Contenido

BLOQUE 1 ....................................................................................................................................................... 2

RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS ......................................................... 2

BLOQUE 2 .................................................................................................................................................... 15

UTILIZAS MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES ............................................................................ 15

BLOQUE 3 .................................................................................................................................................... 25

REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS ........................................................................ 25

BLOQUE 4 .................................................................................................................................................... 33

TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I .......................................................................................... 33

BLOQUE 5 .................................................................................................................................................... 50

TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II ........................................................................................ 50

BLOQUE 6 .................................................................................................................................................... 63

ECUACIONES LINEALES I ..................................................................................................................... 63

BLOQUE 7 .................................................................................................................................................... 90

ECUACIONES LINEALES II .................................................................................................................... 90

BLOQUE 8 .................................................................................................................................................... 99

ECUACIONES LINEALES III .................................................................................................................. 99

BLOQUE 9 ..................................................................................................................................................104

ECUACIONES CUADRÁTICAS I ..........................................................................................................104

BLOQUE 10 ...............................................................................................................................................110

ECUACIONES CUADRÁTICAS II ........................................................................................................110

BLOQUE 1

RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS

1.1 Representación de relaciones entre magnitudes. El sistema numérico indo-arábigo. Sistema Numérico esta constituido por números, numerales, propiedades y operaciones. El sistema numérico que se usa en la actualidad es el llamado indo-arábigo. El sistema indo-arábigo es aditivo, posicional y de base 10 Es aditivo porque:

Unidades de Millar Centenas Decenas Unidades El número 5237 tiene : 5 2 3 7 5000 200 30 7

Significa que es aditivo porque 5237 = 5000 + 200 + 30 + 7 Es posicional porque si cambiamos la posición de los numerales tenemos un número completamente diferente. Partiendo del número 5237 si cambiamos la posición de los numerales a 2537 ahora el 2 ya no vale 200, vale 2000. El 5 ya no vale 5000 ahora vale 500 Es decir que al cambiar de posición los numerales, las cantidades que representan son diferentes El sistema indo-arábigo es de base 10 porque cualquiera de sus números se puede representar en potencias de 10. Recuerda que si: 𝑎0 = 1 entonces 100= 1

Unidades de Millar Centenas Decenas Unidades El número 5237 tiene: 5 2 3 7 Que se representa 5000 200 30 7 O bien 5 x 1000 2 x 200 3 x 10 7 x 1 O en forma exponencial 5 x 𝟏𝟎𝟑 2 x 𝟏𝟎𝟐 3 x 𝟏𝟎𝟏 7 x 𝟏𝟎𝟎

Los números reales y su composición en racionales e irracionales. Los números racionales La evolución de las matemáticas, específicamente de los sistemas numéricos, tiene

un avance sin precedente en la historia cuando se introduce el uso del cero por la civilización “maya”.

Un número racional es el que se puede expresar como el cociente o razón de dos enteros o bien que al representarlo en forma decimal ésta termina o es periódica. Ejemplos de números racionales: 7= 14/2, 5 = 125/ 25, -11 = -11/1, -11 = -121/11 etc. Cualquier fracción: 5/7, -15/4, 6/11, -8/3 Representación decimal: 5 = 5.0, 7 = 7.0, 1/3 = 0.3333……, 6/7 = 0.857142857142…… Los números irracionales Un número irracional es el que no puede representarse como el cociente o razón de

dos enteros o cuya representación decimal “no termina” ni es periódica.

Ejemplos de números irracionales:

√5 = 2.236067977……

√2 = 1.4142135623…… = 3.1415926535……… 17/19 = 0.89473684…… Clasificación de los números reales y operaciones. El conjunto de los números reales esta constituido por los números racionales e irracionales; así tenemos:

A su vez los racionales están constituidos por enteros y fraccionarios.

Axiomas de los Números Reales Axiomas de los Números Reales Se utiliza la letra minúscula “r” para identificar cualquier número real Axioma de Identidad. Adición o suma. Existe un único número llamado cero (0) que al sumarlo con cualquier número real (r), el resultado es el mismo número real: r + 0 = r Ejemplo: 3 + 0 = 3, 1/3 + 0 = 1/3, -5 + 0 = -5 Multiplicación. Existe un único número llamado uno (1) que al multiplicarlo por cualquier número real (r), el resultado es el mismo número real: r x 1 = r o r 1 = r Ejemplo: -4 x 1 = 4, 5/7 x 1 = 5/7, 11 1 = 11

Números Reales

Números racionales Números Irracionales

Números racionales

Enteros

Positivos o naturales

Cero Negativos

Fraccionarios

Positivos Negativos

Axioma del Inverso Adición. Para todo número real (r), existe un único número (-r) llamado inverso aditivo de (r), tal que, al sumar éstos, el resultado es cero (0): (r) + (-r) = 0 Ejemplo: 6 + (-6) = 0, 2/5 + (-2/5) = 0 Multiplicación. Para todo número real (r) existe un único número (1/r) llamado inverso multiplicativo de (r), tal que el producto de ellos es igual a uno (1): r (1/r) = 1 Ejemplo:

7 ( 1

7 ) = 1,

1

3 (

11

3

) = 1

Propiedades de los Números Reales Cerradura. La suma y el producto de dos número reales es también un número real. Sean a y b números reales, entonces: a + b es un número real a b es un número real 3 + (-5) = -2 (2) (-8) = -16 Conmutativa. El orden en que se suman o multiplican dos o más números reales no altera el resultado. Sean a y b dos números reales, entonces: a + b = b + a a b = b a 5 + 3 = 3 + 5 5 3 = 3 5 Asociativa. La forma en que se asocian dos o más números reales para efectuar una suma o un producto no altera el resultado. Sean a y b números reales, entonces: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) a b c = (a b) c = a (b c) 3 + 5 + 8 = (3 + 5) + 8 = 3 + (5 + 8) 3 5 8 = (3 5) 8 = 3 (5 8) Distributiva. El producto de un número real (a) por la suma de otros dos reales (b + c) es igual a la suma de los productos de a por b y a por c, esto es:

a (b + c) = a b + a c

3 (5 + 4) = 3 5 + 3 4

3 ( 9 ) = 15 + 12 27 = 27 Clasificación y operaciones con los números reales Los números enteros se clasifican en compuestos y primos. Los números compuestos son aquellos que se pueden representar como el producto de dos o más números que se denominan factores. Si un entero a se puede representar como el producto de b y c, esto es a = b c siendo b y c también enteros, entonces a estos se les denomina factores o divisores de a y decimos que a se ha descompuesto en factores. Ejemplo: 6 = 2 x 3 8 = 2 x 2 x 2 o bien 8 = 4 x 2 Un número primo es aquel que solo puede representarse como el producto de dos factores, donde uno de ellos es la unidad. Si un entero a solo se puede representar como el producto de a = a 1, entonces a es un número primo. Ejemplo 3 = 3 1 5 = 5 1 11= 11 1 17 = 17 1 23 = 23 1 Muchos números compuestos pueden ser expresados de varias maneras como el producto de dos o más factores, como es el caso de los números 30, 40 y 48. Sin embargo, como puedes observar, uno o ambos factores son a su vez números compuestos. Un factor es un número que multiplicado por otro u otros números dan como resultado

un número compuesto Al continuar determinando los factores de cada número compuesto que resulte de la descomposición inicial llegaremos a representar el número original como el producto de factores primos.

La representación en factores primos de un número compuesto es única, es decir, obtendremos los mismos factores aun cuando hagamos en diferentes formas la descomposición. El número 48 se representa como el producto de los siguientes factores: 48 = 3 • 2 • 2 • 2 • 2 • 1 48 = 2 • 2 • 2 • 3 • 2 • 1 48 = 2 • 2 • 3 • 2 • 2 • 1 Observa que se obtienen los mismos factores primos del número 48 partiendo de diferentes planteamientos, es decir, en todos se obtiene un factor 3 y cuatro factores 2.

En álgebra se sobreentiende que cuando se pide representar un número como el producto de sus factores éstos deben ser números primos.

Como representar en factores primos un número compuesto que consta de varios dígitos El procedimiento para determinar los factores de un número compuesto de este tipo se representa resolviendo el siguiente ejemplo. Ejemplo

Números fraccionarios

Representar el número 2080 como el producto de sus factores primos. Solución: Construimos una tabla; en la columna izquierda se presenta el número por factorizar y en la columna derecha se anota un 2 si el número tiene mitad, un 3 si tiene tercera, etc. Bajo el número por factorizar se anota el resultado obtenido al sacarle mitad o tercera o lo que corresponda. Es importante señalar que en la columna derecha sólo deben considerarse números primos.

El número 2080 tiene mitad, por lo que se anota un 2 en la columna derecha, y el resultado (1040) se anota debajo de 2080. Como 1040 tiene mitad anotamos un 2 en la columna derecha y 2080 2 520 bajo 1040; procedemos de esta manera hasta lograr que en la columna de la izquierda aparezca el número 1, dando por terminado el procedimiento. De manera que 2080 se expresa como el producto de factores de la siguiente forma:

= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 1

= 25 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 1

2080 2

1040 2 520 2 260 2 130 2 65 5 13 13 1

De los números fraccionarios estudiaremos qué son fracciones equivalentes y las operaciones de adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división.

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, al expresarlas en forma decimal, aun cuando los numeradores y/o denominadores sean

diferentes.

Las fracciones 1

2 𝑦

4

8 son equivalentes porque al expresarlas en forma decimal

tienen el mismo valor:

1

2 = 0.5 y

4

8 = 0.5

Aún cuando los numeradores y denominadores son diferentes. Las fracciones equivalentes tienen aplicación al realizar las operaciones de suma y resta de fracciones,

¿Cómo se obtienen fracciones equivalentes de una fracción cualquiera?

En la fracción, (de la que se parte para obtener fracciones equivalentes) multiplica numerador y denominador por el mismo número, diferente de cero, y de esta forma obtienes tantas fracciones equivalentes como quieras.

El procedimiento para obtener fracciones equivalentes se basa en el axioma de identidad para la multiplicación de los números reales, que dice: “el producto de cualquier número real por la unidad es el mismo número real”, esto es:

a 1 = a

Ahora bien, la unicidad se puede expresar como: 1 = 𝑎

𝑎

Es decir que 1 = 2

2=

3

3 =

5

5 =

20

20 =

100

100= etc.

Y si yo tengo 3

4 y lo multiplico por 1 tendré el mismo número o una fracción

equivalente.

3

4 ∗

2

2 =

6

8

6

8 es equivalente a

3

4

Operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones

Sean a, b y c números reales con b ≠ 0, la suma de las fracciones 𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑏 se define

como:

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑏=

𝑎 + 𝑐

𝑏

«La suma de dos fracciones que tienen el mismo denominador es una fracción cuyo

numerador es la suma algebraica de los numeradores, y el denominador es el

común a ambas fracciones».

Ejemplo

3

5+

8

5=

3+8

5 =

11

5

La operación de adición o suma de fracciones con distinto denominador

Sean a, b, c y d números enteros con 𝑏 𝑦 𝑑 ≠ 0 , la suma de las fracciones 𝒂

𝒃 𝑦

𝒄

𝒅

Se define como:

𝒂

𝒃+

𝒄

𝒅=

𝒂𝒅 + 𝒃𝒄

𝒃𝒅

Nota que el numerador de la fracción resultante es la suma de los productos que se

indican; y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones.

Ejemplo

3

5+

4

7=

21+20

35=

41

35

Un procedimiento para sumar fracciones con distinto denominador consiste en

convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Para

lograr que las fracciones tengan el mismo denominador, la primera se multiplica por

el denominador de la segunda, y la segunda fracción se multiplica por el

denominador de la primera, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

3

5+

4

7=

21

35+

20

35=

41

35

La operación de resta de fracciones

La resta de fracciones se realiza con la misma técnica de la adición, haciendo la

siguiente consideración acerca del signo negativo que precede a la segunda

fracción.

𝑎

𝑏−

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏+

(−𝑐)

𝑑=

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

𝑏𝑑

La operación de multiplicación de números fraccionarios

Sean 𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑑 dos números fraccionarios con 𝑏 𝑦 𝑑 ≠ 0 , la multiplicación se define

como:

𝑎

𝑏∗

𝑐

𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑

Esto es, el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el

producto de los numeradores de las fracciones, y el denominador es el producto de

los respectivos denominadores.

Ejemplo:

7

5∗

11

3=

77

15

La operación de división de números fraccionarios

Sean 𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑑 dos números fraccionarios, la división se define como:

𝑎

𝑏 ÷

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑

𝑏𝑐

«El cociente o división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el

producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y

cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el

numerador de la segunda».

La división de fracciones puede ser expresada como una multiplicación si en lugar

de la segunda fracción se usa su recíproco o inverso multiplicativo.

Recuerda que el inverso multiplicativo de un número 𝒂 e s 𝟏

𝒂

De acuerdo con lo anterior, la división de dos fracciones también se define de la

siguiente manera:

𝑎

𝑏 ÷

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏∗

𝑑

𝑐=

𝑎𝑑

𝑏𝑐

Ejemplo:

3

2 ÷

5

7=

3

2∗

7

5=

21

10

Jerarquización u orden de operaciones numéricas Cuando se plantean algunos problemas matemáticos que involucran varias operaciones es necesario expresarlas correctamente para evitar errores en la búsqueda de la solución; las herramientas que se utilizan comúnmente son los llamados símbolos de agrupamiento y signos matemáticos. Los signos y símbolos de agrupamiento usados en el lenguaje matemático tienen una función análoga a los signos de puntuación usados en el lenguaje escrito; Por ejemplo, si tenemos: 7+3 x2 Algunos respondieron que el resultado es 20, al realizar primero la suma de 7 + 3 = 10 y posteriormente multiplicarlo por 2. Otros respondieron que el resultado es 13, al realizar primero el producto de 3 x 2 = 6 y posteriormente sumarlo con 7. La ambigüedad de la proposición permite diferentes interpretaciones y, por lo tanto, no esta lo suficientemente clara. El uso correcto de los símbolos de agrupamiento evita tener diferentes interpretaciones de una misma proposición. Regresemos a nuestra proposición; si usamos el símbolo de agrupamiento más sencillo, «los paréntesis circulares» ( ), y expresamos 7 + 3 x 2 de las siguientes formas: a) (7+3) x 2 b) 7 + (3x2) Obtendremos las respuestas a) 20 y b) 13 Observa que ambas proposiciones, a) y b), sólo admiten una interpretación. Podemos concluir que el descuido en el uso de signos de puntuación o matemáticos es la principal fuente de error en la interpretación del lenguaje escrito o en las operaciones matemáticas, respectivamente.

Los símbolos de agrupamiento comúnmente utilizados son: ( ), [ ], { } Paréntesis circulares, paréntesis rectangulares y llaves circulares o corchetes Se acepta de manera generalizada que cuando en un planteamiento aparecen dos o más símbolos de agrupamiento, las llaves encierran o contienen a los paréntesis rectangulares y éstos a los circulares; es decir, el orden o prioridad es:

{ [( )] } Lo que significa, desde el punto de vista práctico, que primero se realizan las operaciones

agrupadas en los paréntesis circulares, después las operaciones agrupadas en los paréntesis rectangulares y, por último, las que agrupan las llaves; es decir, cuando se

eliminan los símbolos de agrupamiento al efectuar las operaciones contenidas en ellos se empieza de lo interno a lo externo.

Ejemplo Simplificar las expresiones: a) 7[5+2(3)]+2 = 7[5+6]+2 = 7[11]+2 = 79 b) [(5-4)3-6] 3 = [(1) 3 -6]3= [3-6]3 =-3*3 = -9 Relación entre cantidades que dan origen a los conceptos «tanto por ciento» e «interés» Entre las aplicaciones más comunes de las razones o proporciones se encuentra el tanto por ciento. El tanto por ciento es el cociente o razón de un número a con respecto a otro número b,

y se expresa: 𝒂

𝒃 𝒙 𝟏𝟎𝟎

Para expresar una cantidad como un tanto por ciento su utiliza el símbolo %. El tanto por ciento tiene una gran utilidad; entre otras cosas, sirve para: a) Expresar de manera sencilla cantidades difíciles de recordar, analizar o manejar. Por ejemplo, en los censos de población y vivienda se manejan cantidades como las siguientes:

La población total de un estado es de 6 435 421 habitantes, de los cuales 3 813 412 son mujeres y 2 622 009 son hombres. Estos números son difíciles de recordar; sin embargo, se simplifica su expresión al hacer referencia a la cantidad de mujeres y hombres usando el tanto por ciento, como se indica a continuación: el 59% del total de la población son mujeres, y el 41% son hombres. b) Determinar las ganancias, el pago de intereses o pérdidas de transacciones comerciales o financieras partiendo de una relación o porcentaje establecido o acordado. El tanto por ciento establece la relación que existe entre una «parte del todo» respecto al «todo». Si de 100 manzanas se le entregan 25 a una persona, identificamos a las 25 manzanas como la «parte del todo» y a las 100 manzanas como el «todo». En lenguaje común y de manera intuitiva podemos decir que a la persona le dieron el veinticinco por ciento de las manzanas, esto es, veinticinco por cada cien manzanas.

En la definición, el «tanto por ciento» se expreso como: 𝒂

𝒃 𝒙 𝟏𝟎𝟎

De acuerdo con el planteamiento antes mencionado, se debe identificar a la letra a como la «parte del todo» y a la letra b como el «todo», de modo que el tanto por ciento de manzanas entregadas a la persona se determina de la siguiente forma:

25

100 𝑥 100 = 0.25 𝑥 100 = 25%

Ejemplo ¿Cuál es el 6% de $50? De acuerdo a la definición se tiene que:

6

100 𝑥 100 = 0.06 𝑥 100 = 6%

Entonces $50 X 0.06 = $3 El 6% de $50 pesos son $3 El tanto por ciento y la tasa de interés simple Las operaciones más simples que realizan las instituciones financieras son, entre otras, el pago de intereses por un monto invertido o el cobro de intereses por préstamos recibidos; ambas operaciones tienen como instrumento la denominada tasa de interes,

que se expresa de manera sencilla, como un tanto por ciento del monto invertido o préstamo recibido, referido a un periodo establecido. Ejemplos: En el tablero de avisos de una institución financiera se informa lo siguiente: Tasa de interes anualizada a 30 días: 3.28% para montos de inversion de $50 000 por lo menos. Ejemplo El señor García recibe $60 000 de aguinaldo y decide invertirlos a 30 días con una tasa de interés anual de 3.28%. ¿Cuánto recibe por concepto de intereses? Solución: El monto que representan los intereses que ganan los $60 000 en un mes se calcula de la siguiente manera: Tasa de interés a un mes se calcula de la siguiente manera: tasa de interes anual entre 12 meses es decir 3.28% / 12 meses = 0.273% La tasa de interés mensual es de 0.273% significa que la ganancia por cada 100 pesos invertidos es de 0.273 pesos, esto quiere decir que: ¿Si cada 100 pesos ganan 0.273 pesos, cuánto gana con 60 000 pesos? con una regla de tres simple tenemos:

60000

𝑥∶

100

0.273=

60000 𝑥 0.273

100= 163.80

Esta expresión se plantea como: el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esto es: 100X = 60000 x 0.273, de donde X = 60000 x 0.273/100 =163.80 Con los 60000 pesos se ganan $163.80 mensuales por concepto de interes. Observa en la expresion anterior que los intereses, representados por X, son el resultado de multiplicar el monto o capital invertido ($60 000) por la tasa de interes expresada en por ciento, y dividir el resultado por 100, lo que es equivalente a multiplicar el capital invertido por la tasa de interes dividida por 100. Esto significa que esta se expresa en forma decimal, es decir: Tasa de interés expresada en por ciento = 0.273/100 = 0.00273 100 De manera que para calcular los intereses ganados por invertir el monto o capital, se multiplica este por la tasa de interes expresada en forma decimal.

Monto ganado por intereses = $60 000 x 0.00273 = $ 163.80

BLOQUE 2

UTILIZAS MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES

2.1 Números reales: representación y operaciones

El conjunto de los números reales, que generalmente se identifica con la letra ℝ, está constituido por el sub- conjunto de los números racionales Q y el subconjunto

de los números irracionales Q como ya mencionamos en el bloque 1.

Mencionamos a continuación´ las ventajas de un sistema numérico que utiliza el

conjunto de los números reales:

Los números reales y la recta numérica

Se puede construir una «recta numérica» al asociar los números reales con los

puntos de una línea recta y con dos rectas numéricas construir un sistema

coordenado rectangular.

La asociación o correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta

dio lugar al desarrollo de uno de los aspectos más importante de las matemáticas:

la construcción de la recta numérica y de los ahora conocidos como sistemas

coordenados; estos últimos, entre otras cosas, permiten la representación gráfica

de figuras geométricas.

La construcción de una recta numérica se basa en la correspondencia entre

números reales y puntos de la recta; a esto se le denomina correspondencia

biunívoca, lo que significa que a cada número real le corresponde un único punto

de la recta y viceversa.

Al construir la recta conviene asociar el cero (0) con un punto al que se le llama

origen, el cual sirve como referencia para ubicar los números positivos y negativos

a su derecha e izquierda, respectivamente [Figura 2.1]

origen

Números negativos Números negativos

0

Figura 2.1

A partir del cero y hacia la derecha se representan los números positivos con puntos

de la recta, situados a intervalos iguales; a la izquierda del cero se repite la

operación para los negativos. Por lo general sólo se representan números enteros,

como se ilustra en la Figura 2.2.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 2.2

Sin embargo, entre dos enteros consecutivos se pueden representar los números

fraccionarios contenidos entre ellos; por ejemplo, para representar 1/3, que está

contenido entre 0 y 1, procedemos a dividir el intervalo en tres partes iguales.

0 1/3 2/3 1

Figura 2.3

Para representar 1/2, dividimos el intervalo entre 0 y 1 en dos partes iguales. Hecho

esto representamos dicha fracción

0 1/2 1

Figura 2.4

Al número asociado con un punto de la recta se le denomina coordenada del punto.

Los números irracionales como √2 = 414213562 …y √5 = 2.23606797…. una vez

conocida su representación decimal, también se pueden asociar con puntos de la

recta, como se ilustra a continuación:

√2 = 1.414213562 …. √5 = 2.23606797 ….

√2

√5

1 1.2 1.4 1.8 2 2.2 2.4 2.6

Figura 2.5

Con la evolución de los pueblos se hizo necesario conocer el tamaño de los objetos,

la distancia entre las ciudades y después entre los astros, cuya consecuencia es la

aparición de instrumentos como el metro, el termómetro, el escalímetro, etc.,

diseñados para medir y dibujar. Estos instrumentos se basan en la asociación de

números con puntos de una recta. El termómetro y el escalímetro son ejemplos de

esta asociación o correspondencia.

Dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, dan origen al sistema

coordenado rectangular, haciendo que se intersecten en el origen, como se ilustra

en la Figura 2.6.

Figura 2.6.

Teoremas o leyes de los exponentes

Se puede representar cualquier cantidad o magnitud en forma sencilla, empleando

el concepto de exponentes. Para escribir cantidades muy «pequeñas» o muy

«grandes» se usan las «expresiones exponenciales», por ejemplo:

0.0005 se escribe 0.5 x 10−3 ó bien 5 x 10−4

0.00000008 se escribe 8 x 10−8

En álgebra, frecuentemente nos encontramos con la multiplicación de un número

por sí mismo varias veces; por ejemplo, al calcular el área de un cuadrado cuyo lado

es a se presenta la situación mencionada, ya que el área es igual al producto a • a.

