2 En síntesis

Este trabajo permitió evidenciar que cuando una maestra enfrentó una tarea que requería

poner en juego el signo igual bajo el significado equivalencia numérica, no logró movilizar

este conocimiento, y no pudo anticipar otras respuestas posibles de los escolares. Se interpreta

que un subdominio CCK con conocimientos escasos anula las posibilidades de anticipar

posibles respuestas de los escolares frente a una tarea, más allá de la que el docente daría a la

misma.

También evidenció que cuando una maestra logró anticipar múltiples respuestas de los

escolares, ella involucró conocimientos de múltiples subdominios del conocimiento, entre

ellos: conocer que el signo igual separa dos expresiones de igual valor; conocer los conceptos

matemáticos que podría involucrar la tarea; conocer el pensamiento de los escolares frente a

cierta tarea. Si bien en una situación no se pueden dar evidencias de que el conocimiento de

las tareas y la forma de trabajo habitual que se desarrolla con los estudiantes participó en esta

práctica, se entiende que conocer el pensamiento de los escolares está íntimamente vinculado

a la forma de trabajo en el aula, a las experiencias vividas a lo largo del curso y las

interacciones que tuvieron lugar entre el docente, los alumnos y el saber matemático. Por lo

expuesto se considera que los conocimientos provenientes del KCT sustentan aquellos

generados en torno al subdominio KCS y que estos dos subdominios del conocimiento están

íntimamente vinculados. En este sentido, se observa que los subdominio CCK, SCK, KCT y

KCS intervienen positivamente en la práctica de anticipar respuestas de los escolares frente a

una tarea.



156

Figura 14: Subdominios del MKT que incidieron en la práctica de anticipar respuestas de

escolares

Lo anteriormente expuesto señala la multiplicidad de subdominios del conocimiento que

intervienen en esta práctica y permite apreciar el potencial que tiene esta práctica para

promover la enseñanza de futuros docentes.



157

Capítulo V: Conclusiones y recomendaciones

En este capítulo se presentan en primer lugar las conclusiones que surgen de este trabajo y

posteriormente se realizan una serie de recomendaciones basadas en este estudio.

V.1 Conclusiones

Para su presentación se organizan las conclusiones en tres dimensiones: conclusiones

vinculadas a los significados del signo igual; aquellas relacionadas a los conocimientos

matemáticos para la enseñanza evidenciados por los ocho maestros adscriptores y por la

maestra directora de una escuela de práctica uruguaya y finalmente se presentan las

conclusiones relativas a los vínculos entre los distintos subdominios del MKT.

V.1.A Respecto a los significados del signo igual

Este estudio evidenció que a nivel grupal los maestros que participaron de esta investigación

atribuyen al signo igual múltiples significados; entre ellos: propuesta de actividad, indicador

de cierta conexión o correspondencia, operador, expresión de una acción, aproximación y

equivalencia numérica. Esta multiplicidad de interpretaciones del signo igual coincide con lo

reportado por Burgell (2012) y Medina (2016). Teniendo en cuenta que esas investigaciones

trabajaron con liceales y futuros maestros se entiende que esto evidencia que la diversidad de

significados resiste no solamente a extensas trayectorias formativas, sino también a largas

trayectorias profesionales.

Para completar sentencias de la forma __× a = b + c todos los docentes pusieron en juego

visiones relacionales del signo igual o bien visiones operacionales conjugadas con una

estrategia de resolución de tareas respetando la igualdad. Sin embargo, no todos los maestros

completaron sentencias de la forma a × b = __ + c respetando la igualdad, algunos maestros

evocan visiones operacionales del signo igual en ese contexto. Esto evidencia que las visiones



158

operacionales del signo igual resisten no solo largos trayectos formativos, sino además, largos

trayectos de práctica profesional docente. Se observa que estos maestros no identifican que

sus interpretaciones del signo igual tienen validez en contextos restringidos y esto le trajo

dificultades para: completar sentencias formando igualdades, identificar los errores en las

producciones de los escolares y consecuentemente realizar recomendaciones que resulten

pertinentes para que el estudiante supere las concepciones erróneas sobre el signo igual que

evidencia en su producción escrita.

Este estudio también mostró que la mayor parte de los maestros participantes atribuyen al

signo igual el significado propuesta de actividad y esto los llevó a utilizar el signo igual bajo

los significados operador, aproximación e indicador de cierta conexión o correspondencia.

Además, el uso del signo igual bloqueó las respuestas más sencillas que podían darse a una

tarea de la forma a ÷ b =. Se observa que este uso del signo igual promueve interpretaciones

operacionales y se sugiere a los docentes no utilizarlo en el diseño de tareas de este tipo,

particularmente cuando se desea invitar a los escolares a realizar divisiones.

Todos los maestros que participaron de este estudio dieron evidencia de atribuir al signo igual

el significado indicador de cierta conexión o correspondencia. La mayor parte de los maestros

aceptó como verdaderas las sentencias 30 = ¼ y 100% = 4 por el solo hecho de encontrar un

contexto que vincule esas cantidades. Se entiende que admitir estos usos consolida este

significado entre los escolares y debilita las incipientes interpretaciones relacionales que

podrían estarse formando; se recomienda también evitar aceptar estos usos y problematizar el

significado del signo igual cuando los estudiantes escriban sentencias como esas.

Por otra parte, este estudio detectó un nuevo uso del signo igual. Una maestra utiliza este

símbolo para vincular una división con el par cociente y resto de la división entera, como lo

muestra la siguiente imagen:

Nuevo uso del signo igual asociado al significado indicador de cierta conexión o correspondencia



159

Este uso se agrega a los ya reportados por Molina vinculados a la interpretación del signo

igual bajo el significado indicador de cierta conexión o correspondencia.

