Conservación de la energía

El trabajo es el cambio en la energía cinética de un sistema

2A2

12B2

1

B

A

mvmvrdFT

Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa el trabajo es la diferencia en la energía potencial del sistema

Entonces,

BUAUmvmv 2A2

12B2

1

Por lo tanto, AUmvBUmv 2

A212

B21

AB2A2

12B2

1 EEAUmvBUmv

tetanconsUmvE 221

energía total del sistema se conserva.

Ejemplo. Determinar la altura mínima desde la cual un objeto debiera empezar a moverse, de manera que pueda completar el recorrido por un rizo circular de radio R, ver la figura. Desprecie la fricción.

h

A

O

R

B

FF

FF

F

P

P

P

P

P

v

v

v v

v=0

Respuesta: Supongamos que el objeto es soltado desde el punto A, a una altura h sobre la base del rizo, como se ilustra en la figura.

h

A

O

R

B

FF

FF

F

P

P

P

P

P

v

v

v v

v=0

El objeto, parte del reposo y por efecto de la gravedad, empieza a moverse aumentando su velocidad hasta que llega al punto más bajo del rizo, a partir del cual empieza a disminuir.

En cualquier punto del rizo, las fuerzas actuantes sobre el objeto son su peso P=mg y la fuerza de reacción F debida al riel, la que apunta al centro.

En el punto más alto del rizo (B), tanto P como F apuntan hacia el centro del rizo (O), entonces

R

mvmgF

2

donde R es el radio del rizo.

Ya que F es la magnitud de la fuerza, no puede ser negativa, así que la velocidad mínima del objeto en el punto B debe ser cuando F=0, entonces

RgvR

mvmg

2

RgvR

mvmg

2

h

A

O

R

B

FF

FF

F

P

P

P

P

P

v

v

v v

v=0

Si la velocidad no fuera ésta, el peso hacia abajo sería mayor que la fuerza centrípeta y el objeto se separaría del riel antes de llegar al punto B, describiendo una parábola hasta regresar al riel.

Para calcular la altura h, usamos la conservación de la energía.

Entonces, calculando la energía en los puntos A y B, tenemos que EA= EB, de donde

Rh

R2mggRmmghmgymvEmgyE

25

21

B2

21

BAA

que es la altura mínima a la que se debe soltar el objeto para que recorra todo el rizo.

Ejemplo. Un trineo de 20 kg de masa se desliza colina abajo, empezando a una altura de 20 m. El trineo parte del reposo y tiene una velocidad de 16 m/s al llegar al final de la pendiente. Calcular la pérdida de energía debido al frotamiento.

Respuesta: Si la energía total al inicio de la pendiente es

J3920m20s/m8.9kg20mghE 2A

Pero, al final de la pendiente la velocidad es de 16 m/s, así que la energía es

J2560s/m16kg20mvE 2

212

21

B

Así que la diferencia en energía es

J1360EEE AB

Por lo tanto, la pérdida de energía debida al frotamiento es de 1360 J.

Ejemplo. Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular la energía cinética, potencial y total en dichas posiciones. ¿Qué velocidad tiene en esas posiciones?

Posición inicial x=3 m, v=0.

J86.58E0KyJ86.58m3s/m81.9kg2mghU 2m3x

Cuando x=1 m.

s/m26.6m

K2vmvK

J24.39UEKKUJ86.58E

J62.19m1s/m81.9kg2mghU

221

2m1x

Cuando x=0 m.

s/m67.7m

K2vmvK

J86.58UEKKUJ86.58E

J0m0s/m81.9kg2mghU

221

2m1x

Ejercicio 13.56. Un collarín C de masa m se desliza sin fricción en una varilla horizontal entre los resortes A y B. Si el collarín se empuja hacia la izquierda hasta comprimir el resorte A en 0.1 m y después se suelta, determine la distancia que recorrerá y su máxima velocidad alcanzada si (a) m= 1 kg, (b) m=2.5 kg.

Respuesta: Por conservación de energía, tenemos que la energía total del collarín en el punto 1, donde el resorte A está comprimido 0.1 m, debe ser igual su energía total en el punto 2 donde el resorte B tiene su máxima compresión debido al movimiento del collarín, imprimido por el resorte A.

221121 UKUKEE 1 2

En el punto 1, el collarín no se mueve, por lo que su energía cinética es cero y su energía potencial es la que le transmite el resorte A:

J8m1.0m/N1600m1.0m/kN6.1xkU

0K2

212

212

1A21

1

1

De forma equivalente, en el punto 2, el collarín no se mueve, por lo que su energía cinética es cero y su energía potencial es la que le transmite el resorte B :

m/Nx1400xm/kN8.2xkU

0K2B

2B2

12BB2

12

2

1 2

m 0.0756m/N1400

J8xJ8m/Nx1400

m/Nx1400UK

J8UK2

2B2

B22

11

De la figura observamos que el collarín viaja desde la posición cuando el resorte A esta comprimido hasta la posición cuando el resorte B está comprimido

m 0.5256m0756.0m5.0m1.0m15.0x

Observe que el resultado es independiente de la masa.

Respecto a la velocidad, se tiene que será máxima antes de interactuar con el resorte B, entonces, por conservación de energía tenemos que

m/s 2.5298kg5.2

J16

s/m4kg1

J16

m

J16vJ8mv

mvUK

J8UK 221

221

22

11

Ejercicio 13.66. Un collarín de 10 lb está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla fija que se encuentra en un plano vertical. El resorte tiene longitud no deformada de 14 in y constante k=4 lb/in. Si el collarín se suelta desde el reposo en la posición mostrada en la figura, determine su velocidad en (a) el punto A, (b) en el punto B.

Respuesta: De la figura podemos observar que la longitud del resorte estirado hasta la posición O mostrada en la figura es

O

in 31.3050in14in28L 22O

Esto significa que su cambio de tamaño es

in3050.17in14in 31.3050

LLL normalOO

Entonces, en la posición O mostrada en la figura la energía total del sistema es

ft lb 49.9102ft4421.1ft/lb48Lk0UK 2

212

O21

OO

Antes de calcular la energía potencial debemos poner todo en el mismo sistema de unidades, así que es necesario pasar las in a ft teniendo en cuenta que

1 ft=12 in

ft/lb48ft

lb4in/lb4k

121

ft4421.1ft12

13050.17in3050.17L O

y la masa es

slug 0.3106s/ft2.32

lb10

g

Wm

2

(a) En la posición A, tenemos que el resorte tiene un tamaño

ft 0.5431in 6.5167

in 14-in 142LLL

in 142in14in14L

normalAA

22A

Y por conservación de energía tenemos que

ft lb 49.9102ft lb 0779.7mv

ft lb 49.9102Lkmv

UKUK

2A2

1

2A2

12A2

1

OOAA

ft lb 7.0779ft 0.5431ft/lb48

LkU2

21

2A2

1A

ft/s 16.6084vft lb 42.8324ft lb 0779.7ft lb 49.9102mv2A2

1

(b) En la posición B, tenemos que el resorte tiene un tamaño

ft 1.1667in 14

in 14in 28LLL

in28L

normalBB

B

Y por conservación de energía tenemos que

ft lb 49.9102ft12

14lb10ft lb 32.6667mv

ft lb 49.9102WhLkmv

UKUUK

2B2

1

2B2

12B2

1

OOgBB

ft lb 32.6667ft 1.1667ft/lb48

LkU2

21

2B2

1B

ft/s 13.6448vft lb 28.9102ft lb 6667.11ft lb 32.6667ft lb 49.9102mv2B2

1