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LIC. ESP. BLANCA N. CASTILLO PERIODO I

GUIA NO. 1

CONTENIDO

TALLERES

EVALUACION

ENERO 25 AL 1 ABRIL

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EJE TEMATICO : PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMA GEOMETRICO

CONTENIDO: Traslaciones, reflexiones, rotaciones y homotecias. Composición de movimientos. Escalas. Semejanza y congruencia MOTIVACIÓN: “Para ganarme una beca del gobierno debo prepararme y ser el (la) mejor”

CONCEPTUALIZACIÓN LO QUE DEBO APRENDER:

Como consecuencias la figuras se transforman en otras figuras

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TALLER EN CLASE No. 1 Marca con una x la respuesta correcta en cada una de las figuras

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Carlos Rodriguez Suscribirse1.158

https://www.youtube.com/watch?v=ENglZuRlozk Teselaciones Una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni hay huecos.

Ejemplos:

Rectángulos Octágonos y cuadrados Pentágonos

Teselaciones regulares Una teselación regular es un patrón que se consigue repitiendo un polígono regular. Sólo existen 3 teselaciones regulares:

Triángulos Cuadrados Hexágonos

3.3.3.3.3.3 4.4.4.4 6.6.6

Fíjate en un vértice...

Un vértice es simplemente "una esquina". ¿Cuáles son las formas que coinciden en un vértice?

En este vértice coinciden tres hexágonos, y un hexágono tiene 6 lados. Así que esta teselación se llama "6.6.6".

En una teselación regular, ¡el patrón es el mismo en todos los vértices!

Elabora una cualquiera de las anteriores figuras en un octavo de cartulina, cortando

cada pieza y luego uniéndola para que forme una teselación.

TALLER EN CLASE NO. 2 1. Desarrolla los ejercicios pagina 181 texto

de Santillana

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Teselaciones semi-regulares Una teselación semi-regular está hecha con dos o más polígonos regulares. ¡El patrón debe ser el mismo en todos los vértices! Sólo existen 8 teselaciones semi-regulares:

3.3.3.3.6 3.3.3.4.4 3.3.4.3.4

3.4.6.4 3.6.3.6 3.12.12

4.6.12 4.8.8

Para darle un nombre a una teselación, da la vuelta a un vértice y escribe cuántos lados tiene cada polígono en orden... por ejemplo "3.12.12".

Y siempre se empieza por un polígono que tenga el mínimo número de lados, así que es "3.12.12", no "12.3.12"

Pregunta: En las teselaciones de arriba, ¿el patrón es el mismo en todos los vértices?

Otras teselaciones También existen otros tipos de teselaciones, como las "demiregulares", ¡pero los matemáticos todavía no se han puesto de acuerdo en cuáles son esas exactamente! Y también se pueden permitir formas curvas (no sólo polígonos) con lo que tienes teselaciones como estas:

Formas curvas Círculos ¿Águilas?

Artista de teselaciones Todas estas imágenes están hechas con nuestro Artista de teselaciones (hemos añadido un poco de color con un programa de dibujo). Tú también puedes probar, ¡a lo mejor inventas una teselación nueva!

TALLER EN CLASE NO. 3 Traer revistas, pegante, octavos de cartulina , tijeras punta roma e implementos de

geometria 1. Elabora en grupo una teselacion 2. Explica a tus compañeros com lo hizo 3. Que aprendio de lo que hizo 4. Resulve la siguente evaluacion en forma individual y entregala a la docente.

6 EVALUACION Escriba al frente de cada figura el movimiento que se realizo

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__________________ TALLER EN CASA No. 1

1. Desarrolla los ejercicios de la página 233 texto de Santillana No. 7 para dentro de 15 días 2. Lee con atención la pagina 234 y consigna en una hoja de block las conclusiones de lo leído

TALLER EN CLASE NO. 4 LEA OBSERVA Y APRENDE EN GRUPO : La composición de movimientos Simetría con deslizamiento Movimientos inversos

LA COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Cuando le aplicamos a una figura varios movimientos decimos que hemos hecho una composición de movimientos. La composición de dos movimientos es un movimiento, pues cada uno de ellos conserva las distancias. Para la composición de movimientos directos (Dir) e inversos (Inv), podemos establecer un criterio similar a la regla de los signos:

(Dir) * (Dir) = (Dir) (Inv) * (Dir) = (Inv)

(Dir) * (Inv) = (Inv) (Inv) * (Inv) = (Dir)

Muchos edificios clásicos están adornados con frisos. Los frisos son bandas con dibujos o pequeñas esculturas que se repiten a intervalos iguales y en muchas ocasiones se alternan simétricamente.