Este estudio permitió observar que cuando en una misma tarea un docente logró evocar el

signo igual bajo los significados operador y equivalencia numérica, la visión relacional se

impuso frente a la operacional, y esto llevó a sugerir que, probablemente, los maestros que

respondan bajo visiones operacionales del signo igual no alcancen a evocar, en la situación

particular presentada por cada tarea, la visión relacional que posiblemente apliquen para

resolver otras situaciones. Si bien se deja planteada esta situación para estudios futuros, se

señala que esto daría cuenta de la profundidad con que están arraigadas las concepciones

operacionales del signo igual en cada uno de nosotros, y remarcaría la necesidad de que se

tomen acciones que permitan modificar las prácticas educativas en relación a la enseñanza de

este símbolo.

Se aprecia necesario incorporar a las aulas escolares el trabajo intramatemático de completar

sentencias no estándares con operaciones a ambos lados del signo igual, y en particular,

sentencias con un espacio en blanco colocado inmediatamente a la derecha del signo igual.

Estas tareas resultaron sumamente potentes para diagnosticar visiones operacionales del signo

igual, y dar lugar a la discusión de los significados que toma este símbolo en las distintas

respuestas que recoge esa tarea.

Este estudio deja ver también la necesidad de generar instancias de formación continua de los

maestros y los maestros formadores. Aunque no pudo ser constatado en este estudio, se

aprecia que todos los maestros participantes atribuyen al signo igual el significado

equivalencia numérica, pero se entiende que ese significado necesita ser fortalecido para que

logre ser evocado al enfrentar una tarea que involucra al signo igual. Por otra parte, el

significado operador necesita ser dimensionado por el docente en cuanto a su validez, es

decir, el docente necesita conocer que en sentencias estándares con formato “operación =

respuesta” esa interpretación le resultará útil, pero que al enfrentar una sentencia no estándar

dejará de serlo. Se observa que es necesario que los docentes se apropien de un conjunto

flexible de significados asociados al signo igual, que los habilite a reconocer la multiplicidad

de significados que habitan en este símbolo y a transitar de una visión a otra hasta encontrar

aquella que mejor se adecue y que complementen algunos significados construidos alrededor

del signo igual con la información vinculada a las limitaciones de este conocimiento.



160

Por último, se entiende que conocer que el signo igual puede tomar distintos significados

según su uso, contribuirá a que los docentes estén más atentos a los usos y significados que

ellos mismos atribuyen a este símbolo. Se aprecia que esto promoverá un uso más flexible de

estos significados.

V.1.B Respecto a los conocimientos matemáticos para la enseñanza del signo igual

Este estudio evidenció que el subdominio conocimiento común del contenido intervino en

todas las prácticas que se les solicitó desarrollar a los maestros: completar sentencias;

identificar el error en las producciones escritas de escolares y realizar recomendaciones que

atendieran a los errores identificados; definir y ejemplificar usos escolares del signo igual;

evaluar tareas para implementarlas en el aula; identificar dificultades en el aprendizaje del

signo igual y anticipar respuestas de escolares frente a tareas que involucraban al signo igual.

En particular conocer que el signo igual separa dos expresiones de un mismo valor, resultó un

conocimiento sumamente valioso en el subdominio CCK y permitió a los docentes que

lograban ponerlo en juego en aquellas situaciones que lo requerían, completar las sentencias

para formar igualdades, identificar los errores en las producciones escritas de los escolares y

definir el signo igual. Por otra parte, conocer que el signo igual se utiliza para invitar a hacer

una operación, vincular objetos que se corresponden o para separar una operación de su

resultado, fueron conocimientos (en el sentido de Campos Lins, 1994) que llevaron a los

docentes que no advirtieron su invalidez para ser utilizados en contextos no estándares, a dar

respuestas matemáticamente erróneas, impidieron la identificación de errores en las

producciones de escolares y frustraron las posibilidades de que estos docentes pudieran

ayudar a los niños a través de sus recomendaciones. Esto es consistente con lo reportado por

Trivilin y Ribeiro (2015) y pone en evidencia que el conocimiento del contenido es

irrefutablemente necesario para lograr un ambiente favorable para promover aprendizaje en el

aula de matemática.



161

Se aprecia que sería interesante conocer cuáles son los mecanismos que hacen que estos

conocimientos se instalen en el discurso matemático escolar. Se sugiere el trabajo con estos

docentes para revisar las justificaciones vinculadas a las siguientes afirmaciones: considerar

que el signo igual separa una operación de su resultado, considerar que el signo igual invita a

realizar una operación, considerar que el signo igual vincula un número y su aproximación,

considerar que el signo igual vincula dos números que se corresponden de alguna forma o

considerar que para resolver una sentencia incompleta es conveniente realizar las operaciones

planteadas y dar solución a la sentencia equivalente. Constatar que maestros con más de

treinta años de experiencia docente no han podido identificar y superar las dificultades que

posiblemente dejó su formación inicial, lleva no solo a remarcar la importancia de mejorar la

formación inicial de los maestros, sino también, a apreciar que es fundamental brindar

oportunidades reales para que los maestros en ejercicio y especialmente los maestros

formadores, reflexionen sobre sus propios saberes y la matemática que llevan al aula.

Por otra parte, quedó en evidencia en este trabajo que algunos de estos conocimientos se

retroalimentan y refuerzan mutuamente, promoviendo y consolidando entre los alumnos y los

propios docentes, significados no relacionales del signo igual. Un ejemplo claro de esta

situación se origina con el uso del signo igual para invitar a los estudiantes a efectuar el

algoritmo de la división, más aún si el docente no tiene en cuenta los conocimientos

matemáticos requeridos para completar la sentencia como igualdad. Se entiende que una

mirada parcial del docente, enfocada en trabajar un contenido específico (por ejemplo el

algoritmo de la división), inicia un círculo de enseñanza que involucra el uso del signo igual

bajo los significados propuesta de actividad, operador y aproximación en el que los

significados no relacionales del signo igual se potencian y consolidan unos a otros.

Si bien los conocimientos del subdominio CCK fueron suficientes para dar solución (correcta

o incorrecta) a tareas que involucraron al signo igual, otras prácticas requirieron además

conocimientos de otros subdominios del MKT.

