CONSTRUCIONES GEOMETRICAS - CÓNICAS

Construcciones elementales

Ejercicio Nº 1.-Elementos de la elipse

1º La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentesLas circunferencias focales Cf y Cf' de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a Es decir si desde un foco trazamos perpendiculares a la Cp se dibujan las tangentes a la elipse.En el otro lado el punto T es simetrico del foco F respecto a la tangente t, si unimos T con F' determinamos el punto M punto de tangente de la elipse y la recta t'

Ejercicio Nº2.- Hallar los focos de una elipse conociendo los ejes AB =70 y CD=55.

1.- Trazamos el eje mayor AB =70 mm, por ejemplo

2.-Trazamos la mediatriz del eje AB, que resulta ser el eje menor.

3.- Con centro en la intersección de los ejes trazamos una de circunferencia de radio 27,5 que nos determina los extremos del eje menor CD.

4.- Con centro en un extremo del eje menor ( en C o en D) trazamos un arco de radio a=35 mm que nos determina los puntos F y F’ que son los focos de la elipse.

Ejercicio Nº 3.-Construcción de una elipse por puntos, de ejes AB=70 mm y el eje menor CD= 50mm.

1.- Trazamos la mediatriz del eje AB.

2.- Con centro en O trazamos una circunferencia de diámetro 50 mm, que nos determina los puntos C y D extremos del eje menor.

3.- Con centro en C trazamos un arco de circunferencia de radio a=35 mm, que nos determinan los focos de la elipse F y F’.

4.- Tomamos un punto 1 del eje mayor situado entre F’ y O.

5.- Con centro en los focos trazamos una circunferencia de radio 1B= 16 mm.

6.- Con centro en los focos trazamos un arco de radio 1A, que corta a los anteriores en los punto P -P’ y Q – Q’, que son puntos de la elipse.( los arcos se hace centro uno en un foco y el otro en el otro foco)

7.- Tomamos otros puntos 2 y 3 … los que sean necesario y repetimos el mismo procedimiento. Y obtenemos otros puntos.

8.- Unimos los puntos y obtenemos la elipse.

Ejercicio Nº 4. Trazado de la elipse por puntos mediante, la circunferencia principal y la de diámetro 2b. Dados los ejes

A B

C

D

O

1.-Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.

A B

C

D

O

2.-Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores. Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.

A B

C

D

O

T'

T'' T

3.- Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise.

A B

C

D

O

T'

T'' T

Ejercicio Nº 5.- Construcción de la elipse por el método de los 12 puntos. Conociendo los ejes. AB y CD. Vemos el dibujo de la circunferencia, el punto M es la mitad del radio de la circunferencia (cuarta parte del lado AB). Unimos E con B y el otro extremo del diámetro con M las rectas se cortan en el punto P un punto de la circunferencia. Podemos unir el diámetro vertical de la misma manera.

O

A BM

P

N

O

CD

E

1.- Vamos utilizar el mismo procedimiento de la circunferencia para la elipse. Se traza el rectángulo de lados igual a los ejes.

O

A BM

P

N

A B

O

CD

E

E

D C

2.- Se dividen los lados en cuatro partes iguales el lado AB el punto M es la cuarta parte y el lado BC el punto N es también la cuarta parte, se procede igual en las otras mitades de los lados.

O

A BM

P

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

3.- Se une M con el extremo del eje mayor punto 3 y el otro extremo E con el punto B y nos da el punto P punto de la elipse se repite la operación y tenemos cuatro puntos.

O

A BM

P

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

P

3

4.- Se une N con el extremo del eje menor punto 6 y el otro extremo punto 12 con el punto C y nos da el punto 4, punto de la elipse.

O

A BM

P

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

P

12

6

4

3

5.-Se repite la operación en la parte izquierda de la elipse y tenemos otros cuatro puntos.

6.- Con los otros cuatro puntos que faltan y los extremos de los ejes tenemos los doce puntos que unimos y tenemos dibujada la elipse.

O

A BP

N

A BM

N

O

CD

E

E

D C

P

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Ejercicio Nº5.- Trazado de las asíntotas de la hipérbola Conocidos los vértices A y B y los focos F y F‘.

1º METODO 1.- Por A y B trazamos la perpendicular al eje AB y con centro en O y radio OF=OF’ trazamos un circulo que corta a la perpendicular en los puntos 1 y 2 que unido con O nos da las asíntotas buscadas.

