Construccion de Triangulos

ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 N 18 MAYO DE 2008

C/ Recogidas N 45 - 6A 18005 Granada [email protected] 1

CONSTRUCCIN DE TRINGULOS Y CRITERIOS DE IGUALDAD

AUTORA PATRICIA PREZ ORTIZ

TEMTICA GEOMETRA. TRINGULOS

ETAPA ESO

Resumen Los criterios de igualdad de tringulos constituyen un tema clsico de la geometra eucldea. Los ordenadores y los programas de geometra interactiva permiten hoy da un acercamiento al mismo desde un punto de vista nuevo, dotndolo de luz propia y convirtindolo en un tema de investigacin. El alumno afina en el mismo sus instrumentos de dibujo, precisa su lenguaje geomtrico, formula hiptesis y extrae conclusiones convincentes.

Palabras clave Vrtices, lados, ngulos como elementos de los tringulos.

Movimientos en el plano: traslacin, rotacin y simetra.

1. INTRODUCCIN Y ENCAJE EN EL CURRCULO

La geometra, adems de definiciones y frmulas para el clculo de superficies y volmenes es, sobre todo, describir y analizar propiedades y relaciones, y clasificar y razonar sobre formas y estructuras geomtricas. El aprendizaje de la geometra debe ofrecer continuas oportunidades para construir, dibujar, modelizar, medir o clasificar de acuerdo con criterios libremente elegidos. Su estudio ofrece excelentes oportunidades de establecer relaciones con otros mbitos, como la naturaleza o el mundo del arte, que no debera quedar al margen de atencin.

La utilizacin de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del pensamiento del alumno es siempre aconsejable, pero cobra especial importancia en geometra donde la abstraccin puede ser construida a partir de la reflexin sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la interaccin con un objeto fsico. Especial inters presentan los programas de geometra dinmica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y sus elementos caractersticos, facilitando la posibilidad de analizar propiedades, explorar relaciones, formular conjeturas y validarlas. (Real Decreto



1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseanzas mnimas correspondientes a la Educacin Secundaria Obligatoria). La igualdad de tringulos es una de las unidades geomtricas que requiere de la descripcin y el anlisis de las propiedades y relaciones, y la clasificacin y razonamiento sobre formas y estructuras geomtricas. Se entronca en el currculo de la asignatura de Matemticas, en el primer ciclo de la ESO, y en particular en su primer curso, dentro del bloque 4 referente a la Geometra, en el apartado ms genrico de los polgonos. Tradicionalmente la metodologa usada en la unidad de la igualdad de tringulos ha sido esttica y expositiva. Se enumeraban sin ms los criterios y se comprobaba su aplicacin a casos particulares. A lo sumo se citaba de paso o implcitamente la relacin de la unidad con los movimientos en el plano.

Los programas de geometra interactiva aaden una perspectiva nueva a la geometra y en particular a la unidad sobre la igualdad de tringulos. Permiten desde el principio la experimentacin, el trabajo individual e invitan a la puesta en comn de las hiptesis, formulaciones y elaboraciones propias. Posibilitan de una forma cmoda la colocacin en el centro de la escena de los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetras. Su conexin con la disciplina de Educacin Plstica y Visual de la que es un lugar comn las distintas formas de construir tringulos, mientras que los criterios de igualdad de tringulos lo son de la disciplina de Matemticas, permite poner en prctica la interdisciplinariedad.

2. MATERIAL A UTILIZAR

La unidad se presta especialmente a la utilizacin de determinados recursos manipulativos que sirvan de catalizador del pensamiento del alumno. Entre ellos pueden citarse aquellos que permiten una manipulacin manual como:

Tijeras y pegamento.

Regla, comps, escuadra, cartabn y transportados de ngulos.

Sin olvidar los referidos a las nuevas tecnologas como:

Ordenadores

Programas de geometra interactiva, entre los que merece una mencin especial Geogebra, que es gratuito y funciona en todos los sistemas operativos al estar basado en Java..

Todos los alumnos deben disponer de un cuaderno en que anoten sus experiencias y las conclusiones a que hayan llegado.

3. CONOCIMIENTOS PREVIOS

El alumno, antes de pasar a trabajar la igualdad de tringulos, debe conocer los siguientes tems:



Medida directa de longitudes, sus unidades, y las operaciones, principalmente la suma, con las mismas.

Nocin de ngulos, medida en el sistema sexagesimal y sus operaciones.

Reconocimiento de las diversas clases de polgonos, en especial de los tringulos y de sus elementos, con el objeto de disponer de un vocabulario bsico: vrtices, lados, ngulos.

Conocer la propiedad: La suma de los ngulos de un tringulo es 180.