En particular, el subdominio del conocimiento especializado del contenido participó en dos de

las prácticas solicitadas: corregir producciones de escolares vinculadas al trabajo con

sentencias no estándares que involucran el signo igual y anticipar respuestas de estudiantes



162

frente a tareas no estándares. El subdominio SCK tuvo un papel crucial en las prácticas de

corregir producciones de escolares, particularmente en identificar los conocimientos

matemáticos que involucraba la tarea.

Los docentes que evidenciaron identificar que el signo igual era uno de los objetos

matemáticos intervinientes en las tareas, identificaron la procedencia del error en la

producción de los escolares y lograron realizar recomendaciones que promovieron que el

escolar mejore sus concepciones de este símbolo. En múltiples situaciones los maestros

fueron enfrentados a corregir tareas y no lograron identificar que la tarea requería poner en

juego otro significado del signo igual que el evidenciado por los alumnos. Esto los llevó a

atribuir el error a causas no plausibles y a dar recomendaciones no pertinentes, que no

promovieron la superación de las dificultades que el alumno evidenció a través de su

producción escrita. Si bien conocimientos provenientes del subdominio KCT podrían

contribuir a que el docente pueda realizar recomendaciones más ajustadas a las tareas que

habitualmente desarrolla el escolar o conocimientos provenientes del subdominio KCS

podrían contribuir a que el docente anticipe las respuestas que podrían dar los escolares, se

aprecia que los conocimientos aportados por el subdominio SCK son cruciales para que el

docente pueda interpretar las dificultades puntuales evidenciadas por ese alumno en su

producción escrita y desarrollar así acciones concretas que potencien su aprendizaje.

En relación a la práctica de anticipar respuestas de los estudiantes frente a tareas no

estándares, la situación es similar a la mencionada anteriormente. Identificar los

conocimientos matemáticos movilizados por una tarea permitió que una maestra anticipara

respuestas diferentes a las dadas por ella misma. Esta maestra evidenció poner en juego el

significado operador para anticipar posibles respuestas de sus alumnos y en este sentido se

observa que conocer los significados de la categorización de Molina (2006) contribuye a la

capacidad de los maestros de anticipar respuestas de los escolares. Coincidentemente con lo

reportado por Meyer (2016) y Trivilin y Ribeiro (2015) que muchas veces los maestros

tuvieron dificultades para identificar los significados que el signo igual cobraba en los

distintos contextos y se observa necesario fortalecer los conocimientos de los maestros en el

subdominio SCK.



163

Por otra parte, el subdominio SCK no fue puesto en juego para evaluar la pertinencia de llevar

al aula ciertas tareas. Se señala que conocimientos limitados en el subdominio SCK llevaron a

que algunos docentes pierdan el control sobre las variables didácticas y a admitir tareas que

exceden las posibilidades de los escolares para realizarlas de forma matemáticamente

correcta. Por otra parte, se interpreta que esta misma situación generó una serie de tensiones

entre conocimientos de distintos subdominios del MKT que llevaron a que algunos maestros

ignoren los conocimientos aportados desde el dominio Conocimiento del Contenido y

prioricen los conocimientos aportados desde el dominio Conocimiento Didáctico del

Contenido, cuando lo necesario sería un ida y vuelta entre los conocimientos de estos dos

dominios.

Se entiende que esta situación deja ver la necesidad de fortalecer el subdominio SCK del

MKT y plantea la necesidad de que los formadores reflexionemos sobre las fuentes que

alimentan este subdominio en los futuros maestros. Este trabajo se cuestiona si el sistema de

formación docente uruguayo se hace cargo de ofrecer oportunidades a los futuros maestros

para que construyan conocimientos vinculados al subdominio SCK. En particular destaca la

importancia de que los formadores aprecien que estos conocimientos constituyen

instrumentos esenciales para que los futuros maestros puedan desarrollar con solvencia

muchas de las prácticas vinculadas a la docencia.

Teniendo en cuenta que para completar tareas que involucran al signo igual no fue necesario

recurrir a conocimientos vinculados al SCK, este análisis cuestiona si desde la formación

disciplinar de los futuros maestros se promueve la construcción de conocimientos

especializados del contenido e invita a reflexionar sobre cuáles son las actividades o

situaciones del aula que lo hacen. Se considera que Llinares (2008) realiza un aporte en este

sentido pues concibe la formación docente como un ámbito en el que se enseñan prácticas de

enseñanza y permite ver la formación inicial docente y la formación permanente bajo otra

perspectiva. Se entiende que este trabajo contribuye a la identificación de las prácticas

docentes que movilizan el subdominio SCK e invita a la comunidad educativa a comenzar a

pensar la formación docente con base en la enseñanza de la multiplicidad de prácticas que

constituyen la tarea docente. Se aprecia que esta forma de concebir la enseñanza de la

matemática en la formación magisterial permite movilizar conocimientos de múltiples

subdominios, como queda en evidencia en este trabajo, pero además brindaría una enseñanza



164

vinculada a la práctica profesional, donde lo disciplinar y lo didáctico podrían abordarse

naturalmente integrados.

En este subdominio se considera especialmente importante que los docentes conozcan que el

signo igual podría ser utilizado bajo diferentes significados y que conozcan cada uno de los

significados de la categorización de Molina (2006); se entiende que estos saberes permitirían

a los docentes estar más atentos a los usos del signo igual que circulan en el aula, contribuiría

a desarrollar su capacidad de interpretar el pensamiento del escolar y su capacidad de

anticipar las respuestas de los alumnos independientemente de que el docente haya observado

estas respuestas previamente. Coincidentemente con lo reportado por Meyer (2016), a nivel

global se apreció esta dimensión del conocimiento como uno de los subdominios del MKT

que requiere ser reforzado.

Otro aspecto que se entiende pertinente mencionar, es que el subdominio SCK del modelo fue

el más difícil de delimitar. En particular, expresar los conocimientos que lo componen en

términos de los saberes y no en término de las habilidades o prácticas que este subdominio

habilita a desarrollar. Esto es coherente con lo reportado por Flores, Escudero y Carrillo

(2013) que informan que otros autores señalan estas mismas dificultades y señalan que el uso

del término “habilidades” indica que hasta este momento ha habido una falta en la

determinación de la naturaleza de los conocimientos involucrados en el SCK. Esto coincide

con lo reportado por estos investigadores y se espera que este trabajo contribuya a

ejemplificar y delimitar este subdominio del modelo MKT.

