Consideraciones sobre conceptos relacionados con el ... · que une el árbol y las puertas es...
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Consideracionessobreconceptosrelacionadosconelproblema(noespararesolverlo):Como la muralla es circular y al ser la recta que une las puertas y el árbolperpendicular a la que une la puerta Sur con el Este, también tendríamos quecaminar9lindesdelapuertaSurhaciaelOesteparapoderverelárbol.Estáclaroque la circunferencia que forma la muralla es la inscrita en el triángulo cuyosvérticessonelpropioárbol,y lospuntossituadosa9 linhaciaelEsteyelOestedesdelapuertaSur.Además,porconstrucción,estetriánguloesisósceles(larectaqueuneelárbolylaspuertasesperpendicularalladoqueunelospuntosa9linalEsteyOestedelapuertaSurysecortanenelpuntomediodedicholado,estoes,lapuertaSur).El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro y es uno de los puntosnotablesdeltriángulo(tambiénconocidoscomocentrosdeltriángulo).Enesteenlacepuedesverlospuntosnotablesdeltriángulodeformasencilla:http://www.vitutor.com/geo/eso/as_2.htmlSiloquieresverconGeoGebra:https://www.geogebra.org/m/jqnK4876
Resolucióndelproblema:LostriángulosABCyADEsonsemejantes(puestienenlostresángulosiguales,yaquetienenambosunángulorectoycompartenelángulo𝛼).
Mediante el Teorema de Pitágoras podemos hallar el valor de x en función deldiámetrod(d=2r,esdecirr=d/2)
𝑥 =𝑑2 + 3
!
−𝑑2
!
=𝑑2
!
+ 3𝑑 + 9−𝑑2
!
= 3𝑑 + 9 = 3(𝑑 + 3)
Por lo tanto, por la semejanza de dichos triángulos se cumple (igualdad de laproporciónentresus ladoscorrespondientes,enestecaso loaplicamosa losdoscatetos):9,d+3yd/2, 3(𝑑 + 3)
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= !/!!(!!!)
Elevandoalcuadradoqueda: !"(!!!)!
=!!
!!(!!!!)
ysimplificando !"
!!!= !!
!"→ 81 ∙ 12 = 𝑑! 𝑑 + 3 → 𝑑! + 3𝑑! − 972 = 0
Hay que resolver la ecuación𝑑! + 3𝑑! − 972 = 0. Vamos a ver si tiene algunasolución entera mediante la regla de Ruffini. Otra opción es utilizar el cálculosimbólicodeGeoGebra(CAS)paraobtenerlasolución: