UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

CARRERA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

TEMA: PROGRAMACIÓN LINEAL

ING. FERNANDO YÉPEZ

ESTUDIANTE: ERIKA CATOTA

CURSO: AE 8-3

Contenido

PROGRAMACIÓN LINEAL.............................................................................................................3

ANTECEDENTES........................................................................................................................3

DEFINICIÓN..............................................................................................................................3

Propiedades de la programación lineal...................................................................................4

Campos de aplicación de la programación lineal....................................................................4

Formulación de un problema de programación lineal...............................................5

APLICACIÓN DENTRO DE LA MANUFACTURA.........................................................................5

BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................................................9

PROGRAMACIÓN LINEAL

ANTECEDENTES

El término programación lineal se aplica prolongadamente en el área militar, industrial y de economía siendo estas las principales.

La programación lineal se proyecta como un modelo matemático desarrollado antes de la Segunda Guerra Mundial por un soviético llamado A.N. Kolmogorov. Otro ruso Leonid Kantorovich quien recibió el Premio Nobel de Economía por sus grandes contribuciones al problema de planeación de recursos en el año de 1945.

En 1947 el Doctor George Dantzig desarrolló EL Algoritmo Simplex, Método que consistía en la optimización del valor de la función objetivo teniendo en cuenta cada una de las restricciones que se planteaba en las distintas situaciones de la vida real.

En 1984 Narendra Karmakar implantó nuevas aplicaciones para resolver problemas de programación lineal lo cual contribuyó como un enorme avance dentro del área.

En la actualidad es una herramienta de gran ayuda para las empresas o negocios ya que les permite ahorrar grandes cantidad de recursos económicos.

DEFINICIÓN

La programación lineal es un modelo matemático aplicable a problemas de asignación de recursos limitados que consiste en optimizar una situación objetivo de la vida real; la cual se puede aplicar en los siguientes casos:

Maximización de las utilidades o retribuciones; y en Minimización de los costos.

Aplicando esta técnica se ayuda a los gerentes en lo que se refiere a la planeación y toma de decisiones con respecto a los recursos limitados con los que se cuenta.

Propiedades de la programación lineal

1. Función objetivo: es la cantidad que va a ser maximizada o minimizada según el objetivo que tenga el problema; si se trata de maximización se pretenderá alcanzar la mayor utilidad y si se trata de minimización se pretenderá obtener la reducción de los costos

2. Limitaciones o restricciones: son aquellas que limitan el valor que puede obtener un objetivo. Por ejemplo: el tipo de maquinaria requerida, el departamento en el cual se va a llevar a cabo la fabricación de un producto, o los materiales que se requieren para elaborar un producto.

3. Alternativas disponibles: ya que de no existir alternativas no sería necesario el aplicar la programación lineal.

4. Linealidad: establece la relación entre la función objetivo y las restricciones las cuales deben ser lineales o también conocidas como de primer grado; es decir que no se eleven a ninguna potencia.

5. Condición de certeza: es el conocimiento que se tiene sobre el número en el objeto y en las restricciones las cuales no cambian durante el lapso en el que se realiza el estudio.

6. Divisibilidad: trata sobre los valores que pueden tomar las variables de decisión en donde no necesariamente se utilizan valores enteros; se puede tomar cualquier valor incluso no enteros (valores fraccionarios) pero que si compensen las restricciones funcionales y de no negatividad.

7. Variables de no negatividad: solo pueden tomar valores de cero o positivos ya que no se puede expresar valores negativos en cantidades físicas. En donde indican que siempre se va a estar trabajando en el primer cuadrante (es decir, el noroeste de una gráfica) Por ejemplo no se puede decir que se va a fabricar un número negativo de automóviles o de televisores.

Campos de aplicación de la programación lineal

La programación lineal es aplicable en los siguientes planteamientos de problemas:

Mezcla de ingredientes:

Variables de decisión: Cuanto de cada ingrediente utilizar. Objetivo: Determinar la mezcla de productos que permitan obtener los

menores costos si se trata de un problema de minimización para un periodo estipulado.

Restricciones: Relación entre ingredientes y productos. Máxima cantidad de productos e ingredientes disponible.

Planes de producción:

Las variables de decisión serian: cuanto de cada producto se quiere originar.

El objetivo: Establecer la cantidad de productos que proporcionen la mayor utilidad si se trata de maximización o a su vez los menores costos si se trata de minimizaciones para un respectivo periodo.

Restricciones: Máxima cantidad de productos disponibles. Asignación de personal.

Formulación de un problema de programación lineal

Para poder formular un programa lineal es necesario entender el problema al cual nos enfrentamos en donde una vez que lo hayamos entendido nos será desarrollarlo.

A continuación se presentan los pasos que se aconsejan llevar a cabo:

1. Entender el problema al que me enfrento.2. Establecer el objetivo y cada una de las restricciones.3. Delimitar las variables de decisión.4. Manejar las variables de decisión para escribir las expresiones

matemáticas de la función objetivo y de las restricciones.