En relación al subdominio conocimiento del contenido y la enseñanza, se observa que este fue

uno de los subdominios del MKT que mayor incidencia tuvo cuando los maestros

desarrollaron la práctica de evaluar una tarea para ser implementada en el aula. Los

conocimientos vinculados a la matemática, a la educación matemática y la matemática

escolar, tuvieron gran peso en las decisiones de muchos de estos maestros. Afirmar que las

tareas matemáticas deben siempre plantearse en un contexto, que las tareas intramatemáticas

resultan una mera ejercitación para el alumno o que el docente debe anticiparse a los errores

para evitar que el niño se equivoque, son algunos de los conocimientos que inciden de forma

directa en las tareas que estos docentes llevan a sus aulas para trabajar el signo igual y que



165

restringen tanto el diseño de tareas como los procesos de análisis que los escolares podrían

desarrollar en torno a ellas. Por otra parte, considerando que Seo y Ginsburg (2003) señalan

que la interpretación operacional surge especialmente en contextos intramatemáticos, se

aprecia que es fundamental que los maestros conozcan las ventajas y desventajas que aporta

cada contexto y se considera necesario iniciar acciones que modifiquen la actitud de estos

docentes hacia el trabajo intramatemático en general y el trabajo con sentencias no estándares

en particular. Este trabajo pone en evidencia que difícilmente estos docentes incluirían el

trabajo con sentencias no estándares en sus aulas, limitando así las oportunidades de que los

escolares aprendan a interpretar los símbolos matemáticos, entre ellos el signo igual.

El subdominio KCT incidió con fuerza también en las prácticas de corregir producciones de

escolares y realizar recomendaciones. Conocimientos didácticos de orden metodológico

llevaron a varios de estos docentes a dejar a cargo del alumno la validación de su propia tarea;

cuando las recomendaciones dejadas no problematizaron el pensamiento del estudiante, se

desaprovechó la oportunidad de intervenir para mejorar los aprendizajes del signo igual. Esto

nuevamente señala al subdominio SCK como elemento clave para que el docente identifique

la concepción errónea del escolar a través de su producción y le brinde la posibilidad de

intervenir de forma mínima pero potente para que el alumno supere sus concepciones

erróneas. Se observa que la metodología de trabajo elegida por estos docentes sin un

fortalecimiento del conocimiento del contenido y en particular del subdominio SCK deja a los

estudiantes a la deriva, perdiendo las oportunidades que su producción escrita abrió para

conocer sus pensamientos e intervenir sobre ellos.

El subdominio conocimiento del contenido y los estudiantes tuvo alta incidencia en la práctica

de corregir producciones de escolares y participó también en las siguientes prácticas: evaluar

tareas para ser llevadas al aula, anticipar respuestas de escolares e identificar dificultades en el

aprendizaje del signo igual. Algunos docentes mostraron conocer que los estudiantes ven al

signo igual como aquello que separa una operación de su resultado y esto les permitió por

ejemplo anticipar respuestas de escolares. Sin embargo, en múltiples situaciones maestros con

muchos años de trayectoria docente no parecieron estar advertidos de que los escolares

tendrían dificultades con interpretar al signo igual. No considerar al signo igual como objeto

de enseñanza y desconocer que este símbolo posee múltiples significados llevó a que estos



166

maestros no aprovecharan las innumerables oportunidades que su práctica profesional

seguramente les dio de advertir la problemática que encierra el signo igual. Nuevamente se

entiende que fortalecer los subdominios SCK y KCC contribuiría para mejorar esta

problemática.

El subdominio del MKT conocimiento del contenido y el currículo tuvo muy baja incidencia

en las prácticas solicitadas a estos docentes y solo se evidenció que se pusieran en juego

conocimientos provenientes de ese subdominio al ejemplificar sus usos escolares.

Por otra parte, este estudio mostró que al realizar distintas prácticas, el signo igual pareció ser

un objeto transparente para muchos docentes, quienes parecían no advertirlo como objeto

matemático a ser enseñado; esto los llevó a desaprovechar múltiples oportunidades para

promover aprendizajes sobre los significados de este símbolo y se entiende poco probable que

estos maestros lo integren a sus prácticas de enseñanza. La falta de atención al signo igual ha

sido reportado por muchas de las investigaciones que figuran en los antecedentes (Asquith et

al., 2007; Stephen, 2006; Parslow-Williams y Cockburn; 2008; Burgell, 2012; Trivilin y

Ribeiro; 2015) y se observa que esta es una de las grandes dificultades que rodea a la

problemática de su enseñanza.

Se interpreta que la inclusión del signo igual como objeto de estudio a través del programa

escolar en el año 2008, no ha alcanzado a transformarlo en objeto de enseñanza en el

pensamiento de este grupo de docentes. Considerando que el programa vigente carece de

lineamientos que hagan visible la problemática asociada a la construcción de significados del

signo igual, se concuerda con Trivilin y Ribeiro (2015) en que es necesario que el programa

escolar sea mucho más explícito en relación a las expectativas de logro que pretende

desarrollar. Se sugiere que el listado de contenidos programáticos vinculado al signo igual sea

acompañado de pautas de enseñanza que incluyan fundamentos sobre su incorporación al

currículo escolar, referencias que alerten a los docentes sobre la problemática asociada a la

construcción de sus significados y expectativas de aprendizaje sobre los diferentes

significados del signo igual. Se entiende que el currículo escolar es el timón que pauta la

enseñanza y en vista de que en Uruguay se está gestando una reforma educativa, se sugiere

que los nuevos programas de enseñanza brinden los elementos mínimos necesarios para que

los docentes puedan interpretarlo en profundidad y que sus orientaciones promuevan

reflexiones en el colectivo docente.