El volumen de un cubo de lado b es igual a b • b • b. Surge entonces la necesidad

de abreviar este tipo de expresiones.

Definición de expresión exponencial

Si a representa un número real diferente de cero y n es un número natural, es decir:

𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛 ∈ ℕ entonces:

𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … … … . . 𝑎 𝒏 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝒂

De acuerdo con la definición, tenemos que:

𝑎0= 1

𝑎1 = 𝑎

𝑎3= a • a • a 3 veces a

24 = 2 • 2 • 2 • 2 4 veces 2

En la expresión 𝒂𝒏 identificamos a n como el exponente y a a como la base. El

exponente representa el número de veces que la base se multiplica por sí misma.

Teoremas

Los teoremas de los exponentes nos permiten efectuar operaciones con este tipo

de expresiones. Es común utilizar el término leyes de los exponentes en lugar de

teoremas.

Primera ley de los exponentes

Si a representa un número real diferente de cero y n y m son números naturales, es

decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ entonces:

𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎

Ejemplo

𝒂𝟐 ∙ 𝒂𝟑 = 𝒂𝟐+𝟑 = 𝒂𝟓

Segunda ley de los exponentes

Si a representa un número real diferente de cero y n y m son números naturales, es

decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ entonces

(𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏𝒎

Ejemplo

(𝒂𝟐)𝟑 = 𝒂𝟐𝒙𝟑 = 𝒂𝟔

Tercera ley de los exponentes

Si a y b representan números reales diferentes de cero y n es un número natural,

es decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛 ∈ ℕ entonces

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛

Ejemplo

(2𝑥)3 = 23𝑥3 = 8𝑥3

Cuarta ley de los exponentes

Si a representa un número real diferente de cero y m y n son números naturales, es

decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑚 > 𝑛

Ejemplo

𝟐𝟖

𝟐𝟑= 𝟐𝟖−𝟑 = 𝟐𝟓 = 𝟐𝐱𝟐𝐱𝟐𝐱𝟐𝐱𝟐 = 𝟑𝟐

2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones

Con los números reales se pueden efectuar prácticamente todas las operaciones

que necesita el ser humano en sus actividades cotidianas, académicas, científicas,

así como establecer relaciones entre números que dan origen a los conceptos de

razones, proporciones, tanto por ciento e interés.

Razones

En las narraciones de partidos de basquetbol y futbol, entre otros, se utilizan

expresiones como las siguientes:

«De cada 10 tiros lanzados hacia el aro, los jugadores de un equipo de basquetbol

encestan 6, por lo que su efectividad es del sesenta por ciento».

«Sólo 2 de 40 disparos intentados por los jugadores de un equipo de futbol han sido

goles, por lo que su efectividad es del cinco por ciento».

Para decidir cuál automóvil comprar, casi siempre se considera el «rendimiento» del

mismo, esto es, cuántos kilómetros recorre con un litro de gasolina; para obtener

este rendimiento, el fabricante debe aplicar el concepto de proporción debido a

que él conoce el número de kilómetros que puede recorrer el vehículo con la

cantidad de litros que le caben al tanque, y los kilómetros que recorre.

Incluso algunas situaciones como la que se enuncia a continuación deben

resolverse haciendo uso del concepto de proporcionalidad, que más adelante se

abordará.

En la actualidad, cuando se expresan resultados de datos estadísticos relacionados

con la población, la actividad económica, las preferencias de candidatos o partidos

políticos, etc., se utilizan representaciones gráficas o tablas, en las que se

mencionan cantidades expresadas como porcentajes o tanto por ciento, por ser más

fáciles de recordar y comprender en lugar de las cantidades expresadas con

números.

Algunas de las respuestas a las preguntas o situaciones enunciadas anteriormente

se obtienen con base en conceptos y definiciones de razones y proporciones que

se exponen a continuación.

Razón

La razón de dos magnitudes es la expresión del cociente entre ellas. Las

magnitudes se expresan usando las mismas unidades; por lo tanto, la razón

es un número.

Notación

Se puede establecer la razón entre dos magnitudes cualesquiera, como por ejemplo

c y d, utilizando para expresarla alguna de las siguientes formas:

Utilizas magnitudes y números reales

a) Usando dos puntos entre las magnitudes. c : d

b) Usando la preposición a entre las magnitudes. c a d

c) Representándola como un cociente. 𝑐

𝑑

d) Representándola en forma decimal. Por ejemplo, 1

100= 0.01

La construcción de escalas es ejemplo de razones

Establecer una escala para dibujar una casa-habitación o la longitud de una

carretera, entre otras cosas, requiere definir una razón entre las dimensiones reales

de la casa o de la carretera y aquellas que permitan hacer el dibujo en un papel

cuyo tamaño sea manejable para fines prácticos. Esta razón se conoce como

escala.

Por ejemplo, si decimos que 1 cm representa 1 m habremos establecido una razón

que representa una determinada escala; sin embargo, como debemos utilizar las

mismas unidades, la razón correctamente expresada es 1 cm representa 100 cm, y

se escribe de las siguientes formas:

1:100 1 a 100 1

100 0.01

Por lo general, se utiliza la primera expresión para representar una escala.

También podemos establecer la razón o escala siguiente: 1 cm representa 1/2

metro; o bien, 1cm representa 50 cm.

Expresada la escala en forma convencional tenemos: 1:50, o bien, 1 a 50. El

«escalímetro», usado por los dibujantes, contiene las escalas que comúnmente se

emplean para elaborar planos de casas, fraccionamientos, edificios, etcétera.

Las estadísticas deportivas usan las razones

En las narraciones deportivas el uso de estadísticas tiene, por lo general, el

propósito de dar información objetiva y fácil de interpretar para analizar el

comportamiento de un equipo en su conjunto o de sus jugadores en lo particular.

Es frecuente leer en la pantalla del televisor la efectividad de un equipo de

basquetbol de la siguiente manera:

Tiros de campo encestados 17 de 28

Rebotes recuperados a la defensiva 32 de 45

Tiros libres encestados 11 de 16

Rebotes recuperados a la ofensiva 10 de 50.

Interpretando los tiros de campo, sabemos que encestaron 17 de 28 intentos

realizados, y en los tiros libres encestaron 11 de 16 intentos.

Conclusiones sobre las razones

a) Las magnitudes o cantidades que se relacionan deben expresarse usando

las mismas unidades.

b) La razón es un número; sin embargo, requiere una correcta interpretación.

c) La razón debe escribirse como una expresión irreductible, esto es, que ya no

puede simplificarse.

Proporciones

Proporción es la igualdad de dos razones.

Son ejemplos de proporciones:

1

2=

4

8

3

5=

6

10

o bien 1:2 = 4:8 3:5 = 6:10

Es común leer las expresiones anteriores de la siguiente forma: «1 es a 2 como 4

es a 8», «3 es a 5 como 6 es a 10».

Para este caso, se tiene que: Los medios de una proporción son los números que

ocupan la posición segunda y tercera. Los extremos de una proporción son los

números que ocupan la posición primera y cuarta. En los ejemplos utilizados

tenemos que:

1:2 = 4:8 3:5 = 6:10

1 y 8 son los extremos, 2 y 4 son los medios

3 y 10 son los extremos y 5 y 6 son los medios

Propiedad fundamental de las proporciones

Dada la proporción a:b = c:d, se tiene que ad = bc; que podemos expresar de la

siguiente manera. El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Expresada la proporción a:b = c:d en forma de fracciones, tenemos 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 que

podemos expresar como el producto cruzado de los elementos son iguales. Esto

es:

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 = ad = bc

Ejemplo

1:2=4:8

2x4 = 1x8

8 = 8

3:5 = 6:10

5x6 = 3x10

30 = 30

Podemos concluir que las expresiones anteriores sí son ejemplos de proporciones

al satisfacerse las igualdades, es decir, que son ciertas las proposiciones de

igualdad: ocho es igual a ocho, treinta es igual a treinta.

Un elemento desconocido en las proporciones

Existen problemas relacionados con las proporciones en los que se desconoce

alguno de los elementos que las forman; el elemento desconocido se identifica

utilizando, por lo general, alguna letra del alfabeto.

Evidentemente, en estos problemas se busca el valor que tiene el elemento

desconocido, el cual puede encontrarse en cualquier posición de la proporción,

como se muestra a continuación:

a) 7:2 = 28:X

b) 3:X = 5:15

Ahora bien, utilizando la propiedad fundamental de las proporciones tenemos que:

a) 7X = (2) (28) de donde: b) 45 = 5X

7X = 56 5X = 45

X = 56/7 X = 45/5

X = 8 X = 9

Aplicaciones de las proporciones

La regla de tres es una explicación de las proporciones que estudiaremos a

continuación.

La regla de tres es una operación combinada de multiplicación y de división entre

cuatro cantidades (una de ellas desconocida), siempre y cuando dichas

cantidades sean proporcionales. En otras palabras, es una proporción con un

elemento desconocido.

Existen problemas o planteamientos que establecen razones entre cantidades

expresadas en diferentes unidades, por lo que antes de resolverlas es necesario

referirlas a las mismas unidades para evitar errores en la búsqueda de la solución.

Cantidades directa e inversamente proporcionales

Se dice que dos cantidades son directamente proporcionales cuando al hacerse

una de ellas un cierto número de veces mayor, la otra también se hace el mismo

número de veces mayor. Lo mismo sucede cuando una cantidad se hace un cierto

número de veces menor, y en consecuencia la otra también resulta el mismo

número de veces menor; la expresión de esto es:

𝐴

𝐵=

𝐶

𝑋 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑋 =

𝐵𝐶

𝐴

Ejemplo

10 metros de tela cuestan $40 pesos, ¿Cuánto costarán 50 metros de tela?

10:40 = 50:X entonces 10X = (40)(50) luego X= 2000/10 por lo que X = 200

50 metros costarán 200 metros

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al hacerse una de ellas

un cierto número de veces mayor, la otra resulta el mismo número de veces menor,

o viceversa, es decir:

𝐴

𝐵=

1

𝐶𝑋

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑋 = 𝐴𝐶

𝐵

Ejemplo

Si en la construcción de una calle se emplearon 10 obreros y se terminó en 20 días,

¿en cuántos días habrían realizado 40 obreros la misma construcción?

Es evidente que se involucran cantidades inversamente proporcionales, ya que a

mayor número de obreros empleados en la construcción, menor es el tiempo

necesario para efectuarla; por consiguiente, si utilizamos el doble de obreros, el

tiempo se reduce a la mitad; si empleamos el cuádruple de obreros, como señala el

ejemplo, el tiempo se reduce a la cuarta parte, es decir, a 5 días.

Suponiendo que no consideramos que se relacionan cantidades inversamente

proporcionales y que planteamos la solución usando una regla de tres en la

siguiente forma:

10 obreros emplean 20 días 40 obreros emplean x número de días, es decir 10:20

= 40x

De donde 10x=800 x = 80 días

Es evidente que la respuesta es equivocada.

Solución: Este problema lo puedes resolver planteándolo de la siguiente manera.

Determina cuántos días tardaría en hacer la obra un obrero y el resultado divídelo

por los 40 obreros que especifica el ejemplo.

Si 10 obreros tardan 20 días, 1 obrero tardará 200 días; observa que al disminuir el

número de obreros, el número de días se incrementa en la misma proporción.

Con este dato se puede ahora plantear una regla de tres, sin cometer errores, de la

siguiente manera:

Si 1 obrero tarda 200 días, es decir: 1:200 = 40:X, entonces, 40 obreros tardarán

(X):

𝑋 =200

40= 5 𝑑𝑖𝑎𝑠

40 Observa que a mayor número de obreros empleados, menor tiempo de

construcción.

BLOQUE 3

REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS

3.1 Representación de relaciones entre magnitudes

Introducción a las sucesiones numéricas

En cursos posteriores de matemáticas, como en el de cálculo diferencial e integral,

se aprecia la utilidad que tienen las sucesiones de números, de las que existen dos

tipos, las aritméticas y las geométricas.

A manera de introducción haremos mención a una nota histórica para destacar la

importancia de las sucesiones de números.

«Se dice que en su niñez, el destacado matemático Gauss era muy inquieto, por lo

que en una ocasión su profesor de matemáticas le pidió que sumara los números

del 1 al 100, con la intención de mantenerlo ocupado por un tiempo; sin embargo, y

casi de manera inmediata, Gauss dio su respuesta: la suma es 5050».

El maestro pidió al niño le explicara cómo había podido efectuar la suma de tantos

números tan rápidamente; éste contestó lo siguiente:

Sumé el primer número con el último y obtuve 101, esto es 1 con 100; sumé el

segundo número con el penúltimo y obtuve 101, esto es 2 con 99; sumé el tercer

número con el antepenúltimo y obtuve 101, esto es 3 con 98; y así sucesivamente

.

Figura 3.1

Gauss continuó con la explicación.

Todas las parejas formadas de esta manera, sumadas dan 101; como se pueden

formar 50 parejas, para obtener la suma sólo multipliqué 50 por101 obtuve 5050.

En las sucesiones o series, lo que se estudia es la forma de determinar cualquier

término de ella sin tener que desarrollarla en su totalidad y cómo obtener la suma

de algunos o todos los términos que la conforman de manera sencilla.

Por ejemplo, conocidos los primeros 6 términos de las sucesiones:

3,10,17,24,31,38... 2,6,18,54,162,486...

¿Cuál es el valor del término que ocupa la posición número 28?

¿Cuál es la suma de los primeros 28 términos?

La teoría de las sucesiones permite construir expresiones matemáticas con las que

101

101

1 2 3 4 5 … 96 97 98 99 100

101

101

fácil y rápidamente puedes responder las preguntas anteriormente planteadas sin

tener que escribir todos los términos hasta llegar al 28

Estas expresiones las obtendremos al desarrollar el tema de sucesiones aritméticas

y geométricas, empezando por la segunda definición.

Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos que se

obtienen mediante la aplicación de una “regla determinada”.

Sucesión lineal o aritmética

Si la «regla» establecida para obtener los términos de una sucesión consiste en

sumar, después del primer término, al precedente un número constante llamado

razón (r), la sucesión se llama lineal o aritmética.

Ejemplo

En estas sucesiones, los números constantes que se añaden son 2

3,5,7,9,11,13,... 6,10,14,18,22,...

La razón es 2 la razón es 4

Por lo que ambas son sucesiones lineales.

En forma genérica la sucesión lineal o aritmética se puede expresar como:

términos precedentes

𝑡1, 𝑡1 + 𝑟, 𝑡1 + 2𝑟, 𝑡1 + 3𝑟, 𝑡1 + 4𝑟,

Donde t identifica al primer término, r es la razón o cantidad que sumada al primer

término da el valor del segundo, cuya expresión es 𝒕𝟏 + 𝒓; el tercer término se

obtiene sumando la razón al término precedente, es decir, (𝒕𝟏 + 𝒓 ) + r, cuya

expresión es 𝑡1+ 2r. Los demás términos se determinan de la manera descrita.

Obtendremos a continuación la expresión que nos permitirá llegar al valor de

cualquier término de la sucesión lineal o aritmética, que se identifica como t y se le

llama término n-ésimo. Para obtener dicha expresión identificamos con «n» al

número del término, con «t» al primer término y con «r» a la razón.

Nos interesa expresar cualquier término de la sucesión en función del número del

término «n» y de la razón «r».

Cualquier término se expresa como 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑐𝑟, esto es:

Para el primer término, n = 1, la expresión de 𝑡𝑛 = 𝑡1.

Esto significa que c = 0 para que cr = 0, esto se logra sí hacemos que c = n —1, ya

que como n = 1 tenemos que c = 1- 1= 0.

Para el segundo término, n = 2, la expresión debe ser: 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑟.

Esto significa que c = 1 para que cr = 1, como n 2 y c =n -1 tenemos que

c = 2 - 1 = 1.

Para el tercer término, n = 3, la expresión debe ser: 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 2𝑟

Esto significa que c = 2 para que cr = 2r ; como n = 3 y c = n - 1, tenemos que

c = 3 - 1 = 2.

De manera que la expresión 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑐𝑟 escribe también así:

𝒕𝒏 = 𝒕𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓

ya que c = n-1

«El valor de cualquier término, identificado por t,,, se puede obtener si se conoce el valor del primer término (𝒕𝟏) y del número del término (n) y de la razón (r) ».

Ejemplo

Escribe al menos tres términos más de la siguiente sucesión lineal:

7,14,21,28,...

la razón (r) se obtiene restando el segundo término del primero r = 14-7 = 7

como r = 7 entonces tenemos 7,14,21,28, 35, 42, 49, ……….

Ejemplo

Determina cuál es el número del término de una sucesión lineal cuyo valor es el

máximo que se puede expresar con dos dígitos y cuanto el primer término es 1 y

la razón es 2.

Partiendo de nuestra fórmula:

El máximo valor que se puede expresar con dos dígitos es 99 entonces

𝒕𝒏 = 𝟗𝟗 𝒕𝟏 = 𝟏 𝒚 𝒓 = 𝟐

𝟗𝟗 = 𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝟐

99 = 1 + (n – 1)2

99 = 1 + 2n – 2

99 = 2n – 1

99 + 1 = 2n

100 = 2n

n = 50

Por lo que es el término 50 el que vale 99

La suma de «n» términos de una sucesión lineal o aritmética

Vamos a encontrar una expresión que nos permita obtener la suma de «n»

términos de una sucesión lineal o aritmética sin tener que realizar la suma de los

mismos.

Esta suma se puede representar así:

𝑆𝑛 = 𝑡1 + (𝑡1 + 𝑟) + (𝑡1 + 2𝑟) + ( 𝑡1 + 3𝑟) + (𝑡1 + 4𝑟) + ⋯ + [𝑡1 + (𝑛 − 1)𝑟]

Haciendo una serie de operaciones algebraicas tenemos que para calcular la suma

de “n” términos de una sucesión lineal o aritmética tenemos que:

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐(𝒕𝟏 + 𝒕𝒏)

Ejemplo

Obtén la suma de los 6 primeros términos de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27

Solución

Sabemos que 𝑡1 = 3 𝑡𝑛 = 𝑡6 = 23 𝑟 = 7 − 3 = 4 𝑛 = 6

Entonces sustituyendo en

𝑺𝒏 = 𝒏

𝟐(𝒕𝟏 + 𝒕𝒏)

Tenemos

𝑺𝟔 = 𝟔

𝟐(𝟑 + 𝟐𝟑) = 𝟑(𝟐𝟔) = 𝟕𝟖

Si sumamos

3+7+11+15+19+23 = 78

Sucesiones o progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados “términos”, en

la cual después del primer término los demás se obtienen al multiplicar los

precedentes por un número constante llamado razón o cociente común.

La sucesión de números 3, 6, 12, 24,... es una progresión geométrica porque cada

término después del primero se obtiene al multiplicar el precedente por un número

fijo llamado razón o cociente común, que en este caso es 2.

El segundo término, que es 6, se obtiene al multiplicar el precedente, que es 3, por

la razón, que es 2; el tercer término, que es 12, se obtiene al multiplicar el

precedente, que es 6, por la razón, que es 2 y así sucesivamente.

Nota que la razón se obtiene como el cociente que resulta de dividir cualquier

término por el precedente:

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜=

6

3= 2

𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜=

12

6= 2

𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜=

24

12= 2

Es por esta característica que la razón se llama cociente común.

La notación utilizada en las sucesiones o progresiones geométricas es la siguiente:

𝑡1 Identifica al primer término.

r Identifica a la razón o cociente común.

n Identifica al número del término.

𝑡𝑛 Identifica a cualquier término, llamado término n-ésimo.

Así que una sucesión o progresión geométrica puede representarse como:

𝒕𝟏, 𝒕𝟏𝒓, 𝒕𝟏𝒓𝟐, 𝒕𝟏𝒓𝟑, 𝒕𝟏𝒓𝟒 ….

Puesto que cada término, después del primero, se obtiene al multiplicar el

precedente por r.

¿Cuál es la expresión para el término n-ésimo?, es decir, aquella expresión que

permite obtener el valor de cualquier término de la progresión.

Recordemos que «n» es el número del término, de manera que en la progresión

hacemos la identificación siguiente:

Términos de la sucesión — 𝑡1, 𝑡1𝑟, 𝑡1𝑟2, 𝑡1𝑟3, 𝑡1𝑟4 ….

Número de término (n) —--- 1 2 3 4 5

Observa que cualquier término es el producto de 𝒕𝟏 por r elevada a un determinado

exponente, esto se obtiene utilizando la expresión (n - 1) como al exponente de r

El exponente de r del término número 1 es 0, Para n =1 el exponente es (1 - 1) = 0

El exponente de r del término número 2 es 1, Para n =2 el exponente es (2 - 1) = 1

El exponente de r del término número 3 es 2, Para n =3 el exponente es (3 - 1) =2

El exponente de r del término número 4 es 3, Para n =4 el exponente es (4 - 1) =3

De manera que cualquier término de la progresión, identificado como 𝒕𝒏 se escribe

como:

𝒕𝒏 = 𝒕𝟏𝒓𝒏−𝟏

El valor de cualquier término de una progresión geométrica (𝒕𝒏) se obtiene

conociendo el valor del primer término (𝒕𝟏) la razón r y obviamente el valor de n.

En la progresión geométrica 3, 9, 27, 81.....determinar el valor del término que ocupa

la posición 10.

Solución:

La razón es 9

3= 3

r = 3 𝑡1 = 3 n = 10

De manera que el valor del término que ocupa la posición número 10, se escribe

como 𝑡10 y se obtiene como se muestra a continuación:

𝒕𝒏 = 𝒕𝟏𝒓𝒏−𝟏

𝑡10 = 3(3)10−1

𝑡10 = 3(3)9

𝑡10 = 3(19 638) = 59049

La suma de «n» términos de la sucesión o progresión geométrica

Para obtener la suma de «n» términos de una progresión geométrica, sin tener que

desarrollar ésta, y sumar todos los términos, encontraremos una expresión que

permita realizar esta suma de manera sencilla.

Expresión que permite obtener la suma de “n” términos conociendo 𝒏, 𝒕𝟏 𝑦 𝒓 siempre

que r ≠ 𝟏

𝑺𝒏 =𝒕𝟏(𝟏 − 𝒓𝒏)

𝟏 − 𝒓

Ejemplo

Encontrar la suma de los primeros 8 términos de la progresión geométrica:

3, 6, 12, 24,...

Solución:

n=8

y la razón es 6

3= 2

r = 2

𝑡1= 3

Sustituyendo en la ecuación

𝑺𝒏 =𝒕𝟏(𝟏 − 𝒓𝒏)

𝟏 − 𝒓

𝑺𝟖 =𝟑(𝟏 − 𝟐𝟖)

𝟏 − 𝟐=

𝟑(𝟏 − 𝟐𝟓𝟔)

−𝟏=

𝟑(−𝟐𝟓𝟓)

−𝟏=

−𝟕𝟔𝟓

−𝟏= 𝟕𝟔𝟓

𝑺𝟖 = 𝟕𝟔𝟓

Resuelve lo siguiente.