Si el profesor desea enfocar la unidad desde la manipulacin manual el alumno debe conocer el uso de la regla, el comps y el transportador de ngulos.

Si el profesor desea hacer uso de los programas de geometra interactiva el alumno deber conocer los rudimentos del uso del ratn a fin de seleccionar y poder arrastrar por la pantalla las figuras propuestas. La utilizacin de los mencionados programas ser relativamente elemental no requiere de especiales habilidades.

4. OBJETIVOS

Entre los propuestos por la L.O.E. pueden sealarse especialmente:

Elaborar estrategias personales para el anlisis de situaciones concretas y la identificacin y resolucin de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos

Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentacin las formas de expresin y razonamiento matemtico

Manifestar una actitud positiva ante la resolucin de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con xito y adquirir un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estticos y utilitarios de las matemticas.

Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnolgicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar clculos como para buscar, tratar y representar informaciones de ndole diversa y tambin como ayuda en el aprendizaje.

5. DESARROLLO

Actividad 1 En ella se proporcionar a los alumnos una hoja con diversos objetos numerados, a fin de que sea ms fcil referirse a los mismos. Los objetos deben ser variados y no slo geomtricos. El objetivo de la actividad estriba en que el alumno decida cules de ellos son iguales y cules no. A fin de invitar a la



reflexin no es conveniente que los objetos sean distintos a simple vista, si no que entre algunos de ellos debe haber pequeas diferencias, por ejemplo de tamao. Si se desea un enfoque manual la hoja con las figuras debera estar en formato papel y orientar al alumno hacia el recorte de las figuras y posterior superposicin para ver si coinciden. Si se usa un programa de geometra interactiva la hoja con las figuras debera estar en formato virtual. Es posible que los alumnos se encuentren con dificultades aadidas al intentar superponer objetos, sobre todo si deben emplear giros o simetras. Por ello podra ser oportuno que una parte de los alumnos utilizaran tijeras e intentaran superponer las figuras a mano y otros usaran programas informticos. A quienes empleen mtodos manuales podran proporcionrseles dos hojas idnticas, una de las cuales sirviera en primer lugar para recortar y superponer las figuras y la otra se utilizara posteriormente para reflexionar sobre los movimientos que han sido necesarios para llegar a la superposicin. Es posible que algunos alumnos lleguen a identificar los movimientos. La siguiente plantilla podra servir de modelo.

La plantilla precedente ha sido realizada con Geogebra, programa una de cuyas caractersticas ms relevantes es la posibilidad de insertar y manipular imgenes predefinidas.



Actividad 2 Consistir en una repeticin de la actividad anterior, pero esta vez el trabajo se efectuara nicamente sobre tringulos. Al ser objetos ms simples es posible que los movimientos aparezcan con ms claridad y sean ms fcilmente distinguibles.

A partir de las traslaciones, rotaciones y simetras deber definirse el camino que conduce desde un objeto a otro. Los alumnos debern llegar a plasmar en su cuaderno las siguientes definiciones:

1. Dos tringulos son iguales o congruentes si pueden superponerse. 2. Dos tringulos son iguales o congruentes si los lados y ngulos de uno de ellos son iguales a los

lados y ngulos del otro.



Actividad 3: Construccin de tringulos En la actividad se darn algunos elementos de los tringulos y el alumno deber intentar construirlos observando si los datos proporcionados determinan el tringulo de forma nica. De nuevo para la realizacin de esta actividad puede recurrirse a la manipulacin clsica a travs de las hojas de papel, el comps y el gonimetro o medidor de ngulos o bien puede hacerse uso de un programa de geometra interactiva a fin de facilitar y otorgar dinamismo a las construcciones.

Antes de proceder a la construccin de los tringulos ya sea de forma manual o virtual ser necesario el dominio de dos tcnicas elementales:

1. Transferencia de longitudes a partir de un punto mediante la utilizacin de la herramienta comps, o crculo dado su centro y su radio. (En Geogebra existe una herramienta que construye un segmento a partir de un punto y una medida, lo que permite de forma rpida construir segmentos a partir de las medidas numricas).

2. Transferencia de ngulos a partir de un segmento o semirrecta. (En Geogebra existe una herramienta que construye un ngulo a partir de dos puntos y de la medida del ngulo en grados, lo que permite de forma rpida la visualizacin de ngulos y su transferencia).

Slo una vez asimiladas las tcnicas anteriores debera procederse a la construccin de tringulos desde los siguientes supuestos:

Conocida la medida de los tres lados.

Conocida la medida de los tres ngulos. El alumno deber reconocer en su intento de construccin que el teorema de la suma de los ngulos de un tringulo implica que uno de los tres ngulos no es necesario.