167

Coincidentemente con lo reportado por Stephen (2006) se entiende que existe entre los

maestros una falta de comprensión de la equivalencia como concepto fundamental del

álgebra. Conocimientos provenientes del subdominio conocimiento del horizonte matemático

no parecieron participar en ninguna de las prácticas desarrolladas por estos maestros. En

algunas oportunidades se apreció que las dificultades de los maestros se hubieran podido

superar si desde esta área hubieran sido evocados conocimientos que se apreciaban relevantes.

En particular algunos maestros evidenciaron tensiones que los llevaron a rechazar el uso del

signo igual para vincular fracciones equivalentes o dos cantidades iguales cuando estas se

expresaban con diferente unidad de medida. La existencia de un símbolo asociado a la

equivalencia (), pareció promover una disociación entre el signo igual y el concepto de

equivalencia. Se aprecia necesario fortalecer este subdominio del MKT de este grupo de

maestros para que estos profundicen en la noción de relación de equivalencia y en el sustento

del trabajo con ecuaciones, a fin de que puedan apreciar el paisaje matemático que rodea el

signo igual y la importancia de construir interpretaciones relacionales desde temprana edad.

En síntesis, este estudio pone en evidencia que el conocimiento matemático para la enseñanza

desarrollado por este grupo de maestros formadores presenta un desequilibrio entre el

dominio Conocimiento del Contenido y Conocimiento Didáctico del Contenido, con

predominancia alta de este último. Este estudio coincide con lo reportado por Meyer respecto

a que los subdominios CCK, SCK y HCK son las dimensiones del Conocimiento Matemático

para la Enseñanza que evidencian mayores necesidades y se aprecia que fortalecerlos

permitirá a los maestros generar, identificar y aprovechar las oportunidades de desarrollar en

sus alumnos los significados relacionales del signo igual.



168

V.1.C Vínculos entre los subdominios del MKT

A lo largo de todo este estudio se observó que la mayor parte de las prácticas que debieron

desarrollar los maestros, requirieron poner en juego múltiples conocimientos provenientes de

distintos subdominios del MKT; en variadas ocasiones se enfrentaron dificultades para

identificar, enunciar y categorizar los conocimientos puestos en juego por los maestros. Se

aprecia que los conocimientos matemáticos para la enseñanza no constituyen cápsulas

aisladas, sino que frecuentemente se entrelazan conocimientos provenientes de dos o más

subdominios del MKT, hasta el punto de considerar que un conocimiento no podía darse

independientemente de los otros.

Teniendo en cuenta que identificar los conocimientos que son puestos en juego en cierta tarea,

incluye haber construido para sí mismo esos conocimientos, se entiende que el subdominio

CCK constituye la base sobre la cual se construyen los conocimientos que integrarán el

subdominio SCK. En este sentido, se apreció que el subdominio CCK resulta imprescindible

para que puedan desarrollarse los conocimientos que integrarán los subdominio SCK y HCK.

Se apreció, por ejemplo, que haber identificado que el signo igual juega distintos roles según

el uso que se le dé, contribuye a conocer que los estudiantes ven al signo igual bajo múltiples

significados. Por otra parte, conocer que los estudiantes al trabajar con sentencias no

estándares responden a la derecha del signo igual con el resultado de la operación planteada a

su izquierda o que quedan desconcertados cuando se plantea una operación a la izquierda del

signo igual y su resultado a la derecha del mismo, contribuye a que los docentes identifiquen

que el signo igual juega distintos roles según el uso que se le dé. Por lo expuesto se entiende

que los conocimientos de los subdominios SCK y KCS se alimentan mutuamente.

Igualmente se aprecia que identificar los conocimientos matemáticos movilizados por cierta

tarea es un conocimiento relevante para construir juicios de valor sobre la pertinencia de

incorporarlas en la escuela, lo que señala que el subdominio SCK también alimenta al

subdominio KCT. Entre los subdominios KCS y KCT se observa una situación similar, con la

diferencia que, en este caso, se aprecia que ambos subdominios se alimentan mutuamente:

conocer que las prácticas de enseñanza desarrolladas en la escuela priorizan el formato

“operación = respuesta” permitió a una maestra anticipar que los niños quedarían sin

respuesta frente a una sentencia que presenta operaciones a ambos lados del signo igual;



169

conocer que los estudiantes seguramente darán respuestas erróneas a una tarea llevó a los

maestros a acompañar las consignas de trabajo con advertencias que eviten el error.

Por otra parte, si bien en este trabajo no pudieron ser evidenciados otros vínculos, se aprecia

que existen otros subdominios que se relacionan entre sí además de los ya mencionados. Es

necesaria mayor investigación para recabar evidencias que confirmen o refuten este análisis,

pero se considera que puede servir como guía para próximos estudios.

Se observa que conocer que el signo igual está incluido en el currículo escolar (KCC) y que es

objeto de enseñanza, podría contribuir a que el docente esté más atento a su aprendizaje por

parte de los estudiantes, y que conozca sus dificultades en relación a esta temática (KCS); en

este sentido señalamos que el subdominio KCC podría contribuir a alimentar al subdominio

KCS.

Se observa que el conocimiento del contenido y del currículo, no se nutre de los otros

conocimientos del área “didáctica”; se aprecia que se requieren conocimientos desde el

subdominio CCK para interpretar en profundidad las pautas que establece el programa escolar

y ponerlas en acción en sus distintas prácticas. Se entiende que es necesario que cuando se

haga referencia al signo igual el docente pueda pensar relacionalmente en este símbolo, pero

se considera que es necesario además que el docente conozca que bajo este símbolo se

agrupan una multiplicidad de significados. Solo con este conocimiento podrían interpretarse

profundamente las escasas pautas que el programa escolar establece en relación al abordaje

del signo igual (considérese, por ejemplo, interpretar el programa escolar cuando menciona de

forma aislada “el análisis del signo igual” como contenido curricular de tercer año).