7 Experimenta En el arte árabe andaluz proliferan los elementos geométricos adornando los mosaicos de los edificios. En el siguiente applet se reproduce un mosaico suya figura característica es un polígono de doce lados que, por su forma, se conoce como "el hueso". Este mosaico puede contemplarse en la Alhambra de Granada, la Mezquita de Córdoba y al Alcázar de Sevilla. Observa los movimientos que se aplican al polígono H para obtener la figura "base" del mosaico.

Entrar en internet en : http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/Composicion/comp_mov_1.htm SIMETRÍA CON DESLIZAMIENTO

Experimenta Imagínate que caminas en línea rexta por un sendero. Tus pies al caminar dejan huella sobre el sendero. ¿Qué movimientos transforman la huella del pie izquierdo en la del derecho al dar un paso?

MOVIMIENTOS INVERSOS

Experimenta En cada uno de los movimientos que se observan en el applet el cuadrilátero A se ha transformado en

el A'. Observemos el movimiento que hay que efectuar para que el cuadrilátero A' se vuelva a trasnformar en el A

En consecuencia: Dada una traslación de vector v (a, b), la traslación inversa viene dada por el vector - v (- a, - b) Dado el giro de centro O y ángulo α , el inverso tiene el mismo centro O y como ángulo - α

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TALLER EN CLASE NO. 5 1. Haz un resumen con los compañeros de grupo de la lectura anterior 2. Elabora en cartulina de distintos colores todas las figuras anteriores, coloca en otra cartulina mas grande cada

figura y efectue en ellas los movimientos colocando un alfiler en la esquina de cada una de ellas Tomado de: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/Composicion/comp_mov_1.htm

LEE Y APRENDE EN CASA La escala La escala es una relación entre la medida del dibujo y la medida del objeto real, o sea, escala = dibujo / realidad. La representación mediante escalas obliga a realizar continuamente operaciones matemáticas (multiplicaciones o divisiones). Dado que esta tarea puede ser tediosa, se utilizan las escalas gráficas.

Aunque el conocimiento de todas estas relaciones es muy conveniente, el apartado deESCALAS (normalización, construcción y empleo), es de suma importancia sobre todo para los dibujos de aplicación industrial.

Distribución: Escalas gráficas. Tipos de escalas.

Escalas normalizadas. Cambios de escala.

La escala gráfica Es una regla graduada de tal manera que al ponerla directamente sobre el dibujo, se obtiene la medida real. La más conocida es el escalímetro.

El escalímetro

El escalímetro es una regla especial de forma triangular. Está construido de tal forma que, en cada una de sus tres aristas posee grabadas dos escalas diferentes por cada cara.

El uso del escalímetro me permite tomar y representar medidas en diferentes escalas de una forma muy cómoda, rápida y segura.

Cuando se dispone de un dibujo realizado a una escala que no está normalizada, o bien no disponemos de un escalímetro para la escala del dibujo, en este caso será necesario construir la escala gráfica. La escala gráfica la podemos crear nosotros mismos. Supongamos que debemos crear una escala gráfica para E=3:2. Dado que

E=D:R (medida del Dibujo partido por la medida del objetoReal), tenemos que la escala anterior la podríamos poner como E=1,5:1 Finándonos en este dato, vemos que se trata de una escala de ampliación y significa que por 1 (mm, cm, m, etc) del objeto real,

tenemos 1,5 (mm, cm, m, etc) en el dibujo. La construcción de la escala se realiza de la siguiente manera (enlace): Construcción de la escala gráfica E=3:2