APLICACIÓN DENTRO DE LA MANUFACTURA

Resolución del modelo de programación lineal

Método gráfico

Mueble Hogar fabrica muebles para sala y comedores. El proceso de fabricación de cada una es similar ya que ambos requieren de cierto número de horas de trabajo en el departamento de carpintería y ensamblado, en el departamento de pulido y lijado y por ultimo ciertas horas en el departamento de pintura y acabado.

Cada juego de muebles para sala requiere de 6 horas en el departamento de carpintería y ensamblado, 3 horas en el de pulido y lijado y por último 2 horas en el departamento de pintura y acabado.

Cada juego de comedor requiere de 5 horas de carpintería, 2 horas de pulido y lijado y por ultimo 1 hora de pintura y acabado.

Durante el periodo de producción actual están disponibles 280 horas de tiempo de carpintería y ensamblado 160 horas de tiempo en de departamento de pulido y lijado, así como de 80 horas en el departamento de pintura y acabado,

Cada juego de muebles para sala genera una utilidad de $ 120,00 mientras que cada juego de comedor genera una utilidad de $90,00 por unidad.

El problema de Mueble Hogar es determinar la mejor combinación posible de muebles para sala y muebles de comedor a producir con la finalidad de alcanzar la máxima utilidad.

La Empresa desea que esta situación de mezcla de producción se formule como un problema de programación lineal.

Tabulación de los datos del problema

DEPARTAMENTO

HORAS REQUERIDAS PARA PRODCUIR UNA UNIDAD HORAS

DISPONIBLES MUEBLES DE SALA x1

JUEGOS DE COMEDOR x2

CARPINTERÍA Y ENSAMBLADO 6 5 280

PULIDO Y LIJADO 3 2 160

PINTURA Y ACABADO 2 1 80

UTILIDAD POR UNIDAD $ 120 $ 90

Desarrollo del problema:

El objetivo en este problema es maximizar la utilidad.

Las restricciones son las siguientes:

1. Las horas de tiempo en el departamento de carpintería y ensamblado utilizadas las cuales no pueden exceder de 280 horas por semana.

2. Las horas de tiempo en el departamento de pulido y lijado utilizadas las cuales no pueden exceder de 160 horas por semana.

3. Las horas de tiempo en el departamento de pintura y acabado utilizadas las cuales no pueden exceder de 80 horas por semana.

La función objetivo de la programación lineal en términos de x1 y x2.

Función objetivo:

Maximizar la utilidad = $ 120x1 + $ 90 x2.

Restricciones:

Sujeto a:

6 x1+5x2≤280 (Restricción de carpintería y ensamblado)

3 x1+2 x2≤160 (Restricción de pulido y lijado)

2 x1+1 x2≤80 (Restricción de pintura y acabado)

x1≥0 (Primera restricción de no negatividad)

x2≤0 (Segunda restricción de no negatividad)

Representación gráfica:

1 2 3x1 x2 x1 x2 x1 x20 56 0 80 0 80

46,667 0 53,333 0 40 0

Todos los puntos que se encuentran debajo de las rectas satisfacen las restricciones en donde se procede a sombrear esta región.

Dentro de un problema de programación lineal se debe trazar el conjunto de puntos de solución que satisfagan todas las restricciones al mismo tiempo.

La región sombreada representa el área de soluciones que no excede de ninguna de las tres restricciones de la Empresa Mueble Hogar la cual es conocida como áreas de soluciones factibles o simplemente es conocida como región factibles.

La región factible es aquella que se encarga de satisfacer todas las restricciones establecidas por el problema.

A (0,56)

C (40,0)

BRegión Factible

D (0,0)

21

3

Solución factible

Los puntos que se encuentran fuera de la región sombreada son soluciones no óptimas.

La solución óptima dentro de un problema de programación lineal en el cual se pretende maximizar la utilidad es el punto con el valor de la función objetivo más alto dentro de la región factible.

La solución óptima se encuentra en los vértices de la región factible.

CÁLCULO DE PUNTOS FACTIBLES

Calculo de la solución óptima

Maximizar z=120 x1+90x2

(A) z2=120 (0 )+90 (56 )=5040(B) z3=120 (40 )+90 (0 )=4800(C) z4=120 (30 )+90 (40 )=5400

(D) zz=120 (0 )+90 (0 )=0

Conclusión: La Empresa Mueble Hogar debe fabricar 30 muebles de sala y 20 juegos de cocina para obtener una utilidad de $5400,00.

BIBLIOGRAFÍA

Render, B. (2012). Métodos Cuantitativos para los negocios. Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.

Rodríguez, S. (2011). Enseñanza Aprendizaje de la Investigación Operativa. Quito: Impresores MYL.

Winston, W. (2004). Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos. Distrito Federal.