1. Encuentra la suma de los 12 primeros términos de la sucesión 7, 11, 15, 19,

usando la expresión de la suma de «n» términos.

2. Encuentra el término 22 de la sucesión lineal 3, 6, 9, 12,...

3. Completa las siguientes sucesiones geométricas: 5, 20, 80, 320,... hasta el

término número 8 y cuál es la suma de estos ocho términos.

BLOQUE 4 TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I

4.1 Representación de relaciones entre magnitudes

Lenguaje matemático

Para estar en condiciones de poder construir un «modelo matemático» es

necesario conocer el lenguaje utilizado en esta disciplina.

El lenguaje matemático emplea los números reales, los signos matemáticos y las

literales.

Los números naturales y sus propiedades fueron estudiados en los bloques

anteriores, y en su explicación se usaron algunos signos matemáticos.

Consideramos de importancia que conozcas quién los creó y en qué época, además

de que recuerdes qué es lo que representa cada uno de ellos.

En la Tabla 4.1 se muestran algunos signos matemáticos que utilizamos

actualmente; éstos son el producto del pensamiento de grandes matemáticos a

través de muchos años de esfuerzo.

Signo Año y creador Representa

+,- 1489, John Widmann Suma y resta, positivo y negativo, respectivamente

√ 1525, Christoff Rudolf Radical

= 1557, Robert Recorde Igualdad

x 1631, William Oughtred Multiplicación

∙ Thomas Harriot Multiplicación

[ ] 1629, Albert Girard Agrupamiento

÷ 1659, Johann H. Rahn División

<,> 1631, Harriot Orden de los números: menor que, mayor que, respectivamente

x 1637, René Descartes Una incógnita o una variable

Tabla4.1

Uso de las literales

Un notable avance en el lenguaje matemático lo representó el hecho de usar letras

para representar números y/o conceptos. Fue Descartes, en el año de 1637, quien

utilizó las primeras letras del alfabeto para representar números conocidos,

llamados constantes, y las últimas letras para representar números desconocidos

denominados variables o incógnitas; así:

a, b, c, d... representan números conocidos o constantes.

x, y, z, w... representan variables o incógnitas.

También correspondió a Descartes utilizar dos o más letras juntas para indicar

multiplicación; así, tenemos que:

ab representa la multiplicación de a y b.

abc representa la multiplicación de a, b y c.

e(f +g) representa la multiplicación de e por la suma de f y g.

(a + b)(a + b) representa la multiplicación de la suma de a y b por la suma

de a y b.

A Descartes se debe también el uso de los exponentes tal como se conocen ahora.

a2 Representa el producto de a por a.

𝑥3 Representa el producto de x por x por x, es decir, x • x • x.

52 Representa el producto de 5 • 5.

Construcción de expresiones algebraicas a partir de enunciados

Con los signos, números y literales se construye una expresión algebraica. Esta

tiene su origen al enunciar un problema relacionado con una situación determinada

en el ámbito de la vida cotidiana o un problema relacionado con la actividad

académica.

Por lo general un problema o situación determinada se enuncia en lenguaje común

y lo que se pretende es encontrar la expresión algebraica que lo representa, es

decir, se hace una “traducción” del lenguaje común matemático. Si esta traducción

no se efectúa adecuadamente, la expresión algebraica resultante no representará

lo que se enuncia.

Ejemplo

El doble de un número es igual a la mitad de otro número más uno

2x = 𝑦

2 + 1

El triple de un número es igual que dos veces otro número menos dos

3x = 2y – 2

¿Qué es un término, un coeficiente, el grado de un término y términos

semejantes?

Término. Un término se define cuando números y/o letras están asociados por las

operaciones de multiplicación o división. Un solo número o una sola letra también

son términos.

Son ejemplos de términos: 6, a, 5ab, 3x2,—6yz,7√𝑐3, 9𝑐𝑑𝑧2

Observa que las literales pueden estar elevadas a exponentes enteros o expresadas

como radicales, que, como ya sabes, son exponentes fraccionarios.

Coeficiente. Cuando el término tiene una parte numérica y una literal como en:

5ab, 3x2

, —6yz, 3𝑤

2, -4ac, 7√𝑐3, 9𝑐𝑑𝑧2

a la parte numérica se le llama «coeficiente numérico»; así, tenemos que, para los

términos anteriores, los coeficientes son: 5, 3, —6, 3

2, —4, 7 y 9; sin embargo, en

ocasiones se reconocen coeficientes formados con números y letras. Por ejemplo,

7a, 7b y 7ab son coeficientes de este tipo.

Grado. En un término que contenga una o más literales elevadas a diversos

exponentes, se define como «grado del término» en una determinada literal al

exponente de ella. Por ejemplo, en los términos:

a) —3x2

y4. Es de segundo grado en x y de cuarto grado en y. El grado del término

es la suma de los exponentes de las literales que identifican variables (en nuestro

ejemplo x y y), de manera que el término es de sexto grado

b) 7abz3

w2

y4

. Es de tercer grado en z, de segundo grado en w y cuarto grado en

y; el término es de noveno grado.

Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando tienen las

mismas literales elevadas al mismo exponente; sólo pueden diferir en el coeficiente.

5𝑥2, 8𝑥2, 5𝑥3

solo los dos primeros términos son semejantes, el tercero no lo es.

Es importante identificar si en una expresión algebraica existen términos

semejantes, ya que éstos se pueden reducir a uno solo y, por consiguiente,

simplificar la expresión. Esto se aplicará cuando se estudien las operaciones de

suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas.

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es aquella que está formada por uno o varios términos

asociados por los signos de suma ( + ) o resta ( - ). Son ejemplos de expresiones

algebraicas:

a) 4b+5

b) 3ax-7by+6cz

c) x2-3x+5

d) 𝑦3- 2𝑦2 − 5𝑦 − 8

e) 6w

f) 1

2𝑥2𝑦 + 3𝑦2𝑥 − 2𝑥3𝑦2

g) 4𝑎𝑥 − 5𝑥2 + 3𝑦2 + 10𝑥2 − 6𝑦2 + 2𝑎𝑥

A las expresiones algebraicas, de acuerdo con el número de términos que tienen,

se les conoce como:

Monomios Cuando tienen un solo término: bx, c y, - 8, 4abx2

Binomios Cuando tienen dos términos: ax + b, x 2- Y, 46x - 6cy

Trinomios Cuando tienen tres términos: Ax+By+C, 6x2 - 4x+8, 3 a - 2b+6c

Un polinomio es cualquier expresión algebraica que consta de dos o más términos.

Los polinomios que con más frecuencia se utilizan en matemáticas son aquellos

constituidos por términos donde existe la misma variable elevada a diferentes

exponentes. Por lo general, estos términos se ordenan de acuerdo con las potencias

descendentes de la variable.

Polinomio En la variable Comúnmente llamado

2𝑥 − 5 x Binomio

𝑥3 − 5𝑥 + 5 x Trinomio

𝑎𝑧3 + 3𝑎𝑧2 − 6𝑎𝑧 + 5𝑎 z Polinomio

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 x Trinomio

6𝑦2 − 3𝑦3 + 2𝑦2 − 5𝑦 + 1 y Polinomio

Operaciones de suma, resta y multiplicación de expresiones algebraicas

Suma de polinomios

Para llevar a cabo estas operaciones es conveniente ordenar los polinomios de

acuerdo con las potencias descendentes de la variable y escribirlos uno a

continuación del otro en forma horizontal, o bien, de forma vertical uno abajo del

otro.

Cuando se utiliza la forma horizontal se deben usar adecuadamente los signos de

agrupación (paréntesis circulares o rectangulares) para presentar la operación.

Después de esto se deben identificar los términos semejantes, escribirlos juntos y

reducirlos; el resultado de la suma de los polinomios son los términos

semejantes reducidos.

Cuando los polinomios se escriben en forma vertical, primero se deben ordenar

ambos de acuerdo con las potencias descendentes de la variable, de manera que

los términos semejantes queden en las mismas columnas; se traza una línea

horizontal después del último polinomio y se reducen los términos semejantes; éstos

constituyen el resultado de la suma

¿Cómo reducir o simplificar términos semejantes?

La reducción o simplificación de términos semejantes consiste en sumar los

coeficientes de todos ellos para formar un solo término resultante que tenga como

coeficiente esa suma y como parte literal la misma que aparece en cada término.

Ejemplo

Reducir los términos semejantes del polinomio:

4𝑎𝑥 − 5𝑥2 + 3𝑦2 + 10𝑥2 − 6𝑦2 + 2𝑎𝑥

Solución: Al ordenar los términos semejantes para que aparezcan juntos tenemos:

4𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥 − 5𝑥2 + 10𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑦2

Los términos semejantes se reducen sumando los coeficientes y conservando la

parte literal. La expresión original se reduce a:

6𝑎𝑥 + 5𝑥2 − 3𝑦2

Con base en el ejemplo anterior reduce los términos semejantes de los

siguientes polinomios.

a) 7ax3+5bx2

+8ax2

-9bx3+3x-9+8x

b) 9y4

-6x2 +3y3 -8y+9—10y4 -3x2 +5y3 +3y— 15

En el siguiente ejemplo se presenta la suma en forma horizontal y vertical

Sumar los polinomios: 5𝑧3 + 3𝑧 − 2𝑧2 + 8 𝑦 − 7𝑧2 + 5𝑧 − 3𝑧3 − 10

Forma horizontal

Usando paréntesis

(5𝑧3 + 3𝑧 − 2𝑧2 + 8) + (−7𝑧2 + 5𝑧 − 3𝑧3 − 10)

Agrupando términos semejantes

(5𝑧3 − 3𝑧3) + (−2𝑧2 − 7𝑧2) + (+3𝑧 + 5𝑧) + (8 − 10)

Reduciendo tenemos

(2𝑧3) + (−9𝑧2) + (+8𝑧) + (−2)

o bien

2𝑧3 −9𝑧2 + 8𝑧 − 2

Forma vertical

Ordenando los polinomios de acuerdo con las potencias descendientes de z. Se

escribe uno bajo el otro de manera que los términos semejantes aparezcan en una

misma columna; se traza una línea horizontal y se reducen los términos semejantes.

El resultado se escribe bajo la línea.

( 5𝑧3

−3𝑧3) + (−2𝑧2

−7𝑧2) + (+3𝑧+5𝑧

) + (8

−10)

____________________________

2𝑧3 −9𝑧2 + 8𝑧 − 2

Resta de polinomios

Recordemos que la resta de dos números reales a y b, que se expresa como:

a - b, se puede escribir como una suma de la siguiente forma: a + (—b)

Si consideramos que a y b representan polinomios, entonces definimos que la

resta de polinomios se efectúa como una suma, si los términos del polinomio

identificado como b se les hace preceder del signo negativo, esto es, que se

multiplican por el signo negativo. En otras palabras, la resta de los polinomios a en

una suma, al considerar el inverso aditivo de b, que se expresa como —b.

Ejemplo

Restar del polinomio (2x 3

+ 3x2 - 6) el polinomio (-2x 4 + 3x3 - 5x2 - 2x + 8).

Solución: Si identificamos a estos polinomios como a y b, respectivamente, y

planteamos la operación como una resta, tenemos:

(2𝑥3 + 3𝑥2 − 6) − (−2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 + 8)

Al plantear la operación como una suma tenemos:

(2𝑥3 + 3𝑥2 − 6) + [−(−2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 + 8)]

Es decir 𝑎 + (−𝑏)

Cambiamos de signo la el segundo polinomio y agrupamos

(2𝑥3 + 3𝑥2 − 6) + [(2𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8)]

2𝑥4 + (2𝑥3 − 3𝑥3) + (3𝑥2 + 5𝑥2) + 2𝑥 + (−6 − 8)

2𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 + 2𝑥 − 14

Efectuando la suma en forma vertical

0𝑥4 + 2𝑥3 + 3𝑥2 + 0𝑥 − 6

2𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8

___________________________

2𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 + 2𝑥 − 14

Nota. Observa que construimos los términos 𝑥4 𝑦 𝑥 del primer polinomio usando el

coeficiente cero, esto con la finalidad de que en las columnas formadas queden

términos semejantes.

Multiplicación de monomios, binomios y polinomios

Multiplicación de monomios

El producto de dos monomios se obtiene multiplicando entre sí los coeficientes y las

variables; en el caso de estas últimas se aplican las leyes de los exponentes

correspondientes al producto.

Ejemplo

−2𝑥2 ∗ 7𝑥3 = −14𝑥5

Multiplicación de un monomio por un binomio

En la multiplicación de un monomio por un binomio utilizamos la propiedad

distributiva de los números reales y lo mencionado anteriormente para el producto

de monomios. Recuerda que 𝒂(𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄

Ejemplo

5𝑧(2𝑧 − 4) = (5𝑧)(2𝑧) + (5𝑧)(−4) = 10𝑧2 − 20𝑧

2𝑥(𝑥2 − 3𝑥 + 8) = 2𝑥3 − 6𝑥2 + 16𝑥

Multiplicación de dos binomios

La multiplicación de dos binomios expresados por (x + a) y (x + b) se puede realizar

como el producto de un monomio por un binomio si consideramos por ejemplo a (x

+ a) como un monomio y aplicamos la propiedad distributiva.

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = (𝑥 + 𝑎)[𝑥 + 𝑏] = (𝑥 + 𝑎)𝑥 + (𝑥 + 𝑎)𝑏 = 𝑥(𝑥 + 𝑎) + 𝑏(𝑥 + 𝑎)

= 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏

= 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

de manera que:

(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃

Ejemplo

Multiplicar (2𝑥 − 8)(−3𝑥 + 5)

Considerando a (2𝑥 − 8) como un monomio y aplicando la propiedad distributiva

(2𝑥 − 8)(−3𝑥 + 5) = (2𝑥 − 8)(−3𝑥) + (2𝑥 − 8)(5)

= −6𝑥2 + 24𝑥 + 10𝑥 − 40

= −6𝑥2 + 34𝑥 − 40

Multiplicación de polinomios

Esta operación se efectúa multiplicando cada término de un polinomio por cada uno

de los términos del otro, después se agrupan los términos semejantes y se reducen

para obtener el resultado.

A continuación mencionamos el procedimiento para efectuar este tipo de

multiplicaciones:

1. Se identifican los polinomios como multiplicando y multiplicador y se ordenan

ambos de acuerdo con las potencias descendentes o ascendentes de la

variable. Escribe el multiplicando y, abajo de éste, el multiplicador.

2. Cuando no aparezca un término en determinada potencia de la variable, éste

deberá presentarse usando al cero como coeficiente.

3. Se multiplica el primer término del multiplicador por cada término del

multiplicando, y se escribe el resultado en el renglón abajo de la línea

horizontal trazada después del multiplicador.

4. Se multiplica el segundo término del multiplicador por cada término del

multiplicando, y se escribe el resultado abajo del renglón obtenido en el paso

anterior, teniendo cuidado de recorrerse un lugar a la derecha con el

propósito de que los términos semejantes queden en columnas.

5. Se continúa el proceso hasta llegar al último renglón que corresponde al

producto del último término del multiplicador por los términos del

multiplicando.

6. Se traza otra línea horizontal y abajo de ella se escriben los resultados

obtenidos al reducir los términos semejantes.

Ejemplo

Multiplicar 4x2 - 6x3

+ 8x por —3x - 5.

Solución: Identificamos al primer polinomio como multiplicando y al otro como

multiplicador.

Al ordenar los polinomios y plantear la operación tenemos:

- 6x 3 + 4x 2

+ 8x multiplicando —3x —5 multiplicador

Multiplicamos el primer término del multiplicador por cada término del multiplicando,

y escribimos el resultado en el renglón bajo la línea horizontal.

—6x3 + 4x2

+ 8x

—3x —5

___________________

18x4

—12x3

-24x2

Multiplicamos el segundo término del multiplicador por cada término del

multiplicando, y escribimos el resultado bajo el renglón anterior, pero lo

desplazamos un lugar a la derecha para que los términos se- mejantes coincidan

en las columnas formadas.

Finalmente, al no existir otro término en el multiplicador, trazamos otra línea

horizontal y reducimos términos semejantes.

- 6x3 + 4x2

+ 8x

- 3x - 5

___________________

18x4

-12x3

- 24x2

30x3

- 20x2

- 40x

______________________

18x4

+ 18x 3

- 44x 2

- 40x

Productos notables

Los productos notables son multiplicaciones de cierto tipo de polinomios que tienen

expresiones características que los identifican y que permiten obtener el resultado

en forma mecanizada, es decir, sin efectuar el producto como se explicó en páginas

anteriores.

En este bloque estudiaremos los siguientes productos notables:

El producto de dos binomios iguales, representados por (x + a)(x + a), o bien,

(x + a)2 , al que se conoce como un «binomio elevado al cuadrado».

El producto de dos binomios cuyos términos son iguales excepto en el que

uno de ellos es una suma y el otro una resta, representados por:

(x + a)(x - a). Este producto notable es conocido como «binomios

conjugados».

El producto de dos binomios que tienen un término semejante en la variable

por lo general representa- dos por (x + a)(x + b), al que se conoce como

«binomio con un término común en la variable».

Producto de dos binomios iguales que se expresa como:

(x + a) (x + a) = (x + a) 2

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el

doble del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del

segundo término.

(𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Ejemplo

(2x + 6)(2x + 6) = (2x + 6) 2

El resultado es una expresión cuadrática cuyos términos se obtienen:

a) elevando al cuadrado el primer término:

b) duplicando el producto entre los términos:

c) elevando al cuadrado el segundo término:

(2𝑥 + 6)2 = (2𝑥)2 + 2(2𝑥)(6) + (6)2

= 4𝑥2 + 24𝑥 + 36

Producto de binomios de la forma (x - a)(x + a), conocidos como binomios

conjugados.

El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término,

menos el cuadrado del segundo.

(𝒙 − 𝒂)(𝒙 + 𝒂) = 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐

Ejemplo

Efectuar el producto: (x + 7)(x – 7)

(𝒙 + 𝟕)(𝒙 − 𝟕) = (𝒙)𝟐 − (𝟕)𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝟗

Producto de binomios de la forma (x + a) (x + b), identificados como binomios

con término común en la variable

El producto de binomios con término común es igual al cuadrado del término

común, más el término común por la suma de los no comunes, mas el

producto de los no comunes

(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃

Ejemplo

Efectuar el producto (x – 8)(x – 3)

De acuerdo a la definición

(𝑥 − 8)(𝑥 − 3) = (𝑥)2 + (−8 − 3)𝑥 + (−8)(−3)

= 𝑥2 − 11𝑥 + 24

Factorización de polinomios

Presentamos el tema de factorización de polinomios empezando por recordar la

factorización de «números compuestos», para comprender en qué consiste el

proceso de factorizar y aplicarlo a la factorización de expresiones algebraicas y

estudiar posteriormente la factorización de:

•Monomios

• Polinomios cuyos términos tienen factor común

• Trinomios cuadrados perfectos

•Trinomios de la forma 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 y

• Diferencia de cuadrados

Recordando a los números primos y compuestos

Cuando estudiamos los números reales definimos al número primo como aquel que

sólo puede ser expresado como el producto de sí mismo por la unidad. Esta

representación es llamada forma trivial.

Por ejemplo:

3 es número primo porque sólo se puede expresar como: 3 • 1

5 es número primo porque sólo se puede expresar como: 5 • 1

11es número primo porque sólo se puede expresar como: 11 • 1

También expresamos que el número compuesto es aquel que puede ser

representado como el producto de dos o más números, además de la forma trivial.

Por ejemplo:

6 es un número compuesto porque se puede representar como: 3 • 2

8 es un número compuesto porque se puede representar como: 4 • 2 ó 2 •

2 •

2

16 es un número compuesto porque se puede representar como: 8 • 2 ó 4 • 4 ó

2• 2 • 2 •

2

28 es un número compuesto porque se puede representar como: 14•2 ó 7•4 ó

7•2•2

Factorizar un número compuesto es representarlo como el producto de dos o más

números a los que llamamos factores. Algunos números compuestos pueden ser

expresados como el producto de factores de varias maneras, como es el caso del

número 28, esta descomposición de factores en la que todos ellos son números

primos es la que por lo general se utiliza en las operaciones algebraicas.

Factorizar polinomios es representarlos como el producto de dos o más

expresiones que se constituyen en sus factores.

Factorización de monomios

La factorización más sencilla es la de un monomio, y consiste en expresar su parte

numérica como el producto de sus factores primos.

Por ejemplo:

10𝑥2 = 5 • 2𝑥2

9𝑥5 = 3 • 3𝑥5

Se considera que la factorización es la adecuada cuando los factores numéricos

son números primos elevados al exponente que les corresponda.

Recordemos que el producto 3(x+5) se efectúa aplicando la propiedad distributiva

de los números reales.

3(x+5)=3x +15

Expresada en esta última forma podemos interpretarla como que el polinomio 3x +

15 se ha representado como el producto de los factores 3 y (x + 5), es decir, que ha

sido factorizado, esto es, «la operación de representar expresiones algebraicas

o polinomios como el producto de factores se llama factorización».

Factorización de polinomios con factores comunes

El procedimiento para factorizar polinomios cuyos términos tienen factor o factores

comunes es el siguiente.

Primero se deben representar los términos como el producto de sus factores primos;

después identificar el o los factores comunes a todos ellos, sean numéricos o

literales; los factores comunes constituyen uno de los factores del polinomio y el otro

factor será aquella expresión cuyos términos, al ser multiplicados por el factor

común, den como resultado los términos del polinomio que se factoriza.

Factorizar 3x + 15.

Solución: Los términos se representan como el producto de sus factores primos.

3x + 15 = 3x + 3 • 5 = 3(x + 5)

El único factor común es el número 3.

De manera que (3) es un factor del polinomio.

El otro factor es (x + 5) por ser la expresión que multiplicada por 3 da la expresión

a factorizar.

Si al descomponer en factores la parte numérica de los términos del polinomio

aparecen varios factores elevados a diferentes exponentes, los factores comunes

se forman con los de menor exponente; de las literales que aparezcan elevadas a

diferentes exponentes también los factores comunes se forman con las de menor

exponente.

Ejemplo

Factorizar 25𝑥2𝑦3𝑧 + 35𝑥3𝑦𝑧2 − 10𝑥2𝑦2𝑧2

Solución: Expresando los coeficientes como factores primos:

52𝑥2𝑦3𝑧 + 7 • 5𝑥3𝑦𝑧2 − 5 • 2𝑥2𝑦2𝑧2

el único factor común es 51, que es el menor exponente de 5

las variables x, y, z aparecen en todos los términos, de manera que son factores

comunes y sus menores exponentes son: 𝑥2, 𝑦, 𝑧. Por lo que el factor común es

5𝑥2𝑦𝑧

El otro factor es aquella expresión que multiplicada por el factor común da como

resultado los términos del polinomio a factorizar; y resulta ser:

(5𝑦2 + 7𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧).

La factorización del polinomio es:

𝟐𝟓𝒙𝟐𝒚𝟑𝒛 + 𝟑𝟓𝒙𝟑𝒚𝒛𝟐 − 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟐𝒛𝟐 = 𝟓𝒙𝟐𝒚𝒛(𝟓𝒚𝟐 + 𝟕𝒙𝒛 − 𝟐𝒚𝒛)

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Recuerda que en el tema de productos notables se dijo que al elevar un binomio al

cuadrado se obtiene un trinomio cuadrado perfecto; es de esperarse entonces que

un trinomio cuadrado perfecto se represente como un binomio elevado al cuadrado,

por lo que «la factorización de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio

elevado al cuadrado». Anteriormente se demostró que:

(x + a)2 = x2 + 2ax + a2, lo que se puede escribir como:

X2 + 2ax + a2 = (x + a)2 = (x + a)(x +a) Al analizar esta expresión se confirma que un trinomio cuadrado perfecto es igual al producto de dos binomios iguales. El procedimiento para factorizar trinomios cuadrados perfectos consiste en comprobar primero que el trinomio es cuadrado perfecto.

Analizando el trinomio 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2, se establece que:

• Existen dos términos que son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada

exacta; éstos son 𝑥2 𝑦 𝑎2 :

√𝑥2 = 𝑥 𝑦 √𝑎2 = 𝑎

• Tiene un término que es el doble producto de las raíces de los cuadrados

perfectos: 2(𝑥)(𝑎) = 2𝑎𝑥

• Cumplido lo anterior, la factorización es un binomio elevado al cuadrado cuyos

términos son las raíces de los cuadrados perfectos.

𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒃)𝟐

Factorización de polinomios de la forma:

𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔

Este tipo de expresiones son comúnmente llamadas “expresiones cuadráticas”. En

estas el término que contiene a la variable elevada al cuadrado tiene coeficiente

unitario.

En el tema de productos notables obtuvimos que:

(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃

Que puede escribirse como:

𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)

Esta factorización se aplica a expresiones cuadráticas que cumplen con lo siguiente:

1. El coeficiente del término en la variable al cuadrado es la unidad.

2. Tiene un término en la variable al cuadrado que es un cuadrado perfecto, esto

es, tiene raíz exacta √𝑥2 = 𝑥 .

3. Tiene un término en la variable a la primera potencia, también llamado lineal.

4. Tiene un término, generalmente numérico, conocido como término independiente,

que se puede representar como el producto de dos números.

Procedimiento para efectuar la factorización

Al analizarla la igualdad observamos que la expresión cuadrática (que se encuentra

al lado izquierdo del signo de igual) se factoriza como el producto de dos binomios

que tienen un término idéntico: (x + a) y (x + b), el término idéntico en los binomios

está representado por x.

Los términos de los binomios (x + a) y (x + b) se construyen de la siguiente manera:

a) El término idéntico se obtiene al extraerle raíz al término de la expresión

cuadrática que es un cuadrado perfecto, esto es: √𝑥2 = 𝑥

b) Para obtener a y b analizamos la expresión cuadrática por factorizar;

𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 en ésta se observa que a por b es igual al término

independiente, y que (a + b) es igual al coeficiente del término «lineal».

c) Para encontrar los valores de a y b descomponemos en dos factores el término

independiente: si la suma de estos factores es igual al coeficiente del término lineal

habremos determinado los valores correctos de a y b.

d) Cuando el término independiente es positivo, los factores a y b tendrán signos

iguales; cuando es negativo, los factores tendrán signos opuestos. La asignación

correcta de valores y signos para a y b dependen del coeficiente del término lineal.

En algunos casos será necesario hacer varias factorizaciones del término

independiente antes de encontrar los valores de a y b. Cuando no existan dos

números enteros que satisfagan la condición enunciada en el inciso b debemos

concluir que la expresión no es factorizable.

Ejemplo

Factorizar la expresión cuadrática 𝑥2 − 5𝑥 − 24

Solución: Se puede aplicar el producto notable porque la expresión tiene:

Un término en la variable al cuadrado que posee raíz cuadrada exacta:

Un término lineal en la variable:

Un término numérico:

Ahora bien

√𝑥2 = 𝑥

Luego buscamos dos números que sumados de -5 y multiplicados de -24; como el

resultado de la multiplicación es negativa, uno de los dos números es negativo

(a + b) = -5 y ab = -24

a = -8 y b = 3

Entonces:

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐𝟒 = (𝒙 − 𝟖)(𝒙 + 𝟑)

BLOQUE 5 TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II

5.1 Representación de relaciones entre magnitudes

Producto notable de binomios de la forma (ax + b) (cx + d), donde a y c no

pueden ser simultáneamente iguales a la unidad

Este tipo de binomios tienen dos términos semejantes en la variable: ax y cx; y dos

términos independientes: b y d. Al obtener el producto de estos binomios tenemos:

ax + b

cx + d

________

Acx2 +bcx + adx + bd

___________________

Acx2 + adx + bcx + bd

Como adx y bcx son términos semejantes se pueden escribir como: (ad+bc)x

De esta forma, tenemos que: (ax + b) (cx + d) = acx2 + ( ad + bc)x + bd

Observa que:

1. Los binomios que se multiplican tienen dos términos semejantes en la variable

cuyos coeficientes no son, simultáneamente, iguales a uno, y dos términos

independientes generalmente numéricos.

2. Los binomios están ordenados: los primeros términos son los que contienen a la

variable, y los segundos son el término independiente. Al analizar la expresión

anterior, establecemos una mecánica operativa para obtener el producto, que es un

trinomio cuyos términos se obtienen de la siguiente manera:

Ejemplo

Multiplicar (5x - 7) (3x + 2) utilizando el producto notable.

Solución: Los binomios tienen términos semejantes en la variable x: 5x y 3x y

términos independientes ( -7 ) y ( 2 )

El resultado es un trinomio cuyos términos se obtienen:

multiplicando los términos semejantes: (5x) (3x) = 15𝒙𝟐

multiplicando los términos independientes: (-7) (2) = —14

sumando el producto de los términos que se encuentran en los extremos y

en los medios

El producto de los extremos es: (5x)(2) = 10x

El producto de los medios es: (-7)(3x) = -21x

La suma es: (10x -21x) = -11x

De manera que: (5x-7)(3x+2)= 15𝒙𝟐 —11x— 14

Factorización de expresiones cuadráticas del tipo:

𝒂𝒄𝒙𝟐 + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒙 + 𝒃𝒅 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒚 𝒅 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒚 𝒂𝒄 ≠ 𝟏

Al estudiar el producto notable (ax + b) (cx + d) obtuvimos que:

(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd o bien, presentada de la siguiente forma:

acx2 + (ad +bc)x + bd = (ax+b)(cx+d) ecuación A

Identificamos que una expresión cuadrática es de este tipo cuando:

La interpretamos como una expresión cuadrática que se representa como el

producto de dos factores binomios (ax + b) y (cx + d)

1. Tiene un término de segundo grado y otro de primer grado en la misma variable,

que son:

acx2 y (ad + bc)x

2. Tiene un término independiente: bd

3. El coeficiente del término de segundo grado es diferente de 1, es decir, ac≠1

Analizando A observamos que la expresión cuadrática es igual al producto de

(ax + b) y (cx + d) que son sus factores

Estos binomios factores quedan definidos cuando se conocen los valores de a, b, c

y d.

Para encontrar estos valores analizamos la expresión por factorizar

acx2 + (ad + bc)x + bd y establecemos que:

a) a • c es igual al coeficiente del término de segundo grado o cuadrático

b) b • d. es igual al término independiente

c) La suma de los productos ad + bc es igual al coeficiente del término de primer

grado o término lineal.

¿Cómo conocer los valores de a, b, c y d?

Conocemos el coeficiente del término cuadrático, que es igual a a • c y el término

independiente, que es igual a b • d.

Al expresar el coeficiente del término cuadrático como el producto de dos números

le asignamos los valores de a y c, de igual manera; expresamos el término

independiente como el producto de dos números y le asignamos los valores de b y

d. Debemos comprobar que la asignación de valores realizada sea correcta

utilizando la expresión (ad+ bc), que de acuerdo con lo antes mencionado debe ser

igual al coeficiente del término lineal, esto es ad + bc = coeficiente del término

lineal, de no satisfacer la expresión los valores que se le asignaron a a, b,c y d, no

son correctos.

Cuando el término independiente bd o el coeficiente del término cuadrático ac se

pueden descomponer en diferentes parejas de números, es posible que se tengan

que hacer varios «tanteos» antes de encontrar los valores de a, b, c y d.

Se debe tener en cuenta que si el término independiente o el coeficiente del término

cuadrático tienen signos positivos, las parejas de números tendrán signos iguales;

si tienen signos negativos, las parejas de números tendrán signos opuestos.

Si no hay valores enteros para a, b, c y d que satisfagan la condición c),

concluiremos que la expresión no es factorizable.

Ejemplo

Factorizar 3𝑥2 − 13𝑥 − 10

Solución:

Si tenemos que:

𝒂𝒄𝒙𝟐 + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒙 + 𝒃𝒅 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 − 𝟏𝟎

Entonces ac = 3, bd = -10 y (ad +bc) = -13

Como a • c = 3 le asignando valores a = 3 y c = 1

Como b • d= —10 asignando valores b = 2 y d = -5

Si se cumple la condición (ad +bc) = -13 serán los valores correctos

(3)(-5) + (2)(1) = -15 + 2 = -13

Por lo que los binomios son (3x + 2)(x - 5), esto es:

3𝑥2 − 13𝑥 − 10 = (3𝑥 + 2)(𝑥 − 5)

División de expresiones algebraicas

División de monomios

Identificamos a dos monomios con las letras A y B; así, tenemos que:

La división de A entre B se expresa como: 𝐴 ÷ 𝐵; o bien, 𝐴

𝐵

La división 𝐴 ÷ 𝐵 es equivalente a la multiplicación de A por el recíproco de B, que

se expresa como 1

B de manera que 𝐴 ÷ 𝐵 = A •

1

B, siempre que B sea diferente de

cero (B ≠ 0).

Recuerda que en la división de monomios y de polinomios se utilizan las siguientes

leyes de los exponentes:

a) 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑠𝑖 𝑚 > 𝑛 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑥5

𝑥2 = 𝑥5−2 = 𝑥3

b) 𝑎𝑚

𝑎𝑛 =1

𝑎𝑛−𝑚 𝑠𝑖 𝑛 > 𝑚 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑤5

𝑤9 =1

𝑤9−5 =1

𝑤4

c) 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 1 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑥3

𝑥3 = 1

d (𝑎

𝑏)𝑚 =

𝑎𝑚

𝑎𝑚 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 (𝑧

𝑥)2 =

𝑧2

𝑥2

En lo antes mencionado se basa la división de monomios; para realizarla debemos

expresar la parte numérica de los monomios como factores primos elevados al

exponente que les corresponda y aplicar la ley de los exponentes correspondiente.

Ejemplo

Efectuar la división (45𝑦4𝑤5)(30𝑦2𝑤)

Solución:

Presentada como una multiplicación tenemos:

Al factorizar la parte numérica y aplicar las leyes de los exponentes

correspondientes, tenemos:

45𝑦4𝑤5 •1

30𝑦2𝑤

Expresando la parte numérica como el producto de factores primos

45𝑦4𝑤5

30𝑦2𝑤=

32 • 5𝑦4𝑤5

3 • 2 • 5𝑦2𝑤=

32−1 • 51−1𝑦4−2𝑤5−1

2=

3𝑦2𝑤4

2

División de un polinomio por un monomio

Representemos a un polinomio de varios términos como A + B + C y con D a un

monomio, de manera que podemos expresar la división como sigue:

(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) ÷ (𝐷) = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶) •1

𝐷=

𝐴

𝐷+

𝐵

𝐷+

𝐶

𝐷 𝑐𝑜𝑛 𝐷 ≠ 0

Con base en la expresión anterior podemos decir que para dividir un polinomio por

un monomio dividimos cada término del polinomio por el monomio y se suman los

resultados obtenidos.

Ejemplo

Dividir 10𝑥3 − 25𝑥4 + 35𝑥 𝑝𝑜𝑟 5𝑥2

De acuerdo a la definición tenemos que:

(10𝑥3 − 25𝑥4 + 35𝑥) ÷ (5𝑥2) = (10𝑥3 − 25𝑥4 + 35𝑥) •1

(5𝑥2)=

10𝑥3

5𝑥2−

25𝑥4

5𝑥2+

35𝑥

5𝑥2

=𝟓 • 2

𝟓𝒙𝟑−𝟐 −

𝟓𝟐

𝟓𝒙𝟒−𝟐 +

𝟕 • 5

𝟓𝒙𝟏−𝟐

= 𝟐𝒙 − 𝟓𝒙𝟐 +𝟕

𝒙

División de polinomios

La división de polinomios sigue el mismo principio que la división de números; por

esto, y con fines comparativos, presentamos y analizamos una división numérica

para que, basados en ella, establezcamos el procedimiento para dividir polinomios.

En la división numérica 113 ÷ 2

Identificamos a: 113 como el dividendo y a 2 como el divisor

1. Para obtener el primer dígito del cociente se divide 11 entre 2, que es 5 (solo

se considera la parte entera)

5

2 113

2. Después se multiplica el primer dígito del cociente por el divisor y se resta de los

primeros dos dígitos del dividendo el producto; este producto es 10 y restarlo del

dividendo es equivalente a cambiarle signo al mismo.

5

2 113

-10

13

3. Observa que se obtiene 13 como nuevo residuo; al ser mayor éste que el divisor,

se continúa la operación y se encuentra un nuevo dígito del cociente; para esto se

considera al residuo como el nuevo dividendo y se procede como en los pasos

anteriores. Como 13 ÷ 2 es igual a 6, éste es el segundo dígito del cociente, el que

se multiplica por el divisor y cuyo resultado se resta del nuevo dividendo; el resultado

del producto es 12, y restarlo del nuevo dividendo equivale a cambiarle de signo.

56

2 113

-10

13

-12

1

4. El residuo es ahora 1, y al ser menor que el divisor, la división termina.

5. Comprobación. Recuerda que la división se comprueba mediante la expresión:

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟= 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛

Dividendo = Cociente • Divisor + Residuo

113 = 56 • 2 + 1

De manera similar se efectúa la división entre polinomios; a continuación se

menciona el procedimiento que se utiliza para realizar la división.

1. Se identifican dividendo y divisor y se ordenan de acuerdo con las potencias

descendentes de la misma variable; cuando no exista un término en

determinada potencia de la variable, éste deberá presentarse usando el cero

como su coeficiente.

2. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor

para obtener el primer término del cociente (equivalente a obtener el primer

dígito de la división numérica). 3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del

dividendo el producto (es el equivalente a restarle 10 a 11 en la división

numérica).

4. Si el residuo tiene un término cuyo grado es mayor o igual que el término de

mayor grado del divisor, se repiten los pasos 1, 2 y 3 hasta lograr que el

residuo tenga un grado menor que el del divisor; al ocurrir esto la división

termina.

5. En caso de que el residuo sea cero, entonces el cociente y el divisor son

factores del dividendo. Esto se ilustra mediante la expresión:

Dividendo = cociente • divisor + residuo

Si el residuo es cero la expresión es:

Dividendo = cociente • divisor

Esto significa que el polinomio identificado como el dividendo ha sido expresado

como el producto de dos factores: uno es el cociente y el otro el divisor.

Ejemplo A:

Dividir 𝟔𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 𝒑𝒐𝒓 𝟐𝒙 − 𝟑

Solución: Observa que dividendo y divisor se encuentran ordenados de acuerdo con las potencias

descendentes de «x».

Obtenemos el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término

del divisor, es decir:

6𝑥3

2𝑥= 3𝑥2

3x2

2x-3 6x3 -3x2 +7x -10

Multiplicamos el primer término del cociente por todos los términos del divisor y restamos del dividendo este

producto:

2x-3 Divisor

Por 3x2 Primer término del cociente

6x3 -9x2

Restar del dividendo este producto es equivalente a sumarle los inversos aditivos de: 6x3 y -9x2

,, que resultan

ser -6x3 y 9x2

Al presentar la operación y simplificar términos semejantes tenemos:

3x2

2x-3 6x3 -3x2 +7x -10

-6x3+9x2

6x2 +7x-10

Al ser mayor el grado del residuo que el grado del divisor, la operación continúa y se considera como nuevo

dividendo a: 6x2+7x-10.

Obtenemos el segundo término del cociente dividiendo el primer término del nuevo dividendo entre el primer

término del divisor, es decir:

3x2 +3x

6𝑥2

2𝑥= 3𝑥 2x-3 6x3 -3x2 +7x -10

-6x3+9x2

6x2 +7x-10

Multiplicamos el segundo término del cociente por todos los términos del divisor y restamos del nuevo

dividendo este producto:

2x-3 Divisor

Por 3x Segundo término del cociente

6x2 -9x

Restar este producto al nuevo dividendo es equivalente a sumarle su inverso aditivo, que es: -6x2 + 9x.

De manera que:

3x2+3x

2x-3 6x3 -3x2 +7x -10

-6x3+9x2

6x2 +7x-10

-6x2 +9x

16x-10

La operación continúa por ser igual el grado del nuevo dividendo que el del divisor. El tercer término del cociente es:

3x2+3x +8 16𝑥

2𝑥= 8 2x-3 6x3 -3x2+7x -10

-6x3+9x2

6x2 +7x-10

-6x2 +9x

16x-10

Multiplicamos el tercer término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo este producto:

2x-3

Por 8

16x2-24

Restar del nuevo dividendo este producto es equivalente a sumar los inversos aditivos, los que resultan ser: -

16x y 24

3x2+3x +8

2x-3 6x3 -3x2+7x -10

Observa que estos

términos se anulan si

realizas bien las

operaciones

-6x3+9x2 El que se anulen los

términos significan

que son correctos los

cocientes obtenidos

6x2 +7x-10

-6x2 +9x

16x-10

-16x+24

14

Como el grado del residuo es menor que el grado del divisor, la operación termina. También decimos que la

operación se da por concluida puesto que el residuo es numérico.

Comprobamos si la división se realizó correctamente utilizando la misma expresión que se usa en la

comprobación de la división numérica.

Dividendo = divisor• cociente + residuo

Al multiplicar cociente por divisor:

3x2+3x+8

Por 2x-3

6x3+6x2+16x

-9x2 - 9x -24

6x3+3x2 +7x -24

Al sumar a este producto el residuo debemos obtener el dividendo:

(6𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 24) + 14 = 6𝑥3 − 3𝑥2 − 7𝑥 − 24 + 14

= 6𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 10

Al comprobarse lo anterior, decimos que la división es correcta

Ejemplo B:

Dividir 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟒 − 𝟓𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 𝒑𝒐𝒓 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔

Solución: Se ordena el dividendo −6𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖

Se ordena el divisor: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟎𝒙 − 𝟔

2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo (-6x4) entre el primer

término del divisor (2x2).

−6𝑥4

2𝑥2= −3𝑥2 -3x2

2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8

Se multiplica el término del cociente por el divisor y restamos del dividendo este producto:

2x2+0x-6

Por -3x2

-6x4 +0x3+18x2

Restar del dividendo este producto es equivalente a sumarle los inversos aditivos de: -6x4+0x3* +18x2,, que

son:

6𝑥4 + 0𝑥3∗ − 18𝑥2

-3x2

2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8

6x4 +0x3 -18x2 .

4x3-16x2-5x-8

Al ser mayor el grado del residuo que el grado del divisor, se continúa considerando como nuevo dividendo.

Obtenemos el segundo término del cociente dividiendo el primer término del nuevo dividendo (4x3) entre el

primer término del divisor (2x2):

-3x2+2x

4𝑥3

2𝑥2= 2𝑥 2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8

6x4 +0x3 -18x2 .

4x3-16x2-5x-8

Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se resta del dividendo el producto:

2x2+0x-6

Por 2x

4x3+0x2-12x

Restar del dividendo este producto equivalente a sumarle su inverso aditivo, que son: 4x3+0x2-12x

-3x2+2x

2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8

6x4 +0x3 -18x2 .

4x3-16x2 -5x-8

-4x3- 0x2-12x .

-16x2 17x-8

Al ser el grado del residuo igual al del divisor, se continúa la división. El tercer término del cociente se obtiene dividiendo al primer término del nuevo dividendo (16x2) por el primer término del divisor (2x2):

-3x2+2x -8

−16𝑥2

2𝑥2= −8 2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8

6x4 +0x3 -18x2 .

4x3-16x2 -5x-8

-4x3- 0x2-12x .

-16x2 -17x-8

Se multiplica el tercer término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo este producto:

2x2+0x-6

Por -8

16x2-0x+48

Restar del dividendo este producto es equivalente a sumar los inversos aditivos, los que resultan ser: 16x2-0x+48

-3x2+2x -8

2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8

6x4 +0x3 -18x2 .

4x3-16x2 -5x-8

-4x3- 0x2-12x .

-16x2 -17x-8

16x2 + 0x-48

-17x-56

La división se termina al ser menor el grado del residuo que el grado del divisor.

Factorización de polinomios en una variable usando la división

Un polinomio en una variable, como por ejemplo x3 + 4x2

- 7x - 10; se puede

factorizar si al considerarlo como el dividendo logramos expresarlo como el producto

del divisor por el cociente, y que el residuo sea cero.

En la expresión: Dividendo

Divisor= Cociente + Residuo

Si el residuo es cero entonces: Dividendo = divisor • cociente

Ahora bien, la cuestión es determinar cuál es el divisor que da como resultado que

el residuo sea cero.

El procedimiento para factorizar el polinomio representado por el dividendo consiste

en suponer un divisor, efectuar la división, y si el residuo es cero entonces el divisor

y el cociente obtenido son los factores del polinomio.

El problema es que son muchas las opciones que existen para llegar a encontrar un

divisor con el que se logre obtener un residuo igual a cero.

Se puede elegir:

1) que el divisor sea una expresión cuadrática; y

2) que el divisor sea una expresión lineal.

Es evidente que elegir una expresión cuadrática es más difícil que elegir una lineal,

por lo que los divisores que se supongan siempre serán expresiones lineales.

¿Cuántas expresiones lineales puedes suponer como divisor?

La respuesta es un número infinito si no conocemos un procedimiento para

limitarlos.

Al elegir un divisor se tendría que efectuar la división y ver si el residuo es cero; esto

haría largas y tediosas a estas factorizaciones; sin embargo, es posible limitar el

número de divisores a considerar.

En palabras sencillas, la teoría sobre las raíces de polinomios establece que si

consideramos los factores del término independiente y formamos con ellos la

expresión lineal a usar como divisor, alguna o algunas de estas expresiones darán

como resultado de la división un residuo igual a cero.

Explicaremos el procedimiento para factorizar polinomios, usando la división,

resolviendo algunos ejemplos:

Ejemplo:

Factorizar el polinomio x3 + 4x2- 7x - 10 usando la división.

Solución: Para construir los divisores, que serán del tipo (x ± a), donde «a» es un factor del término

independiente, encontraremos los factores del término independiente (-10) que nos propor-cionan los posibles

valores de a:

-10

5 -5

2 -2 Los divisores lineales que se pueden construir son:

1 -1 (x+5) (x-5) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1)(x+l0) (x-10)

10 -10

Efectuemos la división suponiendo como divisor (x + 5):

x2 - x - 2

x + 5 x3 +4x2-7x -10

-x3 -5x2.

