Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcciones Geométricas

Las construcciones que acá describiremos se realizarán únicamente con regla y compás1. Parauna descripción más sencilla de las instrucciones de construcción, daremos antes una guía del sig-nificado de la simbología utilizada en este documento.

Para los segmentos, rayos, semirrectas y rectas, se utilizará la notación usual de la geometría:

Recta determinada por los puntos A y B:←→AB

Rayo de origen A que pasa por B: −→AB

Segmento determinado por los puntos A y B:

AB

Semirrecta de origen A que pasa por B:−→AB

En el caso de las circunferencias y los arcos, vamos a utilizar estás notaciones:

Arco de centro A y radio CD:Arc(A, CD)

Circunferencia de centro A y radio CD:

Circ(A, CD)

Antes de comenzar, a las intersecciones entre objetos las denotaremos con el símbolo ∩. Conestas aclaraciones, vamos a enunciar cada una de las construcciones.

1Entiéndase por regla como un borde liso sin marcas, y por compás, como una herramienta para dibujar circun-ferencias.

1

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 1 Triángulo Equilátero

Construir a partir de un segmento AB un triángulo cuyos lados sean todos congruentes2.

Figura 1: Datos iniciales Figura 2: Construcción terminada

Construcción:

1. Arc(A, AB).

2. Arc(B, AB).

3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = C.

4. Trazar AC y BC.

2Decimos que dos segmentos (o lados) son congruentes si ambos poseen la misma medida.

2

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 2 Triángulo Isósceles

Construir a partir de un segmento AB un triángulo donde dos de sus lados sean congruentes.

Figura 3: Datos iniciales Figura 4: Construcción terminada

Construcción:

1. Arc(A, AB).

2. Marcar D sobre el AB.

3. Arc(B, BD).

4. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, BD) = C.

5. Trazar AC y BC.

3

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 3 Triángulo Escaleno

Construir a partir de un segmento AB un triángulo donde sus lados NO sean congruentes en-tre sí.

Figura 5: Datos iniciales Figura 6: Construcción terminada

Construcción:

1. Extender el segmento AB hasta un punto E.

2. Arc(A, AE).

3. Marcar D sobre el AB.

4. Arc(B, BD).

5. Marcar Arc(A, AE) ∩ Arc(B, BD) = C.

6. Trazar AC y BC.

4

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 4 Hexágono Regular

Construir a partir de un segmento AB un hexágono regular3.

Figura 7: Datos iniciales Figura 8: Construcción terminada

Construcción:

1. Arc(A, AB).

2. Arc(B, AB).

3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = Z.

4. Circ(Z, AZ).

5. Marcar Arc(A, AB) ∩ Circ(Z, AZ) = F .

6 Marcar Arc(B, AB) ∩ Circ(Z, AZ) = C.

7 Arc(C, BC).

8 Arc(F, AF ).

9 Marcar Arc(C, BC) ∩ Circ(Z, AZ) = D.

10 Marcar Arc(F, AF ) ∩ Circ(Z, AZ) = E.

11 Trazar BC, CD, DE, EF y FA.

3Se dice que un polígono es regular cuando todos sus lados son congruentes.

5

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 5 Recta Perpendicular (Caso 1)

Construir a partir de una recta ∆ una recta perpendicular4 a ésta por un punto en la recta dada.

Figura 9: Datos iniciales Figura 10: Construcción terminada

Construcción:

1. Marcar un punto B en ∆.

2. Circ(A, AB).

3. Marcar Circ(A, AB) ∩∆ = C.

4. Arc(B, BC).

5. Arc(C, BC).

6. Marcar Arc(B, BC) ∩ Arc(C, BC) = D.

7. Trazar ←→AD.

4Decimos que dos rectas son perpendiculares si el ángulo comprendido entre ellas es un ángulo de 90o.

6

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 6 Recta Perpendicular (Caso 2)

Construir a partir de una recta ∆ una recta perpendicular a ésta por un punto exterior a la rectadada.

Figura 11: Datos iniciales Figura 12: Construcción terminada

Construcción:

1. Marcar un punto B en ∆.

2. Arc(A, AB).

3. Marcar Arc(A, AB) ∩∆ = C.

4. Arc(B, BC).

5. Arc(C, BC).

6. Marcar Arc(B, BC) ∩ Arc(C, BC) = D.

7. Trazar ←→AD.

7

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 7 Recta Paralela

Construir a partir de una recta ∆ una recta paralela a ésta por un punto exterior a la rectadada.