2º METODO 2.- Por F’ trazamos las tangentes a la hipérbola uniendo los puntos de tangencia con O tenemos las asíntotas.

3º METODO 3.- Hallamos el punto medio de OF y trazamos con centro en este punto una circunferencia de diámetro OF que corta a la Cp en los puntos 3 y 4 que son los puntos por donde pasan las asíntotas.

Ejercicio Nº 6.- Construcción de la hipérbola por puntos. Conocidos a=20 y b=15 mm.Calculamos la distancia focal c

1.- Sobre el eje real marcamos los focos F y F’ y el eje real A-B.

2.- Sobre el eje real a partir de F o F’ en este caso a partir de F tomamos unos puntos cualesquiera 1, 2, 3,…

3.- Tomamos la medida 1B =(11) y con centro en F trazamos un arco de circunferencia de radio 1B=11 mm.

4.- Tomamos la medida 1A =(51) y con centro en F’ trazamos un arco de circunferencia de radio 1A=51 mm. Que corta al otro circulo en los puntos M y P que son dos puntos de la hipérbola.

5.- Se repite el procedimiento pero a la inversa y hallamos los puntos M y Q.

6.- Se repite en procedimiento para los puntos 2, 3, … y se obtienen otros puntos de la hipérbola hasta que consideremos suficientes.

7.- Unimos los puntos y tenemos la hipérbola por puntos.

Ejercicio Nº 7.- Construcción de una hipérbola por haces proyectivos dados el ejes AB=30 mm y la distancia focal FF'= 40 mm.

1.- Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.

2.- Se traza un rectángulo BMPN.

3.- Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el extremo B del eje mayor dado y con el otro extremo A de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.

4.- Se unen los puntos y tenemos la parte de la hipérbola.

5.- Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de NP los simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..

6.- Por la parte izquierda se vuelve repetir el mismo procedimiento y tenemos la hipérbola.

Ejercicio Nº 8.- Construcción de una hipérbola por envolventes dados los focos y los vértices A y B.

1.- Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB.

2.- Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M y N por el que pasa la asíntota t’ y t, las asíntotas son simétricas AM = AN

3.- Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t’ y t. (vemos la posición de a, b y c).

4.- Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F y trazamos la perpendicular a 1F por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.

5.- Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación.

6.- Repetimos el procedimiento en la parte inferior.

5.- Se repite el procedimiento en la parte izquierda y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación.

Ejercicio Nº 9.- Elementos de la parábola.

Elementos de la parábola.

Elementos de la parábola.

Elementos de la parábola.

Elementos de la parábola. Distancia FV = AV

Elementos de la parábola.

Elementos de la parábola.

Ejercicio Nº10.- Construcción de la parábola por puntos. Conocidos el eje, el foco y la directriz.

1.- Hallamos el vértice y la tangente en el vértice. Trazando la mediatriz del foco F a la directriz punto A.

2.- Por un punto cualquiera del eje 1 trazamos una perpendicular al eje, hallamos la distancia a la directriz y con esta distancia de radio y centro en F trazamos una circunferencia que corta a la perpendicular en los puntos P y P1, que son puntos de la parábola.

3.- Vemos que la distancia del punto P a la directriz d es la misma que la distancia del punto P al foco F.

4.- Repetimos el procedimiento las veces que sean necesarias para trazar la parábola.

5.- Unimos los puntos y obtenemos la Parábola.

Ejercicio Nº 11.- Trazar una parábola por envolventes. Tenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.

ejeFV

1.- Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia focal de la parábola Cf.

ejeF

d

AV

2.- Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal Cp .

ejeF

d

AV

tv

3.- Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una perpendicular por T.

ejeF

d

AV

tv

T

4.- Situamos otros puntos, en la tangente, unimos estos puntos con el foco F y trazamos una perpendicular por la intersección con la tangente.

5.- Situamos otros puntos, en la tangente, unimos estos puntos con el foco F y procedemos de la misma manera.

5.- Repetimos la operación por la parte inferior y trazamos la parábola que es la tangente a las perpendiculares.

Ejercicio Nº 12.- Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva.

V eje

P

1.- Trazamos la tangente en el vértice VN y la paralela PN al eje.

V eje

PN

2.- Se divide PN y VN en un numero de partes iguales.

3.- Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.

4.- La paralela por 7 y el rayo 7V se cortan en R que resulta ser un punto de la parábola. De la misma forma se obtienen los demás puntos

5.- La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje.

6.- Unimos los puntos y tenemos la parábola.