Consumo intertemporal

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Consumo Intertemporal

Mauro Gutierrez Martınez

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

gutierrez [email protected]

Septiembre 2016

Mauro Gutierrez Martınez (UNMSM - Peru) Consumo Intertemporal Septiembre 2016 1 / 20

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Consumo intertemporal

El consumidor tiene que decidir sus niveles de consumo (c1, ..., cT ) a lolargo de un ”T” periodos . Por simplicidad se asume que la funcion deutilidad del consumidor es aditiva.

U(c1, ..., cT ) =T∑t=1

µt(ct) (1)

Dado que µt(c) > µt+j(c), debido a que los consumidores prefierenconsumir antes que despues, la funcion µt(.) puede representarse comoµt(.) = αtµ(.).

U(c1, ..., cT ) =T∑t=1

αtµ(ct) (2)


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Consumo intertemporal (II)

El consumidor puede invertir su riqueza en 2 activos, uno libre de riesgo yotro riesgoso.

x: Es la proporcion de la riqueza asignada en el activo riesgoso.

1-x: Es la proporcion de la riqueza asignada en el activo libre deriesgo.

R0: Es el rendimiento del activo libre de riesgo.

R1: Es el rendimiento del activo riesgoso.

Por tanto, el rendimiento promedio de la cartera es igual a:

R = R0(1− x) + R1x (3)


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Problema en 2 periodos

El consumidor vive unicamente 2 periodos, por tanto, toda su riquezasera consumida en el periodo 2.

Asimismo se asume que el consumidor recibe una dotacion de riquezaen el periodo 1, la que se denominara w1

w2 = c2 = (w1 − c1)R = (w1 − c1)[R0(1− x) + R1x ] (4)


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Problema en 2 periodos (II)

El problema de maximizacion del consumidor en el periodo 1 es igual a:

Maxc1,c2U(c1, c2) = µ(c1) + αE [µ(c2)] (5)

dado que c2 = (w1 − c1)R, el problema anterior se reescribe como:

Maxc1,xU(c1, c2) = µ(c1) + αE [µ[(w1 − c1)R]] (6)

Notese que el problema ahora depende x y c1, dado que en t = 2, seconsume toda la riqueza w2, y esta riqueza depende de lo que se consumioen el periodo 1 (c1) y del porcentaje de inversion en el activo riesgoso (x).Por la forma del problema de maximizacion, sabemos que los nivelesoptimos de c1 y x dependeran solo de la variable exogena w1. Por tanto laecuacion d valor en t = 1 sera.

V1(w1) = Maxc1,xU(c1, c2) = µ(c1) + αE [µ[(w1 − c1)R]] (7)


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Problema en 2 periodos: condiciones de primer orden

Dado que

V1(w1) = Maxc1,xU(c1, c2) = µ(c1) + αE [µ[(w1 − c1)R]]

Las condiciones de primer orden quedan expresadas como:

µ′(c1) = αE [µ′(c2)R] (8)

E [µ′(c2)[R1 − R0]] (9)


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Problema en T periodos

La funcion de utilidad del consumidor queda definida como:

U(c1, ..., cT ) =T∑t=1

αtµ(ct)

El consumidor tiene una dotacion inicial de riqueza igual a w1, y disponede 2 tipos de activos para reservar valor. Al igual que el caso anteriorexiste un activo riesgoso y otro sin riesgo. Por tanto:

wt+1 = (wt − ct)R (10)

donde R = R0(1− xt) + R1xt


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Problema en T periodos: en el primer periodo

VT−1(wT−1) = MaxcT−1,xT−1µ(cT−1) + αE [µ[(wT−1 − cT−1)R]] (11)

Por tanto las condiciones de primer orden son:

µ′(cT−1) = αE [µ[cT ]R] (12)

E [µ[cT ](R1 − R0)] (13)


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Problema en T periodos: en el segundo periodo

VT−2(wT−2) = MaxcT−2,xT−2µ(cT−2) + αE [µ[(wT−2 − cT−2)R]] (14)

donde

wT−1 = (wT−2 − cT−2)R (15)

Dado el problema de optimizacion, las condiciones de primer orden son:

µ′(cT−2) = αE [V ′(wT−1)R] (16)

E (µ′(ct)(R1 − R0)) = 0 (17)


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Ejemplo de aplicacion: Funcion logarıtmica

Sea la funcion de utilidad µ(c) = log(c)Aplicando la primera ecuacion de las condiciones de primer orden tenemos:

µ′(cT−1) = αE (µ′(cT )R) (18)

1

cT−1= αE

[1

cTR

]= αE

[1

(wt−1 − cT−1)RR

]=

α

(wt−1 − cT−1)

despejando de la ecuacion anterior tenemos:

cT−1 =wt−1

α− cT−1

α⇒ cT−1 =

1

1 + αwT−1


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Ejemplo de aplicacion: Funcion logarıtmica (II)