Conocida la medida de un lado y dos ngulos.

Conocida la medida de dos lados y un ngulo.

En aquellos casos en que exista convencimiento compartido de que los datos suministrados determinan el tringulo de forma inequvoca el alumno deber anotarlo en su cuaderno. La actividad podr darse por concluida cuando se conozcan experimentalmente y se hayan formulado los siguientes hechos:

1. Propiedad triangular que deben cumplir los lados de un tringulo. 2. Un tringulo queda determinado si se conoce la medida de los tres lados. 3. Un tringulo queda determinado si se conoce la medida de dos lados y el ngulo comprendido. 4. Un tringulo queda determinado si se conoce la medida un lado y sus ngulos adyacentes.

Actividad 4: Criterios de igualdad de tringulos El alumno debe buscar y copiar en su cuaderno los llamados criterios de igualdad de tringulos. A continuacin se proceder a su comparacin con las formas de determinar los tringulos a las que ha llegado en la actividad anterior.



Una vez analizados y discutidos los tres criterios anteriores se suministrar una hoja en papel o preferentemente en formato electrnico con mltiples tringulos con objeto de clasificarlos atendiendo a los criterios de igualdad. Puede servir la misma utilizada en la actividad 2. De esta forma el alumno observar la mayor facilidad que proporcionan los criterios de igualdad de tringulos frente a la tcnica de la superposicin. Para averiguar si dos tringulos son iguales ya no ser necesario superponerlos, sino simplemente conocer la medida de sus ngulos y lados, y ni siquiera de todos ellos.

Geogebra permite fcilmente calcular la medida de los ngulos y de los lados de los tringulos, y por ende averiguar si dos tringulos dados son iguales.

Actividad 5: Ampliaciones 1. Se puede plantear a los alumnos el siguiente problema:

Una terraza tiene la forma de un cuadriltero irregular. Se llama a una empresa para que confeccione un toldo para sombrearla. La empresa manda a un operario para que tome medidas. Qu medidas deber tomar? El problema no ofrece pistas para la solucin. Es posible que se planteen distintas soluciones cuya idoneidad deber ser discutida. Ante las soluciones que se propongan sera conveniente que quien las haya formulado intente convencer con razonamientos a sus compaeros. Sin ello la solucin no sera aceptada. Una vez que se haya obtenido la solucin, podra ampliarse el problema proporcionando las medidas que ha tomado el operario. Y formulando la siguiente pregunta: Si la empresa cobra el metro cuadrado de tela a 36, cul ser el coste del toldo?

Aunque en primero de ESO no se trabaja el clculo de reas de polgonos no regulares el hecho de poder confeccionar un plano de la terraza mediante un programa de geometra interactiva y servirse de ste para calcular su rea proporciona al alumno una manera no ortodoxa, pero s interesante de solucionar el problema. Y es posible que su solucin no est muy alejada de la que aplica la empresa.

2. Este segundo problema es ms terico pero de gran importancia en Geometra: Investigar y formular criterios razonados de reconocimiento de tringulos issceles.

Como ayuda puede proporcionarse a los alumnos la siguiente construccin:



Con seguridad surgirn muchas propiedades de los tringulos issceles. Conviene que el alumno las ordene, las sistematice razonadamente, formule breves razonamientos que las demuestren. Como colofn el alumno deber presentar un trabajo individual o colectivo sobre los tringulos issceles, no olvidando en l la inclusin de los tringulos equilteros, como un caso particular. Y buscando situaciones, por ejemplo en las circunferencias y en los polgonos regulares, en las que aparezcan los tringulos issceles. Tambin se puede hacer que los alumnos presenten a sus compaeros una cuestin que han de estudiar previamente y que tenga relacin con los tringulos issceles. Sirva como ejemplo los ngulos inscritos en una circunferencia.

6. BIBLIOGRAFA Y PGINAS DE INTERNET

La pagina de wikipedia http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Tri%C3%A1ngulos en que se tratan consecutivamente la construccin e igualdad de tringulos



El libro primero de Los Elementos de Euclides, del que existe una versin interactiva en http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm

Las actividades sobre movimientos y construcciones con regla y comps en el plano de la biblioteca GeoClip que se abre con el programa Jclip

La pgina del CNICE http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Triangulos/index_tri.htm sobre tringulos en general

La siguiente pgina contiene una coleccin de ejercicios sobre congruencia o igualdad de tringulos http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Geometria/congruencia-triangulos.pdf

Autora

Patricia Prez Ortiz I.E.S. Torreblanca, Sevilla, Sevilla. E-mail: [email protected]

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