Figura 13: Datos iniciales Figura 14: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar la construcción 6 con ∆ y A.

2. Marcar la recta perpendicular como Ω.

3. Realizar la construcción 5 con Ω y A.

4. Marcar la recta perpendicular como Θ.

8

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 8 Mediatriz De Un Segmento

Construir a partir de un segmento AB la mediatriz5 de éste.

Figura 15: Datos iniciales Figura 16: Construcción terminada

Construcción:

1. Arc(A, AB).

2. Arc(B, AB).

3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = D, E.

4. Trazar la recta ←→DE.

5. Marcar AB ∩←→DE = C6.

5Una mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que lo interseca en su punto medio.6Este punto C es el punto medio del segmento AB

9

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 9 Bisectriz De Un Ángulo

Construir a partir de un ángulo ∠ABC la bisectriz7 de éste.

Figura 17: Datos iniciales Figura 18: Construcción terminada

Construcción:

1. Marcar D sobre BC.

2. Arc(A, AD).

3. Marcar Arc(A, AD) ∩←→AB = E.

4. Arc(D, DB).

5. Arc(E, BE).

6. Marcar Arc(D, DB) ∩ Arc(E, BE) = F .

7. Trazar la recta ←→BF .

7Una bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.

10

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 10 Copiar Segmentos

Construir a partir de un segmento AB, otro segmento CD sobre la recta −−→CE tal que sea con-gruente con AB.

Figura 19: Datos iniciales Figura 20: Construcción terminada

Construcción:

1. Trazar el segmento BC.

2. Realizar construcción 7 con BC y A.

3. Marcar la recta paralela ∆.

4. Realizar construcción 7 con AB y C.

5. Marcar la recta paralela Ω.

6. Marcar ∆ ∩ Ω = F .

7. Arc(C, CF ).

8. Marcar Arc(C, CF ) ∩←→CE = D.

11

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 11 Copiar Ángulos

Construir a partir de un ángulo ∠ABC, otro ángulo ∠EDF tal que sea congruente con ∠ABC.

Figura 21: Datos iniciales Figura 22: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 10 con BC y −−→ED.

2. Marcar el punto G sobre la recta ←→ED.

3. Arc(G, AC).

4. Arc(E, AB).

5. Marcar Arc(G, AC) ∩ Arc(E, AB) = F .

6. Trazar EF .

12

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 12 Copiar Triángulos

Construir a partir de un triángulo ∆ABC, otro ángulo ∆EDF tal que sea congruente con ∆ABC.

Figura 23: Datos iniciales Figura 24: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 11 con ∠ABC y ∠EDF .

2. Trazar FG.

13

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 13 Adición De Segmentos

Construir a partir de un par de segmentos AB y CD, un segmento EF tal que éste último seaigual a la suma de los dos primeros.

Figura 25: Datos iniciales Figura 26: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 10 con AB y −−→EH.

2. Marcar G sobre −−→EH.

3. Realizar construcción 10 con CD y −−→GH.

4. Marcar F sobre −−→GH.

14

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 14 Sustracción De Segmentos

Construir a partir de un par de segmentos AB y CD, un segmento EF tal que éste último seaigual a la diferencia de los dos primeros.

Figura 27: Datos iniciales Figura 28: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 10 con AB y −−→EH.

2. Marcar G sobre −−→EH.

3. Realizar construcción 10 con CD y −−→GE.

4. Marcar F sobre −−→GH.

15

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 15 Multiplicación De Segmentos (Ampliarlo 5 veces)

Construir a partir de un segmento AB, un segmento AC tal que éste último sea igual a n ve-ces el primero.

Figura 29: Datos iniciales Figura 30: Construcción terminada

Construcción:

1. Trazar el rayo −−→AD.

2. Marcar un punto P1 en −−→AD.

3. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P1D.

4. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P2D.

5. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P3D.

6. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P4D.

7. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P5D.

8. Trazar BP1.

9. Realizar la construcción 7 con BP1 y el punto P5.

10. Trazar la recta ∆.

11. Marcar ∆ ∩ −→AB = C

16

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 16 División De Segmentos (Reducirlo 5 veces)

Construir a partir de un segmento AB, un segmento AC tal que éste último sea igual a la n-ava parte del primero.