-x2 - 7x -10

X2+5x

-2x -10

2x +10

0

De manera que: x3 + 4x2- 7x - 10 = (x+5) (x2-x-2)

Al factorizar: x2-x-2, tenemos:

x2-x-2 = (x-2)(x+1) por lo tanto

x3 + 4x2- 7x - 10 = (x+5) (x-2)(x+1)

Observa que todos los factores: (x + 5) (x - 2) (x + 1) están contemplados en los divisores lineales que se

construyeron. Esto significa que si se hubiera considerado a (x - 2) o (x + 1) como divisor, también obtendríamos

como residuo cero.

BLOQUE 6 ECUACIONES LINEALES I

6.1 Representación de relaciones entre magnitudes Introducción al estudio de

las ecuaciones lineales con una variable

Para tener un panorama general de los conocimientos que adquirirás de las

ecuaciones lineales con una variable, analiza los siguientes ejemplos:

𝑎) 𝑧 +3

5= 2 𝑏)3𝑥 − 8 = 1 𝑐)𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑑)3𝑧 − 2 = 2𝑧 + 5

Como puedes ver, todas son proposiciones de igualdad.

La ecuación del inciso a) propone que la variable z sumada con 3

5 sea igual a 2.

Ahora bien, ¿cuál es el valor de z?

Suponiendo valores de z encontramos que la respuesta es 𝑧 = 7

5 , porque al

sumarle 3

5 el resultado es

10

5 o sea 2, y la proposición de igualdad resulta verdadera

Obtener el valor de z es conocido en álgebra como el «resolver la ecuación

Esta técnica está basada en las propiedades de los números reales y de las

igualdades, por lo que se hace necesario estudiarlas. De otra manera, el

fundamento matemático que permite efectuar operaciones para resolver una

ecuación no se conoce y esta técnica se convierte en una mecánica sin

razonamiento.

La importancia de lo antes mencionado se ilustra a continuación.

La ecuación del inciso b) 3x - 8 = 1, propone que el triple del valor de la variable x

disminuido en 8 unidades debe ser igual a 1 ¿Cómo resolver la ecuación?, esto es,

¿cuál es el valor de x que hace que la proposición de igualdad sea verdadera?

Resolviendo la ecuación:

La ecuación 3x-8= Es equivalente * a:

3x=1+8 Lo que se hizo fue pasar el término (-8) del otro lado de/signo

de igual con signo contrario.

Esta ecuación 3x=9 Es equivalente * a:

𝑥 =9

3 lo que se hizo fue pasar el coeficiente (3) de la variable al otro

lado del signo de igual como divisor

Por los que:

Es la solución. x=3 Comprobación. Al sustituir el valor de x en la ecuación

original:

3x-8=1

3(3)-8=1

9-8 =1

1= 1 ésta resulta verdadera

Este es un procedimiento mecanizado que seguramente has utilizado, basado más en la memoria que en

el razonamiento. Sin embargo, tiene su fundamento matemático que es preciso conocer o recordar para

propiciar el razonamiento y no la mecanización.

¿Cómo se construye una ecuación lineal con una variable?

Una ecuación se construye a partir del enunciado de una situación que se presenta

en el quehacer cotidiano o científico del ser humano.

Al interpretar un enunciado planteado en lenguaje común y transformarlo al lenguaje

matemático utilizando variables, signos, símbolos, etc., se construye una ecuación.

Las ecuaciones son proposiciones de igualdad que involucran una o más variables,

que representan valores no conocidos, y que son válidas para uno o más valores

de ellas.

En el siguiente cuadro se presentan enunciados en lenguaje común que

transformados en lenguaje matemático dan origen a ecuaciones lineales, con una

variable.

Enunciado del problema en leguaje común Enunciado traducido al lenguaje

matemático (construcción de la

ecuación)

¿Cuál es el número que sumado a 𝟏

𝟐 es igual a

3? 𝑥 +

1

2= 3

Usando un auto de alquiler, Luis se traslada ida y vuelta de la escuela a la librería para adquirir un libro de matemáticas, que cuesta $15. Si en total gasta $24, ¿cuál es el costo del viaje de ida, sabiendo que el costo del viaje no se modifica por el sentido del trayecto?

x es el costo del viaje en un sentido, 2x es el costo del viaje en ambos sentidos:

costo del viaje en ambos sentidos

15 + 2x = 24

costo del libro total gastado

En una tienda de ropa un empleado coloca el precio de $29.75 a una prenda de vestir con la leyenda de que tiene incluido un descuento del 15%. Un cliente solicita al empleado que le diga cuál es el precio de la prenda antes del descuento.

z es el precio de la prenda antes del

descuento

z-0.15z = 29.75

¿Cómo se resuelven las ecuaciones lineales con una variable?

Para resolver ecuaciones lineales con una variable se utilizan las propiedades de

los números reales, los que a continuación enunciaremos.

Propiedades de la igualdad

En el siguiente cuadro se mencionan las propiedades de la igualdad:

Propiedades de la Igualdad

I. Reflexiva A = A

II. Simétrica Si A = B entonces B = A

III. Transitiva Si A = B y B =C entonces A = C

IV. Aditiva Si A = B

Si A = B y C = D

Entonces

entonces

A + C = B + C

A + C = B + D

V. Multiplicativa Si A = B entonces A ∙ C = B ∙ C

VI. División (C≠0) Si A = B entonces 𝐴

𝐶=

𝐵

𝐶

VII. Distributiva A(B + C) = AB + AC

Nota: A, B, C y D representan expresiones algebraicas o números.

Propiedades de los números reales

En el siguiente cuadro presentamos un resumen de lo explicado en el bloque 1.

Axiomas o propiedades de los números reales

Identidad para la suma a + 0 = a

Identidad para la multiplicación a ∙ 1 = a

Inverso para la suma y el producto

Para todo a existe (- a) tal que a+ (-a)=0

Para todo a existe 1

𝑎 tal que 𝑎 ∙

1

𝑎= 1

Cerradura para la suma y el producto

Si a y b son reales a + b también es real.

Si a y b son reales a ∙ b también es real.

Conmutativa para la suma y el producto

a + b = b + a

a ∙ b = b ∙ a

Asociativa para la suma y el producto:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

a ∙ b ∙ c = (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

Cómo resolver u obtener la solución de la ecuación lineal con una incógnita o variable

Recomendaciones para resolver ecuaciones lineales con una variable

1. Si en la ecuación existen uno o varios términos que contienen la variable,

éstos deberán situarse preferentemente al lado izquierdo del signo de igual

y, si es el caso, simplificarlos. De existir signos de agrupación, éstos deberán

eliminarse antes.

2. Si en la ecuación existen uno o varios términos numéricos, éstos deberán

situarse al lado derecho del signo de igual y, si es el caso, simplificarlos.

3. Si el coeficiente de la variable es diferente de la unidad, se utilizará la

propiedad de los números reales que permita convertirlo en la unidad.

4. El valor de la variable estará dado por la última expresión, donde la variable

con coeficiente unitario se encuentra «sola» del lado izquierdo del signo de

igual.

La ecuación a resolver tiene una expresión inicial a la que llamaremos «original»,

y cuando aplicamos una propiedad de las igualdades y/o de los números reales a

ésta, se transforma en otra a la que llamamos «equivalente»; esta última se

caracteriza por tener la misma solución que la original. El propósito de obtener

ecuaciones equivalentes es lograr que sean más sencillas de resolver que la

original.

A continuación resolveremos una ecuación lineal con una variable mencionando las

propiedades de la igualdad y de los números reales que se utilizan. No se pretende

que las ecuaciones se resuelvan de esta forma, pero consideramos necesario que

conozcas el fundamento matemático que da lugar a la forma práctica que

posteriormente emplearemos para dar solución a este tipo de ecuaciones.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 7x + 8 = 2x - 7. Solución: Utilizaremos un procedimiento que consta de tres pasos mediante los cuales resolveremos la ecuación.

1. Situar los términos en la variable x del lado izquierdo del signo de igual y simplificar. Esto se logra cuando (2x) se encuentre del lado izquierdo del signo de igual. Para facilitar la explicación, identifiquemos la ecuación de la siguiente manera:

7x + 8 = 2x - 7 A = B

Observa que si a B le sumamos (-2x), que es el inverso aditivo de (2x), se habrá cancelado dicho término del lado derecho, ya que 2x + (-2x) = 0, que es lo que se busca. Pero de acuerdo con la propiedad aditiva de la igualdad: si A = B entonces A + C = B + C, que interpretamos como «la ecuación original no se altera si a ambos lados del signo igual sumamos la misma cantidad», esto significa que al sumar (-2x) del lado derecho también debemos hacerlo del lado izquierdo, esto es:

7x + 8 + (-2x) = 2x + (-2x) -7

Agrupando y simplificando términos semejantes

7x + 2x + 8 = 2x - 2x -7

Al simplificar términos

semejantes, tenemos

5x + 8 = 0 -7

5x + 8 = -7 es una ecuación equivalente a la original

2. Situar los términos numéricos del lado derecho del signo de igual y simplificar. Esto se logra cuando (8) se encuentre del lado derecho del signo de igual; observa que si a los términos del lado izquierdo les sumamos (-8), que es el inverso aditivo de (8), tendremos: 8 + (-8) = O y habremos eliminado el término numérico de este lado, que es lo que se busca. De acuerdo con la propiedad aditiva de la igualdad, si sumamos (-8) del lado izquierdo del signo de igual también lo debemos sumar del lado derecho:

5x + 8 + (-8) = -7 + (-8) Propiedad aditiva de la igualdad

5x + 8 + (-8) = -7 + (-8) Aplicando el inverso aditivo de los

números reales

5x + 0 = -7 + (-8) Aplicando el axioma de cerradura 5x + 0 = -15 5x +0 = -15 Aplicando el axioma de identidad

para la suma.

5x

= -15 Ésta es una ecuación equivalente a la original

3. Como el coeficiente de la incógnita es diferente de la unidad, debemos

transformarlo en la unidad.

Observa que si el término del lado izquierdo se multiplica por 1

5 que es el

inverso multiplicativo del coeficiente de x, tendremos: 𝟏

𝟓∙ (𝟓𝒙) = (

𝟏

𝟓∙ 𝟓) 𝒙 =

𝟏 ∙ 𝒙, de manera que el coeficiente de x lo transformamos en la unidad, que es lo que se busca.

Pero si multiplicamos por 1

5 el término del lado izquierdo, también debemos

multiplicar el término del lado derecho por esta misma cantidad, atendiendo a la propiedad de la igualdad, que dice:

Si A = B entonces AC = BC

Regresando a la ecuación equivalente: 5x = —15 Al multiplicar por ambos miembros de la igualdad, tenemos:

5𝑥 ∙ (1

5) = (−15) ∙ (

1

5)

(1

5∙ 5) 𝑥 = −3

Al aplicar el axioma del inverso multiplicativo.

Tenemos 1 ∙ 𝑥 = −3 Al aplicar el axioma del identidad para multiplicación

𝑥 = −3 Ésta es una ecuación equivalente a la original que nos da el valor de la incógnita o solución de la ecuación

Comprobamos si x = -3 es solución de la ecuación original 7x + 8 = 2x - 7 Al sustituir tenemos: 7(-3)+8=2(-3)-7 -21 +8 = -6 – 7 - 13 = -13

Como habrás observado, resolver una ecuación lineal con una variable mediante el

procedimiento anteriormente expresado es una tarea complicada, por lo que a

continuación te presentamos una forma práctica para resolverlas.

Forma práctica para resolver la ecuación lineal

Para encontrar la solución de una ecuación lineal con una variable, decimos que

ésta debe ser despejada, lo cual se logra usando convenientemente las propiedades

de la igualdad y de los números reales. Recuerda que despejar la variable es lograr

que se encuentre situada a un lado del signo de igual y que su coeficiente sea la

unidad.

Despejar la variable x de la siguiente ecuación:

−2𝑥 + 8 = −7𝑥 + 10 (𝐴)

Debemos ubicar los términos en la variable al lado izquierdo del signo de igual; si al

término (-7x) le sumamos su inverso aditivo (7x), el resultado es cero, lo que significa

su «eliminación» del lado derecho del signo de igual. Pero de acuerdo con la

propiedad aditiva de la igualdad el término (7x) también se debe sumar al lado

izquierdo del signo de igual:

−2𝑥 + 8 + (7𝑥) = −7𝑥 + 10 + (7𝑥)

−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = (−7𝑥 + 7𝑥) + 10

−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)

Observa que la operación antes efectuada es equivalente a hacer lo siguiente en la

expresión (A): «pasar el término (-7x), situado a la derecha del signo de igual, al

lado izquierdo con signo contrario al que tiene» y obtenemos la ecuación (B).

−2𝑥 + 8 = −7𝑥 + 10 (𝐴)

−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)

Ubiquemos ahora los términos numéricos del lado derecho del signo de igual.

−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)

Si al término (8) le sumamos su inverso aditivo (-8) el resultado es cero, lo que

significa su «eliminación» del lado izquierdo del signo de igual; como ya sabemos,

también debe sumarse en el lado derecho.

−2𝑥 + 8 + (−8) + 7𝑥 = 10 + (−8)

−2𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8 (𝐶)

Observa que la operación efectuada es equivalente a hacer lo siguiente en la

expresión (B): «pasar el término (8) situado a la izquierda del signo de igual, al lado

derecho con signo contrario al que tiene», obtenemos la ecuación (C):

−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)

−2𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8 (𝐶)

Al simplificar términos semejantes tenemos: 5𝑥 = 2 (𝐷)

La variable estará despejada cuando su coeficiente sea la unidad; esto se logra

partiendo de (D) al multiplicar por el inverso multiplicativo del coeficiente de la

variable que está situado del lado izquierdo del signo de igual, es decir, 1

5, pero de

acuerdo con la propiedad multiplicativa de la igualdad también se debe multiplicar

por 1

5 el término que se encuentra a la derecha del signo igual.

Así que: (1

5) 5𝑥 = (

1

5) 2

(1

5∗ 5) 𝑥 =

2

5

𝑥 =2

5

Observa que la operación antes efectuada es equivalente a hacer lo siguiente en la

expresión (D): «pasar el 5, que está multiplicando en el lado izquierdo, como divisor

del lado derecho» y obtenemos la solución de la ecuación.

5𝑥 = 2

𝑥 =2

5 (𝐷)

Ejemplo:

Usando la forma práctica, resolver la ecuación: -5z + 13 = 10z - 17

Solución: Situar los términos en la variable a la izquierda del signo de igual:

-5z – 10z + 13= -17

Situar los términos numéricos a la derecha del signo de igual:

-5z – 10z = -17 -13

Simplificando términos semejantes:

-15z = -30

el coeficiente (-15) que está multiplicando a z del lado izquierdo «pasa» dividiendo al lado derecho del signo

de igual; observa que al hacerlo conserva su signo.

𝑧 =−30

−15= 2

Comprobación: al sustituir z = 2 en la ecuación —5z + 13 = 1 O - 7, ésta se debe satisfacer:

-5(2) + 13 = 10(2) – 17

-10 + 13 = 20- 17

3 = 3

Solución de ecuaciones lineales usando el símil de la balanza

Se puede plantear la solución de una ecuación con una variable usando el símil de

una balanza. Para esto, en el platillo de la izquierda se deben «colocar» los términos

que contienen a la variable, equivalente a que en la ecuación estén situados a la

izquierda del signo de igual, y en el platillo de la derecha los términos numéricos.

Al presentarse la ecuación en la balanza, ésta se encontrará en equilibrio; si

añadimos o quitamos el mismo término en ambos platillos, la balanza seguirá

estando en equilibrio. Para lograr un símil considera que los términos son pesas que

se colocan en los platillos, por eso los términos aparecen encerrados en

esta figura:

Este planteamiento se basa en el principio de que la balanza siempre deberá estar

en equilibrio. Esto representa el uso de las propiedades: aditiva, multiplicativa y de

división de la igualdad. Si se suma, multiplica o divide «algún término» a la izquierda

del signo de igual, lo mismo se debe hacer a la derecha.

Presentamos la forma o procedimiento para resolver una ecuación utilizando el símil

de la balanza, mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 2(x - 5) + 3(2x + 1) = 7x - 3 usando el símil de la balanza. Solución: Eliminando los paréntesis circulares y simplificando términos semejantes.

2x - 10 +6x + 3 = 7x -3 2x + 6x - 10 + 3 = 7x -3 8x - 7 = 7x - 3 A- Que es una ecuación equivalente a la original.

La ecuación A la representamos como una

balanza en equilibrio. [Figura 6.1].

Situando los términos en x en el platillo

izquierdo. Al agregar en ambos platillos el

mismo «peso» (-7x), la balanza sigue en

equilibrio

Al simplificar términos semejantes

obtenemos la ecuación equivalente.

Situando los términos numéricos en el platillo

derecho. Al agregar en ambos platillos el mismo

peso (7), la balanza sigue en equilibrio.

Al simplificar términos semejantes

obtenemos la ecuación equivalente que

proporciona la solución.

x = 4 Que representa la solución de la

ecuación original.

Comprobación: El valor de x = 4 debe satisfacer la ecuación 2(x - 5) + 3(2x + 1) = 7x - 3

2(4-5)+3[2(4) +1]= 7(4)-3 2(-1)+3(9) = 28-3

-2 + 27 = 25 25 = 25 se satisface la ecuación.

Resolviendo la ecuación utilizando la forma práctica: 2(x - 5) + 3(2x + 1)=7x-3 ecuación equivalente a la original.

8x - 7 = 7x – 3 Pasamos 7x al lado izquierdo del signo de igual con signo contrario al que tiene:

8x - 7 - 7x = - 3

Simplificamos términos semejantes: 8x – 7x- 7 = - 3 x – 7= - 3

Pasamos el término -7 al lado derecho del signo de igual con signo contrario al que tiene:

X= -3 + 7 x= 4

Introducción al estudio de ecuaciones lineales con dos variables

Para que tengas un panorama general de los conocimientos que adquirirás de las

ecuaciones lineales con dos variables, te presentamos algunos ejemplos de este

tipo de ecuaciones:

𝑎) 𝑥 − 𝑦 = 10 𝑏) 3𝑧 − 2𝑤 = (𝑧 + 1) 𝑐) 2𝑎 + 5𝑏 = −13 𝑑) 2

5𝑤 − 8 =

2

3𝑤

Estas ecuaciones, al igual que las de una variable, también son proposiciones de

igualdad; por ejemplo, la ecuación del inciso a) propone que la variable «x» menos

la variable «y» sea igual a 10. Ahora, la pregunta es: ¿cuáles son los valores de x y

y que hacen que la proposición de igualdad sea verdadera?

Si asignamos a x el valor de 15 y a y el valor de 5 su diferencia es 10; lo que hace

que la ecuación sea verdadera y por lo tanto la pareja de valores x = 15 y y = 5 es

solución de la ecuación. ¿Será la única? La respuesta es no, porque si efectuamos

la siguiente asignación de valores: x = 20 y y = 10, su diferencia es 10, lo que hace

que la ecuación sea verdadera y por lo tanto la pareja de valores:

x = 20 y = 10 también es solución de la ecuación.

Con esto podemos intuir que el número de soluciones de una ecuación lineal con

dos variables es infinito.

¿Cómo encontrar las soluciones de estas ecuaciones?

Regresemos a la ecuación 𝑥 − 𝑦 = 10. Para encontrar las soluciones debemos, por

ejemplo, despejar «x». Así tenemos:

𝑥 = 10 + 𝑦 Al asignar valores arbitrarios a «y» se obtienen los correspondientes valores de x. El número de soluciones es infinito porque a «y» se le pueden asignar todos los valores del conjunto de los números reales.

La técnica para resolver estas ecuaciones lineales, es decir, encontrar la pareja de

valores de las variables que la satisfacen, se basa en el conocimiento de las

propiedades de los números reales y de las igualdades, que se usan cuando se

despeja una de las variables de la ecuación; obtener el valor de la variable que se

ha despejado cuando se asignan valores a la otra se conoce como tabulación.

Las soluciones de la ecuación al considerarlas como pares ordenados de valores

se pueden representar en un sistema coordenado rectangular como puntos que dan

lugar a la construcción de la gráfica de la ecuación.

Muchos problemas que se enuncian en el ámbito de la vida cotidiana o académica

dan origen a la construcción de dos ecuaciones lineales con dos variables, que

constituyen un «sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables».

Estudiaremos los métodos que permiten resolver dicho sistema, lo que significa

determinar los valores de las variables que hacen verdaderas, simultáneamente, a

ambas ecuaciones.

Aprenderemos que estos sistemas pueden tener solución única, un número infinito

de ellas o no tener solución.

Identificaremos además qué significado tienen estas soluciones desde el punto de

vista gráfico.

Así, tenemos que las ecuaciones lineales con dos variables son:

a) Proposiciones de igualdad que resultan verdaderas para algunos valores de las

variables que en ella intervienen.

b) El resultado de plantear situaciones relacionadas con hechos que conciernen a

la vida cotidiana, pero mayormente los relacionados con aspectos de la vida

académica.

En el Cuadro 6.1 se presentan diversos enunciados en lenguaje común

relacionados con aspectos de la vida cotidiana y académica, así como su

expresión en lenguaje matemático.

Enunciado en

Lenguaje común Interpretación en lenguaje matemático Comentario

Un terreno rectangular tiene 120 metros de perímetro; ¿cuánto miden sus lados?

Llamando a y b a los lados del b; rectángulo, el perímetro es la suma de los cuatro lados, es decir, a + b + a + b = 2 a + 2 b; llamando P al perímetro construimos la expresión P = 2a + 2b; como P = 120, la ecuación resultante es 120 = 2a + 2b.

Si la suma de dos números reales es 30, ¿cuáles son esos números?

Sea x un número real y y otro número real, la suma de ambos se expresa como:

Una radiodifusora cobra $100 por transmitir cinco spots que es el número mínimo puede contratar y $6.50 por cada spot adicional. ¿Cuál es la expresión que permite calcular el costo de cualquier número de spots?

$100 costo de 5 spots; si llamamos «n» al número de spots, (n - 5) representa el número de spots adicionales a 5 cuyo costo es de $6.50. Llamando Cn al costo de cualquier número de spots, tenemos: Cn = $100 + $6.50 (n - 5)

Observa que $100 es una constante y ocurre por la condición de que es el número mínimo obligado a contratar y representa cinco spots; por esto, el número de spots adicionales se representa por (n - 5), ya que cinco están incluidos en los $100

Una línea recta es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos, tales que, tomados dos cualesquiera de ellos y calculada su pendiente, ésta es constante; ¿cuál es la expresión matemática de la línea recta?

En un sistema coordenado rectangular presentamos la gráfica de una recta, identificamos con el signo de α a su ángulo de inclinación, esto es, el que forma la recta con el eje x, y a dos puntos de la misma con las letras A y B, cuyas coordenadas son: A(0, b) y B(x, y).

La pendiente de la recta a la que llamaremos m es igual a la tangente del ángulo de inclinación a:

m = tan α la tangente de α se obtiene a partir del triángulo rectángulo que se ha formado con los puntos A, B y C.

tan 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

𝐵𝐶

𝐴𝐶

como BC = y - b y AC = x, tenemos: tan 𝛼 =𝑦−𝑏

𝑥

como m = tan α, tenemos:𝑚 =𝑦−𝑏

𝑥 m- de donde:

𝑚𝑥 = 𝑦 − 𝑏

que se acostumbra escribir: y = mx + b Ésta es una ecuación lineal en dos variables: «x» y «y», y en donde m y b son constantes.