Asimismo, se entiende que los conocimientos provenientes del HCK promoverían que los

docentes dimensionen y valoren estas pautas programáticas, apropiándose de la enseñanza del

signo igual. Por lo expuesto se señala que bajo los subdominios CCK, SCK y HCK se

agrupan los conocimientos que dan sentido y profundidad a los conocimientos vinculados al

subdominio KCC.

Este trabajo evidenció que el signo igual no es visto como objeto de enseñanza por la mayor

parte de los maestros formadores que participaron de este estudio. Se entiende que

lineamientos explícitos desde el currículo que hagan visible la problemática que rodea su

aprendizaje y que socialicen su relevancia en la formación del escolar, contribuiría a que los

maestros vinculen el signo igual con el concepto de equivalencia y promovería que aquellos



170

maestros que desconocen que existen múltiples significados asociados al signo igual tomen

consciencia de esta situación. Asimismo alertaría a aquellos maestros que tienen un

conocimiento muy acotado de los significados del signo igual que hay algo que han estado

pasando por alto, permitiéndoles revisar y mejorar sus concepciones. Por otra parte, conocer

que el currículo establece la enseñanza de interpretaciones relacionales del signo igual, y

conocer qué significan estas concepciones y ante cuáles se contrapone, podría promover que

los docentes lo identifiquen como objeto de enseñanza y reflexionen sobre las tareas que

proponen a los estudiantes. Se entiende, pues, que el subdominio KCC podría alimentar los

subdominios HCK, SCK, CCK y KCT.

Finalmente, se aprecia que los conocimientos provenientes del subdominio HCK habilitan a

que se valore la importancia de promover significados relacionales del signo igual y en este

sentido se entiende que contribuyen a enriquecer los conocimientos asociados a la enseñanza

de este signo. Se señala, pues, que los conocimientos del subdominio HCK alimentan al

subdominio KCT.

Los vínculos encontrados entre los seis subdominios del modelo MKT se esquematizan a

través del siguiente diagrama, en el que cada flecha tiene origen en un subdominio que sirve

como base y extremo en un subdominio del MKT que alimenta. Una doble flecha significa

que los subdominios se retroalimentan uno al otro.



171

Figura 14: Diagrama que sintetiza los posibles vínculos que podrían darse entre los subdominios del MKT.

Se observa que estos vínculos dificultaron, en algunos casos, la identificación del

conocimiento que estaba siendo puesto en juego y el subdominios del MKT al que hacía

referencia. Como ya se expresó, esto fue particularmente notorio en relación al subdominio

SCK. Por otra parte, estas dificultades de delimitación del subdominio SCK son las que otras

investigaciones (Flores et al., 2013) han reportado y que, como señalan Flores, Escudero y

Carrillo “existen algunos inconvenientes que dificultan su observación y análisis” (2013, p.

2). Sin embargo, se aprecia que este modelo permitió visibilizar un conjunto de

conocimientos de los que muchas veces los docentes no somos conscientes, y que inciden de

manera categórica en las decisiones de los docentes respecto a la enseñanza.



172

Todo este análisis ha girado en torno a la definición que Campos Lins (1994) propone para

conceptualizar el conocimiento, sin embargo se considera que corresponde diferenciar en este

momento aquellos conocimientos que se consideran “deseables” de aquellos que se observa

que no contribuyen a la enseñanza del signo igual o a la enseñanza en general.

V.2 Recomendaciones

A continuación, se darán una serie de recomendaciones basadas en los hallazgos de este

trabajo, que están contenidos en tres planos: fortalecimiento de los conocimientos

matemáticos para la enseñanza de este grupo de maestros, formación inicial de maestros y

revisión del currículo. En cada una de ellas se dejan algunas ideas sobre posibles

proyecciones de este trabajo.

V.2.A Recomendaciones para fortalecer los conocimientos matemáticos para la

enseñanza de este grupo de maestros formadores

Este estudio permitió, entre otras cuestiones, identificar un conjunto de necesidades

formativas de los maestros que participaron de este estudio. Teniendo en cuenta que estos

maestros participan en la formación de nuevos maestros y que los conocimientos construidos

en el contexto específico de práctica profesional serán probablemente más usados en la acción

profesional que aquellos provenientes de cualquier material académico organizado (Lampert y

Ball, 1998), se destaca la necesidad de establecer instancias formativas para los maestros

formadores que posibiliten la discusión y revisión de sus saberes.

Entendiendo que este material puede servir de insumo para desarrollar acciones que permitan

enriquecer el conocimiento matemático para la enseñanza de este grupo de maestros, se

señalan los conocimientos y los subdominios del MKT que se entiende se evidenciaron más

vulnerables y que se sugiere fortalecer.



173

En relación al subdominio conocimiento del horizonte matemático, se considera que es

necesario complementar los conocimientos de los maestros en este subdominio para que

conozcan que la construcción de significados relacionales del signo igual se vincula con el

entendimiento de los procesos utilizados al resolver ecuaciones y que las investigaciones dan

cuenta que el aprendizaje del signo igual constituye la base de la comprensión del trabajo

algebraico vinculado a ese tema. Se entiende que estos conocimientos permitirán que los

maestros construyan una visión panorámica de la progresión de aprendizajes iniciada con el

signo igual y aprecien la importancia de promover visiones relacionales de este símbolo

matemático, contribuyendo así a que este sea considerado objeto de enseñanza.

Por otra parte, se aprecia que es importante profundizar los conocimientos de los maestros

sobre los conceptos de igualdad, los vínculos del signo igual con el concepto de equivalencia,

las características de una relación de equivalencia y la relación de equivalencia definida entre

fracciones para comprender la estructura matemática y afrontar con seguridad la tarea de

enseñar matemática. Se entiende que estos conocimientos son imprescindibles para que el

docente genere la autonomía y flexibilidad que requiere la continua toma de decisiones que

implica la docencia. Decidir por ejemplo si es conveniente o no utilizar en el ámbito escolar el

signo igual para vincular dos fracciones equivalentes requiere movilizar todos los

subdominios del conocimiento matemático para la enseñanza y el maestro formador tiene el

derecho de ser un referente en este sentido.

