Contacto de dos slidos semiinfinitosCuando se ponen en contacto dos cuerpos grandes A y B, inicialmente a las temperaturas TA,i y TB,i , logran en forma instantnea la igualdad de temperatura en la superficie de contacto. Si los dos cuerpos son del mismo material, con propiedades constantes, la simetra trmica requiere que la temperatura de la superficie de contacto sea el promedio aritmtico, Ts = (TA,i+TB, i)/2, y que permanezca constante en ese valor en todo tiempo.

FIGURA 4-30 Variacin de la temperatura con la posicin y el tiempo en un slido semiinfinito, inicialmente a la temperatura Ti, expuesto a conveccin en un medio ambiente a T, con un coeficiente de transferencia de calor por conveccin de h (grfica trazada con el uso de EES).

Si los dos cuerpos son de materiales diferentes y se considera que los cuerpos pueden tratarse como slidos semiinfinitos con la misma temperatura en la superficie, con base a las ecuaciones 4-45 el balance de energa en la superficie de contacto da

Entonces se determina que la temperatura Ts es (figura 4-31)

Por lo tanto, la temperatura de la interfase de dos cuerpos que se ponen en contacto es dominada por el cuerpo con el kc ms grande.

FIGURA 4-31Contacto de dos slidos semiinfinitos de temperaturas iniciales diferentes.

EJEMPLO 4-6: Profundidad mnima de entierro de los tubos de agua para evitar el congelamientoEn zonas en donde la temperatura del aire permanece por debajo de 0C durante periodos prolongados, el congelamiento del agua en los tubos subterrneos es una preocupacin importante. Por fortuna, el suelo permanece relativamente caliente durante esos periodos y pasan semanas para que las temperaturas por debajo del punto de congelacin lleguen hasta las tuberas de agua que estn enterradas. Por tanto, el suelo sirve de manera efectiva como un aislamiento para proteger el agua contra las temperaturas por debajo del punto de congelacin en el invierno.En un lugar particular, el piso se cubre con una capa de nieve a 10C durante un periodo continuo de tres meses y las propiedades promedio del suelo en ese lugar son k = 0.4 W/m C y = 0.15 106 m2 /s (figura 4-32). Si se supone una temperatura inicial uniforme de 15C para el suelo, determine la profundidad mnima de entierro para impedir que los tubos de agua se congelen.

FIGURA 4-32 Esquema para el ejemplo 4-6.

SOLUCIN:Los tubos de agua se entierran en el suelo para impedir la congelacin. Se debe determinar la profundidad mnima de entierro en un lugar en particular.Suposiciones 1 La temperatura del suelo es afectada slo por las condiciones trmicas en una superficie y, por tanto, dicho suelo se puede considerar como un medio semiinfinito. 2 Las propiedades trmicas del suelo son constantes.Propiedades En el enunciado del problema se dan las propiedades del suelo.Anlisis En el caso de la profundidad mnima de entierro, la temperatura del suelo que rodea los tubos ser de 0C despus de tres meses. Por lo tanto, a partir de la figura 4-29, se tiene

Se nota quet = (90 das)(24 h/da)(3 600s/h) = 7.78 106 s

y de donde

Por lo tanto, los tubos de agua deben enterrarse a una profundidad de por lo menos 78 cm para evitar el congelamiento en las severas condiciones invernales especficas.

SOLUCIN ALTERNATIVATambin pudo determinarse la solucin de este problema a partir de la ecuacin 4-45:

Con base en la tabla 4-4, se determina que el argumento que corresponde a este valor de la funcin complementaria de error es = 0.37. Por lo tanto,

Una vez ms, la ligera diferencia se debe al error de lectura del diagrama.

EJEMPLO 4-7: Elevacin de la temperatura de la superficie en bloques calentadosUn bloque grueso de madera pintado de negro y a 20C es expuesto a un flujo constante de calor solar de 1 250 W/m2 (figura 4-33). Determine la temperatura alcanzada en la superficie expuesta del bloque despus de 20 minutos. Cul sera su respuesta si el bloque estuviera hecho de aluminio?

FIGURA 4-32Esquema para el ejemplo 47.