Figura 31: Datos iniciales Figura 32: Construcción terminada

Construcción:

1. Trazar el rayo −−→AD.

2. Marcar un punto P1 en −−→AD.

3. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P1D.

4. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P2D.

5. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P3D.

6. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P4D.

7. Realizar la construcción 10 con AP1 y −−→P5D.

8. Trazar BP5.

9. Realizar la construcción 7 con BP5 y el punto P1.

10. Trazar la recta ∆.

11. Marcar ∆ ∩ −→AB = C

17

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 17 Ampliar Un Triángulo (3 veces)

Construir a partir de un triángulo ∆ABC, un triángulo ∆DEF tal que éste último sea iguala n veces mas grande el primero.

Figura 33: Datos iniciales Figura 34: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 15 con AC sobre −−→DX.

2. Realizar construcción 11 con ∠BAC sobre −−→DX.

3. Marcar Circ(D, AB) ∩ Circ(P1, BC) = Y .

4. Trazar rayo −−→DY .

5. Realizar construcción 11 con ∠ACB sobre −−→FD.

6. Marcar Circ(P2, AB) ∩ Circ(F, BC) = W .

7. Trazar rayo −−→FW .

8. Marcar −−→DY ∩−−→FW = E.

9. Trazar DE y EF .

18

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 18 Reducir Un Triángulo (4 veces)

Construir a partir de un triángulo ∆ABC, un triángulo ∆DEF tal que éste último sea iguala n veces más pequeño que el primero.

Figura 35: Datos iniciales Figura 36: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 16 con AC sobre −−→DX.

2. Marcar F , tal que AG ∼= DF .

3. Realizar construcción 11 con ∠BAC sobre −−→DX.

4. Marcar el punto H.

5. Trazar rayo −−→DH.

6. Realizar construcción 11 con ∠ACB sobre −−→FD.

7. Marcar el punto I.

8. Trazar rayo −→FI.

9. Marcar −−→DH ∩−→FI = E.

10. Trazar DE y EF .

19

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 19 El Cuadrado

Construir a partir de un segmento AB, un cuadrado8 ABCD.

Figura 37: Datos iniciales Figura 38: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 5 con AB y A.

2. Marcar la recta ∆.

3. Arc(A, AB).

4. Marcar Arc(A, AB) ∩∆ = D.

5. Arc(D, AD).

6. Arc(B, BD).

7. Marcar Arc(D, AD) ∩ Arc(B, BD) = C.

8. Trazar AD, CD y BC.

8Un cuadrado es el polígono regular de 4 lados.

20

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 20 El Octágono

Construir a partir de un segmento AB, un octágono9 AFBHCEDG.

Figura 39: Datos iniciales Figura 40: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 19 con AB.

2. Realizar construcción 8 con AB.

3. Marcar la recta ∆.

4. Realizar construcción 8 con BC.

5. Marcar la recta Ω.

6. Marcar Ω ∩∆ = I.

7. Circ(I, AI).

8. Marcar Circ(I, AI) ∩∆ = E, F.

9. Marcar Circ(I, AI) ∩ Ω = G, H.

10. Trazar AF, FB, BH, HC, CE, ED, DG, y GA,.

9Un octágono es el polígono regular de 8 lados.

21

Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.

Construcción 21 El Dodecágono

Construir a partir de un segmento AB, un dodecágono10 AGBICKDHEJFL.

Figura 41: Datos iniciales Figura 42: Construcción terminada

Construcción:

1. Realizar construcción 4 con AB.

2. Realizar construcción 8 con AB.

3. Marcar la recta ∆.

4. Realizar construcción 8 con BC.

5. Marcar la recta Ω.

6. Realizar construcción 8 con CD.

7. Marcar la recta Ξ.

8 Marcar Ω ∩∆ = M .

9 Circ(M, AM).

10 Marcar Circ(M, AM) ∩∆ = H, G.

11 Marcar Circ(M, AM) ∩ Ω = I, J.

12 Marcar Circ(M, AM) ∩ Ξ = K, L.

13 Trazar AG, GB, BI, IC, CK, KD, DH, HE, EJ, JF , FLY LA,.

10Un dodecágono es el polígono regular de 12 lados.

22