En relación al subdominio conocimiento especializado del contenido, resulta fundamental que

los docentes conozcan que el signo igual puede ser visto bajo múltiples significados, que se

asocian a distintos usos de este símbolo y que conozcan también cada uno de los significados

del signo igual que propone Molina. Estos conocimientos son cruciales para que los docentes

identifiquen los conocimientos matemáticos que son movilizados por una tarea que involucra

el signo igual y que logren identificar la procedencia matemática de los errores en estas tareas.

Esto permitirá incrementar la capacidad de estos maestros para interpretar los pensamientos

de los estudiantes y anticipar sus respuestas, cuestiones que se tornan fundamentales para la

docencia y que son puntos de inicio desde los que el docente puede realizar intervenciones

potentes para ayudar a sus estudiantes.

En relación al subdominio conocimiento común del contenido se sugiere reforzar en este

grupo de maestros formadores los siguientes conocimientos: conocer que el signo igual en

contextos aritméticos se utiliza para vincular dos expresiones de un mismo valor y tomar



174

conciencia que los usos del signo igual que no verifiquen esta condición no corresponden a

igualdades. Teniendo en cuenta que muchos de los conocimientos que se pudieron evidenciar

en este subdominio tienen validez muy restringida y que muchos docentes no evidenciaron

tener en cuenta este hecho, se entiende que es fundamental problematizar junto a estos

docentes los usos del signo igual. Será importante dejar en evidencia las restricciones de

validez de las afirmaciones que realizan muchos de estos docentes para reforzar los

significados relacionales que permitan construir una base sólida para los conocimientos más

avanzados de otros subdominios del conocimiento del contenido.

En relación al subdominio conocimiento del contenido y del currículo, se aprecia que es

importante que los docentes conozcan que el currículo vigente pauta la enseñanza del signo

igual y que incluye una progresión de enseñanza para este tema. Se sugiere realizar un análisis

del programa escolar que incluya interpretar sus lineamientos. Se señala que trabajar junto a

estos maestros los contenidos del currículo uruguayo y las recomendaciones actuales del

campo de la matemática educativa promoverá no solo que se considere al signo igual como

objeto de enseñanza sino además que se analicen de forma crítica los paradigmas educativos

que se viven en la escuela.

En relación al subdominio conocimiento del contenido y los estudiantes, se entiende que sería

positivo que los docentes tomaran consciencia de que muchos estudiantes ven al signo igual

como aquello que separa una operación de su respuesta y que esto los lleva a completar

sentencias bajo ese formato. También se estima pertinente contribuir a que los docentes

identifiquen que muchos de sus alumnos seguramente tendrán dificultades en interpretar una

sentencia cuando una operación se plantea a la izquierda del signo igual y su resultado a la

derecha. Se observa que este subdominio se alimenta de los conocimientos que se sugiere

trabajar en los subdominios SCK y KCT y que estos contribuirán a que el docente preste más

atención a las producciones de sus alumnos fortaleciendo naturalmente los conocimientos que

se acaba de mencionar.

Respecto al subdominio conocimiento del contenido y la enseñanza se aprecia que este grupo

de maestros necesitan problematizar algunas de sus concepciones sobre la matemática escolar

y que se verían favorecidos si se establecieran oportunidades de debatir sobre los beneficios e

inconvenientes de estas ideas. Será positivo que estos maestros conozcan que las tareas en

contexto intramatemático resultan cruciales para fortalecer la construcción de significados

asociados a los símbolos y que la investigación señala que es necesario el trabajo con



175

sentencias en variados formatos para promover la construcción de significados relacionales

del signo igual. También será positivo que estos maestros conozcan que admitir usos no

relacionales del signo igual promueve que se construyan y consoliden significados no

relacionales de este signo en sus estudiantes y en particular que tomen consciencia que el

trabajo con sentencias que siguen el formato “operación = respuesta” promueve la

construcción del significado operador. Por último, será fundamental trabajar con estos

maestros el uso del signo igual como propuesta de actividad, dando a conocer que este uso

desencadena una sucesión de significados no relacionales del signo igual que dificultan la

construcción de significados relacionales de este símbolo. Se entiende que estos

conocimientos permitirían al docente analizar sus propias prácticas y apreciar que la

problemática vinculada a la construcción de significados del signo igual puede ser

minimizada si los docentes tomamos consciencia de ella y actuamos en consecuencia.

Finalmente, se advierte que las acciones que se tomen no tendrán mayor éxito si solo se

conciben desde el punto de vista individual; es necesaria la creación de espacios

institucionalizados para que los maestros y particularmente los maestros formadores,

continúen formándose y reflexionando sobre los contenidos que enseñan.

Un trabajo en formato taller en el que se promueva el análisis y la discusión grupal de algunas

de las tareas propuestas en este trabajo permitiría problematizar los saberes que son trabajados

en el aula y las prácticas de enseñanza, potenciando la construcción de conocimientos

matemáticos que resultan relevantes no solo para la enseñanza del signo igual sino además

para la enseñanza de otros temas.

V.2.B Recomendaciones para la formación inicial

Un primer aspecto que queda en evidencia en este trabajo es que las áreas más debilitadas en

este grupo de maestros son las del dominio del Conocimiento del Contenido, entre ellas el

subdominio HCK. Teniendo en cuenta que en el año 2008 el programa escolar introdujo de

manera formal el trabajo con álgebra en el nivel primario, y que la formación inicial de

maestros no acompañó estos cambios y permanece sin incorporar un trabajo focal específico

en esta área, nos cuestionamos de qué forma es posible ampliar la visión panorámica que

eventualmente puedan traer los futuros maestros de su tránsito por la educación secundaria.



176

Se observa que el plan actual de formación inicial de maestros no hace referencia al signo

igual y que muchos de los docentes que actualmente se desempeñan como formadores de

maestros en los cursos de la disciplina matemática podrían no estar advertidos de la necesidad

de problematizar los significados que atribuyen al signo igual sus estudiantes. Probablemente

tampoco sean conscientes de la necesidad de promover la visión periférica necesaria para

apreciar la relevancia de construir significados relacionales de este símbolo. Es necesario que

el nuevo currículo para la formación inicial de maestros, que está en proceso de desarrollo,

incorpore pautas claras de las necesidades formativas, atendiendo a todos los subdominios del

MKT.