Aplicando la segunda ecuacion de las condiciones de primer ordentenemos:

E[µ′(cT )(R1 − R0)

]= 0

E

[1

cT(R1 − R0)

]= E

[R1 − R0

(wT−1 − cT−1)R

]= 0 (19)


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Ejemplo de aplicacion: Funcion logarıtmica (III)

Dada la ecuacion de valor en T − 1:

VT−1(wT−1) = MaxcT−1,cT Ln(cT−1) + αE (Ln(cT )) (20)

Como cT = wT = (wT−1 − ct−1)R y cT−1 =wT−1

1+α ⇒cT = (wT−1 − cT−1)R = (wT−1 − wT−1

1+α )R =αwT−1R

1+αReemplazando en la ecuacion 20

VT−1(wT−1) = Ln

[wT−1

1 + α

]+ αE

[Ln

[αwT−1R

1 + α

]](21)

aplicando las propiedad de los logaritmos:

VT−1(wT−1) = (1 +α)Ln(wT−1) +αELn(R) +αLn(α)− (1 +α)Ln(1 +α)(22)


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Ejemplo de aplicacion: Funcion logarıtmica (IV)

Por su parte en el periodo T − 2 las cpo son:

1

cT−2=

α(1 + α)

wT−2 − cT−2(23)

E

[R1 − R0

(wT−2 − cT−2)R

]= 0 (24)

La ecuacion 23 se obtiene de

µ′(cT−2) = αE [V ′(wT−1)R]

1

cT−2= αE

[1 + α

wT−1R

]= αE

[(1 + α)R

(wT−2 − cT−2)R

]=

α(1 + α)

wT−2 − cT−2


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Ejemplo de aplicacion: Funcion logarıtmica (V)

Notese que reemplazando recursivamente, los niveles de consumo quedanexpresados como (ver anexo):

ET−2 [cT ] =

[wT−2

α(1 + α) + 1

]ET−2

[αR]2

(25)

ET−2 [cT−1] =

[wT−2

α(1 + α) + 1

]ET−2

[αR]

(26)

cT−2 =

[wT−2

α(1 + α) + 1

](27)

Resulta evidente observar que, Si la tasa subjetiva de descuento α es lainversa de la rentabilidad esperada R, los niveles de consumo seranconstantes.


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Referencia

Basado en el Cap. 19 de Microeconomic Analysis de Hal varian.


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Anexo: Ecuacion recursiva

De la primera condicion de optimizacion en el periodo T − 2

1cT−2

= a(1+α)wT−2−cT−2

Despejando dicha ecuacion:

cT−2 =wT−2−cT−2

α(1+α)

cT−2 =wT−2

α(1+α) −cT−2

α(1+α)

cT−2 +cT−2

α(1+α) =wT−2

α(1+α)

cT−2

[1 + 1

α(1+α)

]=

wT−2

α(1+α)

cT−2

[α(1+α)+1α(1+α)

]=

wT−2

α(1+α)

Los niveles de consumo en T − 2 dependen de wT−2

cT−2 =wT−2

α(1+α)+1

wT−2 − cT−2 = wT−2

[α(1+α)α(1+α)+1

]Mauro Gutierrez Martınez (UNMSM - Peru) Consumo Intertemporal Septiembre 2016 16 / 20

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Ecuacion recursiva

En el periodo T − 1 sabemos que:

cT−1 =wT−1

1+α

Por tanto

wT−1 − cT−1 = wT−1

[α

1+α

]como wT−1 = (wT−2 − cT−2)E

[R]. Por tanto en T − 2 esperamos

E [cT−1] =αwT−2

α(1+α)+1E[R]


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Ecuacion recursiva

En el periodo final, toda la riqueza esperada sera consumida por tanto:

cT = E [wT ]

Dado que la riqueza en T esta en funcion de la riqueza en T-1 y elconsumo realizado en dicho periodo, el cual a su vez es una funcion dewT−1, tenemos:

cT = E[(wT−1 − cT−1)R

]cT = α

(1+α)E [wT−1R]

La riqueza en T-1 es a su vez un funcion de la riqueza en T-2

cT = α(1+α)E

[(wT−2 − cT−2)R2

]Mauro Gutierrez Martınez (UNMSM - Peru) Consumo Intertemporal Septiembre 2016 18 / 20

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Ecuacion recursiva

Reemplazando cT−2 como funcion de wT−2, el consumo cT quedaexpresado como:

E [cT ] =α2wT−2

α(1+α)+1E[R2]


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Ecuacion recursiva

En resumen se puede observar:

ET−2 [cT ] =wT−2

α(1+α)+1ET−2

[α2R2

]ET−2 [cT−1] =

wT−2

α(1+α)+1ET−2

[αR]

cT−2 =wT−2

α(1+α)+1


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