Tipos de escalas Dependiendo de las medidas del objeto a representar y el tamaño del dibujo, tenemos tres tipos de escalas:

Natural (E=1). Las dimensiones del objeto real y el dibujado, coinciden. De reducción (E<1). Las dimensiones del objeto son demasiado grandes para poder dibujarlas en un plano o una lámina. Las dimensiones reales hay que reducirlas para que el objeto pueda ser representado. Las piezas de un coche, el plano de una casa o

bien el mapa de una ciudad, hay que reducirlas para representarlas en un plano. De ampliación (E>1). Las dimensiones del objeto son demasiado pequeñas y conviene ampliar el dibujo. Piezas pequeñas como las que pudieran darse en relojería, son excesivamente pequeñas. Habría que ampliarlas.

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Escalas normalizadas Aunque se puede utilizar cualquier tipo de escala para que la representación del objeto en el plano sea la correcta (por ejemplo utilizando la escala E= 3:2), conviene utilizar las escalas que vienen determinadas en la norma UNE 1 – 026 – 83 (1) 2R.

Estas escalas normalizadas son:

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Cambio de escala Cuando existe un dibujo realizado a una escala, por ejemplo E=1:2 (escala 1) y es necesario realizarlo a otra escala, por ejemplo E=3:2 (escala 2), las operaciones a seguir son:

1. Se mulltiplica el inverso de la escala 1 por la escala 2. Obtenemos la escala de

transformación (Et). 2. Multiplicamos todas las medidas del dibujo 1 (realizado a la escala 1) por la escala de transformación. Obtenemos las medidas del dibujo 2 (realizado a la escala 2).

SEMEJANZA Y CONGRUENCIA Ver video https://www.youtube.com/watch?v=HGU9D54PlWs http://es.filsh.net/tickets/4CMad/done https://www.youtube.com/watch?v=ENglZuRlozk

DEBO TENER EN CUENTA: 1. Traer el cuaderno de geometría todos los días de clase 2. Traer los

implementos de geometría como: regla, compas, escuadra, transportador, borrador lápiz colores o marcadores,

pegante, tijeras punta roma, 10 octavos de cartulina distintos colores, revistas. 3. Una carpeta oficio donde

guardaré en hojas de block o cuadriculadas los temas de consulta, las evaluaciones corregidas y firmadas por

los padres, los talleres y el vocabulario que empezara hacer desde la primera clase 3 palabras por clase. Todo

se entregara al final del periodo para una calificación en el saber y en el hacer. Debo estudiar para todos los

días que tenga clase.

10 Semejanza

Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma del o los contenidos no cambia, pero si el tamaño.

Introducción semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes. Ecuación Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

Corolarios Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y ABC son semejantes se escribe ABC ~ ABC, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes. Propiedad reflexiva, refleja o idéntica Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia. Teorema fundamental de la semejanza de triángulos Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

ABC; r || AC r corta AB en L r corta BC en M

TALLER EN CLASE NO. 6

1. Desarrolle los ejercicios pág. 177 Texto de Santillana No. 7

11 Congruencia

Un ejemplo de movimiento o congruencia semejante a ellas. La última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras homogéneas y confluentes como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos.

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por unmovimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. Definición de congruencia en geometría analítica En la geometría euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad matemática en aritmética y álgebra. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura.

Definición formal: Dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo son llamados congruentes si existe

una isometría con .

Ángulos congruentes Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

Los ángulos y son congruentes y opuestos por el vértice.

Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: Si dos triángulos y son congruentes, entonces la relación se notará como:

Criterios para deducir o establecer la congruencia de dos triángulos.

Congruencia de triángulos Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de congruencia1 2 los cuales son: Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos. Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos. Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados. Caso LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo opuesto mayor medida que ellos. Caso LAA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales uno de los lados, el ángulo opuesto a dicho lado y otro de los ángulos. Caso AAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado opuesto a cualquiera de los ángulos. 3

TALLER EN CLASE NO. 7 1. Desarrolle en clase los ejercicios pág. 175 texto de Santillana No. 7