A pesar de que este tema corresponde al curso de geometría analítica, creemos que podrás entender el planteamiento para construir la expresión matemática de la línea recta, desde luego con la ayuda de tu catedrático y recordando algunos conocimientos adquiridos en cursos anteriores como lo que es un ángulo de inclinación, un sistema coordenado rectangular, la tangente, y cómo se calcula y se representa un punto en el sistema coordenado.

La ecuación lineal con dos variables

Además de saber construir una ecuación lineal, es importante aprender a resolverla,

es decir, determinar el o los valores de las variables que aparecen en ella y que al

sustituirlos en la ecuación ésta se satisfaga, es decir, hacen que la proposición de

igualdad sea verdadera.

¿Cuántas soluciones tienen una ecuación lineal con dos variables? La respuesta

es: un número infinito de soluciones.

Técnica o método para resolver ecuaciones lineales con dos variables

La técnica para encontrar las soluciones de una ecuación lineal con dos

variables consiste en:

1. Despejar cualquiera de las variables, esto es, situarla, por lo general, del lado

izquierdo del signo igual con coeficiente unitario.

2. Asignarle valores arbitrarios a la variable que se situó al lado derecho del

signo igual.

3. Determinar los valores que le corresponden a la variable que se despejó

cuando se le asignan valores a la otra variable. Es conveniente utilizar el

procedimiento que hemos llamado «tabulación» para realizar esto.

4. Las parejas de valores así formadas son las soluciones de la ecuación.

Ejemplo

Encontrar las soluciones de la ecuación 5x + y - 3 = 0. Solución: Despejando la variable «y» y = -5x + 3

Asignamos valores arbitrarios a la variable x y determinamos el correspondiente valor de y:

Si x = 2 𝑦 = −5(2) + 3 = −7

Si x = 0 𝑦 = −5(0) + 3 = 3

Si x = 3 𝑦 = −5(3) + 3 = −15 + 3 = −12

De manera que se obtienen las parejas de valores:

x = 2 y= -7 Que son algunas soluciones de la

ecuación x = 0 y= 3

x = 3 y =-12

Lo que se comprueba al sustituir estos valores en la ecuación original y satisfacerse ésta:

5x +y -3=0:

para x = 2 y y = -7 tenemos 5(2) + (−7) − 3 = 0 10 − 7 − 3 = 0 0=0

para x = 0 y y = 3 tenemos 5(0) + 3 − 3 = 0 0 + 3 − 3 = 0 0=0

para x = 3 y y =-12 tenemos 5(3) + (−12) − 3 = 0 15 − 12 − 3 = 0 0=0

La ecuación lineal con dos variables y su relación con la función lineal

Antes de explicar la relación entre una ecuación lineal con dos variables y la función

lineal es necesario conocer la definición de función en general y de la función lineal

en particular, así como obtener su representación gráfica.

El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos,

que por lo general son conjuntos de números; la correspondencia o asociación entre

los elementos de ambos conjuntos se establece con base en una regla de

asociación, que puede ser un enunciado o una expresión matemática.

Por lo general, las reglas de asociación entre los elementos de dos conjuntos no

son fáciles de obtener, ya sea que se use el lenguaje común o el matemático.

Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones,

por ejemplo:

• Cuando viajas en autobús o automóvil, el tiempo que recorres una distancia

depende de la velocidad con la que se desplaza el vehículo. Como sabes por cursos

anteriores de física, la regla de correspondencia o asociación entre las variables

está dada por la expresión: distancia = velocidad x tiempo.

• La temperatura o el grado de humedad del ambiente a lo largo de un día depende

de la hora; es decir, con cada hora está asociada una determinada temperatura o

cierto grado de humedad, de manera que la temperatura o humedad depende o está

en función de la hora del día. • Al depositar dinero en una institución bancaria a cierta tasa de interés se obtiene

una ganancia. Dicha ganancia está en función de la tasa de interés.

Si cada elemento de un conjunto 𝒙 se asocia con exactamente un elemento del

conjunto 𝒚 a través de una regla de asociación o correspondencia, se define una

función, que puede expresarse como “la función de 𝒙 en 𝒚, o bien, f de 𝒙 en 𝒚 ”.

• Al conjunto de valores de la variable « 𝒙 » se le conoce como el dominio de la

función f

• Al conjunto de valores de la variable « 𝒚 » se le conoce como la imagen o rango

de x bajo f, y se denota como f(𝒙).

En la definición de función conviene destacar lo siguiente:

• Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango,

en otras palabras, «un elemento del dominio se asocia con un y sólo un elemento del rango».

• Los valores de 𝒚 o f( 𝒙 ) se determinan mediante la regla de asociación o

correspondencia cuando se le ha asignado un determinado valor a 𝒙. En una función, dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo

elemento del rango, puesto que se cumple la definición de que «a un elemento del

dominio le corresponde un único elemento del rango». Sin embargo, el mismo

elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango;

si esto ocurre, no se está hablando de una función.

Esto se aclara en las siguientes figuras:

Nota: En todas las figuras la asociación ilustrada es una función.

Caso 1

Dos elementos del dominio se

asocian con el mismo elemento

del rango. Observa que al

elemento 2 de X le corresponde

un único elemento de Y, el 11;

aun cuando al elemento 3 de X

le corresponda el mismo

elemento 11 de Y, se cumple

con la definición de función

Caso 2

En tres ocasiones, dos

elementos del conjunto A se

asocian con el mismo

elemento del conjunto B.

Caso 3

Todos los elementos del

conjunto Z se asocian con el

mismo elemento del con-junto

W; aun así, se cumple que cada

elemento del dominio se asocia

con un solo elemento del rango.

La Figura 6.9 no ejemplifica una función porque el elemento 1 del dominio se asocia

con dos diferentes elementos del rango; lo mismo sucede con el elemento 9.

Notación de funciones

𝒇: 𝒙 → 𝒚 𝒇: 𝒙 → 𝒇(𝒙)

Que se leen:

𝑓 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦

𝑓 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)

Para denotar los elementos del dominio de una función se puede usar cualquier

letra del alfabeto (excepto la y, para evitar confusiones): x, s, t, u, y, w, l, etcétera.

Y para denotar los elementos del rango se utilizan los símbolos:

f(x), f(s), f(t), f(u), f(v), f(w) y f(l)

En el siguiente cuadro se menciona cómo se representa el rango que corresponde al elegir una determinada letra para identificar la variable del dominio.

Dominio Rango Expresión

x 𝑓(𝑥) 𝑓: 𝑥 → 𝑓(𝑥)

t 𝑓(𝑡) 𝑓: 𝑡 → 𝑓(𝑡)

u 𝑓(𝑢) 𝑓: 𝑢 → 𝑓(𝑢)

En párrafos anteriores mencionamos que la regla de asociación o

correspondencia era tal vez el elemento más importante del tema de funciones;

sin embargo, la correcta determinación del dominio y del rango de una función es

necesaria para la obtención de su gráfica y su posterior análisis.

El rango de una función, es decir, los valores de «y», serán aquellos que hagan

que los valores del dominio (valores de “x”) sean números reales. Los valores de

y que hacen que x sea un número real se determinan mediante el análisis de la

ecuación que las relaciona. Por ejemplo, si la ecuación es:

La definición de función implica, como ya explicamos, la asociación entre los

elementos de dos conjuntos dados, formándose parejas de números que se

escriben como pares ordenados de valores, donde el primer elemento del par

pertenece al dominio y el segundo, al rango; éstos se representan como (x, y).

La representación gráfica de una función

Para representar gráficamente una función se requiere conocer el concepto de par

ordenado, sistema coordenado rectangular y cómo se representa un par ordenado

en el sistema coordenado rectangular, mismos que a continuación abordamos.

Pares ordenados de valores

Al asociar los elementos de dos conjuntos se determinan parejas ordenadas de valores; se dice que son ordenadas porque el primer elemento siempre debe pertenecer al primer conjunto y el otro elemento al segundo.

Un par ordenado de valores se representa al colocar sus elementos dentro de un

paréntesis circular separando los elementos con una coma. Por lo general, se

identifica al par mediante una letra mayúscula, como se ilustra a continuación:

A(5,2) B(3, 1) C(-3, 8) D(0, 6)

Ejemplo

Formar los pares ordenados con los números que se indican con flechas en la figuras,

identificarlos con letras mayúsculas y expresar el par en forma general usando las letras que

identifican a los conjuntos [Figura 6.10].

Solución: Los pares ordenados son:

A(2,1) B(4, 5) C(6, 7) D(8, 9) E(10, 15) y F(12, 15)

Expresión general del par ordenado: (𝑧, 𝑤) 𝑜 (𝑧, 𝑓(𝑧))

El sistema coordenado rectangular de dos dimensiones

Al asociar números reales con los puntos de una recta, construimos una recta

numérica o real, como ya explicamos.

En la recta numérica horizontal los números están asociados con puntos de la

misma bajo los siguientes criterios:

• El cero se asocia con el origen de la recta.

• Los números positivos se ubican a la derecha del origen y a la izquierda los

números negativos.

En la recta numérica vertical ocurre lo siguiente:

• El cero se asocia con el origen.

• Los números positivos se ubican hacia arriba del origen y los negativos hacia

abajo.

Al construir una recta numérica es necesario que los intervalos, es decir, la distancia

entre sus puntos, sean iguales.

Un sistema coordenado de dos dimensiones se construye con dos rectas

numéricas perpendiculares entre sí, ambas situadas en el mismo plano.

Al punto donde se intersectan las rectas se le llama origen del sistema, y a las

rectas se les conoce como ejes coordenados; a la recta horizontal se le llama eje

de las abscisas o eje de las «x», y a la recta vertical eje de las ordenadas o eje

de las «y», y corresponde al rango de la función

Las dos rectas numéricas o ejes coordenados definen un plano y lo dividen en

cuatro partes llamadas cuadrantes [Figura 6.12].

Para ubicar un punto en cualquier cuadrante se requiere conocer dos valores, uno

sobre el eje x, llamado abscisa, y otro sobre el eje y, llamado ordenada. Estos dos

valores forman lo que se conoce como un par ordenado de valores.

Por conveniencia, las abscisas son positivas a la derecha del origen y negativas a

la izquierda; las ordenadas son positivas arriba del origen y negativas abajo.

Por lo general, se usa la misma unidad de longitud en ambos ejes, pero en

ocasiones especiales conviene emplear unidades de longitud diferentes.

En el sistema coordenado rectangular de dos dimensiones se establece la

correspondencia entre pares ordenados de valores y puntos del plano.

Localización de pares ordenados en el sistema coordenado

En el sistema coordenado rectangular, a un par ordenado de valores le corresponde

un punto y viceversa. El punto asociado a un par ordenado se obtiene de la siguiente

forma:

a) Se localiza en el eje x la abscisa del par ordenado y se traza por ese punto una

recta paralela al eje y.

b) Se localiza en el eje y la ordenada del par ordenado y se traza por ese punto una

recta paralela aleje x.

c) El punto donde se intersectan las rectas determina el punto asociado al par

ordenado.

Ejemplo

Representar en el sistema coordenado rectangular los siguientes pares ordenados:

A(2,5) B(-6,-2) E(-5,0) F(0,-3) C(-3,6) D(4,-5) G(3,0) H(0,4)

Solución: En la Figura 6.13 se muestra la

localización de estos pares ordenados. Observa que: Los puntos E y G se encuentran sobre el eje x porque su ordenada vale cero; los puntos F y H se ubican sobre el eje y porque su abscisa vale cero. Nota: Cuando se obtenga la gráfica de una función lineal, puntos como E, G, F y H identificarán sus intersecciones con los ejes coordenados.

La definición formal de función

Consideremos los conjuntos X y Y cuyos elementos se asocian para formar pares

ordenados de valores mediante una regla de correspondencia que es expresada

mediante una ecuación; el conjunto X es el dominio de la función, y Y el rango.

La regla de correspondencia que nos permite asociar los elementos de los conjuntos

X y Y es una expresión matemática.

Una función f de X en Y es un conjunto de pares ordenados de valores (x, y);

donde a cada “x” del dominio le corresponde una única “y” del rango.

De acuerdo con la definición podemos identificar cuándo un conjunto de pares

ordenados representa una función o no de la siguiente manera: Si en ninguno de

los pares ordenados un mismo elemento del dominio se encuentra asociado con

dos elementos diferentes del rango, este conjunto de pares representa una función.

a) Los pares ordenados (-3,2), (4, 3), (1,0) y (7,2) representan una función porque

ningún elemento del dominio está asociado con dos diferentes elementos del rango;

en otras palabras, a una misma abscisa no le corresponden dos diferentes

ordenadas.

b) Los pares ordenados (4, —2), (5, 7), (-8, —3), (10, 3), (-3, 5), (7, 4) y (-3, 6) no

representan una función porque existen dos pares ordenados en los que la misma abscisa se asocia con dos ordenadas diferentes; estos pares son: (-3, 5) y (-3, 6).

c) Los pares ordenados (2, 3), (5, 3), (-4, 3) y (0, 3) representan una función porque

en ningún caso a la misma abscisa le corresponden dos ordenadas diferentes.

La función lineal y su relación con la ecuación lineal

Cuando la regla de asociación entre los elementos de dos conjuntos de números se

establece mediante una ecuación lineal con dos variables, definimos una función

lineal.

La función f cuya expresión es f (x) = mx + b recibe el nombre de función lineal, donde m y b son constantes.

Se obtuvo la ecuación de la línea recta a partir de su definición y resultó:

y = mx + b.

La manera usual de expresar la función lineal es:

f(x)=y=mx + b (1)

Ahora bien, la expresión general de una ecuación lineal con dos variables es:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Si la ecuación lineal con dos variables 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 la expresión en la forma

𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , entonces habremos establecido la equivalencia entre la

ecuación lineal con dos variables y la función lineal.

Utilizando las propiedades de la igualdad, la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, se puede

transformar en la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, como se explica a continuación.

Despejando 𝒚 de la expresión 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝐵𝑦 = −𝐴𝑥 − 𝑐 → 𝑦 = −𝐴

𝐵𝑥 −

𝐶

𝐵 (𝟐)

Así, hemos establecido la equivalencia entre la ecuación lineal con dos variables y

la función lineal.

Ejemplo

Dada la ecuación lineal 2𝑥 = −5𝑦 + 8

a) Expresarla en la forma f(x) =y = mx + b. b) Determinar el valor de m y b. c) Qué expresa «m»?

Solución: a) Despejando «y»:−5𝑦 = −2𝑥 − 8

𝑦 =−2𝑥−8

−5

𝑦 = −2

5𝑥 +

8

5, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −

2

5𝑥 +

8

5

b) Al compararla con la expresión y =f(x) = mx + b, concluimos que el coeficiente de x es

igual a m y el término independiente es b.

𝑚 = −2

5 b=

8

5

c) Recuerda que cuando se obtuvo la expresión matemática de la línea recta en el

Cuadro 6.1, se definió a m como la tangente del ángulo de inclinación de la recta, esto es, m = tg α. Obtengamos el ángulo de inclinación:

Como 𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 𝑦 𝑚 = −2

5

tenemos que −2

5= 𝑡𝑔 𝛼

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2

5

Con ayuda de tu catedrático, obtén el valor de a y represéntalo en el sistema coordenado. Nota: Dependiendo del valor de a, su representación gráfica puede ser:

Nota: Recuerda que «b» es la ordenada del punto de intersección con el eje«y»; esto

es, el par ordenado (0, 8/5).

Construcción de la gráfica de la función lineal mediante la representación de pares ordenados de valores obtenidos mediante tabulación

Conocida la expresión que define a una función lineal podemos determinar todos

los pares ordenados de valores posibles; graficados éstos en un sistema

coordenado rectangular y unidos los puntos mediante una línea continua,

obtenemos la gráfica de la función.

Ejemplo

Construir la gráfica de la función lineal definida por la ecuación f(x) = y = 3x + 2 Solución: Recuerda que debemos determinar cuáles son los elementos de los conjuntos que se

asocian como pares ordenados mediante la regla de correspondencia o asociación.

Del conjunto X, llamado dominio de la función, elegimos arbitrariamente cualquier elemento, que

como ya mencionamos se conoce como variable independiente; por ejemplo, elegido x = -3,

debemos determinar con cuál elemento del conjunto Y se asocia [Figuras 6.14 a y b].

El elemento del conjunto Y con el que se asocia x = -3 es y = -7, y podemos asegurar que con ningún otro

Determinemos algunos pares ordenados mediante la tabulación al suponer valores arbitrarios de x y obtener así los correspondientes valores de y o f(x).

x y o f(x)

x=-3

x=0

x=3

x=5

𝑓(−3) = 3(−3) + 2 = −7

𝑓(0) = 3(0) + 2 = 2

𝑓(3) = 3(3) + 2 = 11

𝑓(5) = 3(5) + 2 = 17

x f(x) Pares ordenados

-3 -7 A(-3, -7)

0 2 B( 0, 2)

3 11 C( 3, 11)

5 17 D( 5, 17)

Observa la similitud que existe con la «tabulación» que se utilizó cuando se resolvieron ecuaciones lineales con dos variables. La gráfica se obtiene representando los pares ordenados en el sistema coordenado y uniendo los puntos mediante una línea. Podemos concluir que la gráfica de la función lineal f(x)=y = 3x +2 es una línea recta [Figura 6.15]. Podemos afirmar que la gráfica de una función lineal es una línea recta.

.

Importante

El número de pares ordenados que permiten obtener una representación gráfica

depende de la función de que se trate; para la función lineal basta con dos pares

ordenados; en otro tipo de funciones se requiere una gran cantidad de ellos. Existen

ciertos pares ordenados característicos que facilitan la construcción de la gráfica,

como son las intersecciones con los ejes.

Construcción de la gráfica de la función lineal utilizando únicamente los puntos de intersección con los ejes coordenados

Como ya se mencionó, la gráfica de una función lineal es una línea recta.

Conocimientos elementales de geometría nos dicen que una recta queda

determinada cuando se conocen dos puntos de la misma, lo que significa que para

construir su gráfica basta con conocer dos pares ordenados de valores únicamente,

es decir, dos puntos. Los pares ordenados más sencillos de determinar son aquéllos

donde la gráfica de la función intersecta a los ejes coordenados.

Cómo identificar las intersecciones con los ejes coordenados

En la Figura 6.16 se representan las gráficas de dos funciones lineales que han sido

identificadas como (1) y (2)

La intersección de la gráfica de la función (1) con el eje x se identifica como el punto

A; observa que la característica de este punto es que su ordenada y o f(x) es igual

a cero y su abscisa es «a». El par ordenado es (a, 0).

La intersección de la función (1) con el eje y se identifica como el punto B; la

característica de este punto es que la abscisa x es igual a cero y su ordenada es

«b». El par ordenado es (0, b).

El punto C es la intersección de la función (2) con el eje x, donde la ordenada vale

cero y la abscisa «c». El par ordenado es (c, 0).

El punto D es la intersección de la función (2) con el eje y, donde la abscisa vale

cero y la ordenada «d». El par ordenado es (0, d).

Ejemplo

Construir la gráfica de la función lineal definida por la ecuación y =f (x) = 3x + 6, determinando únicamente sus intersecciones con los ejes coordenados. Solución: Intersección con el eje x En este punto la ordenada vale cero, es decir, y =f(x) = 0

Si en f(x)=y= 3x+6; hacemos que y=f(x)=0 tenemos que: 0=3x+6

Al resolver esta ecuación tenemos: 3𝑥 = 6 𝑥 = −6

3= −2

El par ordenado es: A(-2,0) En otras palabras, es el punto de intersección de la función lineal con el eje «x». Intersección con el eje y En este punto la abscisa vale cero, es decir, x = 0 Si en f(x)= y =3x+6 hacemos que x=0 Tenemos: y = 3(0) + 6 y = 0 El par ordenado es B(O, 6). Es decir, es el punto de intersección de la función lineal con el eje «y».

La gráfica se obtiene representando A y B y uniéndolos con una línea}:

El siguiente ejemplo ilustra el caso de cuando una función lineal es una línea

horizontal

Imagen del Ejemplo 6.20 página 191 y192

Con base en el ejemplo anterior definimos la función constante como:

La función lineal definida por la ecuación

𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Construcción de ecuaciones lineales con dos variables equivalentes a una

función lineal, determinación de las soluciones y su representación gráfica.

En el siguiente ejemplo se obtendrán las ecuaciones que corresponden a un

enunciado y se construirán las gráficas de las funciones

Imagen del Ejemplo 6.21

Construye la ecuación que permite obtener el perímetro de un rectángulo cuya altura es cinco unidades menor que la base. Graficar los resultados obtenidos para obtener el perímetro del rectángulos con base igual a 9, 10 y 13 unidades. Solución: Si llamamos x a la base, entonces la altura es 𝑥 − 5 y el perímetro P es igual a:

𝑃 = 𝑥 + 𝑥 + (𝑥 − 5) + (𝑥 − 5)

𝑃 = 2𝑥 + 2(𝑥 − 5) 𝑃 = 2𝑥 + 2𝑥 − 10

𝑃 = 4𝑥 − 10 Ésta es la ecuación que permite calcular el perímetro en función de la base identificada por x. Al tabular para valores de la base, es decir de x, iguales a 9, 10 13 unidades, tenemos lo siguiente:

x P Pares

ordenados

9 26 A(9,26)

10 30 B(10,30)

12 42 C(13,42)

Operaciones

𝑃 = 4(9) − 10 = 26

𝑃 = 4(10) − 10 = 30

𝑃 = 4(12) − 10 = 42

La grafica es:

Determina el punto de intersección con el eje «x», con base en esto responde la siguiente pregunta:

¿Cuál es la importancia de este punto respecto al valor del perímetro?

Respecto a las ecuaciones lineales con dos variables, concluimos que:

Base =x

Altura x-5

1. La ecuación lineal con dos variables cuya forma general es Ax + By + C = 0, es equivalente a la función lineal f(x) = y = mx + b; gráficamente, es una línea

recta. Los valores que pueden admitir x y y son todos los números reales,

excepto en los casos especiales donde la representación gráfica es una recta

horizontal.

2. Las intersecciones con los ejes coordenados o dos puntos pertenecientes a

la función son suficientes para graficarla.

3. Cuando la ecuación lineal con dos variables se construye a partir de un

enunciado, los valores que pueden admitir las variables, por lo general, tienen

restricciones que se deducen del propio enunciado. Su gráfica puede ser una

recta o un segmento de ella. Se puede despejar cualquiera de las incógnitas,

tabular y construir la gráfica.

4. La solución de estas ecuaciones al usar el método algebraico es exacta,

mientras que el método gráfico proporciona un valor aproximado.

BLOQUE 7 ECUACIONES LINEALES II

7.1

Representación de relaciones entre magnitudes

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables ¿Qué es un sistema de dos ecuaciones con dos variables y cómo se puede construir?

El enunciado de un problema en lenguaje común o derivado de un planteamiento

matemático suele dar origen a la construcción de dos ecuaciones lineales con dos

variables, las cuales forman un sistema, como en los siguientes casos:

Enunciado del problema en lenguaje

común

El enunciado traducido al lenguaje

Matemático da origen al sistema

El precio del boleto de avión México-

Guadalajara es $850 por adulto y de

$500 por niño. Si se vendieron en

taquilla 50 boletos y se obtuvieron

Si x es el número de adultos y y el número

de niños las ecuaciones que se

construyen son:

ingresos por $36 900, ¿Cuántos

adultos y cuántos niños viajaron en el

avión?