SOLUCIN Se expone un bloque de madera a flujo de calor solar. Debe determinarse la temperatura de la superficie del bloque y compararse con el valor para un bloque de aluminio.Suposiciones: 1. Toda la radiacin solar incidente es absorbida por el bloque. 2 .Se descarta la prdida de calor desde el bloque (y, por consiguiente, el resultado que se obtenga es la temperatura mxima). 3. El bloque es suficientemente grueso como para ser considerado un slido semiinfinito y las propiedades del mismo son constantes.Propiedades: Los valores de la conductividad y difusividad trmica a temperatura ambiente son k = 1.26 W/m K y = 1.1 105 m2 /s, para la madera, y k = 237 W/m K y = 9.71 105 m2 /s, para el aluminio.Anlisis: ste es un problema de conduccin transitoria en un medio semiinfinito expuesto a flujo constante de calor en la superficie; con base en la ecuacin 4-46, la temperatura de la superficie se puede expresar como

Si se sustituyen los valores dados, se determina que las temperaturas superficiales tanto para la madera como para el aluminio son

Ntese que la energa trmica suministrada a la madera se acumula cerca de la superficie, debido a la conductividad y difusividad bajas de la misma, lo que causa que la temperatura de la superficie aumente hasta valores elevados. Por otra parte, los metales conducen el calor que reciben hacia las partes interiores del bloque debido a su conductividad y difusividad altas, lo que da como resultado una elevacin mnima de la temperatura en la superficie. En realidad, las dos temperaturas sern ms bajas debido a las prdidas de calor.Discusin: Con el uso de EES, en la figura 4-33 se han evaluado y trazado las grficas de los perfiles de temperaturas, en t = 20 min, tanto para la madera como para el aluminio. A una profundidad de x = 0.41 m, la temperatura de ambos bloques es 20.6C. A una profundidad de 0.5 m, las temperaturas llegan a ser de 20.1C, para el bloque de madera, y de 20.4C, para el de aluminio, lo cual confirma que el calor penetra ms y ms rpido en los metales, en comparacin con los no metales.

FIGURA 4-34Variacin de la temperatura dentro de los bloques de madera y de aluminio en t = 20 min.

4-4 CONDUCCIN DE CALOR EN RGIMEN TRANSITORIO EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES

Si todas las superficies del slido estn sujetas a conveccin hacia el mismo fluido a la temperatura T, con el mismo coeficiente de transferencia de calor h, y que el cuerpo no genere calor (figura 4-35). En esas configuraciones geomtricas multidimensionales, la solucin se puede expresar como el producto de las soluciones para las configuraciones geomtricas unidimensionales cuya interseccin es la geometra multidimensional.

a) Cilindro largo

b) Cilindro corto

FIGURA 4-35La temperatura en un cilindro corto expuesto a conveccin desde todas las superficies vara tanto en la direccin radial como en la axial y, por tanto, el calor se transfiere en las dos direcciones.Considere un cilindro corto de altura a y radio radio r0, inicialmente a una temperatura Ti. No hay generacin de calor en el cilindro. En el instante t= 0, el cilindro se sujeta a conveccin desde todas las superficies hacia un medio a la temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor h. La temperatura dentro del cilindro cambiar con x as como con r y el tiempo t, ya que se tiene transferencia de calor desde las superficies superior e inferior del cilindro as como desde su superficie lateral. La solucin de este problema bidimensional se puede expresar como

FIGURA 4-36Un cilindro corto de radio r0 y altura a es la interseccin de un cilindro largo de radio r0 y una pared plana de espesor a.

La solucin para una configuracin geomtrica multidimensional es el producto de las soluciones de las geometras unidimensionales cuya interseccin es el cuerpo multidimensional.

Por conveniencia, las soluciones unidimensionales se denotan por

Por ejemplo, la solucin para una barra slida larga, cuya seccin transversal es un rectngulo de a b, es la interseccin de las dos paredes planas infinitas de espesores a y b, como se muestra en la figura 4-36 y, por consiguiente, la distribucin de temperatura transitoria para esta barra rectangular se puede expresar como

FIGURA 4-36Una barra slida larga de perfil rectangular a b es la interseccin de dos paredes planas de espesores a y b.En la tabla 4-5, se dan las formas apropiadas de las soluciones productos para algunas otras configuraciones geomtricas. Es importante observar que en un slido semiinfinito la coordenada x se mide desde la superficie y desde el plano medio, en una pared plana. La distancia radial r siempre se mide desde la lnea central.

La transferencia de calor en rgimen transitorio para una configuracin geomtrica bidimensional formada por la interseccin de dos configuraciones unidimensionales 1 y 2 es

La transferencia de calor en rgimen transitorio para un cuerpo tridimensional formado por la interseccin de tres cuerpos unidimensionales, 1, 2 y 3, queda dada por