Finalmente, cabe señalar que el modelo MKT resultó un modelo sumamente valioso para

hacernos reflexionar sobre la multiplicidad de conocimientos que se ponen en juego en una

temática específica y se aprecia que este modelo sería sumamente enriquecedor para analizar

las fuentes que alimentan cada uno de estos subdominios.

Este análisis llevó a apreciar que el subdominio SCK solo fue movilizado cuando los docentes

realizaron tareas específicas que se desarrollan en relación a la docencia, y que probablemente

los conocimientos que lo integran no surjan de forma natural al abordar la asignatura

matemática en la formación inicial de maestros de primaria. Por otra parte, si se tiene en

cuenta que este subdominio del MKT está incluido en el área del conocimiento del contenido,

se entiende factible que los docentes de la asignatura didáctica (que en este caso sería

impartida por la maestra directora que participó en este estudio) tampoco se dediquen a

trabajarlos o, como en este caso, tengan sus propias dificultades con respecto a estos

conocimientos que involucran incluso aspectos matemáticos más profundos que los abordados

en la escuela. Este análisis plantea la interrogante sobre cómo se están desarrollando

actualmente estos conocimientos y cómo promoverlos. Se entiende que un trabajo conjunto de

profesores de matemática con maestros directores de escuela de práctica (actuales profesores

de didáctica) a cargo de un curso de formación de futuros maestros, que atienda los múltiples

conocimientos matemáticos que intervienen en la enseñanza, enriquecería no solo a los

estudiantes de formación docente, sino también a los profesores formadores.

Como se señala en las conclusiones, se considera que la propuesta de Llinares (2008)

proporciona otra perspectiva para ver la formación inicial docente y la formación permanente,

y si bien se entiende que es necesaria mayor investigación para valorar esta propuesta como

metodología para abordar la formación docente, este trabajo permitió apreciar el potencial que



177

tiene cada una de las prácticas para movilizar conocimientos vinculados a la enseñanza del

signo igual. Se aprecia que la enseñanza basada en el aprendizaje de estas prácticas podría ser

un camino potente para construir conocimientos matemáticos para la enseñanza en los

distintos subdominios del MKT. Se aprecia que aquellas prácticas que movilizan

conocimientos provenientes de los dominios conocimiento del contenido y conocimiento

didáctico del contenido, contribuyen a integrar lo didáctico y lo disciplinar.



178

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186

Anexos

Anexo 1: La enseñanza del signo igual en el currículo de la enseñanza

obligatoria

Figura 15: Programa Escolar. Introducción al concepto de igualdad. Nivel inicial.

Fuente: Consejo de Educación Inicial y Primaria (2008, p. 164).



187

Figura 16: Programa Escolar. Igualdad en Naturales. 1ro y 2do año.


Figura 17: Programa Escolar. Igualdad en Naturales. 3er y 4to año.




188

Figura 18: Programa Escolar. ¿Igualdad en Naturales? 5to y 6to año.


Figura 19: Programa escolar. Signo igual en Operaciones.1er y 2do año.




189

Figura 20: Programa escolar. Signo igual en Operaciones.3er y 4to año.




190

Figura 21: Programa escolar. Signo igual en Operaciones.5to y 6to año.




191

Figura 22: Programa Escolar. Introducción al álgebra.




192

Anexo 2: Cuestionario aplicado a las maestras adscriptoras y a la maestra

directora

Nombre: ……………………………………………………………………………………………

Rol (Practicante/Maestro/Maestro Adscriptor/Maestro Director): ………………………

Antigüedad docente (expresada en años): ……………………………………………………

Nivel escolar en el que se desempeña actualmente: …………………………………………

Pregunta 1

Complete los espacios para que las sentencias presentadas sean verdaderas. Si en algún caso

considera que hay más de una respuesta posible, indíquelo y agregue esta respuesta.

a)

b) ×

c) ×

d)



193

Nombre: ………………………………………………………………………………………

Pregunta 2.1

Las siguientes tareas fueron realizadas por escolares.

En cada caso corrija su trabajo. Si hay errores señálelos.

¿Qué recomendaciones le haría a esta estudiante para mejorar su trabajo?

Tarea 1: Completa

a)

b) 7 2 =



194

Nombre: ………………………………………………………………………………………

Pregunta 2.2

La siguiente tarea fue realizada por una escolar.

Corrija cada respuesta, si hay errores señálelos.


Tarea 2: Indica con verdadero (V) o falso (F). Anota lo que pensaste para responder.



195

Nombre: ………………………………………………………………………………………

Pregunta 2.3






196

Nombre: ………………………………………………………………………………………

Pregunta 2.4




Tarea 4: Si 30 es la cuarta parte de la cantidad de naranjas que tengo en un cajón.

¿Cuántas naranjas hay en este cajón?



197

Nombre: …………………………………………………………………………………

Pregunta 3:

Las siguientes preguntas se refieren al siguiente símbolo: =

a) Explique con sus palabras, qué significa para usted este símbolo.

b) ¿Puede significar algo más? Si es así, indíquelo.

c) Indique la mayor variedad posible de situaciones de clase donde utiliza este símbolo.

d) ¿Cómo lee este símbolo?



198

Nombre: …………………………………………………………………………………

Pregunta 4:

¿Ha notado alguna dificultad en el aprendizaje del símbolo “=” ? Si es así, descríbalas y

ejemplifique.



199

Anexo 3: Diseño preliminar de las entrevistas

La siguiente secuencia de diapositivas sirvió como guía para desarrollar las entrevistas. En

cada caso particular se realizaron ajustes tendientes por ejemplo a que los docentes explicaran

los pensamientos de estudiantes que daban respuestas diferentes a las propias, según las

respuestas dadas en el cuestionario.



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