Una comercializadora va a elaborar frascos con alcohol al 75% de pureza

de 125 𝑐𝑚3 de capacidad. Dispone, para lograr esta solución, de alcohol al 65% y al 90% de pureza. ¿Qué

cantidad de solución al 65% y al 90% debe mezclar para obtener la solución con la pureza deseada?

𝑥 + 𝑦 = 50

850𝑥 + 500𝑦 = 36900

si x es la cantidad de alcohol al 65% de

pureza, y y la cantidad de alcohol al 90%

de pureza, las ecuaciones que se

construyen son:

𝑥 + 𝑦 = 125

0.65𝑥 + 0.9𝑦 = 0.75

Además de aprender a construir estos sistemas, nos interesa resolverlos; esto es,

determinar su solución y representarlos gráficamente para interpretarlos y, si es el

caso, analizarlos.

¿Qué es la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables?

Una pareja de valores es la solución de un sistema si al sustituir dichos valores en

una u otra ecuación éstas se satisfacen, es decir, la proposición de igualdad resulta

verdadera.

Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones:

𝑥 + 3𝑦 = −1 𝑦 2𝑥 + 5𝑦 = −1

Tiene como solución a la pareja de valores

𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = −1

Porque al sustituir estos valores en las ecuaciones éstas se satisfacen.

Al sustituir en la primera ecuación tenemos

(2) + 3(−1) = −1

2 − 3 = −1

-1 = -1

Al sustituir en la segunda ecuación

2(2) + 5(-1) = -1

4 – 5 = - 1

-1 = -1

Como ambas ecuaciones se satisfacen, la pareja de valores x = 2 y = —1 es la

solución del sistema.

Con las propiedades de los números reales y de las igualdades se establecen

técnicas o métodos algebraicos para encontrar la solución de un sistema de

ecuaciones.

Métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables

Método de suma y resta o de Gauss

El método de Gauss consiste en lograr que en ambas ecuaciones del sistema una

de las variables tenga el mismo coeficiente y signos opuestos, de manera que al

sumar las ecuaciones esta variable se elimine obteniéndose una ecuación lineal con

una variable, que se resuelve como ya se explicó. Conocido el valor de la variable

se sustituye en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene el valor de la otra.

El manejo adecuado de las propiedades de los números reales y las igualdades

permite lograr que en ambas ecuaciones los coeficientes de la misma variable sean

iguales y de signo contrario. Para lograr esto procedemos como sigue:

Recomendaciones para usar el método de suma o resta

1. Realiza operaciones previas como eliminar paréntesis, por ejemplo, y

presenta las ecuaciones de manera que los términos semejantes aparezcan

colocados en columnas.

2. Para obtener términos con coeficientes idénticos en una de las variables,

multiplica la primera ecuación por el coeficiente que tiene la variable en la

segunda ecuación y, recíprocamente, multiplica la segunda ecuación por el

coeficiente que tiene la misma variable en la primera ecuación; si no poseen

signos contrarios los términos obtenidos, puedes optar por multiplicar

cualquiera de las dos ecuaciones determinadas por (-1)

3. Si en el sistema original los coeficientes de algunas de las incógnitas son

iguales multiplica una de las ecuaciones por (-1) para obtener coeficientes

iguales con signos opuestos.

4. Procede a sumar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas. Esto dará

como resultado una ecuación con una variable, cuyo valor puedes determinar

fácilmente.

5. Encuentra el valor de la otra variable sustituyendo el de la variable conocida

en cualquiera de las ecuaciones del sistema original o equivalente, donde te

resulte más fácil y compruebe.

Ejemplo

Usando el método de suma y resta o de Gauss, resolver el siguiente sistema: 1) 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗

2) 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟒 Solución: Para que una de las variables se elimine al sumar miembro a miembro las ecuaciones 1) y 2), debemos multiplicar éstas por los números apropiados, de manera que los coeficientes de una de ellas sean iguales y de signo contrario. Para eliminar «y» debemos lograr que los términos en esta variable tengan coeficientes con igual

valor pero signo contrario en las ecuaciones; para hacerlo se multiplica la ecuación 1) por 5, que es el coeficiente de y en la ecuación 2), y la ecuación 2) por -3, que es el coeficiente de y en la

ecuación 1) pero con signo contrario: de esta manera los coeficientes serán 15 y -15, respectivamente. Al multiplicar la ecuación 1) por 5 tenemos:

(𝟓)(𝟓𝒙 + 𝟑𝒚) = (𝟓) ∙ 𝟗 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟒𝟓 1’)

Al multiplicar la ecuación 2) por -3 tenemos:

(−𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓𝒚) = (−𝟒)(−𝟑) − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏𝟐 2’)

Al sumar miembro a miembro las ecuaciones equivalentes 1’) y 2’), tenemos: 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟒𝟓

−𝟔𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏𝟐

−𝟏𝟗𝒙 = 𝟓𝟕

Observa que hemos obtenido una ecuación lineal en la variable x, cuyo valor es:

𝑥 =57

119 𝑥 = 3

Al sustituir este valor en 1’), tenemos:

𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗 ↔ 𝟓(𝟑) + 𝟑𝒚 = 𝟗 ↔ 𝟏𝟓 + 𝟑𝒚 = 𝟗 ↔ 𝟑𝒚 = 𝟗 − 𝟏𝟓 ↔ 𝟑𝒚 = −𝟔 ↔ 𝒚 = −𝟔

𝟑↔ 𝒚 = −𝟐

La solución del sistema es 𝑥 = 3 𝑦 𝑦 = −2 ↔ (3, −2)

Comprobación: Veamos si las ecuaciones que forman el sistema se satisfacen al sustituir los valores obtenidos

𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗

𝟓(𝟑) + 𝟑(−𝟐) = 𝟗 𝟏𝟓 − 𝟔 = 𝟗

𝟗) = 𝟗

1) 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟒

𝟐(𝟑) + 𝟓(−𝟐) = −𝟒 𝟔 − 𝟏𝟎 = −𝟒

−𝟒 = −𝟒

2)

Método de sustitución

Procedimiento para usar el método de sustitución

1.- Se despeja cualquier variable de cualquiera de las ecuaciones y se sustituye en la otra.

2.- Se obtiene una ecuación con una sola variable y se determina su valor

3.- Se sustituye el valor de la variable obtenida para obtener el valor de la otra variable

Ejemplo Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:

𝑥 + 3𝑦 = −1 𝑦 2𝑥 + 5𝑦 = −1 Solución: Presentamos e identificamos las ecuaciones del sistema de la siguiente manera:

1) 𝑥 + 3𝑦 = −1

2) 2𝑥 + 5𝑦 = −1 De acuerdo con el procedimiento mencionado, despejamos una de las variables en cualquiera de las ecuaciones y la sustituimos en la otra. Observa que es más sencillo despejar x de 1), porque su coeficiente es la unidad:

𝑥 = −1 − 3𝑦 1’) ésta es una ecuación equivalente a la original Al sustituir 1') en 2) obtenemos:

2(−1 − 3𝑦) + 5𝑦 = −1

−2 − 6𝑦 + 5𝑦 = −1

−𝑦 = 2 − 1

−𝑦 = 1 𝑦 = −1

Observa que obtuvimos una ecuación lineal con una sola variable y que al resolverla determinamos el valor de y. Sustituyendo el valor de en la ecuación equivalente 1') obtenemos el valor de x.

𝑥 = −1 − 3𝑦 1’)

𝑥 = −1 − 3(−1) ↔ 𝑥 = −1 + 3 ↔ 𝑥 = 2

Por lo que la solución es: 𝒙 = 𝟐 𝒚 𝒚 = −𝟏 Comprobación. Sustituyendo los valores de x = 2 y y = -1 en ambas ecuaciones del sistema, éstas se deben satisfacer.

Ecuación 1) 𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏 (𝟐) + 𝟑(−𝟏) = −𝟏

𝟐 − 𝟑 = −𝟏

−𝟏 = −𝟏

Ecuación 2) 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟏 𝟐(𝟐) + 𝟓(−𝟏) = −𝟏

𝟒 − 𝟓 = −𝟏

−𝟏 = −𝟏

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución debes tener presente lo siguiente:

1. Verifica si existe alguna variable en cualquiera de las ecuaciones cuyo

coeficiente sea la unidad; si existe, despéjala. En caso de no ser así, despeja

cualquier literal de cualquiera de las ecuaciones.

2. Sustituye el valor de la literal que se despeje en la otra ecuación; así

obtendrás una ecuación con una variable. Resuelve a continuación ésta.

3. Sustituye el valor de la variable encontrada en cualquier ecuación del sistema

y encuentra así el valor de la otra. 4. Comprueba la solución obtenida.

Método de igualación

El procedimiento o método consiste en despejar la misma variable de ambas

ecuaciones e igualarlas; esto dará como resultado una ecuación con una sola

variable, cuyo valor se obtiene como ya sabes; al sustituir este valor en cualquiera

de las ecuaciones del sistema se obtiene el valor de la otra.

Ejemplo Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:

1) -3𝑥 − 5𝑦 + 5 = 0

2) 7𝑥 + 8𝑦 − 19 = 0

Solución: Despejando y de la ecuación 1) −5𝑦 = 3𝑥 − 5 𝑦 =3𝑥−5

−5

Despejando y de la ecuación 2) 8𝑦 = 19 − 7𝑥 𝑦 =19−7𝑥

8

Igualando los valores de «y»:

3𝑥 − 5

−5=

19 − 7𝑥

8

8(3𝑥 − 5) = (−5)(19 − 7𝑥)

24𝑥 − 40 = −95 + 35𝑥

95 − 40 = 35𝑥 − 24𝑥

55 = 11𝑥

11𝑥 = 55

𝑥 =55

11= 5

Al sustituir el valor de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos el valor de y. Observa que resulta más sencillo utilizar cualquiera de las expresiones donde «y» se encuentra despejada.

Sustituyendo en la ecuación 1) 𝑦 =3𝑥−5

−5=

3(5)−5

−5=

15−5

−5=

10

−5= −2

Observa que obtuvimos una ecuación en la variable

x; (8) y (-5) son divisores en

esta expresión, al «pasar» al otro lado del signo de igual lo hacen multiplicando

La solución del sistema es la pareja de valores 𝑥 = 5 𝑦 𝑦 = −2

Comprobación. Las ecuaciones del sistema se deben satisfacer al sustituir los valores 𝑥 =5 𝑦 𝑦 = −2. Si sustituimos valores en la ecuación 1), tenemos:

−3𝑥 − 5𝑦 + 5 = 0 ↔ −3(5) − 5(−2) + 5 = 0 ↔ −15 + 10 + 5 = 0 ↔ 0 = 0 Si sustituimos valores en la ecuación 2), tenemos:

7𝑥 + 8𝑦 − 19 = 0 ↔ 7(5) + 8(−2) − 19 = 0 ↔ 35 − 16 − 19 = 0 ↔ 0 = 0

Representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables e interpretación de la solución.

La representación gráfica de una ecuación lineal con dos variables en un sistema

coordenado rectangular es una línea recta. Como cada ecuación lineal es una recta,

es obvio que cualquier sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

representado gráficamente consiste en un par de rectas, cuyas posibles posiciones

son las presentadas en las Figuras 7.1 a, b y c.

Caso 1. Cuando las rectas se intersectan en un punto, el sistema tiene solución

única, lo que significa que existe un valor para 𝒙 y 𝒚 que satisface a ambas

ecuaciones simultáneamente. La pareja de valores que es solución del sistema son

las coordenadas de un punto, que al «satisfacer» a las ecuaciones indica que

pertenecen a las dos gráficas que las representan.

El único punto que tiene esta característica es aquel en donde se intersectan las

gráficas. Dos rectas se intersectan sólo cuando tienen pendientes diferentes, es

decir, ángulos de inclinación diferentes.

Recuerda que expresadas las ecuaciones del sistema en la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 se

determinan las pendientes, y si son diferentes, las rectas se intersectan; ésta es una

manera de saber que el sistema tiene solución única.

Caso 2. Las rectas no se intersectan porque son paralelas, lo que significa que el

sistema no tiene solución. Al expresar las ecuaciones del sistema en la forma 𝒚 =𝒎𝒙 + 𝒃 se determina que las pendientes son iguales, 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐, lo que significa que

las gráficas de las rectas son paralelas por tener el mismo ángulo de inclinación 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 a1= a2. Pero calculada la ordenada al origen, esto es, el punto de

intersección con el eje «y», estos son diferentes, en la figura son los puntos 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐.

Caso 3. Las rectas son coincidentes, por lo que todos sus puntos son puntos de

intersección y, por lo tanto, todos son soluciones del sistema. Al expresar las

ecuaciones en la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, se determina que las pendientes son iguales,

𝒎𝟏 = 𝒎𝟐, es decir, que las rectas tienen el mismo ángulo de inclinación a 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐

y que el punto de intersección con el eje y es el mismo, 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐.

Procedimiento gráfico para resolver un sistema 2 X 2

El procedimiento consiste en:

1. Graficar ambas ecuaciones.

2. Trazar por el punto de intersección de rectas paralelas a los ejes hasta

intersectarlos.

3. Los valores de x y y que corresponden a las intersecciones de esas rectas

paralelas con los ejes constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

Por el método gráfico resuelve el siguiente sistema. 𝑥 + 3𝑦 = −1

2𝑥 + 5𝑦 = −1 que corresponde al ejemplo presentado cuando se explicó el método de sustitución y cuya respuesta es: x=2 y y=-1 Solución: Para construir la gráfica de las ecuaciones determinamos sus intersecciones con los ejes coordenados. De la ecuación 𝑥 + 3𝑦 = −1 obtenemos:

Intersección con el eje x: Si y =0 entonces 𝑥 = −1

y el punto de intersección es:

A(-1,0)

Intersección con el eje y

y el punto de intersección es

Si x=0 entonces

𝐵(0, −1

3)

3𝑦 = −1 ↔ 𝑦 = −1

3

De la ecuación 2𝑥 + 5𝑦 = −1 obtenemos:

Intersección con el eje x:

y el punto de intersección es:

Si y =0 entonces

𝐶(−1

2, 0)

2𝑥 = −1 ↔ 𝑥 = −1

2

Intersección con el eje y

y el punto de intersección es

Si x=0 entonces

𝐷(0, −1

5)

5𝑦 = −1 ↔ 𝑦 = −1

5

La representación gráfica de las ecuaciones se muestra en la Figura 7.2.

El punto de intersección de las dos rectas es E(2, -1), o bien x= 2,y=-1, y ésta es la solución del

sistema, como era de esperarse.

Modelos aritméticos o algebraicos

Construcción y resolución del problema presentado al inicio del tema El enunciado dice:

El precio del boleto de avión México—Guadalajara es de $850 para adulto y de $500

para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obtuvieron ingresos por $36

900, ¿cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión?

Planteamiento: En virtud de que se vendieron 50 boletos, el número de adultos

más el número de niños debe ser igual a 50; por lo tanto, si llamamos:

x al número de adultos y y al número de niños podemos establecer la siguiente

ecuación lineal: el número de adultos más el número de niños debe ser igual a 50,

que en lenguaje matemático se escribe:

x + y = 50.

• Como el costo del pasaje de un adulto es de $850 y el número de adultos lo

identificamos con x, los ingresos por la venta de estos boletos están dados por la

expresión 850x.

• Como el costo del pasaje de un niño es de $500 e identificamos con y al número

de niños, los ingresos obtenidos por la venta de estos boletos los representa la

expresión 500y.

El monto total de ingresos es igual al monto de ingresos por la venta de boletos de

adultos más la venta de boletos de niños e igual a $36 900; luego entonces,

podemos establecer la siguiente ecuación:

850x+500y=36 900

De manera que obtuvimos dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x + y = 50.

850x+500y=36 900

Cada ecuación por separado posee una infinidad de soluciones; sin embargo, sólo

una de ellas interesa, la que da sentido real a la afirmación: aquella que satisface

simultáneamente a ambas.

A continuación resuelve el sistema por el método que se te facilite más.

BLOQUE 8 ECUACIONES LINEALES III

8.1 Representación de relaciones entre magnitudes Introducción al estudio de las ecuaciones lineales con tres variables Para que tengas un panorama general de los conocimientos que adquirirás en el tema de las ecuaciones lineales con tres variables o incógnitas te mencionamos lo siguiente: Son ecuaciones lineales con tres incógnitas las siguientes expresiones:

𝑎) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 30 𝑏) − 2𝑎 = 3𝑏 − 5 + 4𝑐 𝑐) 2

5𝑥 +

3

4𝑦 +

1

2𝑧 = 8

Tres ecuaciones lineales con tres variables constituyen un sistema de ecuaciones de 3 x 3, estudiaremos los métodos que permiten resolverlo, lo que significa

determinar los valores de las variables que hacen verdaderas, simultáneamente, a las tres ecuaciones. Explicaremos después lo que representan dichas soluciones desde un punto de vista gráfico. Estos sistemas pueden tener una solución única, un número infinito de ellas o no tener solución. Ecuaciones lineales con tres variables y su solución Una ecuación lineal con tres variables se puede expresar de la siguiente manera:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅

En donde 𝒙, 𝒚, 𝒛 son las variables y 𝑎, 𝒃, 𝒄 y 𝒅 son los coeficientes de las variables y

el llamado término independiente. Una ecuación lineal con tres variables tiene una infinidad de soluciones. Para obtenerlas basta despejar una de las variables que se expresa en términos de las otras dos; al asignar a éstas dos variables valores arbitrarios, se obtiene el correspondiente valor de la que se despejó. Así, al despejar la variable x tenemos:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅 𝒙 =−𝒃𝒚 − 𝒄𝒛 + 𝒅

𝒂

se le asignan valores a «y» y a «z» y se obtiene el correspondiente valor de x. La terna ordenada de valores, expresada como (x, y, z), es solución de la ecuación. Como a «y» y «z» se les puede asignar cualquier valor, la ecuación tiene un número infinito de soluciones. El sistema coordenado rectangular de tres dimensiones Un sistema coordenado rectangular de tres dimensiones se representa como se ilustra en la Figura 8.1.

Observa que está formado por tres rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en el origen (0). Existe una correspondencia entre una terna de valores y un punto ubicado en este sistema coordenado, es decir, para graficar un punto se requiere conocer los valores de x, y, z.

Por ejemplo, el punto A (4, 4, 2) se grafica en el

sistema como se muestra: cuatro unidades sobre el eje x y cuatro unidades sobre el eje y; se trazan paralelas a los ejes; donde se intersectan se trazan dos unidades sobre el eje z y se obtiene la gráfica del punto A Observa que el punto se encuentra en el espacio. Las soluciones de una ecuación lineal con tres variables son muchas ternas de valores, esto es, muchos puntos en el espacio, los cuales forman un plano, por lo que la gráfica de una ecuación lineal de tres variables es un plano. El sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables o incógnitas se puede escribir de la siguiente manera:

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 (𝐴)

𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3

Si por ejemplo los valores x = e, y =f y z = g satisfacen simultáneamente a las tres ecuaciones anteriores, entonces, los valores e, f y g constituyen la solución del sistema. Por lo que la solución de un sistema 3 x 3 es una terna de valores (e,f,g) que tiene la característica de pertenecer simultáneamente a las tres ecuaciones, gráficamente significa que es un punto que pertenece simultáneamente a los tres planos que definen las tres ecuaciones. Gráficamente, la solución de un sistema 3 x 3 es la determinación del punto de intersección de tres planos. A manera de ilustración

Métodos o técnicas para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, conocido como 3 x 3 De los sistemas de ecuaciones 3 x 3 nos interesa conocer cuál es su solución; para ello existen varios métodos algebraicos como el de Gauss, el de sustitución, el de igualación y el de Cramer o de determinantes. En este bloque sólo estudiaremos el de sustitución. Método de sustitución Expresamos un sistema 3 x 3 de la siguiente forma:

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 (1) 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 (2) 𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3 (3)

El método de sustitución consiste en:

Despejar una variable de cualquiera de las ecuaciones del sistema.

Sustituir la expresión de la variable que se despejó en las otras dos ecuaciones.

Estas dos ecuaciones sólo tienen dos variables y se pueden resolver utilizando cualquiera de los métodos presentados en el bloque 7.

Ejemplo Utilizando la técnica o método de sustitución, hallar la solución del sistema formado por las ecuaciones:

1) 2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

2) 3𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 0

3) 𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧 = 0

Solución: Por resultar más fácil despejamos x de la ecuación 3):

𝑥 = −7 + 7𝑦 − 2𝑧

Al sustituir en la ecuación 1) tenemos:

2 x -4y+2z=0

2 (-7+7y-2z) -4y+2z=0 1’)

Al efectuar operaciones y reducir términos semejantes, obtenemos:

−14 + 14𝑦 − 4𝑧 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

10𝑦 − 2𝑧 = 14 1’)

En este caso, la ecuación resultante puede simplificarse aún más al dividir ambos miembros de la ecuación

por 2. 5𝑦 − 𝑧 = 7 1’)

Al sustituir x en 2) tenemos:

3 x +5y-3z=4

3 (-7+7y-2z) -5y-3z=4 2’)

Al efectuar operaciones y reducir términos semejantes obtenemos:

−21 + 21𝑦 − 6𝑧 + 5𝑦 − 3𝑧 = 4

26𝑦 − 9𝑧 = 25 2’)

Con las ecuaciones 1') y 2') hemos formado un sistema 2 x 2 en las variables «y» y «z»

5𝑦 − 𝑧 = 7 1’)

26𝑦 − 9𝑧 = 25 2’)

Al resolver el sistema 2 x 2 utilizando cualquiera de los métodos conocidos se obtendrá que:

𝑦 = 2 𝑦 𝑧 = 3

Para obtener el valor de x, podemos sustituir los valores de y y z en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

Conviene, por facilidad, utilizar el despeje de x que se hizo en la ecuación 3).

𝑥 = −7 + 7𝑦 − 2𝑧

𝑥 = −7 + 7(2) − 2(3)

𝑥 = −7 + 14 − 6

𝑥 = −13 + 14 = 1

Por lo tanto la solución del sistema es:

𝑥 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = 3

Comprobación: al sustituir los valores de x, y, z en la ecuación 1):

2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

2(1) − 4(2) + 2(3) = 0

2 − 8 + 6 = 0

0 = 0 Comprueba que las ecuaciones 2) y 3) también se satisfacen.

BLOQUE 9 ECUACIONES CUADRÁTICAS I

9.1 Representación de relaciones entre magnitudes La ecuación cuadrática y su solución La ecuación cuadrática con una variable es una proposición de igualdad que se expresa como:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎 y se conoce como la forma general de la ecuación de segundo grado con una variable. Sus componentes son:

x Es la variable

𝒂 Es el coeficiente del término que contiene a la variable elevada al cuadrado o «término cuadrático».

𝒃 Es el coeficiente del término que contiene a la variable elevada a la unidad o «término lineal».

𝒄 Es el término independiente

Las siguientes expresiones son ejemplos de ecuaciones cuadráticas: 𝑎) 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0 𝑏) 3𝑦2 − 5𝑦 = 0 𝑐) 𝑥2 = 1 𝑑) 2(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) = 7𝑥 − 2 Es posible que una ecuación cuadrática se exprese inicialmente de diferente manera a la llamada forma general, como en los incisos b), c), y d), y que incluso deban realizarse operaciones previas para identificarla como tal, como en el inciso d). La solución de una ecuación cuadrática es encontrar el valor de la variable que, al sustituirla en la ecuación, ésta se satisface; es decir, que la proposición de igualdad resulte cierta. Cuando se encuentra la solución de una ecuación, se dice que se ha resuelto. Por lo general, una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, pero en algunos casos sólo tiene una o bien ninguna, hablando de los números reales. Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas

Las ecuaciones cuadráticas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se llaman:

a) Completas. Cuando los coeficientes de los términos cuadrático y lineal y el término independiente son todos distintos de cero (a, b, c ≠ 0). Son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas:

5𝑢2 − 3𝑢 + 1 = 0 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0

b) Incompletas. Cuando el coeficiente del término lineal, el término independiente o ambos valen cero. Son ejemplos de ecuaciones

2𝑥2 + 3 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0

4𝑥2 − 3𝑥 = 0 donde c = 0

3𝑥2 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0

Resumen de las ecuaciones cuadráticas

Se clasifican en Sus expresiones son: Sus características son

Completas 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0

Incompletas 𝑎𝑥2 = 0

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0

𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0

𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0, 𝑐 ≠ 0 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 = 0

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas Se llaman raíces de una ecuación cuadrática a las soluciones de la misma. La obtención de las raíces es uno de los propósitos de nuestro estudio; a continuación se presentan los tres casos de ecuaciones cuadráticas incompletas y la forma en que se determinan sus soluciones o raíces. Caso 1: Determinación de las raíces o soluciones de ecuaciones cuadráticas de la forma:

𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 La resolución de la ecuación anterior resulta trivial. Basta hacer la siguiente

pregunta: ¿cuál es el número (𝒙) elevado al cuadrado (𝒙𝟐) que al ser multiplicado

por otro distinto de cero, a, da como resultado cero? Desde luego, el único valor de (𝒙) que conduce a esto es el cero, así que:

Cualquier ecuación de la forma 𝑎𝑥2 = 0 tiene como raíz o solución única: 𝑥 = 0

Caso 2: Determinación de las raíces o soluciones de ecuaciones de la forma:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

La solución o raíces de la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 se obtiene al despejar 𝒙

𝒙 = ±√−𝒄

𝒂

𝒙𝟏 = √−𝒄

𝒂 𝒙𝟐 = −√−

𝒄

𝒂 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 −

𝒄

𝒂≥ 𝟎

Por lo general, cualquier ecuación cuadrática tendrá dos soluciones; los subíndices que generalmente acompañan a la literal x ponen de manifiesto lo anterior Caso 3: Determinación de las raíces de ecuaciones de la forma:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

De acuerdo con el axioma de distributividad, la expresión 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 es igual a

𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏); o bien al factorizar 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 obtenemos 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) por lo tanto, podemos

escribir la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Como:

𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 (𝑨) Razonemos lo siguiente acerca de (A)

1. La expresión situada a la izquierda del signo igual es el producto de los

factores: 𝒙 y (𝒂𝒙 + 𝒃). 2. La ecuación se interpreta como: «el producto de estos factores es igual a

cero». 3. Para que esto se cumpla es necesario que cualquiera de los factores sea

cero, es decir:

𝑥 = 0 ó 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 Cuando x=0 la ecuación se satisface y, por lo tanto, este valor es una raíz o solución. Para que 𝑎𝑥 + 𝑏 sea igual acero se requiere obtener el valor de x, que se encuentra

al despejar x de la expresión:

Por lo tanto, las raíces o soluciones de las ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

𝒙 = 𝟎 𝑦 𝒙 = −𝒃

𝒂

Solución de ecuaciones cuadráticas completas

Las ecuaciones cuadráticas completas expresadas como 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 pueden resolverse con distintas técnicas o métodos. En este curso veremos solo el método de fórmula general. Método de fórmula general La ecuación cuadrática tiene tantas aplicaciones que para resolverla en forma práctica se ha obtenido una fórmula.

La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

es:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 ó 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑒 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0

Cuyas raíces o soluciones son:

𝑥1 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 𝑥2 =

−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Como puedes observar, el valor de la variable depende de los coeficientes a y b, y del término independiente c. La fórmula anterior nos permite resolver cualquier ecuación cuadrática dentro del conjunto de los números reales. Ejemplo

Encontrar las raíces o soluciones de la ecuación 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 utilizando la fórmula general. Solución: Al identificar en la ecuación los valores a, b y c, tenemos: a = 6, b = -1 y c = -2. Sustituyendo estos valores en la fórmula general de la ecuación cuadrática, tenemos:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 ↔ 𝑥 =

−(−1) ± √(−1)2 − 4(6)(−2)

2(6)

Por lo que

𝑥 =1 ± √1 + 48

12 ↔ 𝑥 =

1 ± √49

12 ↔ 𝑥 =

1 ± 7

12

𝑥1 =1 + 7

12=

8

12=

2

3 𝑦 𝑥2 =

1 − 7

12=

−6

12= −

1

2

Comprobación: sustituyendo los valores obtenidos en 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0, ésta se debe satisfacer.

𝑆𝑖 𝑥 =2

3 6 (

2

3)

2

−2

3− 2 = 0 ↔ 6 (

4

9) −

2

3− 2 = −

1

2 = 0

↔ 8

3−

2

3−

6

3= 0 ↔ 0 = 0

Demuestra que 𝑥 = −1

2 es raíz o solución porque también satisface la ecuación.

Análisis de las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática Las ecuaciones cuadráticas con una variable pueden tener:

dos raíces o soluciones que sean números reales.

una sola raíz o solución que sea un número real.

dos raíces o soluciones que no son números reales; a éstos se les conoce como números imaginarios o complejos.

A partir de la fórmula general de segundo grado o cuadrática se puede determinar qué tipo de solución tiene la ecuación:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

Analicemos la expresión que se encuentra bajo el signo √, esto es 𝑏2 − 4𝑎𝑐, lo que

dependiendo de los valores de a, b y c, puede resultar:

Una cantidad positiva, es decir, una cantidad mayor que cero: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0

Si esto ocurre, como la raíz cuadrada de un número positivo es un número real, entonces los valores de las raíces o soluciones (x) resultan números reales y serán

dos al considerar los signos (+) y (—) que anteceden al radical√𝑏2 − 4𝑎𝑐

Que sea igual a cero, esto es, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 =0. Si esto ocurre, como la raíz

cuadrada de cero es cero, entonces las raíces o soluciones (x) resultan

números reales, pero solo existe un valor para x ya que al ser 𝑥 =−𝑏±0

2𝑎 ó

bien 𝒙 =−𝒃

𝟐𝒂 , sólo existe un valor.

Una cantidad negativa, es decir, una cantidad menor que cero: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 <𝟎. Si esto ocurre, como la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, entonces los valores de las raíces o soluciones (x) resultan números imaginarios y serán dos al considerar los signos (+) y (—) que

anteceden al radical √𝑏2 − 4𝑎𝑐

A la expresión b —4ac se le llama «discriminante de la ecuación», y a lo que hicimos en párrafos anteriores se le conoce como «análisis del discriminante».

¿Cómo construir una ecuación cuadrática cuando se conocen sus raíces o soluciones? A partir de las expresiones (x + a)(x + b) = 0 (ax + b)(cx + d) = 0 Se pueden construir ecuaciones cuadráticas si se conocen las raíces o soluciones. Ejemplo

Las raíces de una ecuación cuadrática son 𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 5. ¿Cuál es la ecuación? Solución: Recuerda que para obtener las raíces de la ecuación a partir de: (x + a)(x + b) = 0

Planteamos que 𝑥 + 𝑎 = 0, de donde obtenemos que 𝑥 = −𝑎.

Si sabemos que 𝑥 = 3 , podemos establecer que−𝑎 = 3, de donde 𝑎 = −3.

También planteamos que 𝑥 + 𝑏 = 0, de donde 𝑥 = −𝑏. Si sabemos que 𝑥 = 5 podemos establecer que −𝑏 = 5, de donde 𝑏 = −5 . Al sustituir los valores de a y b en la ecuación:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 0 (𝑥 + 3)(𝑥 − 5) = 0 Tenemos

𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 Ésta es la ecuación cuyas raíces o soluciones son 𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 5

Comprobación: Utilizamos la fórmula general en la ecuación que construimos 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 para obtener sus raíces o soluciones:

Así tenemos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −8 𝑦 𝑐 = 15

𝑥 =−(−8) ± √(−8)2 − 4(1)(15)

2(1)

𝑥 =8 ± √64 − 60)

2= 𝑥 =

8 ± √4

2

𝑥1 =8 + 2

2=

10

2= 5 𝑥2 =

8 − 2

2=

6

2= 3

BLOQUE 10 ECUACIONES CUADRÁTICAS II

10. Introducción al estudio de la función cuadrática

Recuerda que definimos una función como la asociación entre los elementos de dos

conjuntos, X y Y, en donde a los elementos de X les corresponde un único elemento

de Y. La asociación entre los elementos de ambos conjuntos se da mediante una

«regla de correspondencia», que por lo general es una expresión matemática.

Si la expresión matemática que relaciona o asocia a los elementos de los conjuntos

es:

f(x) = y = mx + b, entonces hablamos de una función lineal.

Si la expresión matemática que relaciona o asocia a los elementos de los conjuntos

es:

f(x) = y = ax2 +bx + c, entonces hablamos de una función cuadrática.

La función f definida por la ecuación f(x) = y = ax + bx + c se llama «función

cuadrática», donde a, b y c son números reales, y 𝒂 ≠ 𝟎 .

El estudio de la función cuadrática lo abordaremos de la siguiente manera:

1.- Construiremos una función cuadrática a partir de un enunciado.

2.- Obtendremos la gráfica de una función cuadrática mediante: - El procedimiento de tabulación. - La determinación de sus intersecciones con los ejes coordenados.

3.- A partir de la gráfica identificaremos a la función cuadrática como una parábola

vertical y determinaremos sus puntos característicos. Asimismo, demostraremos

que la ecuación cuadrática es un caso particular de la función cuadrática y

determinaremos su punto más alto o su punto más bajo, según corresponda a la

posición de la parábola en el plano.

Construyendo una función cuadrática

Ejemplo

Un fabricante de cajas de cartón recibe el pedido de construir cajas abiertas por arriba de diferentes volúmenes, pero con una altura constante de 3 cm. Esta altura se logra cortando cuadrados de 3 cm de lado en cada esquina de las hojas cuadradas de cartón, de las que el fabricante dispone en diferentes longitudes, y doblando las pestañas hacia arriba. ¿Cuál es la expresión matemática de los volúmenes correspondientes a las cajas, construidas con las hojas cuadradas de las diferentes dimensiones de que dispone el fabricante? Planteamiento: Sea la longitud del lado de las hojas de cartón. Los cuadrados de 3 cm a cortar en las hojas se ilustran en (a) de la Figura 10.1.

Solución: Por las líneas punteadas se doblan las pestañas hacia arriba, tal como se ilustra en (b) de la Figura 10.1. Finalmente, se forma la caja de cartón abierta por arriba cuyos lados tienen una longitud de 𝑥 − 6 y 𝑦 3𝑐𝑚 de altura, como en la Figura 10.1(c). El volumen de cada caja es: 𝑉 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 es decir:

𝑉 = 3(𝑥 − 6)(𝑥 − 6) = 3(𝑥3 − 12𝑥 + 36)

𝑉 = 3𝑥3 − 36𝑥 + 108 Esta expresión matemática permite calcular los volúmenes de las cajas a partir de la longitud (x) de las hojas de cartón, es decir, el volumen está en función de x, por lo que se escribe así:

𝑉(𝑥) = 3𝑥3 − 36𝑥 + 108 ó bien,

𝑦 = 𝑉(𝑥) = 3𝑥3 − 36𝑥 + 108

Observa que hemos construido una función cuadrática asociando a las «x» que son elementos del conjunto de

las longitudes de las hojas del cartón, con los volúmenes (V), de las cajas que se forman con las hojas.

Construcción de la gráfica de una función cuadrática mediante el proceso de tabulación La gráfica de una función cuadrática en x o cualquier incógnita o variable que se utilice, se obtiene a partir de la ecuación que la define; al suponer distintos valores para x y obtener los correspondientes valores de f(x) o y, determinamos pares ordenados de valores que, representados en un sistema coordenado rectangular de dos dimensiones y unidos mediante una línea continua, dan como resultado la gráfica de la función. Al procedimiento de suponer valores para la incógnita x y obtener f(x) o y usando una tabla con dos columnas para facilitar la identificación de dichos valores y determinar pares ordenados de valores se le llama tabulación, que ya se explicó antes. Ejemplo

Construir la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2 usando el procedimiento de tabulación y analizar sus características. Solución: En la Figura 10.3 se muestran los dos conjuntos de números que constituyen los valores de x o dominio de la función y los valores de o rango.

Se elige cualquier valor de x sin ninguna restricción o condición, por lo que se le llama la «variable independiente». Una vez elegido un valor de x, el correspondiente valor de y se obtiene mediante la

ecuación 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2, esto es, su valor depende del de x, por lo que ay se le conoce como «varible dependiente». En la Figura 10.3 se ilustra el valor de x y el correspondiente de mediante flechas de líneas punteadas.

Tabulación

Variable x Se asocia con la

Variable y Y se forman los Pares ordenados

0 Mediante la regla de

correspondencia 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2

-2 𝐴(0, −2) 1 2 𝐵(1, 2) 2 8 𝐶(2, 8) -1 -4 𝐷(−1, −4) -2 -4 𝐸(−2, −4) -3 -2 𝐹(−3, −2) -4 2 𝐺(−4, 2) -5 8 𝐻(−5,8)

Los pares ordenados representados en el sistema coordenado rectangular son puntos que nos permiten obtener la gráfica de la función cuando los unimos mediante una línea continua. Grafica de la Función.

Análisis de la gráfica

Se trata de una parábola vertical que se abre hacia arriba. El punto más bajo se llama vértice y se identifica con la letra Y; de acuerdo con la Figura, las coordenadas de este punto tienen las siguientes características: La abscisa se localiza entre -1 y -2. La ordenada se localiza entre -4, y -5.

Veamos qué ocurre con el valor de cuando x adopta valores entre -1 y -2.

x y Par ordenado

-1.2 -3.16 (-1.2, -3.16) -1.4 -4.24 (-1.4, -4.24) -1.5 -4.25 (-1.5, -4.25) -1.7 -4.21 (-l.7,-4.21) -1.8 -4.16 (-1.8, -4.16)

Para nuestro propósito es suficiente decir que las coordenadas del vértice son:

V(-1.5, -4.25) ¿Es posible obtener las coordenadas del vértice con mayor precisión? Es posible; en geometría analítica se demuestra que una parábola vertical con

Observa que las ordenadas de los puntos D y E son iguales, esto es -4, lo que significa que el punto V tiene su ordenada más abajo y su abscisa comprendida entre los valores de las abscisas de Dy E, esto es, entre -1 y -2

vértice fuera del origen como el caso del ejemplo anterior, tiene la siguiente ecuación que la define:

(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒂(𝒚 − 𝒌) Donde h y k son las coordenadas del vértice, esto es, V(h, k).

Explicado lo anterior vamos a representar la ecuación 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 en una

forma equivalente a (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒂(𝒚 − 𝒌) utilizando las propiedades de la igualdad

y los conocimientos adquiridos del tema de factorización. Procedemos a completar un trinomio cuadrado perfecto con los términos en la variable 𝑥 que son 𝑥2 y 3𝑥 ; para esto, expresamos la ecuación de la siguiente manera:

𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 𝑥2 + 3𝑥 = 𝑦 + 2

𝑥2 + 3𝑥 +9

4= 𝑦 + 2 +

9

4

(𝑥 +3

2)2 = (𝑦 +

17

4)

(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒂(𝒚 − 𝒌) 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

−ℎ =3

2 → ℎ = −

3

2

−𝑘 =17

4 → 𝑘 = −

17

4

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑽(−𝟑

𝟐, −

𝟏𝟕

𝟒)

¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica con el eje x? Observa en la Figura 10.4 que una intersección con este eje se encuentra entre los valores de x = 0 y x = 1 y la otra entre x= —3 y x = —4.

Los valores exactos se obtienen al hacer que en la ecuación y = x2 + 3x - 2, «y» adopte el valor de cero:

𝑥2+ + 3𝑥 − 2 = 0 Si resolvemos la ecuación cuadrática mediante la fórmula general tenemos: a = 1, b = 3 y c = —2.

𝑥 = −(3) ± √(3)2 − 4(1)(−2)

2(1)

𝑥 = −(3) ± √9 + 8

2=

−3 ± √17

2=

−3 ± 4.12

2

𝑥1 =1.12

2= 0.56 𝑥2 =

−7.12

2= −3.56

Se confirma que el valor de x esta entre 0 y 1. Se confirma que el valor de x esta entre -3 y -4 De manera que las intersecciones en el eje x son: (0.56, 0) y (-3.56, 0) Nota que la gráfica sólo intersecta al eje «y» en un solo punto. ¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje «y»? En este punto la abscisa vale cero, por lo que al sustituir en la ecuación x = 0 obtenemos el correspondiente valor de la ordenada:

𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑦 = (0)2 + 3(0) − 2

𝑦 = −2 Construcción de la gráfica de la función cuadrática mediante la determinación de sus intersecciones con los ejes coordenados Son muchas las posiciones en que se puede encontrar la gráfica de la función cuadrática, que define una parábola vertical, en un sistema coordenado rectangular de dos dimensiones; por ejemplo, las siguientes:

(a) (b) (c) Figura 10.6 En la Figura 10.6 inciso (a), la gráfica intersecta al eje x en los puntos A y B; estos puntos se llaman ceros o raíces de la función y la característica que los distingue es que su ordenada vale cero; esto es, f(x) = 0 ó y = 0. La gráfica intersecta al eje y en el punto C. El punto D es el más bajo de la gráfica y su ordenada es menor que la ordenada de cualquier otro punto de la misma. Se concluye que se trata de una parábola vertical que abre hacía arriba. En la Figura 10.6 inciso (b), la gráfica intersecta al eje x en los puntos A y B; estos puntos se llaman ceros o raíces de la función y la característica que los distingue es que su ordenada vale cero; esto es, f(x) = 0 ó y = 0. La gráfica intersecta al eje y en el punto C, donde la abscisa vale cero (x = 0). El punto D es el más alto de la gráfica y su ordenada es mayor que la ordenada de cualquier otro punto de la misma. Se concluye que se trata de una parábola vertical que abre hacía abajo. En la Figura 10.6 inciso (c), no existen intersecciones con el eje x, pero sí con el eje y. ¿Qué puedes concluir?, Que no hay raíces de la función, es decir no hay solución en los números reales para la ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática es un caso particular de la función cuadrática cuando se trata de determinar sus intersecciones con el eje x Como los ceros o raíces de la función cuadrática son los puntos donde su gráfica intersecta al eje de las abscisas o eje de las x, y este punto tiene la característica de que su ordenada vale cero, basta con asignar dicho valor a y ó f(x) en la expresión que define a la función para obtener una ecuación cuadrática con una incógnita y que al resolverla nos da los valores de las abscisas asociadas con la

ordenada cero, lo que nos permite obtener pares ordenados que al representarlos en el sistema coordenado rectangular identifican los puntos de intersección con el eje x.

La intersección con el eje «y» se obtiene al sustituir en la ecuación el valor de 𝒙 = 𝟎 para obtener la ordenada del punto de intersección. Ejemplo

Construye la gráfica aproximada de la función cuadrática determinando sus intersecciones con los ejes:

𝑉(𝑥) = 2𝑥2 − 28𝑥 + 80

Solución: Determinación de las intersecciones con el eje x. Al hacer que 𝑦 = 𝑉(𝑥) = 0

Obtenemos 0 = 2𝑥2 − 28𝑥 + 80 que es una ecuación cuadrática o de segundo grado con una sola incógnita.

Al multiplicar por 1/2 toda la ecuación obtenemos la ecuación equivalente:

𝑥2 − 14𝑥 + 40 = 0 Que es más fácil de resolver. Resolviendo la ecuación aplicando la fórmula general:

𝑥 =−14 ± √(−14)2 − 4(1)(40)

2(1)=

−14 ± √196 − 160

2

𝑥 =−14 ± √36)

2=

−14 ± 6

2

𝑥1 = 10 𝑥2 = 4

Éstos son los valores de x asociados con la ordenada 0.

De manera que las intersecciones con el eje x son los pares ordenados:

A(10,0) B(4, 0)

Determinación de la intersección con el eje y.

Si x = 0 obtenemos:

𝑦 = 𝑉(𝑥) = 2(0)2 − 28(0) + 80

𝑦 = 𝑉(𝑥) = 80

De manera que la intersección con el eje y es el par ordenado:

C(0, 80)

Si representamos las intersecciones con los ejes en el sistema coordenado rectangular podemos construir la gráfica aproximada de la función como se muestra en la Figura 10.7

La gráfica de una función algunas veces solo tiene una intersección con el eje x, es decir, en realidad solo lo toca, no lo cruza. Ejemplo Construir la gráfica de la función cuadrática definida por la ecuación 𝑦 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 16 mediante la obtención de sus intersecciones con los ejes. Solución: a) Intersección con el eje y: El par ordenado es 𝐴(0, 16)

Si 𝑥 = 0 𝑦 = 4(0)2 − 16(0) + 16 𝑦 = 16

b) Intersección con el eje x: Si 𝑦 = 0 0 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 16

4𝑥2 − 16𝑥 + 16 = 0

𝑥 =16 ± √(16)2 − 4(4)(16)

2(4)

𝑥 =16 ± √256 − 256

8

𝑥 =16±0

8=

16

8= 2

El par ordenado es 𝐵(2, 0)

Nota que sólo hay un punto de intersección, lo que significa que la gráfica baja de izquierda a derecha, «toca» al eje x en el punto B y «sube» [Figura 10.8]. ¿Se puede asegurar que B es el punto más bajo de la gráfica? Demuéstralo transformando la ecuación a la forma

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑎(𝑦 − 𝑘) y obteniendo el valor de las coordenadas del vértice. Ejemplo

Construir la gráfica de la función cuadrática definida por la ecuación 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 4y mediante la obtención de sus intersecciones con los ejes.

Solución: a) Intersección con el eje y:

Si 𝑥 = 0 𝑦 = (−0)2 + 4(0) − 4 𝑦 = −4

El par ordenado es 𝐴(0, −4) b) Intersección con el eje x: Si 𝑦 = 0 0 = −𝑥2 + 4𝑥 − 4

−𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0

𝑥 =−4 ± √(4)2 − 4(−1)(−4)

2(−1)

𝑥 =−4 ± √16 − 16

−2

𝑥 =−4±0

−2=

−4

−2= 2

El par ordenado es 𝐵(2, 0)

Nota que sólo hay un punto de intersección; en este caso la gráfica sube de izquierda a derecha, «toca» al eje x y baja a partir del punto B [Figura 10.9].